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सममित संबंध में विकर्ण के (4) युग्म स्वतंत्र होते हैं। / In a symmetric relation, the (4) diagonal pairs are chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (4) अवयवों से \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) उलटे युग्म-जोड़े बनते हैं। / The off-diagonal pairs form \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) mirror-pair groups.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (4+6=10) हैं, इसलिए उत्तर \(2^{10}\) है। / Total independent choices are (10), so the number of relations is \(2^{10}\).
सभी (5) विकर्ण युग्म पहले से तय हैं, इसलिए उनमें चुनाव नहीं है। / The (5) diagonal pairs are fixed, so they give no choice.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) हैं। / There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) off-diagonal mirror groups.
Step 3
Exam Tip
हर जोड़ा या तो पूरा लिया जाएगा या नहीं लिया जाएगा, इसलिए संख्या \(2^{10}\) है। / Each group is either included fully or excluded, so the number is \(2^{10}\).
यदि (a+b) सम है, तो (b+a) भी सम होगा क्योंकि जोड़ का क्रम बदलने से योग नहीं बदलता। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even because addition is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / So \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में गुण की दिशा बदलकर जांचना सबसे तेज तरीका है। / For such questions, reverse the pair and check whether the condition remains true.
संबंध की मैट्रिक्स सममित हो तो मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियां समान होती हैं। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
दी गई मैट्रिक्स में \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{23}=m_{32}=1\), साथ ही \(m_{12}=m_{21}=0\)। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{23}=m_{32}=1\), and \(m_{12}=m_{21}=0\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए संबंध सममित है। / Hence the relation is symmetric.
A. क्योंकि \(a\equiv b \pmod{2}\) से \(b\equiv a \pmod{2}\) मिलता है/Because \(a\equiv b \pmod{2}\) gives \(b\equiv a \pmod{2}\)
Step 1
Concept
समान शेषफल वाली संख्याएं क्रम बदलने पर भी समान शेषफल वाली ही रहती हैं। / Numbers with the same remainder still have the same remainder after reversing their order.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a\equiv b \pmod{2}\) होने पर \(b\equiv a \pmod{2}\) भी सही है। / Thus \(a\equiv b \pmod{2}\) implies \(b\equiv a \pmod{2}\).
Step 3
Exam Tip
सममितता में यही उलटा युग्म जांचना होता है। / Symmetry is exactly about checking this reverse pair.
(n) विकर्ण युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर उलटे युग्म-जोड़े (\frac{n(n-1)}{2}) हैं। / The off-diagonal mirror groups are (\frac{n(n-1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (\frac{n(n+1)}{2}), giving \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
(3) अवयवों के लिए कुल स्वतंत्र समूह \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) हैं। / For (3) elements, there are \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) independent groups.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) होने पर सममितता के कारण ((2,1)) भी तय हो जाता है, यानी एक समूह निश्चित हो गया। / If ((1,2)) is included, symmetry forces ((2,1)), fixing one group.
Step 3
Exam Tip
बचे (5) समूह स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^5\) है। / The remaining (5) groups are free, so the count is \(2^5\).
कुल स्वतंत्र समूह (6) हैं। / There are (6) independent groups in total.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाला समूह लेना तय है और ((1,1)) वाला विकर्ण समूह न लेना तय है। / The group containing ((1,2)) is fixed as included, and the diagonal pair ((1,1)) is fixed as excluded.
Step 3
Exam Tip
दो समूह तय होने के बाद (4) समूह स्वतंत्र बचे, इसलिए संख्या \(2^4\) है। / So (4) groups remain free, giving \(2^4\).
(4) विकर्ण युग्मों में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{4}{2}\) हैं। / Choose (2) diagonal pairs from (4) in \(\binom{4}{2}\) ways.
Step 2
Why this answer is correct
(6) विकर्ण-बाह्य उलटे युग्म-जोड़े में से (2) चुनने के तरीके \(\binom{6}{2}\) हैं। / Choose (2) off-diagonal mirror groups from (6) in \(\binom{6}{2}\) ways.
Step 3
Exam Tip
दोनों चुनाव स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल संख्या \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\) है। / The choices are independent, so the total is \(\binom{4}{2}\binom{6}{2}\).
