Level 28 • 50/50 questions • 40 seconds per question.
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Which of the following is a polynomial in (x)?
B. \(3x^2-5x+1\)
बहुपद में चर की घात पूर्ण अशून्य या शून्य संख्या होनी चाहिए। \(3x^2-5x+1\) में घातें (2), (1), और (0) हैं। / In a polynomial, powers of the variable must be whole numbers including zero. In \(3x^2-5x+1\), the powers are (2), (1), and (0).
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Which of the following is not a polynomial in (x)?
C. \(\frac{5}{x}+1\)
\(\frac{5}{x}\) में चर हर में है, अर्थात घात (-1) है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In \(\frac{5}{x}\), the variable is in the denominator, meaning the power is (-1). An expression with a negative power is not a polynomial.
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What type of powers should the variable have in a polynomial?
C. पूर्ण अशून्य या शून्य पूर्णांकNon-negative integers including zero
बहुपद में चर की घात (0,1,2,3) जैसी हो सकती है। भिन्न या ऋणात्मक घात बहुपद की परिभाषा में नहीं आती। / In a polynomial, powers can be like (0,1,2,3). Fractional or negative powers do not fit the definition of a polynomial.
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What is the highest power in the expression \(4x^3-2x+8\)?
C. 3
व्यंजक \(4x^3-2x+8\) में \(x\) की घातें क्रमशः 3, 1 और 0 हैं। इसलिए सबसे बड़ी घात 3 है। 8 एक अचर पद है, उसकी घात 0 मानी जाती है; इसलिए वह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(4x^3-2x+8\), the powers of \(x\) are 3, 1, and 0 respectively. Therefore, the highest power is 3. The number 8 is a constant term, whose power is taken as 0, so it is not the highest power. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the greatest power of its variable.
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What type of polynomial is (6x+11)?
A. रेखीय बहुपदLinear polynomial
व्यंजक \(6x+11\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए इसकी घात 1 है। घात 1 वाले बहुपद को रेखीय बहुपद कहते हैं। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए वह यहाँ सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(6x+11\), the highest power of \(x\) is \(1\), so its degree is 1. A polynomial of degree 1 is called a linear polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2, so it is not correct here. Exam tip: To identify the type of a polynomial, look for the greatest exponent of the variable.
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What type of polynomial is \(5x^2+2x-3\)?
B. द्विघात बहुपदQuadratic polynomial
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। व्यंजक \(5x^2+2x-3\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, जबकि स्थिर बहुपद में चर नहीं होता। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए पहले चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. In \(5x^2+2x-3\), the highest power of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, while a constant polynomial has no variable. Exam tip: To identify the type of a polynomial, first find the highest power of the variable.
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What type of polynomial is \(2x^3+x^2-7\)?
C. घन बहुपदCubic polynomial
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 3, 2 और 0 हैं तथा सबसे बड़ी घात 3 है। इसलिए यह घन (cubic) बहुपद है। द्विघात बहुपद की घात 2 होती है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार जानने के लिए पहले चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, the powers of the terms are 3, 2, and 0, so the highest power is 3. Therefore, it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has degree 2, so option B is not correct. Exam tip: To identify the type of a polynomial, first find the highest power of the variable.
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How will the expression (12) be considered?
D. नियतांक बहुपदConstant polynomial
(12) में कोई चर नहीं है, इसलिए यह नियतांक बहुपद है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / (12) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
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A. हाँ, यह शून्य बहुपद है।Yes, it is the zero polynomial.
हाँ, 0 को शून्य बहुपद कहते हैं और यह एक बहुपद है। किसी बहुपद में चर का होना आवश्यक नहीं है; स्थिरांक बहुपद, जैसे 5 और 0, भी बहुपद होते हैं। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: केवल शून्य स्थिरांक वाला बहुपद शून्य बहुपद कहलाता है। / Yes, 0 is called the zero polynomial, so it is a polynomial. A polynomial need not contain a variable; constant polynomials such as 5 and 0 are also polynomials. The degree of the zero polynomial is not defined, so option D is incorrect. Exam tip: A polynomial with constant term only 0 is called the zero polynomial.
