बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में पदों की घातें 4, 2, 1 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है। 2 केवल पद -5x-2 की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of its variable with a non-zero coefficient. The exponents of the terms in the given polynomial are 4, 2, 1, and 0. The greatest exponent is 4, so its degree is 4. Option 2 is only the exponent of the term -5x-2, not of the whole polynomial. Exam tip: A constant term has degree 0.
बहुपद की डिग्री उसके किसी अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(0x^7\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह वास्तव में बहुपद का पद नहीं माना जाता। शेष पदों में \(8x^5\) की घात सबसे बड़ी, अर्थात 5, है। इसलिए सही उत्तर 5 है। \(7\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन शून्य गुणांक वाले पद की घात डिग्री तय नहीं करती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent among terms with non-zero coefficients. Here, the coefficient of \(0x^7\) is zero, so it does not count as a term of the polynomial. Among the remaining terms, \(8x^5\) has the greatest exponent, 5. Therefore, the degree is 5. Option 7 is a close distractor, but a term with a zero coefficient cannot determine the degree. Exam tip: First ignore all terms whose coefficients are zero before finding the highest power.
यहाँ 4x-3 और -4x-3 परस्पर कट जाते हैं, इसलिए व्यंजक 9x-2-5 रह जाता है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 3 गलत है क्योंकि x-3 वाले पद सरल करने पर शून्य हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सदृश पदों को अवश्य सरल करें। / Here, 4x-3 and -4x-3 cancel each other, so the expression becomes 9x-2-5. The highest power of x in this polynomial is 2; therefore, its degree is 2. Option 3 is incorrect because the x-3 terms become zero after simplification. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
जब
\(a=3\) रखा जाता है, तब \(a-3=0\) हो जाता है। इसलिए \(x^6\) वाला पद समाप्त हो जाता है और बहुपद \(p(x)=2x^2-1\) बनता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, अतः डिग्री \(2\) है। विकल्प 6 गलत है, क्योंकि उसका गुणांक शून्य होने पर \(x^6\) पद बहुपद का भाग नहीं रहता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले दिए गए मान रखकर शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / Substituting \(a=3\) gives \(a-3=0\). Hence, the \(x^6\) term vanishes and the polynomial becomes \(p(x)=2x^2-1\). The highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is \(2\). Option 6 is incorrect because a term with zero coefficient is not part of the polynomial. Exam tip: Substitute any given parameter values and remove zero-coefficient terms before finding the degree.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। डिग्री 1 होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए: \(k+5=0\)। अतः \(k=-5\) होगा। इस मान पर बहुपद \(-7x+9\) बनता है, जिसकी डिग्री 1 है क्योंकि \(x\) का गुणांक \(-7\) शून्य नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में सबसे बड़ी घात के गुणांक को पहले शून्य करके जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. For the degree to be 1, the coefficient of \(x^4\) must be zero: \(k+5=0\). Hence, \(k=-5\). The polynomial then becomes \(-7x+9\), which has degree 1 because the coefficient of \(x\), \(-7\), is non-zero. Exam tip: In parameter-based polynomials, first set the coefficient of the highest power equal to zero and then check the remaining terms.
सबसे बड़ी घात (8) वाले पद से डिग्री तय होती है। ऋणात्मक गुणांक डिग्री को नहीं बदलता। / The degree is decided by the term with highest power (8). A negative coefficient does not change the degree.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्य न हो। दिए गए बहुपद में घातें 2, 9, 5 और 0 हैं; इनमें सबसे बड़ी घात 9 है, जो पद \(x^9\) में है। इसलिए सही उत्तर 9 है। \(6x^5\) की घात 5 है, इसलिए वह डिग्री निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: पदों का क्रम बदलने से बहुपद की डिग्री नहीं बदलती। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. In the given polynomial, the exponents are 2, 9, 5, and 0; the greatest is 9 in the term \(x^9\). Therefore, the degree is 9. The term \(6x^5\) has exponent 5, so it does not determine the degree. Exam tip: the order of terms does not affect the degree of a polynomial.
