definition of polynomial MCQ Questions for Class 9
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B. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{1/2} में चर की घात पूर्णांक नहीं है। / It is not a polynomial because \(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\) has a non-integer exponent of the variable.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की सभी घातें 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। केवल \(x^3\) की घात पूर्णांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: मूल वाले पद को घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), so the expression is not a polynomial. An integer exponent in \(x^3\) alone is not enough. Exam tip: rewrite radicals as fractional powers before checking.
बहुपद की घात उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^3-x+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी घात \(2\) नहीं है। अन्य विकल्पों में सबसे बड़ी घात \(2\) है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने के लिए बहुपद के प्रत्येक पद में चर के उच्चतम घातांक को देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a non-zero coefficient. In \(6x^3-x+5\), the highest power of \(x\) is \(3\), so its degree is not \(2\). In all the other options, the highest power is \(2\). Exam tip: To find a polynomial's degree, identify the term with the greatest exponent of the variable.
B. क्योंकि x की सभी घातें 0, 1 और 2 जैसी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं/Because all powers of x are non-negative integers: 0, 1, and 2
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। यहाँ x की घातें 0, 1 और 2 हैं, इसलिए यह बहुपद है। साथ ही, x-0 = 1 होने से 9x-0 = 9 एक स्थिर पद है; अतः विकल्प C गलत है। विकल्प A भी गलत है क्योंकि x-0 = 1 होता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय जाँचें कि किसी भी चर की घात ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली न हो। / In a polynomial, the powers of a variable must be zero or positive integers. Here, the powers of x are 0, 1, and 2, so the expression is a polynomial. Also, x-0 = 1, so 9x-0 = 9 is a constant term; therefore, option C is incorrect. Option A is also wrong because x-0 = 1. Exam tip: while identifying a polynomial, check that no variable has a negative, fractional, or variable exponent.
C. क्योंकि \(x^{1/3} में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक नहीं है / Because the exponent of the variable in \(x^{1 / 3}\) is not a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), होनी चाहिए। यहाँ \(x^{1/3}\) में \(x\) की घात \(1/3\) है, जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए यह व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^2\) और अचर \(4\) बहुपद में मान्य हैं, तथा पदों की संख्या भी कोई बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय सबसे पहले चर की घातों की जाँच करें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). Here, the exponent of \(x\) in \(x^{1/3}\) is \(1/3\), which is not an integer, so the expression is not a polynomial. The term \(x^2\) and the constant \(4\) are valid in a polynomial, and the number of terms does not matter. Exam tip: first check the exponents of variables when identifying a polynomial.
\(\frac{5}{y}+2\) में \(\frac{5}{y}=5y^{-1}\) होता है। इसमें \(y\) की घात \(-1\) है, जबकि बहुपद में चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। इसलिए विकल्प A बहुपद नहीं है। विकल्प B और C में घातें पूर्णांक तथा अऋणात्मक हैं, और 7 एक अचर बहुपद है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In \(\frac{5}{y}+2\), we have \(\frac{5}{y}=5y^{-1}\). The exponent of \(y\) is \(-1\), whereas every variable exponent in a polynomial must be a non-negative integer. Hence, option A is not a polynomial. Options B and C have valid non-negative integral exponents, and 7 is a constant polynomial. Exam tip: If a variable appears in the denominator, rewrite it using a negative exponent to check whether the expression is a polynomial.
C. नहीं, क्योंकि \(x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। दिए गए व्यंजक में \(2x^{-1}=\frac{2}{x}\) है, जिसमें \(x\) की घात \(-1\) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। तीन पद होना या वास्तविक गुणांक होना किसी व्यंजक को बहुपद बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय सबसे पहले चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाले हर की घात जाँचें। / In a polynomial, the powers of the variable must be 0 or positive integers. Here, \(2x^{-1}=\frac{2}{x}\), so the power of \(x\) is \(-1\). Therefore, the expression is not a polynomial. Having three terms or real coefficients alone does not make an expression a polynomial. Exam tip: Check first for negative or fractional powers, or a variable in the denominator.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें चर नहीं होता। बहुपद 10x-2-7x+4 में 10x-2 और -7x में x उपस्थित है, जबकि 4 में कोई चर नहीं है। इसलिए 4 नियतांक पद है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में जिस पद के साथ कोई चर न जुड़ा हो, वही नियतांक पद होता है। / A constant term is a term that contains no variable. In 10x-2-7x+4, both 10x-2 and -7x contain x, whereas 4 has no variable. Therefore, 4 is the constant term. Exam tip: Identify the term with no variable to find the constant term.
