बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 1 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 4 है। इसलिए सही उत्तर 4 है। 9 केवल गुणांक है, घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 4, 1, and 0, so the greatest exponent is 4. Therefore, the correct answer is 4. Note that 9 is a coefficient, not an exponent. Exam tip: To find degree, look for the highest power of the variable, not the coefficient.
व्यंजक \(3x-10\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(1\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(1\) है। डिग्री \(1\) वाले बहुपद को रेखीय बहुपद कहते हैं। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात \(2\) होती है, जबकि शून्य बहुपद के सभी गुणांक शून्य होते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(3x-10\), the highest power of \(x\) is \(1\), so its degree is \(1\). A polynomial of degree \(1\) is called a linear polynomial. A quadratic polynomial has highest power \(2\), whereas in a zero polynomial all coefficients are zero. Exam tip: To identify the type of a polynomial, look for the highest power of the variable.
व्यंजक \(x^2-8x+12\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात 2 है। घात 2 वाले बहुपद को द्विघात बहुपद कहते हैं। रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, जबकि त्रिघात बहुपद की घात 3 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / In \(x^2-8x+12\), the highest power of \(x\) is 2, so its degree is 2. A polynomial of degree 2 is called a quadratic polynomial. A linear polynomial has degree 1, whereas a cubic polynomial has degree 3. Exam tip: To identify the type of a polynomial, look for the highest power of the variable.
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। व्यंजक \(4x^3+x-6\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। द्विघात बहुपद में सबसे बड़ी घात 2 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार ज्ञात करने के लिए पहले चर की उच्चतम घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable with a non-zero coefficient. In \(4x^3+x-6\), the highest power of \(x\) is 3, so it is a cubic polynomial. A quadratic polynomial has highest power 2. Exam tip: To identify the type of a polynomial, first find the highest exponent of the variable.
(-15) में कोई चर नहीं है और इसका मान एक निश्चित, गैर-शून्य संख्या है। इसलिए यह नियतांक बहुपद है, जिसकी घात 0 होती है। शून्य बहुपद केवल 0 होता है, अतः (-15) शून्य बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: जिस बहुपद में चर न हो, उसे नियतांक बहुपद पहचानें। / The expression (-15) has no variable and its value is a fixed non-zero number. Hence, it is a constant polynomial, with degree 0. A zero polynomial is only 0, so (-15) is not a zero polynomial. Exam tip: A polynomial containing no variable is identified as a constant polynomial.
A. इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद वह बहुपद है जिसके सभी गुणांक 0 होते हैं, जैसे 0। बहुपद की डिग्री उसके शून्येतर पद की सबसे बड़ी घात होती है। शून्य बहुपद में कोई शून्येतर पद नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। डिग्री 0 किसी अशून्य स्थिर बहुपद, जैसे 5, की होती है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद और अशून्य स्थिर बहुपद में अंतर अवश्य याद रखें। / The zero polynomial has all coefficients equal to 0, for example, 0. The degree of a polynomial is the greatest exponent of a non-zero term. Since the zero polynomial has no non-zero term, its degree is not defined. Degree 0 belongs to a non-zero constant polynomial such as 5. Exam tip: Do not confuse the zero polynomial with a non-zero constant polynomial.
B. क्योंकि चर की घात भिन्नात्मक है/Because the exponent of the variable is fractional
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। यहाँ \(x\) की घात \(\frac{5}{2}\) है, जो भिन्नात्मक है, इसलिए \(x^{\frac{5}{2}}-1\) बहुपद नहीं है। घटाव चिह्न, ऋणात्मक अचर पद या दो पद होना बहुपद के लिए बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय प्रत्येक चर की घात 0 या धनात्मक पूर्णांक जाँचें। / In a polynomial, every variable exponent must be a non-negative integer. Here, the exponent of \(x\) is \(\frac{5}{2}\), which is fractional, so \(x^{\frac{5}{2}}-1\) is not a polynomial. A subtraction sign, a negative constant term, or two terms does not make an expression non-polynomial. Exam tip: check that each variable exponent is 0 or a positive integer.