बहुपद में जिन पदों का गुणांक 0 होता है, वे बहुपद के मानक रूप में नहीं गिने जाते। इसलिए \(q(x)=11x-4\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, अतः बहुपद की डिग्री 1 है। 5 और 3 घातें दिख रही हैं, पर उनके गुणांक 0 हैं; इसलिए वे डिग्री निर्धारित नहीं करतीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / Terms with coefficient 0 are not counted in the standard form of a polynomial. Thus, \(q(x)=11x-4\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 1, so its degree is 1. Although powers 5 and 3 appear in the expression, their coefficients are 0, so they do not determine the degree. Exam tip: Remove all zero-coefficient terms before finding the degree.
यहाँ \(x^0=1\) होता है, इसलिए बहुपद \(1+6x^4-3x^2\) है। इसका शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक \(4\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(4\) है। \(2\) केवल \(-3x^2\) पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले \(x^0\) जैसे पदों को स्थिरांक में बदल लें। / Since \(x^0=1\), the polynomial becomes \(1+6x^4-3x^2\). The highest exponent of \(x\) with a non-zero coefficient is \(4\), so its degree is \(4\). \(2\) is only the exponent in the term \(-3x^2\), not the greatest exponent. Exam tip: simplify terms such as \(x^0\) into constants before finding the degree.
बहुपद \(15\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, क्योंकि इसमें चर का कोई पद नहीं है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री \(0\) होती है। \(1\) केवल रैखिक बहुपदों की डिग्री होती है, नियतांक बहुपदों की नहीं। परीक्षा टिप: किसी अशून्य स्थिर संख्या, जैसे \(7\), \(-3\) या \(15\), की बहुपद के रूप में डिग्री हमेशा \(0\) होती है। / The polynomial \(15\) is a non-zero constant polynomial because it contains no variable term. The degree of every non-zero constant polynomial is \(0\). Degree \(1\) is for linear polynomials, not constant polynomials. Exam tip: Any non-zero fixed number, such as \(7\), \(-3\), or \(15\), has degree \(0\) when treated as a polynomial.
शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। इसे अशून्य नियतांक बहुपद से अलग रखें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
समान पदों को जोड़ने पर 3x-5+2x-5=5x-5, इसलिए बहुपद 5x-5-4x-2+8 बनता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 5 है, अतः इसकी डिग्री 5 है। 8 अचर पद है; उसका मान 8 होने से बहुपद की डिग्री 8 नहीं होती। परीक्षा टिप: बहुपद को पहले सरल करें और फिर शून्येतर गुणांक वाले पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Combining like terms gives 3x-5+2x-5=5x-5, so the polynomial becomes 5x-5-4x-2+8. The highest power of x is 5; therefore, its degree is 5. The number 8 is a constant term, so it does not make the degree 8. Exam tip: simplify a polynomial first, then identify the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(r\neq0\) होने से \(rx^7\) पद का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए \(x\) की सबसे बड़ी घात \(7\) है और बहुपद की डिग्री \(7\) होगी। \(2\), पद \(3x^2\) की घात है, लेकिन यह सबसे बड़ी घात नहीं है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात के पद का गुणांक अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(r\neq0\), the coefficient of \(rx^7\) is non-zero. Hence the highest power of \(x\) is \(7\), so the degree is \(7\). Although \(3x^2\) has exponent \(2\), it is not the highest exponent. Exam tip: For a polynomial involving a parameter, always check whether the coefficient of the highest-power term is zero.
जब r=0 रखा जाता है, तब rx-7=0 हो जाता है। इसलिए बहुपद 3x-2-10 रह जाता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की डिग्री 2 है। 7 डिग्री नहीं होगी क्योंकि x-7 वाला पद शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: किसी पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Putting r=0 makes rx-7=0. The polynomial therefore becomes 3x-2-10. Its highest power of x is 2, so its degree is 2. It is not 7 because the x-7 term has become zero. Exam tip: after substituting a parameter value, first remove all zero-coefficient terms and then identify the highest remaining exponent.