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B. बहुपद में चर का घात ऋणात्मक नहीं हो सकता।
बहुपद में चर के घात 0, 1, 2 जैसे पूर्ण गैर-ऋणात्मक अंक होते हैं। यहाँ \(x^{-1}=1/x\) है, इसलिए व्यंजक में चर हर में आ जाता है और यह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: घात ऋणात्मक या भिन्न हो तो व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, exponents of variables must be non-negative integers such as 0, 1, or 2. Here, \(x^{-1}=1/x\), so the variable occurs in the denominator and the expression is not a polynomial. Exam tip: reject expressions with negative or fractional variable exponents.
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Which expression satisfies the definition of a polynomial?
B. \(x^2+4x+4\)
\(x^2+4x+4\) में \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में एक बहुपद है। \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात है, जबकि \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) और \(x^{-1}+5\) में ऋणात्मक घात है; इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(x^2+4x+4\), the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) has a fractional exponent, while \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) and \(x^{-1}+5\) contain negative exponents; therefore, they are not polynomials. Exam tip: variable exponents in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\).
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Why is \(x^{\frac{1}{2}}+3\) not a polynomial?
B. क्योंकि इसमें घात भिन्न हैBecause it has a fractional power
बहुपद में चर की घात भिन्न नहीं हो सकती। \(x^{\frac{1}{2}}\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। / In a polynomial, the power of the variable cannot be fractional. The power of \(x^{\frac{1}{2}}\) is \(\frac{1}{2}\).
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Why is \(x^{-3}+2\) not a polynomial?
A. क्योंकि x की घात ऋणात्मक है
बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। दिए गए व्यंजक में x की घात -3 है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। अचर पद 2 होना या दो पद होना बहुपद होने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या अपरिमेय घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer. In the given expression, the exponent of x is -3, so it is not a polynomial. Having a constant term such as 2 or having two terms does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: An expression is not a polynomial if a variable has a negative, fractional, or irrational exponent.
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What is the degree of the polynomial \(7x^4-3x^2+1\) in (x)?
D. 4
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 2, 3 और 1 क्रमशः अन्य संभावित घातें हैं, पर सबसे बड़ी घात नहीं हैं। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानी जाती है। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here, the exponents of x are 4, 2, and 0, and the greatest is 4. Therefore, the correct answer is 4. The values 1, 2, and 3 are not the highest exponent in this polynomial. Exam tip: A non-zero constant term has degree 0.
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Which expression is not a polynomial because the variable is in the denominator?
B. \(\frac{3}{x}+5\)
\(\frac{3}{x}\) में (x) हर में है, इसलिए यह \(x^{-1}\) जैसा है। ऋणात्मक घात बहुपद में स्वीकार नहीं होती। / In \(\frac{3}{x}\), (x) is in the denominator, so it is like \(x^{-1}\). Negative powers are not accepted in polynomials.
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How many terms are there in the polynomial \(2x^5+x-6\)?
C. 3
बहुपद में पदों को जोड़ (+) या घटाव (−) के चिह्न अलग करते हैं। यहाँ पद हैं: \(2x^5\), \(x\) और \(-6\)। अतः कुल 3 पद हैं। \(x\) की घात 1 होने से वह अलग पद है; घातों का योग या सबसे बड़ी घात पदों की संख्या नहीं बताती। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक + या − चिह्न के बाद वाले व्यंजक को अलग पद मानें। / In a polynomial, terms are separated by the plus (+) or minus (−) signs. Here the terms are \(2x^5\), \(x\), and \(-6\). Therefore, there are 3 terms. The exponent of \(x\) being 1 does not affect the number of terms; neither the sum nor the highest exponent gives the term count. Exam tip: Count each expression separated by a + or − sign as one term.
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In \(x^2+2x+1\), which term has the highest power?
A. \(x^2\)
सबसे बड़ी घात (2) है, जो \(x^2\) पद में है। डिग्री खोजते समय सबसे बड़ी घात देखें। / The highest power is (2), which is in the term \(x^2\). While finding degree, look at the highest power.
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Which of the following is a linear polynomial?
A. \(3x+4\)
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है। \(3x+4\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(x^2+1\) और \(x^3-2\) क्रमशः द्विघात और घन बहुपद हैं, जबकि \(5\) एक अचर बहुपद है। परीक्षा में बहुपद की घात पहचानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has degree 1. In \(3x+4\), the highest power of the variable \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. \(x^2+1\) and \(x^3-2\) are quadratic and cubic polynomials respectively, while \(5\) is a constant polynomial. In an exam, identify the highest power of the variable to determine the degree.