A. क्योंकि इसमें चर x की घात ऋणात्मक है/Because the variable x has a negative exponent
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। दिए गए व्यंजक में x की घात -2 है, इसलिए x^{-2} = 1/x-2 वाला पद बहुपद का पद नहीं हो सकता। 7x एक वैध बहुपद पद है, पर एक अवैध घात के कारण पूरा व्यंजक बहुपद नहीं रहता। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय चर की ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात अवश्य जाँचें। / In a polynomial, every exponent of a variable must be a non-negative integer. Here, the exponent of x is -2, so the term x^{-2} = 1/x-2 cannot be a polynomial term. Although 7x is a valid polynomial term, one invalid exponent makes the whole expression non-polynomial. Exam tip: Check for negative or fractional exponents before identifying an expression as a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 6, 2 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 6 है। इसलिए सही उत्तर 6 है। 2 केवल पद -4x-2 की घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानें और फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of the terms are 6, 2, and 0; the greatest is 6. Therefore, the correct answer is 6. The number 2 is only the exponent in the term -4x-2, not the degree of the whole polynomial. Exam tip: treat a non-zero constant term as having exponent 0, then identify the greatest exponent.
बहुपद में जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग होने वाले भाग पद कहलाते हैं। यहाँ पद हैं: \(7x^3\), \(2x^2\), \(-x\) और \(5\)। अतः कुल 4 पद हैं। \(-x\) को ऋणात्मक पद मानना चाहिए; इसे अलग से घटाव का चिह्न समझकर छोड़ना नहीं चाहिए। परीक्षा टिप: पद गिनते समय प्रत्येक धनात्मक या ऋणात्मक भाग को एक पूरा पद गिनें। / In a polynomial, the parts separated by addition or subtraction signs are called terms. Here, the terms are \(7x^3\), \(2x^2\), \(-x\), and \(5\). Therefore, there are 4 terms. Remember that \(-x\) is one negative term, not something to omit because of the minus sign. Exam tip: Count every positive or negative algebraic part as one complete term.
बहुपद के पद \(2x^3\), \(x^2\) और \(4\) हैं। इनमें \(x\) की घातें क्रमशः 3, 2 और 0 हैं। इसलिए सबसे बड़ी घात 3 है, जो \(2x^3\) पद में है। \(x^2\) में घात केवल 2 है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उच्चतम घात वाला पद पहचानें। / The terms of the polynomial are \(2x^3\), \(x^2\), and \(4\). Their powers of \(x\) are 3, 2, and 0 respectively. Therefore, \(2x^3\) has the highest power. The term \(x^2\) has power 2 only. Exam tip: Compare the exponents of the variable to identify the term with the highest power.
यह एक बहुपद है, क्योंकि \(x\) की घातें \(2\), \(1\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। \(\sqrt{5}\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह \(x\) का मान्य गुणांक हो सकता है। शून्य बहुपद में सभी गुणांक शून्य होते हैं, जबकि यहाँ ऐसा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए; गुणांक अपरिमेय भी हो सकते हैं। / This is a polynomial because the powers of \(x\) are \(2\), \(1\), and \(0\), all of which are non-negative integers. Since \(\sqrt{5}\) is a real number, it can be a valid coefficient of \(x\). A zero polynomial has all coefficients equal to zero, which is not the case here. Exam tip: in a polynomial, variable powers must be \(0,1,2,\ldots\); coefficients may also be irrational.