सममित (R) में ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ होते हैं या साथ-साथ अनुपस्थित होते हैं। / In a symmetric (R), ((a,b)) and ((b,a)) are either both present or both absent.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए पूरक संबंध में भी दोनों उलटे युग्म साथ-साथ आएंगे। / Therefore, in the complement, reverse pairs also appear together.
Step 3
Exam Tip
अतः \(A\times A-R\) भी सममित होगा। / Hence \(A\times A-R\) is also symmetric.
यदि \((a,b)\in R-S\), तो \((a,b)\in R\) और \((a,b)\notin S\)। / If \((a,b)\in R-S\), then \((a,b)\in R\) and \((a,b)\notin S\).
Step 2
Why this answer is correct
(R) सममित होने से \((b,a)\in R\), और (S) सममित होने से \((a,b)\notin S\) का अर्थ \((b,a)\notin S\) है। / Symmetry of (R) gives \((b,a)\in R\), and symmetry of (S) ensures \((b,a)\notin S\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((b,a)\in R-S\), अतः यह हमेशा सममित है। / Thus \((b,a)\in R-S\), so it is always symmetric.
(|a-b|=|b-a|) हमेशा सत्य है। / (|a-b|=|b-a|) is always true.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए यदि (|a-b|) सम है, तो (|b-a|) भी सम होगा। / Therefore if (|a-b|) is even, then (|b-a|) is also even.
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष अंतर वाले संबंधों में उलटा युग्म वही अंतर देता है। / Absolute-difference relations usually preserve symmetry because the difference value stays the same.
(n) अवयवों के लिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / For (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=6) रखने पर \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) स्वतंत्र चुनाव मिलते हैं। / Substituting (n=6), we get \(\frac{6\cdot7}{2}=21\) independent choices.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कुल संख्या \(2^{21}\) है। / Hence the total number is \(2^{21}\).
सममित संबंध में ((1,2)) के साथ ((2,1)) होना अनिवार्य है। / A symmetric relation must contain ((2,1)) whenever it contains ((1,2)).
Step 2
Why this answer is correct
प्रश्न में ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है, यह सममितता के विरुद्ध है। / The condition asks for ((1,2)) to be present but ((2,1)) absent, which violates symmetry.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या (0) है। / Hence the number of such relations is (0).
यदि (a=b), तो (b=a) भी सत्य है, इसलिए उलटा युग्म भी संबंध में होगा। / If (a=b), then (b=a), so the reverse pair also belongs.
Step 3
Exam Tip
बराबरी पर आधारित संबंध सममित होते हैं, पर (a-b=1) जैसे संबंध उलटने पर बदल जाते हैं। / Equality-based relations are symmetric, while conditions like (a-b=1) change when reversed.
A. \(R\triangle S\) सममित है/\(R\triangle S\) is symmetric
Step 1
Concept
सममित संबंधों का अंतर भी सममित रहता है। / The difference of two symmetric relations is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (R-S) और (S-R) दोनों सममित होंगे। / Therefore (R-S) and (S-R) are both symmetric.
Step 3
Exam Tip
दो सममित संबंधों का संघ भी सममित होता है, इसलिए \(R\triangle S\) सममित है। / The union of two symmetric relations is symmetric, so \(R\triangle S\) is symmetric.
((1,2)) और ((2,1)) पहले से संतुलित हैं, और विकर्ण युग्म समस्या नहीं बनाते। / ((1,2)) and ((2,1)) are already balanced, and diagonal pairs cause no issue.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) है लेकिन ((3,2)) नहीं है। / ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
जोड़ने की जगह हटाने पर केवल ((2,3)) हटाना होगा, इसलिए न्यूनतम संख्या (1) है। / If only removal is allowed, remove ((2,3)), so the minimum number is (1).
सममित संबंध में यदि \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। / A relation is symmetric if \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ शर्त (a+b सम है) है और (a+b=b+a), इसलिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करता है। / Here the condition is (a+b is even\(), and (a+b=b+a), so the reverse pair also satisfies it.\)
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी शर्तों में जोड़ की क्रम-विनिमेयता तुरंत जाँचें। / In exams, check commutative conditions like addition first.
