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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3x-7) हो तो (f) के एकैकी होने का सही कारण क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-7), what is the correct reason that (f) is one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(a)=f(b)) से (a=b) मिलता है(f(a)=f(b)) gives (a=b)

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानने पर (3a-7=3b-7) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get (3a-7=3b-7).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर (3a=3b) इसलिए (a=b) है। / Simplifying gives (3a=3b), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न हो तो फलन एकैकी होता है। / A linear function with a non-zero coefficient of (x) is one-one.

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Question 2/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-2-4x+6) हो तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-4x+6), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(x^-2-4x+6=(x-2)²+2) है। / (x^-2-4x+6=(x-2)²+2).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=3) और (f(3)=3) जबकि \(1\neq3\)। / (f(1)=3) and (f(3)=3), while \(1\neq3\).

Step 3

Exam Tip

पूरे वास्तविक प्रांत पर द्विघात फलन सामान्यतः एकैकी नहीं होता। / A quadratic function on the whole real domain is generally not one-one.

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Question 3/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[2,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=x^-2-4x+5) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[2,\infty\)\to[1,\infty)) and (f(x)=x^-2-4x+5), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(x^-2-4x+5=(x-2)²+1) है। / (x^-2-4x+5=(x-2)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए प्रांत में \(x-2\geq0\) है इसलिए ((x-2)²) बढ़ता है। / In the given domain, \(x-2\geq0\), so ((x-2)²) increases.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन अपनी धुरी के एक ओर एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one on one side of its axis.

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Question 4/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-5|) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-5|), which pair shows that (f) is not one-one?

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Correct Answer

A. (4) और (6)(4) and (6)

Step 1

Concept

(f(4)=|4-5|=1) है। / (f(4)=|4-5|=1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(6)=|6-5|=1) है जबकि \(4\neq6\)। / (f(6)=|6-5|=1), while \(4\neq6\).

Step 3

Exam Tip

मापांक फलन में केंद्र से समान दूरी वाले दो आगत समान मान दे सकते हैं। / In a modulus function, inputs at equal distance from the center may give the same output.

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Question 5/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[5,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|x-5|) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:[5,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|x-5|), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x\geq5\) होने पर \(x-5\geq0\) है। / For \(x\geq5\), we have \(x-5\geq0\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (|x-5|=x-5), जो बढ़ता हुआ रैखिक फलन है। / Hence (|x-5|=x-5), which is an increasing linear function.

Step 3

Exam Tip

मापांक फलन उचित प्रांत पर एकैकी बन सकता है। / A modulus function can become one-one on a suitable domain.

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Question 6/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x+1}{x-2}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x+1}{x-2}), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानने पर \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\) मिलता है। / Assuming (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+1}{a-2}=\frac{b+1}{b-2}\).

Step 2

Why this answer is correct

गुणा करने पर ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)) और सरल करने पर (a=b) मिलता है। / Cross-multiplication gives ((a+1)(b-2)=(b+1)(a-2)), and simplification gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

भिन्न वाले फलनों में हर को शून्य करने वाले मान को हटाकर एकैकीपन जाँचें। / For rational functions, remove denominator-zero values before testing one-one.

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Question 7/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) हो तो (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?

If \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}), what conclusion follows from (f(a)=f(b))?

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Correct Answer

A. (a=b)

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) से \(\frac{2a-1}{a+3}=\frac{2b-1}{b+3}\) मिलेगा। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{2a-1}{a+3}=\frac{2b-1}{b+3}\).

Step 2

Why this answer is correct

क्रॉस गुणा करने पर (2ab+6a-b-3=2ab+6b-a-3), इसलिए (7a=7b)। / Cross-multiplication gives (2ab+6a-b-3=2ab+6b-a-3), so (7a=7b).

Step 3

Exam Tip

अतः (a=b) और फलन एकैकी है। / Hence (a=b), so the function is one-one.

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Question 8/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-3+2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3+2x), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x^3+2x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(x^3+2x\) is an increasing function.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a>b) हो तो (a^-3-b^-3+2(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। / If (a>b), then (a^-3-b^-3+2(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).

Step 3

Exam Tip

लगातार बढ़ता फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.

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Question 9/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-3-3x) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3-3x), which pair breaks one-one property?

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Correct Answer

A. (0) और \(\sqrt{3}\)(0) and \(\sqrt{3}\)

Step 1

Concept

(f(0)=0) है। / (f(0)=0).

Step 2

Why this answer is correct

(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0).

Step 3

Exam Tip

घन रूप दिखने मात्र से फलन एकैकी मान लेना ठीक नहीं है। / Do not assume every cubic-looking expression is one-one.

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Question 10/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), is (f) one-one?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

(f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}) है। / (f(2)=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}).

Step 2

Why this answer is correct

(f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}) है जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).

Step 3

Exam Tip

(x) और \(\frac{1}{x}\) वाले फलनों में ऐसे युग्म ध्यान से देखें। / In functions involving (x) and \(\frac{1}{x}\), check reciprocal pairs carefully.

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Question 11/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x+\frac{1}{x}), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x\geq1\) पर (x) बढ़ने से \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। / For \(x\geq1\), \(x+\frac{1}{x}\) increases as (x) increases.

Step 2

Why this answer is correct

इस प्रांत में \(\frac{1}{x}\) घटता है लेकिन कुल मान क्रम से बढ़ता रहता है। / Although \(\frac{1}{x}\) decreases, the total value increases on this domain.

Step 3

Exam Tip

प्रांत सीमित करने से पहले वाला गैर एकैकी फलन एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain can turn a non-one-one function into a one-one function.

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Question 12/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x^-2+3) हो तो (f) के लिए कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x^-2+3), which statement is correct for (f)?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं है क्योंकि (f(1)=f(-1))It is not one-one because (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

(f(1)=2+3=5) है। / (f(1)=2+3=5).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-1)=2+3=5) है जबकि \(1\neq-1\)। / (f(-1)=2+3=5), while \(1\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग के साथ धनात्मक गुणांक होने पर भी पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकीपन नहीं आता। / A positive coefficient with a square does not make it one-one on all real numbers.

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Question 13/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\infty\)\to[3,\infty)) तथा (f(x)=2x^-2+3) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[3,\infty)) and (f(x)=2x^-2+3), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x\geq0\) पर \(x^2\) बढ़ता है। / On \(x\geq0\), \(x^2\) increases.

Step 2

Why this answer is correct

\(2x^2+3\) भी उसी प्रांत पर बढ़ता है इसलिए अलग (x) अलग मान देंगे। / \(2x^2+3\) also increases on that domain, so different (x) values give different outputs.

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन को धनात्मक आधे प्रांत पर रखने से एकैकीपन मिलता है। / A square function becomes one-one when restricted to the non-negative half-domain.

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Question 14/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(\sin 0=\sin \pi\)Because \(\sin 0=\sin \pi\)

Step 1

Concept

\(\sin 0=0\) है। / \(\sin 0=0\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin \pi=0\) है जबकि \(0\neq\pi\)। / \(\sin \pi=0\), while \(0\neq\pi\).

Step 3

Exam Tip

आवर्ती फलनों में दो अलग आगतों पर समान मान मिल सकता है। / Periodic functions can give the same value for different inputs.

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Question 15/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) and (f(x)=\cos x), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) घटने वाला फलन है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) is decreasing.

Step 2

Why this answer is correct

घटता हुआ फलन अलग आगतों को अलग मान देता है। / A decreasing function gives different outputs for different inputs.

Step 3

Exam Tip

एकैकीपन के लिए फलन का बढ़ना ही जरूरी नहीं, लगातार घटना भी पर्याप्त है। / A function need not increase to be one-one; strictly decreasing also works.

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Question 16/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), which pair shows that (f) is not one-one?

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Correct Answer

A. (0) और \(2\pi\)(0) and \(2\pi\)

Step 1

Concept

\(\cos 0=1\) है। / \(\cos 0=1\).

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos 2\pi=1\) है जबकि \(0\neq2\pi\)। / \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq2\pi\).

Step 3

Exam Tip

समान मान देने वाले अलग आगत मिल जाएँ तो फलन एकैकी नहीं है। / If different inputs give the same value, the function is not one-one.

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Question 17/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\lfloor x\rfloor), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

\(\lfloor x\rfloor\) किसी संख्या से छोटा या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to (x).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2.1)=2) और (f(2.8)=2) जबकि \(2.1\neq2.8\)। / (f(2.1)=2) and (f(2.8)=2), while \(2.1\neq2.8\).

Step 3

Exam Tip

सीढ़ीनुमा फलन में एक ही मान कई आगतों पर आ सकता है। / A step-like function may give the same value for many inputs.

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Question 18/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n^-3) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n^-3), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

अलग पूर्णांकों के घन अलग होते हैं। / Cubes of different integers are different.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^3=b^3\) हो तो (a=b) होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

विषम घात का मूल घन फलन पूर्णांकों पर एकैकी है। / The basic odd-power cubic function is one-one on integers.

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Question 19/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n^-2-1) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=n^-2-1), is (f) one-one?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

(1) और (-1) अलग पूर्णांक हैं। / (1) and (-1) are different integers.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=0) और (f(-1)=0) मिलता है। / (f(1)=0) and (f(-1)=0).

Step 3

Exam Tip

वर्ग आधारित फलन पूर्ण पूर्णांक प्रांत पर एकैकी नहीं होता। / A square-based function is not one-one on the full integer domain.

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Question 20/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) तथा (f(n)=2n+5) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=2n+5), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f\(n_1\)=f\(n_2\)) से \(2n_1+5=2n_2+5\) मिलता है। / From (f\(n_1\)=f\(n_2\)), we get \(2n_1+5=2n_2+5\).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर \(n_1=n_2\) है। / Simplifying gives \(n_1=n_2\).