\(\sqrt{x}\) को \(x^{\frac{1}{2}}\) लिखा जा सकता है। भिन्न घात होने से यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}\) can be written as \(x^{\frac{1}{2}}\). Due to the fractional power, it is not a polynomial.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें चर नहीं होता। \(12x^3\) में एकमात्र पद में \(x\) उपस्थित है, इसलिए इसमें कोई अलग नियतांक पद नहीं है। अतः इसका नियतांक पद \(0\) है। \(12\) गुणांक है, नियतांक पद नहीं। परीक्षा टिप: जिस पद में चर का घात \(0\) हो, वही नियतांक पद होता है। / A constant term contains no variable. The only term in \(12x^3\) contains \(x\), so there is no separate constant term. Hence, its constant term is \(0\). Here, \(12\) is the coefficient, not the constant term. Exam tip: A term with the variable raised to the power \(0\) is the constant term.
बहुपद x-5+x-3+x में x-5, x-3 और x के पद हैं, लेकिन x-4 का कोई पद नहीं है। किसी घात का पद अनुपस्थित होने पर उसका गुणांक 0 माना जाता है। इसलिए x-4 का गुणांक 0 है। 1 को चुनना गलत होगा, क्योंकि x का गुणांक 1 है, x-4 का नहीं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद पूछा हो, उसे बहुपद के प्रत्येक पद में ध्यान से खोजें। / The polynomial x-5+x-3+x contains the terms x-5, x-3, and x, but it has no x-4 term. When a term of a particular degree is absent, its coefficient is taken as 0. Therefore, the coefficient of x-4 is 0. Choosing 1 would be incorrect because 1 is the coefficient of x, not x-4. Exam tip: Look for the exact power named in the question before identifying its coefficient.
A. हाँ, क्योंकि \(x^0=1\) और \(1-4x\) में \(x\) की घात एक ऋणेतर पूर्णांक है/Yes, because \(x^0=1\) and the exponent of \(x\) in \(1-4x\) is a non-negative integer
Explanation
Simple Explanation
\(x^0=1\) होता है, इसलिए दिया गया व्यंजक \(1-4x\) बन जाता है। इसमें \(x\) की घातें \(0\) और \(1\) हैं, जो दोनों ऋणेतर पूर्णांक हैं; अतः यह बहुपद है। शून्य घात बहुपद में मान्य होती है और घटाव या दो पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: जाँचें कि प्रत्येक चर की घात \(0,1,2,\ldots\) में हो। / Since \(x^0=1\), the given expression becomes \(1-4x\). The exponents of \(x\) are \(0\) and \(1\), both of which are non-negative integers; hence it is a polynomial. An exponent of zero is allowed, and neither subtraction nor having two terms prevents an expression from being a polynomial. Exam tip: check that every variable exponent is \(0,1,2,\ldots\).
B. हां, क्योंकि (x) की घात (1) है/Yes, because the power of (x) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{3x}{5}\) में (x) की घात (1) है और गुणांक \(\frac{3}{5}\) है। भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य है। / In \(\frac{3x}{5}\), the power of (x) is (1) and the coefficient is \(\frac{3}{5}\). A fractional coefficient is valid in a polynomial.
A. हाँ, क्योंकि इसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं और \(x\) की घात एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है।/Yes, because its coefficients are real numbers and the exponent of \(x\) is a non-negative integer.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(-\frac{2}{3}x^3+4\) एक बहुपद है। बहुपद में गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं; वे ऋणात्मक या भिन्न भी हो सकते हैं। साथ ही, चर की घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए, और यहाँ \(x\) की घात \(3\) है। भिन्नात्मक गुणांक होना गलत नहीं है; भिन्नात्मक घात, जैसे \(x^{1/2}\), बहुपद में मान्य नहीं होती। परीक्षा टिप: घात जाँचें, गुणांक नहीं—घात \(0,1,2,\ldots\) होनी चाहिए। / Yes, \(-\frac{2}{3}x^3+4\) is a polynomial. The coefficients of a polynomial may be any real numbers, including negative numbers and fractions. Also, the exponent of the variable must be a non-negative integer; here, the exponent of \(x\) is \(3\). A fractional coefficient is allowed, whereas a fractional exponent such as \(x^{1/2}\) is not allowed in a polynomial. Exam tip: check the exponents, not the form of the coefficients—exponents must be \(0,1,2,\ldots\).