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Which of the following is a quadratic polynomial?
A. \(4x^2-1\)
\(4x^2-1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है और यह द्विघात बहुपद है। \(6x+1\) रैखिक बहुपद है, क्योंकि उसकी डिग्री 1 है; जबकि \(x^3-2\) घन बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(4x^2-1\), the highest power of \(x\) is 2. Hence, its degree is 2 and it is a quadratic polynomial. \(6x+1\) is linear because its degree is 1, while \(x^3-2\) is cubic. Exam tip: identify the type of a polynomial by checking the highest exponent of the variable.
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Which of the following is a cubic polynomial?
A. \(x^3-4x+2\)
त्रिघात बहुपद वह बहुपद होता है जिसकी घात 3 होती है। \(x^3-4x+2\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। विकल्प B की घात 2, विकल्प C की घात 1 और विकल्प D अचर बहुपद है। परीक्षा-युक्ति: बहुपद की घात पहचानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A cubic polynomial is a polynomial of degree 3. In \(x^3-4x+2\), the highest power of the variable \(x\) is 3, so it is a cubic polynomial. Option B has degree 2, option C has degree 1, and option D is a constant polynomial. Exam tip: Identify the degree of a polynomial by looking for the highest power of its variable.
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What is the expression \(2x^2+\sqrt{3}x+5\)?
A. बहुपदPolynomial
\(2x^2+\sqrt{3}x+5\), \(x\) में एक बहुपद है क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। \(\sqrt{3}\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह \(x\) का मान्य गुणांक हो सकता है। यह शून्य बहुपद नहीं है, क्योंकि इसके गुणांक सभी शून्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात \(0,1,2,\ldots\) ही होती है; गुणांक परिमेय या अपरिमेय हो सकते हैं। / \(2x^2+\sqrt{3}x+5\) is a polynomial in \(x\) because the exponents of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. \(\sqrt{3}\) is a real number, so it can be a valid coefficient of \(x\). It is not a zero polynomial because its coefficients are not all zero. Exam tip: In a polynomial, variable exponents can only be \(0,1,2,\ldots\), while coefficients may be rational or irrational.
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What is the expression \(\sqrt{x}+2x\)?
C. बहुपद नहींNot a polynomial
\(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) होता है, जिसमें चर की घात भिन्न है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), which has a fractional power of the variable. Therefore it is not a polynomial.
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What is the constant term in the polynomial \(9x^2\)?
C. 0
बहुपद \(9x^2\) में केवल \(x\) वाला पद है। नियतांक पद वह पद होता है जिसमें कोई चर नहीं होता। यहाँ ऐसा कोई अलग पद नहीं है, इसलिए उसका गुणांक/मान \(0\) माना जाता है। \(9\), \(x^2\) का गुणांक है, नियतांक पद नहीं। परीक्षा टिप: जिस पद में चर न हो, वही नियतांक पद होता है। / The polynomial \(9x^2\) has only a term containing \(x\). A constant term has no variable in it. Since no such term is present, its value is taken as \(0\). Here, \(9\) is the coefficient of \(x^2\), not the constant term. Exam tip: Identify the term without a variable to find the constant term.
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What is the coefficient of \(x^3\) in the polynomial \(x^4+x^2+x\)?
D. 0
बहुपद \(x^4+x^2+x\) के पद x-4, x-2 और x हैं। इसमें x-3 का कोई पद नहीं है, इसलिए x-3 का गुणांक 0 होता है। 1, x और x-2 के गुणांक हैं, लेकिन x-3 का नहीं। परीक्षा टिप: अनुपस्थित घात वाले पद का गुणांक हमेशा 0 लिखें। / The terms of \(x^4+x^2+x\) are x-4, x-2, and x. There is no x-3 term, so the coefficient of x-3 is 0. Although 1 is the coefficient of x and x-2, it is not the coefficient of x-3. Exam tip: The coefficient of any missing power in a polynomial is always 0.
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Is the expression \(x^0+2x\) a polynomial or not?
