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C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))/(f) is not one-one because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))
Step 1
Concept
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq\sqrt{3}\)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में केवल घात देखकर निर्णय न करें, विशेष मानों से जांच करें। / Do not decide by degree alone; test special values.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
समान मान देने वाले अलग आगत ढूंढें। / Look for different inputs giving the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2})। / (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}).
Step 3
Exam Tip
अलग आगतों पर समान मान मिलने से फलन एक-एक नहीं रहता। / Same value at different inputs makes the function not one-one.
समान मान मानकर जांच करें। / Check by assuming equal images.
Step 2
Why this answer is correct
\(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\) से (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0) मिलता है। / From \(x_1+\frac{1}{x_1}=x_2+\frac{1}{x_2}\), we get (\(x_1-x_2\)\left\(1-\frac{1}{x_1x_2}\right\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(x_1,x_2\ge1\) होने पर दूसरा गुणक शून्य हो तो भी \(x_1=x_2=1\), इसलिए अंत में \(x_1=x_2\) ही मिलता है। / Since \(x_1,x_2\ge1\), the second factor can be zero only when both are (1), so finally \(x_1=x_2\).
एक-एक फलन में (A) के पांच तत्वों के लिए (B) से पांच अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs five distinct images from (B) for the five elements of (A).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\) होगी। / The number is \(^{7}P_{5}=7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=2520\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलन की गिनती में क्रमचय का प्रयोग करें। / Use permutations for counting one-one functions.
एक-एक फलन में प्रांत के हर अलग तत्व को सहप्रांत का अलग तत्व चाहिए। / A one-one function needs a distinct codomain element for each distinct domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहां प्रांत में (6) तत्व हैं और सहप्रांत में केवल (4) तत्व हैं। / Here the domain has (6) elements but the codomain has only (4).
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत में तत्व अधिक हों, तो एक-एक फलन बनना असंभव है। / When the domain has more elements, a one-one function is impossible.
मान लें (g\(x_1\)=g\(x_2\))। / Suppose (g\(x_1\)=g\(x_2\)).
Step 2
Why this answer is correct
तब (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), अर्थात (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\))। / Then (f(g\(x_1\))=f(g\(x_2\))), so (\(f\circ g\)\(x_1\)=\(f\circ g\)\(x_2\)).
Step 3
Exam Tip
\(f\circ g\) एक-एक है, इसलिए \(x_1=x_2\), अतः (g) एक-एक है। / Since \(f\circ g\) is one-one, \(x_1=x_2\), hence (g) is one-one.
महत्तम पूर्णांक फलन एक अंतराल के कई मानों को एक ही पूर्णांक देता है। / The greatest integer function maps many values from an interval to the same integer.
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor1.2\rfloor=1\) और \(\lfloor1.9\rfloor=1\), जबकि \(1.2\neq1.9\)। / \(\lfloor1.2\rfloor=1\) and \(\lfloor1.9\rfloor=1\), while \(1.2\neq1.9\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलनों में प्रतिबिंब दोहराना सामान्य है। / Step functions commonly repeat outputs.
C. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))/(f) is not one-one because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))
Step 1
Concept
भिन्न वाले फलन में समान मानों की जांच करें। / For a rational function check repeated values carefully.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों पर समान मान मिलने से एक-एकता नहीं रहती। / Same value at two different inputs destroys injectivity.
समान प्रतिबिंब मानकर हल करें। / Assume equal images and solve.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\) करने पर सरल करने से \(x_1=x_2\) मिलता है। / From \(\frac{x_1-1}{x_1+1}=\frac{x_2-1}{x_2+1}\), simplification gives \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्रॉस गुणा करते समय प्रांत की मनाही याद रखें। / In linear fractional functions remember the excluded domain value while cross multiplying.
D. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि दो भागों के परास मिलते हैं/(f) is not one-one because the ranges of the two pieces overlap
Step 1
Concept
टुकड़ों में दिए फलन में अलग-अलग भागों के परास देखें। / In a piecewise function check the ranges of different pieces.
Step 2
Why this answer is correct
(f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) और (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), जबकि दोनों आगत अलग हैं। / (f\left\(-\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}) and (f\left\(\frac{1}{\sqrt{2}}\right\)=\frac{1}{2}), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
अलग भागों से समान मान मिलना एक-एकता को तोड़ देता है। / Same value from different pieces breaks injectivity.
(x<0) पर (f(x)<-1) मिलता है। / For (x<0), (f(x)<-1).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\ge0\) पर (f(x)\ge1) मिलता है, इसलिए दोनों भागों के परास अलग हैं। / For \(x\ge0\), (f(x)\ge1), so the ranges of the two pieces are disjoint.
Step 3
Exam Tip
हर भाग अलग-अलग एक-एक है और परास नहीं मिलते, इसलिए पूरा फलन एक-एक है। / Each piece is one-one and their ranges do not overlap, so the whole function is one-one.
A. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))/(f) is not one-one because (f\left\(\frac{\pi}{6}\right\)=f\left\(\frac{5\pi}{6}\right\))
Step 1
Concept
\([0,\pi]\) पर \(\sin x\) पहले बढ़ता है फिर घटता है। / On \([0,\pi]\), \(\sin x\) first increases and then decreases.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) और \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), जबकि दोनों कोण अलग हैं। / \(\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\) and \(\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}\), while the angles are different.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में अंतराल बहुत ध्यान से देखें। / For trigonometric functions check the interval carefully.
तीन तत्वों के लिए तीन अलग प्रतिबिंब लगाने हैं। / Three elements need three distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
संख्या (3!=6) होगी। / The number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
बराबर आकार वाले सीमित समुच्चयों में एक-एक फलन वस्तुतः सभी तत्वों को अलग ढंग से मिलाता है। / For finite sets of equal size, a one-one function is just an arrangement of all elements distinctly.
B. (f) एक-एक नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))/(f) is not one-one because (f(1)=f(-1))
Step 1
Concept
नियम में सभी घात सम हैं। / All powers in the rule are even.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1+1=2) और (f(-1)=1+1=2), जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=1+1=2) and (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद पूरे वास्तविक प्रांत पर अक्सर एक-एक नहीं होते। / Polynomials with even-power symmetry are usually not one-one on the whole real domain.
A. (f) अपने प्रांत पर एक-एक है/(f) is one-one on its domain
Step 1
Concept
समान मान मानकर क्रॉस गुणा करें। / Assume equal values and cross multiply.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) को सरल करने पर ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0) मिलता है। / Simplifying \(\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{ax_2+b}{cx_2+d}\) gives ((ad-bc)\(x_1-x_2\)=0).
Step 3
Exam Tip
\(ad-bc\neq0\) होने से \(x_1=x_2\), अतः फलन एक-एक है। / Since \(ad-bc\neq0\), \(x_1=x_2\), so the function is one-one.
D. (g) को कम से कम (f(A)) पर एक-एक व्यवहार करना होगा/(g) must behave one-one at least on (f(A))
Step 1
Concept
संयोजन \(g\circ f\) में (g) केवल (f) के परास पर काम करता है। / In \(g\circ f\), (g) is used only on the range of (f).
Step 2
Why this answer is correct
(g) पूरे प्रांत पर एक-एक न भी हो, फिर भी (f(A)) पर अलग मान दे सकता है। / (g) may not be one-one on its whole domain but can behave distinctly on (f(A)).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में प्रयुक्त भाग और पूरे प्रांत में अंतर समझना जरूरी है। / In composition, distinguish the used part from the whole domain.
(A) के चार तत्वों के लिए (B) से चार अलग प्रतिबिंब चुनने हैं। / Four elements of (A) need four distinct images from (B).
Step 2
Why this answer is correct
संख्या \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\) होगी। / The number is \(^{6}P_{4}=6\cdot5\cdot4\cdot3=360\).
Step 3
Exam Tip
एक-एक फलनों की गिनती में चयन नहीं, क्रमचय लगता है क्योंकि आगत अलग-अलग हैं। / For one-one functions use permutations, not combinations, because domain elements are distinct.
दिए गए प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The given domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस अंतराल पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए समान मान दो बार नहीं आता। / On this interval, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value does not occur twice.
Step 3
Exam Tip
\(x^2\) को शून्य के एक ओर सीमित करने से वह एक-एक हो जाता है। / Restricting \(x^2\) to one side of zero makes it one-one.
\(x^2\) शून्य के दाईं ओर बढ़ता है और शून्य के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / \(x^2\) increases to the right of zero and can give the same value on both sides of zero.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(a\ge0\), तो पूरा प्रांत शून्य के दाईं ओर रहेगा और दो अलग आगत समान मान नहीं देंगे। / If \(a\ge0\), the whole domain stays to the right of zero, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में प्रांत शिखर के एक ही ओर होना चाहिए। / For a quadratic function the domain should lie on one side of the vertex.
\(x^3\) और (3x) दोनों बढ़ने वाले प्रभाव देते हैं। / Both \(x^3\) and (3x) contribute increasing behavior.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(x^3+3x+2\) लगातार बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग आगतों पर नहीं आता। / As (x) increases, \(x^3+3x+2\) keeps increasing, so the same value does not occur at two different inputs.
Step 3
Exam Tip
लगातार बढ़ने वाला फलन हमेशा एक-एक होता है। / A strictly increasing function is always one-one.
एक-एकता को गलत सिद्ध करने के लिए दो अलग आगतों का समान मान दिखाना पर्याप्त है। / To disprove injectivity it is enough to show equal output for two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-54+27=0), जबकि \(0\neq3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-54+27=0), while \(0\neq3\).
Step 3
Exam Tip
बहुपद में आसान मान रखकर समान प्रतिबिंब जल्दी खोजें। / In polynomial questions use simple values to quickly find repeated images.
लघुगणकीय फलन अपने सही प्रांत (\(0,\infty\)) पर बढ़ता है। / The logarithmic function increases on its proper domain (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\log x_1=\log x_2\), तो \(x_1=x_2\) ही होगा। / If \(\log x_1=\log x_2\), then \(x_1=x_2\).
