Level 26 • 48/50 questions • 25 seconds per question.
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For which (k) will \(x^k+2x-5\) be a polynomial in (x)?
C. (k=4)
बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। (k=4) ही दी गई शर्त पूरी करता है। / In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer. Only (k=4) satisfies the condition.
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A. (3)
ठीक द्विघात के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k-3=0) से (k=3) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k-3=0), we get (k=3).
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If (a=0) in (p(x)=ax-5+3x-2-7), what will be the degree of (p(x))?
B. 2
जब \(a=0\) होता है, तब \(ax^5=0\) हो जाता है। इसलिए बहुपद \(p(x)=3x^2-7\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की घात 2 है। घात 5 केवल तब होती जब \(x^5\) का गुणांक शून्य न होता। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें। / When \(a=0\), the term \(ax^5\) becomes 0. Thus, \(p(x)=3x^2-7\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 2, so its degree is 2. Degree 5 would apply only if the coefficient of \(x^5\) were non-zero. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
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In which option is the expression not a polynomial although all coefficients are real?
D. \(6x^{-2}+8\)
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(x^{-2}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. Because of the negative power \(x^{-2}\), it is not a polynomial.
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If (q(x)=0x-7-5x-4+2x-1), what is the degree of (q(x))?
C. 4
बहुपद की घात उसके किसी भी अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 0x-7 का गुणांक 0 है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। शेष पदों में -5x-4 की घात सबसे अधिक 4 है, अतः सही उत्तर 4 है। 7 सबसे निकट का भ्रामक विकल्प है, लेकिन शून्य गुणांक वाले पद को नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent among terms with non-zero coefficients. Here, the coefficient of 0x-7 is 0, so this term does not contribute to the degree. Among the remaining terms, -5x-4 has the greatest exponent, 4. Hence, the correct answer is 4. Option 7 is a close distractor, but a term with zero coefficient is not counted. Exam tip: First ignore all terms whose coefficients are zero before finding the degree.
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For which (n) will \(4x^n+3x^2-1\) not be a polynomial?
D. \(n=-2\)
बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती हैं। \(n=-2\) रखने पर व्यंजक में \(4x^{-2}=\frac{4}{x^2}\) पद आएगा, जिसमें \(x\) हर में है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। इसके विपरीत \(n=0\) पर \(4x^0=4\) एक अचर पद बनता है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद में ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही उसे बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponents of the variable must be non-negative integers. For \(n=-2\), the expression contains \(4x^{-2}=\frac{4}{x^2}\), so the variable occurs in the denominator; hence it is not a polynomial. In contrast, when \(n=0\), \(4x^0=4\) is a constant term, so the expression remains a polynomial. Exam tip: a negative or fractional exponent means the expression is not a polynomial.
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Which expression is a polynomial in (t) and has degree (0)?
B. 13
13 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, क्योंकि इसमें t का कोई पद नहीं है। प्रत्येक अशून्य स्थिर बहुपद की घात 0 होती है। 0 को शून्य बहुपद कहते हैं और उसकी घात सामान्यतः परिभाषित नहीं मानी जाती, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। t+13 तथा t-0+t = 1+t दोनों की घात 1 है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर और अशून्य संख्या वाले बहुपद की घात हमेशा 0 होती है। / 13 is a non-zero constant polynomial because it has no term involving t. Every non-zero constant polynomial has degree 0. The zero polynomial 0 is usually treated as having an undefined degree, so it is not the correct choice. Both t+13 and t-0+t = 1+t have degree 1. Exam tip: the degree of a non-zero constant polynomial is always 0.
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Why is \(x^2+\sqrt{x^2}+1\) not treated as a polynomial under the usual class (9) definition?
B. क्योंकि चर मूल के अंदर हैBecause the variable is under a root
कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो घात पूर्णांक रूप में मान्य नहीं मानी जाती। इसलिए इसे बहुपद नहीं माना जाता। / In class (9), when the variable is under a root, the power is not treated as a valid integer power. So it is not considered a polynomial.
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Which expression is a polynomial in (x), but both \(x^3\) and (x) terms are absent?
