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\(2160=2^4\times 3^3\times 5\) और \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\)। / \(2160=2^4\times 3^3\times 5\) and \(3780=2^2\times 3^3\times 5\times 7\).
Step 2
Why this answer is correct
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक लिए जाते हैं, इसलिए \(2^2\times 3^3\times 5=540\)। / For HCF, take the smaller exponents of common prime factors, so \(2^2\times 3^3\times 5=540\).
Step 3
Exam Tip
ऐसी गणना में छोटे घातांक चुनना न भूलें। / In such questions, carefully choose the smaller powers.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / For HCF, take only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं, इसलिए मान \(4\times9=36\) है। / The common factors are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^2\) and \(3^2\), so the HCF is (36).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में महत्तम समापवर्तक के लिए छोटी घात चुनना याद रखें। / In exams, remember that HCF uses the minimum powers of common primes.
दो संख्याओं का गुणनफल सीधे दिया है, इसलिए दूसरी संख्या \(15120\div 216\) होगी। / Since the product is directly given, the other number is \(15120\div 216\).
Step 2
Why this answer is correct
\(15120\div 216=70\)। जाँच में (216) और (70) का महत्तम समापवर्तक (2) है, इसलिए दी गई शर्तों में महत्तम समापवर्तक (36) मेल नहीं खाता। / \(15120\div 216=70\). On checking, the HCF of (216) and (70) is (2), so the given HCF (36) is inconsistent.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में यदि शर्तें असंगत लगें, तो पहले मूल भागफल और फिर शर्त की जाँच करें। / In exams, if conditions conflict, first compute the basic quotient and then verify the condition.
दो संख्याओं का गुणनफल उनके महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, product of the numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या \(=\frac{18\times 540}{90}=108\) होगी। / The other number \(=\frac{18\times 540}{90}=108\).
Step 3
Exam Tip
यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू करें। / Apply this relation directly only for two numbers.
महत्तम समापवर्तक में छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) आएँगी। / HCF takes the smaller powers \(2^3\) and \(3^2\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में \(2^5\), \(3^4\), (5), (11) आएँगे, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^2\times5\times11\) होगा। / LCM takes \(2^5\), \(3^4\), (5), and (11), so the ratio becomes \(2^2\times3^2\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
अनुपात में समान घातें घटाकर उत्तर जल्दी निकालें। / Subtract powers when dividing prime factor forms.
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। / For two numbers, HCF times LCM equals the product of the two numbers.
जब गुणनफल पूछा हो, तो अलग-अलग महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य निकालना जरूरी नहीं। / When the product is asked, you need not find HCF and LCM separately.
ऐसी सबसे छोटी संख्या उन संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3=216\) है। / \(24=2^3\times3\), \(36=2^2\times3^2\), and \(54=2\times3^3\), so LCM \(=2^3\times3^3=216\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के प्रश्न में लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / For the smallest exactly divisible number, find the LCM.
महत्तम समापवर्तक में केवल वे अभाज्य गुणनखंड आते हैं जो तीनों में हों। / HCF contains only the prime factors common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) का छोटा घातांक (3) और (3) का छोटा घातांक (1) है। (5) और (7) तीनों में साथ नहीं हैं। इसलिए उत्तर \(2^3\times 3\) है। / The smallest exponent of (2) is (3) and of (3) is (1). (5) and (7) are not common to all. Hence the answer is \(2^3\times 3\).
Step 3
Exam Tip
तीन संख्याओं में समान गुणनखंड पहचानना सबसे जरूरी है। / For three numbers, first identify prime factors common to all.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), \(420=2^2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। / \(168=2^3\times3\times7\), \(252=2^2\times3^2\times7\), and \(420=2^2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में उपस्थित समान गुणनखंड ही लें। / Use only primes common to all numbers.
लघुत्तम समापवर्त्य में सभी अभाज्य गुणनखंडों के सबसे बड़े घातांक लिए जाते हैं। / LCM takes the greatest exponent of every prime factor present.
Step 2
Why this answer is correct
(2) का बड़ा घातांक (4), (3) का (5), और (5) का (2) है। इसलिए उत्तर \(2^4\times 3^5\times 5^2\)। / The greatest exponent of (2) is (4), of (3) is (5), and of (5) is (2). So the answer is \(2^4\times 3^5\times 5^2\).
Step 3
Exam Tip
जो अभाज्य संख्या किसी एक संख्या में भी हो, वह लघुत्तम समापवर्त्य में आती है। / Any prime appearing in at least one number must appear in the LCM.
A. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM (=) product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे लागू होता है। / This direct relation is for two numbers.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में इस सूत्र को तीन संख्याओं पर बिना जाँच के लागू न करें। / Do not apply this formula blindly to three numbers in exams.
यदि दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^3\times 5\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) का घातांक कितना होगा?
A. (a=2) और (b=2) संभव हैं/(a=2) and (b=2) are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक में प्रत्येक समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / In HCF, the smaller power of each common prime is used.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (a=2) संभव है; (3) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / For prime (2), the smaller power must be (2), so (a=2) is possible; for prime (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों वाले प्रश्न में छोटी घात की शर्त पर ध्यान दें। / In unknown power questions, focus on the minimum-power condition.
किसी सही जोड़ी में महत्तम समापवर्तक (24) और लघुत्तम समापवर्त्य (720) दोनों मिलने चाहिए। / A correct pair must give both HCF (24) and LCM (720).
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\) और \(240=2^4\times 3\times 5\)। इनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3=24\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। / \(72=2^3\times 3^2\) and \(240=2^4\times 3\times 5\). Their HCF is \(2^3\times 3=24\) and LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प जाँच में पहले अभाज्य गुणनखंडन करें। / For option checking, prime factorise first.
A. ऐसा कोई जोड़ा संभव नहीं/No such pair is possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। / The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) को (12) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (420) is not exactly divisible by (12), so no such pair of whole numbers is possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before trying pairs.
शेषफल (5) हटाने पर संख्याएँ (132), (180), और (252) मिलती हैं। / Subtract the remainder (5) from each number to get (132), (180), and (252).
Step 2
Why this answer is correct
इनका महत्तम समापवर्तक निकालें। \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), इसलिए समान भाग \(2^2\times 3=12\) है। / Find their HCF. \(132=2^2\times 3\times 11\), \(180=2^2\times 3^2\times 5\), \(252=2^2\times 3^2\times 7\), so the common part is \(2^2\times 3=12\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले प्रश्न में पहले शेषफल घटाएँ। / In same-remainder problems, subtract the remainder first.
किसी विद्यालय में (72) लड़के और (96) लड़कियाँ हैं। हर पंक्ति में लड़कों और लड़कियों की अलग-अलग समान संख्या रखनी है, और प्रत्येक पंक्ति में विद्यार्थियों की संख्या अधिकतम होनी चाहिए। एक पंक्ति में कितने विद्यार्थी होंगे?
अधिकतम समान संख्या के लिए महत्तम समापवर्तक निकालते हैं। / For the maximum equal number, find the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times3^2\) और \(96=2^5\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। / \(72=2^3\times3^2\) and \(96=2^5\times3\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
पंक्ति या समूह की अधिकतम समान संख्या वाले प्रश्न में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें। / For maximum equal grouping, use HCF.