Step 3

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर शून्य से अलग गुणांक वाला रैखिक नियम एकैकी होता है। / A linear rule with non-zero coefficient is one-one on natural numbers.

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Question 21/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (|A|=3) और (|B|=6) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या कितनी होगी?

If (|A|=3) and (|B|=6), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (120)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में प्रतिबिंब दोहराए नहीं जाते। / In a one-one function, images are not repeated.

Step 2

Why this answer is correct

पहले, दूसरे और तीसरे तत्व के लिए क्रमशः (6,5,4) चुनाव हैं। / The first, second, and third elements have (6,5,4) choices respectively.

Step 3

Exam Tip

कुल संख्या \(6\cdot5\cdot4=120\) होगी। / The total number is \(6\cdot5\cdot4=120\).

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Question 22/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (|A|=4) और (|B|=3) हो तो (A) से (B) में एकैकी फलनों की संख्या क्या है?

If (|A|=4) and (|B|=3), how many one-one functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

एकैकी फलन के लिए (A) के चार तत्वों को चार अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs four distinct images for the four elements of (A).

Step 2

Why this answer is correct

(B) में केवल तीन तत्व हैं इसलिए यह संभव नहीं है। / (B) has only three elements, so this is impossible.

Step 3

Exam Tip

प्रांत बड़ा और सहप्रांत छोटा हो तो एकैकी फलन नहीं बन सकता। / If the domain is larger than the codomain, no one-one function can exist.

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Question 23/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c,d,e\}\) और \(f=\{(1,a),(2,c),(3,e),(4,b)\}\) हो तो (f) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{a,b,c,d,e\}\), and \(f=\{(1,a),(2,c),(3,e),(4,b)\}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(A) के हर तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Every element of (A) has exactly one image.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (a,c,e,b) सभी अलग हैं। / The images (a,c,e,b) are all distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति न हो तो फलन एकैकी होता है। / For finite sets, no repetition of images means the function is one-one.

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Question 24/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\) और \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{p,q,r\}\), and \(f=\{(1,p),(2,q),(3,r),(4,q)\}\), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(2) और (4) अलग प्रांत तत्व हैं। / (2) and (4) are different domain elements.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों का प्रतिबिंब (q) है इसलिए प्रतिबिंब दोहराया गया। / Both have image (q), so an image is repeated.

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलन में दो अलग प्रांत तत्वों का प्रतिबिंब समान नहीं हो सकता। / In a one-one function, two different domain elements cannot have the same image.

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Question 25/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (8) तत्व हैं तो (f(A)) में कितने तत्व होंगे?

If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (8) elements, how many elements are in (f(A))?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग प्रांत तत्वों के प्रतिबिंब अलग होते हैं। / In a one-one function, distinct domain elements have distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

(A) के (8) तत्वों से (8) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। / The (8) elements of (A) give (8) distinct images.

Step 3

Exam Tip

इसलिए परास में प्रांत जितने तत्व होंगे। / Therefore the range has as many elements as the domain.

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Question 26/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि किसी फलन का आलेख (y=4) रेखा को दो अलग बिंदुओं पर काटता है तो फलन कैसा होगा?

If the graph of a function intersects the line (y=4) at two distinct points, what type of function is it?

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Correct Answer

A. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

रेखा (y=4) एक ही निर्गत मान को दर्शाती है। / The line (y=4) represents one output value.

Step 2

Why this answer is correct

दो अलग बिंदुओं पर कटना मतलब दो अलग (x) के लिए समान (y) मान मिलना। / Two intersections mean two different (x)-values give the same (y)-value.

Step 3

Exam Tip

क्षैतिज रेखा परीक्षण से ऐसा फलन एकैकी नहीं होता। / By the horizontal line test, such a function is not one-one.

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Question 27/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि किसी फलन का आलेख हर क्षैतिज रेखा को अधिकतम एक बार काटता है तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If the graph of a function intersects every horizontal line at most once, which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. फलन एकैकी हैThe function is one-one

Step 1

Concept

हर क्षैतिज रेखा एक निश्चित निर्गत मान बताती है। / Each horizontal line represents a fixed output value.

Step 2

Why this answer is correct

अधिकतम एक कटान का अर्थ है वह निर्गत केवल एक आगत से आया है। / At most one intersection means that output comes from only one input.

Step 3

Exam Tip

यह एकैकीपन का आलेखीय परीक्षण है। / This is the graphical test for one-one property.

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Question 28/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f) और (g) दोनों एकैकी फलन हैं तो \(g\circ f\) कैसा होगा?

If both (f) and (g) are one-one functions, what type of function is \(g\circ f\)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)) मानें। / Assume (\(g\circ f\)(a)=\(g\circ f\)(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(g(f(a))=g(f(b))) से पहले (f(a)=f(b)), फिर (a=b) मिलेगा। / From (g(f(a))=g(f(b))), first get (f(a)=f(b)), and then (a=b).

Step 3

Exam Tip

दो एकैकी फलनों का समिश्र भी एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is one-one.

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Question 29/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2^x+1) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2^x+1), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(2^x\) बढ़ने वाला फलन है। / \(2^x\) is an increasing function.

Step 2

Why this answer is correct

उसमें (1) जोड़ने से अलग आगतों के मान अलग ही रहते हैं। / Adding (1) keeps different input values different.

Step 3

Exam Tip

बढ़ते घातीय फलन में स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to an increasing exponential function does not change one-one property.

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Question 30/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) तथा (f(x)=\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=\left\(\frac{1}{2}\right\)^x), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) घटने वाला घातीय फलन है। / (\left\(\frac{1}{2}\right\)^x) is a decreasing exponential function.

Step 2

Why this answer is correct

घटते हुए फलन में दो अलग आगत समान मान नहीं देते। / A decreasing function does not give the same value for two different inputs.

Step 3

Exam Tip

(0) और (1) के बीच आधार वाला घातीय फलन भी एकैकी होता है। / An exponential function with base between (0) and (1) is also one-one.

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Question 31/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=\log_3 x) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\log_3 x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(\log_3 x\) धनात्मक प्रांत पर बढ़ता है। / \(\log_3 x\) is increasing on the positive domain.

Step 2

Why this answer is correct

\(\log_3 a=\log_3 b\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(\log_3 a=\log_3 b\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

लघुगणक फलन अपने सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A logarithmic function is one-one on its proper domain.

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Question 32/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-5) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-5), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x^5\) विषम घात वाला बढ़ता फलन है। / \(x^5\) is an increasing odd-power function.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^5=b^5\) हो तो (a=b) होता है। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

सरल विषम घात वाले फलन वास्तविक संख्याओं पर एकैकी होते हैं। / Simple odd-power functions are one-one on real numbers.

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Question 33/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-6) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-6), why is (f) not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (f(1)=f(-1))Because (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

(1) और (-1) अलग वास्तविक संख्याएँ हैं। / (1) and (-1) are different real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

(1⁶=(-1)⁶=1) इसलिए समान मान मिलता है। / (1⁶=(-1)⁶=1), so the same value is obtained.

Step 3

Exam Tip

सम घात वाले फलन पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं होते। / Even-power functions are not one-one on the whole real domain.

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Question 34/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x^-6) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x^-6), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x\geq0\) पर \(x^6\) बढ़ता है। / On \(x\geq0\), \(x^6\) increases.

Step 2

Why this answer is correct

इस प्रांत में अलग (x) अलग \(x^6\) मान देते हैं। / In this domain, different (x) values give different \(x^6\) values.

Step 3

Exam Tip

सम घात वाला फलन धनात्मक आधे प्रांत पर एकैकी हो सकता है। / An even-power function can be one-one on the non-negative half-domain.

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Question 35/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\sqrt[3]{x-2}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x-2}), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

घनमूल फलन वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता है। / The cube-root function increases on real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

(x-2) भी अलग (x) पर अलग मान देता है। / (x-2) also gives different values for different (x).

Step 3

Exam Tip

बढ़ते फलन का ऐसा स्थानांतरण एकैकीपन बनाए रखता है। / Such a translation of an increasing function preserves one-one property.

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Question 36/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=\sqrt{x-4}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:[4,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x-4}), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(\sqrt{x-4}\) अपने प्रांत पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x-4}\) increases on its domain.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\) हो तो (a-4=b-4), इसलिए (a=b)। / If \(\sqrt{a-4}=\sqrt{b-4}\), then (a-4=b-4), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

वर्गमूल फलन सही प्रांत पर एकैकी होता है। / A square-root function is one-one on its proper domain.

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Question 37/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|2x-1|), which pair breaks one-one property?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0) और (1)(0) and (1)

Step 1

Concept

(f(0)=|-1|=1) है। / (f(0)=|-1|=1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=|1|=1) है जबकि \(0\neq1\)। / (f(1)=|1|=1), while \(0\neq1\).

Step 3

Exam Tip

मापांक में अंदर की मात्रा विपरीत चिन्ह वाली होकर भी समान मान दे सकती है। / In modulus functions, inner expressions with opposite signs can give the same output.

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Question 38/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|2x-1|) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\left[\frac{1}{2},\infty\right\)\to[0,\infty)) and (f(x)=|2x-1|), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x\geq\frac{1}{2}\) होने पर \(2x-1\geq0\) है। / For \(x\geq\frac{1}{2}\), \(2x-1\geq0\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(x)=2x-1), जो रैखिक और बढ़ता है। / Hence (f(x)=2x-1), which is linear and increasing.

Step 3

Exam Tip

मापांक फलन को केंद्र के एक ओर सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting a modulus function to one side of its center can make it one-one.

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Question 39/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-2+x+1) हो तो कौन सा युग्म समान मान देता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+x+1), which pair gives the same value?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0) और (-1)(0) and (-1)

Step 1

Concept

(f(0)=1) है। / (f(0)=1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-1)=1-1+1=1) है जबकि \(0\neq-1\)। / (f(-1)=1-1+1=1), while \(0\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन के लिए धुरी के दोनों ओर समान मान मिल सकते हैं। / A quadratic function can give equal values on both sides of its axis.