A. हाँ, सभी अनिवार्य उल्टे युग्म हैं/Yes, all required reverse pairs are present
Step 1
Concept
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और दोनों हैं। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है और दोनों हैं; ((1,1)) अपना ही उल्टा है। / The reverse of ((2,3)) is ((3,2)), and ((1,1)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए हर संभव युग्म जरूरी नहीं, केवल लिए गए युग्मों के उल्टे जरूरी हैं। / Symmetry does not require all possible pairs, only reverse pairs of the chosen pairs.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए घात \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) होगी। / For (n=3), the exponent is \(\frac{3\cdot4}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म अलग-अलग चुने जाते हैं और गैर-विकर्ण युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / Diagonal pairs are chosen independently, while non-diagonal pairs are chosen in reverse-pair blocks.
चार अवयवों के लिए गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूहों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / For four elements, the number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
सभी विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए केवल इन छह समूहों को चुनना या छोड़ना है। / All diagonal pairs are compulsory, so only these six blocks can be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
जब प्रतिवर्ती और सममित साथ हों तो गिनती में विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र मत गिनिए। / When reflexive and symmetric are combined, do not count diagonal choices as free.
कुल विकर्ण स्थान (n) होते हैं और गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूह (\frac{n(n-1)}{2}) होते हैं। / There are (n) diagonal positions and (\frac{n(n-1)}{2}) non-diagonal reverse-pair blocks.
Step 2
Why this answer is correct
कुल स्वतंत्र चयन (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हो जाते हैं। / Total independent choices become (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों की गिनती करते समय ((a,b)) और ((b,a)) को अलग-अलग स्वतंत्र नहीं गिनना चाहिए। / While counting symmetric relations, do not treat ((a,b)) and ((b,a)) as independent choices.
संबंध सममित तब होता है जब उसका आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{24}=m_{42}=1\), बाकी संबंधित स्थान भी समान हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{24}=m_{42}=1\), and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में हमेशा मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाइए। / In matrix questions, compare entries across the main diagonal.
व्युत्क्रम संबंध में हर युग्म उलट जाता है। / In an inverse relation, every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में उल्टा युग्म पहले से उसी संबंध में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / In a symmetric relation, the reversed pair is already in the same relation, so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता और व्युत्क्रम संबंध का संबंध याद रखना बहुत उपयोगी है। / Remembering the link between symmetry and inverse relation saves time in exams.
A. क्योंकि \((1,2)\in R\) पर \((2,1)\notin R\)/Because \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक ऐसा युग्म खोजें जिसका उल्टा न हो। / To disprove symmetry, find one pair whose reverse is missing.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) में (1<2), इसलिए यह (R) में है; पर (2<1) गलत है, इसलिए ((2,1)) नहीं है। / ((1,2)) is in (R) because (1<2), but ((2,1)) is not because (2<1) is false.
Step 3
Exam Tip
केवल एक विरोधी उदाहरण संबंध को सममित न मानने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to show a relation is not symmetric.
A. (R) सममित और प्रतिवर्ती है/(R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / All diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं तथा विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं, इसलिए सममित भी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and diagonal pairs are self-reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
एक साथ दो गुण जाँचते समय दोनों की अलग-अलग कसौटी लगाइए। / When two properties are asked together, test both separately.
A. (R) सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं है/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है, इसलिए संबंध सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए विकर्ण युग्म अनिवार्य नहीं होते। / Diagonal pairs are not compulsory for symmetry alone.
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, अतः \((b,a)\in R\cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so \((b,a)\in R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
दो सममित संबंधों का प्रतिच्छेद हमेशा सममित रहता है। / The intersection of two symmetric relations is always symmetric.
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह युग्म है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में और फिर \(R\cup S\) में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
A. नहीं, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं/No, because (1) divides (2) but (2) does not divide (1)
Step 1
Concept
सममितता तोड़ने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
(1) संख्या (2) को विभाजित करती है, इसलिए \((1,2)\in R\), पर (2) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती। / (1) divides (2), so \((1,2)\in R\), but (2) does not divide (1).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता। / Divisibility relations are generally not symmetric.
शर्त \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) है। / The condition is \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (a+b=b+a), इसलिए \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। / Since (a+b=b+a), we also get \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
जोड़ पर आधारित सर्वांगसमता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती। / Congruence conditions based on addition usually remain unchanged after swapping the order.
सबसे छोटी सममित अधिसंबंध में हर दिए गए युग्म का उल्टा जोड़ते हैं। / The smallest symmetric relation containing (R) is formed by adding the reverse of every given pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1),(3,2),(1,3)) तीन नए युग्म जुड़ेंगे, इसलिए कुल (3+3=6) युग्म होंगे। / The new pairs are ((2,1),(3,2),(1,3)), so the total is (3+3=6).