साथ में दोबारा बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / The next common ringing time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\times3^2\), \(24=2^3\times3\), \(30=2\times3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^2\times5=360\) है। / \(18=2\times3^2\), \(24=2^3\times3\), and \(30=2\times3\times5\), so LCM \(=2^3\times3^2\times5=360\).
Step 3
Exam Tip
दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For repeated time events, use LCM.
हर प्रकार की मिठाई बराबर बँटनी है, इसलिए महत्तम समापवर्तक निकालेंगे। / Since all sweets must be divided equally, find the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times 3\), \(144=2^4\times 3^2\), और \(240=2^4\times 3\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^4\times 3=48\) है। / \(96=2^5\times 3\), \(144=2^4\times 3^2\), and \(240=2^4\times 3\times 5\). The common smallest part is \(2^4\times 3=48\).
Step 3
Exam Tip
सबसे अधिक बराबर बाँटने वाले प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें। / For greatest equal grouping, use HCF.
यदि दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^3\times5\) और महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) है, तो दोनों संख्याओं के गुणनफल में (2) की घात क्या होगी?
महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\times 5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^4\times 5^2\) होगा। / The HCF is \(2^3\times 3^2\times 5\) and the LCM is \(2^5\times 3^4\times 5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(भाग देने पर घातांक घटेंगे, इसलिए (\frac{\)लघुत्तम समापवर्त्य}{महत्तम समापवर्तक}=22\times 32\times 5)। \(/ On division, subtract exponents, so (\frac{\)LCM}{HCF\(}=2^2\times 3^2\times 5).\)
Step 3
Exam Tip
अनुपात में बड़े घातांक से छोटे घातांक घटाएँ। / In such ratios, subtract smaller exponents from larger exponents.
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (391) है। / Since product (=) HCF \(\times\) LCM, the LCM is (391).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
जब दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) हो, तो वे सह-अभाज्य होती हैं। / If the HCF of two numbers is (1), the numbers are co-prime.
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए \(7429=1\times\) लघुत्तम समापवर्त्य। अतः लघुत्तम समापवर्त्य (7429) है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM, so \(7429=1\times\) LCM. Hence the LCM is (7429).
Step 3
Exam Tip
सह-अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है। / The LCM of co-prime numbers equals their product.
पहले दोनों संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें। / Write both numbers in prime factor form.
Step 2
Why this answer is correct
\(180=2^2\times3^2\times5\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए समान छोटी घातें \(2^2\times3^2\) हैं। / \(180=2^2\times3^2\times5\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so the common smaller powers give \(2^2\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में (5) या (7) जैसे असमान गुणनखंड न लें। / Do not include non-common factors like (5) or (7) in HCF.
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times 3^2\) है और उनका लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^2\times 5\times 7\) है। यदि एक संख्या \(2^5\times 3^2\times 5\) है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
\(दूसरी संख्या (=\frac{\)महत्तम समापवर्तक\(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य}{पहली संख्या})। \(/ The other number (=\frac{\)HCF\(\times\) LCM}{first number}).
लघुत्तम समापवर्त्य के लिए प्रत्येक अभाज्य की बड़ी घात चुनें। / For LCM, choose the larger power of each prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की बड़ी घात \(2^5\) और (3) की बड़ी घात \(3^2\) है, इसलिए उत्तर \(2^5\times3^2\) है। / The larger power of (2) is \(2^5\), and that of (3) is \(3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी संख्या को ही लघुत्तम समापवर्त्य मान लेना हमेशा सही नहीं होता। / Do not assume the larger given number is always the LCM.
पहले (36), (48), और (60) का लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / First find the LCM of (36), (48), and (60).
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times 3^2\times 5=720\) है। (1000) से बड़ा सबसे छोटा गुणज (1440) है। / \(36=2^2\times 3^2\), \(48=2^4\times 3\), \(60=2^2\times 3\times 5\), so the LCM is \(2^4\times 3^2\times 5=720\). The smallest multiple greater than (1000) is (1440).
Step 3
Exam Tip
पहले लघुत्तम समापवर्त्य, फिर सीमा के अनुसार उसका गुणज लें। / Find the LCM first, then choose its multiple according to the limit.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य गुणनखंडों के छोटे घातांक आते हैं। / HCF takes the smaller exponents of common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
महत्तम समापवर्तक \(2^4\times 3^2\) होगा। पुनरावृत्ति सहित कुल अभाज्य गुणनखंड (4+2=6) हैं। / The HCF is \(2^4\times 3^2\). Counting repetition, the total number of prime factors is (4+2=6).
Step 3
Exam Tip
पहले महत्तम समापवर्तक बनाइए, फिर घातांकों का योग लीजिए। / First form the HCF, then add its exponents.
लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाली सभी अभाज्य संख्याएँ शामिल होती हैं। / LCM includes every prime factor appearing in either number.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ अभाज्य संख्याएँ (2), (3), (5), और (11) हैं। इसलिए अलग-अलग अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (4) है। / The primes are (2), (3), (5), and (11). So there are (4) distinct prime factors.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग गुणनखंड गिनते समय घातांक को अलग से न गिनें। / While counting distinct factors, do not count powers separately.
दो संख्याएँ \(2^a\times 3^2\times 5\) और \(2^4\times 3^b\times 7\) हैं। यदि उनका महत्तम समापवर्तक \(2^3\times 3^2\) है, तो ((a,b)) के लिए कौन सा विकल्प सही है?
महत्तम समापवर्तक में (2) का घातांक (\min(a,4)=3) होना चाहिए, इसलिए (a=3) संभव है। / In the HCF, the exponent of (2) must be (\min(a,4)=3), so (a=3) fits.
Step 2
Why this answer is correct
(3) का घातांक (\min(2,b)=2) होना चाहिए, इसलिए \(b\geq 2\); दिए विकल्पों में ((3,2)) सही बैठता है। / The exponent of (3) must be (\min(2,b)=2), so \(b\geq 2\); among the options, ((3,2)) fits.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातांक वाले प्रश्न में छोटे घातांक का नियम लगाएँ। / For unknown exponents, apply the smaller-exponent rule.
एक दुकानदार के पास (126) लाल पेन और (210) नीले पेन हैं। वह समान प्रकार के अधिकतम पैकेट बनाना चाहता है ताकि हर पैकेट में लाल पेन की संख्या समान और नीले पेन की संख्या समान हो। अधिकतम कितने पैकेट बनेंगे?
अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical packets is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(126=2\times3^2\times7\) और \(210=2\times3\times5\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times7=42\) है। / \(126=2\times3^2\times7\) and \(210=2\times3\times5\times7\), so HCF \(=2\times3\times7=42\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम समान बाँटने वाले प्रश्न में महत्तम समापवर्तक खोजें। / For maximum equal distribution, find the HCF.
दो संख्याएँ \(2^a\times 3\times 5^2\) और \(2^2\times 3^4\times 5^b\) हैं। यदि उनका लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times 3^4\times 5^3\) है, तो ((a,b)) क्या होगा?
हर बार शेष (0) का अर्थ है कि संख्या सभी दी गई संख्याओं से विभाजित होगी। / Remainder (0) means the number is divisible by all the given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(75=3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(75=3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी ऐसी संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For the smallest such number, use LCM.