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Question 40/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x^-2+x+1) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\left[-\frac{1}{2},\infty\right\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2+x+1), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(x^-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)²+\frac{3}{4}) है। / (x^-2+x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)²+\frac{3}{4}).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए प्रांत में \(x+\frac{1}{2}\geq0\), इसलिए वर्ग भाग बढ़ता है। / In the given domain, \(x+\frac{1}{2}\geq0\), so the squared part increases.

Step 3

Exam Tip

धुरी के एक ओर द्विघात फलन एकैकी हो जाता है। / A quadratic becomes one-one on one side of its axis.

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Question 41/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=5-2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-2x), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) से (5-2a=5-2b) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get (5-2a=5-2b).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (-2a=-2b) और (a=b) मिलता है। / This gives (-2a=-2b), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक गुणांक वाला रैखिक फलन भी एकैकी हो सकता है। / A linear function with a negative coefficient can also be one-one.

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Question 42/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=7) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7), which pair shows that (f) is not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1) और (2)(1) and (2)

Step 1

Concept

स्थिर फलन हर आगत पर (7) देता है। / A constant function gives (7) for every input.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=7) और (f(2)=7) जबकि \(1\neq2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), while \(1\neq2\).

Step 3

Exam Tip

एकैकीपन नकारने के लिए अलग आगतों पर समान मान दिखाएँ। / To disprove one-one, show equal outputs for different inputs.

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Question 43/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (5) तत्व हैं तो (B) में कम से कम कितने तत्व होने चाहिए?

If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (5) elements, at least how many elements must (B) have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में (A) के (5) तत्वों के लिए (5) अलग प्रतिबिंब चाहिए। / A one-one function needs (5) distinct images for the (5) elements of (A).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (B) में कम से कम (5) तत्व होने जरूरी हैं। / Therefore (B) must have at least (5) elements.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन के लिए सहप्रांत छोटा नहीं हो सकता। / For finite sets, the codomain cannot be smaller than the domain for a one-one function.

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Question 44/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=\frac{x+2}{3}) हो तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=\frac{x+2}{3}), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) से \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\) मिलता है। / From (f(a)=f(b)), we get \(\frac{a+2}{3}=\frac{b+2}{3}\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (a+2=b+2) और (a=b) है। / This gives (a+2=b+2), hence (a=b).

Step 3

Exam Tip

परिमेय संख्याओं पर शून्य से अलग गुणांक वाला रैखिक नियम एकैकी होता है। / A linear rule with non-zero coefficient is one-one on rational numbers.

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Question 45/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) तथा (f(x)=x^-2) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}\) and (f(x)=x^-2), is (f) one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

(1) और (-1) दोनों परिमेय हैं। / Both (1) and (-1) are rational numbers.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(-1)=1) जबकि \(1\neq-1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन पूरे परिमेय प्रांत पर एकैकी नहीं होता। / The square function is not one-one on the whole rational domain.

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Question 46/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x^-2) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\(-\infty,0]\to[0,\infty\)) and (f(x)=x^-2), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में सभी \(x\leq0\) हैं। / In the given domain, all \(x\leq0\).

Step 2

Why this answer is correct

इस प्रांत पर (x) बढ़ने पर \(x^2\) घटता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On this domain, as (x) increases, \(x^2\) decreases, so different (x) values give different outputs.

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन ऋणात्मक आधे प्रांत पर भी एकैकी होता है। / The square function is also one-one on the non-positive half-domain.

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Question 47/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-4+x^-2) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-4+x^-2), is (f) one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

(f(1)=1+1=2) है। / (f(1)=1+1=2).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-1)=1+1=2) है जबकि \(1\neq-1\)। / (f(-1)=1+1=2), while \(1\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

केवल सम घातों वाले फलन में (x) और (-x) से समान मान मिल सकता है। / A function with only even powers can give the same value for (x) and (-x).

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Question 48/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि (f:\(-\infty,1]\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=(x-1)²) हो तो (f) कैसा है?

If (f:\(-\infty,1]\to[0,\infty\)) and (f(x)=(x-1)²), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए प्रांत में \(x\leq1\) है इसलिए \(x-1\leq0\) रहता है। / In the given domain, \(x\leq1\), so \(x-1\leq0\).

Step 2

Why this answer is correct

इस भाग पर (x) बढ़ने पर ((x-1)²) घटता है और अलग (x) अलग मान देते हैं। / On this part, as (x) increases, ((x-1)²) decreases and different (x) values give different outputs.

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन धुरी के केवल एक ओर सीमित हो तो एकैकी हो सकता है। / A quadratic function can be one-one when restricted to one side of its axis.

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Question 49/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x}{1+x^-2}) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x^-2}), is (f) one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

एकैकी नहीं दिखाने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान खोजें। / To show that a function is not one-one, find two different inputs with the same output.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=\frac{2}{5}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), जबकि \(2\neq\frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{2}{5}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}), while \(2\neq\frac{1}{2}\).

Step 3

Exam Tip

भिन्न वाले फलनों में उल्टे युग्म अक्सर समान मान दे सकते हैं। / In fractional functions, reciprocal pairs can often give the same value.

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Question 50/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 22

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-3+x+2) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3+x+2), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x^3+x+2\) में (x) बढ़ने पर मान लगातार बढ़ता है। / The value of \(x^3+x+2\) increases continuously as (x) increases.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a>b) हो तो (a^-3-b^-3+(a-b)>0), इसलिए (f(a)>f(b))। / If (a>b), then (a^-3-b^-3+(a-b)>0), so (f(a)>f(b)).

Step 3

Exam Tip

लगातार बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.

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Question 51/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-7) से परिभाषित किया गया है तो यह कैसा फलन है?

If the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=3x-7), what type of function is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

एकैकी जाँच के लिए (f(a)=f(b)) मानते हैं। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(3a-7=3b-7) से (a=b) मिलता है इसलिए अलग-अलग मानों की छवि अलग होगी। / From (3a-7=3b-7), we get (a=b), so different inputs have different images.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.

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Question 52/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2) के बारे में सही कथन चुनिए।

Choose the correct statement about the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों की छवि अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, different inputs must have different images.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ (f(2)=4) और (f(-2)=4) जबकि \(2\neq -2\)। / Here (f(2)=4) and (f(-2)=4), while \(2\neq -2\).

Step 3

Exam Tip

जब दो अलग मानों की छवि समान मिले तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs give the same image, the function is not one-one.

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Question 53/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5-2x), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5-2x), which statement is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी क्योंकि (x) का गुणांक शून्य नहीं हैOne-one because the coefficient of (x) is non-zero

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Let (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(5-2a=5-2b) से (a=b) प्राप्त होता है। / From (5-2a=5-2b), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

ऋणात्मक ढाल समस्या नहीं है यदि ढाल शून्य नहीं है तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / A negative slope is not a problem; a linear function is one-one if its slope is non-zero.

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Question 54/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3) की एकैकीता के बारे में सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option about the one-one nature of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^3=b^3\) तो (a=b) ही होगा। / If \(a^3=b^3\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

पूरे वास्तविक समुच्चय पर \(x^3\) एकैकी का अच्छा उदाहरण है। / On the whole real set, \(x^3\) is a good example of a one-one function.

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Question 55/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x|), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

निरपेक्ष मान में विपरीत चिन्ह वाले मानों की छवि समान हो सकती है। / In an absolute value function, opposite signed inputs can have the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(3)=3) और (f(-3)=3), पर \(3\neq -3\)। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), but \(3\neq -3\).

Step 3

Exam Tip

ऐसे उदाहरण से तुरंत पता चलता है कि फलन एकैकी नहीं है। / Such an example quickly shows that the function is not one-one.

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Question 56/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=x+4) के लिए सही कथन क्या है?

What is the correct statement for \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(x)=x+4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानकर जाँच करते हैं। / Check by assuming (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(a+4=b+4) से (a=b) मिलता है। / From (a+4=b+4), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

किसी संख्या में समान स्थिरांक जोड़ना अलग-अलग मानों को अलग ही रखता है। / Adding the same constant keeps different values different.

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Question 57/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), तो (f) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(x)=2x), which option is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी है क्योंकि (2a=2b) से (a=b)One-one because (2a=2b) gives (a=b)

Step 1

Concept

एकैकीता में सहप्रांत के सभी मान मिलना जरूरी नहीं होता। / For one-one nature, it is not necessary to get every value of the codomain.

Step 2

Why this answer is correct

(f(a)=f(b)) देने पर (2a=2b) और इसलिए (a=b)। / If (f(a)=f(b)), then (2a=2b), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

परास छोटा हो सकता है फिर भी फलन एकैकी हो सकता है। / The range may be smaller, yet the function can still be one-one.

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Question 58/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2+1) के लिए कौन-सा कथन सही है?

Which statement is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2+1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

\(x^2\) वाले फलन में (x) और (-x) की छवि समान हो सकती है। / In a function involving \(x^2\), (x) and (-x) may have the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=2) और (f(-1)=2) जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

एक प्रतिवाद एकैकीता को असत्य सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove one-one nature.

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Question 59/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2), तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

यहाँ आगत केवल (0) और उससे बड़ी संख्याएँ हैं। / Here the inputs are only (0) and positive numbers.

Step 2

Why this answer is correct

इस क्षेत्र में \(x^2\) बढ़ता है इसलिए \(a^2=b^2\) होने पर (a=b)। / On this domain, \(x^2\) increases, so \(a^2=b^2\) gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

फलन की एकैकीता क्षेत्र पर निर्भर करती है। / One-one nature depends on the domain.