Step 3
Exam Tip
लघुगणकीय फलन की एक-एकता जांचते समय पहले उसका प्रांत अवश्य देखें। / While checking injectivity of a logarithmic function, always check its domain first.
A. \((-\infty,-1]\) पर एकैकी/One-one on (\(-\infty,-1]\)
Step 1
Concept
एकैकी जांचने के लिए बढ़ने-घटने का व्यवहार देखें। / Check monotonic behaviour to test one-one nature.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), इसलिए (\(-\infty,-1]\) पर फलन लगातार बढ़ता है। / (f'(x)=3x-2-3=3(x-1)(x+1)), so the function is increasing on (\(-\infty,-1]\).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसे घन फलनों के लिए अवकलज का संकेत सबसे तेज तरीका है। / In exams, the sign of the derivative is the quickest method for such cubic functions.
शीर्ष बिंदु (x=-2) है और इसके दाईं ओर फलन लगातार बढ़ता है। / The vertex is at (x=-2), and the function is strictly increasing to the right of it.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर एकैकी नहीं होता, लेकिन शीर्ष के एक ओर एकैकी होता है। / A quadratic function is not one-one on all real numbers, but it is one-one on one side of its vertex.
एकैकी फलन में (A) के अलग-अलग अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयव मिलते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) must get distinct images in (B).
Step 2
Why this answer is correct
पहले अवयव के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(4\cdot3\cdot2=24\)। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2), so total \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
गिनती में क्रम का ध्यान रखें क्योंकि फलन में कौन-सा अवयव किससे जुड़ा है, यह बदलता है। / Remember that order matters in function assignment.
एकैकी फलन के लिए सहप्रांत में कम से कम उतने ही अवयव चाहिए जितने प्रांत में हैं। / For a one-one function, the codomain must have at least as many elements as the domain.
Step 2
Why this answer is correct
यहां (A) में (5) और (B) में केवल (3) अवयव हैं, इसलिए अलग-अलग प्रतिबिंब देना संभव नहीं है। / Here (A) has (5) elements and (B) has only (3), so distinct images are impossible.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन की संख्या तुरंत (0) लिखें। / If the domain is larger than the codomain, the number of one-one functions is (0).
अवकलज से बढ़ने-घटने का पता लगाएं। / Use the derivative to study monotonicity.
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=e^x+1), जो हर (x) के लिए धनात्मक है। इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी है। / (f'(x)=e^x+1), which is positive for every (x). Hence the function is strictly increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
अगर अवकलज हमेशा धनात्मक या हमेशा ऋणात्मक हो, तो फलन एकैकी होता है। / A function with derivative always positive or always negative is one-one.
\(\sin x\) पूरे वास्तविक समुच्चय पर आवर्ती है, इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\sin x\) is periodic on the real line, so it is not one-one on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) पर \(\sin x\) लगातार बढ़ता है। / On \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), \(\sin x\) is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में एकैकी बनाने के लिए उपयुक्त सीमित अंतराल चुनें। / For trigonometric functions, choose a proper restricted interval to make them one-one.
\(\ln x\) का प्रांत (\(0,\infty\)) है। / The domain of \(\ln x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
(f'(x)=\frac{1}{x}), जो इस प्रांत में हर जगह धनात्मक है, इसलिए फलन बढ़ता है। / (f'(x)=\frac{1}{x}), which is positive throughout this domain, so the function is increasing.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ लघुगणकीय फलन अपने प्रांत पर एकैकी होता है। / An increasing logarithmic function is one-one on its domain.
(|x-2|) का आलेख (x=2) पर मुड़ता है। / The graph of (|x-2|) turns at (x=2).
Step 2
Why this answer is correct
\([2,\infty\)) पर यह (x-2) बन जाता है और लगातार बढ़ता है। / On \([2,\infty\)), it becomes (x-2) and is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन को एकैकी बनाने के लिए मोड़ बिंदु के एक ओर प्रांत सीमित करें। / To make a modulus function one-one, restrict the domain to one side of the turning point.
समान आकार के सीमित समुच्चय में एकैकी फलन वास्तव में क्रमचय जैसा होता है। / For finite sets of equal size, a one-one function acts like a permutation.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The (4) elements can be mapped distinctly in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
जब प्रांत और सहप्रांत में बराबर अवयव हों, तो एकैकी फलनों की संख्या (n!) होती है। / When domain and codomain have equal size (n), the number of one-one functions is (n!).
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान मान दिखाना काफी है। / To prove not one-one, it is enough to find two different inputs with the same output.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\(\frac{1}{2}\)=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}+1}=\frac{2}{5}).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में उपयुक्त जोड़ी खोजना अवकलज से भी तेज हो सकता है। / In such questions, finding a smart pair can be faster than using derivatives.
दो अलग मानों पर फलन का मान जांचें। / Test the function at two different values.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), जबकि \(0\ne -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=(-1)3+(-1)2=0), while \(0\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिबिंब देने वाली जोड़ी मिलते ही पूरे प्रांत पर एकैकीपन टूट जाता है। / One pair of distinct inputs with the same image breaks one-one nature on the whole domain.