A. \(x^4+5x^2-6\)
\(x^4+5x^2-6\) एक बहुपद है क्योंकि इसमें \(x\) की घातें \(4, 2\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। इसमें \(x^3\) और \(x\) के पद नहीं हैं, फिर भी किसी बहुपद में प्रत्येक घात का पद होना आवश्यक नहीं होता। विकल्प B में \(x^3\) पद है, विकल्प C में \(x\) पद है, जबकि विकल्प D में ऋणात्मक घात होने के कारण वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सभी घातें अशून्य पूर्णांक होनी चाहिए। / \(x^4+5x^2-6\) is a polynomial because the powers of \(x\) present are \(4, 2\), and \(0\), all of which are non-negative integers. It has no \(x^3\) or \(x\) term; a polynomial does not need to include every intermediate power. Option B contains an \(x^3\) term, option C contains an \(x\) term, and option D is not a polynomial because it has a negative exponent. Exam tip: in a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer.
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Which statement is correct for the zero polynomial?
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होतीIts degree is not defined
शून्य बहुपद (0) होता है, लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। शून्य और अशून्य स्थिर बहुपद में अंतर रखें। / The zero polynomial is (0), but its degree is not defined. Keep zero and non-zero constant polynomials separate.
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If (a=2) in (p(x)=(a-2)x-4+5x-2-3), what will be the degree of (p(x))?
C. 2
जब \(a=2\) रखा जाता है, तब \(x^4\) का गुणांक \(a-2=0\) हो जाता है। अतः \(x^4\) वाला पद समाप्त हो जाता है और बहुपद \(5x^2-3\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए बहुपद की घात 2 है। विकल्प 4 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य होने पर \(x^4\) पद नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हमेशा हटा दें। / On substituting \(a=2\), the coefficient of \(x^4\) becomes \(a-2=0\). Hence, the \(x^4\) term vanishes and the polynomial becomes \(5x^2-3\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 2, so its degree is 2. Option 4 is incorrect because a term with zero coefficient is not counted. Exam tip: Always simplify a polynomial and remove zero-coefficient terms before finding its degree.
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Which option gives both the correct identification and degree of the polynomial?
C. \(3x^5-2x^2+7\), बहुपद, घात (5)\(3x^5-2x^2+7\), polynomial, degree (5)
\(3x^5-2x^2+7\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(3x^5-2x^2+7\), all powers are valid and the highest power is (5). The other options have invalid powers.
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Which expression is not a polynomial because the variable is hidden in the denominator?
B. \(\frac{x^2+4}{x}\)
\(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) में \(\frac{4}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) contains \(\frac{4}{x}\), whose power is (-1). Hence it is not a polynomial.
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What is the correct identification of \(2x^6-4x^4+x^2-9\)?
B. घात (6) का चार-पदी बहुपदFour-term polynomial of degree (6)
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। इसलिए यह घात (6) का चार-पदी बहुपद है। / It has four terms and the highest power is (6). Therefore, it is a four-term polynomial of degree (6).
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Which expression is a polynomial in (x), if (a) and (b) are constants?
A. \(ax^3+bx+9\)
विकल्प A में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए \(ax^3+bx+9\), \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(x^{-1}\) की ऋणात्मक घात है। विकल्प C में \(\frac{a}{x^2}=ax^{-2}\) है, इसलिए इसमें भी ऋणात्मक घात है। विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,3,\ldots\) में से होनी चाहिए। / In option A, the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so \(ax^3+bx+9\) is a polynomial in \(x\). Option B contains the negative exponent \(x^{-1}\). In option C, \(\frac{a}{x^2}=ax^{-2}\), which also has a negative exponent. Option D contains \(\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}\), a fractional exponent. Exam tip: every exponent of the variable in a polynomial must be one of \(0,1,2,3,\ldots\).
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If the degree of (r(x)=kx-3+2x-2+1) is (2), what is correct about (k)?
C. k=0
बहुपद की घात उसके उस उच्चतम घातांक वाले पद से निर्धारित होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ यदि k शून्य के अलावा कोई अन्य मान हो, तो kx³ पद उपस्थित रहेगा और बहुपद की घात 3 होगी। घात 2 बनाने के लिए x³ वाला पद समाप्त होना चाहिए, इसलिए k=0 है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात वाले पद के गुणांक को पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is determined by the highest-power term whose coefficient is non-zero. Here, if k has any non-zero value, the term kx³ remains and the polynomial has degree 3. To make the degree 2, the x³ term must vanish; hence k=0. Exam tip: In parameter-based polynomials, check the coefficient of the highest-power term first.