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Question 60/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7), तो (f) के लिए सही उत्तर क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=7), what is the correct answer for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

स्थिर फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function gives the same value for every input.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=7) और (f(2)=7), पर \(1\neq 2\)। / (f(1)=7) and (f(2)=7), but \(1\neq 2\).

Step 3

Exam Tip

यदि क्षेत्र में एक से अधिक तत्व हों तो स्थिर फलन एकैकी नहीं होता। / If the domain has more than one element, a constant function is not one-one.

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Question 61/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर फलन \(f:A\to A\) को (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1) से दिया गया है। यह फलन कैसा है?

On the set \(A=\{1,2,3\}\), a function \(f:A\to A\) is given by (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1). What type of function is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

दिए गए तीनों आगतों की छवियाँ (2,3,1) हैं। / The images of the three inputs are (2,3,1).

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी दो अलग आगत समान छवि नहीं दे रहे हैं। / No two different inputs give the same image.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में छवियों को देखकर एकैकीता जल्दी जाँची जा सकती है। / For a finite set, one-one nature can be checked quickly by comparing images.

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Question 62/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(f:A\to A\) में (f(1)=2), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=4) है। (f) कैसा है?

For \(f:A\to A\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), (f(1)=2), (f(2)=2), (f(3)=3), (f(4)=4). What is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(1) और (2) अलग-अलग आगत हैं। / (1) and (2) are different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों की छवि (2) है इसलिए अलग आगत समान छवि दे रहे हैं। / Both have image (2), so different inputs give the same image.

Step 3

Exam Tip

सीमित सारणी में दोहराई गई छवि दिखते ही एकैकीता असत्य हो जाती है। / In a finite table, a repeated image disproves one-one nature.

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Question 63/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3+1) के बारे में सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option about \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3+1).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x^3\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ता हुआ है। / \(x^3\) is increasing on real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

किसी बढ़ते फलन में स्थिरांक (1) जोड़ने से एकैकीता नहीं बदलती। / Adding the constant (1) does not change one-one nature.

Step 3

Exam Tip

\(a^3+1=b^3+1\) से (a=b) मिल जाता है। / From \(a^3+1=b^3+1\), we get (a=b).

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Question 64/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x-2)²), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x-2)²), which statement is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

वर्ग वाले फलन में केंद्र के दोनों ओर समान छवि मिल सकती है। / In a squared function, points on both sides of the center may give the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).

Step 3

Exam Tip

दो समान छवियाँ मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता। / Equal images for different inputs mean the function is not one-one.

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Question 65/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}) के लिए सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option for (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\frac{1}{x}).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b)) जहाँ (a,b>0)। / Let (f(a)=f(b)), where (a,b>0).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। / From \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम रूप वाले ऐसे फलन में बराबर छवि बराबर आगत देती है। / In this reciprocal form, equal images lead to equal inputs.

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Question 66/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x^-2}), तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{1}{x^-2}), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहींNot one-one

Step 1

Concept

यहाँ (x) और (-x) दोनों क्षेत्र में हैं। / Here both (x) and (-x) are in the domain.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=\frac{1}{4}) और (f(-2)=\frac{1}{4}), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=\frac{1}{4}) and (f(-2)=\frac{1}{4}), while \(2\neq -2\).

Step 3

Exam Tip

समान छवि देने वाले अलग आगत मिलते ही एकैकीता समाप्त होती है। / Different inputs with the same image prove that the function is not one-one.

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Question 67/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+9) के लिए (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?

For \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x+9), what conclusion follows from (f(a)=f(b))?

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Correct Answer

A. (a=b) इसलिए (f) एकैकी है(a=b), so (f) is one-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) लिखने पर (2a+9=2b+9)। / Writing (f(a)=f(b)) gives (2a+9=2b+9).

Step 2

Why this answer is correct

सरल करने पर (2a=2b) और (a=b)। / Simplifying gives (2a=2b), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

यही एकैकी फलन की बीजगणितीय जाँच है। / This is the algebraic test for a one-one function.

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Question 68/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

निम्न में से कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है?

Which of the following functions from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (f(x)=4x-1)

Step 1

Concept

\(x^2\) और (|x|) में (x) तथा (-x) समान छवि दे सकते हैं। / In \(x^2\) and (|x|), (x) and (-x) can give the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(x)=6) स्थिर फलन है। / (f(x)=6) is constant.

Step 3

Exam Tip

(4x-1) में ढाल शून्य नहीं है इसलिए यह एकैकी है। / (4x-1) has non-zero slope, so it is one-one.

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Question 69/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-5), तो (f) की एकैकीता के बारे में सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-5), what is the correct statement about the one-one nature of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

विषम घात \(x^5\) वास्तविक संख्याओं पर बढ़ती रहती है। / The odd power \(x^5\) keeps increasing on real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^5=b^5\) होने पर (a=b) ही होगा। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

विषम घात वाले सरल फलन अक्सर एकैकी होते हैं जब उनका क्षेत्र पूरा वास्तविक समुच्चय हो। / Simple odd-power functions are often one-one on the whole real set.

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Question 70/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-4) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?

Which option is correct for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

सम घात में (x) और (-x) की छवि समान होती है। / In an even power, (x) and (-x) have the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=16) और (f(-2)=16)। / (f(2)=16) and (f(-2)=16).

Step 3

Exam Tip

सम घात वाले फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Even-power functions are generally not one-one on all of \(\mathbb{R}\).

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Question 71/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x^-3-5), तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=2x^-3-5), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

\(x^3\) बढ़ता हुआ फलन है। / \(x^3\) is an increasing function.

Step 2

Why this answer is correct

\(2x^3-5\) में गुणा और स्थिरांक घटाने से क्रम नहीं टूटता। / Multiplication by (2) and subtracting a constant do not break the order.

Step 3

Exam Tip

\(2a^3-5=2b^3-5\) से (a=b) मिलेगा। / From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get (a=b).

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Question 72/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

एक फलन के एकैकी होने की सही शर्त कौन-सी है?

What is the correct condition for a function to be one-one?

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Correct Answer

A. यदि (f(a)=f(b)) तो (a=b)If (f(a)=f(b)), then (a=b)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग-अलग आगत एक ही छवि नहीं दे सकते। / In a one-one function, different inputs cannot give the same image.

Step 2

Why this answer is correct

इसका बीजगणितीय रूप है (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b)। / Its algebraic form is (f(a)=f(b)\Rightarrow a=b).

Step 3

Exam Tip

परिभाषा याद रखने से कई प्रश्न जल्दी हल हो जाते हैं। / Remembering the definition helps solve many questions quickly.

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Question 73/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\) में (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=c), (f(4)=d) है। सही कथन चुनिए।

For \(f:{1,2,3,4}\to{a,b,c,d}\), (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=c), (f(4)=d). Choose the correct statement.

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Correct Answer

A. (f) एकैकी है(f) is one-one

Step 1

Concept

सभी चार आगतों की छवियाँ अलग-अलग हैं। / The images of all four inputs are different.

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी छवि दो बार नहीं आई है। / No image is repeated.

Step 3

Exam Tip

सीमित फलन में छवियाँ दोहराई न जाएँ तो फलन एकैकी होता है। / In a finite function, if images are not repeated, the function is one-one.

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Question 74/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-1|), which statement is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

निरपेक्ष मान वाले फलन में केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले आगत समान छवि देते हैं। / In an absolute value function, inputs at equal distance from the center give the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=1) और (f(2)=1), जबकि \(0\neq 2\)। / (f(0)=1) and (f(2)=1), while \(0\neq 2\).

Step 3

Exam Tip

समान छवि देने वाले दो अलग आगत एकैकीता को रोकते हैं। / Two different inputs with the same image prevent one-one nature.

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Question 75/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

निम्न में से कौन-सा फलन \([0,\infty\)) से \(\mathbb{R}\) पर एकैकी है?

Which of the following functions from \([0,\infty\)) to \(\mathbb{R}\) is one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(x)=x^-2)

Step 1

Concept

\([0,\infty\)) पर \(x^2\) लगातार बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) increases continuously.

Step 2

Why this answer is correct

इस क्षेत्र में दो अलग गैर-ऋणात्मक संख्याएँ समान वर्ग नहीं देंगी। / In this domain, two different non-negative numbers will not have the same square.

Step 3

Exam Tip

क्षेत्र बदलने से एकैकीता बदल सकती है इसलिए क्षेत्र ध्यान से देखें। / One-one nature can change with the domain, so read the domain carefully.

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Question 76/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), तो (f) कैसा फलन है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sqrt[3]{x}), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

घनमूल फलन पूरे वास्तविक समुच्चय पर परिभाषित है। / The cube root function is defined on all real numbers.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\) होने पर (a=b)। / If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

घनमूल बढ़ता हुआ फलन है इसलिए यह एकैकी है। / The cube root function is increasing, so it is one-one.

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Question 77/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x}) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?

Which option is correct for \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\sqrt{x})?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

वर्गमूल फलन (0) से आगे बढ़ता हुआ रहता है। / The square root function increases from (0) onward.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) से (a=b) मिलता है जहाँ \(a,b\geq 0\)। / \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\) gives (a=b), where \(a,b\geq 0\).

Step 3

Exam Tip

वर्गमूल की एकैकीता में क्षेत्र का (0) से आगे होना जरूरी है। / The domain starting from (0) is important for this one-one nature.

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Question 78/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), तो (f) के लिए सही कथन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\sin x), what is the correct statement for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

\(\sin x\) आवर्ती फलन है। / \(\sin x\) is periodic.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).

Step 3

Exam Tip

आवर्ती फलनों में पूरे वास्तविक क्षेत्र पर एकैकीता सामान्यतः नहीं होती। / Periodic functions are generally not one-one on the whole real domain.

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Question 79/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x) एकैकी है या नहीं?