Step 3
Exam Tip
केवल आवश्यक उल्टे युग्म जोड़ें, अतिरिक्त युग्म नहीं। / Add only the required reverse pairs, not extra pairs.
A. क्योंकि इसमें ऐसा कोई युग्म नहीं है जो नियम तोड़े/Because it has no pair that can violate the condition
Step 1
Concept
सममितता तभी टूटती है जब कोई युग्म हो और उसका उल्टा न हो। / Symmetry fails only when a pair is present and its reverse is absent.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं बन सकता। / The empty relation has no pairs, so no counterexample can exist.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध सममित होता है, पर गैर-रिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती नहीं होता। / The empty relation is symmetric, but it is not reflexive on a non-empty set.
A. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं कि ((q,p)) है या नहीं/No definite conclusion about whether ((q,p)) is present
Step 1
Concept
सममितता केवल यह कहती है कि यदि कोई युग्म संबंध में है तो उसका उल्टा भी होगा। / Symmetry says that if a pair is in the relation, then its reverse is also in it.
Step 2
Why this answer is correct
किसी युग्म के न होने से उल्टे युग्म के बारे में हमेशा निर्णय नहीं मिलता। / From the absence of one pair, we cannot always decide about the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा में दिए गए निहित कथन की दिशा को उल्टा मत करिए। / Do not reverse the direction of an implication without justification.
योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। / The sum is odd when one number is odd and the other is even.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में दो विषम और दो सम संख्याएँ हैं, इसलिए युग्मों की संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। / There are two odd and two even numbers, so the number of pairs is \(2\cdot2+2\cdot2=8\).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में दोनों क्रम अलग-अलग गिने जाते हैं। / In ordered pairs, both orders are counted separately.
A. (R) सममित और संक्रमणीय है/(R) is symmetric and transitive
Step 1
Concept
सम योग का मतलब दोनों संख्याएँ एक ही सम-विषम प्रकार की हैं। / An even sum means the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) एक ही प्रकार के हैं तथा (b) और (c) भी एक ही प्रकार के हैं, तो (a) और (c) भी एक ही प्रकार के होंगे। / If (a) and (b) have the same parity, and (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध सममित भी है और संक्रमणीय भी। / This relation is both symmetric and transitive.
पहले संबंध में हर युग्म का उल्टा है, इसलिए सममित है। / In the first relation, every pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमणीय नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is missing, so it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
सममितता और संक्रमणीयता अलग गुण हैं, इन्हें अलग जाँचें। / Symmetry and transitivity are different properties and must be checked separately.
चार अवयवों पर कुल सममित संबंध \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}\) हैं। / The total number of symmetric relations on four elements is \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / Reflexive and symmetric relations require all four diagonal pairs, leaving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
सममित पर प्रतिवर्ती नहीं संबंधों की संख्या \(2^{10}-2^6\) होगी। / Hence symmetric but not reflexive relations are \(2^{10}-2^6\).
(n) अवयवों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=5) रखने पर घात \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) आती है। / Putting (n=5), the exponent is \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
सूत्र लगाने से पहले यह पहचानें कि प्रश्न सममित संबंधों की गिनती का है। / Identify counting questions on symmetric relations before applying the formula.
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए संबंध सममित है। / In the first option, ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
गुणों को नाम से नहीं, उनकी शर्तों से पहचानें। / Identify properties by their conditions, not by names only.
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\cap R^{-1}=R\cap R=R\)। / Hence \(R\cap R^{-1}=R\cap R=R\).
Step 3
Exam Tip
पहले सममितता से व्युत्क्रम संबंध को सरल करें, फिर समुच्चय क्रिया करें। / First simplify the inverse relation using symmetry, then perform the set operation.
विरोधी उदाहरण लें: (a=2), (b=1)। तब (a+2b=4) सम है, इसलिए \((2,1)\in R\)। / Take a counterexample: (a=2), (b=1). Then (a+2b=4) is even, so \((2,1)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा युग्म ((1,2)) में (1+4=5) विषम है, इसलिए \((1,2)\notin R\)। / For the reverse pair ((1,2)), (1+4=5) is odd, so \((1,2)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
एक विरोधी उदाहरण सममितता को अस्वीकार करने के लिए काफी है। / One counterexample is enough to reject symmetry.