ऐसी सबसे बड़ी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest number that divides all exactly is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), और \(180=2^2\times 3^2\times 5\)। समान छोटा भाग \(2^2\times 3^2=36\) है। / \(72=2^3\times 3^2\), \(108=2^2\times 3^3\), and \(180=2^2\times 3^2\times 5\). The common smallest part is \(2^2\times 3^2=36\).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी पूर्ण भाजक संख्या पूछी हो तो महत्तम समापवर्तक निकालें। / When the greatest exact divisor is asked, find the HCF.
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5\) है। यदि एक संख्या \(2^4\times3\times5\) है, तो दूसरी संख्या क्या होगी?
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर होता है। / Product of two numbers equals HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या (=\frac{\(2^2\times3\)\(2^4\times3^3\times5\)}{24\times3\times5}=22\times33) है। / The other number is (\frac{\(2^2\times3\)\(2^4\times3^3\times5\)}{24\times3\times5}=22\times33).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य रूप में भाग करते समय समान आधारों की घातें घटाएँ। / While dividing prime forms, subtract powers of the same base.
A. दोनों संख्याओं का गुणनफल (9450) है/The product of the two numbers is (9450)
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / For two numbers, product (=) HCF \(\times\) LCM.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणनफल \(15\times 630=9450\) निश्चित है। योग या संख्याएँ अलग जानकारी के बिना निश्चित नहीं होतीं। / Therefore, the product is \(15\times 630=9450\). The sum or the exact numbers are not fixed without more information.
Step 3
Exam Tip
संबंध आधारित प्रश्न में केवल निश्चित रूप से सिद्ध होने वाला कथन चुनें। / In relation-based questions, choose only what is definitely proved.
अभाज्य गुणनखंड करें: \(84=2^2\times3\times7\) और \(198=2\times3^2\times11\)। / Prime factorise: \(84=2^2\times3\times7\) and \(198=2\times3^2\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
समान छोटी घातें (2) और (3) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3=6\) है। / The common smaller powers are (2) and (3), so HCF \(=2\times3=6\).
Step 3
Exam Tip
सही कथन चुनने से पहले महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य दोनों की जाँच कर लें। / Before choosing a statement, check HCF and LCM carefully.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF uses only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान गुणनखंड (2) और (3) हैं, छोटी घातें \(2^3\) और \(3^2\) हैं, इसलिए उत्तर \(2^3\times3^2\) है। / The common primes are (2) and (3), and the smaller powers are \(2^3\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक निकालते समय छोटी घात चुनें। / For HCF, always choose the smaller power of each common prime.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य निकालते हैं। / The smallest number divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3\times5=480\) है। / \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(80=2^4\times5\), so LCM \(=2^5\times3\times5=480\).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लेना न भूलें। / Do not forget the highest power of each prime.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest number dividing all given numbers is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(144=2^4\times3^2\), \(216=2^3\times3^3\), \(360=2^3\times3^2\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2=72\) है। / \(144=2^4\times3^2\), \(216=2^3\times3^3\), and \(360=2^3\times3^2\times5\), so HCF \(=2^3\times3^2=72\).
Step 3
Exam Tip
तीनों संख्याओं में उपस्थित समान अभाज्य ही लें। / Use only primes common to all numbers.
A. ऐसी संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such numbers are not possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक हमेशा लघुत्तम समापवर्त्य को पूरी तरह भाग देना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(378) को (18) से भाग देने पर (21) मिलता है, इसलिए ऐसी संख्याएँ संभव हैं; यहाँ विकल्प में दिया कथन गलत है? / Since \(378\div18=21\), such numbers are possible, so the statement saying impossible is not correct.
Step 3
Exam Tip
पहले आवश्यक शर्त जाँचें और फिर विकल्पों की सत्यता देखें। / Always check divisibility before deciding validity.
महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times5\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^3\times5^2\times11\) होगा। / HCF is \(2^2\times3\times5\), and LCM is \(2^4\times3^3\times5^2\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^2\times5\times11\) है। / On division, subtract powers, giving \(2^2\times3^2\times5\times11\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य रूप में अनुपात निकालना तेज और सुरक्षित तरीका है। / Prime factor form makes ratio questions faster.
साथ में फिर बजने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / The time after which all ring together is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(20=2^2\times5\), \(28=2^2\times7\), \(35=5\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times5\times7=140\) है। / \(20=2^2\times5\), \(28=2^2\times7\), and \(35=5\times7\), so LCM \(=2^2\times5\times7=140\).
Step 3
Exam Tip
दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For repeated time events, use LCM.
अधिकतम समान पैकेटों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical packets is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(84=2^2\times3\times7\) और \(126=2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times7=42\) है। / \(84=2^2\times3\times7\) and \(126=2\times3^2\times7\), so HCF \(=2\times3\times7=42\).
Step 3
Exam Tip
समान बाँटने के अधिकतम प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें। / For maximum equal distribution, use HCF.
यदि शेष (5) है, तो संख्या से (5) घटाने पर वह (18), (24) और (30) से विभाजित होगी। / If the remainder is (5), then subtracting (5) makes the number divisible by (18), (24), and (30).
Step 2
Why this answer is correct
इनका लघुत्तम समापवर्त्य (360) है, इसलिए सबसे छोटी संख्या (360+5=365) होगी। / Their LCM is (360), so the smallest number is (360+5=365).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में पहले शेष घटाएँ। / For common remainder questions, subtract the remainder first.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) के लिए छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (a=3) संभव है; (3) के लिए छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / For (2), the smaller power must be (3), so (a=3) is possible; for (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों में छोटी घात की शर्त को अलग-अलग देखें। / Check each unknown power separately.
लघुत्तम समापवर्त्य में प्रत्येक अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM uses the highest power of each prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4); (5) की बड़ी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) सही है। / The highest power of (3) must be (4), so (a=4); the highest power of (5) must be (2), so (b=2).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य के प्रश्न में बड़ी घात पहचानें। / In LCM power questions, identify the maximum power.
A. (a) और (b) का गुणनफल (30) और वे सहाभाज्य होंगे/Product of (a) and (b) is (30) and they are coprime
Step 1
Concept
यदि महत्तम समापवर्तक (30) है, तो संख्याएँ (30a) और (30b) लिखी जा सकती हैं जहाँ (a) और (b) सहाभाज्य होते हैं। / If HCF is (30), the numbers can be written as (30a) and (30b), where (a) and (b) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य (30ab=900), इसलिए (ab=30)। / LCM becomes (30ab=900), so (ab=30).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर सोचें। / Factor out the HCF to simplify such problems.
सही जोड़े के लिए महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य दोनों जाँचने होंगे। / A correct pair must satisfy both HCF and LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=18\times3\) और \(180=18\times10\), जहाँ (3) और (10) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (18) और लघुत्तम समापवर्त्य \(18\times3\times10=540\) है। / \(54=18\times3\) and \(180=18\times10\), where (3) and (10) are coprime, so HCF is (18) and LCM is \(18\times3\times10=540\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में पहले महत्तम समापवर्तक जाँचें। / In options, check HCF first.
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य के गुणनफल के बराबर है, इसलिए गुणनफल \(1\times221=221\) होगा। / Product equals HCF times LCM, so product \(=1\times221=221\).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
लघुत्तम समापवर्त्य में दोनों संख्याओं में आने वाले सभी अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड शामिल होते हैं। / LCM includes all distinct prime factors appearing in the numbers.
Step 2
Why this answer is correct
अभाज्य गुणनखंड (2), (3), (5), (7), (11) हैं, इसलिए कुल (5) भिन्न अभाज्य हैं। / The distinct primes are (2), (3), (5), (7), and (11), so there are (5).
