definition of polynomial MCQ Questions for Class 9
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बहुपद की घात उस पद की सबसे बड़ी घातांक होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^6\) का मान शून्य है, इसलिए यह बहुपद की घात में शामिल नहीं होगा। शेष पदों में \(5x^4\) की घात सबसे अधिक है, अतः \(p(x)\) की घात \(4\) है। \(6\) चुनना गलत है क्योंकि उसका गुणांक \(0\) है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of a term with a non-zero coefficient. Here, \(0x^6\) equals zero, so it does not contribute to the degree. Among the remaining terms, \(5x^4\) has the greatest exponent; therefore, the degree of \(p(x)\) is \(4\). Choosing \(6\) is incorrect because its coefficient is \(0\). Exam tip: remove all zero-coefficient terms before identifying the highest power.
B. चर का घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए; \(-1\) घात मान्य नहीं है।/The exponent of the variable must be a non-negative integer; an exponent of \(-1\) is not allowed.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घात \(0,1,2,\ldots\) होते हैं। यहाँ \(x^{-1}=1/x\) है, इसलिए चर हर में आ जाता है और व्यंजक बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक घात को तुरंत जाँचें। / In a polynomial, variable exponents are \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=1/x\), so the variable occurs in the denominator and the expression is not a polynomial. Exam tip: check negative exponents first.
B. यह 2 घात का बहुपद है/It is a polynomial of degree 2
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) एक वास्तविक स्थिरांक है, इसलिए इसका होना व्यंजक को बहुपद होने से नहीं रोकता। \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है और उसका गुणांक \(1\) शून्य नहीं है। अतः यह 2 घात का बहुपद है। विकल्प A गलत है क्योंकि बहुपद के गुणांक अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी हो सकते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी गैर-शून्य घात देखें। / \(\sqrt{3}\) is a real constant, so its presence does not prevent the expression from being a polynomial. In \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\), the highest power of \(x\) is \(2\), and its coefficient, \(1\), is non-zero. Therefore, it is a polynomial of degree 2. Option A is incorrect because polynomial coefficients may be irrational real numbers. Exam tip: determine the degree from the highest non-zero exponent of the variable.
\(x^5-2x^3+7x-4\) में \(x\) की घातें \(5,3\) और \(1\) हैं, जो सभी विषम धनात्मक पूर्णांक हैं, तथा \(-4\) स्थिर पद है। अतः यह दिया गया बहुपद है। विकल्प B भी बहुपद है, पर उसमें \(4\) और \(2\) सम घातें हैं। विकल्प C में ऋणात्मक घात है और विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) भिन्नात्मक घात है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल ऋणेतर पूर्णांक होती हैं। / In \(x^5-2x^3+7x-4\), the powers of \(x\) are \(5,3\), and \(1\), all of which are odd positive integers, and \(-4\) is a constant term. Therefore, it satisfies the given condition. Option B is also a polynomial, but it contains the even powers \(4\) and \(2\). Option C has a negative exponent, while option D has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: variable exponents in a polynomial must be non-negative integers.
विकल्प A में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए \(ax^3+bx+9\), \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(x^{-1}\) की ऋणात्मक घात है। विकल्प C में \(\frac{a}{x^2}=ax^{-2}\) है, इसलिए इसमें भी ऋणात्मक घात है। विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,3,\ldots\) में से होनी चाहिए। / In option A, the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so \(ax^3+bx+9\) is a polynomial in \(x\). Option B contains the negative exponent \(x^{-1}\). In option C, \(\frac{a}{x^2}=ax^{-2}\), which also has a negative exponent. Option D contains \(\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}\), a fractional exponent. Exam tip: every exponent of the variable in a polynomial must be one of \(0,1,2,3,\ldots\).
जब \(a=2\) रखा जाता है, तब \(x^4\) का गुणांक \(a-2=0\) हो जाता है। अतः \(x^4\) वाला पद समाप्त हो जाता है और बहुपद \(5x^2-3\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए बहुपद की घात 2 है। विकल्प 4 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य होने पर \(x^4\) पद नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हमेशा हटा दें। / On substituting \(a=2\), the coefficient of \(x^4\) becomes \(a-2=0\). Hence, the \(x^4\) term vanishes and the polynomial becomes \(5x^2-3\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 2, so its degree is 2. Option 4 is incorrect because a term with zero coefficient is not counted. Exam tip: Always simplify a polynomial and remove zero-coefficient terms before finding its degree.