सही उत्तर \(x^{\frac{4}{5}}+2\) है, क्योंकि इसमें चर \(x\) की घात \(\frac{4}{5}\) है, जो भिन्नात्मक घात है। बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,\ldots\) जैसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक ही हो सकती है। \(x^4+5\), \(5x^2+1\) और \(4x+5\) में घातें क्रमशः 4, 2 और 1 हैं, इसलिए वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय पहले चर की घातों को जाँचें। / The correct answer is \(x^{\frac{4}{5}}+2\) because the power of \(x\) is \(\frac{4}{5}\), a fractional exponent. In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer such as \(0,1,2,\ldots\). The exponents in \(x^4+5\), \(5x^2+1\), and \(4x+5\) are 4, 2, and 1 respectively, so they are polynomials. Exam tip: To identify a polynomial, first check the exponents of its variables.
बहुपद में चर की सबसे अधिक घात उसकी डिग्री होती है। यहाँ पदों की घातें 2, 1 और 0 हैं; सबसे अधिक घात 2 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 6 गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable. Here, the exponents in the terms are 2, 1, and 0, and the greatest is 2. Therefore, the degree of the polynomial is 2. The number 6 is a coefficient, not the degree. Exam tip: identify the greatest power of the variable.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ 13x को 13x-1 लिखा जा सकता है और स्थिर पद 2 की घात 0 है। अतः सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए सही उत्तर 1 है। 13 केवल x का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय गुणांक नहीं, केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest power of its variable with a non-zero coefficient. Here, 13x can be written as 13x-1, while the constant term 2 has power 0. Therefore, the highest power is 1, so the correct answer is 1. The number 13 is only the coefficient of x, not the degree. Exam tip: For degree, look at the highest exponent of the variable, not its coefficient.
23 एक अशून्य नियतांक बहुपद है। इसे 23x-0 के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए x का सबसे बड़ा घात 0 है और इसकी डिग्री 0 होती है। डिग्री 1 रैखिक बहुपदों की होती है, जैसे 2x + 3। परीक्षा टिप: केवल शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती है; अशून्य नियतांक की डिग्री हमेशा 0 होती है। / 23 is a non-zero constant polynomial. It can be written as 23x-0, so the highest power of x is 0 and its degree is 0. Degree 1 belongs to linear polynomials such as 2x + 3. Exam tip: only the zero polynomial has an undefined degree; every non-zero constant has degree 0.
C. शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं है और अशून्य नियतांक की डिग्री (0) है/Zero polynomial degree is not defined and non-zero constant degree is (0)
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री (0) होती है। / The degree of the zero polynomial is not defined. The degree of a non-zero constant polynomial is (0).
बहुपद में चर की घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। \(x^5+x^2+1\) में \(x\) की घातें 5, 2 और 0 हैं; स्थिर पद \(1\) की घात 0 मानी जाती है। इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में ऋणात्मक घात है, विकल्प C में भिन्नात्मक घात है, और विकल्प D में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) होने से ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए जाँचें कि किसी भी चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक न हो। / In a polynomial, the powers of a variable must be 0 or positive integers. In \(x^5+x^2+1\), the powers of \(x\) are 5, 2, and 0; the constant term \(1\) has power 0. Hence, option A is correct. Option B has a negative power, option C has a fractional power, and in option D, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\), which has a negative power. Exam tip: To identify a polynomial, check that no variable has a negative or fractional exponent.