Is the function \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\cos x), one-one or not?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

\(\cos x\) भी आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is also periodic.

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), पर \(0\neq 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), but \(0\neq 2\pi\).

Step 3

Exam Tip

समान छवि देने वाले अलग आगत मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता। / Once different inputs give the same image, the function is not one-one.

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Question 80/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।

If (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), choose the correct option for (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\tan x\) बढ़ता हुआ फलन है। / On the given interval, \(\tan x\) is increasing.

Step 2

Why this answer is correct

इस अंतराल में कोई दो अलग मान समान \(\tan\) मान नहीं देते। / In this interval, no two different values give the same \(\tan\) value.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में क्षेत्र सीमित करने से एकैकीता मिल सकती है। / For trigonometric functions, restricting the domain can give one-one nature.

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Question 81/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-4x+7), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-4x+7), which statement is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(x^-2-4x+7=(x-2)²+3)। / (x^-2-4x+7=(x-2)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=4) और (f(3)=4), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=4) and (f(3)=4), while \(1\neq 3\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग पूर्ण करने से ऐसे प्रश्न जल्दी हल होते हैं। / Completing the square helps solve such questions quickly.

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Question 82/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-4x+7) के बारे में सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option about \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=x^-2-4x+7).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(x)=(x-2)²+3) है। / (f(x)=(x-2)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

क्षेत्र \([2,\infty\)) पर ((x-2)²) बढ़ता है। / On the domain \([2,\infty\)), ((x-2)²) increases.

Step 3

Exam Tip

इसलिए इस सीमित क्षेत्र में समान छवि तभी मिलेगी जब आगत समान हों। / Hence in this restricted domain, equal images occur only for equal inputs.

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Question 83/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3-x), तो (f) के लिए कौन-सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-3-x), which statement is correct for (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

एकैकीता जाँचने के लिए समान छवि वाले अलग आगत खोजें। / To test one-one nature, look for different inputs with the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(-1)=0), (f(0)=0) और (f(1)=0) हैं। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and (f(1)=0).

Step 3

Exam Tip

कई अलग आगत समान छवि दे रहे हैं इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / Several different inputs give the same image, so the function is not one-one.

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Question 84/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

निम्न में से कौन-सा कथन एकैकी फलन के लिए सही है?

Which statement is correct for a one-one function?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. दो अलग आगतों की छवि कभी समान नहीं होतीImages of two different inputs are never the same

Step 1

Concept

एकैकी फलन की मुख्य पहचान अलग-अलग आगतों की अलग छवियाँ हैं। / The main identity of a one-one function is different images for different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दो अलग आगत समान छवि दें तो शर्त टूट जाती है। / If two different inputs give the same image, the condition fails.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा को सरल भाषा में समझना परीक्षा में बहुत उपयोगी है। / Understanding the definition in simple words is very useful in exams.

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Question 85/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b), तो (f) कब एकैकी होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=ax+b), when will (f) be one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. जब \(a\neq 0\)When \(a\neq 0\)

Step 1

Concept

(f(p)=f(q)) मानें। / Assume (f(p)=f(q)).

Step 2

Why this answer is correct

(ap+b=aq+b) से (a(p-q)=0) मिलता है। / From (ap+b=aq+b), we get (a(p-q)=0).

Step 3

Exam Tip

यदि \(a\neq 0\) तो (p=q), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(a\neq 0\), then (p=q), so the function is one-one.

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Question 86/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-x^-3) के लिए सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=-x^-3).

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

\(x^3\) एकैकी है। / \(x^3\) is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(-1) से गुणा करने पर अलग छवियाँ अलग ही रहती हैं। / Multiplication by (-1) keeps distinct images distinct.

Step 3

Exam Tip

\(-a^3=-b^3\) से \(a^3=b^3\) और फिर (a=b) मिलता है। / From \(-a^3=-b^3\), we get \(a^3=b^3\), hence (a=b).

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Question 87/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2+2x), तो (f) के लिए सही कथन कौन-सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2+2x), which statement is correct for (f)?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(x^-2+2x=(x+1)²-1)। / (x^-2+2x=(x+1)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\neq -2\)। / (f(0)=0) and (f(-2)=0), while \(0\neq -2\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग रूप में बदलकर समान छवियाँ आसानी से खोजी जा सकती हैं। / Converting to square form helps find equal images easily.

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Question 88/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

निम्न में से कौन-सा फलन \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है?

Which of the following functions is not one-one on \(\mathbb{R}\)?

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Correct Answer

C. (f(x)=x^-2-1)

Step 1

Concept

रैखिक फलनों में ढाल शून्य नहीं है इसलिए वे एकैकी हैं। / The linear functions have non-zero slope, so they are one-one.

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3+4\) भी बढ़ता हुआ है। / \(x^3+4\) is also increasing.

Step 3

Exam Tip

\(x^2-1\) में (f(1)=0) और (f(-1)=0) इसलिए यह एकैकी नहीं है। / For \(x^2-1\), (f(1)=0) and (f(-1)=0), so it is not one-one.

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Question 89/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x+1}{2}), what is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकीOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

शून्य से अलग गुणांक वाले रैखिक रूप में एकैकीता रहती है। / A linear form with non-zero coefficient remains one-one.

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Question 90/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|2x+1|) के लिए सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|2x+1|).

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

निरपेक्ष मान के कारण दो अलग आगत समान धनात्मक मान दे सकते हैं। / Due to absolute value, two different inputs can give the same positive value.

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(0\neq -1\)। / (f(0)=1) and (f(-1)=1), while \(0\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान वाले फलन को पूरे \(\mathbb{R}\) पर सावधानी से जाँचें। / Check absolute value functions carefully on all of \(\mathbb{R}\).

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Question 91/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\), तो कौन-सी परिभाषा (A) से (B) तक एकैकी फलन देती है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), which definition gives a one-one function from (A) to (B)?

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Correct Answer

B. (f(1)=4, f(2)=5, f(3)=6)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में (A) के अलग तत्वों की छवियाँ (B) में अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, different elements of (A) must have different images in (B).

Step 2

Why this answer is correct

विकल्प (B) में छवियाँ (4,5,6) हैं और कोई दोहराव नहीं है। / In option (B), the images are (4,5,6), with no repetition.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में दोहराव न होना ही मुख्य जाँच है। / For finite sets, absence of repeated images is the key check.

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Question 92/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2+4), तो एकैकी न होने का सही कारण क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2+4), what is the correct reason for not being one-one?

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Correct Answer

A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)

Step 1

Concept

एक प्रतिवाद पर्याप्त है। / One counterexample is enough.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=5) और (f(-1)=5), पर दोनों आगत अलग हैं। / (f(1)=5) and (f(-1)=5), but the inputs are different.

Step 3

Exam Tip

सम घात वाले फलन में (x) और (-x) को जरूर जाँचें। / In even-power functions, always test (x) and (-x).

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Question 93/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-3x) की एकैकीता के बारे में सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option about the one-one nature of \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=9-3x).

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) मानते हैं। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(9-3a=9-3b) से (-3a=-3b) और (a=b)। / From (9-3a=9-3b), we get (-3a=-3b), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

ढाल (-3) शून्य नहीं है इसलिए फलन एकैकी है। / The slope (-3) is non-zero, so the function is one-one.

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Question 94/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x+5)²), तो सही विकल्प चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=(x+5)²), choose the correct option.

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

वर्ग के भीतर (x+5) है इसलिए केंद्र (x=-5) है। / The square contains (x+5), so the center is (x=-5).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-4)=1) और (f(-6)=1), जबकि \(-4\neq -6\)। / (f(-4)=1) and (f(-6)=1), while \(-4\neq -6\).

Step 3

Exam Tip

केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले मान समान छवि देते हैं। / Values equally distant from the center give the same image.

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Question 95/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:[-5,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=(x+5)²) के लिए सही कथन कौन-सा है?

Which statement is correct for \(f:[-5,\infty\)\to\mathbb{R}), (f(x)=(x+5)²)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

दिए गए क्षेत्र में \(x+5\geq 0\) है। / In the given domain, \(x+5\geq 0\).

Step 2

Why this answer is correct

इस क्षेत्र पर ((x+5)²) बढ़ता है और समान छवि समान आगत देती है। / On this domain, ((x+5)²) increases and equal images give equal inputs.

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन को आधे क्षेत्र पर सीमित करने से वह एकैकी हो सकता है। / A square function can become one-one when restricted to one side.

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Question 96/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{3x-2}{5}), तो (f) के बारे में सही उत्तर क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{3x-2}{5}), what is the correct answer about (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) लिखें। / Write (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{3a-2}{5}=\frac{3b-2}{5}\) से (3a-2=3b-2) और (a=b)। / From \(\frac{3a-2}{5}=\frac{3b-2}{5}\), we get (3a-2=3b-2), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

भिन्न में लिखा रैखिक फलन भी एकैकी होता है यदि (x) का गुणांक शून्य नहीं हो। / A linear function written as a fraction is also one-one if the coefficient of (x) is non-zero.

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Question 97/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

निम्न में से कौन-सा उदाहरण एकैकी फलन नहीं दर्शाता?

Which of the following examples does not represent a one-one function?

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Correct Answer

C. \(1\mapsto 2, 2\mapsto 2, 3\mapsto 5\)

Step 1

Concept

हर विकल्प में छवियों को देखें। / Look at the images in each option.

Step 2

Why this answer is correct

विकल्प (C) में (1) और (2) दोनों की छवि (2) है। / In option (C), both (1) and (2) have image (2).

Step 3

Exam Tip

छवि के दोहराव से एकैकीता समाप्त हो जाती है। / Repetition of an image destroys one-one nature.

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Question 98/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि किसी फलन (f) के लिए (f(3)=8) और (f(5)=8), तो कौन-सा निष्कर्ष निश्चित है?