A. क्योंकि दूरी में (d(a,b)=d(b,a)) होता है/Because distance satisfies (d(a,b)=d(b,a))
Step 1
Concept
दूरी फलन में दो बिंदुओं की दूरी दिशा बदलने से नहीं बदलती। / In a distance function, the distance between two points does not change when direction is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (d(a,b)=2), तो (d(b,a)=2) भी होगा। / If (d(a,b)=2), then (d(b,a)=2) also holds.
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित संबंधों में सममितता सामान्यतः दूरी के इसी गुण से आती है। / Distance-based relations are usually symmetric because of this property.
A. हर \(a,b\in A\) के लिए यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)/For all \(a,b\in A\), if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममितता की मूल शर्त हर युग्म के साथ उल्टा युग्म होना है। / The core condition of symmetry is that every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
पहला कथन ठीक यही कहता है। / The first statement says exactly this.
Step 3
Exam Tip
बाकी कथन क्रमशः प्रतिवर्ती, संक्रमणीय और पहचान संबंध जैसी अलग धारणाओं से जुड़े हैं। / The other statements relate to reflexive, transitive, or identity-like ideas.
A. सममित है लेकिन केवल इसी आधार पर तुल्यता सिद्ध नहीं होती/Symmetric but equivalence is not proved by this alone
Step 1
Concept
किसी भी \((a,b) \in R\) के लिए (a+b) सम होता है। / For any \((a,b) \in R\), (a+b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
तब (b+a) भी सम होगा, इसलिए \((b,a) \in R\) होगा। / Since (b+a) has the same value, \((b,a) \in R\) also belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में योग पर बने संबंधों में क्रम बदलने से योग नहीं बदलता, इसलिए सममिति जल्दी जांचें। / In exam questions based on sum conditions, first check whether changing the order changes the condition.
यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4)\}\) है, तो (R) को सममित बनाने के लिए कम से कम कौन-सा क्रमित युग्म जोड़ना होगा?
सममित संबंध में यदि \((a,b) \in R\) हो, तो \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((a,b) \in R\), then \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,1)) दोनों हैं, लेकिन ((2,4)) है और ((4,2)) नहीं है। / ((1,3)) and ((3,1)) are paired, but ((2,4)) is missing its reverse ((4,2)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में हर गैर-समान युग्म का उल्टा युग्म जरूर जाँचें। / In exams, always check the reverse of each unequal ordered pair.
सममित संबंध में \((a,b) \in R\) होने पर \((b,a) \in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, whenever \((a,b) \in R\), \((b,a) \in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां ((2,3)) है, पर ((3,2)) नहीं है। / Here ((2,3)) is present but ((3,2)) is missing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में केवल गायब उल्टे युग्म खोजें, सभी युग्म दोबारा न गिनें। / For such questions, look only for missing reverse pairs instead of recounting all pairs.
यदि समुच्चय में (n) अवयव हों, तो सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / For a set with (n) elements, the number of symmetric relations is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए संख्या \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\) है। / Here (n=3), so the number is \(2^{\frac{3(4)}{2}}=2^6\).
Step 3
Exam Tip
गिनती वाले प्रश्नों में पहले अवयवों की संख्या साफ लिखें। / For counting questions, first write the value of (n) clearly.
विकर्ण के (n) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / The (n) diagonal pairs can be chosen independently.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण से बाहर के (\frac{n(n-1)}{2}) उल्टे युग्मों के जोड़े साथ-साथ चुने जाते हैं या हटते हैं। / The off-diagonal reverse pair groups are (\frac{n(n-1)}{2}), and each group is chosen together or not chosen.
Step 3
Exam Tip
कुल स्वतंत्र चुनाव (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हैं, इसलिए संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) है। / Total independent choices are (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}), so the number is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
सभी स्वतुल्य युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) पहले से अनिवार्य हैं। / The reflexive pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
बचे हुए तीन उल्टे युग्मों के समूह हैं: ((1,2)) के साथ ((2,1)), ((1,3)) के साथ ((3,1)), और ((2,3)) के साथ ((3,2))। / The remaining off-diagonal reverse-pair groups are three.
Step 3
Exam Tip
हर समूह के लिए दो चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^3=8\) संबंध होंगे। / Each group has two choices, so the total number is \(2^3=8\).
