समान पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। यहाँ 9a-2b और -6a-2b समान पद हैं, इसलिए उनका योग 3a-2b है। इसी प्रकार -4ab-2 और 11ab-2 का योग 7ab-2 है। अतः सरल रूप 3a-2b+7ab-2 है। विकल्प A में a-2b के गुणांकों का गलत योग किया गया है। परीक्षा टिप: पदों को मिलाने से पहले उनके अक्षर और प्रत्येक अक्षर की घात समान होने की जाँच करें। / Only like terms can be added or subtracted. Here, 9a-2b and -6a-2b are like terms, so they give 3a-2b. Similarly, -4ab-2 and 11ab-2 give 7ab-2. Hence, the simplified expression is 3a-2b+7ab-2. Option A results from adding the coefficients of a-2b incorrectly. Exam tip: Before combining terms, check that both the variables and their exponents are identical.
displaystyle (2k+1)x-4x=[(2k+1)-4]x=(2k-3)x। यह सरल रूप 9x है, इसलिए x का गुणांक समान होगा: 2k-3=9। अतः 2k=12 और k=6। विकल्प 5 लेने पर गुणांक 7 मिलता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: समान चर वाले पदों को जोड़ते या घटाते समय केवल उनके गुणांकों पर संक्रिया करें। / displaystyle (2k+1)x-4x=[(2k+1)-4]x=(2k-3)x. Since its simplified form is 9x, the coefficients of x must be equal: 2k-3=9. Thus, 2k=12 and k=6. For example, choosing 5 gives coefficient 7, not 9. Exam tip: while combining like terms, add or subtract their coefficients only.
पहले कोष्ठक खोलें: 5(2p-3q)=10p-15q और -3(p+4q)=-3p-12q। इसलिए पूरी व्यंजक 10p-15q-3p-12q+2q बनती है। समान पदों को मिलाने पर (10p-3p)+(−15q−12q+2q)=7p−25q मिलता है। अतः सही उत्तर A है। ध्यान रखें कि ऋण चिह्न के साथ कोष्ठक खोलते समय प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है। / Expand the brackets: 5(2p-3q)=10p-15q and -3(p+4q)=-3p-12q. Thus, the expression becomes 10p-15q-3p-12q+2q. Combining like terms gives (10p-3p)+(−15q−12q+2q)=7p−25q. Therefore, option A is correct. Remember that the minus sign before 3(p+4q) affects both terms inside the bracket.
दिया है: \(m=-1\) और \(n=4\)। इसलिए \(m^2=(-1)^2=1\) तथा \(n^2=4^2=16\)। अब \(3m^2n=3\times1\times4=12\) और \(-2mn^2=-2\times(-1)\times16=32\)। अतः कुल मान \(12+32=44\) है। विकल्प 32 केवल दूसरे पद का मान है, पूरे व्यंजक का नहीं। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न वाले चर का वर्ग करने पर परिणाम धनात्मक होता है। / Given \(m=-1\) and \(n=4\), we have \(m^2=(-1)^2=1\) and \(n^2=4^2=16\). Thus, \(3m^2n=3\times1\times4=12\), while \(-2mn^2=-2\times(-1)\times16=32\). Therefore, the value of the expression is \(12+32=44\). Option 32 is only the value of the second term, not of the complete expression. Exam tip: squaring a negative number gives a positive result.
समान पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। यहाँ x-2y वाले पद 7x-2y और -9x-2y हैं, इसलिए उनका योग (7-9)x-2y=-2x-2y है। अतः x-2y का गुणांक -2 है। 3xy-2 और 5xy-2, x-2y के समान पद नहीं हैं; उनका योग 8xy-2 होगा। परीक्षा टिप: समान पद पहचानने के लिए चरों और उनके घातों का क्रम समान होना चाहिए। / Only like terms can be added or subtracted. The terms containing x-2y are 7x-2y and -9x-2y, so their sum is (7-9)x-2y=-2x-2y. Therefore, the coefficient of x-2y is -2. The terms 3xy-2 and 5xy-2 are not like x-2y; they add to 8xy-2 instead. Exam tip: like terms must have the same variables raised to the same powers.