\(x^4+5x^2-6\) एक बहुपद है क्योंकि इसमें \(x\) की घातें \(4, 2\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। इसमें \(x^3\) और \(x\) के पद नहीं हैं, फिर भी किसी बहुपद में प्रत्येक घात का पद होना आवश्यक नहीं होता। विकल्प B में \(x^3\) पद है, विकल्प C में \(x\) पद है, जबकि विकल्प D में ऋणात्मक घात होने के कारण वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सभी घातें अशून्य पूर्णांक होनी चाहिए। / \(x^4+5x^2-6\) is a polynomial because the powers of \(x\) present are \(4, 2\), and \(0\), all of which are non-negative integers. It has no \(x^3\) or \(x\) term; a polynomial does not need to include every intermediate power. Option B contains an \(x^3\) term, option C contains an \(x\) term, and option D is not a polynomial because it has a negative exponent. Exam tip: in a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer.
बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती हैं। \(n=-2\) रखने पर व्यंजक में \(4x^{-2}=\frac{4}{x^2}\) पद आएगा, जिसमें \(x\) हर में है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। इसके विपरीत \(n=0\) पर \(4x^0=4\) एक अचर पद बनता है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद में ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही उसे बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponents of the variable must be non-negative integers. For \(n=-2\), the expression contains \(4x^{-2}=\frac{4}{x^2}\), so the variable occurs in the denominator; hence it is not a polynomial. In contrast, when \(n=0\), \(4x^0=4\) is a constant term, so the expression remains a polynomial. Exam tip: a negative or fractional exponent means the expression is not a polynomial.
B. क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) में \(x\) की घात भिन्नात्मक है/Because \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) has a fractional exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल अऋणात्मक पूर्णांक—जैसे 0, 1, 2, 3—हो सकती हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) है, अतः \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है, जो पूर्णांक नहीं है। इसलिए \(q(x)\) बहुपद नहीं है। \(x^2\) की घात 2 मान्य है और अचर पद 1 भी बहुपद में मान्य होता है; पदों की संख्या से बहुपद होना तय नहीं होता। परीक्षा टिप: चर के मूल चिह्न या भिन्नात्मक घात को देखकर व्यंजक को बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponents of the variable must be non-negative integers, such as 0, 1, 2, or 3. Here, \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), so the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), which is not an integer. Therefore, \(q(x)\) is not a polynomial. The exponent 2 in \(x^2\) is valid, and the constant term 1 is also allowed; the number of terms does not decide whether an expression is a polynomial. Exam tip: a root of a variable or a fractional exponent signals a non-polynomial.
\(2x^2-\pi x+\sqrt{11}\) एक बहुपद है क्योंकि इसके गुणांक \(2\), \(-\pi\) और \(\sqrt{11}\) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं। \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) में भिन्न घात होती है, जबकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) और \(x^{-\pi}\) में ऋणात्मक घातें हैं; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है; गुणांक वास्तविक हो सकते हैं, जैसे \(\pi\) और \(\sqrt{11}\)। / \(2x^2-\pi x+\sqrt{11}\) is a polynomial because its coefficients \(2\), \(-\pi\), and \(\sqrt{11}\) are real numbers, and the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all non-negative integers. \(\sqrt{x}=x^{\frac12}\) has a fractional exponent, while \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) and \(x^{-\pi}\) have negative exponents, so they are not polynomials. Exam tip: variable exponents in a polynomial can only be \(0,1,2,\ldots\); coefficients may be any real numbers, including \(\pi\) and \(\sqrt{11}\).
A. सरल करने पर इसमें \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) पद आता है, जिसमें \(x\) की घात ऋणात्मक है/On simplifying, it contains the term \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), in which the exponent of \(x\) is negative.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^3+1}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x}=x^2+x^{-1}\)। बहुपद में चर की प्रत्येक घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(x^{-1}\) की घात \(-1\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(x^3\), द्विपद अंश या अचर पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को पहले सरल करें और फिर चर की घातों की जाँच करें। / \(\frac{x^3+1}{x}=\frac{x^3}{x}+\frac{1}{x}=x^2+\frac{1}{x}=x^2+x^{-1}\). In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(x^{-1}\) has exponent \(-1\), so the expression is not a polynomial. Having \(x^3\), a binomial numerator, or a constant term does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: simplify the expression first, then check the exponents of the variable.
