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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2+2x+3) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-2+2x+3), which statement about the range of (f) is correct?

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Correct Answer

A. \([2,\infty\))

Step 1

Concept

(x^-2+2x+3=(x+1)²+2) लिखें। / Write (x^-2+2x+3=(x+1)²+2).

Step 2

Why this answer is correct

((x+1)²\geq 0), इसलिए सबसे छोटा मान (2) है। / Since ((x+1)²\geq 0), the least value is (2).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन में वर्ग पूरा करना परास निकालने का तेज तरीका है। / Completing the square is a quick method for finding the range of a quadratic function.

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Question 2/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=2x-5), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\frac{x+5}{2}\)

Step 1

Concept

(y=2x-5) मानें। / Put (y=2x-5).

Step 2

Why this answer is correct

(x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। / Solving for (x) gives \(x=\frac{y+5}{2}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय अंत में (y) की जगह (x) लिख दें। / While finding the inverse, replace (y) by (x) at the end.

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Question 3/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में कुल कितने फलन संभव हैं?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), and \(B=\{a,b\}\), how many functions are possible from (A) to (B)?

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Correct Answer

B. (8)

Step 1

Concept

(A) के प्रत्येक अवयव के लिए (B) में (2) चुनाव हैं। / Each element of (A) has (2) choices in (B).

Step 2

Why this answer is correct

(3) अवयवों के लिए कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / For (3) elements, the total number of functions is \(2^3=8\).

Step 3

Exam Tip

फलनों की गिनती में आधार सहप्रांत के अवयवों की संख्या होती है। / In counting functions, the base is the number of elements in the codomain.

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Question 4/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार हैं कि (f(x)=x+3), (g(x)=x^-2), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+3), (g(x)=x^-2), what is (\(g\circ f\)(x))?

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Correct Answer

B. ((x+3)²)

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ (g(f(x))) है। / (\(g\circ f\)(x)) means (g(f(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(f(x)=x+3) को (g) में रखने पर (g(x+3)=(x+3)²) मिलता है। / Substituting (f(x)=x+3) into (g) gives (g(x+3)=(x+3)²).

Step 3

Exam Tip

संयोजन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In composition, changing the order can change the answer.

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Question 5/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-3+x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-3+x), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी हैIt is one-one

Step 1

Concept

यदि \(x_1<x_2\), तो \(x^3+x\) का मान बढ़ता है। / If \(x_1<x_2\), then \(x^3+x\) increases.

Step 2

Why this answer is correct

बढ़ता हुआ फलन दो अलग मानों पर समान मान नहीं देता। / A strictly increasing function cannot give the same value for two different inputs.

Step 3

Exam Tip

एकैकी जांचते समय बढ़ने या घटने का व्यवहार उपयोगी होता है। / Monotonic behaviour is useful for checking one-one functions.

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Question 6/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x^-2), why is (f) not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(1)=f(-1)) हैBecause (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग-अलग आगतों के लिए अलग-अलग निर्गत होने चाहिए। / A one-one function must give different outputs for different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ \(1\neq -1\), पर (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).

Step 3

Exam Tip

एक प्रतिवाद एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to prove that a function is not one-one.

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Question 7/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) is defined by (f(x)=x^-2), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

B. आच्छादी पर एकैकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर (f(x)=y), इसलिए आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), choosing \(x=\sqrt{y}\) gives (f(x)=y), so it is onto.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=f(-1)), इसलिए एकैकी नहीं है। / Since (f(1)=f(-1)), it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

प्रांत और सहप्रांत बदलने से आच्छादिता बदल सकती है। / The codomain strongly affects onto behaviour.

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Question 8/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2+1) से दिया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x^-2+1), why is (f) not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि (0) का कोई प्रतिचित्र नहीं हैBecause (0) has no preimage

Step 1

Concept

\(x^2+1\geq 1\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(x^2+1\geq 1\) for every real (x).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (0) सहप्रांत में है पर फलन का मान कभी (0) नहीं बनता। / So (0) is in the codomain but is never attained.

Step 3

Exam Tip

आच्छादी न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto, show one missing element of the codomain.

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Question 9/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का कौन सा मान कभी नहीं आएगा?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), which value can never occur as (f(x))?

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Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

मान लें \(y=\frac{2x+3}{x-1}\)। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y=2) रखने पर (2x+3=2x-2), जो असंभव है। / Putting (y=2) gives (2x+3=2x-2), which is impossible.

Step 3

Exam Tip

भिन्नात्मक फलन में छूटा मान निकालने के लिए (y) रखकर हल करें। / For rational functions, solve in terms of (y) to find excluded values.

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Question 10/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=3x+1), (g(x)=x-4), तो (\(f\circ g\)(2)) का मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=3x+1), (g(x)=x-4), what is the value of (\(f\circ g\)(2))?

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Correct Answer

A. (-5)

Step 1

Concept

पहले (g(2)=2-4=-2) निकालें। / First find (g(2)=2-4=-2).

Step 2

Why this answer is correct

अब (f(-2)=3(-2)+1=-5) होगा। / Then (f(-2)=3(-2)+1=-5).

Step 3

Exam Tip

संयोजन के मान में अंदर वाले फलन को पहले लगाएँ। / In composition, apply the inner function first.

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Question 11/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) एक एकैकी फलन है और (|A|=5), (|B|=4), तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:A\to B\) is a one-one function and (|A|=5), (|B|=4), which statement is correct?

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Correct Answer

B. ऐसा फलन संभव नहीं हैSuch a function is not possible

Step 1

Concept

एकैकी फलन में (A) के अलग अवयवों को (B) के अलग अवयवों पर जाना चाहिए। / A one-one function sends distinct elements of (A) to distinct elements of (B).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (4) अवयव हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (4).

Step 3

Exam Tip

कबूतरखाना सिद्धांत से ऐसा एकैकी फलन संभव नहीं है। / By the pigeonhole idea, such a one-one function cannot exist.

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Question 12/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (4) अवयव हैं, तो (A) से (B) में कुल कितने एकैकी और आच्छादी फलन होंगे?

If (A) has (4) elements and (B) has (4) elements, how many functions from (A) to (B) are both one-one and onto?

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Correct Answer

C. (24)

Step 1

Concept

समान आकार के सीमित समुच्चयों में एकैकी और आच्छादी फलन क्रमचय होते हैं। / For finite sets of equal size, functions that are one-one and onto are permutations.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अवयवों के क्रमचय (4!=24) होते हैं। / The number of permutations of (4) elements is (4!=24).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में सीधे (n!) प्रयोग करें। / Use (n!) directly in such bijection counting questions.

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Question 13/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax+b) से दिया गया है, तो (f) प्रतिलोम्य कब होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=ax+b), when is (f) invertible?

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Correct Answer

B. जब \(a\neq 0\)When \(a\neq 0\)

Step 1

Concept

प्रतिलोम्य होने के लिए फलन एकैकी और आच्छादी होना चाहिए। / An invertible function must be one-one and onto.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\neq 0\) होने पर रैखिक फलन हर वास्तविक मान को ठीक एक बार लेता है। / If \(a\neq 0\), the linear function takes every real value exactly once.

Step 3

Exam Tip

(a=0) होने पर फलन स्थिर हो जाता है, इसलिए प्रतिलोम्य नहीं रहता। / If (a=0), it becomes constant and is not invertible.

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Question 14/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x|) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=|x|), which statement is correct?

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Correct Answer

B. न एकैकी न आच्छादीNeither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(2)=f(-2)), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=f(-2)), so the function is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या इसका मान नहीं बन सकती, इसलिए आच्छादी नहीं है। / No negative real number can be its output, so it is not onto.

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान फलन में चिह्न और परास दोनों जांचें। / For absolute value functions, check both sign and range.

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Question 15/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3), तो (f^{-1}(8)) का मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3), what is the value of (f^{-1}(8))?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(f^{-1}(8)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए \(x^3=8\)। / (f^{-1}(8)) means the (x) for which \(x^3=8\).

Step 2

Why this answer is correct

(x=2) रखने पर \(2^3=8\) मिलता है। / Taking (x=2) gives \(2^3=8\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम मान में निर्गत से आगत खोजा जाता है। / In inverse values, we find the input from the output.

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Question 16/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=2x+1), (g(x)=x^-2-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=2x+1), (g(x)=x^-2-1), what is (\(f\circ g\)(x))?

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Correct Answer

A. \(2x^2-1\)

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g(x)=x^-2-1) को (f) में रखने पर (2\(x^2-1\)+1) मिलता है। / Substitute (g(x)=x^-2-1) into (f) to get (2\(x^2-1\)+1).

Step 3

Exam Tip

सरल करने पर \(2x^2-1\) आता है। / Simplifying gives \(2x^2-1\).

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Question 17/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n+1) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is given by (f(n)=n+1), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी पर आच्छादी नहींOne-one but not onto

Step 1

Concept

अलग-अलग (n) के लिए (n+1) भी अलग-अलग होगा, इसलिए एकैकी है। / Different values of (n) give different values of (n+1), so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(1) का कोई पूर्वप्रतिबिंब प्राकृतिक संख्याओं में नहीं है। / The number (1) has no preimage in natural numbers.

Step 3

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर स्थानांतरण फलन में पहला मान अक्सर छूट जाता है। / For shift functions on natural numbers, the first value is often missed.

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Question 18/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=x+2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(x)=x+2), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादी दोनोंBoth one-one and onto

Step 1

Concept

(x+2) अलग-अलग पूर्णांकों को अलग-अलग पूर्णांकों में भेजता है। / (x+2) sends different integers to different integers.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(y\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=y-2\in\mathbb{Z}\) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{Z}\), choose \(x=y-2\in\mathbb{Z}\).

Step 3

Exam Tip

पूर्णांकों पर आगे या पीछे खिसकाना सामान्यतः द्विआधारी होता है। / Shifts on integers are usually bijective.

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Question 19/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{1+x^-2}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{1}{1+x^-2}), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. ((0,1])

Step 1

Concept

\(x^2\geq 0\), इसलिए \(1+x^2\geq 1\)। / Since \(x^2\geq 0\), \(1+x^2\geq 1\).

Step 2

Why this answer is correct

सबसे बड़ा मान (x=0) पर (1) है और मान (0) तक केवल पास जाता है, पहुँचता नहीं। / The maximum value is (1) at (x=0), and the function approaches (0) but never reaches it.

Step 3

Exam Tip

भिन्नात्मक परास में सीमा जैसा व्यवहार ध्यान से देखें। / For rational ranges, watch endpoint inclusion carefully.

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Question 20/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) को (f(x)=\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) is given by (f(x)=\frac{1}{x}), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\frac{1}{x}\)

Step 1

Concept

\(y=\frac{1}{x}\) मानें। / Put \(y=\frac{1}{x}\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। / This gives \(x=\frac{1}{y}\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिलोम फलन मूल फलन जैसा ही है। / Hence the inverse function is the same as the original function.

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Question 21/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2-4x+7) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x^-2-4x+7), what is the minimum value of (f)?

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Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

(x^-2-4x+7=(x-2)²+3) लिखें। / Write (x^-2-4x+7=(x-2)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

((x-2)²\geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / Since ((x-2)²\geq 0), the minimum value is (3).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन का न्यूनतम मान वर्ग पूरा करके आसानी से मिलता है। / Completing the square quickly gives the minimum of a quadratic function.

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Question 22/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) आच्छादी है, (|A|=3), (|B|=4), तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:A\to B\) is onto, (|A|=3), and (|B|=4), which statement is correct?

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Correct Answer

B. ऐसा फलन संभव नहीं हैSuch a function is not possible

Step 1

Concept

आच्छादी फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से आना चाहिए। / For an onto function, every element of (B) must be hit by some element of (A).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (3) अवयव हैं पर (B) में (4), इसलिए सभी को ढकना संभव नहीं। / (A) has (3) elements but (B) has (4), so this is impossible.

Step 3

Exam Tip

आच्छादिता के लिए सीमित समुच्चयों में प्रांत का आकार सहप्रांत से कम नहीं होना चाहिए। / For finite sets, the domain must not be smaller than the codomain for onto functions.

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Question 23/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=kx+7) एकैकी नहीं है, तो (k) का मान क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=kx+7) is not one-one, what is the value of (k)?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

रैखिक फलन (kx+7) तब एकैकी होता है जब \(k\neq 0\)। / The linear function (kx+7) is one-one when \(k\neq 0\).