सबसे पहले अंदर वाले कोष्ठक को सरल करें: \(3x-(5x-8)=3x-5x+8=-2x+8\)। अब \(6x-(-2x+8)=6x+2x-8=8x-8\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प \(8x-8\) है। \(8x+8\) में अंतिम \(+8\) का चिह्न गलत होगा, क्योंकि बाहरी ऋण चिह्न कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न बदल देता है। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो तो उसके अंदर के सभी पदों के चिह्न बदलें। / First simplify the innermost bracket: \(3x-(5x-8)=3x-5x+8=-2x+8\). Then \(6x-(-2x+8)=6x+2x-8=8x-8\). Therefore, \(8x-8\) is the correct option. In \(8x+8\), the sign of the final constant is incorrect because the outer minus changes the sign of every term inside the bracket. Exam tip: When a bracket is preceded by a minus sign, change the signs of all terms inside it.
दिया है कि x=3 रखने पर व्यंजक का मान 9 है। अतः
\(k(3)^2-4(3)-6=9\), यानी \(9k-12-6=9\)। इसलिए \(9k-18=9\), जिससे \(9k=27\) और \(k=3\) प्राप्त होता है। विकल्प 1 लेने पर व्यंजक का मान 9 नहीं आएगा। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक का मान ज्ञात करते समय चर के दिए गए मान को हर पद में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / The expression has value 9 when x=3. Substituting gives \(k(3)^2-4(3)-6=9\), or \(9k-12-6=9\). Thus, \(9k-18=9\), so \(9k=27\) and \(k=3\). For example, if k=1, the expression does not evaluate to 9. Exam tip: Substitute the given value of the variable carefully into every term of the expression.
घटाने वाले कोष्ठक के चिन्ह बदलते हैं। सरल रूप \(3a^2-2ab+5b^2-2a^2-ab+4b^2=a^2-3ab+9b^2\) है। / Signs change in the subtracted bracket. The simplified form is \(3a^2-2ab+5b^2-2a^2-ab+4b^2=a^2-3ab+9b^2\).
दिया है कि \(a+b=8\) और \(ab=12\)। इन्हें व्यंजक \(4(a+b)-ab\) में रखने पर \(4\times 8-12=32-12=20\) प्राप्त होता है। इसलिए सही उत्तर 20 है। 32 केवल \(4(a+b)\) का मान है; उसमें से \(ab\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: दिए गए संयुक्त पदों, जैसे \(a+b\) और \(ab\), को सीधे प्रतिस्थापित करें। / Given \(a+b=8\) and \(ab=12\), substitute these values into \(4(a+b)-ab\): \(4\times 8-12=32-12=20\). Hence, the correct answer is 20. The value 32 is only \(4(a+b)\); subtracting \(ab\) is still necessary. Exam tip: substitute the given combined expressions such as \(a+b\) and \(ab\) directly.
वितरण गुण का प्रयोग करें: \(4r(r-1)=4r^2-4r\)। साथ ही, \(-3r(2-r)=-6r+3r^2\) क्योंकि \(-3r\times(-r)=+3r^2\)। अब समान पदों को मिलाने पर \(4r^2+3r^2-4r-6r=7r^2-10r\) मिलता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में \(r\) वाले पदों का योग गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न वाले गुणन में प्रत्येक पद का चिह्न अलग से जाँचें। / Apply the distributive property: \(4r(r-1)=4r^2-4r\). Also, \(-3r(2-r)=-6r+3r^2\), since \(-3r\times(-r)=+3r^2\). Combining like terms gives \(4r^2+3r^2-4r-6r=7r^2-10r\). Therefore, option A is correct. In option C, the linear terms have been combined incorrectly. Exam tip: when expanding an expression with a negative sign, check the sign of every product separately.