A. हाँ, यह एक बहुपद हैYes, it is a polynomial
हाँ, यह बहुपद है। यहाँ x-0 = 1 होता है, इसलिए व्यंजक 1 + 2x के बराबर है। इसमें x की घातें 0 और 1 हैं, जो दोनों पूर्णांक और अऋणात्मक हैं; अतः यह बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि बहुपद में चर की घात 0 हो सकती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0, 1, 2, ... जैसी अऋणात्मक पूर्ण संख्या होनी चाहिए। / Yes, it is a polynomial. Since x-0 = 1, the expression becomes 1 + 2x. The powers of x are 0 and 1, both of which are non-negative integers, so the expression is a polynomial. Option B is incorrect because a variable may have power 0 in a polynomial. Exam tip: In a polynomial, the powers of variables must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and so on.
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Which expression is a monomial polynomial?
A. 3x²
एकपदी बहुपद में केवल एक पद होता है और चर की घात एक ऋणेतर पूर्णांक होती है। 3x² में केवल एक पद है, इसलिए यह एकपदी बहुपद है। x + 2 और x - 4 द्विपदी हैं, जबकि x² + x + 1 त्रिपदी है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या गिनकर एकपदी, द्विपदी और त्रिपदी पहचानें। / A monomial polynomial has exactly one term, with the variable raised to a non-negative integer power. The expression 3x² has only one term, so it is a monomial. x + 2 and x - 4 are binomials, while x² + x + 1 is a trinomial. Exam tip: Count the terms to identify monomials, binomials and trinomials.
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Which expression is a binomial polynomial?
B. \(x^2-4\)
द्विपदी बहुपद में ठीक दो पद होते हैं। \(x^2-4\) के पद \(x^2\) और \(-4\) हैं, इसलिए यह द्विपदी है। \(5x\) और \(7\) एकपदी हैं, जबकि \(x^2+x+4\) में तीन पद हैं और वह त्रिपदी है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या जानने के लिए केवल \(+\) या \(-\) से अलग हुए पद गिनें। / A binomial polynomial has exactly two terms. The terms in \(x^2-4\) are \(x^2\) and \(-4\), so it is a binomial. \(5x\) and \(7\) are monomials, while \(x^2+x+4\) has three terms and is a trinomial. Exam tip: count the terms separated by addition or subtraction signs.
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Which expression is a trinomial polynomial?
A. \(x^2+3x+2\)
त्रिपदी बहुपद में ठीक तीन पद होते हैं। \(x^2+3x+2\) के पद \(x^2\), \(3x\) और \(2\) हैं, इसलिए यह त्रिपदी बहुपद है। \(x^2-5\) में केवल दो पद हैं, इसलिए वह द्विपदी है। परीक्षा में पदों को जोड़ और घटाव के चिह्नों से अलग-अलग गिनें। / A trinomial polynomial has exactly three terms. The terms in \(x^2+3x+2\) are \(x^2\), \(3x\), and \(2\), so it is a trinomial polynomial. In contrast, \(x^2-5\) has only two terms and is a binomial. Exam tip: count terms separated by plus or minus signs.
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Is \(\frac{x}{2}+3\) a polynomial in (x)?
B. हां, क्योंकि चर की घात (1) हैYes, because the power of the variable is (1)
\(\frac{x}{2}\) में (x) की घात (1) है और गुणांक \(\frac{1}{2}\) है। इसलिए यह बहुपद है। / In \(\frac{x}{2}\), the power of (x) is (1) and the coefficient is \(\frac{1}{2}\). Therefore it is a polynomial.
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Is \(\frac{1}{2}x^2-7\) a polynomial?
A. हां, क्योंकि गुणांक भिन्न हो सकता हैYes, because the coefficient can be a fraction
बहुपद में गुणांक वास्तविक संख्या हो सकते हैं। यहां (x) की घात (2) है, इसलिए यह बहुपद है। / Coefficients in a polynomial can be real numbers. Here the power of (x) is (2), so it is a polynomial.
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Which expression is not a polynomial because the variable has power \(\frac{3}{2}\)?
B. \(x^{\frac{3}{2}}+1\)
\(\frac{3}{2}\) भिन्न घात है। बहुपद में चर की घात केवल अशून्य या शून्य पूर्णांक होती है। / \(\frac{3}{2}\) is a fractional power. In a polynomial, the variable power must be only a non-negative integer.