A. क्योंकि \((1,2) \in R\), पर \((2,1) \notin R\)/Because \((1,2) \in R\), but \((2,1) \notin R\)
Step 1
Concept
सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every ordered pair to be present.
Step 2
Why this answer is correct
\(1\le2\) इसलिए \((1,2) \in R\), लेकिन \(2\le1\) असत्य है, इसलिए \((2,1) \notin R\)। / Since \(1\le2\), \((1,2) \in R\), but \(2\le1\) is false, so \((2,1) \notin R\).
Step 3
Exam Tip
असममितता दिखाने के लिए केवल एक सही प्रतिउदाहरण काफी होता है। / To disprove symmetry, one valid counterexample is enough.
आव्यूह से सममिति जांचने के लिए मुख्य विकर्ण के आर-पार प्रविष्टियां बराबर होनी चाहिए। / To check symmetry from a matrix, compare entries across the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}\), \(m_{12}=m_{21}\), and \(m_{23}=m_{32}\).
Step 3
Exam Tip
संबंध का आव्यूह अपने परिवर्त के बराबर हो तो संबंध सममित होता है। / If the relation matrix equals its transpose, the relation is symmetric.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=4) रखने पर \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\) मिलता है। / For (n=4), this becomes \(2^{\frac{4(5)}{2}}=2^{10}\).
Step 3
Exam Tip
\(A\times A\) के कुल युग्म और सममित संबंधों की संख्या अलग-अलग होती है, इन्हें न मिलाएँ। / Do not confuse the total number of pairs in \(A\times A\) with the count of symmetric relations.
आव्यूह से संबंध सममित तभी होगा जब आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric if its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=1\) और \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) और \(m_{21}=0\), \(m_{23}=0\) और \(m_{32}=0\) हैं। / Here \(m_{13}=1\) matches \(m_{31}=1\), \(m_{12}=0\) matches \(m_{21}=0\), and \(m_{23}=0\) matches \(m_{32}=0\).
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में \(m_{ij}\) और \(m_{ji}\) की तुलना करें। / In matrix questions, compare \(m_{ij}\) with \(m_{ji}\).
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) है और ((2,3)) के साथ ((3,2)) है, इसलिए सममितता पूरी है। / ((1,2)) has ((2,1)) and ((2,3)) has ((3,2)), so symmetry is satisfied.
Step 2
Why this answer is correct
स्वतुल्य होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए, जो यहाँ नहीं हैं। / Reflexivity would need ((1,1),(2,2),(3,3)), which are missing.
Step 3
Exam Tip
सममित और स्वतुल्य गुणों को अलग-अलग जाँचें। / Check symmetry and reflexivity separately.
विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। / The option contains both ((1,2)) and ((2,1)), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)) for transitivity, which is absent.
Step 3
Exam Tip
सममिति और संक्रामकता अलग गुण हैं; उल्टे युग्म होने से संक्रामकता अपने आप नहीं मिलती। / Symmetry and transitivity are different properties; reverse pairs do not automatically give transitivity.
यदि (x-y) विषम है, तो (y-x=-(x-y)) भी विषम होगा। / If (x-y) is odd, then (y-x=-(x-y)) is also odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((x,y)) होने पर ((y,x)) भी संबंध में होगा। / Hence whenever ((x,y)) is in the relation, ((y,x)) will also be in it.
Step 3
Exam Tip
अंतर वाले नियम में चिन्ह बदलने से सम या विषम होने की प्रकृति नहीं बदलती। / In difference-based parity rules, changing the sign does not change oddness or evenness.
A. \(R\cap S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cap S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b) \in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) सममित हैं, इसलिए ((b,a)) दोनों में होगा और इसीलिए \(R\cap S\) में भी होगा। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so it belongs to \(R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में गुण सिद्ध करते समय युग्म को दोनों संबंधों में अलग-अलग जाँचें। / For intersection proofs, check membership in both relations separately.
यदि (a-b) संख्या (2) से विभाज्य है, तो (b-a=-(a-b)) भी (2) से विभाज्य होगा। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a=-(a-b)) is also divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी संबंध में होगा। / Thus, each pair has its reverse pair.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में ऋण चिह्न सममिति को नहीं बिगाड़ता। / In divisibility-based relations, a negative sign does not break symmetry.