Step 3
Exam Tip
भिन्न अभाज्य गिनते समय घातों को अलग संख्या न मानें। / Do not count powers as separate primes.
संख्या में से (3) घटाने पर वह (16), (20) और (25) से विभाजित होगी। / Subtracting (3) makes the number divisible by (16), (20), and (25).
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), \(25=5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times5^2=400\) है। अतः संख्या (400+3=403) है। / \(16=2^4\), \(20=2^2\times5\), and \(25=5^2\), so LCM \(=2^4\times5^2=400\). Hence the number is (400+3=403).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
A. इनका महत्तम समापवर्तक (30) है/Their HCF is (30)
Step 1
Concept
\(150=2\times3\times5^2\) और \(210=2\times3\times5\times7\) है। / \(150=2\times3\times5^2\) and \(210=2\times3\times5\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
समान छोटी घातें (2), (3) और (5) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times5=30\) है। / The common smaller powers are (2), (3), and (5), so HCF (=30).
Step 3
Exam Tip
कथन आधारित प्रश्न में पहले अभाज्य गुणनखंड लिखें। / For statement-based questions, prime factorise first.
पहले (2) की घातों को अलग देखें। / Compare the powers of (2) separately.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(64=2^6\), \(96=2^5\times3\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की सबसे बड़ी घात (6) होगी। / \(40=2^3\times5\), \(64=2^6\), and \(96=2^5\times3\), so the power of (2) in the LCM is (6).
Step 3
Exam Tip
पूरी संख्या निकालने से पहले घातों की तुलना कर सकते हैं। / You can compare powers before calculating the full LCM.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest common divisible number is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), \(63=3^2\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(3^3\times5\times7=945\) है। / \(27=3^3\), \(45=3^2\times5\), and \(63=3^2\times7\), so LCM \(=3^3\times5\times7=945\).
Step 3
Exam Tip
विकल्पों में गणना के बाद ही चुनें, क्योंकि बड़े विकल्प भ्रमित कर सकते हैं। / Calculate before choosing, because larger options can mislead.
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such two whole numbers are not possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। / The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(180) को (9) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (180) is not exactly divisible by (9), so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़े खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before searching for pairs.
एक मैदान में (132) पौधे और (198) झंडे समान पंक्तियों में लगाने हैं। प्रत्येक पंक्ति में दोनों वस्तुओं की संख्या अलग-अलग समान रहे और पंक्तियों की संख्या अधिकतम हो। अधिकतम पंक्तियाँ कितनी होंगी?
अधिकतम पंक्तियों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलेगी। / The maximum number of rows is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(132=2^2\times3\times11\) और \(198=2\times3^2\times11\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times11=66\) है। / \(132=2^2\times3\times11\) and \(198=2\times3^2\times11\), so HCF \(=2\times3\times11=66\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम समान व्यवस्था में महत्तम समापवर्तक पहचानें। / For maximum equal arrangement, identify HCF.
B. ऐसी संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such numbers are not possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must be an exact divisor of the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(1260) को (45) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (1260) is not exactly divisible by (45), so such two whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
यह छोटी जाँच कई लंबी गणनाओं से बचाती है। / This quick check saves long calculations.
\(42=21\times2\) और \(231=21\times11\) हैं। / \(42=21\times2\) and \(231=21\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (11) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (21) और लघुत्तम समापवर्त्य \(21\times2\times11=462\) है। / Since (2) and (11) are coprime, HCF is (21) and LCM is \(21\times2\times11=462\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालकर बची संख्याओं की सहाभाज्यता देखें। / Factor out the HCF and check whether the remaining numbers are coprime.
महत्तम समापवर्तक में (2) की छोटी घात (3) होनी चाहिए। / The smaller power of (2) in the HCF must be (3).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में (2) की घात (5) है, इसलिए पहली संख्या में (a=3) होने पर छोटी घात (3) बनेगी। / The second number has power (5), so (a=3) makes the smaller power (3).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले प्रश्न में छोटे और बड़े मानों की तुलना करें। / In power questions, compare smaller and larger values carefully.
(3) की घातों की तुलना करें। / Compare the powers of (3).
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (1) है। / \(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\), and \(150=2\times3\times5^2\), so the smallest power is (1).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में सबसे छोटी घात आती है। / HCF uses the smallest power.
(ab=420), इसलिए \(b=\frac{420}{20}=21\) है, और (20) तथा (21) सहाभाज्य भी हैं। / Since (ab=420), \(b=\frac{420}{20}=21\), and (20) and (21) are coprime.
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य शर्त अंतिम उत्तर की जाँच में मदद करती है। / The coprime condition helps verify the final answer.
\(यदि (2^4\times3^2\times5) किसी संख्या का लघुत्तम समापवर्त्य है और महत्तम समापवर्तक (2^2\times3) है, तो (\frac{\)लघुत्तम समापवर्त्य}{महत्तम समापवर्तक}) क्या होगा?
अनुपात में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देना है। / The ratio means dividing LCM by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\)। / Subtract powers of the same bases: \(2^{4-2}\times3^{2-1}\times5=2^2\times3\times5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य घातों में भाग का नियम याद रखें। / Remember the exponent rule for division.
लघुत्तम समापवर्त्य में हर उपस्थित अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM contains the highest power of every prime present.
Step 2
Why this answer is correct
(11) केवल दूसरी संख्या में \(11^1\) के रूप में है, इसलिए (L) में (11) की घात (1) होगी। / (11) appears only in the second number as \(11^1\), so its power in (L) is (1).
Step 3
Exam Tip
केवल एक संख्या में आया अभाज्य भी लघुत्तम समापवर्त्य में आता है। / A prime appearing in only one number is still included in the LCM.
शेष (0) का मतलब संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is exactly divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3\times5=540\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(54=2\times3^3\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^2\times3^3\times5=540\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटा संभव मान हमेशा लघुत्तम समापवर्त्य होगा। / The smallest possible value is always the LCM.
संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में लिखें: \(84=2^2\times3\times7\), \(126=2\times3^2\times7\), \(198=2\times3^2\times11\)। / Prime factorise: \(84=2^2\times3\times7\), \(126=2\times3^2\times7\), and \(198=2\times3^2\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ी घातें \(2^2\), \(3^2\), (7), (11) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (2772) है। / The highest powers are \(2^2\), \(3^2\), (7), and (11), so the LCM is (2772).
Step 3
Exam Tip
हर अलग अभाज्य गुणनखंड को शामिल करें। / Include every distinct prime factor.
महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times7\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5\times7^2\) है। / HCF is \(2^3\times3^2\times7\), and LCM is \(2^5\times3^4\times5\times7^2\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर घातें घटती हैं, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^2\times5\times7\) है। / On division, subtract powers to get \(2^2\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य रूप में अनुपात निकालना सबसे तेज होता है। / Prime factor form is the fastest method for ratio questions.
किसी गोदाम में (156) चावल के थैले और (234) गेहूँ के थैले हैं। इन्हें अधिकतम समान समूहों में बाँटना है ताकि हर समूह में दोनों तरह के थैलों की संख्या समान रहे। अधिकतम कितने समूह बनेंगे?
अधिकतम समान समूहों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical groups is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(156=2^2\times3\times13\) और \(234=2\times3^2\times13\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3\times13=78\) है। / \(156=2^2\times3\times13\) and \(234=2\times3^2\times13\), so HCF \(=2\times3\times13=78\).
