पद 0x-8 का गुणांक 0 है, इसलिए यह शून्य पद है और बहुपद की डिग्री तय करने में शामिल नहीं होगा। शेष बहुपद -5x-4+3x-2-6 में x की सबसे बड़ी घात 4 है। अतः इसकी डिग्री 4 है। 8 चुनना गलत होगा, क्योंकि शून्य गुणांक वाला पद बहुपद का प्रभावी पद नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The coefficient of 0x-8 is 0, so it is a zero term and does not determine the degree of the polynomial. In the remaining polynomial, -5x-4+3x-2-6, the highest power of x is 4. Therefore, its degree is 4. Choosing 8 would be incorrect because a term with coefficient zero is not an effective term of the polynomial. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms before finding the degree.
(k=-3) रखने पर \(x^6\) का गुणांक (0) हो जाता है। शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात (2) है। / Putting (k=-3) makes the coefficient of \(x^6\) equal to (0). In the remaining polynomial, the highest power is (2).
रेखीय बहुपद की घात 1 होती है। दिए गए व्यंजक में x का घात 3 वाला पद \((m-4)x^3\) है। इसे हटाने के लिए इसका गुणांक शून्य होना चाहिए: \(m-4=0\)। अतः \(m=4\) पर व्यंजक \(7x-2\) बनता है, जो रेखीय बहुपद है। \(m=0\) या \(m=-4\) रखने पर x³ का गुणांक शून्य नहीं होता, इसलिए बहुपद घन ही रहता है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात घटाने के लिए उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1. In the given expression, the degree-3 term is \((m-4)x^3\). Its coefficient must be zero to remove this term: \(m-4=0\). Hence, \(m=4\), and the expression becomes \(7x-2\), which is linear. For \(m=0\) or \(m=-4\), the coefficient of x³ is not zero, so the polynomial remains cubic. Exam tip: To reduce the degree of a polynomial, set the coefficient of its highest-degree term to zero.
C. क्योंकि (x+4) मूल चिह्न के अंदर है/Because (x+4) is inside a radical sign
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x+4}\) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x+4}\) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore the whole expression is not a polynomial.
बहुपद में x वाला पद 0x है। किसी पद में x से गुणा होने वाली संख्या उसका गुणांक कहलाती है, इसलिए x का गुणांक 0 है। 5 अचर पद है, जबकि -2, x² के गुणांक को दर्शाता है। परीक्षा टिप: जिस घात के पद का गुणांक पूछा हो, उसी घात वाले पद को पहचानें; पद न दिखे तो उसका गुणांक 0 माना जाता है। / In the polynomial, the term containing x is 0x. The number multiplying x is called its coefficient, so the coefficient of x is 0. Here, 5 is the constant term, while -2 is the coefficient of x². Exam tip: Identify the term with the requested power of x; if that term is absent, its coefficient is 0.
पहले व्यंजक में सबसे बड़ी घात (3) है और सभी घातें मान्य हैं। इसलिए यह त्रिघात बहुपद है। / In the first expression, the highest power is (3), and all powers are valid. So it is a cubic polynomial.
A. क्योंकि चर हर में है/Because the variable is in the denominator
Explanation
Simple Explanation
मूल रूप में हर में (x) है, इसलिए इसे सीधे बहुपद नहीं कहते। सरल रूप के लिए \(x\neq0\) की शर्त ध्यान रखें। / In the original form, (x) is in the denominator, so it is not directly called a polynomial. For simplification, keep the condition \(x\neq0\) in mind.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^4}{x}=x^3\) और \(\frac{2x}{x}=2\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^3+2\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^4}{x}=x^3\) and \(\frac{2x}{x}=2\). So the simplified form is \(x^3+2\).
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ पद x-3 और 2 हैं; x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 3 है। विकल्प 0 केवल अशून्य अचर बहुपद की डिग्री होता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल रूप में लिखें और चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms. Here, the terms are x-3 and 2, and the greatest power of x is 3. Hence, the degree is 3. Option 0 is the degree only of a non-zero constant polynomial. Exam tip: First write the polynomial in simplified form, then identify the highest exponent of the variable.
