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\(\frac{5}{y}\) में (y) की घात (-1) होती है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / In \(\frac{5}{y}\), the power of (y) is (-1). Due to the negative power, it is not a polynomial.
बहुपद की घात सबसे बड़ी चर-घात से मिलती है। यहाँ सबसे बड़ी घात (6) है। / The degree of a polynomial is given by the highest power of the variable. Here the highest power is (6).
\(\sqrt{3}\) वास्तविक गुणांक है और स्वीकार्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{3}\) is a real coefficient and is allowed. The powers of the variable are (2), (1), and (0), so it is a polynomial.
द्विघात बहुपद की घात (2) होती है। \(5x^2-4x+9\) की सबसे बड़ी घात (2) है। / A quadratic polynomial has degree (2). The highest power in \(5x^2-4x+9\) is (2).
\(0x^7\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (5) है। / \(0x^7\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (5).
\(x^{2/3}\) में घात \(\frac{2}{3}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^{2/3}\), the power is \(\frac{2}{3}\), which is not an integer. Polynomial powers must be non-negative integers.
(12) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (12) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) में \(\frac{5}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) contains \(\frac{5}{x}\), whose power is (-1). So it is not a polynomial.
घात सबसे बड़ी चर-घात वाले अशून्य पद से तय होती है। यहाँ \(2t^4\) में सबसे बड़ी घात (4) है। / The degree is determined by the non-zero term with the highest power. Here \(2t^4\) has the highest power (4).
\(3z^4-z^2+8\) में (z) की घातें (4), (2) और (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं। / In \(3z^4-z^2+8\), the powers of (z) are (4), (2), and (0). All powers are valid.
इसमें \(5x^3\), \(-2x^2\), (7x) और (-1) चार पद हैं। पदों को चिन्ह सहित गिनें। / It has four terms: \(5x^3\), \(-2x^2\), (7x), and (-1). Count terms with their signs.
बहुपद की घात उसकी सबसे बड़ी चर-घात ही होती है। इसलिए घात (4) होगी। / The degree of a polynomial is its highest variable power. Therefore, the degree will be (4).
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होता है और \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक घात नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{2}\) is not an integer power. Hence it is not a polynomial.
C. क्योंकि (x^{1/3}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{1 / 3}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/3}\) की घात पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. The power in \(x^{1/3}\) is not an integer.
शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। (13) ऐसा स्थिर बहुपद है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). (13) is such a constant polynomial.
(a) को स्थिर मानने पर \(ax^2\) में (x) की घात (2) है। सभी (x) घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Treating (a) as a constant, \(ax^2\) has (x)-power (2). All powers of (x) are non-negative integers.
B. यह बहुपद है क्योंकि चर की घातें मान्य हैं/It is a polynomial because the variable powers are valid
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक स्वीकार्य होते हैं। यहाँ चर की घातें (2), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed. Here the powers of the variable are (2), (1), and (0).
\(x^{-2}\) की घात ऋणात्मक है इसलिए यह बहुपद नहीं है। (7) केवल स्थिर पद है और समस्या ऋणात्मक घात से है। / The power in \(x^{-2}\) is negative, so it is not a polynomial. (7) is only a constant term, and the issue is the negative power.
B. क्योंकि सभी (x)-घातें (0), (1), (2) हैं/Because all (x)-powers are (0), (1), (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x^0\) की घात (0) है और \(x^0=1\) माना जाता है। सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / The power in \(x^0\) is (0), and \(x^0=1\) is considered. All powers are non-negative integers.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^3+5x-2\) में घातें (3), (1) और (0) हैं। / A polynomial need not contain every power. \(x^3+5x-2\) has powers (3), (1), and (0).
C. चर की घातें ऋणात्मक हो सकती हैं/Powers of the variable can be negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं होतीं। घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Negative powers are not allowed in a polynomial. Powers must be zero or positive integers.