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What is the degree of the polynomial \(3x^2-5x+6\)?
C. 2
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पद 3x-2, -5x और 6 हैं तथा x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए इसकी डिग्री 2 है। -5x की घात 1 और स्थिर पद 6 की घात 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद को सरल करने के बाद सबसे अधिक घात वाला पद देखकर डिग्री ज्ञात करें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, the terms are 3x-2, -5x, and 6, and the highest power of x is 2. Therefore, the degree is 2. The term -5x has power 1, while the constant term 6 has power 0. Exam tip: Simplify the polynomial first, then identify the term with the highest exponent.
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What is the degree of the polynomial (8x-13)?
B. 1
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे अधिक घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ 8x को 8x-1 लिखा जा सकता है और स्थिर पद -13 की घात 0 है। अतः सबसे अधिक घात 1 है, इसलिए सही उत्तर 1 है। 8 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय गुणांक नहीं, केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, 8x can be written as 8x-1, while the constant term -13 has power 0. Hence, the highest power is 1, so the correct answer is 1. Note that 8 is a coefficient, not the degree. Exam tip: For degree, look at the greatest exponent of the variable, not its coefficient.
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What is the degree of a non-zero constant polynomial?
A. 0
अशून्य नियतांक बहुपद, जैसे 5 या -3, में चर का कोई घात वाला पद नहीं होता। इसे 5 = 5x-0 के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए इसमें चर की उच्चतम घात 0 है। अतः इसकी डिग्री 0 होती है। ध्यान दें कि शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं मानी जाती है, लेकिन अशून्य नियतांक बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: नियतांक बहुपद अशून्य हो तो उसकी डिग्री हमेशा 0 लिखें। / A non-zero constant polynomial, such as 5 or -3, has no variable term with a positive power. It can be written as 5 = 5x-0, so the highest power of the variable is 0. Therefore, its degree is 0. Do not confuse it with the zero polynomial, whose degree is not defined. Exam tip: The degree of every non-zero constant polynomial is always 0.
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Which statement is correct about the degree of the zero polynomial?
C. इसकी डिग्री परिभाषित नहीं हैIts degree is not defined
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में इसे अशून्य नियतांक बहुपद से अलग समझें। / The degree of the zero polynomial is not defined. In exams, distinguish it from a non-zero constant polynomial.
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Which of the following is a polynomial in (x) and does not include (y)?
A. \(2x^2+3x-1\)
\(2x^2+3x-1\) में केवल चर \(x\) है और \(x\) की घातें 2, 1 तथा 0 हैं। ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है तथा इसमें \(y\) नहीं है। \(2y^2+3\) और \(xy+1\) में \(y\) उपस्थित है, जबकि \(\frac{1}{x}+1\) बहुपद नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: बहुपद में किसी चर की घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(2x^2+3x-1\), the only variable is \(x\), with exponents 2, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\) and has no \(y\). Both \(2y^2+3\) and \(xy+1\) contain \(y\), whereas \(\frac{1}{x}+1\) is not a polynomial because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent. Exam tip: A variable in a polynomial can have only zero or positive integer exponents.
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In which option do all terms have valid powers of the variable for a polynomial?
A. \(x^2+x+1\)
बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3, ... जैसी गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ हो सकती हैं। \(x^2+x+1\) में \(x\) की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद है। विकल्प B और D में ऋणात्मक घातें हैं, जबकि विकल्प C में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) भिन्नात्मक घात है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही उस पद को बहुपद का पद न मानें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer: 0, 1, 2, 3, and so on. In \(x^2+x+1\), the powers of \(x\) are 2, 1, and 0, so it is a polynomial. Options B and D have negative exponents, while option C has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent; hence they are not polynomials. Exam tip: reject an expression as a polynomial if a variable has a negative or fractional exponent.
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What is the leading term in the polynomial \(4x^3-9x^2+x-2\)?
A. \(4x^3\)
सबसे बड़ी घात वाला पद अग्रणी पद होता है। यहां सबसे बड़ी घात (3) है, इसलिए अग्रणी पद \(4x^3\) है। / The term with the highest power is the leading term. Here the highest power is (3), so the leading term is \(4x^3\).