Step 2

Why this answer is correct

एकैकी न होने के लिए ढाल (0) होनी चाहिए। / To fail one-one, its slope must be (0).

Step 3

Exam Tip

(k=0) पर फलन स्थिर बन जाता है। / At (k=0), the function becomes constant.

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Question 24/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-5+x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x^-5+x), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी और आच्छादी हैIt is one-one and onto

Step 1

Concept

\(x^5+x\) वास्तविक रेखा पर लगातार बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(x^5+x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).

Step 3

Exam Tip

बढ़ता और सभी वास्तविक मानों को ढकता फलन द्विआधारी होता है। / An increasing function covering all real values is bijective.

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Question 25/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-4) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-4), which statement is correct?

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Correct Answer

B. न एकैकी न आच्छादीNeither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(1)=f(-1)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1)=f(-1)), so it is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ \(x^4\) के रूप में नहीं मिलतीं, इसलिए आच्छादी नहीं है। / Negative real numbers are not obtained as \(x^4\), so it is not onto.

Step 3

Exam Tip

सम घात वाले फलनों में चिह्न और परास दोनों ध्यान से देखें। / For even powers, check both symmetry and range.

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Question 26/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=3x-2) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x+2}{3}) से दिया गया है, तो (g) और (f) के बीच क्या संबंध है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=3x-2) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) by (g(x)=\frac{x+2}{3}), what is the relation between (g) and (f)?

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Correct Answer

A. \(g=f^{-1}\)

Step 1

Concept

(y=3x-2) से \(x=\frac{y+2}{3}\) मिलता है। / From (y=3x-2), we get \(x=\frac{y+2}{3}\).

Step 2

Why this answer is correct

यही (g(y)) का रूप है, इसलिए (g) प्रतिलोम फलन है। / This matches the form of (g(y)), so (g) is the inverse function.

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम जांचने के लिए (f(g(x))) या (g(f(x))) भी (x) होना चाहिए। / You can also verify an inverse by checking (f(g(x))=x) or (g(f(x))=x).

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Question 27/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{4,5,6,7\}\), तो एकैकी फलनों की संख्या कितनी है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), and \(B=\{4,5,6,7\}\), how many one-one functions are there?

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Correct Answer

B. (24)

Step 1

Concept

पहले अवयव के लिए (4) चुनाव, दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) चुनाव हैं। / The first element has (4) choices, the second has (3), and the third has (2).

Step 2

Why this answer is correct

कुल एकैकी फलन \(4\cdot3\cdot2=24\) होंगे। / Total one-one functions are \(4\cdot3\cdot2=24\).

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलनों में बिना दोहराव के चुनाव करें। / For one-one functions, choose images without repetition.

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Question 28/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sin x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\sin x), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं हैIt is neither one-one nor onto

Step 1

Concept

\(\sin 0=\sin 2\pi\), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / \(\sin 0=\sin 2\pi\), so the function is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sin x\) का परास ([-1,1]) है, इसलिए पूरा \(\mathbb{R}\) नहीं ढकता। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]), so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता और परास दोनों जांचें। / For trigonometric functions, check periodicity and range.

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Question 29/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) is defined by (f(x)=x^-2), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादी दोनोंBoth one-one and onto

Step 1

Concept

\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\geq0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) इसी प्रांत में है। / For every \(y\geq0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.

Step 3

Exam Tip

प्रांत को सीमित करने से \(x^2\) द्विआधारी बन सकता है। / Restricting the domain can make \(x^2\) bijective.

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Question 30/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2-2x) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x^-2-2x), what is the range of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \([-1,\infty\))

Step 1

Concept

(x^-2-2x=(x-1)²-1) लिखें। / Write (x^-2-2x=(x-1)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

((x-1)²\geq0), इसलिए सबसे छोटा मान (-1) है। / Since ((x-1)²\geq0), the least value is (-1).

Step 3

Exam Tip

ऊपर खुलने वाले द्विघात फलन का परास न्यूनतम मान से शुरू होता है। / An upward-opening quadratic has range starting from its minimum value.

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Question 31/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), तो (f) का प्रांत क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), what is the domain of (f)?

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Correct Answer

A. \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)

Step 1

Concept

भिन्न में हर शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator of a fraction must not be zero.

Step 2

Why this answer is correct

(x+1=0) से (x=-1) मिलता है। / (x+1=0) gives (x=-1).

Step 3

Exam Tip

प्रांत निकालते समय सबसे पहले हर को शून्य बनाने वाले मान हटाएँ। / To find the domain, first remove values that make the denominator zero.

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Question 32/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=5), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

C. यह स्थिर फलन है और एकैकी नहीं हैIt is constant and not one-one

Step 1

Concept

हर (x) के लिए फलन का मान (5) है। / For every (x), the function value is (5).

Step 2

Why this answer is correct

अलग-अलग आगतों पर समान निर्गत मिलने से यह एकैकी नहीं है। / Different inputs give the same output, so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

स्थिर फलन केवल एक मान देता है, इसलिए सामान्यतः आच्छादी भी नहीं होता। / A constant function gives only one value, so it is usually not onto either.

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Question 33/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=x+1), (g(x)=2x), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+1), (g(x)=2x), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?

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Correct Answer

B. (\(f\circ g\)(x)=2x+1) और (\(g\circ f\)(x)=2x+2)(\(f\circ g\)(x)=2x+1) and (\(g\circ f\)(x)=2x+2)

Step 1

Concept

(f(g(x))=f(2x)=2x+1)। / (f(g(x))=f(2x)=2x+1).

Step 2

Why this answer is correct

(g(f(x))=g(x+1)=2x+2)। / (g(f(x))=g(x+1)=2x+2).

Step 3

Exam Tip

फलनों का संयोजन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Composition of functions is not generally commutative.

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Question 34/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. ((-1,1))

Step 1

Concept

\(x\geq0\) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) तक जाता है पर (1) नहीं लेता। / For \(x\geq0\), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which approaches (1) but never reaches it.

Step 2

Why this answer is correct

(x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। / For (x<0), the value lies between (-1) and (0).

Step 3

Exam Tip

दोनों भाग मिलाकर परास ((-1,1)) है। / Combining both parts gives the range ((-1,1)).

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Question 35/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x^-3-1) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=2x^-3-1), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\sqrt[3]{\frac{x+1}{2}}\)

Step 1

Concept

\(y=2x^3-1\) मानें। / Put \(y=2x^3-1\).

Step 2

Why this answer is correct

\(y+1=2x^3\), इसलिए \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\)। / Then \(y+1=2x^3\), so \(x=\sqrt[3]{\frac{y+1}{2}}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम में पहले (x) को अलग करें, फिर चर बदलें। / In inverse questions, isolate (x) first and then change the variable.

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Question 36/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2) से दिया गया है, तो \(f^{-1}\) फलन क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x^-2), why is \(f^{-1}\) not a function?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (1) के दो पूर्वप्रतिबिंब (1) और (-1) हैंBecause (1) has two preimages (1) and (-1)

Step 1

Concept

प्रतिलोम के फलन होने के लिए मूल फलन एकैकी होना चाहिए। / For the inverse to be a function, the original function must be one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=f(-1)=1), इसलिए एक निर्गत के दो आगत हैं। / (f(1)=f(-1)=1), so one output has two inputs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिलोम संबंध एक निर्गत को दो मानों से जोड़ देगा और फलन नहीं बनेगा। / Thus the inverse relation assigns two values and is not a function.

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Question 37/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+4), तो (f) का परास क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+4), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. \([4,\infty\))

Step 1

Concept

\(x^2\geq0\) हर वास्तविक (x) के लिए। / \(x^2\geq0\) for every real (x).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए \(x^2+4\geq4\) और (x=0) पर (4) मिल जाता है। / Hence \(x^2+4\geq4\), and (4) is attained at (x=0).

Step 3

Exam Tip

परास लिखते समय अंतिम बिंदु शामिल है या नहीं, यह जरूर देखें। / While writing range, check whether the endpoint is included.

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Question 38/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\cos x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\cos x), why is (f) not onto?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं हैBecause (2) has no preimage

Step 1

Concept

\(\cos x\) का परास ([-1,1]) है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (2) है, पर \(\cos x=2\) कभी नहीं हो सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (2), but \(\cos x=2\) is impossible.

Step 3

Exam Tip

आच्छादी जांचने में सहप्रांत के छूटे मान खोजें। / To test onto, look for values in the codomain that are missed.

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Question 39/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-3-3x) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=x^-3-3x), why is (f) not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\)) हैBecause (f(0)=f\(\sqrt{3}\))

Step 1

Concept

एकैकी न होने के लिए दो अलग आगतों पर समान मान दिखाना होता है। / To show a function is not one-one, find two different inputs with the same output.

Step 2

Why this answer is correct

(f(0)=0) और (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=0)। / (f(0)=0) and (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=0).

Step 3

Exam Tip

उपयुक्त प्रतिवाद कठिन फलनों में भी एकैकीपन तोड़ देता है। / A suitable counterexample is enough to disprove one-one behaviour.

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Question 40/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) को (f(x)=e^x) से दिया गया है, तो (f) कैसा है?

If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) is given by (f(x)=e^x), what type of function is (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादी दोनोंBoth one-one and onto

Step 1

Concept

\(e^x\) वास्तविक रेखा पर सख्ती से बढ़ता है, इसलिए एकैकी है। / \(e^x\) is strictly increasing on the real line, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसका हर मान धनात्मक होता है और हर धनात्मक संख्या \(e^x\) के रूप में मिल सकती है। / Its values are positive, and every positive number can be written as \(e^x\).

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत (\(0,\infty\)) लेने से यह द्विआधारी बनता है। / With codomain (\(0,\infty\)), it becomes bijective.

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Question 41/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=e^x) से दिया गया है, तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=e^x), which statement is correct?

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Correct Answer

A. एकैकी पर आच्छादी नहींOne-one but not onto

Step 1

Concept

\(e^x\) बढ़ता है, इसलिए अलग आगतों पर अलग मान देता है। / \(e^x\) is increasing, so it gives different outputs for different inputs.

Step 2

Why this answer is correct

इसका कोई मान शून्य या ऋणात्मक नहीं होता, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) को पूरा नहीं ढकता। / It never becomes zero or negative, so it does not cover all of \(\mathbb{R}\).

Step 3

Exam Tip

वही सूत्र अलग सहप्रांत पर अलग प्रकार का फलन बन सकता है। / The same formula can have different properties with a different codomain.

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Question 42/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\tan x) से दिया गया है, तो यह फलन क्यों सही रूप से परिभाषित नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\tan x), why is this function not well-defined?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि \(\tan x\) सभी वास्तविक (x) पर परिभाषित नहीं हैBecause \(\tan x\) is not defined for all real (x)

Step 1

Concept

\(\tan x\) उन मानों पर परिभाषित नहीं होता जहाँ \(\cos x=0\)। / \(\tan x\) is not defined where \(\cos x=0\).

Step 2

Why this answer is correct

जैसे \(x=\frac{\pi}{2}\) पर \(\tan x\) परिभाषित नहीं है। / For example, at \(x=\frac{\pi}{2}\), \(\tan x\) is not defined.

Step 3

Exam Tip

फलन के लिए प्रांत के हर अवयव पर मान मिलना जरूरी है। / A function must assign a value to every element of its domain.

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Question 43/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) को (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}) से दिया गया है, तो (f) का छूटा हुआ मान कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{-2}\to\mathbb{R}\setminus{3}\) is given by (f(x)=\frac{3x+1}{x+2}), which value is missed by (f)?

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Correct Answer

C. (3)

Step 1

Concept

\(y=\frac{3x+1}{x+2}\) मानें। / Let \(y=\frac{3x+1}{x+2}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y=3) रखने पर (3x+1=3x+6), जो असंभव है। / Putting (y=3) gives (3x+1=3x+6), which is impossible.

Step 3

Exam Tip

रैखिक भिन्नात्मक फलन में क्षैतिज मान अक्सर छूटा हुआ मान होता है। / In linear fractional functions, the horizontal limiting value is often the missed value.

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Question 44/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to A\), \(A=\{1,2,3\}\), और (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:A\to A\), \(A=\{1,2,3\}\), and (f(1)=2), (f(2)=3), (f(3)=1), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह द्विआधारी हैIt is bijective

Step 1

Concept

(A) के तीनों अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग हैं। / The images of the three elements of (A) are all distinct.