समान पदों को मिलाने पर, \(8p^2q-5p^2q=3p^2q\) और \(-3pq+6pq=3pq\) मिलता है। अतः व्यंजक का सरल रूप \(3p^2q+3pq+4\) है, जिसमें \(3p^2q\), \(3pq\) और \(4\)—कुल 3 पद हैं। 2 पद मानना गलत होगा, क्योंकि स्थिर पद \(4\) भी एक अलग पद है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। / Combining like terms gives \(8p^2q-5p^2q=3p^2q\) and \(-3pq+6pq=3pq\). Thus, the simplified expression is \(3p^2q+3pq+4\), which has 3 terms: \(3p^2q\), \(3pq\), and \(4\). Choosing 2 would be incorrect because the constant \(4\) is also a separate term. Exam tip: Combine only terms with exactly the same variables and exponents.
u-3v-2 में u का घातांक 3 और v का घातांक 2 है, इसलिए सही विकल्प B है। विकल्प A में घातांक उलटे हैं: u का 2 तथा v का 3 है। परीक्षा में प्रत्येक चर के ठीक ऊपर लिखे घातांक को अलग-अलग पढ़ें। / In u-3v-2, the exponent of u is 3 and the exponent of v is 2, so option B is correct. In option A, the exponents are reversed: u has exponent 2 and v has exponent 3. Exam tip: read the exponent written on each variable separately.
दिए गए मान रखने पर, \(x^2y=(-3)^2\times2=9\times2=18\) तथा \(xy^2=(-3)\times2^2=(-3)\times4=-12\)। अतः \(x^2y+xy^2=18+(-12)=6\)। विकल्प \(-6\) तब मिल सकता है जब ऋणात्मक पद के चिह्न को गलत ढंग से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का वर्ग करने के लिए उसे कोष्ठक में लिखें, जैसे \((-3)^2=9\)। / Substituting the given values, \(x^2y=(-3)^2\times2=9\times2=18\) and \(xy^2=(-3)\times2^2=(-3)\times4=-12\). Hence, \(x^2y+xy^2=18+(-12)=6\). The distractor \(-6\) may result from handling the sign of the negative term incorrectly. Exam tip: write a negative number in brackets before squaring it; \((-3)^2=9\).
बहुपदों को जोड़ते समय केवल समान घात वाले पद जोड़े जाते हैं: \(7x^2+(-3x^2)=4x^2\), \(-4x+8x=4x\), तथा \(9+(-2)=7\)। इसलिए योग \(4x^2+4x+7\) है। विकल्प C में \(x\) वाले पदों का योग गलत लिया गया है। परीक्षा टिप: जोड़ने से पहले समान घात वाले पदों को एक साथ लिखें। / While adding polynomials, combine only like terms: \(7x^2+(-3x^2)=4x^2\), \(-4x+8x=4x\), and \(9+(-2)=7\). Therefore, the sum is \(4x^2+4x+7\). Option C incorrectly adds the linear terms. Exam tip: group terms with the same power of the variable before adding.
दिया है: \(5x-3=22\)। दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर \(5x=25\), अतः \(x=5\)। अब \(x^2+2x=5^2+2(5)=25+10=35\)। इसलिए सही उत्तर 35 है। 30 प्राप्त हो सकता है यदि \(x^2\) का मान गलत लिया जाए। परीक्षा टिप: पहले रैखिक समीकरण से चर का मान ज्ञात करें, फिर उसे व्यंजक में सावधानी से प्रतिस्थापित करें। / Given \(5x-3=22\), add 3 to both sides to get \(5x=25\), so \(x=5\). Now substitute in the expression: \(x^2+2x=5^2+2(5)=25+10=35\). Hence, 35 is the correct answer. The value 30 may result from incorrectly evaluating \(x^2\). Exam tip: first find the value of the variable from the equation, then substitute it carefully into the expression.
समान पदों में चर और प्रत्येक चर की घात बिल्कुल समान होती है; केवल गुणांक अलग हो सकता है। \(-3m^2n^4\) में चर भाग \(m^2n^4\) है, इसलिए यह \(8m^2n^4\) का समान पद है। \(5m^4n^2\) में \(m\) और \(n\) की घातें बदल गई हैं, इसलिए वह समान पद नहीं है। परीक्षा टिप: गुणांकों को छोड़कर चर भाग और उनकी घातों की तुलना करें। / Like terms have exactly the same variables raised to the same powers; only their coefficients may differ. In \(-3m^2n^4\), the variable part is \(m^2n^4\), so it is a like term of \(8m^2n^4\). In \(5m^4n^2\), the powers of \(m\) and \(n\) are different, so it is not a like term. Exam tip: Ignore the coefficients and compare the variables and their exponents.