Step 3
Exam Tip
समान बाँटने के अधिकतम प्रश्न में महत्तम समापवर्तक लें। / For maximum equal grouping, use HCF.
साथ में दोबारा होने वाला समय सभी अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होता है। / The next common flashing time is the LCM of all intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(12=2^2\times3\), \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), \(36=2^2\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^3=108\) है। / \(12=2^2\times3\), \(18=2\times3^2\), \(27=3^3\), and \(36=2^2\times3^2\), so LCM \(=2^2\times3^3=108\).
Step 3
Exam Tip
समय के दोहराव में लघुत्तम समापवर्त्य का उपयोग करें। / Use LCM for repeated-time situations.
\(70=14\times5\) और \(182=14\times13\) हैं। / \(70=14\times5\) and \(182=14\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
(5) और (13) सहाभाज्य हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (14) और लघुत्तम समापवर्त्य \(14\times5\times13=910\) है। / Since (5) and (13) are coprime, HCF is (14) and LCM is \(14\times5\times13=910\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प जाँचते समय महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालें। / Factor out the HCF while checking options.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4) संभव है; (3) की छोटी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2) संभव है। / For (2), the smaller power must be (4), so (a=4) is possible; for (3), (b=2) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों को अलग-अलग जाँचें। / Check unknown powers separately.
लघुत्तम समापवर्त्य में हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM takes the highest power of every prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की बड़ी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5); (5) की बड़ी घात (2) चाहिए, इसलिए (b=2)। / The highest power of (3) must be (5), so (a=5); the highest power of (5) must be (2), so (b=2).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात पर ध्यान दें। / Focus on the maximum powers in LCM.
संख्या में से (7) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। / Subtracting (7) makes the number divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(40=2^3\times5\), \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। अतः संख्या (1080+7=1087) है। / \(40=2^3\times5\), \(54=2\times3^3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\). Hence the number is (1080+7=1087).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
पहले (2) की घातों की तुलना करें। / Compare the powers of (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), \(240=2^4\times3\times5\), इसलिए सबसे छोटी घात (4) है। / \(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), and \(240=2^4\times3\times5\), so the smallest power is (4).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। / HCF uses the smallest power.
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (437) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the LCM is (437).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य सीधे गुणनफल होता है। / For coprime numbers, LCM equals the product.
समान अभाज्य गुणनखंड (3) और (11) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक (33) है। / The common prime factors are (3) and (11), so HCF (=33).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य \(3\times5\times7\times11=1155\) है, इसलिए योग (33+1155=1188) है। / LCM \(=3\times5\times7\times11=1155\), so the sum is (33+1155=1188).
Step 3
Exam Tip
योग पूछे जाने पर दोनों मान अलग-अलग निकालें। / When sum is asked, find both values separately.
संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड देखें: \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), \(84=2^2\times3\times7\)। / Check prime factors: \(45=3^2\times5\), \(60=2^2\times3\times5\), and \(84=2^2\times3\times7\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (5), (7) होंगे, इसलिए संख्या (4) है। / The distinct primes in the LCM are (2), (3), (5), and (7), so the count is (4).
Step 3
Exam Tip
घातों को अलग अभाज्य न गिनें। / Do not count powers as separate primes.
\(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। / \(32=2^5\) and \(768=2^8\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल है, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होनी चाहिए। / Product equals HCF times LCM, so the power of (2) should be (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
दिए विकल्पों से सावधान रहें और घातों को जोड़ें। / Add exponents of the same base carefully.
\(32=2^5\) और \(768=2^8\times3\) है। / \(32=2^5\) and \(768=2^8\times3\).
Step 2
Why this answer is correct
गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए (2) की घात (5+8=13) होगी। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so the power of (2) is (5+8=13).
Step 3
Exam Tip
समान आधार की घातें गुणा में जुड़ती हैं। / Exponents with the same base add during multiplication.
बराबर अधिकतम लंबाई के लिए महत्तम समापवर्तक चाहिए। / For maximum equal length, find the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(72=2^3\times3^2\) और \(120=2^3\times3\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3=24\) है। / \(72=2^3\times3^2\) and \(120=2^3\times3\times5\), so HCF \(=2^3\times3=24\).
Step 3
Exam Tip
काटने के अधिकतम समान प्रश्न में महत्तम समापवर्तक निकालें। / For maximum equal cutting, use HCF.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), \(64=2^6\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^6\times5^2=1600\) है। / \(25=5^2\), \(40=2^3\times5\), and \(64=2^6\), so LCM \(=2^6\times5^2=1600\).
Step 3
Exam Tip
(64) के कारण \(2^6\) लेना न भूलें। / Do not miss \(2^6\) because of (64).
B. दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर/Equal to the product of the two numbers
Step 1
Concept
दो संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य (=) दोनों संख्याओं का गुणनफल होता है। / For two numbers, HCF \(\times\) LCM equals the product of the two numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (LH) दोनों दी गई संख्याओं के गुणनफल के बराबर होगा। / Therefore (LH) equals the product of the two given numbers.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए सीधे प्रयोग करें। / Use this relation directly only for two numbers.
समान अधिकतम भाजक महत्तम समापवर्तक होता है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), \(126=2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2\times3^2=18\) है। / \(54=2\times3^3\), \(90=2\times3^2\times5\), and \(126=2\times3^2\times7\), so HCF \(=2\times3^2=18\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें लें। / Take the smallest powers common to all numbers.
\(88=2^3\times11\), \(132=2^2\times3\times11\), \(220=2^2\times5\times11\) है। / \(88=2^3\times11\), \(132=2^2\times3\times11\), and \(220=2^2\times5\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^3\), (3), (5), (11) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (1320) है। / The highest powers are \(2^3\), (3), (5), and (11), so LCM (=1320).
Step 3
Exam Tip
सभी अलग अभाज्य गुणनखंडों की बड़ी घात लें। / Take the highest power of each distinct prime.
A. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such whole numbers are not possible
Step 1
Concept
किसी भी दो पूर्ण संख्याओं के लिए महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / For two whole numbers, the HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(1080) को (24) से भाग देने पर पूर्णांक (45) मिलता है, इसलिए ऐसी संख्याएँ संभव हैं; अतः विकल्पों में दिया असंभव वाला कथन गलत है। / \(1080\div24=45\), so such numbers are possible; the impossible statement is not correct.
Step 3
Exam Tip
विकल्प चुनने से पहले सभी कथनों की जाँच करें। / Check all statements before selecting.
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such two whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का भाजक होना चाहिए। / The HCF must divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(1080\div24=45\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(1080\div24=45\), which is a whole number, so such two whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचने के लिए पहले विभाज्यता जाँचें। / For existence checks, first test divisibility.
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such two whole numbers are not possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना जरूरी है। / The HCF must be an exact divisor of the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(420) को (20) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (420) is not exactly divisible by (20), so such two whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा बनाने से पहले यह शर्त अवश्य जाँचें। / Check this condition before trying to form a pair.
शेष (0) का अर्थ है कि संख्या तीनों से पूरी तरह विभाजित है। / Remainder (0) means the number is divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), \(112=2^4\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times5\times7=1680\) है। / \(48=2^4\times3\), \(80=2^4\times5\), and \(112=2^4\times7\), so LCM \(=2^4\times3\times5\times7=1680\).