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Which expression is not a polynomial because its power is not an integer?
C. (x^{52}+3x)
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
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Which expression is a polynomial with only odd powers along with a constant term?
A. \(x^5-2x^3+7x-4\)
\(x^5-2x^3+7x-4\) में \(x\) की घातें \(5,3\) और \(1\) हैं, जो सभी विषम धनात्मक पूर्णांक हैं, तथा \(-4\) स्थिर पद है। अतः यह दिया गया बहुपद है। विकल्प B भी बहुपद है, पर उसमें \(4\) और \(2\) सम घातें हैं। विकल्प C में ऋणात्मक घात है और विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) भिन्नात्मक घात है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल ऋणेतर पूर्णांक होती हैं। / In \(x^5-2x^3+7x-4\), the powers of \(x\) are \(5,3\), and \(1\), all of which are odd positive integers, and \(-4\) is a constant term. Therefore, it satisfies the given condition. Option B is also a polynomial, but it contains the even powers \(4\) and \(2\). Option C has a negative exponent, while option D has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: variable exponents in a polynomial must be non-negative integers.
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What is the degree of \(0x^4+0x^2+6\)?
C. (0)
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और बहुपद (6) बचता है। अशून्य स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / Terms with zero coefficients disappear and the polynomial (6) remains. A non-zero constant polynomial has degree (0).
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Which expression is not a polynomial because the variable's power depends on the variable?
B. \(3^x+x^2\)
\(3^x\) में चर घात में है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(3^x\), the variable is in the exponent. In a polynomial, variable powers must be fixed non-negative integers.
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Which option gives the correct conclusion from the definition of a polynomial?
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों तो व्यंजक बहुपद हो सकता हैAn expression can be a polynomial if variable powers are non-negative integers
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर है। गुणांक वास्तविक हो सकते हैं लेकिन घातें भी मान्य होनी चाहिए। / The main condition of a polynomial is about powers of the variable. Coefficients may be real, but powers must also be valid.
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Which term determines the degree in (p(x)=x-8+x-5+x-2+1)?
D. \(x^8\)
बहुपद की घात उसके अशून्य पदों में चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है। दिए गए बहुपद में \(x^8\), \(x^5\), \(x^2\) और 1 हैं; इनमें \(x^8\) की घात 8 सबसे बड़ी है। इसलिए \(x^8\) घात तय करने वाला पद है। \(x^5\) निकटतम विकल्प है, पर उसकी घात 5 है, जो 8 से कम है। परीक्षा टिप: बहुपद के प्रत्येक पद की घात देखकर सबसे बड़ी घात चुनें; स्थिरांक की घात 0 होती है। / The degree of a polynomial is determined by the non-zero term having the greatest power of the variable. The given polynomial has \(x^8\), \(x^5\), \(x^2\), and 1; the highest power is 8 in \(x^8\). Hence, \(x^8\) determines the degree. Although \(x^5\) is the closest distractor, its power is only 5. Exam tip: compare the powers of the variable in all terms; a non-zero constant has degree 0.
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Which expression is not a polynomial in (x), even though some terms look simple after expansion?
C. \(x+\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{1}{x+1}\) में चर हर में है और यह बहुपद पद नहीं है। बहुपद में चर हर में नहीं होना चाहिए। / \(\frac{1}{x+1}\) has the variable in the denominator and is not a polynomial term. A polynomial must not have the variable in the denominator.
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If (p(x)=(m+1)x-3+(m-2)x-2+5) has degree (2), what is the value of (m)?
A. (m=-1)
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (m=-1) पर ऐसा होता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be (0) and the coefficient of \(x^2\) non-zero. This happens at (m=-1).
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Which statement is correct about \(x^2+\frac{2}{3}x-\sqrt{7}\)?
C. यह बहुपद है और घात (2) हैIt is a polynomial and degree (2)
भिन्न और अपरिमेय वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य हैं। सबसे बड़ी (x)-घात (2) है। / Fractional and irrational real coefficients are allowed in a polynomial. The highest (x)-power is (2).
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Which expression is a polynomial in (u) but keeps (x) like a coefficient?