Step 2

Why this answer is correct

निर्गतों में (1,2,3) सभी आ रहे हैं, इसलिए आच्छादी भी है। / The outputs include (1,2,3), so the function is onto.

Step 3

Exam Tip

सीमित समान समुच्चयों में अलग-अलग प्रतिबिंब दिखते ही द्विआधारिता मिलती है। / For finite equal sets, distinct images imply bijection.

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Question 45/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x-2|) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=|x-2|), what is the minimum value of (f)?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

निरपेक्ष मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। / An absolute value is never negative.

Step 2

Why this answer is correct

(x=2) पर (|x-2|=0) मिलता है। / At (x=2), (|x-2|=0).

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान फलन का न्यूनतम तब मिलता है जब अंदर की मात्रा शून्य हो। / The minimum of an absolute value function occurs when the inside expression becomes zero.

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Question 46/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. यह न एकैकी है न आच्छादीIt is neither one-one nor onto

Step 1

Concept

\(\lfloor 1.2\rfloor=\lfloor 1.8\rfloor=1\), इसलिए एकैकी नहीं है। / \(\lfloor 1.2\rfloor=\lfloor 1.8\rfloor=1\), so it is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसे वास्तविक मान नहीं आते। / Its values are always integers, so real values like (0.5) are missed.

Step 3

Exam Tip

सीढ़ी जैसे फलन में एकैकीपन और आच्छादिता दोनों अलग से जांचें। / For step functions, test one-one and onto separately.

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Question 47/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+ax+1) एकैकी है, तो नीचे दिए गए में कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+ax+1) is one-one, which statement is correct?

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Correct Answer

A. ऐसा कोई वास्तविक (a) संभव नहीं हैNo real (a) is possible

Step 1

Concept

किसी भी वास्तविक (a) के लिए यह द्विघात फलन है। / For any real (a), this is a quadratic function.

Step 2

Why this answer is correct

पूरे \(\mathbb{R}\) पर द्विघात फलन अपने शीर्ष के दोनों ओर समान मान दे सकता है। / On all of \(\mathbb{R}\), a quadratic takes equal values on opposite sides of its vertex.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह पूरे वास्तविक प्रांत पर एकैकी नहीं हो सकता। / Therefore it cannot be one-one on the entire real domain.

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Question 48/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) दोनों एकैकी हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are both one-one, which statement about \(g\circ f\) is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा एकैकी हैIt is always one-one

Step 1

Concept

मान लें (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(x_1\)=\(g\circ f\)\(x_2\)).

Step 2

Why this answer is correct

(g) एकैकी है, इसलिए (f\(x_1\)=f\(x_2\)); फिर (f) एकैकी है, इसलिए \(x_1=x_2\)। / Since (g) is one-one, (f\(x_1\)=f\(x_2\)); since (f) is one-one, \(x_1=x_2\).

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलनों का संयोजन फिर एकैकी होता है। / The composition of one-one functions is one-one.

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Question 49/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों आच्छादी हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both onto, which statement about \(g\circ f\) is correct?

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Correct Answer

A. यह हमेशा आच्छादी हैIt is always onto

Step 1

Concept

(C) के किसी भी (c) को लें। / Take any \(c\in C\).

Step 2

Why this answer is correct

(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जहाँ (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जहाँ (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) satisfies (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) satisfies (f(a)=b).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है। / Hence (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto.

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Question 50/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 19

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x+1}{x-1}) से दिया गया है, तो (f) का प्रांत और छूटा हुआ परास मान कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is given by (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), what are the domain and the missed range value of (f)?

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Correct Answer

A. प्रांत \(\mathbb{R}\setminus{1}\), छूटा मान (1)Domain \(\mathbb{R}\setminus{1}\), missed value (1)

Step 1

Concept

हर (x-1) है, इसलिए (x=1) प्रांत से हटेगा। / The denominator is (x-1), so (x=1) is removed from the domain.

Step 2

Why this answer is correct

\(y=\frac{x+1}{x-1}\) में (y=1) रखने पर (x+1=x-1), जो असंभव है। / Putting (y=1) in \(y=\frac{x+1}{x-1}\) gives (x+1=x-1), impossible.

Step 3

Exam Tip

भिन्नात्मक फलनों में प्रांत और छूटे हुए मान दोनों अलग-अलग जांचें। / For rational functions, check domain and missed range values separately.

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Question 51/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x-5), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

(f(x)=2x-5) रैखिक फलन है और ढाल शून्य नहीं है, इसलिए अलग-अलग (x) के लिए अलग-अलग मान मिलते हैं। / (f(x)=2x-5) is linear with non-zero slope, so distinct inputs give distinct outputs.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y+5}{2}\) वास्तविक है, इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y+5}{2}\) is real, so every real output is attained.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में रैखिक फलन (ax+b) में \(a\neq0\) हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर वह एकैकी और आच्छादी होता है। / In exams, remember that (ax+b) with \(a\neq0\) is both one-one and onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).

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Question 52/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2+1) से परिभाषित किया गया है, तो यह फलन किस कारण आच्छादी नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-2+1), why is this function not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि (0) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं हैBecause (0) has no preimage

Step 1

Concept

\(x^2\ge 0\) होता है, इसलिए \(x^2+1\ge 1\) होगा। / Since \(x^2\ge 0\), we get \(x^2+1\ge 1\).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) है, पर (f(x)=0) किसी वास्तविक (x) के लिए संभव नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0), but (f(x)=0) is impossible for real (x).

Step 3

Exam Tip

आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के ऐसे मान खोजें जो फलन से कभी न मिलें। / To test onto, look for a codomain value that is never produced by the function.

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Question 53/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार हैं कि (f(x)=3x+1) और (g(x)=x^-2), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=3x+1) and (g(x)=x^-2), what is (\(g\circ f\)(x))?

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Correct Answer

A. \(9x^2+6x+1\)

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(x)) का अर्थ है पहले (f(x)) लगाएँ, फिर (g) लगाएँ। / (\(g\circ f\)(x)) means apply (f) first and then apply (g).

Step 2

Why this answer is correct

(g(f(x))=(3x+1)²=9x^-2+6x+1)। / (g(f(x))=(3x+1)²=9x^-2+6x+1).

Step 3

Exam Tip

संयोजन में क्रम बहुत महत्त्वपूर्ण है, इसलिए पहले अंदर वाले फलन को हल करें। / In composition, order matters; always simplify the inside function first.

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Question 54/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x-2}{3}) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{x-2}{3}), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. (3x+2)

Step 1

Concept

\(y=\frac{x-2}{3}\) मान लें। / Let \(y=\frac{x-2}{3}\).

Step 2

Why this answer is correct

(3y=x-2), अतः (x=3y+2)। अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=3x+2) मिलेगा। / Then (3y=x-2), so (x=3y+2). Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=3x+2).

Step 3

Exam Tip

व्युत्क्रम निकालते समय (x) को अकेला करें और अंत में चर बदलें। / To find an inverse, isolate (x) first and then interchange the variables.

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Question 55/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) एक आच्छादी फलन है और (A) में (7) अवयव हैं तथा (B) में (5) अवयव हैं, तो कौन सा कथन निश्चित रूप से सही है?

If \(f:A\to B\) is an onto function and (A) has (7) elements while (B) has (5) elements, which statement is definitely true?

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Correct Answer

A. कम से कम दो अवयवों का प्रतिबिंब समान होगाAt least two elements have the same image

Step 1

Concept

आच्छादी होने का अर्थ है (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव से प्राप्त हो। / Onto means every element of (B) is hit by at least one element of (A).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (7) और (B) में (5) अवयव हैं, इसलिए सभी प्रतिबिंब अलग-अलग नहीं हो सकते। / Since (A) has (7) elements and (B) has (5), all images cannot be distinct.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चयों में अवयवों की संख्या देखकर एकैकी और आच्छादी का निर्णय जल्दी हो सकता है। / For finite sets, compare cardinalities to judge one-one and onto quickly.

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Question 56/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(n)=n+2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) किस प्रकार का फलन है?

If \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(n)=n+2), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

यदि \(n_1+2=n_2+2\), तो \(n_1=n_2\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1+2=n_2+2\), then \(n_1=n_2\), so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(m\in\mathbb{Z}\) के लिए (n=m^-2) भी पूर्णांक है, इसलिए (m) प्राप्त हो जाता है। / For any \(m\in\mathbb{Z}\), (n=m^-2) is also an integer, so every integer is obtained.

Step 3

Exam Tip

पूर्णांकों पर स्थिर जोड़ या घटाव वाला फलन सामान्यतः एकैकी और आच्छादी रहता है। / On integers, adding or subtracting a fixed integer usually gives a bijection.

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Question 57/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n+2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) क्यों आच्छादी नहीं है?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is defined by (f(n)=n+2), why is (f) not onto?

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Correct Answer

A. (1) और (2) का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं है(1) and (2) have no preimage

Step 1

Concept

\(n\in\mathbb{N}\) होने पर \(n+2\ge 3\) होगा। / For \(n\in\mathbb{N}\), \(n+2\ge 3\).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) और (2) हैं, पर वे (f(n)) के रूप में नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1) and (2), but they are not values of (f(n)).

Step 3

Exam Tip

प्रांत बदलने से फलन की आच्छादी प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change whether a function is onto.

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Question 58/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के लिए सही कथन कौन सा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) is defined by (f(x)=x^-2), which statement is correct for (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए दो अलग निवेशों का समान वर्ग नहीं होगा। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so two different inputs do not give the same square.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(y\ge0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है और (f(x)=y) देता है। / For any \(y\ge0\), \(x=\sqrt{y}\) belongs to the domain and gives (f(x)=y).

Step 3

Exam Tip

वर्ग फलन की प्रकृति प्रांत पर बहुत निर्भर करती है। / The nature of the square function depends strongly on its domain.

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Question 59/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो यह फलन कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) is defined by (f(x)=x^-2), what type of function is it?

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Correct Answer

A. आच्छादी लेकिन एकैकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so the function is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत का हर \(y\ge0\) मान \(x=\sqrt{y}\) से मिल जाता है। / Every \(y\ge0\) in the codomain is obtained by taking \(x=\sqrt{y}\).

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत को सही पढ़ना जरूरी है, क्योंकि वही आच्छादी होने की जाँच तय करता है। / Read the codomain carefully because it decides the onto test.

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Question 60/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-3) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-3), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\sqrt[3]{x}\)

Step 1

Concept

\(y=x^3\) मानें। / Let \(y=x^3\).

Step 2

Why this answer is correct

\(x=\sqrt[3]{y}\), इसलिए चर बदलने पर (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x})। / Then \(x=\sqrt[3]{y}\), so after interchanging variables (f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}).

Step 3

Exam Tip

घन फलन \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर एकैकी और आच्छादी होता है, इसलिए उसका व्युत्क्रम होता है। / The cube function is bijective on \(\mathbb{R}\), so its inverse exists.

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Question 61/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}) है, तो (f) के प्रांत से कौन सा मान हटाना होगा?

If (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}), which value must be excluded from the domain of (f)?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

परिमेय फलन में हर शून्य नहीं होना चाहिए। / In a rational function, the denominator must not be zero.

Step 2

Why this answer is correct

(x-3=0) रखने पर (x=3) मिलता है, इसलिए यह मान प्रांत में नहीं हो सकता। / Solving (x-3=0) gives (x=3), so this value cannot be in the domain.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में पहले हर को शून्य बनाकर निषिद्ध मान निकालें। / In such questions, first set the denominator equal to zero to find excluded values.

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Question 62/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{3}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+1}{x-3}), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

\(y=\frac{2x+1}{x-3}\) से (yx-3y=2x+1) मिलेगा। / From \(y=\frac{2x+1}{x-3}\), we get (yx-3y=2x+1).

Step 2

Why this answer is correct

(x(y-2)=3y+1), अतः \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), जो \(y\neq2\) पर परिभाषित है। / Thus (x(y-2)=3y+1), so \(x=\frac{3y+1}{y-2}\), defined for \(y\neq2\).

Step 3

Exam Tip

जब हर अनुमत (y) के लिए एक अद्वितीय (x) मिले, तो फलन एकैकी और आच्छादी होता है। / If each allowed (y) gives a unique (x), the function is bijective.

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Question 63/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों एकैकी फलन हैं, तो \(g\circ f\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both one-one functions, which statement about \(g\circ f\) is correct?

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Correct Answer

A. \(g\circ f\) एकैकी होगा\(g\circ f\) will be one-one

Step 1

Concept

मान लें (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Suppose (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).