\(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\) में चर \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती है, इसलिए यह बहुपद नहीं है, भले ही इसमें केवल एक पद दिखाई देता है। इसके विपरीत, \(9x^2\), \(7x\) और \(11\) में \(x\) की घात क्रमशः 2, 1 और 0 है, अतः वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले चर को घात के रूप में लिखकर उसकी घात जाँचें। / In \(-5\sqrt{x}=-5x^{\frac{1}{2}}\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers, so this is not a polynomial even though it appears to have just one term. In contrast, \(9x^2\), \(7x\), and \(11\) have exponents 2, 1, and 0 respectively, so they are polynomials. Exam tip: Rewrite a square root involving a variable as an exponent and check that exponent.
B. नहीं, क्योंकि \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है/No, because \(\sqrt{x^2}=|x|\)
Explanation
Simple Explanation
नहीं। वास्तविक \(x\) के लिए \(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है, न कि हमेशा \(x\)। अतः दिया गया व्यंजक \(4x^2+|x|+1\) बनता है। \(|x|\) को \(x\) की गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जा सकता, इसलिए यह \(x\) में बहुपद नहीं है। विकल्प A केवल \(x\geq0\) के लिए सही है। परीक्षा टिप: वर्गमूल में \(x^2\) दिखे तो सीधे \(x\) न लिखें; पहले \(|x|\) लिखें। / No. For real \(x\), \(\sqrt{x^2}=|x|\), not always \(x\). Thus the expression becomes \(4x^2+|x|+1\). Since \(|x|\) cannot be written as a term having a non-negative integral power of \(x\), the expression is not a polynomial in \(x\). Option A is true only when \(x\geq0\). Exam tip: whenever you see \(\sqrt{x^2}\), write \(|x|\) first, not simply \(x\).
A. द्विघात त्रिपद बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
बहुपद x-2-3x+2 में x की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसके तीन पद x-2, -3x और 2 हैं, इसलिए यह त्रिपद है। अतः सही पहचान द्विघात त्रिपद बहुपद है। रैखिक बहुपद की उच्चतम घात 1 होती है। परीक्षा टिप: घात जानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पद गिनने के लिए + या - से अलग हुए पदों को गिनें। / In x-2-3x+2, the highest power of x is 2, so it is a quadratic polynomial. It has three terms: x-2, -3x, and 2; hence, it is a trinomial. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial. A linear polynomial has highest degree 1. Exam tip: find the degree from the greatest exponent of the variable, and count terms separated by + or - signs.
\(x^6+2x^4-x^2+9\) में \(x\) की घातें \(6,4,2\) तथा स्थिर पद \(9\) की घात \(0\) है। ये सभी सम तथा अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह केवल सम घातों वाला बहुपद है। विकल्प B में विषम घातें हैं, जबकि C में ऋणात्मक घात और D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) जैसी भिन्नात्मक घात है; इसलिए वे अपेक्षित बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा अऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^6+2x^4-x^2+9\), the powers of \(x\) are \(6,4,2\), and the constant term \(9\) has power \(0\). All of these are even, non-negative integers, so it is a polynomial with only even powers. Option B contains odd powers, while C has a negative power and D has a fractional power because \(\sqrt{x}=x^{1/2}\); hence they are not the required polynomial. Exam tip: in a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer.
यहाँ p(x)=5x-2 में केवल एक पद, 5x-2, है; इसलिए यह एकपद है। चर x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी घात 2 है और यह द्विघात है। रैखिक बहुपद में x की घात 1 होती है, इसलिए विकल्प B सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की संख्या से एकपद/द्विपद और x की सबसे बड़ी घात से रैखिक/द्विघात/घन पहचानें। / In p(x)=5x-2, there is only one term, 5x-2, so it is a monomial. The highest power of x is 2; hence its degree is 2 and it is quadratic. A linear polynomial has x to the power 1, so option B is not correct. Exam tip: use the number of terms to identify monomial/binomial and the highest exponent to identify linear, quadratic, or cubic polynomials.
A. \(\sqrt{x}\) में \(x\) का घातांक \(\frac{1}{2}\) है, जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है।/In \(\sqrt{x}\), the exponent of \(x\) is \(\frac{1}{2}\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घातांक \(0,1,2,\ldots\) जैसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: मूल चिह्न को भिन्न घातांक में बदलकर जाँचें। / In a polynomial, variable exponents must be non-negative integers such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), so the expression is not a polynomial. Exam tip: rewrite radicals as fractional powers to check quickly.