A. हाँ, क्योंकि \(-\sqrt{2}\) एक वास्तविक गुणांक है/Yes, because \(-\sqrt{2}\) is a real coefficient
Explanation
Simple Explanation
\(-\sqrt{2}x+9\) में \(x\) की घात \(1\) है और अचर पद \(9\) है। बहुपद के गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं; इसलिए \(-\sqrt{2}\) का गुणांक होना स्वीकार्य है। वर्गमूल गुणांक में है, \(x\) पर नहीं, इसलिए यह बहुपद है। परीक्षा टिप: जाँचें कि चर की घातें केवल \(0,1,2,\ldots\) हों। / In \(-\sqrt{2}x+9\), the power of \(x\) is \(1\), and \(9\) is a constant term. Coefficients of a polynomial may be any real numbers, so \(-\sqrt{2}\) is allowed. The square root is in the coefficient, not on \(x\); hence the expression is a polynomial. Exam tip: check that powers of the variable are only \(0,1,2,\ldots\).
A. हाँ, क्योंकि x की सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं।/Yes, because all powers of x are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(5x^3-2x^2+x-1\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें x की घातें 3, 2, 1 और 0 हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। नियतांक पद -1 को x-0 के रूप में लिखा जा सकता है। चार पद होना या x-3 का होना बहुपद होने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(5x^3-2x^2+x-1\) is a polynomial because the powers of x are 3, 2, 1, and 0, all of which are non-negative integers. The constant term -1 can be viewed as -1x-0. Having four terms or a term containing x-3 does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: in a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer.
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{2}{x}\) में चर हर में है/No, because in \(\frac{2}{x}\), the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। यहाँ \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) हो जाती है। अतः \(5x^2-\frac{2}{x}\) बहुपद नहीं है। \(5x^2\) स्वयं बहुपद पद है, लेकिन पूरे व्यंजक में एक भी ऋणात्मक घात होने पर वह बहुपद नहीं रहता। परीक्षा टिप: चर को हर में देखकर उसे ऋणात्मक घात में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer. Here, \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(5x^2-\frac{2}{x}\) is not a polynomial. Although \(5x^2\) is a polynomial term, one negative exponent makes the complete expression non-polynomial. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
A. \(x\) का घात \(-1\) है, जो बहुपद में स्वीकार्य नहीं है।/The exponent of \(x\) is \(-1\), which is not allowed in a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{-3}{x}=-3x^{-1}\) में \(x\) का घात \(-1\) है। बहुपद में चरों के घात केवल \(0,1,2,\dots\) होते हैं; ऋणात्मक गुणांक या स्थिर पद मान्य हैं। परीक्षा टिप: हर पद का घात जाँचें। / Since \(\frac{-3}{x}=-3x^{-1}\), the exponent of \(x\) is \(-1\). A polynomial permits only \(0,1,2,\dots\) as variable exponents; negative coefficients and constants are allowed. Exam tip: check each exponent.
बहुपद में चर की घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। \(x^5+x^2+1\) में \(x\) की घातें 5, 2 और 0 हैं; स्थिर पद \(1\) की घात 0 मानी जाती है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में ऋणात्मक घात है, विकल्प C में भिन्नात्मक घात है, और विकल्प D में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) होने से ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए जाँचें कि किसी भी चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / In a polynomial, the powers of a variable must be 0 or positive integers. In \(x^5+x^2+1\), the powers of \(x\) are 5, 2, and 0; the constant term \(1\) has power 0. Hence, option A is correct. Option B has a negative power, option C has a fractional power, and in option D, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), which has a negative power. Exam tip: To identify a polynomial, check that no variable has a negative or fractional exponent.
A. हाँ, क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और \(x\) की घात एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।/Yes, because its coefficients are real numbers and the exponent of \(x\) is a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(-\frac{2}{3}x^3+4\) एक बहुपद है। बहुपद में गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं; वे ऋणात्मक या भिन्न भी हो सकते हैं। साथ ही, चर की घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, और यहाँ \(x\) की घात \(3\) है। भिन्नात्मक गुणांक होना गलत नहीं है; भिन्नात्मक घात, जैसे \(x^{1/2}\), बहुपद में मान्य नहीं होती। परीक्षा टिप: घात जाँचें, गुणांक नहीं—घात \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए। / Yes, \(-\frac{2}{3}x^3+4\) is a polynomial. The coefficients of a polynomial may be any real numbers, including negative numbers and fractions. Also, the exponent of the variable must be a non-negative integer; here, the exponent of \(x\) is \(3\). A fractional coefficient is allowed, whereas a fractional exponent such as \(x^{1/2}\) is not allowed in a polynomial. Exam tip: check the exponents, not the form of the coefficients—exponents must be \(0,1,2,\ldots\).