A. \(R\cup S\) हमेशा सममित होगा/\(R\cup S\) will always be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b) \in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b) \in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में ((a,b)) है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी संबंध में होगा और \(R\cup S\) में भी होगा। / The relation containing ((a,b)) is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
संघ में सिद्ध करते समय यह देखें कि युग्म कम से कम एक संबंध में है। / In union proofs, track that the pair belongs to at least one relation.
A. संबंध सममित नहीं है/The relation is not symmetric
Step 1
Concept
संबंध की सममिति का आव्यूह परीक्षण यह है कि \(M=M^T\) होना चाहिए। / The matrix test for symmetry is \(M=M^T\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि आव्यूह सममित नहीं है, तो किसी जगह \(m_{ij}\neq m_{ji}\) होगा। / If the matrix is not symmetric, then for some place \(m_{ij}\neq m_{ji}\).
Step 3
Exam Tip
इसका अर्थ है कि किसी युग्म का उल्टा युग्म अनुपस्थित है, इसलिए संबंध सममित नहीं है। / That means some pair does not have its reverse pair, so the relation is not symmetric.
((1,3)) संबंध में मौजूद है। / The pair ((1,3)) is present in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममितता के लिए इसका उल्टा ((3,1)) भी होना चाहिए, लेकिन यह नहीं है। / Symmetry requires its reverse ((3,1)), but it is missing.
Step 3
Exam Tip
प्रश्न में दिए गए सभी युग्मों को पढ़कर पहले अकेले पड़े युग्म को पहचानें। / While reading the given pairs, first identify any pair whose reverse is absent.
\(T\subseteq R\) होने से (T) के युग्म (R) से आते हैं। / Since \(T\subseteq R\), the pairs of (T) come from (R).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (T) में किसी युग्म का उल्टा युग्म हटाया जा सकता है, इसलिए सममिति टूट सकती है। / But (T) may include a pair while excluding its reverse pair, so symmetry can fail.
Step 3
Exam Tip
सममिति उपसमुच्चय लेने पर हमेशा सुरक्षित नहीं रहती। / Symmetry is not always preserved when taking an arbitrary subset.
A. क्योंकि (4-1=3), लेकिन \(1-4\ne3\)/Because (4-1=3), but \(1-4\ne3\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक युग्म और उसका उल्टा देखें। / To test symmetry, check one pair and its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
((4,1)) संबंध में है क्योंकि (4-1=3), पर ((1,4)) संबंध में नहीं है क्योंकि (1-4=-3)। / ((4,1)) belongs to the relation because (4-1=3), but ((1,4)) does not because (1-4=-3).
Step 3
Exam Tip
निश्चित अंतर वाले संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते। / Relations based on a fixed directed difference are usually not symmetric.
सममित संबंध में \((y,x)\in R\) हो तो \((x,y)\in R\) भी होना चाहिए। / In a symmetric relation, if \((y,x)\in R\), then \((x,y)\in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन प्रश्न में \((x,y)\notin R\) दिया है। / The question states \((x,y)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \((y,x)\in R\) मानना विरोध देगा; अतः \((y,x)\notin R\) निश्चित है। / Therefore, \((y,x)\in R\) would cause a contradiction, so \((y,x)\notin R\).
यदि (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेषफल आता है, तो (b) और (a) के लिए भी वही बात सत्य है। / If (a) and (b) have the same remainder on division by (2), the same statement holds for (b) and (a).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होगा। / Hence ((a,b)) implies ((b,a)).
Step 3
Exam Tip
समानता या समान वर्ग पर आधारित संबंधों में सममितता ध्यान से पहचानें। / Relations based on sameness or common class are good candidates for symmetry.
विकर्ण से बाहर कोई भी युग्म ((a,b)) आने पर उसका उल्टा ((b,a)) भी आता है। / Any off-diagonal pair ((a,b)) must appear with its reverse pair ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए विकर्ण से बाहर के युग्म हमेशा जोड़ों में गिने जाते हैं। / So off-diagonal pairs are counted in pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः उनकी संख्या सम होगी, चाहे कुल युग्मों की संख्या विषम ही क्यों न हो। / Hence, their number must be even, even if the total number of relation pairs is odd.