\(2x^4\) की घात (4), \(5x^2\) की घात (2), और (1) स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(2x^4\) is (4), the power of \(5x^2\) is (2), and the constant (1) is treated as degree (0).
(7x+3) में चर (x) है इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है। फिर भी घात (1) होने से यह बहुपद है। / (7x+3) contains the variable (x), so it is not a constant polynomial. Still, it is a polynomial because the power is (1).
\(\sqrt{x^2}\) को सामान्य रूप से बहुपद पद की तरह नहीं लिया जाता। कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो उसे बहुपद नहीं मानते। / \(\sqrt{x^2}\) is not treated as a polynomial term in the usual class (9) definition. If the variable is under a root, it is not considered a polynomial.
\(x^5-2x^2+6\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। इसलिए यह घात (5) का बहुपद है। / In \(x^5-2x^2+6\), all powers are valid and the highest power is (5). So it is a polynomial of degree (5).
केवल एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहते हैं। \(4x^7\) में केवल एक पद है। / A polynomial with only one term is called a monomial. \(4x^7\) has only one term.
\(x^2-9\) की घात (2) है और इसमें दो पद हैं। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है। / \(x^2-9\) has degree (2) and two terms. Therefore, it is a quadratic binomial.
\(x^{-4}\) की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं होतीं। / The power in \(x^{-4}\) is negative. Negative powers are not allowed in a polynomial.
\(x^3+2x\) में घातें (3) और (1) हैं। इसलिए यह बहुपद है और इसकी घात (3) है। / In \(x^3+2x\), the powers are (3) and (1). So it is a polynomial and its degree is (3).
किसी घात का पद गायब होना बहुपद बनने से नहीं रोकता। \(x^4+x^2+1\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A missing power does not stop an expression from being a polynomial. In \(x^4+x^2+1\), all present powers are valid.
B. शून्य या धनात्मक पूर्णांक/Zero or positive integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, the powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition.
ऋणात्मक स्थिर पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। \(x^2+3x-8\) की सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. All powers in \(x^2+3x-8\) are valid.
इसकी घात (3) है और इसमें चार पद हैं। इसलिए यह घन चार-पदी बहुपद है। / Its degree is (3) and it has four terms. Therefore, it is a cubic four-term polynomial.
\(x^5+2x^3-7\) में (x) की घातें (5), (3) और स्थिर पद के लिए (0) हैं। / In \(x^5+2x^3-7\), the powers of (x) are (5), (3), and (0) for the constant term.
दशमलव (2.5) भी वास्तविक गुणांक है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / The decimal (2.5) is also a real coefficient. All powers of the variable are non-negative integers.
B. क्योंकि इसमें \(\frac{1}{x}\) है जिसकी घात (-1) है/Because it has \(\frac{1}{x}\), whose power is (-1)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x}=x^{-1}\) होता है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). An expression with a negative power is not a polynomial.
A. \(x^2+1\) क्योंकि घातें (2) और (0) हैं/\(x^2+1\) because powers are (2) and (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+1\) में घातें (2) और (0) हैं जो मान्य हैं। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(x^2+1\), the powers are (2) and (0), which are valid. The other options contain invalid powers.
(x) के संदर्भ में (y) को गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
C. यह घन त्रिपदी बहुपद है/It is a cubic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
इसकी घात (3) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह घन त्रिपदी बहुपद है। / Its degree is (3) and it has three terms. Therefore, it is a cubic trinomial polynomial.
\(0x^5\) शून्य पद है इसलिए घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (2) है। / \(0x^5\) is a zero term, so it does not determine the degree. The highest non-zero power is (2).
बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती है। \(2^x\) में चर घात में है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / In a polynomial, the variable has fixed non-negative integer powers. In \(2^x\), the variable is in the exponent, so it is not a polynomial.
(a=0) रखने पर \(x^3\) वाला पद हट जाता है। शेष बहुपद (2x-1) की घात (1) है। / When (a=0), the \(x^3\) term disappears. The remaining polynomial (2x-1) has degree (1).