दूसरे कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न है, इसलिए उसे हटाने पर उसके सभी पदों के चिह्न बदलेंगे: \(6x^2-4xy+y^2-2x^2-5xy+3y^2\)। अब समान पदों को मिलाने पर \((6-2)x^2=4x^2\), \((-4-5)xy=-9xy\) और \((1+3)y^2=4y^2\) मिलता है। अतः सही उत्तर \(4x^2-9xy+4y^2\) है। विकल्प D में \(y^2\) पद का चिह्न गलत रखा गया है। परीक्षा टिप: किसी कोष्ठक के बाहर घटाव हो तो पहले भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / A minus sign precedes the second bracket, so the sign of every term inside it changes: \(6x^2-4xy+y^2-2x^2-5xy+3y^2\). Combining like terms gives \((6-2)x^2=4x^2\), \((-4-5)xy=-9xy\), and \((1+3)y^2=4y^2\). Hence, the simplified expression is \(4x^2-9xy+4y^2\). In option D, the sign of the \(y^2\) term is incorrect. Exam tip: when subtracting a bracket, change the sign of every term in that bracket before combining like terms.
बहुपद में x-2 वाला पद -7x-2 है। किसी पद में चर के साथ गुणा होने वाली संख्या उसका गुणांक कहलाती है, इसलिए x-2 का गुणांक -7 है। 4, 2 और -11 क्रमशः x-3, x और अचर पद से जुड़े हैं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए घात वाला पद पहचानें, फिर उसके संख्यात्मक गुणांक को लिखें। / The term containing x-2 is -7x-2. The numerical factor multiplying the variable part is called its coefficient, so the coefficient of x-2 is -7. Here, 4, 2, and -11 belong respectively to the x-3 term, the x term, and the constant term. Exam tip: identify the term with the required power first, then write its numerical coefficient.
व्यंजक को खोलने पर मिलता है: \(2(5x+3y)-7(x-y)+4x=10x+6y-7x+7y+4x\)। अब \(x\) वाले पदों को मिलाने पर \(10x-7x+4x=7x\) मिलता है। अतः \(x\) का गुणांक \(7\) है। \(11\) पाने की गलती तब होती है जब \(-7(x-y)\) में \(x\) के साथ ऋण चिह्न को सही ढंग से नहीं लिया जाता। परीक्षा टिप: कोष्ठक के बाहर ऋण चिह्न हो तो प्रत्येक पद का चिह्न बदलें। / Expanding the expression gives \(2(5x+3y)-7(x-y)+4x=10x+6y-7x+7y+4x\). Combining the \(x\)-terms, \(10x-7x+4x=7x\). Therefore, the coefficient of \(x\) is \(7\). The distractor \(11\) can result from mishandling the negative sign in \(-7(x-y)\). Exam tip: when a negative sign is outside parentheses, distribute it to every term inside.
\(x^3y^4\) में चर \(x\) और \(y\) की घातें क्रमशः 3 और 4 हैं। अतः इसकी कुल घात \(3+4=7\) है, इसलिए विकल्प A सही है। \(x^2y^4\) की कुल घात 6 है; इसी प्रकार \(x^5y\) और \(xy^5\) की कुल घात भी 6 है। परीक्षा में बहुचर एकपद की कुल घात ज्ञात करने के लिए सभी चरों की घातों को जोड़ें। / In \(x^3y^4\), the powers of \(x\) and \(y\) are 3 and 4 respectively. Therefore, its total degree is \(3+4=7\), so option A is correct. \(x^2y^4\) has total degree 6; similarly, \(x^5y\) and \(xy^5\) also have total degree 6. Exam tip: for a multivariable monomial, add the exponents of all variables to find its total degree.
बहुपद में \(x\) की प्रत्येक घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। \(7x^4-3x+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए यह 4 घात का बहुपद है। विकल्प B में सबसे बड़ी घात 5 है। विकल्प C में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) और विकल्प D में \(x^{-1}\) पद आता है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: पहले जाँचें कि सभी घातें अशून्य ऋणात्मक या भिन्नात्मक नहीं हैं, फिर सबसे बड़ी घात से डिग्री ज्ञात करें। / In a polynomial, every exponent of \(x\) must be a non-negative integer. In \(7x^4-3x+2\), the highest exponent is 4, so it is a polynomial of degree 4. Option B has highest exponent 5. Option C contains \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and option D contains an \(x^{-1}\) term, so neither is a polynomial. Exam tip: first check that all exponents are non-negative integers, then use the highest exponent to find the degree.
