What is obtained by simplifying \(\frac{x^5-x}{x}\) for \(x\neq0\)?व्यंजक \(\frac{x^5-x}{x}\) को \(x\neq0\) पर सरल करने से क्या मिलेगा?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(x^4-1\)\(x^4-1\)
The direct answer is A, \(x^4-1\). The restriction \(x\neq0\) is important because division by zero is not allowed. For nonzero x, divide each term in the numerator by x: \(\frac{x^5}{x}=x^{5-1}=x^4\), and \(\frac{x}{x}=1\). Thus \(\frac{x^5-x}{x}=x^4-1\). Option A is correct. Option B, \(x^5-1\), fails because the first term must lose one power of x after division. Option C, \(x^4-x\), incorrectly leaves an x in the second term; \(x/x=1\), not x. Option D, \(x^3-1\), removes two powers from the first term instead of one. The simplified expression is valid only for the stated domain \(x\neq0\); the original expression itself is undefined at zero. Memory cue: when dividing powers with the same nonzero base, subtract exponents: \(x^m/x=x^{m-1}\).सीधा उत्तर A, \(x^4-1\) है। शर्त \(x\neq0\) महत्वपूर्ण है, क्योंकि शून्य से भाग देना संभव नहीं है। अशून्य x के लिए अंश के प्रत्येक पद को x से भाग दें: \(\frac{x^5}{x}=x^{5-1}=x^4\), और \(\frac{x}{x}=1\)। इसलिए \(\frac{x^5-x}{x}=x^4-1\)। विकल्प A सही है। विकल्प B, \(x^5-1\), गलत है क्योंकि x से भाग देने पर पहले पद की घात एक कम होनी चाहिए। विकल्प C, \(x^4-x\), गलत है क्योंकि दूसरे पद में \(x/x=1\) होता है, x नहीं बचता। विकल्प D, \(x^3-1\), गलत है क्योंकि पहले पद की घात दो कम कर दी गई है, जबकि केवल एक कम करनी थी। यह सरल रूप दी गई शर्त \(x\neq0\) पर ही मान्य है; मूल व्यंजक x=0 पर परिभाषित नहीं है। याद रखें: समान अशून्य आधार की घातों को भाग देने पर घातें घटती हैं, जैसे \(x^m/x=x^{m-1}\)।
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