फलन में प्रत्येक प्रांत अवयव का एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Each domain element has exactly one image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (5) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। / Both (1) and (3) have image (5), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
एकैकी जांचते समय समान प्रतिबिंबों पर विशेष ध्यान दें। / While checking one-one nature, focus on repeated images.
\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि (a,b>0)। / \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) gives (a=b), since (a,b>0).
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम प्रकार के फलनों में समान मान रखकर सीधा प्रमाण अच्छा रहता है। / For reciprocal-type functions, direct proof using equal images is very effective.
\(\tan x\) आवर्ती है और हर जगह परिभाषित भी नहीं है। / \(\tan x\) is periodic and is not defined everywhere.
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) पर यह लगातार बढ़ता है और हर मान एक बार लेता है। / On (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)), it is strictly increasing and takes each value once.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय प्रतिलोम फलनों के लिए मानक एकैकी अंतराल याद रखें। / Remember standard one-one intervals for inverse trigonometric functions.
पूर्णांकों में (1) और (-1) दोनों मौजूद हैं। / Both (1) and (-1) are present in integers.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1) और (f(-1)=1), लेकिन \(1\ne -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), but \(1\ne -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन सममित होता है, इसलिए बड़े प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / The square function is symmetric, so it is generally not one-one on a large symmetric domain.
(f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), इसलिए फलन एकैकी है। / (f(a)=f(b)\Rightarrow a+2=b+2\Rightarrow a=b), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
\(\mathbb{N}\) में (1) और (2) जैसे मान किसी (n) से नहीं मिलते, इसलिए आच्छादी नहीं है। / Values like (1) and (2) in \(\mathbb{N}\) are not images of any (n), so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना चाहिए। / Always test one-one and onto separately.
\(a^3=b^3\) से (a=b) मिलता है, क्योंकि वास्तविक संख्याओं में घन फलन क्रम बनाए रखता है। / \(a^3=b^3\) gives (a=b), because the cube function preserves order on real numbers.
Step 3
Exam Tip
विषम घात वाले सरल घात फलन अक्सर पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होते हैं। / Simple odd-power functions are often one-one on the whole real domain.
(A) के (5) अवयवों को (B) के (6) अलग अवयवों पर भेजना है। / The (5) elements of (A) must be mapped to (5) distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्पों की संख्या \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\) है। / The number of choices is \(6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2=720\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में \(^{m}P_n\) का प्रयोग करें, जहां (m) सहप्रांत और (n) प्रांत के अवयव हैं। / Use \(^{m}P_n\) for counting one-one functions from an (n)-element domain to an (m)-element codomain.
\(1+\cos x\ge 0\) हर (x) के लिए है और फलन घटता नहीं है; साथ ही \(x+\sin x\) समान मान दो अलग बिंदुओं पर नहीं दोहराता। / \(1+\cos x\ge 0\) for every (x), and the function does not repeat the same value at two distinct points.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में अवकलज के साथ फलन की कुल बढ़ने की दिशा भी देखें। / In such questions, combine derivative sign with overall increasing behaviour.
\(1-\cos x\ge 0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे नहीं लौटता। / \(1-\cos x\ge 0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
गैर-ऋणात्मक अवकलज के साथ समान मान दोहराने की संभावना जांचकर एकैकीपन तय करें। / With a non-negative derivative, check whether equal values can repeat before deciding one-one nature.
(A) के तीन अवयवों को (B) के अलग-अलग अवयवों से जोड़ना है। / The three elements of (A) must be assigned distinct elements of (B).
Step 2
Why this answer is correct
विकल्प \(5\cdot4\cdot3=60\) होंगे। / The choices are \(5\cdot4\cdot3=60\).
Step 3
Exam Tip
साधारण फलनों की संख्या \(5^3\) होती, लेकिन एकैकी में दोहराव नहीं चल सकता। / The number of all functions would be \(5^3\), but one-one functions cannot repeat images.
\(x^2\) में (x) और (-x) का मान समान हो सकता है। / In \(x^2\), (x) and (-x) can give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\infty\)) पर ऋणात्मक भाग हट जाता है और फलन लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), the negative side is removed and the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन को एकैकी बनाने के लिए प्रांत को केवल एक ओर रखें। / To make the square function one-one, keep the domain on one side only.
प्रांत में केवल शून्य और ऋणात्मक संख्याएं हैं। / The domain contains only zero and negative numbers.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए एक ही मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
अवकलज (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2) है। / The derivative is (f'(x)=3x-2-12x+12=3(x-2)2).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर (x) पर (0) या धनात्मक है और फलन घटता नहीं है; वास्तव में (f(x)=(x-2)3+9) है, जो एकैकी है। / It is zero or positive everywhere, and (f(x)=(x-2)3+9), which is one-one.
Step 3
Exam Tip
घन रूप में बदलना कई बार अवकलज से भी साफ समाधान देता है। / Rewriting a cubic can sometimes give a clearer solution than derivative alone.
((x-1)2) का शीर्ष (x=1) पर है। / The vertex of ((x-1)2) is at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
([0,2]) में शीर्ष के दोनों ओर बिंदु हैं, जैसे (0) और (2), जिनका मान (1) है। / The interval ([0,2]) contains points on both sides of the vertex, such as (0) and (2), both giving value (1).