If for a function (f), (f(3)=8) and (f(5)=8), which conclusion is certain?

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Correct Answer

B. (f) एकैकी नहीं है(f) is not one-one

Step 1

Concept

(3) और (5) अलग-अलग आगत हैं। / (3) and (5) are different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

दोनों की छवि (8) है। / Both have image (8).

Step 3

Exam Tip

अलग आगतों की समान छवि एकैकीता के विरुद्ध सीधा प्रमाण है। / The same image for different inputs is direct proof against one-one nature.

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Question 99/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

फलन \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n^-3+n) के लिए सही विकल्प चुनिए।

Choose the correct option for \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\), (f(n)=n^-3+n).

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Correct Answer

A. एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

मान लें (a>b) जहाँ (a,b) पूर्णांक हैं। / Let (a>b), where (a,b) are integers.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^3>b^3\) और (a>b), इसलिए \(a^3+a>b^3+b\)। / Then \(a^3>b^3\) and (a>b), so \(a^3+a>b^3+b\).

Step 3

Exam Tip

फलन बढ़ता है इसलिए अलग पूर्णांक अलग छवि देंगे। / The function increases, so different integers give different images.

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Question 100/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 23

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-6x+10), तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x^-2-6x+10), is (f) one-one or not?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैIt is not one-one

Step 1

Concept

(x^-2-6x+10=(x-3)²+1)। / (x^-2-6x+10=(x-3)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=2) और (f(4)=2), जबकि \(2\neq 4\)। / (f(2)=2) and (f(4)=2), while \(2\neq 4\).

Step 3

Exam Tip

वर्ग रूप में केंद्र के दोनों ओर समान दूरी वाले मान जाँचें। / In square form, check values equally distant from the center.

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Question 101/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=3x-7) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=3x-7), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

एकैकी जांचने के लिए मान लेते हैं कि (f(a)=f(b))। / To test one-one, assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

तब (3a-7=3b-7), इसलिए (a=b) मिलता है। / Then (3a-7=3b-7), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में रैखिक फलन (mx+c) में \(m\neq 0\) हो तो वह एकैकी होता है। / In exams, a linear function (mx+c) with \(m\neq 0\) is one-one.

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Question 102/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5) है, तो यह फलन कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5), what type of function is it?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

नियत फलन हर आगत को एक ही मान देता है। / A constant function gives the same value for every input.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=5) और (f(2)=5), लेकिन \(1\neq 2\)। / (f(1)=5) and (f(2)=5), but \(1\neq 2\).

Step 3

Exam Tip

यदि दो अलग आगतों का प्रतिबिंब समान मिले, तो फलन एकैकी नहीं होता। / If two different inputs have the same image, the function is not one-one.

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Question 103/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(f:A\to A\) को (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(f:A\to A\) is defined by (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), what is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

दिए गए तीनों आगतों के प्रतिबिंब देखें। / Check the images of all three inputs.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (2), (3), (1) हैं और कोई मान दोहराया नहीं गया। / The images are (2), (3), and (1), with no repetition.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में एकैकी जांचने के लिए प्रतिबिंबों की पुनरावृत्ति देखें। / For finite sets, check repetition in images to test one-one.

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Question 104/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{a,b,c\}\) और \(g:A\to{1,2}\) में (g(a)=1), (g(b)=2), (g(c)=2) है, तो (g) के बारे में सही कथन है।

If \(A=\{a,b,c\}\) and \(g:A\to{1,2}\) has (g(a)=1), (g(b)=2), (g(c)=2), choose the correct statement about (g).

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

एकैकी होने के लिए प्रत्येक अलग आगत का प्रतिबिंब अलग होना चाहिए। / For one-one, every distinct input must have a distinct image.

Step 2

Why this answer is correct

यहां (g(b)=2) और (g(c)=2), जबकि \(b\neq c\)। / Here (g(b)=2) and (g(c)=2), while \(b\neq c\).

Step 3

Exam Tip

दोहराया हुआ प्रतिबिंब मिलते ही एकैकी होने से इंकार करें। / A repeated image immediately disproves one-one.

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Question 105/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3), choose the correct option for (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

तब \(a^3=b^3\), जिससे वास्तविक संख्याओं में (a=b) मिलता है। / Then \(a^3=b^3\), which gives (a=b) for real numbers.

Step 3

Exam Tip

घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / The cube function is increasing on \(\mathbb{R}\), so it is one-one.

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Question 106/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x|) है, तो यह एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x|), why is it not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(3)=f(-3)) और \(3\neq -3\)Because (f(3)=f(-3)) and \(3\neq -3\)

Step 1

Concept

परम मान फलन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों समान दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। / The modulus function gives the same value to opposite inputs with equal distance from zero.

Step 2

Why this answer is correct

(f(3)=3) और (f(-3)=3), जबकि \(3\neq -3\)। / (f(3)=3) and (f(-3)=3), while \(3\neq -3\).

Step 3

Exam Tip

एक ही प्रतिबिंब देने वाली अलग जोड़ी खोजना सबसे तेज तरीका है। / Finding two distinct inputs with the same image is the fastest test.

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Question 107/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^-2) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:[0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

इस डोमेन में केवल \(x\geq 0\) लिए जाते हैं। / In this domain, only \(x\geq 0\) is allowed.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\geq 0\), तो (a=b) ही होगा। / If \(a^2=b^2\) and \(a,b\geq 0\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

डोमेन बदलने से वही सूत्र एकैकी भी बन सकता है। / Changing the domain can make the same formula one-one.

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Question 108/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x^-2+1) है, तो (f) का एकैकीपन जांचिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x^-2+1), check whether (f) is one-one.

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

वर्ग वाले फलन में अक्सर (x) और (-x) समान प्रतिबिंब देते हैं। / In square-based functions, (x) and (-x) often give the same image.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=3) और (f(-1)=3), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=3) and (f(-1)=3), while \(1\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात वाले फलनों में ऐसी जोड़ी जरूर जांचें। / For even powers on \(\mathbb{R}\), always test such pairs.

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Question 109/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=7-4x) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=7-4x), what is the correct conclusion for (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

तब (7-4a=7-4b), इसलिए (-4a=-4b) और (a=b)। / Then (7-4a=7-4b), so (-4a=-4b) and (a=b).

Step 3

Exam Tip

ढाल शून्य न हो तो रैखिक फलन एकैकी होता है। / A linear function with non-zero slope is one-one.

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Question 110/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2-6x+9) है, तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-6x+9), is (f) one-one or not?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

(x^-2-6x+9=(x-3)²) है। / (x^-2-6x+9=(x-3)²).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=1) और (f(4)=1), लेकिन \(2\neq 4\)। / (f(2)=1) and (f(4)=1), but \(2\neq 4\).

Step 3

Exam Tip

पूर्ण वर्ग दिखे तो केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत जांचें। / When a perfect square appears, test inputs equally distant from its center.

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Question 111/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3+2) है, तो (f) के लिए सही विकल्प चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3+2), choose the correct option for (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^3+2=b^3+2\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / From \(a^3+2=b^3+2\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

किसी एकैकी फलन में समान संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बदलता। / Adding a constant to a one-one function does not change one-one nature.

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Question 112/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), (f) is not one-one because

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Correct Answer

A. (f(0)=f\(\pi\)) और \(0\neq \pi\)(f(0)=f\(\pi\)) and \(0\neq \pi\)

Step 1

Concept

आवर्ती फलन में समान मान दोहरते हैं। / A periodic function repeats values.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin 0=0\) और \(\sin \pi=0\), जबकि \(0\neq \pi\)। / \(\sin 0=0\) and \(\sin \pi=0\), while \(0\neq \pi\).

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों के लिए एकैकीपन जांचते समय आवर्तिता का ध्यान रखें। / For trigonometric functions, remember periodicity while checking one-one nature.

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Question 113/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\(-\infty,0]\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2) है, तो (f) कैसा है?

If (f:\(-\infty,0]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2), what is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

यहां डोमेन में केवल \(x\leq 0\) हैं। / Here the domain contains only \(x\leq 0\).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^2=b^2\) और \(a,b\leq 0\), तो (a=b) ही होगा। / If \(a^2=b^2\) and \(a,b\leq 0\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन आधे डोमेन पर एकैकी हो जाता है। / The square function becomes one-one on a half-domain.

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Question 114/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x-2|) है, तो कौन-सी जोड़ी दिखाती है कि (f) एकैकी नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), which pair shows that (f) is not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (x=1) और (x=3)(x=1) and (x=3)

Step 1

Concept

परम मान फलन अपने केंद्र से बराबर दूरी वाले आगतों को समान मान देता है। / A modulus function gives equal values to inputs equally distant from its center.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).

Step 3

Exam Tip

(|x-a|) में (a) के दोनों ओर बराबर दूरी देखें। / In (|x-a|), check equal distances on both sides of (a).

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Question 115/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) और (f(n)=2n+1) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) and (f(n)=2n+1), choose the correct statement about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).

Step 2

Why this answer is correct

(2m+1=2n+1) से (m=n) मिलता है। / From (2m+1=2n+1), we get (m=n).

Step 3

Exam Tip

पूर्णांकों पर भी रैखिक फलन का गुणांक शून्य नहीं हो तो एकैकीपन बनता है। / On integers also, a linear function with non-zero coefficient is one-one.

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Question 116/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n+4) है, तो (f) का एकैकीपन क्या होगा?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n+4), what is the one-one nature of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(m)=f(n))। / Assume (f(m)=f(n)).

Step 2

Why this answer is correct

(m+4=n+4), इसलिए (m=n)। / (m+4=n+4), so (m=n).

Step 3

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर हर अलग संख्या में समान संख्या जोड़ने से अंतर बना रहता है। / Adding the same number to different natural numbers preserves their difference.