Step 2

Why this answer is correct

(g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), और (g) एकैकी है, इसलिए (f\(a_1\)=f\(a_2\)); फिर (f) एकैकी होने से \(a_1=a_2\)। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))); since (g) is one-one, (f\(a_1\)=f\(a_2\)), and since (f) is one-one, \(a_1=a_2\).

Step 3

Exam Tip

दो एकैकी फलनों का संयोजन हमेशा एकैकी होता है। / The composition of two one-one functions is always one-one.

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Question 64/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों आच्छादी फलन हैं, तो \(g\circ f\) कैसा होगा?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both onto functions, what can be said about \(g\circ f\)?

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Correct Answer

A. आच्छादी होगाIt will be onto

Step 1

Concept

(C) के किसी भी (c) को लें। (g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) होगा जिससे (g(b)=c)। / Take any \(c\in C\). Since (g) is onto, there is \(b\in B\) such that (g(b)=c).

Step 2

Why this answer is correct

(f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) होगा जिससे (f(a)=b)। तब (g(f(a))=c)। / Since (f) is onto, there is \(a\in A\) such that (f(a)=b), so (g(f(a))=c).

Step 3

Exam Tip

दो आच्छादी फलनों का संयोजन आच्छादी होता है। / The composition of two onto functions is onto.

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Question 65/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=5) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा फलन है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=5), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. न एकैकी और न आच्छादीNeither one-one nor onto

Step 1

Concept

हर (x) के लिए (f(x)=5), इसलिए अनेक निवेशों का समान प्रतिबिंब है और फलन एकैकी नहीं है। / For every (x), (f(x)=5), so many inputs have the same image and the function is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (5) के अलावा बहुत से मान हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) has many values other than (5) that are not obtained.

Step 3

Exam Tip

स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः न एकैकी होता है और न आच्छादी। / A constant function on a large codomain is generally neither one-one nor onto.

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Question 66/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (4) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक एकैकी और आच्छादी फलनों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (4) elements and (B) has (4) elements, how many one-one and onto functions are possible from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (24)

Step 1

Concept

समान संख्या वाले सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन अपने आप आच्छादी भी होगा। / For finite sets of equal size, a one-one function is automatically onto.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अवयवों को (4) अलग स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके (4!=24) हैं। / The number of ways to match (4) elements with (4) distinct images is (4!=24).

Step 3

Exam Tip

समान आकार के दो समुच्चयों के बीच द्वैकी फलनों की संख्या (n!) होती है। / The number of bijections between two sets of size (n) is (n!).

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Question 67/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (A) में (3) अवयव और (B) में (5) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक एकैकी फलनों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (3) elements and (B) has (5) elements, how many one-one functions are possible from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (60)

Step 1

Concept

पहले अवयव के लिए (5), दूसरे के लिए (4), और तीसरे के लिए (3) विकल्प बचेंगे। / The first element has (5) choices, the second has (4), and the third has (3).

Step 2

Why this answer is correct

कुल एकैकी फलन \(5\times4\times3=60\) होंगे। / Thus the number of one-one functions is \(5\times4\times3=60\).

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलन गिनते समय बिना दोहराव के प्रतिबिंब चुनें। / For one-one functions, choose images without repetition.

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Question 68/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (A) में (5) अवयव और (B) में (3) अवयव हैं, तो (A) से (B) तक एकैकी फलनों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (5) elements and (B) has (3) elements, how many one-one functions are possible from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होने चाहिए। / In a one-one function, distinct elements of (A) must have distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (5) अवयव हैं पर (B) में केवल (3), इसलिए (5) अलग प्रतिबिंब संभव नहीं हैं। / (A) has (5) elements but (B) has only (3), so (5) distinct images are impossible.

Step 3

Exam Tip

यदि प्रांत का आकार सहप्रांत से बड़ा हो, तो सीमित समुच्चयों में एकैकी फलन नहीं बन सकता। / For finite sets, if the domain is larger than the codomain, no one-one function exists.

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Question 69/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-3+x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के एकैकी होने का सही कारण कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-3+x), what is the correct reason for (f) being one-one?

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Correct Answer

A. (f) सदा बढ़ता है(f) is always increasing

Step 1

Concept

\(x^3+x\) का मान (x) बढ़ने पर लगातार बढ़ता है। / The value of \(x^3+x\) keeps increasing as (x) increases.

Step 2

Why this answer is correct

अधिक औपचारिक रूप से (f'(x)=3x^-2+1>0), इसलिए फलन सख्ती से बढ़ता है। / More formally, (f'(x)=3x^-2+1>0), so the function is strictly increasing.

Step 3

Exam Tip

सख्ती से बढ़ता फलन एकैकी होता है। / A strictly increasing function is one-one.

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Question 70/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\sin x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) क्यों आच्छादी नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि इसका परिसर ([-1,1]) हैBecause its range is ([-1,1])

Step 1

Concept

\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं, पर वे \(\sin x\) से नहीं मिलते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), which contains values like (2), but these are not obtained by \(\sin x\).

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलनों में परिसर याद रखना आच्छादी जाँच में बहुत मदद करता है। / Remembering the range of trigonometric functions helps in onto questions.

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Question 71/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) को (f(x)=\sin x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

If \(f:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\) is defined by (f(x)=\sin x), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

दिए गए अंतराल पर \(\sin x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / On the given interval, \(\sin x\) is strictly increasing, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इस अंतराल में \(\sin x\) के सभी मान ([-1,1]) में मिल जाते हैं। / Its values over this interval cover all of ([-1,1]).

Step 3

Exam Tip

त्रिकोणमितीय फलन को उपयुक्त अंतराल पर सीमित करने से वह द्वैकी बन सकता है। / Restricting a trigonometric function to a suitable interval can make it bijective.

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Question 72/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) को (f(x)=e^x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन क्या है?

If (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)) is defined by (f(x)=e^x), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. एकैकी और आच्छादीOne-one and onto

Step 1

Concept

\(e^x\) सख्ती से बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / \(e^x\) is strictly increasing, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है और \(e^x=y\) देता है। / For every (y>0), \(x=\ln y\) is real and gives \(e^x=y\).

Step 3

Exam Tip

घातीय फलन का सहप्रांत (\(0,\infty\)) रखने पर वह द्वैकी हो जाता है। / The exponential function becomes bijective when the codomain is (\(0,\infty\)).

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Question 73/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) को (f(x)=\ln x) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If (f:\(0,\infty\)\to\mathbb{R}) is defined by (f(x)=\ln x), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(e^x\)

Step 1

Concept

\(y=\ln x\) मानें। / Let \(y=\ln x\).

Step 2

Why this answer is correct

लघुगणक की परिभाषा से \(x=e^y\), इसलिए (f^{-1}(x)=e^x)। / By the definition of logarithm, \(x=e^y\), so (f^{-1}(x)=e^x).

Step 3

Exam Tip

\(\ln x\) और \(e^x\) परस्पर व्युत्क्रम फलन हैं। / \(\ln x\) and \(e^x\) are inverse functions of each other.

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Question 74/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि (f(x)=x^-2-4x+7) है, तो इसका न्यूनतम मान क्या है?

If (f(x)=x^-2-4x+7), what is its minimum value?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

पूर्ण वर्ग बनाएं: (x^-2-4x+7=(x-2)²+3)। / Complete the square: (x^-2-4x+7=(x-2)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

((x-2)²\ge0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / Since ((x-2)²\ge0), the minimum value is (3).

Step 3

Exam Tip

द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग विधि से परिसर जल्दी मिलता है। / Completing the square is a fast way to find the range of a quadratic function.

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Question 75/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)) को (f(x)=x^-2-4x+7) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के लिए कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to[3,\infty\)) is defined by (f(x)=x^-2-4x+7), which statement is correct for (f)?

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Correct Answer

A. आच्छादी लेकिन एकैकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

(f(x)=(x-2)²+3), इसलिए परिसर \([3,\infty\)) है। / (f(x)=(x-2)²+3), so the range is \([3,\infty\)).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=4) और (f(3)=4), इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=4) and (f(3)=4), so the function is not one-one.

Step 3

Exam Tip

यदि सहप्रांत ठीक परिसर के बराबर हो, तो फलन आच्छादी होता है। / If the codomain equals the range, the function is onto.

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Question 76/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) एक फलन है, तो कौन सी स्थिति फलन की परिभाषा को तोड़ती है?

If \(f:A\to B\) is a function, which situation violates the definition of a function?

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Correct Answer

A. (A) के एक अवयव के दो अलग प्रतिबिंब होंOne element of (A) has two different images

Step 1

Concept

फलन में प्रांत के हर अवयव का ठीक एक ही प्रतिबिंब होना चाहिए। / In a function, every element of the domain must have exactly one image.

Step 2

Why this answer is correct

यदि एक ही अवयव के दो अलग प्रतिबिंब हैं, तो वह संबंध फलन नहीं रहेगा। / If one element has two different images, the relation is not a function.

Step 3

Exam Tip

फलन होने के लिए एकैकी या आच्छादी होना जरूरी नहीं, पर प्रत्येक निवेश का एक ही निर्गत जरूरी है। / A function need not be one-one or onto, but each input must have exactly one output.

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Question 77/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) दिया है। (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

On the set \(A=\{1,2,3\}\), \(f=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) is given. Which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह द्वैकी फलन हैIt is a bijective function

Step 1

Concept

(A) के हर अवयव का ठीक एक प्रतिबिंब है, इसलिए यह फलन है। / Every element of (A) has exactly one image, so it is a function.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिबिंब (1,2,3) सभी अलग-अलग और पूरे (A) को ढकते हैं। / The images (1,2,3) are all distinct and cover the whole set (A).

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय पर यदि सभी प्रतिबिंब अलग हों और संख्या बराबर हो, तो फलन द्वैकी होता है। / On a finite set, if all images are distinct and the sizes match, the function is bijective.

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Question 78/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}\) है, तो यह फलन क्यों नहीं है?

If \(f=\{(1,2),(1,3),(2,4)\}\), why is this not a function?

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Correct Answer

A. क्योंकि (1) के दो अलग प्रतिबिंब हैंBecause (1) has two different images

Step 1

Concept

दिए गए संबंध में ((1,2)) और ((1,3)) दोनों हैं। / The relation contains both ((1,2)) and ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है कि एक ही निवेश (1) के दो अलग निर्गत (2) और (3) हैं, जो फलन की परिभाषा के विरुद्ध है। / This means the same input (1) has two different outputs (2) and (3), which violates the definition of a function.

Step 3

Exam Tip

क्रमित युग्मों में पहले अवयव को देखकर फलन की जाँच करें। / In ordered pairs, check the first component to test whether the relation is a function.

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Question 79/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax+b) से परिभाषित किया गया है, तो (f) एकैकी और आच्छादी कब होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=ax+b), when will (f) be one-one and onto?

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Correct Answer

A. जब \(a\neq0\) होWhen \(a\neq0\)

Step 1

Concept

यदि \(a\neq0\), तो (ax+b) की ढाल शून्य नहीं है, इसलिए यह एकैकी है। / If \(a\neq0\), the slope of (ax+b) is non-zero, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) मिल जाता है, इसलिए यह आच्छादी है। / For any (y), \(x=\frac{y-b}{a}\) exists, so it is onto.

Step 3

Exam Tip

रैखिक फलन में मुख्य शर्त \(a\neq0\) है, (b) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। / For a linear function, the key condition is \(a\neq0\); (b) may be any real number.

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Question 80/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax^-2) से परिभाषित किया गया है और \(a\neq0\), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=ax^-2) with \(a\neq0\), why is (f) not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(t)=f(-t))Because (f(t)=f(-t))

Step 1

Concept

किसी भी \(t\neq0\) के लिए (t) और (-t) अलग हैं। / For any \(t\neq0\), (t) and (-t) are distinct.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (a(t)²=a(-t)²), इसलिए दोनों का प्रतिबिंब समान है। / But (a(t)²=a(-t)²), so they have the same image.

Step 3

Exam Tip

सम घात वाले फलनों में (x) और (-x) की तुलना करना उपयोगी रहता है। / For even-power functions, compare (x) and (-x).

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Question 81/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-3-3x) से परिभाषित किया गया है, तो यह एकैकी नहीं है। इसका सही उदाहरण कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-3-3x), it is not one-one. Which example proves this correctly?