Step 3
Exam Tip
सबसे छोटी विभाज्य संख्या के लिए लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For the smallest divisible number, use LCM.
\(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। / In \(\frac{L}{H}\), divide the LCM by the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{5-3}\times3^{4-2}\times5=2^2\times3^2\times5\)। / Subtract powers of the same bases: \(2^{5-3}\times3^{4-2}\times5=2^2\times3^2\times5\).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले भाग में घटाव का नियम याद रखें। / Remember subtraction of exponents during division.
(p), (q) का पूर्ण भाजक है क्योंकि \(q=p\times5\) है। / (p) divides (q) because \(q=p\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले भाजक संबंध पहचानें। / First identify divisibility between the two numbers.
बराबर अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of equal parts is found by HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(128=2^7\), \(160=2^5\times5\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^5=32\) है। / \(96=2^5\times3\), \(128=2^7\), and \(160=2^5\times5\), so HCF \(=2^5=32\).
Step 3
Exam Tip
समान अधिकतम भागों में बाँटने पर महत्तम समापवर्तक निकालें। / For maximum equal division, use HCF.
महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आते हैं जो तीनों में समान हों। / HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और (3) हैं। / (2) and (3) are common, but (5) is not present in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and (3).
Step 3
Exam Tip
जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें। / Do not include a prime that is not in every number.
जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (18u) और (18v) का लघुत्तम समापवर्त्य (18uv) होता है। / When (u) and (v) are coprime, the LCM of (18u) and (18v) is (18uv).
Step 2
Why this answer is correct
(uv=40), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(18\times40=720\) है। / Since (uv=40), LCM \(=18\times40=720\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने की विधि ऐसे प्रश्नों में उपयोगी है। / Factoring out the HCF is useful in such questions.
दोनों की गुणज संख्या में दोनों संख्याओं के लिए जरूरी सभी अभाज्य घातें होनी चाहिए। / A common multiple must contain all required prime powers of both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
आवश्यक बड़ी घातें \(2^4\), \(3^3\) और (5) हैं। / The required highest powers are \(2^4\), \(3^3\), and (5).
Step 3
Exam Tip
गुणज की जाँच में कोई आवश्यक अभाज्य छूटना नहीं चाहिए। / Do not miss any required prime factor while checking a multiple.
यदि \(2^6\times3^2\times5\) और \(2^4\times3^5\times5^2\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (2) की घात और (H) में (2) की घात क्रमशः क्या होंगी?
\(75=3\times5^2\), \(125=5^3\), \(200=2^3\times5^2\) है। / \(75=3\times5^2\), \(125=5^3\), and \(200=2^3\times5^2\).
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^3\), (3), \(5^3\) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(8\times3\times125=3000\) है। / The highest powers are \(2^3\), (3), and \(5^3\), so LCM \(=8\times3\times125=3000\).
Step 3
Exam Tip
गणना में \(5^3\) को (125) लेना न भूलें। / Do not forget that \(5^3=125\).
संख्या में से (4) घटाने पर वह (21), (28) और (36) से विभाजित होगी। / Subtracting (4) makes the number divisible by (21), (28), and (36).
Step 2
Why this answer is correct
\(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), \(36=2^2\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times7=252\) है। अतः सबसे छोटी संख्या (252+4=256) है। / \(21=3\times7\), \(28=2^2\times7\), and \(36=2^2\times3^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times7=252\). Hence the smallest number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ना न भूलें। / Add the common remainder at the end.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। / HCF takes the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), (7) की छोटी घातें क्रमशः (3), (1), (1) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3\times7\) है। / The smaller powers of (2), (3), and (7) are (3), (1), and (1), so HCF \(=2^3\times3\times7\).
Step 3
Exam Tip
छोटी घातों को आधार के साथ सही मिलाएँ। / Match each smaller power with the correct base.
महत्तम समापवर्तक में केवल समान अभाज्य गुणनखंड लिए जाते हैं। / HCF includes only the common prime factors.
Step 2
Why this answer is correct
समान गुणनखंड (2), (3) और (5) हैं, जिनकी छोटी घातें \(2^4\), (3) और (5) हैं। / The common primes are (2), (3), and (5), with smaller powers \(2^4\), (3), and (5).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में हमेशा छोटी घात चुनें। / For HCF, always choose the smaller power.
अभाज्य गुणनखंड लिखें: \(63=3^2\times7\), \(98=2\times7^2\), \(154=2\times7\times11\)। / Prime factorise: \(63=3^2\times7\), \(98=2\times7^2\), and \(154=2\times7\times11\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ी घातें (2), \(3^2\), \(7^2\), (11) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य (9702) है। / The highest powers are (2), \(3^2\), \(7^2\), and (11), so the LCM is (9702).
Step 3
Exam Tip
जो अभाज्य केवल एक संख्या में हो, उसे भी लघुत्तम समापवर्त्य में शामिल करें। / Include a prime even if it appears in only one number.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number exactly divisible by all given numbers is their LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), \(90=2\times3^2\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3^3\times5=1080\) है। / \(54=2\times3^3\), \(72=2^3\times3^2\), and \(90=2\times3^2\times5\), so LCM \(=2^3\times3^3\times5=1080\).
Step 3
Exam Tip
बड़ी घातों को ध्यान से चुनें। / Choose the highest powers carefully.
सबसे बड़ी समान भाजक संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / The greatest common divisor is the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), \(525=3\times5^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(3\times5^2=75\) है। / \(225=3^2\times5^2\), \(375=3\times5^3\), and \(525=3\times5^2\times7\), so HCF \(=3\times5^2=75\).
Step 3
Exam Tip
सभी संख्याओं में मौजूद छोटी घातें ही लें। / Use only the smallest powers common to all numbers.
महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3^2\times13\) और लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3^5\times5\times13\) है। / HCF is \(2^2\times3^2\times13\), and LCM is \(2^4\times3^5\times5\times13\).
Step 2
Why this answer is correct
भाग देने पर समान आधारों की घातें घटती हैं, इसलिए अनुपात \(2^2\times3^3\times5\) है। / On division, subtract the powers of the same bases, giving \(2^2\times3^3\times5\).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य घातों में भाग करते समय घातों का घटाव करें। / In prime-power division, subtract exponents.
साथ में दोबारा संकेत देने का समय अंतरालों का लघुत्तम समापवर्त्य होगा। / The next common signal time is the LCM of the intervals.
Step 2
Why this answer is correct
\(16=2^4\), \(24=2^3\times3\), \(40=2^3\times5\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^4\times3\times5=240\) है। / \(16=2^4\), \(24=2^3\times3\), and \(40=2^3\times5\), so LCM \(=2^4\times3\times5=240\).
Step 3
Exam Tip
दोहराव वाले समय प्रश्नों में लघुत्तम समापवर्त्य लें। / For repeated-time questions, use LCM.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात आती है। / HCF uses the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2) की छोटी घात (5) चाहिए, इसलिए (a=5) संभव है; (3) की छोटी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3) संभव है। / The smaller power of (2) must be (5), so (a=5) is possible; the smaller power of (3) must be (3), so (b=3) is possible.
Step 3
Exam Tip
अज्ञात घातों को अलग-अलग जाँचें। / Check unknown powers separately.
यदि \(m=2^3\times3^a\times7\) और \(n=2^5\times3^2\times5^2\times7^b\) का लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^4\times5^2\times7^3\) है, तो कौन-सा मान सही है?