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Question 117/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) और (f(n)=n^-2) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) and (f(n)=n^-2), choose the correct option about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

प्राकृतिक संख्याएं धनात्मक दिशा में बढ़ती हैं। / Natural numbers move in the positive direction.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(m^2=n^2\) और \(m,n\in\mathbb{N}\), तो (m=n) होगा। / If \(m^2=n^2\) and \(m,n\in\mathbb{N}\), then (m=n).

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन \(\mathbb{R}\) पर नहीं, लेकिन \(\mathbb{N}\) पर एकैकी होता है। / The square function is not one-one on \(\mathbb{R}\), but it is one-one on \(\mathbb{N}\).

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Question 118/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to A\) में (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), (f(4)=4) है, तो (f) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(f:A\to A\) has (f(1)=1), (f(2)=1), (f(3)=3), (f(4)=4), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

सभी आगतों के प्रतिबिंब देखें। / Check the images of all inputs.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(2)=1), लेकिन \(1\neq 2\)। / (f(1)=1) and (f(2)=1), but \(1\neq 2\).

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में दो आगतों का समान प्रतिबिंब एकैकीपन को खत्म करता है। / In a finite set, the same image for two inputs destroys one-one nature.

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Question 119/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x+1}{2}) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x+1}{2}), choose the correct conclusion for (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\) से (a+1=b+1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{a+1}{2}=\frac{b+1}{2}\), we get (a+1=b+1), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

भिन्न रूप में भी गैर-शून्य गुणांक वाला रैखिक फलन एकैकी होता है। / Even in fractional form, a linear function with non-zero coefficient is one-one.

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Question 120/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-4) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-4), (f) is not one-one because

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)

Step 1

Concept

सम घात वाले फलन में (x) और (-x) का मान बराबर आता है। / In an even-power function, (x) and (-x) give equal values.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

पूरे \(\mathbb{R}\) पर सम घात देखकर तुरंत विपरीत आगत जांचें। / On all real numbers, test opposite inputs for even powers.

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Question 121/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=\frac{1}{x}) है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=\frac{1}{x}), what is the correct statement about (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b)), जहां (a,b>0)। / Assume (f(a)=f(b)), where (a,b>0).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\) से (a=b) मिलता है। / From \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}\), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

व्युत्क्रम फलन में समान प्रतिबिंब तभी होगा जब आगत समान हों। / In the reciprocal function, equal images occur only for equal inputs.

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Question 122/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{1}{x^-2}) है, तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{1}{x^-2}), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

\(x^2\) के कारण विपरीत आगत समान मान दे सकते हैं। / Because of \(x^2\), opposite inputs can give the same value.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(-1)=1), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), while \(1\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

हर बार हर में \(x^2\) हो तो धनात्मक और ऋणात्मक आगत की जोड़ी जांचें। / Whenever the denominator has \(x^2\), test positive and negative input pairs.

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Question 123/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2x^-3-5) है, तो (f) का एकैकीपन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2x^-3-5), what is the one-one nature of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(2a^3-5=2b^3-5\) से \(a^3=b^3\), इसलिए (a=b)। / From \(2a^3-5=2b^3-5\), we get \(a^3=b^3\), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

घन फलन में गुणा और स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन बना रहता है। / Multiplying a cubic function and adding a constant preserves one-one nature.

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Question 124/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), (f) is not one-one because

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(0)=f\(2\pi\)) और \(0\neq 2\pi\)(f(0)=f\(2\pi\)) and \(0\neq 2\pi\)

Step 1

Concept

\(\cos x\) एक आवर्ती फलन है। / \(\cos x\) is a periodic function.

Step 2

Why this answer is correct

\(\cos 0=1\) और \(\cos 2\pi=1\), जबकि \(0\neq 2\pi\)। / \(\cos 0=1\) and \(\cos 2\pi=1\), while \(0\neq 2\pi\).

Step 3

Exam Tip

आवर्ती फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सामान्यतः एकैकी नहीं होते। / Periodic functions on all real numbers are generally not one-one.

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Question 125/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\cos x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।

If \(f:[0,\pi]\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\cos x), choose the correct conclusion about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

अंतराल \([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है। / On the interval \([0,\pi]\), \(\cos x\) is strictly decreasing.

Step 2

Why this answer is correct

घटते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / A strictly decreasing function gives different values for different inputs.

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में डोमेन सीमित करने से एकैकीपन मिल सकता है। / Restricting the domain of a trigonometric function can make it one-one.

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Question 126/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+2x) है, तो कौन-सी जोड़ी (f) को एकैकी नहीं दिखाती है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+2x), which pair shows (f) is not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (x=0) और (x=-2)(x=0) and (x=-2)

Step 1

Concept

(x^-2+2x=(x+1)²-1) है। / (x^-2+2x=(x+1)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=0) और (f(-2)=0), जबकि \(0\neq -2\)। / (f(0)=0) and (f(-2)=0), while \(0\neq -2\).

Step 3

Exam Tip

वर्गीय फलन में शिखर के दोनों ओर बराबर दूरी वाले आगत जांचें। / In a quadratic function, test inputs equally distant from the vertex.

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Question 127/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=9x) है, तो (f) किस कारण एकैकी है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=9x), why is (f) one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (9a=9b) से (a=b) मिलता हैBecause (9a=9b) gives (a=b)

Step 1

Concept

एकैकी जांच में (f(a)=f(b)) मानते हैं। / For testing one-one, assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

(9a=9b) होने पर (a=b) मिलता है। / From (9a=9b), we get (a=b).

Step 3

Exam Tip

शून्य से अलग गुणक वाली सरल रैखिक अभिव्यक्ति एकैकी होती है। / A simple linear expression with a non-zero multiplier is one-one.

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Question 128/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6,7\}\) है, तो \(f:A\to B\) को (f(1)=4), (f(2)=6), (f(3)=7) से दिया गया है। (f) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6,7\}\), \(f:A\to B\) is given by (f(1)=4), (f(2)=6), (f(3)=7). What is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

डोमेन के हर तत्व का एक प्रतिबिंब दिया गया है। / Each element of the domain has one image.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (4), (6), (7) अलग-अलग हैं। / The images (4), (6), and (7) are all distinct.

Step 3

Exam Tip

सहडोमेन में कोई तत्व छूट जाए तो भी एकैकीपन पर असर नहीं पड़ता। / Some codomain elements may be unused without affecting one-one nature.

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Question 129/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=0x+8) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=0x+8), what is the correct option about (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

(0x+8=8), इसलिए यह नियत फलन है। / (0x+8=8), so it is a constant function.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=8) और (f(2)=8), जबकि \(1\neq 2\)। / (f(1)=8) and (f(2)=8), while \(1\neq 2\).

Step 3

Exam Tip

रैखिक रूप में गुणांक (0) हो तो फलन एकैकी नहीं होता। / In a linear form, if the coefficient of (x) is (0), the function is not one-one.

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Question 130/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt[3]{x}) है, तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt[3]{x}), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। / The cube root is defined for every real number.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), तो दोनों ओर घन करने पर (a=b)। / If \(\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}\), cubing both sides gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

घनमूल फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी होता है। / The cube-root function is increasing, so it is one-one.

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Question 131/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=(x-2)²) है, तो (f) के बारे में सही कथन है।

If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=(x-2)²), choose the correct statement about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

इस डोमेन में \(x-2\geq 0\) रहता है। / In this domain, \(x-2\geq 0\).

Step 2

Why this answer is correct

यदि ((a-2)²=(b-2)²) और \(a,b\geq 2\), तो (a-2=b-2), इसलिए (a=b)। / If ((a-2)²=(b-2)²) and \(a,b\geq 2\), then (a-2=b-2), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

वर्गीय फलन को शिखर से एक ओर सीमित कर दें तो वह एकैकी हो सकता है। / A quadratic can be one-one when restricted to one side of its vertex.

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Question 132/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=(x+5)²) है, तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सी जोड़ी इसे सिद्ध करती है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(x+5)²), (f) is not one-one. Which pair proves it?

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Correct Answer

A. (x=-4) और (x=-6)(x=-4) and (x=-6)

Step 1

Concept

((x+5)²) का केंद्र (x=-5) है। / The center of ((x+5)²) is (x=-5).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-4)=1) और (f(-6)=1), लेकिन \(-4\neq -6\)। / (f(-4)=1) and (f(-6)=1), but \(-4\neq -6\).

Step 3

Exam Tip

पूर्ण वर्ग में केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी उत्तर देते हैं। / In a perfect square, values equally distant from the center quickly give the answer.

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Question 133/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-5) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-5), choose the correct option about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

\(x^5\) विषम घात वाला फलन है और पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है। / \(x^5\) is an odd-power function and increases on \(\mathbb{R}\).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^5=b^5\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).

Step 3

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर विषम घात वाले मूल रूप सामान्यतः एकैकी होते हैं। / Basic odd-power functions are generally one-one on real numbers.

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Question 134/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+x) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+x), choose the correct conclusion for (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

दो अलग आगतों पर मान जांचें। / Check values at two different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(0\neq -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=0), while \(0\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

वर्गीय फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर अक्सर एकैकी नहीं होता। / A quadratic function on all real numbers is often not one-one.

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Question 135/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=4x+4) है, तो (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=4x+4), what conclusion follows from (f(a)=f(b))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (a=b)

Step 1

Concept

(f(a)=f(b)) लिखने पर (4a+4=4b+4) मिलता है। / Writing (f(a)=f(b)) gives (4a+4=4b+4).

Step 2

Why this answer is correct

दोनों ओर से (4) घटाने और (4) से भाग देने पर (a=b)। / Subtracting (4) and dividing by (4) gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

यही प्रक्रिया एकैकीपन सिद्ध करने की मानक विधि है। / This is the standard method to prove one-one nature.