A. \(xu^3-4u+2\)
(u) के संदर्भ में (x) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (u) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (u), (x) can be treated like a coefficient. The powers of (u) are (3), (1), and (0).
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For which (a) will ((a-3)x-2+4x-1) become a linear polynomial?
B. \(a=3\)
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। यहाँ \(x^2\) का गुणांक \(a-3\) है। अतः \(a-3=0\) से \(a=3\) मिलता है। \(a=0\) या \(a=4\) रखने पर \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होता, इसलिए बहुपद द्विघात ही रहेगा। परीक्षा टिप: बहुपद की घात घटाने के लिए उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1, so the coefficient of \(x^2\) must be zero. Here, the coefficient of \(x^2\) is \(a-3\). Thus, \(a-3=0\) gives \(a=3\). For values such as \(a=0\) or \(a=4\), the \(x^2\) coefficient is non-zero, so the polynomial remains quadratic. Exam tip: To reduce the degree of a polynomial, set the coefficient of its highest-power term to zero.
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What is the degree of \(7x^4-2x^2+3x^0\)?
C. 4
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2 और 0 हैं; क्योंकि \(x^0=1\), इसलिए \(3x^0=3\) एक स्थिर पद है। अतः सबसे बड़ी घात 4 है। विकल्प 2 केवल \(-2x^2\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) को 1 मानकर स्थिर पद पहचानें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its terms with non-zero coefficients. Here the exponents are 4, 2, and 0; since \(x^0=1\), \(3x^0=3\) is a constant term. Therefore, the greatest exponent is 4. Option 2 is only the exponent of \(-2x^2\), not the degree of the entire polynomial. Exam tip: Treat \(x^0\) as 1 first, then identify the highest exponent.
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Which expression is not a polynomial because the variable has power \(\frac{1}{3}\)?
B. (x^{13}+x-2)
\(\frac{1}{3}\) पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / \(\frac{1}{3}\) is not an integer. In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
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If (p(x)=0x-3+0x+0), what polynomial is it?
C. शून्य बहुपदZero polynomial
यहाँ प्रत्येक पद का गुणांक 0 है, इसलिए \(p(x)=0\) सभी \(x\) के लिए है। अतः यह शून्य बहुपद है। \(0x^3\) दिखने पर भी इसे घन बहुपद नहीं कहेंगे, क्योंकि \(x^3\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें; शून्य बहुपद की घात सामान्यतः परिभाषित नहीं मानी जाती। / Every term has coefficient 0, so \(p(x)=0\) for every value of \(x\). Therefore, it is the zero polynomial. Although \(0x^3\) appears in the expression, it is not a cubic polynomial because the coefficient of \(x^3\) is zero. Exam tip: remove terms with zero coefficients before identifying the degree; the degree of the zero polynomial is generally considered undefined.
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Which expression has degree (3) but has no \(x^2\) term?
A. \(x^3-5x+6\)
\(x^3-5x+6\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद अनुपस्थित है। अनुपस्थित पद बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। / In \(x^3-5x+6\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. A missing term does not make a polynomial invalid.
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Which option correctly states the relation between a polynomial and an algebraic expression?
B. हर बहुपद एक बीजीय व्यंजक हैEvery polynomial is an algebraic expression
बहुपद बीजीय व्यंजक का विशेष प्रकार है। लेकिन हर बीजीय व्यंजक बहुपद नहीं होता। / A polynomial is a special type of algebraic expression. But every algebraic expression is not a polynomial.
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Why is \(x^4+\frac{1}{x^2}+x\) not a polynomial?
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक हैBecause \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) contains a negative exponent of \(x\)
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-2\) है। ऋणात्मक घात होने के कारण दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^4\) और \(x\) वैध बहुपदीय पद हैं तथा तीन पद होना भी कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), so \(x\) has exponent \(-2\). Since a negative exponent occurs, the expression is not a polynomial. Both \(x^4\) and \(x\) are valid polynomial terms, and an expression may have three terms. Exam tip: When a variable appears in a denominator, rewrite it using a negative exponent before checking whether it is a polynomial.
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If (p(x)=(k+2)x-5+(k-1)x-3+9) has degree (3), what is (k)?
A. (k=-2)
घात (3) के लिए \(x^5\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2), और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहता है। / For degree (3), the coefficient of \(x^5\) must be (0). From (k+2=0), (k=-2), and the \(x^3\) coefficient remains non-zero.