लघुत्तम समापवर्त्य में प्रत्येक अभाज्य की सबसे बड़ी घात आती है। / LCM contains the highest power of each prime.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की बड़ी घात (4) चाहिए, इसलिए (a=4); (7) की बड़ी घात (3) चाहिए, इसलिए (b=3)। / The highest power of (3) must be (4), so (a=4); the highest power of (7) must be (3), so (b=3).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें। / For LCM, focus on the maximum-power condition.
संख्या में से (9) घटाने पर वह (28), (42) और (56) से विभाजित होगी। / Subtracting (9) makes the number divisible by (28), (42), and (56).
Step 2
Why this answer is correct
\(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), \(56=2^3\times7\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^3\times3\times7=168\) है। अतः संख्या (168+9=177) होगी। / \(28=2^2\times7\), \(42=2\times3\times7\), and \(56=2^3\times7\), so LCM \(=2^3\times3\times7=168\). Hence the number is (168+9=177).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्न में शेष अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
एक पुस्तकालय में (168) गणित की पुस्तकें और (252) विज्ञान की पुस्तकें हैं। इन्हें अधिकतम समान डिब्बों में रखना है ताकि हर डिब्बे में दोनों प्रकार की पुस्तकों की संख्या समान रहे। अधिकतम कितने डिब्बे बनेंगे?
अधिकतम समान डिब्बों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of identical boxes is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(168=2^3\times3\times7\) और \(252=2^2\times3^2\times7\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^2\times3\times7=84\) है। / \(168=2^3\times3\times7\) and \(252=2^2\times3^2\times7\), so HCF \(=2^2\times3\times7=84\).
Step 3
Exam Tip
अधिकतम समान बाँटने में महत्तम समापवर्तक उपयोग करें। / For maximum equal distribution, use HCF.
सहाभाज्य संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (1) होता है। / Coprime numbers have HCF (1).
Step 2
Why this answer is correct
दो संख्याओं में गुणनफल (=) महत्तम समापवर्तक \(\times\) लघुत्तम समापवर्त्य, इसलिए गुणनफल \(1\times667=667\) है। / Product (=) HCF \(\times\) LCM, so product \(=1\times667=667\).
Step 3
Exam Tip
सहाभाज्य संख्याओं में लघुत्तम समापवर्त्य ही गुणनफल होता है। / For coprime numbers, the LCM equals the product.
ऐसी सबसे छोटी संख्या दोनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / The smallest such number is the LCM of the two given numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(3) की घातें (2) और (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य में बड़ी घात (5) होगी। / The powers of (3) are (2) and (5), so the higher power (5) will be used.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता के लिए बड़ी घात चुनें। / For divisibility, choose the higher power.
अभाज्य गुणनखंड देखें: \(66=2\times3\times11\), \(88=2^3\times11\), \(121=11^2\)। / Check prime factors: \(66=2\times3\times11\), \(88=2^3\times11\), and \(121=11^2\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में भिन्न अभाज्य (2), (3), (11) होंगे, इसलिए संख्या (3) है। / The distinct primes in the LCM are (2), (3), and (11), so the count is (3).
Step 3
Exam Tip
घातों को अलग अभाज्य न गिनें। / Do not count powers as separate primes.
B. ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं/Such whole numbers are not possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(1260) को (45) से भाग देने पर पूर्णांक नहीं मिलता, इसलिए ऐसी पूर्ण संख्याएँ संभव नहीं हैं। / (1260) is not exactly divisible by (45), so such whole numbers are not possible.
Step 3
Exam Tip
जोड़ा खोजने से पहले यह आवश्यक शर्त जाँचें। / Check this necessary condition before searching for pairs.
सबसे छोटी समान विभाज्य संख्या लघुत्तम समापवर्त्य होती है। / The smallest number divisible by all is the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
विकल्प चुनने से पहले अंतिम गुणन अवश्य जाँचें। / Always verify the final multiplication before choosing an option.
ऐसी सबसे छोटी संख्या तीनों संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य होगी। / Such a smallest number is the LCM of the three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), \(150=2\times3\times5^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^2\times3^2\times5^2=900\) है। / \(36=2^2\times3^2\), \(100=2^2\times5^2\), and \(150=2\times3\times5^2\), so LCM \(=2^2\times3^2\times5^2=900\).
Step 3
Exam Tip
हर अभाज्य की सबसे बड़ी घात लें। / Take the highest power of each prime.
यदि \(H=2^2\times3\times5\) और \(L=2^6\times3^3\times5^2\times7\) क्रमशः दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य हैं, तो \(\frac{L}{H}\) क्या होगा?
\(\frac{L}{H}\) में लघुत्तम समापवर्त्य को महत्तम समापवर्तक से भाग देते हैं। / In \(\frac{L}{H}\), divide the LCM by the HCF.
Step 2
Why this answer is correct
समान आधारों की घातें घटाएँ: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\)। / Subtract powers of the same bases: \(2^{6-2}\times3^{3-1}\times5^{2-1}\times7=2^4\times3^2\times5\times7\).
Step 3
Exam Tip
घातों वाले भाग में घटाव का नियम लगाएँ। / Use exponent subtraction in division.
\(q=p\times7\) है, इसलिए (p), (q) का पूर्ण भाजक है। / \(q=p\times7\), so (p) exactly divides (q).
Step 2
Why this answer is correct
जब एक संख्या दूसरी संख्या को पूर्ण भाग देती है, तो छोटी संख्या महत्तम समापवर्तक होती है। / When one number exactly divides the other, the smaller number is the HCF.
Step 3
Exam Tip
पहले यह देखें कि कोई संख्या दूसरी का गुणज है या नहीं। / First check whether one number is a multiple of the other.
बराबर अधिकतम भागों की संख्या महत्तम समापवर्तक से मिलती है। / The maximum number of equal parts is found using HCF.
Step 2
Why this answer is correct
\(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), \(192=2^6\times3\), इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^4\times3=48\) है। / \(96=2^5\times3\), \(144=2^4\times3^2\), and \(192=2^6\times3\), so HCF \(=2^4\times3=48\).
Step 3
Exam Tip
समान अधिकतम भागों में बाँटने के लिए महत्तम समापवर्तक लें। / For maximum equal division, use HCF.
महत्तम समापवर्तक में वही अभाज्य आएँगे जो तीनों में समान हों। / HCF includes only primes common to all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (3) तीनों में हैं, पर (5) तीसरी संख्या में नहीं है; छोटी घातें \(2^2\) और \(3^2\) हैं। / (2) and (3) are common, but (5) is not in the third number; the smallest powers are \(2^2\) and \(3^2\).
Step 3
Exam Tip
जो अभाज्य सभी संख्याओं में न हो, उसे महत्तम समापवर्तक में न लें। / Do not include a prime that is not present in every number.
जब (u) और (v) सहाभाज्य हों, तो (30u) और (30v) का लघुत्तम समापवर्त्य (30uv) होता है। / When (u) and (v) are coprime, the LCM of (30u) and (30v) is (30uv).
Step 2
Why this answer is correct
(uv=26), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(30\times26=780\) है। / Since (uv=26), LCM \(=30\times26=780\).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक को बाहर निकालने से प्रश्न सरल हो जाता है। / Factoring out the HCF simplifies the question.