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Question 136/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|2x|) है, तो (f) का एकैकीपन क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|2x|), what is the one-one nature of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

(|2x|) में भी (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In (|2x|), (x) and (-x) still give the same value.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

परम मान के अंदर गुणक बदलने से पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीपन नहीं बनता। / A multiplier inside modulus does not make it one-one on all real numbers.

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Question 137/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) है, तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

\(\sqrt{x}\) अपने डोमेन \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) is increasing on its domain \([0,\infty\)).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), तो वर्ग करने पर (a=b)। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), squaring gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

बढ़ते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / An increasing function gives different values for different inputs.

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Question 138/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt{x^-2}) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt{x^-2}), choose the correct statement about (f).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), while \(2\neq -2\).

Step 3

Exam Tip

\(\sqrt{x^2}\) को परम मान समझकर प्रश्न हल करें। / Treat \(\sqrt{x^2}\) as modulus while solving.

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Question 139/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to A\) में (f(x)=x) है, तो (f) क्या है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(f:A\to A\) has (f(x)=x), what is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

(f(x)=x) हर तत्व को उसी पर भेजता है। / (f(x)=x) sends every element to itself.

Step 2

Why this answer is correct

अलग-अलग तत्वों के प्रतिबिंब भी अलग-अलग रहेंगे। / Different elements keep different images.

Step 3

Exam Tip

सर्वसम फलन हमेशा एकैकी होता है। / The identity function is always one-one.

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Question 140/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x+1|+3) है, तो (f) एकैकी है या नहीं?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|+3), is (f) one-one or not?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

परम मान का केंद्र (x=-1) है। / The center of the modulus is (x=-1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(0\neq -2\)। / (f(0)=4) and (f(-2)=4), while \(0\neq -2\).

Step 3

Exam Tip

बाहर स्थिर संख्या जोड़ने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं बदलती। / Adding a constant outside does not remove equal-image pairs.

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Question 141/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=x^-2-2x+1) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प है।

If \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=x^-2-2x+1), choose the correct option about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

(x^-2-2x+1=(x-1)²) है। / (x^-2-2x+1=(x-1)²).

Step 2

Why this answer is correct

डोमेन \(x\geq 1\) होने से \(x-1\geq 0\), इसलिए वर्ग बढ़ता है। / Since the domain is \(x\geq 1\), \(x-1\geq 0\), so the square increases.

Step 3

Exam Tip

शिखर से दाईं ओर वर्गीय फलन एकैकी होता है। / A quadratic is one-one on one side of its vertex.

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Question 142/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2-2x+1) है, तो उसी सूत्र के लिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर निष्कर्ष क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-2x+1), what is the conclusion for the same formula on all \(\mathbb{R}\)?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

(f(x)=(x-1)²) है। / (f(x)=(x-1)²).

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=1) और (f(2)=1), जबकि \(0\neq 2\)। / (f(0)=1) and (f(2)=1), while \(0\neq 2\).

Step 3

Exam Tip

वही सूत्र अलग डोमेन पर अलग एकैकी परिणाम दे सकता है। / The same formula can have a different one-one result on a different domain.

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Question 143/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{3x-1}{5}) है, तो (f) के लिए सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{3x-1}{5}), choose the correct statement for (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Assume (f(a)=f(b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{3a-1}{5}=\frac{3b-1}{5}\) से (3a-1=3b-1), इसलिए (a=b)। / From \(\frac{3a-1}{5}=\frac{3b-1}{5}\), we get (3a-1=3b-1), so (a=b).

Step 3

Exam Tip

हर में स्थिर गैर-शून्य संख्या हो तो रैखिक एकैकीपन नहीं बदलता। / A non-zero constant denominator does not change the one-one nature of a linear function.

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Question 144/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-6+1) है, तो (f) एकैकी नहीं है क्योंकि

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-6+1), (f) is not one-one because

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Correct Answer

A. (f(1)=f(-1)) और \(1\neq -1\)(f(1)=f(-1)) and \(1\neq -1\)

Step 1

Concept

\(x^6\) सम घात है, इसलिए विपरीत आगत समान मान देते हैं। / \(x^6\) is an even power, so opposite inputs give equal values.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

सम घात के साथ स्थिर संख्या जोड़ने से एकैकीपन नहीं बनता। / Adding a constant to an even-power function does not make it one-one.

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Question 145/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3+x) है, तो (f) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3+x), what is the correct conclusion about (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

मान लें (f(a)=f(b))। / Consider the function \(x^3+x\).

Step 2

Why this answer is correct

फलन \(x^3+x\) पूरे \(\mathbb{R}\) पर लगातार बढ़ता है क्योंकि (x) बढ़ने पर दोनों भाग साथ बढ़ते हैं। / It is strictly increasing on \(\mathbb{R}\) because both terms increase with (x).

Step 3

Exam Tip

बढ़ता हुआ फलन एकैकी होता है, इसलिए अलग आगत समान मान नहीं दे सकते। / A strictly increasing function is one-one, so different inputs cannot give the same value.

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Question 146/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3-x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3-x), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

दो अलग आगतों पर मान जांचें। / Test values at two different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

(f(-1)=0), (f(0)=0) और \(-1\neq 0\)। / (f(-1)=0), (f(0)=0), and \(-1\neq 0\).

Step 3

Exam Tip

घन वाला हर फलन अपने आप एकैकी नहीं होता, उदाहरण जांचना जरूरी है। / Not every cubic expression is automatically one-one, so checking examples is important.

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Question 147/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2|x|+1) है, तो कौन-सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2|x|+1), which statement is correct?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

(|x|) में (x) और (-x) का मान समान होता है। / In (|x|), (x) and (-x) have the same value.

Step 2

Why this answer is correct

(f(3)=7) और (f(-3)=7), जबकि \(3\neq -3\)। / (f(3)=7) and (f(-3)=7), while \(3\neq -3\).

Step 3

Exam Tip

परम मान के बाहर गुणा या जोड़ करने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं हटती। / Multiplying or adding outside the modulus does not remove equal-image pairs.

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Question 148/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{2,4,6\}\) और \(f:A\to\mathbb{N}\) को (f(x)=\frac{x}{2}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(A=\{2,4,6\}\) and \(f:A\to\mathbb{N}\) is defined by (f(x)=\frac{x}{2}), what is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

डोमेन के मानों पर प्रतिबिंब निकालें। / Find the images of the domain elements.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=1), (f(4)=2), (f(6)=3), और सभी प्रतिबिंब अलग हैं। / (f(2)=1), (f(4)=2), (f(6)=3), and all images are distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित डोमेन में सीधे तालिका बनाकर एकैकीपन जल्दी जांचा जा सकता है। / For a finite domain, a direct value table is a quick test for one-one nature.

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Question 149/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to\mathbb{N}\) को (f(x)=x \pmod{2}) के शेष से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(f:A\to\mathbb{N}\) is defined by the remainder of \(x \pmod{2}\), what is (f)?

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Correct Answer

B. एकैकी नहीं हैNot one-one

Step 1

Concept

सम और विषम संख्याओं के शेष देखें। / Check remainders for even and odd numbers.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1) और (f(3)=1), जबकि \(1\neq 3\)। / (f(1)=1) and (f(3)=1), while \(1\neq 3\).

Step 3

Exam Tip

शेषफल आधारित फलनों में अक्सर कई आगत एक ही शेष देते हैं, इसलिए एकैकीपन सावधानी से जांचें। / Remainder-based functions often send many inputs to the same value, so test one-one nature carefully.

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Question 150/150 Medium Mathematics Relations and Functions One-one function Class 12 Level 24

यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) और (f(x)=e^x) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।

If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) and (f(x)=e^x), choose the correct statement about (f).

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Correct Answer

A. एकैकी हैOne-one

Step 1

Concept

घातीय फलन में (x) बढ़ने पर \(e^x\) भी लगातार बढ़ता है। / The exponential function \(e^x\) increases continuously as (x) increases.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(e^a=e^b\), तो समान आधार के कारण (a=b) होगा। / If \(e^a=e^b\), then the same base gives (a=b).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में लगातार बढ़ने वाला फलन अलग आगतों को अलग प्रतिबिंब देता है, इसलिए वह एकैकी होता है। / In exams, a strictly increasing function gives different images for different inputs, so it is one-one.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - One-one function Medium Quiz

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=3x-7) हो तो (f) के एकैकी होने का सही कारण क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-2-4x+6) हो तो कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[2,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=x-2-4x+5) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=|x-5|) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[5,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=|x-5|) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}-{2}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{x+1}{x-2}) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}-{-3}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\frac{2x-1}{x+3}) हो तो (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3+2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x-3-3x) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[1,\infty\)\to\mathbb{R}) तथा (f(x)=x+\frac{1}{x}) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x-2+3) हो तो (f) के लिए कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\infty\)\to[3,\infty)) तथा (f(x)=2x-2+3) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\sin x) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:[0,\pi]\to[-1,1]\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\cos x) हो तो कौन सा युग्म (f) को एकैकी नहीं दिखाता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=\lfloor x\rfloor) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-3) हो तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n-2-1) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) तथा (f(n)=2n+5) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

Concept

Why this answer is correct

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-2-4x+6) हो तो कौन सा कथन सही है?

यदि \(f:[2,\infty\)\to[1,\infty)) तथा (f(x)=x^-2-4x+5) हो तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-3+2x) हो तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-3-3x) हो तो कौन सा युग्म एकैकीपन तोड़ता है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=2x^-2+3) हो तो (f) के लिए कौन सा कथन सही है?

यदि \(f:[0,\infty\)\to[3,\infty)) तथा (f(x)=2x^-2+3) हो तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n^-3) हो तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) तथा (f(n)=n^-2-1) हो तो (f) एकैकी है या नहीं?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-5) हो तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) तथा (f(x)=x^-6) हो तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) तथा (f(x)=x^-6) हो तो (f) कैसा है?