C. नहीं क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/No because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / (|x|) is not written as a term with non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
नियतांक बनने के लिए (r-1=0) और (r+2=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (r-1=0) and (r+2=0) are required. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
(x) के संदर्भ में (y) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
बहुपद में केवल \(4x^6\), \(-3x^4\) और \(2\) पद हैं। इसमें \(x^5\) तथा \(x\) के पद नहीं हैं; अनुपस्थित पद का गुणांक \(0\) माना जाता है। इसलिए दोनों गुणांक \(0\) हैं। \(6\) और \(1\) क्रमशः घात हैं, गुणांक नहीं। परीक्षा टिप: किसी घात का पद न दिखे तो उसका गुणांक हमेशा \(0\) लिखें। / The polynomial contains only the terms \(4x^6\), \(-3x^4\), and \(2\). There is no \(x^5\) term or \(x\) term, and the coefficient of a missing term is taken as \(0\). Hence, both coefficients are \(0\). The numbers \(6\) and \(1\) are exponents, not coefficients. Exam tip: if a term of a given power is absent, its coefficient is always \(0\).
\(\frac{7}{x-3}\) में चर हर में है। ऐसा व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{7}{x-3}\), the variable is in the denominator. Such an expression does not satisfy the definition of a polynomial.
(n=1) रखने पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (2) है। / Putting (n=1), the coefficient of \(x^4\) is (0) and the coefficient of \(x^2\) is (3). Therefore the degree is (2).
\(-5x^4+x^2-7\) की डिग्री (4) है और अग्रणी गुणांक (-5) है। इसलिए दोनों शर्तें पूरी हैं। / \(-5x^4+x^2-7\) has degree (4) and leading coefficient (-5). Therefore both conditions are satisfied.
पहले \(x^3\) को \((x-2)\) से गुणा करें: \(x^3(x-2)=x^4-2x^3\)। अतः पूरा व्यंजक \(x^4-2x^3-x^4+6x\) होगा। यहाँ \(x^4-x^4=0\), इसलिए शेष बहुपद \(-2x^3+6x\) है। विकल्प A में \(-x^4\) को रद्द नहीं किया गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / First multiply \(x^3\) by \((x-2)\): \(x^3(x-2)=x^4-2x^3\). Thus, the expression becomes \(x^4-2x^3-x^4+6x\). Since \(x^4-x^4=0\), the remaining polynomial is \(-2x^3+6x\). Option A incorrectly leaves the \(-x^4\) term uncancelled. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms with the same power of the variable.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो।
\(-2x^3+6x\) में पदों की घातें क्रमशः 3 और 1 हैं। सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। 6 गुणांक है, घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय केवल चर की घात देखें, गुणांक को नहीं। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. In
\(-2x^3+6x\), the exponents of x are 3 and 1. The greatest exponent is 3, so its degree is 3. The number 6 is a coefficient, not an exponent. Exam tip: To find a degree, look at the powers of the variable, not the coefficients.
B. यह बहुपद है और डिग्री (3) है/It is a polynomial and degree is (3)
Explanation
Simple Explanation
\(\pi\) और \(-\frac{2}{7}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (0), (3), और (1) हैं, इसलिए डिग्री (3) है। / \(\pi\) and \(-\frac{2}{7}\) are real coefficients. The powers of (x) are (0), (3), and (1), so the degree is (3).
(c=0) होने पर \(x^5\) पद हट जाता है और \(x^4\) का गुणांक (1) रहता है। इसलिए डिग्री (4) है। / When (c=0), the \(x^5\) term disappears and the coefficient of \(x^4\) remains (1). Therefore the degree is (4).
बहुपद की कोटि उसके चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है।
इस बहुपद में
\(x^2+x-1\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद की सबसे बड़ी घात \(1\) होती है, जबकि त्रिघात बहुपद में घात \(3\) होती है। परीक्षा टिप: बहुपद का प्रकार पहचानने के लिए पहले उसे सरल रूप में लिखकर सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is determined by the highest power of its variable. In \(x^2+x-1\), the highest power of \(x\) is \(2\), so it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has highest power \(1\), whereas a cubic polynomial has highest power \(3\). Exam tip: first write the polynomial in simplified form, then identify its highest exponent.
क्योंकि \(x^0=1\), इसलिए दिया गया व्यंजक \(x^5+x^3+1\) है। बहुपद की डिग्री उसमें चर की सबसे बड़ी घात होती है, जो यहाँ \(5\) है। \(3\) केवल दूसरे पद \(x^3\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) जैसे पदों को स्थिरांक में बदलें, फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Since \(x^0=1\), the expression becomes \(x^5+x^3+1\). The degree of a polynomial is the highest power of its variable, which is \(5\) here. \(3\) is only the power of the term \(x^3\), not the degree of the whole polynomial. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) first, then identify the greatest exponent of the variable.