Step 3
Exam Tip
यदि अंतराल में शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले बिंदु हों, तो द्विघात फलन एकैकी नहीं होगा। / If an interval contains points equally placed around the vertex, a quadratic is not one-one.
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), so (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में परिभाषा को सीधे लागू करें। / In composition questions, apply the definition directly.
(g(f(a))=g(f(b))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f(a)=f(b))। फिर (f) एकैकी होने से (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), and since (g) is one-one, (f(a)=f(b)). Since (f) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
दो एकैकी फलनों का संयोजन भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.
\(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) से ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), जिससे (a=b) मिलता है। / \(\frac{a+1}{a-1}=\frac{b+1}{b-1}\) gives ((a+1)(b-1)=(b+1)(a-1)), leading to (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा करके एकैकीपन जांचें। / For fractional linear functions, cross-multiplication is a good way to test one-one nature.
इसका विविक्तकर \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) और अग्र गुणांक धनात्मक है, इसलिए (f'(x)>0) हर (x) पर। / Its discriminant is \(2^2-4\cdot3\cdot1=-8<0\) and the leading coefficient is positive, so (f'(x)>0) for all (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is one-one.
प्रांत में (4) अवयव हैं और सहप्रांत में (3) अवयव हैं। / The domain has (4) elements and the codomain has (3) elements.
Step 2
Why this answer is correct
एकैकी फलन में चारों प्रांत अवयवों को अलग-अलग प्रतिबिंब चाहिए, जो केवल (3) अवयवों में संभव नहीं। / A one-one function needs four distinct images, which is impossible with only (3) codomain elements.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत छोटा हो, तो एकैकी फलन नहीं बनता। / If the codomain is smaller than the domain, no one-one function exists.
दो अलग इनपुटों के मान जांचें। / Check values at two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-27=0), जबकि \(0\ne3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-27=0), while \(0\ne3\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन भी हर बार एकैकी नहीं होता; उसमें मोड़ होने पर समान मान आ सकते हैं। / A cubic function is not always one-one; turning behaviour can create repeated values.
\(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटे या बराबर सबसे बड़े पूर्णांक को देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to the number.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), जबकि \(1.2\ne1.8\)। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), while \(1.2\ne1.8\).
Step 3
Exam Tip
सीढ़ीनुमा फलनों में कई इनपुटों का प्रतिबिंब समान हो सकता है। / Step-like functions often map many inputs to the same output.
A. क्योंकि (f(1.1)=f(1.9))/Because (f(1.1)=f(1.9))
Step 1
Concept
\(\lceil x\rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। / \(\lceil x\rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lceil1.1\rceil=2\) और \(\lceil1.9\rceil=2\), जबकि दोनों इनपुट अलग हैं। / \(\lceil1.1\rceil=2\) and \(\lceil1.9\rceil=2\), while the inputs are different.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलनों में एकैकीपन जांचने के लिए पास-पास के दशमलव मान उपयोगी होते हैं। / For integer-valued functions, nearby decimal values are useful for testing one-one nature.
तीनों प्रतिबिंब अलग-अलग हैं, इसलिए कोई दो अलग इनपुट समान प्रतिबिंब नहीं देते। / All three images are distinct, so no two different inputs have the same image.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है। / For finite sets, a value table quickly checks one-one nature.
वर्ग फलन में विपरीत संख्याओं के वर्ग समान होते हैं। / In a square function, opposite numbers have the same square.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=4-1=3) और (f(-2)=4-1=3), जबकि \(2\ne-2\)। / (f(2)=4-1=3) and (f(-2)=4-1=3), while \(2\ne-2\).
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन के लिए (x) और (-x) जैसी जोड़ी अक्सर तुरंत उत्तर देती है। / For quadratic functions, pairs like (x) and (-x) often give a quick counterexample.
दिए गए फलन को (f(x)=(x+2)3+1) के रूप में लिख सकते हैं। / The function can be written as (f(x)=(x+2)3+1).
Step 2
Why this answer is correct
घन रूप पूरे वास्तविक प्रांत पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए दो अलग (x) मानों के प्रतिबिंब समान नहीं होंगे। / A cubic form is strictly increasing on the whole real domain, so two different (x)-values cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले पूर्ण घन पहचानने की कोशिश करें। / In such questions, first try to identify a perfect cubic form.
एकैकी न होने के लिए दो अलग इनपुटों का समान प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। / To show that a function is not one-one, it is enough to find two different inputs with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=-64+48+5=-11) और (f(2)=8-24+5=-11), जबकि \(-4\ne2\)। / (f(-4)=-64+48+5=-11) and (f(2)=8-24+5=-11), while \(-4\ne2\).
Step 3
Exam Tip
घन फलन में भी मोड़ होने पर समान मान मिल सकते हैं। / Even a cubic function can repeat values if it has turning points.
(f(x)=x-2-4x+6=(x-2)2+2) है। / (f(x)=x-2-4x+6=(x-2)2+2).