दोनों की गुणज संख्या में दोनों संख्याओं के लिए जरूरी सभी अभाज्य घातें होनी चाहिए। / A common multiple must contain all prime powers required by both numbers.
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^6\), \(3^3\), (5) और (7) हैं। / The highest powers are \(2^6\), \(3^3\), (5), and (7).
Step 3
Exam Tip
गुणज जाँचते समय कोई आवश्यक अभाज्य गुणनखंड न छोड़ें। / Do not miss any required prime factor while checking a multiple.
यदि \(2^7\times3^2\times5\) और \(2^5\times3^4\times5^3\) का लघुत्तम समापवर्त्य (L) और महत्तम समापवर्तक (H) है, तो (L) में (5) की घात और (H) में (5) की घात क्रमशः क्या होंगी?
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। / Product of two numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(11) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(11^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। / (11) appears only in the LCM as \(11^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं। / In multiplication, add powers of the same prime.
\(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), \(270=2\times3^3\times5\) है। / \(108=2^2\times3^3\), \(162=2\times3^4\), and \(270=2\times3^3\times5\).
Step 2
Why this answer is correct
बड़ी घातें \(2^2\), \(3^4\), (5) हैं, इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(4\times81\times5=1620\) है। / The highest powers are \(2^2\), \(3^4\), and (5), so LCM \(=4\times81\times5=1620\).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ी घातों को लेकर अंतिम मान निकालें। / Use the highest powers to get the final value.
संख्या से (11) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से विभाजित होगी। / After subtracting (11), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), \(72=2^3\times3^2\), इसलिए लघुत्तम समापवर्त्य \(2^5\times3^2=288\) है। अतः संख्या (288+11=299) है। / \(32=2^5\), \(48=2^4\times3\), and \(72=2^3\times3^2\), so LCM \(=2^5\times3^2=288\). Hence the number is (288+11=299).
Step 3
Exam Tip
समान शेष को अंत में जोड़ें। / Add the common remainder at the end.
लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की बड़ी घात (6) होनी चाहिए। / The highest power of (2) in the LCM must be (6).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में (2) की घात (4) है, इसलिए पहली संख्या में (a=6) होने पर बड़ी घात (6) बनेगी। / The second number has power (4), so (a=6) gives the required highest power (6).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें। / For LCM, check the maximum-power condition.
\(दो संख्याओं के लिए लघुत्तम समापवर्त्य (=\frac{\)पहली संख्या\(\times\)दूसरी संख्या}{महत्तम समापवर्तक}) होता है। \(/ For two numbers, LCM (=\frac{\)first number\(\times\)second number}{HCF}).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{154\times231}{77}=462\) है। / \(\frac{154\times231}{77}=462\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(154\div77=2\) करके गणना तेज करें। / First calculate \(154\div77=2\) for a quicker solution.
महत्तम समापवर्तक में समान अभाज्य की छोटी घात ली जाती है। / HCF takes the smaller power of each common prime.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), (11) की छोटी घातें क्रमशः (3), (2), (1) हैं, इसलिए महत्तम समापवर्तक \(2^3\times3^2\times11\) है। / The smaller powers of (2), (3), and (11) are (3), (2), and (1), so HCF \(=2^3\times3^2\times11\).
Step 3
Exam Tip
हर आधार की घात अलग-अलग तुलना करें। / Compare the powers for each base separately.
\(91=7\times13\), \(143=11\times13\), \(187=11\times17\) है। / \(91=7\times13\), \(143=11\times13\), and \(187=11\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
तीनों में कोई समान अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) होना चाहिए। / There is no prime factor common to all three, so the HCF should be (1).
Step 3
Exam Tip
तीनों संख्याओं के लिए समान गुणनखंड सभी में होना जरूरी है। / For three numbers, a common factor must be present in every number.
\(91=7\times13\), \(143=11\times13\), \(187=11\times17\) है। / \(91=7\times13\), \(143=11\times13\), and \(187=11\times17\).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अभाज्य गुणनखंड तीनों संख्याओं में समान नहीं है, इसलिए महत्तम समापवर्तक (1) है। / No prime factor is common to all three numbers, so the HCF is (1).
Step 3
Exam Tip
केवल दो संख्याओं में समान गुणनखंड दिखने से वह तीनों का महत्तम समापवर्तक नहीं बनता। / A factor common to only two numbers is not enough for the HCF of all three.
A. ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हैं/Such two whole numbers are possible
Step 1
Concept
महत्तम समापवर्तक को लघुत्तम समापवर्त्य का पूर्ण भाजक होना चाहिए। / The HCF must exactly divide the LCM.
Step 2
Why this answer is correct
\(420\div15=28\) पूर्णांक है, इसलिए ऐसी दो पूर्ण संख्याएँ संभव हो सकती हैं। / \(420\div15=28\), which is a whole number, so such two whole numbers can exist.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व जाँचते समय पहले विभाज्यता देखें। / For existence checks, test divisibility first.
दो संख्याओं का गुणनफल महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्त्य का गुणनफल होता है। / Product of two numbers equals HCF times LCM.
Step 2
Why this answer is correct
(7) केवल लघुत्तम समापवर्त्य में \(7^1\) के रूप में है, इसलिए गुणनफल में इसकी घात (1) होगी। / (7) appears only in the LCM as \(7^1\), so its power in the product is (1).
Step 3
Exam Tip
गुणन में समान अभाज्य की घातें जोड़ी जाती हैं। / In multiplication, add exponents of the same prime.
(2) की घातों की तुलना करें। / Compare the powers of (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), \(300=2^2\times3\times5^2\), इसलिए सबसे छोटी घात (2) है। / \(120=2^3\times3\times5\), \(180=2^2\times3^2\times5\), and \(300=2^2\times3\times5^2\), so the smallest power is (2).
Step 3
Exam Tip
महत्तम समापवर्तक में छोटी घात आती है। / HCF uses the smallest power.
संख्या से (4) घटाने पर वह तीनों संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होगी। / After subtracting (4), the number must be divisible by all three numbers.
Step 2
Why this answer is correct
(21), (28), (36) का लघुत्तम समापवर्त्य (252) है, इसलिए संख्या (252+4=256) होगी। / The LCM of (21), (28), and (36) is (252), so the number is (252+4=256).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले प्रश्नों में पहले लघुत्तम समापवर्त्य निकालें। / In common-remainder questions, find the LCM first.
(5) की घातों को देखें। (48) में (5) नहीं है, \(75=3\times5^2\) और \(125=5^3\) है। / Look at the powers of (5). (48) has no factor (5), \(75=3\times5^2\), and \(125=5^3\).
Step 2
Why this answer is correct
लघुत्तम समापवर्त्य में (5) की सबसे बड़ी घात (3) होगी। / The highest power of (5) in the LCM is (3).
Step 3
Exam Tip
जिस अभाज्य की घात शून्य हो, उसे तुलना में भूलें नहीं। / A missing prime has power zero, but still compare the existing highest power.
लघुत्तम समापवर्त्य में (2) की बड़ी घात (5) होनी चाहिए। / The highest power of (2) in the LCM must be (5).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरी संख्या में (2) की घात (3) है, इसलिए पहली संख्या में (a=5) होने पर बड़ी घात (5) बनेगी। / The second number has power (3), so (a=5) gives the highest power (5).
Step 3
Exam Tip
लघुत्तम समापवर्त्य में अधिकतम घात की शर्त देखें। / For LCM, check the maximum-power condition.