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What is the leading coefficient of the polynomial \(5x^4+2x^2-1\)?
A. 5
बहुपद को घातों के घटते क्रम में लिखा गया है: \(5x^4+2x^2-1\)। इसका सबसे अधिक घात वाला पद \(5x^4\) है, जिसे अग्रणी पद कहते हैं। अतः उसका गुणांक 5 अग्रणी गुणांक है। 4 बहुपद की उच्चतम घात (डिग्री) है, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात वाला पद पहचानें, फिर उसके संख्यात्मक गुणांक को लिखें। / The polynomial is written in descending powers: \(5x^4+2x^2-1\). Its term with the highest power is \(5x^4\), called the leading term. Therefore, its numerical coefficient, 5, is the leading coefficient. Note that 4 is the degree of the polynomial, not its leading coefficient. Exam tip: identify the term with the greatest exponent first, then write its numerical coefficient.
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Is the expression \(2x^2+\frac{3}{x}\) a polynomial or not?
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक हैNo, because \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) has a negative exponent of \(x\)
बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3 आदि अशून्य पूर्णांक हो सकती है। यहाँ \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है। अतः \(2x^2+\frac{3}{x}\) बहुपद नहीं है। \(2x^2\) बहुपद पद है, पर एक ऋणात्मक घात वाला पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। दो पद होना कोई समस्या नहीं है; द्विपद भी बहुपद हो सकता है। परीक्षा टिप: चर हर में दिखाई दे, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer such as 0, 1, 2, or 3. Here, \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(2x^2+\frac{3}{x}\) is not a polynomial. Although \(2x^2\) is a polynomial term, one term with a negative exponent makes the entire expression non-polynomial. Having two terms is not a problem, since a binomial can be a polynomial. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
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Which expression is not a polynomial in (x) but has only one term?
A. \(\frac{1}{x}\)
\(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। एक पद होना पर्याप्त नहीं है, घात भी मान्य होनी चाहिए। / \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so it is not a polynomial. Having one term is not enough; the power must also be valid.
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How will the polynomial \(x^2+0x+4\) be written in simplified form?
A. \(x^2+4\)
\(0x=0\) होता है, इसलिए \(x^2+0x+4=x^2+4\)। अतः शून्य गुणांक वाला \(x\) का पद सरल रूप में नहीं लिखा जाता। \(x^2+x+4\) गलत है, क्योंकि उसमें \(x\) का गुणांक 1 हो जाता है, जबकि दिए गए बहुपद में वह 0 है। परीक्षा टिप: किसी पद का गुणांक 0 हो तो उस पद को हटा दें, लेकिन अन्य पदों को न हटाएँ। / Since \(0x=0\), \(x^2+0x+4=x^2+4\). Therefore, the term in \(x\) with coefficient zero is omitted in simplified form. \(x^2+x+4\) is incorrect because it changes the coefficient of \(x\) from 0 to 1. Exam tip: Remove only terms whose coefficient is zero; retain all other terms.
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In which polynomial is the coefficient of \(x^2\) equal to (0)?
B. \(3x+7\)
\(3x+7\) में \(x^2\) वाला कोई पद नहीं है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक \(0\) है। इसके विपरीत, \(x^2+5\), \(2x^2+x\) और \(4x^2-1\) में \(x^2\) के गुणांक क्रमशः \(1\), \(2\) और \(4\) हैं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद बहुपद में न हो, उसका गुणांक \(0\) होता है। / In \(3x+7\), there is no \(x^2\) term, so the coefficient of \(x^2\) is \(0\). In contrast, the coefficients of \(x^2\) in \(x^2+5\), \(2x^2+x\), and \(4x^2-1\) are \(1\), \(2\), and \(4\), respectively. Exam tip: If a term of a particular power is absent from a polynomial, its coefficient is \(0\).
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Why is \(3x^2+2x^{-1}+1\) not a polynomial?
C. क्योंकि इसमें \(x^{-1}\) हैBecause it has \(x^{-1}\)
\(x^{-1}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घात नहीं हो सकती। / In \(x^{-1}\), the power of the variable is negative. A polynomial cannot have a negative power.
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Is \(3x^2+2x+1\) a polynomial?