A. हाँ, क्योंकि \(x^0=1\) और \(1-4x\) में \(x\) की घात एक ऋणेतर पूर्णांक है/Yes, because \(x^0=1\) and the exponent of \(x\) in \(1-4x\) is a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
\(x^0=1\) होता है, इसलिए दिया गया व्यंजक \(1-4x\) बन जाता है। इसमें \(x\) की घातें \(0\) और \(1\) हैं, जो दोनों ऋणेतर पूर्णांक हैं; अतः यह बहुपद है। शून्य घात बहुपद में मान्य होती है और घटाव या दो पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: जाँचें कि प्रत्येक चर की घात \(0,1,2,\ldots\) में हो। / Since \(x^0=1\), the given expression becomes \(1-4x\). The exponents of \(x\) are \(0\) and \(1\), both of which are non-negative integers; hence it is a polynomial. An exponent of zero is allowed, and neither subtraction nor having two terms prevents an expression from being a polynomial. Exam tip: check that every variable exponent is \(0,1,2,\ldots\).
यह एक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{5}\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह \(x\) का मान्य गुणांक हो सकता है। शून्य बहुपद में सभी गुणांक शून्य होते हैं, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए; गुणांक अपरिमेय भी हो सकते हैं। / This is a polynomial because the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Since \(\sqrt{5}\) is a real number, it can be a valid coefficient of \(x\). A zero polynomial has all coefficients equal to zero, which is not the case here. Exam tip: in a polynomial, variable powers must be \(0,1,2,\ldots\); coefficients may also be irrational.
A. क्योंकि इसमें चर x की घात ऋणात्मक है/Because the variable x has a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। दिए गए व्यंजक में x की घात -2 है, इसलिए x^{-2} = 1/x-2 वाला पद बहुपद का पद नहीं हो सकता। 7x एक वैध बहुपद पद है, पर एक अवैध घात के कारण पूरा व्यंजक बहुपद नहीं रहता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात अवश्य जाँचें। / In a polynomial, every exponent of a variable must be a non-negative integer. Here, the exponent of x is -2, so the term x^{-2} = 1/x-2 cannot be a polynomial term. Although 7x is a valid polynomial term, one invalid exponent makes the whole expression non-polynomial. Exam tip: Check for negative or fractional exponents before identifying an expression as a polynomial.
\(x^3+x^2+x+1\) के पद \(x^3\), \(x^2\), \(x\) और \(1\) हैं, इसलिए इसमें चार पद हैं। \(x^2+x+1\) में तीन पद हैं, जबकि \(x^4-1\) में केवल दो पद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग करके गिनें। / The terms of \(x^3+x^2+x+1\) are \(x^3\), \(x^2\), \(x\), and \(1\), so it has four terms. \(x^2+x+1\) has three terms, whereas \(x^4-1\) has only two terms. Exam tip: Count terms by separating them at plus or minus signs.
A. चर \(x\) की घात \(-1\) है, जो ऋणेतर पूर्णांक नहीं है।/The exponent of the variable \(x\) is \(-1\), which is not a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल ऋणेतर पूर्णांक, जैसे \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। यहाँ \(x^{-1}=\frac{1}{x}\) है, इसलिए \(5x^{-1}+2\) बहुपद नहीं है। स्थिर पद और संख्यात्मक गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं; इसलिए विकल्प B और C गलत हैं। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही व्यंजक को बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponent of each variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=\frac{1}{x}\), so \(5x^{-1}+2\) is not a polynomial. A constant term and a numerical coefficient are allowed in polynomials, so options B and C are incorrect. Exam tip: a negative or fractional exponent of a variable means the expression is not a polynomial.
\(5x^{-3}+2\) में \(x\) की घात \(-3\) है, जो ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। \(7x^0+1\) बहुपद है, क्योंकि \(x^0=1\) और 0 एक स्वीकार्य घात है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाली घात को तुरंत जाँचें। / In \(5x^{-3}+2\), the exponent of \(x\) is \(-3\), which is negative. In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer, so this expression is not a polynomial. \(7x^0+1\) is a polynomial because \(x^0=1\), and 0 is an allowed exponent. Exam tip: while identifying polynomials, check immediately for negative, fractional, or variable exponents.