बहुपद में चर y की घातें 5, 2 और 0 हैं; अचर पद 8 की घात 0 मानी जाती है। इनमें सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। 8 बहुपद का अचर पद है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The powers of y in the polynomial are 5, 2, and 0; the constant term 8 has power 0. The greatest power is 5, so the degree of the polynomial is 5. The number 8 is a constant term, not the degree. Exam tip: To find the degree of a polynomial, identify the highest exponent of the variable.
x के सापेक्ष बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय केवल x की घात देखी जाती है। व्यंजक 5y-2-3y+1 में x उपस्थित नहीं है, इसलिए यह x के सापेक्ष एक अशून्य नियतांक बहुपद है। अतः इसकी डिग्री 0 है। विकल्प 2, y की उच्चतम घात है, x की नहीं। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की घात पर ध्यान दें। / To find the degree with respect to x, consider powers of x only. The expression 5y-2-3y+1 contains no x, so it is a non-zero constant polynomial with respect to x. Hence, its degree is 0. Option 2 is the highest power of y, not of x. Exam tip: Always check the powers of the variable specified in the question.
रैखिक बहुपद की डिग्री 1 होती है। \(7x-4\) में चर \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए यह रैखिक बहुपद है। \(x^2+3x-1\) की डिग्री 2 और \(5x^3-2\) की डिग्री 3 है, जबकि \(9\) एक अचर बहुपद है जिसकी डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: किसी अशून्य बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें। / A linear polynomial has degree 1. In \(7x-4\), the highest power of \(x\) is 1, so it is a linear polynomial. \(x^2+3x-1\) has degree 2 and \(5x^3-2\) has degree 3, whereas \(9\) is a constant polynomial of degree 0. Exam tip: to find the degree of a non-zero polynomial, look for the highest exponent of the variable.
दिया गया व्यंजक फैलाने पर \(2x^4(3x^2-1)=6x^6-2x^4\) प्राप्त होता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री 6 है। \(4\) केवल दूसरे पद \(-2x^4\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए सरल करने के बाद सबसे अधिक घात वाला शून्येतर पद देखें। / On expanding, \(2x^4(3x^2-1)=6x^6-2x^4\). The highest power of \(x\) is \(6\), so the degree of the polynomial is 6. Although \(-2x^4\) has degree 4, it is not the highest-degree term. Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest power in a non-zero term.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर: \(x^2(x^3+1)-x^5+4x=x^5+x^2-x^5+4x=x^2+4x\)। इसमें \(x^5\) और \(-x^5\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद \(x^2+4x\) में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी डिग्री 2 है। विकल्प 5 लेने पर रद्द होने वाले पद को अनदेखा किया जाएगा। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / On simplifying, \(x^2(x^3+1)-x^5+4x=x^5+x^2-x^5+4x=x^2+4x\). The terms \(x^5\) and \(-x^5\) cancel each other. The highest power of the variable in the remaining polynomial \(x^2+4x\) is 2, so its degree is 2. Choosing 5 would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
B. डिग्री बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जो यहाँ 5 है।/The degree is the highest exponent of \(x\) in the polynomial, which is 5 here.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है; पदों का क्रम डिग्री को प्रभावित नहीं करता। यहाँ \(-4x^5\) में \(x\) की घात 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प D गलत है, क्योंकि ऋणात्मक गुणांक घात को नहीं बदलता। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से देखने के बजाय सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any of its terms; the order of the terms does not matter. Here, \(-4x^5\) contains \(x\) with exponent 5, so the polynomial has degree 5. Option D is incorrect because a negative coefficient does not change an exponent. Exam tip: check every term and choose the largest exponent of the variable.
\(5x^3-2x+7\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी डिग्री 3 है। विकल्प B में \(x^{-1}\) आता है, जो बहुपद में मान्य नहीं है। परीक्षा टिप: घातें केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हों। / In \(5x^3-2x+7\), the highest power of x is 3, so it is a degree 3 polynomial. Option B contains \(x^{-1}\), which is not allowed in a polynomial. Exam tip: powers must be non-negative integers.