समान पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। \(9u^2v\) और \(3u^2v\) समान पद हैं, इसलिए उनका योग \(12u^2v\) है। इसी प्रकार, \(-5uv+8uv=3uv\) तथा स्थिर पद \(-10\) अपरिवर्तित रहता है। अतः सरल रूप \(12u^2v+3uv-10\) है। विकल्प A में \(uv\) वाले पदों के गुणांकों को गलत जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: पदों को मिलाने से पहले उनके अक्षर तथा घातें पूरी तरह समान हैं या नहीं, अवश्य जाँचें। / Only like terms can be combined. The terms \(9u^2v\) and \(3u^2v\) are like terms, so their sum is \(12u^2v\). Similarly, \(-5uv+8uv=3uv\), while the constant term \(-10\) remains unchanged. Therefore, the simplified expression is \(12u^2v+3uv-10\). In option A, the coefficients of the \(uv\) terms have been combined incorrectly. Exam tip: before combining terms, check that both the variables and their powers are exactly the same.
\(x=-4\) रखने पर \(x^3=(-4)^3=-64\) तथा \(x^2=(-4)^2=16\) होगा। इसलिए अंश \(-64-2(16)+8=-64-32+8=-88\) है। अब \(\frac{-88}{-4}=22\), अतः सही विकल्प B है। \(26\) जैसा उत्तर \(-2x^2\) में ऋण चिह्न या गणना को गलत लेने से आ सकता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या का वर्ग धनात्मक, जबकि घन ऋणात्मक होता है। / On substituting \(x=-4\), \(x^3=(-4)^3=-64\) and \(x^2=(-4)^2=16\). Hence the numerator is \(-64-2(16)+8=-64-32+8=-88\). Therefore, \(\frac{-88}{-4}=22\), so option B is correct. A value such as \(26\) can result from mishandling the negative sign in \(-2x^2\). Exam tip: the square of a negative number is positive, whereas its cube is negative.
योग करने के लिए समान घात वाले पदों को मिलाइए: \(3x^2-x^2=2x^2\), \(-2x+6x=4x\), और \(5-9=-4\)। इसलिए प्राप्त व्यंजक \(2x^2+4x-4\) है। विकल्प D में \(x^2\) के गुणांक गलत जोड़े गए हैं। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ते समय \(x^2\), \(x\) और अचर पदों को अलग-अलग जोड़ें। / Combine like terms while adding: \(3x^2-x^2=2x^2\), \(-2x+6x=4x\), and \(5-9=-4\). Hence, the resulting expression is \(2x^2+4x-4\). In option D, the coefficients of the \(x^2\) terms have been added incorrectly. Exam tip: add the \(x^2\), \(x\), and constant terms separately.
दूसरे बहुपद को घटाते समय उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \((12x^2-5x+4)-(7x^2-9x+10)=12x^2-5x+4-7x^2+9x-10\)। समान पदों को मिलाने पर \(5x^2+4x-6\) प्राप्त होता है। विकल्प C में \(-9x\) घटाने पर बनने वाला \(+9x\) सही ढंग से नहीं लिया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो तो भीतर के सभी चिह्न बदलें। / While subtracting the second polynomial, the sign of every term in it changes: \((12x^2-5x+4)-(7x^2-9x+10)=12x^2-5x+4-7x^2+9x-10\). Combining like terms gives \(5x^2+4x-6\). In option C, the \(-9x\) term has not been correctly changed to \(+9x\) during subtraction. Exam tip: when a minus sign precedes brackets, reverse every sign inside the brackets.
दिए गए मान रखने पर, \(a^3b=(-2)^3\times3=-24\), \(-2ab^2=-2\times(-2)\times3^2=36\), तथा \(b^3=3^3=27\)। अतः \(a^3b-2ab^2+b^3=-24+36+27=39\)। इसलिए सही उत्तर 39 है। \(-39\) का विकल्प सामान्यतः ऋण चिह्नों को गलत ढंग से लेने पर आता है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक संख्या की घात और प्रत्येक पद का चिह्न अलग-अलग जाँचें। / Substituting the given values, \(a^3b=(-2)^3\times3=-24\), \(-2ab^2=-2\times(-2)\times3^2=36\), and \(b^3=3^3=27\). Therefore, \(a^3b-2ab^2+b^3=-24+36+27=39\). Hence, 39 is correct. The option \(-39\) can result from handling the negative signs incorrectly. Exam tip: evaluate powers first and check the sign of every term separately.