B. क्योंकि \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/Because \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) gives \(x\) a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^3}\) को \(x^{-3}\) लिखा जा सकता है, इसलिए इस व्यंजक में \(x\) की घात \(-3\) है। बहुपद में चर की घात केवल अशून्य ऋणेतर पूर्णांक, अर्थात \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है; ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। नियतांक पद का न होना बहुपद को अमान्य नहीं बनाता, इसलिए विकल्प D कारण नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात में बदलकर जाँचें। / Since \(\frac{1}{x^3}\) can be written as \(x^{-3}\), the expression contains \(x\) with exponent \(-3\). In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer: \(0,1,2,\ldots\); negative exponents are not allowed. The absence of a constant term does not make an expression non-polynomial, so option D is not a valid reason. Exam tip: If a variable occurs in a denominator, rewrite it using a negative exponent to check whether the expression is a polynomial.
C. यह एक बहुपद है क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक हैं और \(x\) की घातें अशून्य पूर्णांक हैं/It is a polynomial because its coefficients are real and the powers of \(x\) are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\), \(-\pi\) और \(2\) सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए वे बहुपद के मान्य गुणांक हैं। \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। अतः दिया गया व्यंजक एक बहुपद है। \(\pi\) या \(\sqrt{3}\) का अपरिमेय होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है; केवल चर की घातें अशून्य पूर्णांक होनी चाहिए। परीक्षा टिप: गुणांकों के प्रकार की बजाय चर की घातों को पहले जाँचें। / \(\sqrt{3}\), \(-\pi\), and \(2\) are all real numbers, so they are valid coefficients of a polynomial. The powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Therefore, the given expression is a polynomial. The fact that \(\pi\) and \(\sqrt{3}\) are irrational does not make the expression non-polynomial; it is the exponents of the variable that must be non-negative integers. Exam tip: check the exponents of the variable first.
A. हाँ, क्योंकि x की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because all powers of x are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(6x^4-3x^2+x-10\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें x की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं। ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं, जो बहुपद के लिए आवश्यक है। चार पद होना या अचर पद -10 होना बहुपद होने में बाधा नहीं है; x-4 भी मान्य पद है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि चर की कोई भी घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर के हर में न हो। / Yes, \(6x^4-3x^2+x-10\) is a polynomial because the powers of x are 4, 2, 1, and 0. All of these are non-negative integers, as required for a polynomial. Having four terms or a constant term such as -10 does not make an expression non-polynomial; x-4 is also a valid term. Exam tip: check that no variable has a negative or fractional exponent, and that no variable appears in a denominator.
C. क्योंकि इसमें \(x\) की ऋणात्मक घात वाला पद \(x^{-4}\) है/Because it contains the term \(x^{-4}\), in which the exponent of \(x\) is negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। यहाँ पद \(x^{-4}\) में \(x\) की घात \(-4\) है, जो ऋणात्मक है; इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। \(7x^2\) और अचर \(3\) बहुपद के वैध पद हैं, तथा तीन पद होना भी कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए चर की सभी घातों की जाँच करें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a zero or a positive integer. Here, the term \(x^{-4}\) has exponent \(-4\), which is negative, so the given expression is not a polynomial. The terms \(7x^2\) and the constant \(3\) are valid polynomial terms, and having three terms is not a problem. Exam tip: Check the exponents of every variable when identifying a polynomial.
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/No, because \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती है, जैसे \(0,1,2,\dots\)। यहाँ \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) हो जाती है। अतः \(6x^3+\frac{4}{x}\) बहुपद नहीं है। केवल दो पद होना या वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\dots\). Here, \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(6x^3+\frac{4}{x}\) is not a polynomial. Having two terms or real coefficients alone does not make an expression a polynomial. Exam tip: If a variable appears in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
\(4x^3-7x+1\) में x की घातें 3, 1 और 0 हैं, जो सभी पूर्णांक और अऋणात्मक हैं; इसलिए यह बहुपद है। \(3/x=3x^{-1}\) बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक या भिन्न घात दिखे तो बहुपद नहीं होता। / In \(4x^3-7x+1\), the powers of x are 3, 1 and 0, all non-negative integers, so it is a polynomial. But \(3/x=3x^{-1}\), which is not allowed. Exam tip: reject expressions with negative or fractional powers.
बहुपद में चर की प्रत्येक घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती है, जैसे \(0,1,2,\ldots\)। \(x^{\frac{5}{6}}+4\) में \(x\) की घात \(\frac{5}{6}\) भिन्नात्मक है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(x^5+6\) में घात 5 है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात को तुरंत जाँचें। / In a polynomial, every exponent of a variable must be a non-negative integer, such as \(0,1,2,\ldots\). In \(x^{\frac{5}{6}}+4\), the exponent of \(x\) is fractional, so it is not a polynomial. In contrast, \(x^5+6\) has exponent 5 and is a polynomial. Exam tip: while identifying polynomials, check first for negative or fractional exponents of variables.