Step 2
Why this answer is correct
प्रांत \([2,\infty\)) शीर्ष के दाईं ओर है, जहां फलन लगातार बढ़ता है। / The domain \([2,\infty\)) lies to the right of the vertex, where the function is strictly increasing.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन को शीर्ष के एक ओर सीमित करने पर वह एकैकी बन जाता है। / A quadratic becomes one-one when restricted to one side of its vertex.
(f(x)=(x-4)2-3), इसलिए शीर्ष (x=4) पर है। / (f(x)=(x-4)2-3), so the vertex is at (x=4).
Step 2
Why this answer is correct
([2,6]) में शीर्ष के दोनों ओर समान दूरी वाले बिंदु (2) और (6) हैं जिनके मान समान हैं। / The interval ([2,6]) contains points (2) and (6), equally distant from the vertex, giving equal values.
Step 3
Exam Tip
यदि अंतराल शीर्ष के दोनों ओर फैला हो, तो द्विघात फलन एकैकी नहीं रहता। / If an interval extends on both sides of the vertex, a quadratic is not one-one there.
एकैकी फलन में प्रांत के (6) अवयवों को सहप्रांत के (8) अलग अवयवों पर भेजना होगा। / In a one-one function, the (6) elements of the domain must be sent to (6) distinct elements of the (8)-element codomain.
Step 2
Why this answer is correct
कुल तरीके \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\) होंगे। / The total number is \(8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3=,^{8}P_6\).
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलनों की गिनती में सहप्रांत से क्रम सहित चयन किया जाता है। / For one-one functions, select ordered distinct images from the codomain.
(1) का प्रतिबिंब (5) पहले से तय है। / The image of (1) is already fixed as (5).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी (3) अवयवों के लिए (B) में (4) बचे हुए अलग प्रतिबिंब उपलब्ध हैं, इसलिए संख्या \(4\cdot3\cdot2=24\) है। / The remaining (3) elements must be mapped to distinct elements among the remaining (4) elements of (B), giving \(4\cdot3\cdot2=24\).
Step 3
Exam Tip
तय प्रतिबिंब वाले प्रश्नों में पहले निश्चित जोड़ी को अलग कर दें। / In fixed-image questions, remove the fixed pair first.
\(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\) से क्रॉस गुणा करने पर (17a=17b), अतः (a=b)। / From \(\frac{3a-2}{a+5}=\frac{3b-2}{b+5}\), cross-multiplication gives (17a=17b), hence (a=b).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक रैखिक फलनों में क्रॉस गुणा बहुत उपयोगी होता है। / Cross-multiplication is very useful for fractional linear functions.
फलन में केवल (x) की सम घातें हैं, इसलिए (x) और (-x) पर मान समान हो सकते हैं। / The function contains only even powers of (x), so values at (x) and (-x) can be equal.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=1-2=-1) और (f(-1)=1-2=-1), जबकि \(1\ne-1\)। / (f(1)=1-2=-1) and (f(-1)=1-2=-1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
सम फलन पूरे सममित प्रांत पर सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / An even function on a symmetric domain is generally not one-one.
प्रांत \([-3,\infty\)) में \(x+3\ge0\) है। / In the domain \([-3,\infty\)), \(x+3\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर (x+3) और \(\sqrt{x+3}\) दोनों बढ़ते हैं, इसलिए प्रतिबिंब नहीं दोहरता। / As (x) increases, both (x+3) and \(\sqrt{x+3}\) increase, so the image does not repeat.
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल रूप सामान्यतः अपने प्राकृतिक प्रांत पर बढ़ता हुआ होता है। / A square-root form is usually increasing on its natural domain.
प्रांत में \(x\le5\), इसलिए \(5-x\ge0\) है। / In the domain, \(x\le5\), so \(5-x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर (5-x) घटता है और \(\sqrt{5-x}\) भी घटता है, इसलिए फलन एकैकी है। / As (x) increases, (5-x) decreases and \(\sqrt{5-x}\) also decreases, so the function is one-one.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ फलन भी एकैकी होता है। / A strictly decreasing function is also one-one.
(f'(x)=\cos x-\sin x) है। / (f'(x)=\cos x-\sin x).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\frac{\pi}{4}]\) पर (f'(x)\ge0), इसलिए फलन बढ़ता है और एकैकी है। / On \([0,\frac{\pi}{4}]\), (f'(x)\ge0), so the function is increasing and one-one.
Step 3
Exam Tip
जब अवकलज का संकेत बदलता हो, तो केवल एकरस भाग चुनें। / When the derivative changes sign, choose a monotonic part.
\(\arctan x\) पूरे वास्तविक प्रांत पर परिभाषित है। / \(\arctan x\) is defined on the whole real domain.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\arctan x\) भी बढ़ता है, इसलिए कोई मान दो अलग (x) पर नहीं दोहरता। / As (x) increases, \(\arctan x\) also increases, so no value repeats at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मानक एकैकी व्यवहार को याद रखें। / Remember the standard one-one behaviour of inverse trigonometric functions.
\(\arccos x\) का प्रांत ([-1,1]) है। / The domain of \(\arccos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(\arccos x\) घटता है, इसलिए दो अलग इनपुटों का मान समान नहीं होता। / On this domain, as (x) increases, \(\arccos x\) decreases, so two different inputs do not have the same value.