कोष्ठक खोलने पर \(3(5x-2y)=15x-6y\) और \(-4(2x+y)=-8x-4y\) मिलता है। अतः पूरा व्यंजक \(15x-6y-8x-4y+6y\) है। समान पदों को मिलाने पर \(15x-8x=7x\) तथा \(-6y-4y+6y=-4y\), इसलिए सरल रूप \(7x-4y\) है। परीक्षा-युक्ति: ऋण चिह्न वाले गुणन में कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलना न भूलें। / On expanding, \(3(5x-2y)=15x-6y\) and \(-4(2x+y)=-8x-4y\). Thus the expression becomes \(15x-6y-8x-4y+6y\). Combining like terms gives \(15x-8x=7x\) and \(-6y-4y+6y=-4y\), so the simplified expression is \(7x-4y\). Exam tip: when multiplying a bracket by a negative number, apply the negative sign to every term inside the bracket.
व्यंजक में x वाला पद kx है, इसलिए x का गुणांक k है। दिया है कि x का गुणांक -11 है, अतः k=-11। इसलिए k+4=-11+4=-7। विकल्प -11 केवल k का मान है, k+4 का नहीं। परीक्षा टिप: किसी चर का गुणांक पहचानने के लिए उस चर वाले पद में उसके साथ गुणा हो रही संख्या या अक्षर देखें। / The term containing x is kx, so the coefficient of x is k. Given that the coefficient of x is -11, we get k=-11. Therefore, k+4=-11+4=-7. Option -11 is the value of k only, not of k+4. Exam tip: To identify a coefficient, look at the number or variable multiplying the given variable in its term.
\(y\) का वर्ग \(y^2\) होता है, इसलिए उसके 5 गुने का व्यंजक \(5y^2\) है। \(x\) के 3 गुने का व्यंजक \(3x\) है। दिए गए क्रम में अंतर लेने पर \(5y^2-3x\) प्राप्त होता है, इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प C में पदों का क्रम उलटने से अंतर का चिह्न बदल जाता है। परीक्षा टिप: “A और B का अंतर” को सामान्यतः \(A-B\) लिखें। / The square of \(y\) is \(y^2\), so five times its square is \(5y^2\). Three times \(x\) is \(3x\). Taking the difference in the stated order gives \(5y^2-3x\), so option A is correct. Option C reverses the order and therefore changes the sign of the difference. Exam tip: “the difference between A and B” is usually written as \(A-B\).
समान पदों को मिलाएँ: \(6x^2-4x^2=2x^2\), \(-7xy+2xy=-5xy\), और \(3y^2-5y^2=-2y^2\)। इसलिए सरल व्यंजक \(2x^2-5xy-2y^2\) है। विकल्प D में \(xy\) का गुणांक सही है, लेकिन \(y^2\) पद का चिह्न गलत है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों के गुणांकों को ही जोड़ें या घटाएँ। / Combine like terms: \(6x^2-4x^2=2x^2\), \(-7xy+2xy=-5xy\), and \(3y^2-5y^2=-2y^2\). Therefore, the simplified expression is \(2x^2-5xy-2y^2\). Option D has the correct \(xy\) coefficient but the wrong sign for the \(y^2\) term. Exam tip: add or subtract only terms with the same variables raised to the same powers.
A. दोनों पदों में चरों की घात समान नहीं है।/The exponents of the variables are not the same in both terms.
Explanation
Simple Explanation
समरूप पदों में वही चर और प्रत्येक चर की वही घात होनी चाहिए। यहाँ \(a\) की घात 2 और 1 है, जबकि \(b\) की घात 1 और 2 है। कुल घात दोनों की 3 है, फिर भी वे समरूप नहीं हैं। परीक्षा टिप: हर चर की घात अलग-अलग मिलाइए। / Like terms must have the same variables raised to the same respective powers. Here, the powers of \(a\) are 2 and 1, while those of \(b\) are 1 and 2. Their total degree is 3, but they are still unlike terms. Exam tip: compare each variable’s exponent separately.