डिग्री (0) वाला अशून्य बहुपद नियतांक होता है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A non-zero polynomial of degree (0) is constant. The degree of the zero polynomial is not defined.
दिए गए बहुपद में समान घात वाले पदों को मिलाने पर
\(x^4-2x^4+x^4=(1-2+1)x^4=0\) हो जाता है। अतः \(f(x)=3x-5\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 1 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 1 है। विकल्प 4 मूल पदों को देखकर चुना जा सकता है, लेकिन उनके गुणांक मिलाकर वे पद निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / Combining the like terms gives
\(x^4-2x^4+x^4=(1-2+1)x^4=0\). Hence, \(f(x)=3x-5\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 1, so its degree is 1. Option 4 may seem tempting from the original expression, but the fourth-degree terms cancel out. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree of a polynomial.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। पद 2x-3y-2 की कुल घात 3+2=5 है, पद 5xy की कुल घात 1+1=2 है और अचर पद -7 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 5 है। 3 केवल x की घात है, कुल डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: दो या अधिक चरों वाले प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any one term. For 2x-3y-2, the sum is 3+2=5; for 5xy, it is 1+1=2; and the constant term -7 has degree 0. Hence, the highest total degree is 5. Note that 3 is only the exponent of x, not the total degree. Exam tip: In each term with two or more variables, add all exponents and select the greatest sum.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात ज्ञात करें: \(4x^2y^3\) की कुल घात \(2+3=5\), \(-3xy^2\) की कुल घात \(1+2=3\), और अचर पद \(9\) की घात \(0\) है। इनमें सबसे बड़ी कुल घात \(5\) है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री \(5\) है। विकल्प 3 दूसरे पद की कुल घात है, पूरी बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुचरों वाले बहुपद में प्रत्येक पद के घातांकों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / Find the total degree of each term: \(4x^2y^3\) has degree \(2+3=5\), \(-3xy^2\) has degree \(1+2=3\), and the constant term \(9\) has degree \(0\). The greatest of these is \(5\), so the total degree of the polynomial is \(5\). Option 3 is the degree of the second term, not of the whole polynomial. Exam tip: for a polynomial in several variables, add the exponents in each term and select the greatest sum.
(x) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय y को एक गुणांक माना जाता है। पदों में x की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है। 4, y की घात है; वह x के सापेक्ष डिग्री नहीं बताती। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the terms are 2, 1, and 0 respectively. The greatest power is 2, so the degree of the polynomial is 2. The number 4 is the power of y, not the degree with respect to x. Exam tip: Look only at the highest exponent of the variable specified in the question.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए y की सबसे बड़ी घात देखी जाती है; x को स्थिरांक माना जाता है। पद 3x-2y-4 में y की घात 4, 7xy में 1 और -1 में 0 है। अतः सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए सही उत्तर 4 है। 6, x और y की घातों को जोड़ने पर मिलता है, लेकिन वह y के संदर्भ में डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी हो, तो केवल उसी चर की घात देखें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y and treat x as a constant. The powers of y are 4 in 3x-2y-4, 1 in 7xy, and 0 in -1. Hence, the greatest power is 4, so the correct answer is 4. The value 6 comes from adding powers of x and y, which is not required when the degree is asked with respect to y. Exam tip: when a particular variable is specified, look only at its exponents.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (5) बचता है। (5) अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (5) remains. (5) is a non-zero constant polynomial of degree (0).
डिग्री (2) के लिए \(x^3\) पद हटना चाहिए और \(x^2\) पद बचना चाहिए। (t=1) पर दोनों शर्तें पूरी होती हैं। / For degree (2), the \(x^3\) term must vanish and the \(x^2\) term must remain. At (t=1), both conditions hold.
(u=-2) पर \(x^5\) का गुणांक (0) और \(x^4\) का गुणांक (3) होता है। इसलिए डिग्री (4) है। / At (u=-2), the coefficient of \(x^5\) is (0) and the coefficient of \(x^4\) is (3). Therefore the degree is (4).