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Correct Answer

A. (f(0)=f\(\sqrt{3}\))

Step 1

Concept

(f(0)=0³-3\cdot0=0)। / (f(0)=0³-3\cdot0=0).

Step 2

Why this answer is correct

(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0).

Step 3

Exam Tip

एकैकी न होने के लिए दो अलग निवेशों का एक ही प्रतिबिंब दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one, it is enough to show two distinct inputs with the same image.

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Question 82/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to A\) इस प्रकार हैं कि \(g\circ f=I_A\), तो (f) के बारे में कौन सा निष्कर्ष निश्चित है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to A\) satisfy \(g\circ f=I_A\), what conclusion about (f) is definitely true?

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Correct Answer

A. (f) एकैकी है(f) is one-one

Step 1

Concept

मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Suppose (f\(a_1\)=f\(a_2\)).

Step 2

Why this answer is correct

दोनों ओर (g) लगाने पर (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), अर्थात \(a_1=a_2\)। / Applying (g) to both sides gives (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so \(a_1=a_2\).

Step 3

Exam Tip

यदि बायाँ व्युत्क्रम मौजूद हो, तो मूल फलन एकैकी होता है। / If a left inverse exists, the original function is one-one.

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Question 83/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to A\) इस प्रकार हैं कि \(f\circ g=I_B\), तो (f) के बारे में कौन सा निष्कर्ष निश्चित है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to A\) satisfy \(f\circ g=I_B\), what conclusion about (f) is definitely true?

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Correct Answer

A. (f) आच्छादी है(f) is onto

Step 1

Concept

(B) के किसी भी (b) को लें। / Take any \(b\in B\).

Step 2

Why this answer is correct

(f(g(b))=b), इसलिए (b) किसी (A) के अवयव (g(b)) का प्रतिबिंब है। / Since (f(g(b))=b), (b) is the image of the element \(g(b)\in A\).

Step 3

Exam Tip

यदि दायाँ व्युत्क्रम मौजूद हो, तो मूल फलन आच्छादी होता है। / If a right inverse exists, the original function is onto.

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Question 84/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) को (f(x)=\frac{1}{x}) से परिभाषित किया गया है, तो \(f\circ f\) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) is defined by (f(x)=\frac{1}{x}), what is \(f\circ f\)?

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Correct Answer

A. पहचान फलनIdentity function

Step 1

Concept

(\(f\circ f\)(x)=f(f(x)))। / (\(f\circ f\)(x)=f(f(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x)। / (f\left\(\frac{1}{x}\right\)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x).

Step 3

Exam Tip

जब किसी फलन को दो बार लगाने पर वही निवेश मिल जाए, तो वह अपना ही व्युत्क्रम होता है। / If applying a function twice gives the original input, the function is its own inverse.

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Question 85/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x+3) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (g(x)=\frac{x-3}{2}) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x+3) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) by (g(x)=\frac{x-3}{2}), which statement is correct?

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Correct Answer

A. \(g=f^{-1}\)

Step 1

Concept

(g(f(x))=g(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x)। / (g(f(x))=g(2x+3)=\frac{2x+3-3}{2}=x).

Step 2

Why this answer is correct

(f(g(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x)। / (f(g(x))=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x).

Step 3

Exam Tip

दोनों संयोजन पहचान फलन दें, तो दोनों फलन परस्पर व्युत्क्रम होते हैं। / If both compositions give the identity function, the two functions are inverses.

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Question 86/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो \(f^{-1}\) सामान्य फलन के रूप में क्यों मौजूद नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-2), why does \(f^{-1}\) not exist as an ordinary function?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f) एकैकी नहीं हैBecause (f) is not one-one

Step 1

Concept

(f(2)=4) और (f(-2)=4), इसलिए दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब है। / (f(2)=4) and (f(-2)=4), so two different inputs have the same image.

Step 2

Why this answer is correct

व्युत्क्रम में (4) से (2) और (-2) दोनों मिलेंगे, जिससे एक निर्गत की शर्त टूटेगी। / In the inverse, (4) would point to both (2) and (-2), violating the function rule.

Step 3

Exam Tip

व्युत्क्रम फलन के लिए मूल फलन का एकैकी होना जरूरी है। / For an inverse function to exist, the original function must be one-one.

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Question 87/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2+2x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का परिसर क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-2+2x), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. \([-1,\infty\))

Step 1

Concept

(x^-2+2x=(x+1)²-1)। / (x^-2+2x=(x+1)²-1).

Step 2

Why this answer is correct

((x+1)²\ge0), इसलिए न्यूनतम मान (-1) है। / Since ((x+1)²\ge0), the minimum value is (-1).

Step 3

Exam Tip

परिसर लिखते समय न्यूनतम या अधिकतम मान को सही प्रकार से शामिल करें। / When writing the range, include the minimum or maximum value correctly.

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Question 88/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x+1)=f(x)+2) तथा (f(0)=3), तो (f(2)) का मान क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) satisfies (f(x+1)=f(x)+2) and (f(0)=3), what is the value of (f(2))?

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Correct Answer

A. (7)

Step 1

Concept

(x=0) रखने पर (f(1)=f(0)+2=5)। / Put (x=0) to get (f(1)=f(0)+2=5).

Step 2

Why this answer is correct

(x=1) रखने पर (f(2)=f(1)+2=7)। / Put (x=1) to get (f(2)=f(1)+2=7).

Step 3

Exam Tip

ऐसे फलन संबंधों में क्रम से दिए गए मान आगे बढ़ाएँ। / In functional equations, move step by step from the given value.

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Question 89/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक विषम फलन है और (f(4)=9), तो (f(-4)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an odd function and (f(4)=9), what is (f(-4))?

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Correct Answer

A. (-9)

Step 1

Concept

विषम फलन के लिए (f(-x)=-f(x)) होता है। / For an odd function, (f(-x)=-f(x)).

Step 2

Why this answer is correct

(x=4) रखने पर (f(-4)=-f(4)=-9)। / Putting (x=4), we get (f(-4)=-f(4)=-9).

Step 3

Exam Tip

सम और विषम फलनों की परिभाषाएँ याद रखने से मान जल्दी निकाले जा सकते हैं। / Remembering even and odd function definitions helps solve value-based questions quickly.

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Question 90/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) एक सम फलन है और (f(-6)=11), तो (f(6)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is an even function and (f(-6)=11), what is (f(6))?

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Correct Answer

A. (11)

Step 1

Concept

सम फलन के लिए (f(-x)=f(x)) होता है। / For an even function, (f(-x)=f(x)).

Step 2

Why this answer is correct

(f(-6)=f(6)), इसलिए (f(6)=11)। / Since (f(-6)=f(6)), we get (f(6)=11).

Step 3

Exam Tip

सम फलन में चिह्न बदलने से फलन का मान नहीं बदलता। / For even functions, changing the sign of the input does not change the value.

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Question 91/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-4+x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-4+x^-2), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह सम फलन हैIt is an even function

Step 1

Concept

(f(-x)=(-x)⁴+(-x)²=x^-4+x^-2)। / (f(-x)=(-x)⁴+(-x)²=x^-4+x^-2).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(-x)=f(x)), जो सम फलन की शर्त है। / Hence (f(-x)=f(x)), which is the condition for an even function.

Step 3

Exam Tip

केवल सम घातों वाले बहुपद अक्सर सम फलन होते हैं। / Polynomials containing only even powers are often even functions.

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Question 92/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-5-3x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) किस प्रकार का फलन है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-5-3x), what type of function is (f)?

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Correct Answer

A. विषम फलनOdd function

Step 1

Concept

(f(-x)=(-x)⁵-3(-x)=-x^-5+3x)। / (f(-x)=(-x)⁵-3(-x)=-x^-5+3x).

Step 2

Why this answer is correct

यह (-\(x^5-3x\)=-f(x)) के बराबर है। / This equals (-\(x^5-3x\)=-f(x)).

Step 3

Exam Tip

(f(-x)=-f(x)) होने पर फलन विषम कहलाता है। / If (f(-x)=-f(x)), the function is odd.

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Question 93/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+|x|) से परिभाषित किया गया है, तो (f(-5)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x+|x|), what is (f(-5))?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(x=-5) के लिए (|-5|=5)। / For (x=-5), (|-5|=5).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(-5)=-5+5=0)। / Therefore (f(-5)=-5+5=0).

Step 3

Exam Tip

परिमाण वाले प्रश्नों में पहले चिन्ह के अनुसार (|x|) का मान निकालें। / In modulus questions, first evaluate (|x|) according to the sign of (x).

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Question 94/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x+|x|) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का परिसर क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x+|x|), what is the range of (f)?

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Correct Answer

A. \([0,\infty\))

Step 1

Concept

यदि (x<0), तो (x+|x|=x-x=0)। / If (x<0), then (x+|x|=x-x=0).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(x\ge0\), तो (x+|x|=2x), जो \([0,\infty\)) में सभी मान देता है। / If \(x\ge0\), then (x+|x|=2x), which gives all values in \([0,\infty\)).

Step 3

Exam Tip

परिमाण वाले फलन को टुकड़ों में बाँटकर परिसर निकालना आसान होता है। / For modulus functions, split the function into cases to find the range.

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Question 95/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी नहीं और आच्छादी नहीं हैIt is neither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(1.2)=1) और (f(1.8)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(1.2)=1) and (f(1.8)=1), so it is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसका मान हमेशा पूर्णांक होता है, इसलिए (0.5) जैसा वास्तविक मान नहीं मिलता। / Its values are always integers, so a real number like (0.5) is not obtained.

Step 3

Exam Tip

महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के कई मानों का समान प्रतिबिंब होता है। / The greatest integer function maps many values in an interval to the same integer.

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Question 96/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. आच्छादी लेकिन एकैकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। / For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\).

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। / But \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है। / Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto.

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Question 97/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) से परिभाषित किया गया है, तो इसका परिसर क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is its range?

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Correct Answer

A. ((-1,1))

Step 1

Concept

\(x\ge0\) पर (f(x)=\frac{x}{1+x}), जो (0) से बढ़कर (1) के पास जाता है पर (1) नहीं होता। / For \(x\ge0\), (f(x)=\frac{x}{1+x}), which increases from (0) and approaches (1) but never equals (1).

Step 2

Why this answer is correct

(x<0) पर मान (-1) से बड़ा और (0) से छोटा रहता है। / For (x<0), the value stays greater than (-1) and less than (0).

Step 3

Exam Tip

सीमा के पास पहुँचना और सीमा को प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching an endpoint and attaining it are different things.

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Question 98/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{x}{1+x^-2}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) एकैकी नहीं है। सही कारण कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{x}{1+x^-2}), why is (f) not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))Because (f(2)=f\left\(\frac{1}{2}\right\))

Step 1

Concept

(f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}).

Step 2

Why this answer is correct

(f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{5})। / (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}=\frac{2}{5}).

Step 3

Exam Tip

दो अलग निवेशों का समान प्रतिबिंब मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता। / Once two distinct inputs have the same image, the function is not one-one.

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Question 99/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) is defined by (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\frac{x+3}{x-2}\)

Step 1

Concept

\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानें। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).

Step 2

Why this answer is correct

(yx-y=2x+3), इसलिए (x(y-2)=y+3) और \(x=\frac{y+3}{y-2}\)। / Then (yx-y=2x+3), so (x(y-2)=y+3) and \(x=\frac{y+3}{y-2}\).

Step 3

Exam Tip

अब (y) की जगह (x) लिखने पर (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}) मिलता है। / Replacing (y) by (x), we get (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}).

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Question 100/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 20

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) फलन हैं तथा \(g\circ f\) एकैकी है, तो कौन सा निष्कर्ष निश्चित रूप से सही है?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are functions and \(g\circ f\) is one-one, which conclusion is definitely true?

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Correct Answer

A. (f) एकैकी है(f) is one-one

Step 1

Concept

मान लें (f\(a_1\)=f\(a_2\))। / Suppose (f\(a_1\)=f\(a_2\)).

Step 2

Why this answer is correct

तब (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), अर्थात (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\))। / Then (g(f\(a_1\))=g(f\(a_2\))), so (\(g\circ f\)\(a_1\)=\(g\circ f\)\(a_2\)).

Step 3

Exam Tip

क्योंकि \(g\circ f\) एकैकी है, इसलिए \(a_1=a_2\); अतः (f) एकैकी है। / Since \(g\circ f\) is one-one, \(a_1=a_2\); therefore (f) is one-one.