बहुपद के पद हैं: \(6x^4\), \(-2x^3\), \(0x^2\), \(5x\) और \(-9\)। \(0x^2\) का गुणांक 0 है, इसलिए यह अशून्य पद नहीं है। शेष चार पद अशून्य हैं, अतः सही उत्तर 4 है। 5 चुनना एक सामान्य भूल है, क्योंकि उसमें शून्य पद को भी गिन लिया जाता है। परीक्षा टिप: केवल उन पदों को गिनें जिनका गुणांक शून्य न हो। / The terms are \(6x^4\), \(-2x^3\), \(0x^2\), \(5x\), and \(-9\). Since the coefficient of \(0x^2\) is 0, it is not a non-zero term. The other four terms are non-zero, so the answer is 4. Choosing 5 is a common mistake because it counts the zero term as well. Exam tip: Count only terms whose coefficients are not zero.
(x) के संदर्भ में \(3y^2-5y+1\) में कोई (x) पद नहीं है। इसलिए यह (x) में नियतांक बहुपद माना जा सकता है। / With respect to (x), \(3y^2-5y+1\) has no (x) term. So it can be treated as a constant polynomial in (x).
बहुपद में चर \(x\) की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है तथा उसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हो सकते हैं। विकल्प A में \(2\), \(-\pi\) और \(\sqrt{13}\) सभी वास्तविक हैं, जबकि \(x\) की घातें \(3\), \(2\) और \(0\) हैं। विकल्प B में \(x\) की घात \(-\sqrt{2}\), विकल्प C में \(\frac{1}{2}\), और विकल्प D में \(-1\) है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: \(x\) यदि वर्गमूल के भीतर या हर में हो, तो उसकी घात को पहले जाँचें। / In a polynomial, the exponent of the variable \(x\) must be a non-negative integer, while coefficients may be any real numbers. In option A, \(2\), \(-\pi\), and \(\sqrt{13}\) are real coefficients, and the exponents of \(x\) are \(3\), \(2\), and \(0\). Option B has exponent \(-\sqrt{2}\), option C has exponent \(\frac{1}{2}\), and option D has exponent \(-1\); hence they are not polynomials. Exam tip: When \(x\) is under a root or in a denominator, check its exponent first.
C. क्योंकि \(x^{\frac{1}{2}}\) की घात भिन्न है/Because \(x^{\frac{1}{2}}\) has a fractional power
Explanation
Simple Explanation
\(x^{\frac{1}{2}}\) में चर की घात भिन्न है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{\frac{1}{2}}\), the variable has a fractional power. Such a power is not valid in a polynomial.
नियतांक बनने के लिए \(x^3\) और \(x^2\) दोनों के गुणांक (0) चाहिए। (u-5=0) से दोनों पद हट जाते हैं। / To become constant, the coefficients of both \(x^3\) and \(x^2\) must be (0). From (u-5=0), both terms disappear.
इन तीनों घातों वाले पद बहुपद में अनुपस्थित हैं। इसलिए इनके गुणांक (0), (0), और (0) हैं। / The terms with these three powers are absent in the polynomial. Therefore their coefficients are (0), (0), and (0).
(r=2) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (1) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / For (r=2), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (1). Therefore the degree is (4).
विकल्प D में \(x^0=1\) होता है, इसलिए यह व्यंजक स्थिर बहुपद \(1\) है, शून्य बहुपद नहीं। विकल्प B में \(x^0-1=1-1=0\) है, इसलिए वह शून्य बहुपद है। परीक्षा टिप: घात \(0\) वाले पद को पहले \(1\) में बदलकर व्यंजक को सरल करें। / In option D, \(x^0=1\), so the expression is the constant polynomial \(1\), not the zero polynomial. In contrast, option B simplifies as \(x^0-1=1-1=0\), so it is a zero polynomial. Exam tip: simplify terms with exponent \(0\) first.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है और उस पद का गुणांक अग्रणी गुणांक कहलाता है। \(-6x^3+x^2-5\) में सबसे बड़ी घात 3 है तथा \(x^3\) का गुणांक \(-6\) है, जो ऋणात्मक है। इसलिए विकल्प B सही है। विकल्प A की डिग्री 3 है, लेकिन उसका अग्रणी गुणांक \(4\) धनात्मक है। परीक्षा टिप: पहले सबसे बड़ी घात वाला पद पहचानें, फिर उसके गुणांक का चिह्न जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable, and the coefficient of that term is called the leading coefficient. In \(-6x^3+x^2-5\), the greatest exponent is 3 and the coefficient of \(x^3\) is \(-6\), which is negative. Therefore, option B is correct. Option A also has degree 3, but its leading coefficient, \(4\), is positive. Exam tip: identify the highest-power term first, then check the sign of its coefficient.