\(7x^2-3x+5\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है और सभी घातें ऋणेतर पूर्णांक हैं। इसलिए यह डिग्री 2 का, अर्थात द्विघात बहुपद है। \(x^3+2x-1\) की डिग्री 3 है, इसलिए वह घन बहुपद है। \(\frac{4}{x}+1\) में \(x^{-1}\) तथा \(\sqrt{x}+2\) में \(x^{1/2}\) आता है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: द्विघात बहुपद में चर की उच्चतम घात ठीक 2 होनी चाहिए। / In \(7x^2-3x+5\), the highest power of \(x\) is 2, and all exponents are non-negative integers. Therefore, it is a polynomial of degree 2, i.e. a quadratic polynomial. \(x^3+2x-1\) has degree 3, so it is cubic. \(\frac{4}{x}+1\) contains \(x^{-1}\), and \(\sqrt{x}+2\) contains \(x^{1/2}\); hence, neither is a polynomial. Exam tip: a quadratic polynomial must have highest variable exponent exactly 2.
दिया गया व्यंजक तीन रैखिक गुणनखंडों x, (x-2) और (x+5) का गुणनफल है। प्रत्येक की डिग्री 1 है, इसलिए गुणनफल की डिग्री 1+1+1=3 होगी। इसे फैलाने पर उच्चतम घात वाला पद x-3 मिलता है। विकल्प 2 गलत है क्योंकि वह केवल दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल की डिग्री होती। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के गुणनफल में डिग्रियाँ जोड़ें, बशर्ते उच्चतम घात वाले पद निरस्त न हों। / The expression is the product of three linear factors: x, (x-2), and (x+5). Each factor has degree 1, so the degree of the product is 1+1+1=3. On expansion, the highest-power term is x-3. Option 2 would be the degree of a product of only two linear factors. Exam tip: For a product of polynomials, add their degrees, provided the leading terms do not cancel.
दिए गए व्यंजक में \(2x^6-2x^6=0\) हो जाता है। अतः \(g(x)=x^4-x^2\) बचता है, जिसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है। इसलिए बहुपद की डिग्री \(4\) है। \(6\) डिग्री नहीं होगी, क्योंकि \(x^6\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को अवश्य सरल करें। / In the given expression, \(2x^6-2x^6=0\). Thus, \(g(x)=x^4-x^2\), and the highest power of \(x\) remaining is \(4\). Therefore, the degree of the polynomial is \(4\). It is not \(6\) because the \(x^6\) terms cancel each other. Exam tip: Always simplify like terms before finding the degree.
\(x+1\) में \(x\) की उच्चतम घात 1 है, इसलिए इसकी डिग्री 1 है, 0 नहीं। \(8\), \(-3\) और \(\sqrt{2}\) सभी अशून्य नियतांक बहुपद हैं; इनमें चर की कोई घात नहीं होती, इसलिए इनकी डिग्री 0 होती है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात देखकर उसकी डिग्री ज्ञात करें। / In \(x+1\), the highest power of \(x\) is 1, so its degree is 1, not 0. The expressions \(8\), \(-3\), and \(\sqrt{2}\) are all non-zero constant polynomials; they contain no variable term, so each has degree 0. Exam tip: find the highest exponent of the variable to determine the degree of a polynomial.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों में x की घातें 2, 4, 6 और 8 हैं। सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 8 है। 6 निकटतम विचलित विकल्प है, पर x-8 पद मौजूद होने के कारण डिग्री 6 नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले सबसे अधिक घात वाला गैर-शून्य गुणांक का पद पहचानें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term with a non-zero coefficient. Here, the exponents of x are 2, 4, 6, and 8. The greatest exponent is 8, so the degree of the polynomial is 8. Option 6 is a close distractor, but the presence of the x-8 term means that the degree cannot be 6. Exam tip: identify the term with the highest power and a non-zero coefficient before deciding the degree.