बहुपद का अग्रणी पद वह पद होता है जिसकी चर की घात सबसे अधिक हो। दिए गए बहुपद में \(x^4\), \(x^2\), \(x\) और अचर पद \(1\) हैं। सबसे अधिक घात 4 है, इसलिए अग्रणी पद \(-3x^4\) है। \(2x^2\) की घात केवल 2 है, इसलिए वह अग्रणी पद नहीं है। परीक्षा टिप: अग्रणी पद पहचानने से पहले पदों की घातों की तुलना करें। / The leading term of a polynomial is the term with the highest power of the variable. The given polynomial has terms involving \(x^4\), \(x^2\), \(x\), and the constant \(1\). Since the highest power is 4, \(-3x^4\) is the leading term. The term \(2x^2\) has power 2, so it is not the leading term. Exam tip: compare the powers of the variable before identifying the leading term.
A. \(x\) का घात \(-1\) है, जो बहुपद में स्वीकार्य नहीं है।/The exponent of \(x\) is \(-1\), which is not allowed in a polynomial.
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{-3}{x}=-3x^{-1}\) में \(x\) का घात \(-1\) है। बहुपद में चरों के घात केवल \(0,1,2,\dots\) होते हैं; ऋणात्मक गुणांक या स्थिर पद मान्य हैं। परीक्षा टिप: हर पद का घात जाँचें। / Since \(\frac{-3}{x}=-3x^{-1}\), the exponent of \(x\) is \(-1\). A polynomial permits only \(0,1,2,\dots\) as variable exponents; negative coefficients and constants are allowed. Exam tip: check each exponent.
B. नहीं, क्योंकि \(\frac{2}{x}\) में चर हर में है/No, because in \(\frac{2}{x}\), the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। यहाँ \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-1\) हो जाती है। अतः \(5x^2-\frac{2}{x}\) बहुपद नहीं है। \(5x^2\) स्वयं बहुपद पद है, लेकिन पूरे व्यंजक में एक भी ऋणात्मक घात होने पर वह बहुपद नहीं रहता। परीक्षा टिप: चर को हर में देखकर उसे ऋणात्मक घात में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer. Here, \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), so the exponent of \(x\) is \(-1\). Therefore, \(5x^2-\frac{2}{x}\) is not a polynomial. Although \(5x^2\) is a polynomial term, one negative exponent makes the complete expression non-polynomial. Exam tip: If a variable occurs in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
\(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) में केवल एक बीजीय पद है, लेकिन चर \(x\) की घात \(-1\) है। बहुपद में किसी चर की घात ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए यह बहुपद नहीं है। इसके विपरीत \(3x\), \(x^2\) और \(5\) में घातें क्रमशः \(1,2\) और \(0\) हैं, इसलिए वे बहुपद हैं। परीक्षा टिप: हर भिन्न को घात के रूप में लिखकर जाँचें; चर हर में हो तो घात ऋणात्मक होगी। / \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) has only one algebraic term, but the exponent of \(x\) is \(-1\). A polynomial cannot have a negative exponent of a variable, so it is not a polynomial. In contrast, \(3x\), \(x^2\), and \(5\) have exponents \(1\), \(2\), and \(0\), respectively, so they are polynomials. Exam tip: Rewrite a variable in the denominator using a negative exponent before checking whether an expression is a polynomial.
किसी भी चर के लिए \(0x=0\) होता है। इसलिए \(3x^2+0x-7=3x^2-7\), अतः विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x\) का अनावश्यक पद जोड़ दिया गया है, जबकि उसका गुणांक 0 है। परीक्षा टिप: जिस पद का गुणांक 0 हो, उसे सरल रूप में हटा दें। / For every value of \(x\), \(0x=0\). Hence, \(3x^2+0x-7=3x^2-7\), so option A is correct. Option B incorrectly adds an \(x\)-term, although its coefficient is 0. Exam tip: Remove any term whose coefficient is 0 when simplifying a polynomial.