पहले वितरण गुण का प्रयोग करें: \(x^2(x^2-3)=x^4-3x^2\)। अतः पूरा व्यंजक \(x^4-3x^2-x^4+2x\) होगा। समान पद \(x^4\) और \(-x^4\) का योग शून्य है, इसलिए सरल रूप \(-3x^2+2x\) मिलता है। विकल्प A में \(x^4\) के विपरीत चिह्न वाले पदों को गलत ढंग से जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक खोलने के बाद केवल समान घात वाले पदों को ही मिलाएँ। / First apply the distributive property: \(x^2(x^2-3)=x^4-3x^2\). Therefore, the expression becomes \(x^4-3x^2-x^4+2x\). The like terms \(x^4\) and \(-x^4\) add to zero, leaving \(-3x^2+2x\). Option A incorrectly combines the \(x^4\) terms, which have opposite signs. Exam tip: after expanding brackets, combine only like terms with the same power of the variable.
B. चर का घात गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए; \(-1\) घात मान्य नहीं है।/The exponent of the variable must be a non-negative integer; an exponent of \(-1\) is not allowed.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर के घात \(0,1,2,\ldots\) होते हैं। यहाँ \(x^{-1}=1/x\) है, इसलिए चर हर में आ जाता है और व्यंजक बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: ऋणात्मक घात को तुरंत जाँचें। / In a polynomial, variable exponents are \(0,1,2,\ldots\). Here, \(x^{-1}=1/x\), so the variable occurs in the denominator and the expression is not a polynomial. Exam tip: check negative exponents first.
\(h=1\) रखने पर व्यंजक \((1-1)x^6+(1+2)x^3-4x+9\) बनता है, अर्थात \(3x^3-4x+9\)। \(x^6\) का गुणांक शून्य होने से वह पद समाप्त हो जाता है। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(3\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(3\) है। \(6\) चुनना गलत होगा, क्योंकि शून्य गुणांक वाला \(x^6\) पद बहुपद का भाग नहीं रहता। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटाएँ, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Substituting \(h=1\) gives \((1-1)x^6+(1+2)x^3-4x+9=3x^3-4x+9\). The \(x^6\) term disappears because its coefficient is zero. The highest power of \(x\) remaining is \(3\), so the degree is \(3\). Choosing \(6\) would be incorrect because a term with a zero coefficient is not part of the polynomial. Exam tip: after substituting a parameter value, remove all zero-coefficient terms before identifying the highest exponent.
बहुपद की डिग्री 2 होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए, जबकि \(x^2\) का गुणांक 5 शून्य नहीं है। इसलिए \(2a+6=0\) रखने पर \(a=-3\) प्राप्त होता है। \(a=-6\) रखने पर \(x^4\) का गुणांक \(-6\) रहता है, इसलिए डिग्री 4 होगी। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले जाँचें। / For the polynomial to have degree 2, the coefficient of \(x^4\) must be zero, while the coefficient of \(x^2\), which is 5, remains non-zero. Thus, \(2a+6=0\) gives \(a=-3\). If \(a=-6\), the coefficient of \(x^4\) is \(-6\), so the degree remains 4. Exam tip: In a polynomial with a parameter, first check the coefficient of the highest power.
\(x\neq0\) पर \(\frac{x^5}{x}=x^4\) और \(\frac{x}{x}=1\) होता है। इसलिए सरल रूप \(x^4-1\) है। / For \(x\neq0\), \(\frac{x^5}{x}=x^4\) and \(\frac{x}{x}=1\). So the simplified form is \(x^4-1\).
बहुपद \(x^4-1\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। अतः इस बहुपद की डिग्री \(4\) है। स्थिर पद \(-1\) की घात \(0\) होती है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर डिग्री ज्ञात करें। / In the polynomial \(x^4-1\), the highest exponent of \(x\) is \(4\). Therefore, its degree is \(4\). The constant term \(-1\) has degree \(0\), so it does not determine the degree. Exam tip: find the highest exponent of the variable in a polynomial to determine its degree.
नियतांक बनने के लिए (v+1=0) और (v-2=0) दोनों चाहिए। एक ही (v) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / To become constant, both (v+1=0) and (v-2=0) are required. One value of (v) cannot satisfy both conditions.
\(4x^2-9\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। इसमें \(x\) वाला रैखिक पद नहीं है; अतः \(x\) का गुणांक \(0\) है। विकल्प B में \(x\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपस्थित पद का गुणांक हमेशा \(0\) माना जाता है। / In \(4x^2-9\), the highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is \(2\). There is no linear \(x\)-term, so the coefficient of \(x\) is \(0\). In option B, the coefficient of \(x\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: the coefficient of a missing term is always \(0\).