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर के सबसे बड़े घात के बराबर होती है। यहाँ \(y^7\) का घात 7 है, इसलिए डिग्री 7 है। पहला पद देखकर 4 चुनना गलत है। परीक्षा में पदों का क्रम नहीं, सबसे बड़ा घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term. Here, the term \(-y^7\) has exponent 7, so the degree is 7. Choosing 4 from the first term is incorrect. Exam tip: check every term for the highest power.
किसी एक-चर बहुपद की डिग्री उस चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x की घातें 10, 7, 2 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 10 है। इसलिए बहुपद की डिग्री 10 है। 3 केवल x^{10} का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: स्थिर पद की घात 0 मानें और सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree of a polynomial in one variable is the highest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Here, the exponents of x are 10, 7, 2, and 0; the greatest is 10. Therefore, the degree of the polynomial is 10. The number 3 is only the coefficient of x^{10}, not the degree. Exam tip: treat a constant term as having exponent 0 and look for the greatest exponent.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्य न हो। यहाँ घातें n, 3 और 0 हैं। क्योंकि n > 3 है, सबसे बड़ी घात n होगी। दी गई डिग्री 7 है, इसलिए n = 7। विकल्प 3 लेने पर शर्त n > 3 पूरी नहीं होती। परीक्षा टिप: स्थिरांक पद की घात 0 मानी जाती है। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients. Here the exponents are n, 3, and 0. Since n > 3, the greatest exponent is n. As the given degree is 7, n = 7. Choosing 3 would also violate the condition n > 3. Exam tip: a non-zero constant term has degree 0.
A. (a) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है/(a) can be any real number
Explanation
Simple Explanation
\(x^4\) का गुणांक (1) है जो शून्य नहीं है। इसलिए (a) का मान डिग्री (4) को नहीं बदलता। / The coefficient of \(x^4\) is (1), which is non-zero. So the value of (a) does not change degree (4).
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (13) बचता है। यह डिग्री (0) का अशून्य नियतांक बहुपद है। / Terms with zero coefficients disappear and (13) remains. It is a non-zero constant polynomial of degree (0).
\(5x^2-9\) में उच्चतम घात \(2\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(2\) है। इसमें \(x\) वाला पद नहीं है, जिसे \(0x\) माना जाता है; अतः \(x\) का गुणांक \(0\) है। \(5x^2+x-9\) में \(x\) का गुणांक \(1\) है, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। परीक्षा टिप: अनुपस्थित पद का गुणांक हमेशा \(0\) होता है। / In \(5x^2-9\), the highest power of \(x\) is \(2\), so its degree is \(2\). There is no \(x\)-term, which can be written as \(0x\); therefore, the coefficient of \(x\) is \(0\). In \(5x^2+x-9\), the coefficient of \(x\) is \(1\), so it is not correct. Exam tip: the coefficient of an absent term is always \(0\).
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर: \(x^3(2x^2-5)+4x^2=2x^5-5x^3+4x^2\)। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है और उसका गुणांक 2 शून्य नहीं है। इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। \(x^3\) केवल कोष्ठक के बाहर का गुणनखंड है; \(2x^2\) से गुणा करने पर घातें जुड़कर \(x^5\) बनता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलें और पदों को सरल करें। / Expanding the expression gives \(x^3(2x^2-5)+4x^2=2x^5-5x^3+4x^2\). The highest power of \(x\) is 5, and its coefficient, 2, is non-zero. Therefore, the degree of the polynomial is 5. The outside factor \(x^3\) multiplies \(2x^2\), so their exponents add to give \(x^5\); hence 3 is not the degree. Exam tip: expand brackets and simplify terms before identifying the highest exponent.
(s=1) पर \(x^4\) का गुणांक (0) और \(x^3\) का गुणांक (4) है। इसलिए डिग्री (3) है। / At (s=1), the coefficient of \(x^4\) is (0) and the coefficient of \(x^3\) is (4). Therefore the degree is (3).