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Which expression is a quadratic binomial polynomial in (x)?
A. \(x^2-16\)
द्विघात का अर्थ घात (2) और द्विपदी का अर्थ दो पद है। \(x^2-16\) दोनों शर्तें पूरी करता है। / Quadratic means degree (2), and binomial means two terms. \(x^2-16\) satisfies both conditions.
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Which expression is a polynomial in (x) and has all non-zero variable powers even?
A. \(x^6-3x^4+2x^2-5\)
इसमें घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं और अशून्य चर-घातें सम हैं। / It has powers (6), (4), (2), and (0). All powers are valid and the non-zero variable powers are even.
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If (f(x)=cx-2+4x+1) has to become a non-zero constant polynomial, what is impossible?
C. (4x) पद को शून्य करनाMaking the (4x) term zero
(4x) का गुणांक (4) तय है और शून्य नहीं हो सकता। इसलिए यह व्यंजक स्थिर बहुपद नहीं बन सकता। / The coefficient of (4x) is fixed and cannot become zero. Therefore, this expression cannot become a constant polynomial.
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What are the number of terms and degree in \(2x^3+5x^2+x+7\)?
B. चार पद और घात 3Four terms and degree 3
बहुपद 2x-3+5x-2+x+7 के पद 2x-3, 5x-2, x और 7 हैं, इसलिए इसमें चार पद हैं। चर x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः बहुपद की घात 3 है। 7 स्थिर पद है; उसे घात मानना गलत है। परीक्षा टिप: पदों को + या − चिह्नों के आधार पर अलग-अलग गिनें और फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The terms of 2x-3+5x-2+x+7 are 2x-3, 5x-2, x, and 7, so it has four terms. The highest exponent of the variable x is 3; therefore, the degree of the polynomial is 3. The number 7 is a constant term, not the degree. Exam tip: Count terms separated by + or − signs, then identify the greatest exponent of the variable.
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Which expression is not a polynomial in (x) because the variable has another variable as exponent?
B. \(x^x+1\)
\(x^x\) में घात स्थिर पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^x\), the exponent is not a fixed integer. In a polynomial, the variable power must be a fixed non-negative integer.
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If (a=5) in (p(x)=2x-4+(a-5)x-2+3x-1), which statement is correct?
B. बहुपद की घात 4 रहेगीThe degree of the polynomial will remain 4
a=5 रखने पर (a-5)x-2 का गुणांक 0 हो जाता है, इसलिए x-2 पद हट जाता है। तब p(x)=2x-4+3x-1 प्राप्त होता है। इसमें x का सबसे बड़ा घातांक 4 है और उसका गुणांक 2 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की घात 4 रहती है। विकल्प A गलत है क्योंकि x-4 पद अभी भी उपस्थित है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय शून्य गुणांक वाले पद हटाने के बाद सबसे बड़ी घात देखें। / On substituting a=5, the coefficient of (a-5)x-2 becomes 0, so the x-2 term disappears. Thus, p(x)=2x-4+3x-1. The highest exponent of x with a non-zero coefficient is 4, so the degree remains 4. Option A is incorrect because the x-4 term is still present. Exam tip: remove terms with zero coefficients before identifying the highest power.
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What is the correct conclusion about \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\)?
B. यह 2 घात का बहुपद हैIt is a polynomial of degree 2
\(\sqrt{3}\) एक वास्तविक स्थिरांक है, इसलिए इसका होना व्यंजक को बहुपद होने से नहीं रोकता। \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है और उसका गुणांक \(1\) शून्य नहीं है। अतः यह 2 घात का बहुपद है। विकल्प A गलत है क्योंकि बहुपद के गुणांक अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी हो सकते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी गैर-शून्य घात देखें। / \(\sqrt{3}\) is a real constant, so its presence does not prevent the expression from being a polynomial. In \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\), the highest power of \(x\) is \(2\), and its coefficient, \(1\), is non-zero. Therefore, it is a polynomial of degree 2. Option A is incorrect because polynomial coefficients may be irrational real numbers. Exam tip: determine the degree from the highest non-zero exponent of the variable.
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In which option is the degree of the polynomial in (x) stated incorrectly?