A. हाँ, क्योंकि x की घातें 2, 1 और 0 हैं, जो अशून्य पूर्णांक हैंYes, because the powers of x are 2, 1, and 0, which are non-negative integers
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ 3x-2, 2x और 1 में x की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं; इसलिए \(3x^2+2x+1\) एक बहुपद है। अचर पद 1 होने या तीन पद होने से कोई समस्या नहीं होती। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखे, तो व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. In 3x-2, 2x, and 1, the powers of x are 2, 1, and 0 respectively; therefore, \(3x^2+2x+1\) is a polynomial. Having a constant term or three terms does not make an expression non-polynomial. Exam tip: if a variable has a negative or fractional exponent, the expression is not a polynomial.
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Which option writes a polynomial in standard form with descending powers?
C. \(x^3+2x^2+x+5\)
मानक रूप में पदों को घटती घातों में लिखते हैं। \(x^3+2x^2+x+5\) में घातें (3), (2), (1), (0) क्रम में हैं। / In standard form, terms are written in descending powers. In \(x^3+2x^2+x+5\), powers are in the order (3), (2), (1), (0).
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What is the coefficient of (x) in the polynomial \(2x^2-3x+5\)?
B. -3
बहुपद में x वाला पद -3x है। किसी पद में x के साथ गुणा होने वाली संख्या उसका गुणांक होती है, इसलिए x का गुणांक -3 है। 2, x² का गुणांक है, जबकि 5 अचर पद है। परीक्षा टिप: जिस चर का गुणांक पूछें, उसी चर की घात वाले पद को ध्यान से पहचानें। / The term containing x is -3x. The number multiplying x is its coefficient, so the coefficient of x is -3. Here, 2 is the coefficient of x², while 5 is the constant term. Exam tip: Identify the term with the exact variable and power asked in the question.
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Which option gives the correct definition of a polynomial?
C. ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होंAn algebraic expression in which the exponents of variables are zero or positive integers
बहुपद वह बीजीय व्यंजक है जिसमें प्रत्येक चर की घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होती है, जैसे \(3x^2-5x+7\)। इसलिए विकल्प C सही है। ऋणात्मक घात, जैसे \(x^{-1}\), या भिन्नात्मक घात, जैसे \(x^{1/2}\), वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता; चर का हर में होना भी ऋणात्मक घात के बराबर है। परीक्षा टिप: घातों को तुरंत जाँचें—वे केवल \(0,1,2,3,\ldots\) होनी चाहिए। / A polynomial is an algebraic expression in which every variable has an exponent that is zero or a positive integer, for example, \(3x^2-5x+7\). Therefore, option C is correct. Expressions with negative exponents, such as \(x^{-1}\), or fractional exponents, such as \(x^{1/2}\), are not polynomials; a variable in the denominator is equivalent to a negative exponent. Exam tip: check the exponents first—they must be \(0,1,2,3,\ldots\).
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Which expression is not a polynomial only because of the power?
B. \(x^{\frac{2}{3}}+1\)
बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{\frac{2}{3}}+1\) में \(x\) की घात \(\frac{2}{3}\) है, जो भिन्नात्मक है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। अन्य विकल्पों में \(x\) की घातें क्रमशः 2, 1 और 3 हैं, जो सभी धनात्मक पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: किसी चर की भिन्नात्मक या ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the exponent of each variable must be zero or a positive integer. In \(x^{\frac{2}{3}}+1\), the exponent of \(x\) is \(\frac{2}{3}\), which is fractional; therefore, it is not a polynomial. In the other options, the exponents of \(x\) are 2, 1, and 3, all of which are positive integers. Exam tip: An expression with a fractional or negative exponent of a variable is not a polynomial.
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What is the degree of the polynomial \(x^5-4x^3+x-2\)?
D. 5
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पद x-5 की घात 5 है और इसका गुणांक 1 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। x-3 की घात 3 है, इसलिए वह डिग्री नहीं निर्धारित करता। परीक्षा टिप: पदों को देखकर चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable with a non-zero coefficient. Here, the term x-5 has exponent 5 and coefficient 1, so the degree is 5. The term x-3 has exponent 3, so it does not determine the degree. Exam tip: identify the greatest power of the variable among the terms.
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