Step 3
Exam Tip
घटता हुआ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन भी एकैकी होता है। / A decreasing inverse trigonometric function is also one-one.
A. यह एकैकी है लेकिन आच्छादी नहीं है/It is one-one but not onto
Step 1
Concept
(f(a)=f(b)\Rightarrow2a-1=2b-1\Rightarrow a=b), इसलिए फलन एकैकी है। / (f(a)=f(b)\Rightarrow2a-1=2b-1\Rightarrow a=b), so the function is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में सम संख्याएं प्रतिबिंब के रूप में नहीं आतीं, इसलिए यह आच्छादी नहीं है। / Even natural numbers in the codomain are not obtained as images, so it is not onto.
Step 3
Exam Tip
एकैकी और आच्छादी को अलग-अलग जांचना चाहिए। / Test one-one and onto separately.
तब (g(f(a))=g(f(b))), यानी (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b))। चूंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए (a=b)। / Then (g(f(a))=g(f(b))), meaning (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)). Since \(g\circ f\) is one-one, (a=b).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में बाएं वाले फलन के एकैकी होने का निष्कर्ष ऐसे निकाला जाता है। / In composition, this is how one concludes that the first function is one-one.
A. यह हमेशा एकैकी नहीं होगा/It will always be not one-one
Step 1
Concept
(g) पूरे (B) पर एकैकी न हो, फिर भी (f(A)) के छोटे भाग पर (g) अलग-अलग मान दे सकता है। / Even if (g) is not one-one on all of (B), it may give distinct values on the smaller set (f(A)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(g\circ f\) कभी-कभी एकैकी हो सकता है। / Therefore, \(g\circ f\) can sometimes be one-one.
Step 3
Exam Tip
संयोजन में केवल पूरे सहप्रांत नहीं, बल्कि (f(A)) पर (g) का व्यवहार भी देखें। / In composition, check the behaviour of (g) on (f(A)), not only on all of (B).
\(x^2\) का मान (x) और (-x) पर समान होता है। / \(x^2\) has the same value at (x) and (-x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(1)=e-1) और (f(-1)=e-1), जबकि \(1\ne-1\)। / Hence (f(1)=e-1) and (f(-1)=e-1), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
घातांकीय बाहरी फलन होने पर भी अंदर का सम रूप एकैकीपन तोड़ सकता है। / Even with an exponential outer function, an even inner expression can break one-one nature.
(\(0,\infty\)) पर \(x^2\) सख्ती से बढ़ता है। / On (\(0,\infty\)), \(x^2\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
\(\ln u\) भी (u>0) पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए (\ln\(x^2\)) इस प्रांत पर एकैकी है। / \(\ln u\) is also strictly increasing for (u>0), so (\ln\(x^2\)) is one-one on this domain.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से उसी सूत्र का एकैकीपन बदल सकता है। / The one-one nature of the same formula can change when the domain changes.
(1) का प्रतिबिंब (1) तय है। / The image of (1) is fixed as (1).
Step 2
Why this answer is correct
शेष (4) अवयवों को शेष (4) अवयवों पर एकैकी रूप से भेजने के तरीके (4!=24) हैं। / The remaining (4) elements can be mapped one-one to the remaining (4) elements in (4!=24) ways.
Step 3
Exam Tip
समान आकार के समुच्चय में एकैकी फलन क्रमचय की तरह गिने जाते हैं। / For equal-size sets, one-one functions are counted like permutations.
यदि (x>0), तो \(x^3+x\cos^2x>0\), और यदि (x<0), तो यह मान ऋणात्मक होता है। / If (x>0), then \(x^3+x\cos^2x>0\), and if (x<0), the value is negative.
Step 2
Why this answer is correct
साथ ही फलन विषम प्रकार का है और (x) के चिन्ह के साथ मान का चिन्ह बदलता है; बढ़ने की दिशा बनाए रखता है। / The function has odd-type behaviour and preserves the direction of values with the sign of (x).
Step 3
Exam Tip
चिन्ह और बढ़ने के व्यवहार को साथ देखकर कठिन रूपों में एकैकीपन समझा जा सकता है। / For difficult forms, combine sign behaviour with increasing tendency to judge one-one nature.
जहां (x) बड़ा है, वहां \(3x^2\) बढ़ने को मजबूत बनाता है, और छोटे भाग में भी \(x^3+\sin x\) समान मानों को दोहराने वाला आवर्ती रूप नहीं है। / For large (|x|), the \(3x^2\) part strongly supports increasing behaviour, and the expression is not a repeating periodic form.
Step 3
Exam Tip
घन भाग वाले फलनों में आवर्ती छोटा भाग हमेशा एकैकीपन नहीं तोड़ता। / A small trigonometric part does not always destroy one-one nature when a dominant cubic part controls the function.
\(1+\sin x\ge0\) हर वास्तविक (x) के लिए है और फलन पीछे की ओर नहीं लौटता। / \(1+\sin x\ge0\) for every real (x), and the function does not turn back.