\(y^3-2y+6\) में \(y\) की घातें 3, 1 और 0 हैं। ये सभी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(y\) में बहुपद है। \(\frac{4}{y}+1\) में \(y\) हर में होने के कारण \(y^{-1}\) आता है, जबकि \(y^{-2}+5\) में ऋणात्मक घात है। \(\sqrt{y}+3\) में \(y^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3, ... हो सकती है। / In \(y^3-2y+6\), the exponents of \(y\) are 3, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(y\). In \(\frac{4}{y}+1\), the variable in the denominator gives \(y^{-1}\), while \(y^{-2}+5\) has a negative exponent. Also, \(\sqrt{y}+3\) contains the fractional exponent \(y^{1/2}\). Exam tip: In a polynomial, exponents of the variable must be 0, 1, 2, 3, ... .
\(x^2+4\) में \(x\) की घातें 2 और 0 हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं; इसलिए यह बहुपद है। इसकी उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है, रैखिक बहुपद नहीं। \(5x-2\) रैखिक बहुपद है क्योंकि इसकी घात 1 है। \(\frac{1}{x}+1\) और \(\sqrt{x}+2\) बहुपद नहीं हैं, क्योंकि इनमें \(x\) की घात क्रमशः \(-1\) और \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात सदैव 0 या धनात्मक पूर्णांक होती है। / In \(x^2+4\), the powers of \(x\) are 2 and 0, which are non-negative integers; therefore, it is a polynomial. Its highest power is 2, so it is a quadratic polynomial, not a linear polynomial. \(5x-2\) is linear because its degree is 1. \(\frac{1}{x}+1\) and \(\sqrt{x}+2\) are not polynomials because they contain powers \(-1\) and \(\frac{1}{2}\), respectively. Exam tip: the exponent of a variable in a polynomial must be 0 or a positive integer.
बहुपद में चर की घातें केवल 0, 1, 2, … जैसी ऋणेतर पूर्ण संख्याएँ हो सकती हैं। \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में x की घात −1 है, इसलिए विकल्प B बहुपद नहीं है। अन्य विकल्पों में x की सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the powers of the variable can only be non-negative integers such as 0, 1, 2, …. Here, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), so the exponent of x is −1. Therefore, option B is not a polynomial. In the other options, all powers of x are non-negative integers. Exam tip: if a variable appears in a denominator, rewrite it with a negative exponent to check whether it is a polynomial.
A. प्रत्येक पद में चर की घात ऋणेतर पूर्णांक होती है/In every term, the power of the variable is a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
एक चर वाले बहुपद के प्रत्येक पद में चर की घात \(0, 1, 2, \ldots\) जैसी ऋणेतर पूर्णांक होती है। इसलिए विकल्प A सही है। उदाहरण के लिए, \(3x^2-5x+7\) एक बहुपद है, जबकि \(x^{-1}\) में ऋणात्मक घात और \(x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात होने के कारण वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा में चर की घातों को पहले जाँचें। / In each term of a polynomial in one variable, the exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0, 1, 2, \ldots\). Therefore, option A is correct. For example, \(3x^2-5x+7\) is a polynomial, whereas \(x^{-1}\) has a negative exponent and \(x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: check the variable's exponents first.
A. वह ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए/It must be a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
\(x\) में बहुपद के हर पद में \(x\) की घात \(0,1,2,\dots\) अर्थात ऋणेतर पूर्णांक होती है। स्थिर पद में \(x\) की घात \(0\) मानी जाती है। \(x^{-1}\) में ऋणात्मक घात और \(x^{1/2}\) में भिन्नात्मक घात होती है, इसलिए ये बहुपद के पद नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले चर की सभी घातें जाँचें। / In a polynomial in \(x\), the exponent of \(x\) in every term must be a non-negative integer: \(0,1,2,\dots\). A constant term has exponent \(0\). For example, \(x^{-1}\) has a negative exponent and \(x^{1/2}\) has a fractional exponent, so neither is a polynomial term. Exam tip: check all variable exponents before identifying an expression as a polynomial.
बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{\frac{2}{3}}+1\) में \(x\) की घात \(\frac{2}{3}\) है, जो भिन्नात्मक है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। अन्य विकल्पों में \(x\) की घातें क्रमशः 2, 1 और 3 हैं, जो सभी धनात्मक पूर्णांक हैं। परीक्षा टिप: किसी चर की भिन्नात्मक या ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, the exponent of each variable must be zero or a positive integer. In \(x^{\frac{2}{3}}+1\), the exponent of \(x\) is \(\frac{2}{3}\), which is fractional; therefore, it is not a polynomial. In the other options, the exponents of \(x\) are 2, 1, and 3, all of which are positive integers. Exam tip: An expression with a fractional or negative exponent of a variable is not a polynomial.
C. ऐसा बीजीय व्यंजक जिसमें चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/An algebraic expression in which the exponents of variables are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद वह बीजीय व्यंजक है जिसमें प्रत्येक चर की घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होती है, जैसे \(3x^2-5x+7\)। इसलिए विकल्प C सही है। ऋणात्मक घात, जैसे \(x^{-1}\), या भिन्नात्मक घात, जैसे \(x^{1/2}\), वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता; चर का हर में होना भी ऋणात्मक घात के बराबर है। परीक्षा टिप: घातों को तुरंत जाँचें—वे केवल \(0,1,2,3,\ldots\) होनी चाहिए। / A polynomial is an algebraic expression in which every variable has an exponent that is zero or a positive integer, for example, \(3x^2-5x+7\). Therefore, option C is correct. Expressions with negative exponents, such as \(x^{-1}\), or fractional exponents, such as \(x^{1/2}\), are not polynomials; a variable in the denominator is equivalent to a negative exponent. Exam tip: check the exponents first—they must be \(0,1,2,3,\ldots\).
A. हाँ, क्योंकि x की घातें 2, 1 और 0 हैं, जो अशून्य पूर्णांक हैं/Yes, because the powers of x are 2, 1, and 0, which are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ 3x-2, 2x और 1 में x की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं; इसलिए \(3x^2+2x+1\) एक बहुपद है। अचर पद 1 होने या तीन पद होने से कोई समस्या नहीं होती। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखे, तो व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. In 3x-2, 2x, and 1, the powers of x are 2, 1, and 0 respectively; therefore, \(3x^2+2x+1\) is a polynomial. Having a constant term or three terms does not make an expression non-polynomial. Exam tip: if a variable has a negative or fractional exponent, the expression is not a polynomial.
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है/No, because \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) has a negative exponent of \(x\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3 आदि अशून्य पूर्णांक हो सकती है। यहाँ \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) है। अतः \(2x^2+\frac{3}{x}\) बहुपद नहीं है। \(2x^2\) बहुपद पद है, पर एक ऋणात्मक घात वाला पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। दो पद होना कोई समस्या नहीं है; द्विपद भी बहुपद हो सकता है। परीक्षा टिप: चर हर में दिखाई दे, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer such as 0, 1, 2, or 3. Here, \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(2x^2+\frac{3}{x}\) is not a polynomial. Although \(2x^2\) is a polynomial term, one term with a negative exponent makes the entire expression non-polynomial. Having two terms is not a problem, since a binomial can be a polynomial. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3, ... जैसी गैर-ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ हो सकती हैं। \(x^2+x+1\) में \(x\) की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद है। विकल्प B और D में ऋणात्मक घातें हैं, जबकि विकल्प C में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) भिन्नात्मक घात है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही उस पद को बहुपद का पद न मानें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be a non-negative integer: 0, 1, 2, 3, and so on. In \(x^2+x+1\), the powers of \(x\) are 2, 1, and 0, so it is a polynomial. Options B and D have negative exponents, while option C has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent; hence they are not polynomials. Exam tip: reject an expression as a polynomial if a variable has a negative or fractional exponent.
\(2x^2+3x-1\) में केवल चर \(x\) है और \(x\) की घातें 2, 1 तथा 0 हैं। ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है तथा इसमें \(y\) नहीं है। \(2y^2+3\) और \(xy+1\) में \(y\) उपस्थित है, जबकि \(\frac{1}{x}+1\) बहुपद नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है। परीक्षा टिप: बहुपद में किसी चर की घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(2x^2+3x-1\), the only variable is \(x\), with exponents 2, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\) and has no \(y\). Both \(2y^2+3\) and \(xy+1\) contain \(y\), whereas \(\frac{1}{x}+1\) is not a polynomial because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent. Exam tip: A variable in a polynomial can have only zero or positive integer exponents.