\(4x^2+x+6\) में \(x^3\) वाला कोई पद नहीं है, इसलिए \(x^3\) का गुणांक \(0\) है। इसके विपरीत, \(x^3+2\) और \(7x^3+1\) में \(x^3\) का गुणांक \(1\) है, जबकि \(2x^3-x\) में यह \(2\) है। परीक्षा टिप: जिस घात का पद न दिया हो, उसका गुणांक हमेशा \(0\) माना जाता है। / In \(4x^2+x+6\), there is no \(x^3\) term, so the coefficient of \(x^3\) is \(0\). In contrast, the coefficient of \(x^3\) is \(1\) in \(x^3+2\) and \(7x^3+1\), and \(2\) in \(2x^3-x\). Exam tip: If a term of a particular power is missing, its coefficient is taken as \(0\).
C. क्योंकि इसमें \(x^{-2}\) है/Because it has \(x^{-2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^{-2}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घात स्वीकार नहीं होती। / In \(x^{-2}\), the power of the variable is negative. A negative power is not accepted in a polynomial.
A. हाँ, क्योंकि x की सभी घातें अशून्य पूर्णांक हैं।/Yes, because all powers of x are non-negative integers.
Explanation
Simple Explanation
हाँ, \(5x^3-2x^2+x-1\) एक बहुपद है, क्योंकि इसमें x की घातें 3, 2, 1 और 0 हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। नियतांक पद -1 को x-0 के रूप में लिखा जा सकता है। चार पद होना या x-3 का होना बहुपद होने में बाधा नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Yes, \(5x^3-2x^2+x-1\) is a polynomial because the powers of x are 3, 2, 1, and 0, all of which are non-negative integers. The constant term -1 can be viewed as -1x-0. Having four terms or a term containing x-3 does not prevent an expression from being a polynomial. Exam tip: in a polynomial, the exponent of a variable must be 0 or a positive integer.
बहुपद में x वाला रैखिक पद -4x है। चूँकि -4x = (-4)\(x\), इसलिए x का गुणांक -4 है। 7, x² का गुणांक है, जबकि 10 अचर पद है। परीक्षा टिप: किसी चर का गुणांक ज्ञात करने के लिए उस चर वाले पद में चर के साथ गुणा हो रही संख्या देखें। / The linear term containing x is -4x. Since -4x = (-4)\(x\), the coefficient of x is -4. Here, 7 is the coefficient of x², while 10 is the constant term. Exam tip: To find a variable’s coefficient, identify the number multiplying that variable in its term.
बहुपद में चर x की सबसे बड़ी घात 7 है, जो पद 2x-7 में है। इसलिए इस बहुपद की डिग्री 7 है। 4, पद -5x-4 की घात है, पर वह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए सरलीकृत बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The highest exponent of the variable x is 7, occurring in the term 2x-7. Therefore, the degree of the polynomial is 7. Although -5x-4 has exponent 4, it is not the highest exponent. Exam tip: To find the degree, look for the greatest exponent of the variable in the simplified polynomial.
बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पद 4x-8 में x की घात 8 है और स्थिरांक -3 की घात 0 होती है। इसलिए बहुपद की डिग्री 8 है। 11, 4 और 3 किसी भी पद में x की घात नहीं हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की सबसे बड़ी घात देखें, गुणांक को नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Here, the term 4x-8 has exponent 8, while the constant term -3 has exponent 0. Therefore, the degree of the polynomial is 8. The numbers 11, 4, and 3 are not exponents of x in the polynomial. Exam tip: To find degree, look for the highest power of the variable, not the coefficient.
A. हाँ, क्योंकि \(-\sqrt{2}\) एक वास्तविक गुणांक है/Yes, because \(-\sqrt{2}\) is a real coefficient
Explanation
Simple Explanation
\(-\sqrt{2}x+9\) में \(x\) की घात \(1\) है और अचर पद \(9\) है। बहुपद के गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकते हैं; इसलिए \(-\sqrt{2}\) का गुणांक होना स्वीकार्य है। वर्गमूल गुणांक में है, \(x\) पर नहीं, इसलिए यह बहुपद है। परीक्षा टिप: जाँचें कि चर की घातें केवल \(0,1,2,\ldots\) हों। / In \(-\sqrt{2}x+9\), the power of \(x\) is \(1\), and \(9\) is a constant term. Coefficients of a polynomial may be any real numbers, so \(-\sqrt{2}\) is allowed. The square root is in the coefficient, not on \(x\); hence the expression is a polynomial. Exam tip: check that powers of the variable are only \(0,1,2,\ldots\).
B. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
चर हर में आने पर ऋणात्मक घात बन सकती है। बहुपद में चर की ऋणात्मक घात मान्य नहीं होती। / When the variable is in the denominator, a negative power may appear. Negative powers of the variable are not valid in a polynomial.
(6), (3), और (0) सभी अशून्य या शून्य पूर्णांक हैं। इसलिए ये घातें बहुपद के लिए मान्य हैं। / (6), (3), and (0) are all non-negative integers. Therefore these powers are valid for a polynomial.
नियतांक पद वह पद होता है जिसमें चर नहीं होता। बहुपद 10x-2-7x+4 में 10x-2 और -7x में x उपस्थित है, जबकि 4 में कोई चर नहीं है। इसलिए 4 नियतांक पद है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद में जिस पद के साथ कोई चर न जुड़ा हो, वही नियतांक पद होता है। / A constant term is a term that contains no variable. In 10x-2-7x+4, both 10x-2 and -7x contain x, whereas 4 has no variable. Therefore, 4 is the constant term. Exam tip: Identify the term with no variable to find the constant term.
C. नहीं, क्योंकि \(x^{-1}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक है
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। दिए गए व्यंजक में \(2x^{-1}=\frac{2}{x}\) है, जिसमें \(x\) की घात \(-1\) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। तीन पद होना या वास्तविक गुणांक होना किसी व्यंजक को बहुपद बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानते समय सबसे पहले चर की ऋणात्मक, भिन्नात्मक या चर वाले हर की घात जाँचें। / In a polynomial, the powers of the variable must be 0 or positive integers. Here, \(2x^{-1}=\frac{2}{x}\), so the power of \(x\) is \(-1\). Therefore, the expression is not a polynomial. Having three terms or real coefficients alone does not make an expression a polynomial. Exam tip: Check first for negative or fractional powers, or a variable in the denominator.
बहुपद का अग्रणी पद वह पद होता है जिसकी चर की घात सबसे अधिक होती है। दिए गए बहुपद में x की घातें 5, 4, 2 और 0 हैं। सबसे अधिक घात 5 है, इसलिए अग्रणी पद 3x-5 है। -2x-4 का गुणांक ऋणात्मक है, लेकिन उसकी घात 4 होने के कारण वह अग्रणी पद नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद को पहले घातों के अवरोही क्रम में लिखें; पहला पद ही अग्रणी पद होता है। / The leading term of a polynomial is the term with the greatest exponent of the variable. In the given polynomial, the exponents of x are 5, 4, 2, and 0. Since 5 is the greatest exponent, 3x-5 is the leading term. Although -2x-4 has a negative coefficient, its exponent is only 4, so it is not the leading term. Exam tip: Write a polynomial in descending order of exponents; the first term is the leading term.
बहुपद
\(-9x^6+x-8\) में सबसे अधिक घात वाला पद
\(-9x^6\) है, क्योंकि
\(x^6\) की घात 6 है। इस अग्रणी पद का गुणांक
\(-9\) है, इसलिए सही उत्तर
\(-9\) है।
\(6\) बहुपद की घात है, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: अग्रणी गुणांक ज्ञात करने के लिए पहले सबसे अधिक घात वाला पद पहचानें, फिर उसका संख्यात्मक गुणांक लिखें। / In the polynomial \(-9x^6+x-8\), the term with the highest power is \(-9x^6\), since the power of \(x\) is 6. The numerical coefficient of this leading term is \(-9\), so the correct answer is \(-9\). The number \(6\) is the degree of the polynomial, not its coefficient. Exam tip: first identify the term with the highest exponent, then write its numerical coefficient.