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का सबसे बड़ा मान होती है। यहाँ 2x-2y की कुल घात 2+1=3, 3xy-4 की कुल घात 1+4=5 तथा अचर 5 की घात 0 है। इसलिए सबसे बड़ी कुल घात 5 है। विकल्प 3 केवल पहले पद की घात है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any term. Here, the degree of 2x-2y is 2+1=3, the degree of 3xy-4 is 1+4=5, and the constant 5 has degree 0. Therefore, the total degree is 5. Option 3 is only the degree of the first term. Exam tip: Add the exponents in each term and select the greatest sum.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(6x^4+7\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 4 है, इसलिए इसकी डिग्री 4 है, 5 नहीं। अन्य विकल्पों में \(x^5\) पद उपस्थित है, इसलिए उनकी डिग्री 5 है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय स्थिर पद को नहीं, चर की सबसे बड़ी घात को देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable with a non-zero coefficient. In \(6x^4+7\), the highest power of \(x\) is 4, so its degree is 4, not 5. Each of the other options contains an \(x^5\) term and therefore has degree 5. Exam tip: For degree, look for the highest power of the variable, not the constant term.
बहुपद की डिग्री चर की वह सबसे बड़ी घात है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(v\neq2\) है, इसलिए \(v-2\neq0\)। अतः \(x^6\) का गुणांक अशून्य है और सबसे बड़ी घात \(6\) है। इसलिए बहुपद की डिग्री \(6\) है। विकल्प \(4\) केवल तब सही होता, जब \(v=2\) होने पर \(x^6\) का पद समाप्त हो जाता। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में पहले उच्चतम घात के गुणांक की जाँच करें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, \(v\neq2\), so \(v-2\neq0\). Thus, the coefficient of \(x^6\) is non-zero, and the highest power of \(x\) is \(6\). Therefore, the degree is \(6\). Option \(4\) would be correct only if \(v=2\), making the \(x^6\) term vanish. Exam tip: In a polynomial involving a parameter, check the coefficient of the highest-power term first.
विकल्प 9 में कोई चर नहीं है। यह एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। 4x की डिग्री 1, x+9 की डिग्री 1 तथा 2x-2+1 की डिग्री 2 है; केवल अचर पद होने से 2x-2+1 अचर बहुपद नहीं बनता। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात उसकी डिग्री बताती है। / The expression 9 contains no variable. It is a non-zero constant polynomial, so its degree is 0. The degrees of 4x and x+9 are 1, while that of 2x-2+1 is 2; having a constant term does not make 2x-2+1 a constant polynomial. Exam tip: the highest power of the variable gives the degree of a polynomial.
(w=3) रखने पर \(x^8\) का गुणांक (0) और \(x^5\) का गुणांक (4) होता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (5) है। / Putting (w=3) makes the coefficient of \(x^8\) equal to (0) and the coefficient of \(x^5\) equal to (4). So the highest power is (5).
\(7x^3-2x+5\) में x की सबसे बड़ी घात 3 है और x की सभी घातें अऋणात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह x में 3 डिग्री का बहुपद है। \(x^3+\frac{1}{x}\) में \(x^{-1}\) तथा \(\sqrt{x}+x^3\) में \(x^{1/2}\) आता है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। \(x^4-1\) बहुपद है, लेकिन उसकी डिग्री 4 है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0, 1, 2, 3 जैसे अऋणात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। / In \(7x^3-2x+5\), the highest power of x is 3, and all powers of x are non-negative integers. Hence, it is a polynomial in x of degree 3. \(x^3+\frac{1}{x}\) contains \(x^{-1}\), while \(\sqrt{x}+x^3\) contains \(x^{1/2}\), so neither is a polynomial. \(x^4-1\) is a polynomial, but its degree is 4. Exam tip: in a polynomial, powers of the variable must be non-negative integers such as 0, 1, 2, and 3.
\(x^4\) पद पहले से मौजूद है और (m<4) है। इसलिए (m=2) होने पर भी सबसे बड़ी घात (4) रहेगी। / The \(x^4\) term is already present and (m<4). So even when (m=2), the highest power remains (4).