A. हाँ, क्योंकि \(x^0=1\) होने पर व्यंजक \(3+5x\) बनता है, जिसमें \(x\) की घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं/Yes, because \(x^0=1\), so the expression becomes \(3+5x\), in which the exponents of \(x\) are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(x^0=1\) होता है। इसलिए \(3x^0+5x=3+5x\)। इस व्यंजक में \(x\) की घातें 0 और 1 हैं, जो अऋणात्मक पूर्णांक हैं; अतः यह एक बहुपद है। विकल्प B गलत है क्योंकि शून्य घात बहुपद में मान्य होती है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में \(x^0\) दिखे तो पहले उसे 1 से बदलकर सरल करें। / Yes. Since \(x^0=1\), \(3x^0+5x=3+5x\). The exponents of \(x\) are 0 and 1, both non-negative integers, so it is a polynomial. Option B is incorrect because an exponent of zero is allowed in a polynomial. Exam tip: When you see \(x^0\), simplify it to 1 before deciding whether the expression is a polynomial.
सही उत्तर बहुपद नहीं है। क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\) होता है और इस व्यंजक में \(x\) की घात \(\frac{1}{2}\) है। बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; भिन्न घात स्वीकार्य नहीं होती। इसलिए यह रैखिक या द्विघात बहुपद भी नहीं है। परीक्षा टिप: वर्गमूल वाले चर को घात के रूप में लिखकर उसकी घात जाँचें। / The correct answer is not a polynomial. Since \(\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\), the exponent of \(x\) in the expression is \(\frac{1}{2}\). In a polynomial, variable exponents must be zero or positive integers; fractional exponents are not allowed. Therefore, it is neither a linear nor a quadratic polynomial. Exam tip: Rewrite a square root as an exponent and check the exponent of the variable.
यह एक बहुपद है, क्योंकि इसमें चर \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं। \(\sqrt{7}\) एक अपरिमेय लेकिन वास्तविक संख्या है, इसलिए यह \(x\) का मान्य गुणांक हो सकता है। \(\sqrt{7}\) होने के कारण व्यंजक बहुपद नहीं बनता, यह भ्रम गलत है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए; गुणांक वास्तविक हो सकते हैं। / This is a polynomial because the powers of the variable \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Although \(\sqrt{7}\) is irrational, it is a real number and can be a valid coefficient of \(x\). The presence of \(\sqrt{7}\) does not make the expression a non-polynomial. Exam tip: In a polynomial, variable exponents must be \(0,1,2,\ldots\), while coefficients may be any real numbers.
बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। इस व्यंजक में x^{-5} है, जिसमें x की घात -5 है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। 9x एक वैध रैखिक पद है और दो पदों का होना या जोड़ का चिह्न होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer. This expression contains x^{-5}, where the exponent of x is -5, so it is not a polynomial. The term 9x is a valid linear term; having two terms or an addition sign does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: An expression with a negative, fractional, or variable exponent is not a polynomial.
बहुपद की सबसे बड़ी घात 3 है, क्योंकि इसमें पद 2x-3 है; अतः यह घन बहुपद है। इसके चार पद हैं: 2x-3, 5x-2, -x और 4। इसलिए सही पहचान घन चार-पदी बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: घात पहचानने के लिए बहुपद में x की सबसे बड़ी घात देखें और पदों को + या - चिह्नों से अलग करके गिनें। / The highest exponent of x is 3 because the polynomial contains the term 2x-3; therefore, it is a cubic polynomial. It has four terms: 2x-3, 5x-2, -x, and 4. Hence, it is a cubic four-term polynomial. A quadratic polynomial has highest degree 2, so option A is not correct. Exam tip: identify the degree from the highest power of x, and count terms separated by plus or minus signs.
\(5x^{-4}+2x\) बहुपद नहीं है, क्योंकि इसमें \(x\) की घात \(-4\) है। बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। \(x^0=1\) होता है, इसलिए विकल्प C बहुपद है; शून्य घात स्वीकार्य है, ऋणात्मक घात नहीं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या अपरिमेय घात दिखे, तो वह बहुपद नहीं होता। / \(5x^{-4}+2x\) is not a polynomial because the exponent of \(x\) is \(-4\). In a polynomial, exponents of variables must be zero or positive integers. Since \(x^0=1\), option C is a polynomial; a zero exponent is allowed, but a negative exponent is not. Exam tip: An expression with a negative, fractional, or irrational exponent of a variable is not a polynomial.