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Question 101/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

मान लीजिए \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5,6\}\)। कितने फलन \(f:A\to B\) एकैकी और आच्छादी दोनों होंगे?

Let \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5,6\}\). How many functions \(f:A\to B\) are both one-one and onto?

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Correct Answer

B. (6)

Step 1

Concept

दोनों समुच्चयों में तत्वों की संख्या (3) है। / Both sets have (3) elements.

Step 2

Why this answer is correct

एकैकी और आच्छादी फलन का अर्थ है कि हर तत्व का अलग और पूरा उपयोग होगा, इसलिए संख्या (3!) होगी। / A function that is one-one and onto must pair every element uniquely, so the number is (3!).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में समान आकार के सीमित समुच्चयों के लिए ऐसे फलनों की संख्या सीधे (n!) लें। / In exams, for two finite sets of the same size, bijections are counted as (n!).

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Question 102/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=2x-5), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

B. \(\frac{x+5}{2}\)

Step 1

Concept

(y=2x-5) मानिए। / Put (y=2x-5).

Step 2

Why this answer is correct

(x) के लिए हल करने पर \(x=\frac{y+5}{2}\) मिलता है। / Solving for (x), we get \(x=\frac{y+5}{2}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय पहले (y) लिखें, फिर (x) को अलग करें। / While finding inverse, first write (y=f(x)), then isolate (x).

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Question 103/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) ऐसे हैं कि (f(x)=x^-2+1) तथा (g(x)=3x-2), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are such that (f(x)=x^-2+1) and (g(x)=3x-2), what is (\(f\circ g\)(x))?

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Correct Answer

A. \(9x^2-12x+5\)

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)) का अर्थ (f(g(x))) है। / (\(f\circ g\)(x)) means (f(g(x))).

Step 2

Why this answer is correct

(g(x)=3x-2) को (f) में रखने पर ((3x-2)²+1=9x^-2-12x+5) मिलता है। / Substitute (g(x)=3x-2) into (f), giving ((3x-2)²+1=9x^-2-12x+5).

Step 3

Exam Tip

संयुक्त फलन में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / In composition, the order matters.

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Question 104/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) से \(B=\{a,b\}\) में कुल कितने आच्छादी फलन बनाए जा सकते हैं?

How many onto functions can be formed from \(A=\{1,2,3,4\}\) to \(B=\{a,b\}\)?

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Correct Answer

B. (14)

Step 1

Concept

(A) से (B) में कुल फलन \(2^4=16\) हैं। / Total functions from (A) to (B) are \(2^4=16\).

Step 2

Why this answer is correct

आच्छादी न होने वाले फलन वे हैं जिनमें केवल (a) या केवल (b) आता है, ऐसे (2) फलन हैं। / Not onto functions use only (a) or only (b), giving (2) such functions.

Step 3

Exam Tip

इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे। / Hence onto functions are (16-2=14).

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Question 105/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) एक आच्छादी फलन है और (A) में (5) तत्व हैं, तो (B) में अधिकतम कितने तत्व हो सकते हैं?

If \(f:A\to B\) is an onto function and (A) has (5) elements, what is the maximum possible number of elements in (B)?

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Correct Answer

B. (5)

Step 1

Concept

आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर तत्व किसी न किसी प्रांत तत्व की छवि होना चाहिए। / In an onto function, every element of the codomain must be an image of some domain element.

Step 2

Why this answer is correct

(A) के (5) तत्व अधिक से अधिक (5) अलग छवियाँ दे सकते हैं। / The (5) elements of (A) can cover at most (5) distinct elements.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (B) में अधिकतम (5) तत्व हो सकते हैं। / Hence the maximum possible size of (B) is (5).

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Question 106/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x|) से परिभाषित किया गया है, तो यह फलन कैसा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=|x|), what type of function is it?

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Correct Answer

D. न एकैकी न आच्छादीNeither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(1)=1) और (f(-1)=1), इसलिए अलग इनपुट की एक ही छवि है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(1)=1) and (f(-1)=1), so distinct inputs have the same image; it is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती, इसलिए यह \(\mathbb{R}\) पर आच्छादी भी नहीं है। / No negative real number is an output, so it is not onto \(\mathbb{R}\).

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान में प्रांत और सहप्रांत को ध्यान से देखें। / For absolute value functions, check both domain and codomain carefully.

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Question 107/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) के लिए (f(x)=x+2) तथा (g(x)=x^-2), तो (\(g\circ f\)(-3)) का मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) are given by (f(x)=x+2) and (g(x)=x^-2), what is the value of (\(g\circ f\)(-3))?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

पहले (f(-3)) निकालें, (f(-3)=-1)। / First find (f(-3)), which is (-1).

Step 2

Why this answer is correct

अब (g(-1)=(-1)²=1)। / Then compute (g(-1)=(-1)²=1).

Step 3

Exam Tip

संयुक्त फलन में दाएँ वाले फलन को पहले लगाएँ। / In composition, apply the right-side function first.

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Question 108/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) से \(B=\{p,q,r,s\}\) में कितने एकैकी फलन हो सकते हैं?

How many one-one functions can be formed from \(A=\{1,2,3\}\) to \(B=\{p,q,r,s\}\)?

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Correct Answer

C. (24)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में (A) के तीनों तत्वों की छवियाँ अलग-अलग होंगी। / In a one-one function, the three elements of (A) must get distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

पहले तत्व के लिए (4), दूसरे के लिए (3), तीसरे के लिए (2) विकल्प मिलते हैं। / The choices are (4), then (3), then (2).

Step 3

Exam Tip

कुल संख्या \(4\times3\times2=24\) होगी। / Total number is \(4\times3\times2=24\).

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Question 109/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), जहाँ \(x\neq -1\), तो (f(x)=2) के लिए (x) का मान क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x-1}{x+1}), where \(x\neq -1\), what is the value of (x) for which (f(x)=2)?

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Correct Answer

C. (-3)

Step 1

Concept

\(\frac{x-1}{x+1}=2\) लिखें। / Write \(\frac{x-1}{x+1}=2\).

Step 2

Why this answer is correct

(x-1=2x+2), इसलिए (x=-3) मिलता है। / Then (x-1=2x+2), so (x=-3).

Step 3

Exam Tip

भिन्न वाले फलन में हर का शून्य न होना अलग से जाँचें। / For rational functions, also check that the denominator is not zero.

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Question 110/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=4x+7), तो (f^{-1}(f(10))) का मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=4x+7), what is the value of (f^{-1}(f(10)))?

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Correct Answer

A. (10)

Step 1

Concept

(f) एकैकी और आच्छादी रैखिक फलन है, इसलिए प्रतिलोम मौजूद है। / (f) is a bijective linear function, so its inverse exists.

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम फलन (f) के प्रभाव को वापस कर देता है, इसलिए (f^{-1}(f(10))=10)। / The inverse reverses the effect of (f), hence (f^{-1}(f(10))=10).

Step 3

Exam Tip

पहले पूरे फलन का गुण पहचानें, गणना हमेशा जरूरी नहीं होती। / Recognize the property first; full calculation is not always needed.

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Question 111/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (6) तत्व हैं, तो (B) में न्यूनतम कितने तत्व होने चाहिए?

If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (6) elements, what is the minimum number of elements required in (B)?

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Correct Answer

C. (6)

Step 1

Concept

एकैकी फलन में (A) के हर अलग तत्व की अलग छवि होनी चाहिए। / In a one-one function, every distinct element of (A) needs a distinct image.

Step 2

Why this answer is correct

(6) अलग छवियों के लिए (B) में कम से कम (6) तत्व चाहिए। / For (6) distinct images, (B) must have at least (6) elements.

Step 3

Exam Tip

एकैकी फलन में सहप्रांत का आकार प्रांत से छोटा नहीं हो सकता। / For injective functions, the codomain cannot be smaller than the domain.

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Question 112/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2-4x+7) है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?

If (f(x)=x^-2-4x+7), what is the minimum value of (f)?

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Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

वर्ग पूर्ण करें: (x^-2-4x+7=(x-2)²+3)। / Complete the square: (x^-2-4x+7=(x-2)²+3).

Step 2

Why this answer is correct

((x-2)²) का न्यूनतम मान (0) है। / The least value of ((x-2)²) is (0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन का न्यूनतम मान (3) है। / Therefore, the minimum value of the function is (3).

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Question 113/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2), why is (f) not one-one?

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Correct Answer

A. क्योंकि (f(1)=f(-1))Because (f(1)=f(-1))

Step 1

Concept

एकैकी फलन में अलग इनपुट की छवियाँ अलग होनी चाहिए। / In a one-one function, distinct inputs must have distinct images.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ \(1\neq -1\), लेकिन (f(1)=1) और (f(-1)=1)। / Here \(1\neq -1\), but (f(1)=1) and (f(-1)=1).

Step 3

Exam Tip

एक ही छवि देने वाले दो अलग इनपुट मिलते ही फलन एकैकी नहीं रहता। / Once two different inputs give the same output, the function is not one-one.

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Question 114/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to A\), जहाँ \(A=\{1,2,3\}\), एक स्थिर फलन है, तो ऐसे कितने फलन संभव हैं?

If \(f:A\to A\), where \(A=\{1,2,3\}\), is a constant function, how many such functions are possible?

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Correct Answer

C. (3)

Step 1

Concept

स्थिर फलन में (A) के सभी तत्वों की छवि एक ही तत्व होती है। / In a constant function, all elements of (A) have the same image.

Step 2

Why this answer is correct

यह एक ही छवि (1), (2), या (3) में से कोई भी हो सकती है। / This common image can be (1), (2), or (3).

Step 3

Exam Tip

स्थिर फलनों की संख्या सहप्रांत के तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of constant functions equals the number of elements in the codomain.

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Question 115/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{3x+2}{x-1}), तो (f) का प्रांत क्या होगा?

If (f(x)=\frac{3x+2}{x-1}), what is the domain of (f)?

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Correct Answer

B. \(\mathbb{R}-{1}\)

Step 1

Concept

भिन्न में हर (x-1) है। / The denominator is (x-1).

Step 2

Why this answer is correct

हर शून्य नहीं हो सकता, इसलिए \(x-1\neq 0\), अर्थात \(x\neq 1\)। / The denominator cannot be zero, so \(x-1\neq 0\), meaning \(x\neq 1\).

Step 3

Exam Tip

प्रांत में वही वास्तविक संख्याएँ रखें जिन पर फलन परिभाषित हो। / The domain includes only those real numbers for which the function is defined.

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Question 116/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=5) है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=5), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

C. यह स्थिर फलन हैIt is a constant function

Step 1

Concept

हर (x) के लिए फलन का मान (5) ही है। / For every (x), the function value is always (5).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह स्थिर फलन है, एकैकी नहीं क्योंकि कई इनपुट की छवि समान है। / So it is a constant function and not one-one, because many inputs have the same image.

Step 3

Exam Tip

स्थिर फलन को पहचानने के लिए देखें कि मान (x) पर निर्भर है या नहीं। / To identify a constant function, check whether the value depends on (x).

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Question 117/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-3-1) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(7)) का मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=x^-3-1), what is the value of (f^{-1}(7))?

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Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

(f^{-1}(7)) का अर्थ है वह (x) जिसके लिए (f(x)=7)। / (f^{-1}(7)) means the value of (x) for which (f(x)=7).

Step 2

Why this answer is correct

\(x^3-1=7\), इसलिए \(x^3=8\) और (x=2)। / \(x^3-1=7\), so \(x^3=8\) and (x=2).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम मान के प्रश्न में सीधे मूल फलन का मान बराबर रख सकते हैं। / For inverse value questions, set the original function equal to the given output.

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Question 118/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\sqrt{x-3}) है, तो (f) का वास्तविक प्रांत क्या होगा?

If (f(x)=\sqrt{x-3}), what is the real domain of (f)?

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Correct Answer

B. \([3,\infty\))

Step 1

Concept

वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक नहीं होनी चाहिए। / The expression inside the square root must be non-negative.

Step 2

Why this answer is correct

\(x-3\geq 0\), इसलिए \(x\geq 3\)। / \(x-3\geq 0\), so \(x\geq 3\).

Step 3

Exam Tip

वर्गमूल वाले फलनों में अंदर की राशि को हमेशा \(\geq 0\) रखें। / For square-root functions, always set the inside expression \(\geq 0\).

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Question 119/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (A) में (m) तत्व और (B) में (n) तत्व हैं, तो (A) से (B) में कुल फलनों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (m) elements and (B) has (n) elements, what is the total number of functions from (A) to (B)?