D. \(x^4+x^2\) — घात \(2\)degree \(2\)
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घातांक होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(x^4+x^2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए इसकी घात \(4\) होगी, \(2\) नहीं। विकल्प C में \(9\) एक अशून्य अचर बहुपद है, जिसकी घात \(0\) होती है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखकर \(x\) की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. In \(x^4+x^2\), the greatest power of \(x\) is \(4\), so its degree is \(4\), not \(2\). In option C, \(9\) is a non-zero constant polynomial, whose degree is \(0\). Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest power of \(x\).
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Which expression is a polynomial in (x) and can include \(\pi\) as a coefficient?
A. \(\pi x^2-3x+1\)
\(\pi x^2-3x+1\) में \(x\) की घातें \(2,1,0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। \(\pi\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह बहुपद का गुणांक हो सकता है। विकल्प B में \(x\) की घात \(-2\) है, C में \(\sqrt{x}=x^{\tfrac12}\) है और D में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(\pi x^2-3x+1\), the powers of \(x\) are \(2,1,0\), all non-negative integers. Since \(\pi\) is a real number, it may be a coefficient of a polynomial. In B, the exponent of \(x\) is \(-2\); in C, \(\sqrt{x}=x^{\tfrac12}\); and in D, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). Hence, none of these is a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents can only be \(0,1,2,\ldots\).
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If (g(x)=0), why is it wrong to call it a constant polynomial of degree (0)?
B. क्योंकि (0) की घात परिभाषित नहीं होतीBecause the degree of (0) is not defined
(0) शून्य बहुपद है और उसकी घात परिभाषित नहीं होती। घात (0) केवल अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। / (0) is the zero polynomial and its degree is not defined. Degree (0) belongs to non-zero constant polynomials only.
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Which expression is not a polynomial in (x), although it has only two terms?
C. \(x^{-1}+8\)
दो पद होना बहुपद होने की गारंटी नहीं है। \(x^{-1}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having two terms does not guarantee being a polynomial. Due to the negative power \(x^{-1}\), it is not a polynomial.
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C. केवल \(7x^3-4x+1\) बहुपद है; \(x^{-2}+5\) में ऋणात्मक घात हैOnly \(7x^3-4x+1\) is a polynomial; \(x^{-2}+5\) has a negative exponent.
बहुपद में चर की प्रत्येक घात एक अऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात् 0 या धनात्मक पूर्णांक, होनी चाहिए। \(7x^3-4x+1\) में \(x\) की घातें 3, 1 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद है। लेकिन \(x^{-2}+5\) में \(x\) की घात \(-2\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। केवल वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले चर की सभी घातें जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer, that is, 0 or a positive integer. In \(7x^3-4x+1\), the exponents of \(x\) are 3, 1, and 0, so it is a polynomial. However, \(x^{-2}+5\) contains the exponent \(-2\), so it is not a polynomial. Having real coefficients alone is not sufficient. Exam tip: check all variable exponents before classifying an expression as a polynomial.
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After simplifying \(4x^2+3x+2x^2-3x+1\), what will be its degree?
C. 2
समान पदों को मिलाने पर \(4x^2+2x^2=6x^2\) और \(3x-3x=0\) मिलता है। अतः व्यंजक का सरल रूप \(6x^2+1\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की घात 2 होगी। घात 1 नहीं है, क्योंकि रैखिक पद कट गए हैं, लेकिन \(x^2\) वाला पद शेष है। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल रूप बनाइए, फिर शेष पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखिए। / Combining like terms gives \(4x^2+2x^2=6x^2\) and \(3x-3x=0\). Thus, the simplified expression is \(6x^2+1\). The highest power of \(x\) in it is 2, so the degree of the polynomial is 2. It is not 1 because the linear terms cancel, while the \(x^2\) term remains. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the highest exponent of the variable left in the polynomial.
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If (h(x)=kx-2+3x+2) is the zero polynomial, what is correct about (k)?
C. ऐसा कोई (k) संभव नहीं हैNo such (k) is possible
शून्य बहुपद में सभी गुणांक (0) होने चाहिए। (3x) और (2) के गुणांक शून्य नहीं हैं, इसलिए ऐसा (k) संभव नहीं। / In the zero polynomial, all coefficients must be (0). The coefficients of (3x) and (2) are not zero, so no such (k) is possible.
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