वितरण नियम से \(x(6x-13)=x\cdot6x-x\cdot13=6x^2-13x\) होता है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(+13x\) मिलेगा, जबकि विकल्प C में दूसरा पद \(-78x\) होगा। परीक्षा टिप: गुणनखंडित व्यंजक जाँचने के लिए बाहरी पद को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा करें। / Using the distributive property, \(x(6x-13)=x\cdot6x-x\cdot13=6x^2-13x\). Hence, option A is correct. Option B gives \(+13x\), while option C gives \(-78x\) as the second term. Exam tip: To check a factored expression, multiply the outside factor by every term inside the bracket.
दूसरे बहुपद को घटाते समय उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \((7a^2-4ab+6b^2)-(3a^2-9ab+2b^2)=7a^2-4ab+6b^2-3a^2+9ab-2b^2\)। समान पदों को मिलाने पर \((7-3)a^2+(-4+9)ab+(6-2)b^2=4a^2+5ab+4b^2\) मिलता है। विकल्प C में \(-9ab\) का चिह्न बदलने की गलती है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न हो तो भीतर के सभी पदों के चिह्न बदलें। / While subtracting the second polynomial, the sign of every term in it changes: \((7a^2-4ab+6b^2)-(3a^2-9ab+2b^2)=7a^2-4ab+6b^2-3a^2+9ab-2b^2\). Combining like terms gives \((7-3)a^2+(-4+9)ab+(6-2)b^2=4a^2+5ab+4b^2\). Option C results from incorrectly retaining the negative sign of \(-9ab\). Exam tip: when a minus sign precedes brackets, reverse the signs of all terms inside the brackets.
व्यंजक \(4x^2+7x-9\) में \(-9\) स्थिर पद है, क्योंकि इसमें \(x\) नहीं है। \(-9\) हटाने पर \(4x^2+7x\) बचता है, जिसमें ठीक दो पद हैं और कोई स्थिर पद नहीं है। \(7x\) हटाने पर \(-9\) स्थिर पद बना रहेगा। परीक्षा टिप: जिस पद में कोई चर न हो, वही स्थिर पद होता है। / In \(4x^2+7x-9\), \(-9\) is the constant term because it has no \(x\). Removing \(-9\) leaves \(4x^2+7x\), which has exactly two terms and no constant term. If \(7x\) were removed, the constant term \(-9\) would still remain. Exam tip: A term without a variable is called a constant term.
\(4x^3-2x+7\) में तीन पद हैं: \(4x^3\), \(-2x\) और \(7\)। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह घात 3 का त्रिपद बहुपद है। विकल्प B में चार पद हैं, C की घात 2 है, और D में \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) होने के कारण वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या गिनें, फिर चर की सबसे बड़ी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात देखें। / \(4x^3-2x+7\) has three terms: \(4x^3\), \(-2x\), and \(7\). Its highest power of \(x\) is 3, so it is a trinomial polynomial of degree 3. Option B has four terms, C has degree 2, and D is not a polynomial because \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\). Exam tip: count the terms first, then check the highest non-negative integer exponent of the variable.
व्यंजक को खोलें: \(3(2x+y)=6x+3y\) और \(-5(x-2y)=-5x+10y\)। अतः \(6x+3y-5x+10y+2x=3x+13y\)। इसलिए विकल्प A सही है। \(13x+13y\) में \(x\) के पदों का गलत योग किया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक के पहले ऋण चिह्न या ऋण गुणांक हो तो भीतर के प्रत्येक पद का चिह्न ध्यान से बदलें। / Expand the brackets: \(3(2x+y)=6x+3y\) and \(-5(x-2y)=-5x+10y\). Therefore, \(6x+3y-5x+10y+2x=3x+13y\). Hence, option A is correct. In \(13x+13y\), the \(x\)-terms have been added incorrectly. Exam tip: When a bracket has a negative coefficient before it, apply the sign to every term inside the bracket.