Step 3
Exam Tip
ऐसे फलनों में अवकलज का गैर-ऋणात्मक रहना और कुल बढ़ने का व्यवहार एकैकीपन का संकेत देता है। / For such functions, a non-negative derivative along with overall increasing behaviour indicates one-one nature.
\(1-\sin x\ge0\) हर (x) के लिए है और फलन कुल मिलाकर बढ़ने की दिशा में चलता है। / \(1-\sin x\ge0\) for every (x), and the function moves overall in the increasing direction.
Step 3
Exam Tip
अवकलज शून्य हो सकता है, फिर भी फलन समान मान दोहरा न रहा हो तो एकैकी हो सकता है। / A derivative may become zero at points, yet the function can still be one-one if it does not repeat values.
हर प्रांत अवयव का एक प्रतिबिंब दिया है, इसलिए यह फलन है। / Each domain element has an image, so it is a function.
Step 2
Why this answer is correct
(1) और (2) दोनों का प्रतिबिंब (3) है, इसलिए अलग इनपुटों के प्रतिबिंब अलग नहीं हैं। / Both (1) and (2) have image (3), so distinct inputs do not have distinct images.
Step 3
Exam Tip
दोहराए गए प्रतिबिंब एकैकीपन को समाप्त कर देते हैं। / Repeated images destroy one-one nature.
दिए गए फलन में \(x^2\) है, इसलिए विपरीत (x) मानों पर समान मान मिल सकता है। / The function contains \(x^2\), so opposite (x)-values may give equal outputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=\frac{1}{2}) और (f(-1)=\frac{1}{2}), जबकि \(1\ne-1\)। / (f(1)=\frac{1}{2}) and (f(-1)=\frac{1}{2}), while \(1\ne-1\).
Step 3
Exam Tip
सम रूप वाले भिन्नों में (x) और (-x) को जरूर जांचें। / For even-form rational functions, always test (x) and (-x).
प्रांत \([0,\infty\)) में ऋणात्मक मान नहीं हैं। / The domain \([0,\infty\)) has no negative values.
Step 2
Why this answer is correct
इस प्रांत पर (x) बढ़ने से \(x^6+1\) बढ़ता है, इसलिए समान मान दो अलग (x) पर नहीं आता। / On this domain, as (x) increases, \(x^6+1\) increases, so the same value is not obtained at two different (x)-values.
Step 3
Exam Tip
सम घात फलन उचित प्रांत पर सीमित होने पर एकैकी बन सकता है। / An even-power function can become one-one when the domain is suitably restricted.
समान मान खोजने के लिए सरल संख्याएं रखें। / Try simple values to find repeated images.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(3)=27-27=0), जबकि \(0\ne3\)। / (f(0)=0) and (f(3)=27-27=0), while \(0\ne3\).
Step 3
Exam Tip
एक ही प्रतिबिंब देने वाली एक जोड़ी मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता। / One pair of different inputs with the same image is enough to reject one-one nature.
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। / The cube-root function is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बढ़ने पर \(\sqrt[3]{x}\) भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग इनपुट समान मान नहीं देते। / As (x) increases, \(\sqrt[3]{x}\) also increases, so two different inputs do not give the same value.
Step 3
Exam Tip
घनमूल फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी होता है। / The cube-root function is one-one on the whole real domain.
(f) पूरे (A) पर अलग इनपुटों को अलग प्रतिबिंब देता है। / (f) sends distinct inputs of (A) to distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(S) तो (A) का छोटा हिस्सा है, इसलिए (S) के अलग अवयवों के प्रतिबिंब भी अलग रहेंगे। / (S) is only a smaller part of (A), so distinct elements of (S) also keep distinct images.
Step 3
Exam Tip
एकैकी फलन का प्रतिबंध भी एकैकी होता है। / A restriction of a one-one function is also one-one.
(f(x)=(x+1)2+1), इसलिए शीर्ष (x=-1) है। / (f(x)=(x+1)2+1), so the vertex is at (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(\(-\infty,-1]\) पर यह फलन लगातार घटता है और इसलिए एकैकी है। / On (\(-\infty,-1]\), the function is strictly decreasing and hence one-one.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में शीर्ष के बाईं ओर घटता और दाईं ओर बढ़ता व्यवहार याद रखें। / Remember that a quadratic decreases to the left of its vertex and increases to the right.
(a>0) और (b>0) होने से \(3ax^2+b>0\) हर वास्तविक (x) के लिए है। / Since (a>0) and (b>0), \(3ax^2+b>0\) for every real (x).
Step 3
Exam Tip
अवकलज हमेशा धनात्मक हो तो फलन सख्ती से बढ़ता है और एकैकी होता है। / If the derivative is always positive, the function is strictly increasing and one-one.
अवकलज निकालने पर (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}) मिलता है। / Differentiating gives (f'(x)=\frac{x-2\(x^2+3\)}{\(1+x^2\)2}).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर वास्तविक (x) के लिए अऋणात्मक है और फलन मानों को दोहराता नहीं है, इसलिए फलन एकैकी है। / This is non-negative for every real (x), and the function does not repeat values, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले फलनों में अवकलज का संकेत जांचना एक सुरक्षित तरीका है। / For rational functions, checking the sign of the derivative is a reliable method.