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Correct Answer

B. \(n^m\)

Step 1

Concept

(A) का हर तत्व (B) के (n) तत्वों में से किसी एक पर जा सकता है। / Each element of (A) can be mapped to any one of the (n) elements of (B).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसे (m) स्वतंत्र चुनाव होंगे। / There are (m) independent choices.

Step 3

Exam Tip

गुणन नियम से कुल फलन \(n^m\) होंगे। / By the multiplication rule, the total number of functions is \(n^m\).

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Question 120/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=ax+b) एकैकी है, तो (a) के लिए कौन सी शर्त जरूरी है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=ax+b) is one-one, which condition on (a) is necessary?

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Correct Answer

B. \(a\neq 0\)

Step 1

Concept

यदि (a=0), तो (f(x)=b) स्थिर फलन बन जाएगा। / If (a=0), then (f(x)=b) becomes a constant function.

Step 2

Why this answer is correct

स्थिर फलन एकैकी नहीं हो सकता। / A constant function cannot be one-one.

Step 3

Exam Tip

रैखिक फलन (ax+b) के एकैकी होने के लिए \(a\neq 0\) जरूरी है। / Therefore, a linear function (ax+b) is one-one only when \(a\neq 0\).

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Question 121/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{1}{x}) और (g(x)=x+1), तो (\(f\circ g\)(x)) का प्रांत क्या है?

If (f(x)=\frac{1}{x}) and (g(x)=x+1), what is the domain of (\(f\circ g\)(x))?

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Correct Answer

C. \(\mathbb{R}-{-1}\)

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=\frac{1}{x+1})। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+1)=\frac{1}{x+1}).

Step 2

Why this answer is correct

हर (x+1) शून्य नहीं होना चाहिए। / The denominator (x+1) must not be zero.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(x\neq -1\) और प्रांत \(\mathbb{R}-{-1}\) है। / Hence \(x\neq -1\), so the domain is \(\mathbb{R}-{-1}\).

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Question 122/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2-2x), तो (f(1+h)-f(1)) का मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2-2x), what is the value of (f(1+h)-f(1))?

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Correct Answer

A. \(h^2\)

Step 1

Concept

(f(1+h)=(1+h)²-2(1+h)=h^-2-1)। / (f(1+h)=(1+h)²-2(1+h)=h^-2-1).

Step 2

Why this answer is correct

(f(1)=1-2=-1)। / (f(1)=1-2=-1).

Step 3

Exam Tip

अंतर (\(h^2-1\)-(-1)=h^-2) है। / The difference is (\(h^2-1\)-(-1)=h^-2).

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Question 123/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-5+x^-3+x), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-5+x^-3+x), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

C. यह एकैकी और आच्छादी दोनों हैIt is both one-one and onto

Step 1

Concept

\(x^5+x^3+x\) बढ़ते (x) के साथ लगातार बढ़ता है, इसलिए यह एकैकी है। / \(x^5+x^3+x\) keeps increasing with (x), so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

बड़े ऋणात्मक (x) पर मान बहुत ऋणात्मक और बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत धनात्मक होता है, इसलिए सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / For very negative (x), values are very negative, and for very positive (x), values are very positive, so all real values occur.

Step 3

Exam Tip

विषम घातों वाले बढ़ते बहुपदों में परास \(\mathbb{R}\) हो सकता है। / Increasing odd-degree polynomial functions often have range \(\mathbb{R}\).

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Question 124/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{x+2}{x-2}), तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If (f(x)=\frac{x+2}{x-2}), what is (f^{-1}(x))?

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Correct Answer

A. \(\frac{2x+2}{x-1}\)

Step 1

Concept

\(y=\frac{x+2}{x-2}\) लिखें। / Write \(y=\frac{x+2}{x-2}\).

Step 2

Why this answer is correct

(y(x-2)=x+2), इसलिए (x(y-1)=2y+2) और \(x=\frac{2y+2}{y-1}\)। / (y(x-2)=x+2), so (x(y-1)=2y+2) and \(x=\frac{2y+2}{y-1}\).

Step 3

Exam Tip

अंत में (y) की जगह (x) लिखने से प्रतिलोम मिलता है। / Replace (y) by (x) at the end to get the inverse.

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Question 125/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) और (f(x)=x^-2), तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=x^-2), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

B. यह आच्छादी है पर एकैकी नहींIt is onto but not one-one

Step 1

Concept

हर \(y\geq 0\) के लिए कोई (x) मिलता है जैसे \(x=\sqrt{y}\), इसलिए फलन आच्छादी है। / For every \(y\geq 0\), there is an (x), such as \(x=\sqrt{y}\), so the function is onto.

Step 2

Why this answer is correct

(f(2)=f(-2)=4), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / (f(2)=f(-2)=4), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

सहप्रांत बदलने से आच्छादी होने का उत्तर बदल सकता है। / Changing the codomain can change whether a function is onto.

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Question 126/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=x^-2), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=x^-2), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. यह एकैकी और आच्छादी दोनों हैIt is both one-one and onto

Step 1

Concept

\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing, so distinct inputs give distinct outputs.

Step 2

Why this answer is correct

हर \(y\geq 0\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) प्रांत में है। / For every \(y\geq 0\), \(x=\sqrt{y}\) lies in the domain.

Step 3

Exam Tip

प्रांत को सीमित करने से वही सूत्र एकैकी बन सकता है। / Restricting the domain can make the same formula one-one.

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Question 127/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x+1), (g(x)=2x) और (h(x)=x^-2), तो (\(h\circ g\circ f\)(x)) क्या है?

If (f(x)=x+1), (g(x)=2x), and (h(x)=x^-2), what is (\(h\circ g\circ f\)(x))?

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Correct Answer

A. \(4x^2+8x+4\)

Step 1

Concept

पहले (f(x)=x+1) लगाएँ। / First apply (f(x)=x+1).

Step 2

Why this answer is correct

फिर (g(f(x))=2(x+1)=2x+2)। / Then (g(f(x))=2(x+1)=2x+2).

Step 3

Exam Tip

अंत में (h(2x+2)=(2x+2)²=4x^-2+8x+4)। / Finally (h(2x+2)=(2x+2)²=4x^-2+8x+4).

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Question 128/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4,5\}\), तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या क्या है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2\}\), and \(B=\{3,4,5\}\), how many onto functions exist from (A) to (B)?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

आच्छादी फलन में (B) के सभी (3) तत्व छवि के रूप में आने चाहिए। / In an onto function, all (3) elements of (B) must appear as images.

Step 2

Why this answer is correct

(A) में केवल (2) तत्व हैं, इसलिए अधिकतम (2) अलग छवियाँ मिल सकती हैं। / (A) has only (2) elements, so at most (2) distinct images are possible.

Step 3

Exam Tip

जब प्रांत छोटा हो और सहप्रांत बड़ा हो, आच्छादी फलन संभव नहीं होता। / When the domain is smaller than the codomain, an onto function is impossible.

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Question 129/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+2x+2), तो (f) का परास क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-2+2x+2), what is the range of (f)?

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Correct Answer

B. \([1,\infty\))

Step 1

Concept

वर्ग पूर्ण करें: (x^-2+2x+2=(x+1)²+1)। / Complete the square: (x^-2+2x+2=(x+1)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

((x+1)²\geq 0), इसलिए न्यूनतम मान (1) है। / Since ((x+1)²\geq 0), the minimum value is (1).

Step 3

Exam Tip

अतः परास \([1,\infty\)) है। / Thus the range is \([1,\infty\)).

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Question 130/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), तो (x=-4) को प्रांत से क्यों हटाया जाता है?

If (f(x)=\frac{2x-3}{x+4}), why is (x=-4) excluded from the domain?

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Correct Answer

B. क्योंकि हर शून्य हो जाता हैBecause the denominator becomes zero

Step 1

Concept

भिन्न वाले फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। / In a rational function, the denominator cannot be zero.

Step 2

Why this answer is correct

(x=-4) रखने पर (x+4=0) हो जाता है। / Substituting (x=-4) gives (x+4=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=-4) प्रांत का भाग नहीं होगा। / Hence (x=-4) is not included in the domain.

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Question 131/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=3x-1) और (g(x)=\frac{x+1}{3}), तो \(g\circ f\) कैसा फलन है?

If (f(x)=3x-1) and (g(x)=\frac{x+1}{3}), what kind of function is \(g\circ f\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. तत्समक फलनIdentity function

Step 1

Concept

(\(g\circ f\)(x)=g(3x-1))। / (\(g\circ f\)(x)=g(3x-1)).

Step 2

Why this answer is correct

(g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x)। / (g(3x-1)=\frac{3x-1+1}{3}=x).

Step 3

Exam Tip

जिसका मान हर (x) पर (x) ही हो, वह तत्समक फलन होता है। / A function that gives (x) for every (x) is the identity function.

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Question 132/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-4+1), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-4+1), why is (f) not onto?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (f(x)\geq 1) होता हैBecause (f(x)\geq 1)

Step 1

Concept

हर वास्तविक (x) के लिए \(x^4\geq 0\) होता है। / For every real (x), \(x^4\geq 0\).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (f(x)=x^-4+1\geq 1), और (0) जैसा वास्तविक मान छवि नहीं बनता। / Therefore (f(x)=x^-4+1\geq 1), so a real number like (0) is not attained.

Step 3

Exam Tip

आच्छादी जाँचते समय सहप्रांत के छूटे हुए मान खोजें। / To test onto, look for values in the codomain that are missed.

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Question 133/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) एकैकी और आच्छादी दोनों है, तो \(f^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:A\to B\) is both one-one and onto, which statement about \(f^{-1}\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(f^{-1}\) मौजूद है और \(B\to A\) फलन है\(f^{-1}\) exists and is a function from (B) to (A)

Step 1

Concept

एकैकी होने से हर छवि का मूल तत्व अलग और निश्चित होता है। / One-one ensures each image has a unique original element.

Step 2

Why this answer is correct

आच्छादी होने से (B) का हर तत्व किसी न किसी (A) तत्व की छवि है। / Onto ensures every element of (B) is actually an image.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिलोम फलन \(B\to A\) के रूप में मौजूद होता है। / Therefore, the inverse function exists from (B) to (A).

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Question 134/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=x^-2) और (g(x)=x+2), तो (\(f\circ g\)(x)) और (\(g\circ f\)(x)) के बारे में सही कथन क्या है?

If (f(x)=x^-2) and (g(x)=x+2), which statement about (\(f\circ g\)(x)) and (\(g\circ f\)(x)) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (\(g\circ f\)(x)=x^-2+2)

Step 1

Concept

(\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)²)। / (\(f\circ g\)(x)=f(x+2)=(x+2)²).

Step 2

Why this answer is correct

(\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x^-2+2)। / (\(g\circ f\)(x)=g\(x^2\)=x^-2+2).

Step 3

Exam Tip

संयुक्त फलन सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होता। / Composition of functions is generally not commutative.

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Question 135/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x-2|), तो (f) का न्यूनतम मान किस (x) पर आएगा?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x-2|), at which (x) will (f) attain its minimum value?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (x=2)

Step 1

Concept

निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / An absolute value is always (0) or positive.

Step 2

Why this answer is correct

(|x-2|) का न्यूनतम (0) तब मिलेगा जब (x-2=0)। / The minimum of (|x-2|) is (0), which occurs when (x-2=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=2) पर फलन न्यूनतम है। / Therefore, the function is minimum at (x=2).

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Question 136/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\frac{x}{1+x^-2}), तो (f(2)+f\left\(\frac{1}{2}\right\)) का मान क्या है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\frac{x}{1+x^-2}), what is the value of (f(2)+f\left\(\frac{1}{2}\right\))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(\frac{4}{5}\)

Step 1

Concept

(f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5})। / (f(2)=\frac{2}{1+4}=\frac{2}{5}).

Step 2

Why this answer is correct

(f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5})। / (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{2}{5}).

Step 3

Exam Tip

दोनों को जोड़ने पर \(\frac{4}{5}\) मिलता है। / Adding them gives \(\frac{4}{5}\).

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Question 137/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=2x+3) और (\(f\circ f\)(x)=19), तो (x) का मान क्या है?

If (f(x)=2x+3) and (\(f\circ f\)(x)=19), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

(\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9)। / (\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9).

Step 2

Why this answer is correct

(4x+9=19), इसलिए (4x=10)। / (4x+9=19), so (4x=10).