एकपद \(x^4y^3\) की कुल घात चर घातों का योग होती है: \(4+3=7\)। इसमें \(x\) की घात \(4\) है, इसलिए अंतर \(7-4=3\) है। \(4\) केवल \(x\) की घात है, कुल घात नहीं। परीक्षा टिप: एकपद की कुल घात ज्ञात करने के लिए सभी चरों की घातों को जोड़ें। / The total degree of the monomial \(x^4y^3\) is the sum of the exponents: \(4+3=7\). The power of \(x\) is \(4\), so the difference is \(7-4=3\). Note that \(4\) is only the exponent of \(x\), not the total degree. Exam tip: To find the total degree of a monomial, add the exponents of all its variables.
दिया है कि \,\(x^2-2x=15\)। व्यंजक को \,\(2x^2-4x+7=2(x^2-2x)+7\) लिख सकते हैं। अतः इसका मान \,\(2\times15+7=37\) होगा। 30 विकल्प तब मिलता है जब स्थिर पद 7 को जोड़ना भूल जाएँ। परीक्षा टिप: दिए गए व्यंजक को पहचानने योग्य समूह \,\(x^2-2x\) के रूप में पहले लिखें। / Given \,\(x^2-2x=15\), rewrite the expression as \,\(2x^2-4x+7=2(x^2-2x)+7\). Therefore, its value is \,\(2\times15+7=37\). Option 30 would result from forgetting to add the constant term 7. Exam tip: first rewrite the expression to identify the given group \,\(x^2-2x\).
समान पदों को मिलाने पर \(6x^2y+9x^2y=15x^2y\) तथा \(-4xy+7xy=3xy\) मिलता है। अतः व्यंजक का सरल रूप \(15x^2y+3xy-12\) है, जिसमें \(11xy\) पद नहीं रहता। \(3xy\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, क्योंकि यह वास्तव में \(xy\) वाले पदों को जोड़ने पर बनता है। परीक्षा सुझाव: केवल उन्हीं पदों को जोड़ें जिनके चर और उनकी घातें समान हों। / Combining like terms gives \(6x^2y+9x^2y=15x^2y\) and \(-4xy+7xy=3xy\). Therefore, the simplified expression is \(15x^2y+3xy-12\), so the term \(11xy\) does not remain. \(3xy\) is a close distractor because it is actually obtained by adding the \(xy\) terms. Exam tip: combine only terms having the same variables with the same powers.
C. दोनों व्यंजकों के मान बराबर हैं/Both expressions have equal values
Explanation
Simple Explanation
पहला व्यंजक \,\(x^2y-xy^2\) में \,\(xy\) उभयनिष्ठ लेने पर \,\(xy(x-y)\) प्राप्त होता है, जो दूसरा व्यंजक ही है। दिए गए मानों के लिए पहला मान \,\(3^2\times2-3\times2^2=18-12=6\) है और दूसरा मान \,\(3\times2\times(3-2)=6\) है। इसलिए दोनों के मान बराबर हैं। शून्य वाला विकल्प गलत है, क्योंकि \,\(x-y=1\) है, शून्य नहीं। परीक्षा टिप: समान पदों में उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालकर व्यंजकों की समानता जल्दी जाँचें। / Factoring out the common factor \,\(xy\) from \,\(x^2y-xy^2\) gives \,\(xy(x-y)\), which is exactly the second expression. For the given values, the first expression is \,\(3^2\times2-3\times2^2=18-12=6\), while the second is \,\(3\times2\times(3-2)=6\). Hence, both values are equal. The zero option is incorrect because \,\(x-y=1\), not zero. Exam tip: Factor out the common term to compare algebraic expressions quickly.
समान पदों को मिलाइए: \(9x^2-2x^2=7x^2\), \(-5xy+8xy=3xy\) और \(4y^2-7y^2=-3y^2\)। इसलिए सरल रूप \(7x^2+3xy-3y^2\) है। विकल्प B में \(x^2\) और \(y^2\) के गुणांकों का गलत योग किया गया है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / Combine like terms: \(9x^2-2x^2=7x^2\), \(-5xy+8xy=3xy\), and \(4y^2-7y^2=-3y^2\). Therefore, the simplified expression is \(7x^2+3xy-3y^2\). In option B, the coefficients of the \(x^2\) and \(y^2\) terms have been combined incorrectly. Exam tip: add or subtract only terms with the same variables raised to the same powers.