\(x^4-16\) के दो पद, \(x^4\) और \(-16\), हैं; इसलिए यह द्विपदी है। इसमें \(x\) की घात 4 है, जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, अतः यह बहुपद भी है। \(x^2+x+1\) त्रिपदी है, जबकि \(\frac{1}{x}+2\) में \(x\) की घात \(-1\) होती है, इसलिए वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: द्विपदी में ठीक दो पद होते हैं और चर की घातें गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / \(x^4-16\) has exactly two terms, \(x^4\) and \(-16\), so it is a binomial. Its exponent of \(x\) is 4, a non-negative integer; hence it is a polynomial. \(x^2+x+1\) is a trinomial, while \(\frac{1}{x}+2\) contains \(x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: a binomial has exactly two terms, and variable exponents in a polynomial must be non-negative integers.
\(2x^2-3x+9\) में तीन पद हैं और (x) की सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह त्रिपदी बहुपद है। / \(2x^2-3x+9\) has three terms and all powers of (x) are valid. Therefore it is a trinomial polynomial.
B. हां, क्योंकि \(\pi\) वास्तविक संख्या है और घातें मान्य हैं/Yes, because \(\pi\) is a real number and the powers are valid
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में गुणांक वास्तविक संख्या हो सकते हैं। यहां (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / Coefficients in a polynomial can be real numbers. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0).
B. क्योंकि \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) में चर की घात \(-\frac{1}{2}\) है/Because \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) has variable power \(-\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\) होता है। ऋणात्मक और भिन्न घात बहुपद में मान्य नहीं होती। / \(\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-\frac{1}{2}}\). Negative and fractional powers are not valid in a polynomial.
\(0x^2=0\), इसलिए \(0x^2\) वाला पद बहुपद के मान में कोई योगदान नहीं देता और उसे हटा दिया जाता है। अतः सरल रूप \(8x^3-6\) है। विकल्प B में शून्य गुणांक को गलती से \(1\) मान लिया गया है। परीक्षा टिप: जिस पद का गुणांक 0 हो, उसे तुरंत हटाकर व्यंजक को सरल करें। / Since \(0x^2=0\), the term \(0x^2\) contributes nothing to the polynomial and is removed. Therefore, the simplified form is \(8x^3-6\). Option B incorrectly treats the zero coefficient as 1. Exam tip: Remove any term whose coefficient is 0 before simplifying a polynomial.
बहुपद 2x-4-3x+5 को 2x-4+0x-2-3x+5 के रूप में लिखा जा सकता है। इसमें x-2 वाला पद 0x-2 है, इसलिए x-2 का गुणांक 0 है। 2, -3 और 5 क्रमशः x-4, x और अचर पद से जुड़े हैं। परीक्षा टिप: जिस घात का पद न दिखे, उसका गुणांक 0 होता है। / The polynomial 2x-4-3x+5 can be written as 2x-4+0x-2-3x+5. Its x-2 term is 0x-2, so the coefficient of x-2 is 0. Here, 2, -3, and 5 are associated with the x-4 term, the x term, and the constant term respectively. Exam tip: If a term of a given power is missing, its coefficient is 0.
मानक रूप में पद घटती घातों में लिखे जाते हैं। \(x^4-3x^2+2x-7\) में घातें घटते क्रम में हैं। / In standard form, terms are written in descending powers. In \(x^4-3x^2+2x-7\), the powers are in descending order.
A. हां, क्योंकि \(\frac{x}{3}\) में (x) की घात (1) है/Yes, because in \(\frac{x}{3}\), the power of (x) is (1)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x}{3}\) का गुणांक \(\frac{1}{3}\) है और घात (1) है। इसलिए यह बहुपद है। / The coefficient of \(\frac{x}{3}\) is \(\frac{1}{3}\), and the power is (1). Therefore it is a polynomial.