Step 3

Exam Tip

\(x=\frac{5}{2}\) आता है, इसलिए दिए विकल्पों में कोई सटीक नहीं दिखता; सही गणना के अनुसार \(x=\frac{5}{2}\) होना चाहिए। / The calculated value is \(x=\frac{5}{2}\), so the options should include \(\frac{5}{2}\).

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Question 138/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=2x+3) और (\(f\circ f\)(x)=17), तो (x) का मान क्या है?

If (f(x)=2x+3) and (\(f\circ f\)(x)=17), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (2)

Step 1

Concept

(\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9)। / (\(f\circ f\)(x)=f(2x+3)=2(2x+3)+3=4x+9).

Step 2

Why this answer is correct

(4x+9=17), इसलिए (4x=8)। / (4x+9=17), so (4x=8).

Step 3

Exam Tip

अतः (x=2) है। / Therefore, (x=2).

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Question 139/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sin x), तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sin x), why is (f) not onto?

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Correct Answer

A. क्योंकि इसका परास ([-1,1]) हैBecause its range is ([-1,1])

Step 1

Concept

\(\sin x\) का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of \(\sin x\) always lies between (-1) and (1).

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, जिसमें (2) जैसे मान भी हैं जो छवि नहीं बनते। / The codomain is \(\mathbb{R}\), which includes values like (2) that are not attained.

Step 3

Exam Tip

आच्छादीपन में परास और सहप्रांत की तुलना करें। / For onto checking, compare the range with the codomain.

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Question 140/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to A\) जहाँ \(A=\{1,2,3,4\}\), एक क्रमचय फलन है, तो ऐसे कितने फलन होंगे?

If \(f:A\to A\), where \(A=\{1,2,3,4\}\), is a permutation function, how many such functions exist?

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Correct Answer

C. (24)

Step 1

Concept

क्रमचय फलन का अर्थ है (A) से (A) में एकैकी और आच्छादी फलन। / A permutation function means a one-one and onto function from (A) to (A).

Step 2

Why this answer is correct

(4) तत्वों को (4) अलग स्थानों पर जमाने के तरीके (4!) होते हैं। / The number of ways to arrange (4) elements in (4) positions is (4!).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ऐसे फलन (24) हैं। / Hence there are (24) such functions.

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Question 141/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\sqrt{9-x^-2}), तो वास्तविक प्रांत क्या है?

If (f(x)=\sqrt{9-x^-2}), what is the real domain?

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Correct Answer

A. ([-3,3])

Step 1

Concept

वर्गमूल के अंदर \(9-x^2\geq 0\) होना चाहिए। / The expression inside the square root must satisfy \(9-x^2\geq 0\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे \(x^2\leq 9\), अर्थात \(-3\leq x\leq 3\) मिलता है। / This gives \(x^2\leq 9\), meaning \(-3\leq x\leq 3\).

Step 3

Exam Tip

वर्गमूल और वर्ग दोनों होने पर असमानता को सावधानी से हल करें। / When square roots and squares appear together, solve the inequality carefully.

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Question 142/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=2^x), तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=2^x), which statement about (f) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह एकैकी है पर आच्छादी नहींIt is one-one but not onto

Step 1

Concept

\(2^x\) बढ़ता हुआ फलन है, इसलिए यह एकैकी है। / \(2^x\) is an increasing function, so it is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

इसका मान हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए कोई ऋणात्मक वास्तविक संख्या छवि नहीं बनती। / Its value is always positive, so no negative real number is attained.

Step 3

Exam Tip

घातीय फलन का परास पहचानना आच्छादीपन में मदद करता है। / Knowing the range of an exponential function helps in checking onto.

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Question 143/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि (f(x)=\ln x), तो वास्तविक प्रांत क्या है?

If (f(x)=\ln x), what is the real domain?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (\(0,\infty\))

Step 1

Concept

\(\ln x\) केवल धनात्मक (x) के लिए परिभाषित होता है। / \(\ln x\) is defined only for positive (x).

Step 2

Why this answer is correct

(x=0) और ऋणात्मक (x) वास्तविक प्रांत में नहीं आते। / (x=0) and negative (x) are not included in the real domain.

Step 3

Exam Tip

लघुगणकीय फलन में अंदर की राशि हमेशा (>0) रखें। / For logarithmic functions, the inside expression must be (>0).

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Question 144/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), और (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b), तो (f) कैसा है?

If \(f:A\to B\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b,c\}\), and (f(1)=a), (f(2)=b), (f(3)=b), what type of function is (f)?

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Correct Answer

D. न एकैकी न आच्छादीNeither one-one nor onto

Step 1

Concept

(f(2)=b) और (f(3)=b), इसलिए दो अलग तत्वों की छवि समान है; फलन एकैकी नहीं है। / (f(2)=b) and (f(3)=b), so two distinct elements have the same image; the function is not one-one.

Step 2

Why this answer is correct

(c) किसी तत्व की छवि नहीं है, इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / (c) is not the image of any element, so the function is not onto.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में छवियों की सूची बनाकर जाँच करें। / For finite sets, list the images to test both properties.

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Question 145/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3-3x), तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x^-3-3x), why is (f) not one-one?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (f(0)=f\(\sqrt{3}\))Because (f(0)=f\(\sqrt{3}\))

Step 1

Concept

(f(0)=0) है। / (f(0)=0).

Step 2

Why this answer is correct

(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), जबकि \(0\neq \sqrt{3}\)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)³-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0), while \(0\neq \sqrt{3}\).

Step 3

Exam Tip

दो अलग इनपुट की समान छवि मिलने पर फलन एकैकी नहीं होता। / If two distinct inputs give the same image, the function is not one-one.

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Question 146/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा वास्तविक मान (f) के परास में नहीं आएगा?

If \(f:\mathbb{R}-\left{-\frac{1}{2}\right}\to\mathbb{R}\) is defined by (f(x)=\frac{3x-4}{2x+1}), which real value will not occur in the range of (f)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{3}{2}\)

Step 1

Concept

\(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) मानकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / Put \(y=\frac{3x-4}{2x+1}\) and solve for (x).

Step 2

Why this answer is correct

(y(2x+1)=3x-4), इसलिए (x(2y-3)=-(y+4))। / (y(2x+1)=3x-4), so (x(2y-3)=-(y+4)).

Step 3

Exam Tip

(2y-3=0) होने पर (x) नहीं मिलेगा, इसलिए \(\frac{3}{2}\) परास में नहीं आएगा। / If (2y-3=0), (x) is not obtained; hence \(\frac{3}{2}\) is not in the range.

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Question 147/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(B=\{a,b,c\}\), तो (A) से (B) में आच्छादी फलनों की संख्या कितनी होगी?

If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(B=\{a,b,c\}\), how many onto functions are there from (A) to (B)?

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Correct Answer

B. (36)

Step 1

Concept

कुल फलन \(3^4=81\) हैं। / Total functions are \(3^4=81\).

Step 2

Why this answer is correct

जो फलन कम से कम एक तत्व को छोड़ देते हैं, उन्हें हटाएँ: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\)। / Remove functions that miss at least one element: \(3\cdot2^4-3\cdot1^4=48-3=45\).

Step 3

Exam Tip

आच्छादी फलन (81-45=36) होंगे। / Onto functions are (81-45=36).

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Question 148/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:[3,\infty\)\to[1,\infty)) को (f(x)=x^-2-6x+10) से परिभाषित किया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

If \(f:[3,\infty\)\to[1,\infty)) is defined by (f(x)=x^-2-6x+10), what is (f^{-1}(x))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(3+\sqrt{x-1}\)

Step 1

Concept

(f(x)=x^-2-6x+10=(x-3)²+1)। / (f(x)=x^-2-6x+10=(x-3)²+1).

Step 2

Why this answer is correct

(y=(x-3)²+1) से ((x-3)²=y-1) मिलता है। / From (y=(x-3)²+1), we get ((x-3)²=y-1).

Step 3

Exam Tip

प्रांत \([3,\infty\)) है, इसलिए \(x-3\geq0\) और प्रतिलोम \(3+\sqrt{x-1}\) होगा। / Since the domain is \([3,\infty\)), \(x-3\geq0\), so the inverse is \(3+\sqrt{x-1}\).

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Question 149/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:A\to B\) और \(g:B\to C\) दोनों प्रतिलोम रखने वाले फलन हैं, तो (\(g\circ f\)^{-1}) किसके बराबर होगा?

If \(f:A\to B\) and \(g:B\to C\) are both invertible functions, then (\(g\circ f\)^{-1}) is equal to which expression?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(f^{-1}\circ g^{-1}\)

Step 1

Concept

\(g\circ f\) में पहले (f) लगता है, फिर (g) लगता है। / In \(g\circ f\), (f) acts first and then (g).

Step 2

Why this answer is correct

वापस आने के लिए पहले \(g^{-1}\) और फिर \(f^{-1}\) लगाना पड़ेगा। / To reverse the process, apply \(g^{-1}\) first and then \(f^{-1}\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिलोम का क्रम उल्टा हो जाता है और (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}) होता है। / Hence the order reverses, so (\(g\circ f\)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}).

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Question 150/150 Hard Mathematics Relations and Functions Functions Class 12 Level 21

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n+1) से परिभाषित किया गया है, जहाँ \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f) कैसा है?

If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) is defined by (f(n)=n+1), where \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), what type of function is (f)?

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Correct Answer

B. एकैकी पर आच्छादी नहींOne-one but not onto

Step 1

Concept

यदि \(n_1\neq n_2\), तो \(n_1+1\neq n_2+1\), इसलिए फलन एकैकी है। / If \(n_1\neq n_2\), then \(n_1+1\neq n_2+1\), so the function is one-one.

Step 2

Why this answer is correct

सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (1) है, लेकिन कोई \(n\in\mathbb{N}\) ऐसा नहीं कि (n+1=1)। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but there is no \(n\in\mathbb{N}\) such that (n+1=1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए फलन एकैकी है पर आच्छादी नहीं है। / Therefore, the function is one-one but not onto.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Functions Hard Quiz

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2+2x+3) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x-5) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:A\to B\) है, \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{a,b\}\), तो (A) से (B) में कुल कितने फलन संभव हैं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार हैं कि (f(x)=x+3), (g(x)=x-2), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-3+x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) को (f(x)=x-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x-2+1) से दिया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{2}\) को (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}) से परिभाषित किया गया है, तो (f) का कौन सा मान कभी नहीं आएगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=3x+1), (g(x)=x-4), तो (\(f\circ g\)(2)) का मान क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:A\to B\) एक एकैकी फलन है और (|A|=5), (|B|=4), तो कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (4) अवयव और (B) में (4) अवयव हैं, तो (A) से (B) में कुल कितने एकैकी और आच्छादी फलन होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=ax+b) से दिया गया है, तो (f) प्रतिलोम्य कब होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=|x|) से परिभाषित किया गया है, तो सही कथन कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-3), तो (f^{-1}(8)) का मान क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=2x+1), (g(x)=x-2-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\) को (f(n)=n+1) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=x+2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{1+x-2}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}\setminus{0}\) को (f(x)=\frac{1}{x}) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या है?

Concept

Why this answer is correct

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2+2x+3) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के परास के बारे में सही कथन कौन सा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) इस प्रकार हैं कि (f(x)=x+3), (g(x)=x^-2), तो (\(g\circ f\)(x)) क्या है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-3+x) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2) से दिया गया है, तो (f) एकैकी क्यों नहीं है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2+1) से दिया गया है, तो (f) आच्छादी क्यों नहीं है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-3), तो (f^{-1}(8)) का मान क्या है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और \(g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में (f(x)=2x+1), (g(x)=x^-2-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=\frac{1}{1+x^-2}) से दिया गया है, तो (f) का परास कौन सा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2-4x+7) से दिया गया है, तो (f) का न्यूनतम मान क्या है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-5+x) से दिया गया है, तो (f) के बारे में सही कथन कौन सा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-4) से परिभाषित किया गया है, तो कौन सा कथन सही है?

यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) को (f(x)=x^-2) से परिभाषित किया गया है, तो (f) कैसा है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2-2x) से दिया गया है, तो (f) का परास क्या है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=2x^-3-1) से दिया गया है, तो (f^{-1}(x)) क्या होगा?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) को (f(x)=x^-2) से दिया गया है, तो \(f^{-1}\) फलन क्यों नहीं है?

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x^-2+4), तो (f) का परास क्या है?