Class 12 Mathematics Relations and Functions Functions Hard Level 20

यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?

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Correct Answer

A. आच्छादी लेकिन एकैकी नहींOnto but not one-one

Step 1

Concept

For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\).

Step 2

Why this answer is correct

But \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one.

Step 3

Exam Tip

Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto. चरण 1: हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। चरण 2: लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है।

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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) को (f(x)=\lfloor x\rfloor) से परिभाषित किया गया है, तो (f) के बारे में कौन सा कथन सही है? / If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{Z}\) is defined by (f(x)=\lfloor x\rfloor), which statement about (f) is correct?

Correct Answer: A. आच्छादी लेकिन एकैकी नहीं / Onto but not one-one. Explanation: चरण 1: हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। चरण 2: लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है। / Step 1: For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\). Step 2: But \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), so it is not one-one. Step 3: Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto.

Which concept should I revise for this Mathematics MCQ?

For every integer (n), taking (x=n) gives \(\lfloor x\rfloor=n\), so it is onto \(\mathbb{Z}\).

What exam hint can help solve this Mathematics question?

Changing the codomain to \(\mathbb{Z}\) makes this function onto. चरण 1: हर पूर्णांक (n) के लिए (x=n) लेने पर \(\lfloor x\rfloor=n\), इसलिए यह \(\mathbb{Z}\) पर आच्छादी है। चरण 2: लेकिन \(\lfloor 2.1\rfloor=\lfloor 2.9\rfloor=2\), इसलिए एकैकी नहीं है। चरण 3: सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) करने से यही फलन आच्छादी बन जाता है।