A. नहीं, क्योंकि \(m_{12}\ne m_{21}\)/No, because \(m_{12}\ne m_{21}\)
Step 1
Concept
आव्यूह से सममितता के लिए \(m_{ij}=m_{ji}\) होना चाहिए। / For symmetry in a relation matrix, we need \(m_{ij}=m_{ji}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{12}=1\) है जबकि \(m_{21}=0\), इसलिए शर्त टूट गई। / Here \(m_{12}=1\) but \(m_{21}=0\), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण देखकर निर्णय न करें, विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाएँ। / Do not decide by the diagonal alone; compare entries on both sides of it.
यदि \(a\cdot b\) सम है, तो \(b\cdot a\) भी वही संख्या होगी। / If \(a\cdot b\) is even, then \(b\cdot a\) is the same product.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होगा। / Hence, \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
गुणन आधारित ऐसे संबंधों में क्रम बदलने से गुणनफल नहीं बदलता, इसलिए सममिति आसानी से सिद्ध होती है। / For product-based relations, changing order does not change the product, which helps prove symmetry.
यदि \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), तो यह युग्म (R) में या \(R^{-1}\) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup R^{-1}\), then the pair is in (R) or in \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थितियों में उल्टा युग्म ((b,a)) दूसरे भाग में मिल जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) is found in the other corresponding part.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) किसी भी संबंध का सममित विस्तार देता है। / Therefore, \(R\cup R^{-1}\) is always a symmetric extension of (R).
\(R^{-1}\) में हर युग्म उल्टा होकर आता है। / \(R^{-1}\) contains the reverse of every pair in (R).
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में हर युग्म का उल्टा पहले से (R) में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / In a symmetric relation, every reverse pair is already in (R), so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता को उल्टे संबंध की भाषा में भी याद रखें। / It is useful to remember symmetry through inverse relations as well.
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\cap R^{-1}=R\cap R\) होगा। / Hence, \(R\cap R^{-1}=R\cap R\).
Step 3
Exam Tip
किसी समुच्चय का स्वयं से प्रतिच्छेद वही समुच्चय होता है, इसलिए उत्तर (R) है। / The intersection of a set with itself is the same set, so the answer is (R).
यदि \((a,b)\in R\), तो (a+b=5) होगा। / If \((a,b)\in R\), then (a+b=5).
Step 2
Why this answer is correct
चूंकि (b+a=5) भी होगा, इसलिए \((b,a)\in R\) होगा। / Since (b+a=5) also holds, \((b,a)\in R\).
Step 3
Exam Tip
स्थिर योग वाले संबंधों में क्रम बदलने पर शर्त नहीं बदलती, इसलिए सममिति मिलती है। / In fixed-sum relations, changing the order does not change the condition, so symmetry holds.
A. \((a,b)\in R\) होने पर \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also be in (R)
Step 1
Concept
सममित संबंध की मुख्य शर्त यही है कि हर युग्म का उल्टा युग्म भी हो। / The main condition for a symmetric relation is that every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिसममित संबंध में उल्टे युग्म साथ आ सकते हैं, पर तभी जब दोनों अवयव समान हों। / In an antisymmetric relation, reverse pairs can occur together only when the two elements are equal.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सममित और प्रतिसममित को नाम से नहीं, उनकी शर्त से अलग करें। / In exams, separate symmetric and antisymmetric relations by their exact conditions, not by their names.
परम मान में (|a-b|=|b-a|) होता है। / For absolute value, (|a-b|=|b-a|).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(|a-b|\le2\), तो \(|b-a|\le2\) भी होगा। / If \(|a-b|\le2\), then \(|b-a|\le2\) also holds.
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले संबंधों में क्रम बदलने पर मान वही रहने की बात याद रखें। / In absolute value relations, swapping the order often keeps the value unchanged.
(4) अवयवों पर स्वतंत्र सममित चुनावों की संख्या (\frac{4(4+1)}{2}=10) है। / For (4) elements, the number of independent symmetric choices is (\frac{4(4+1)}{2}=10).
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) वाले समूह को लेना अनिवार्य है और ((3,4)) वाले समूह को न लेना अनिवार्य है, इसलिए दो चुनाव स्थिर हो गए। / The group containing ((1,2)) is forced to be included, and the group containing ((3,4)) is forced to be excluded, so two choices are fixed.
Step 3
Exam Tip
बचे (8) स्वतंत्र चुनाव हैं, इसलिए कुल \(2^8=256\) नहीं बल्कि ध्यान दें कि ((1,2)) और ((3,4)) दोनों विकर्ण से बाहर के समूह हैं; दो समूह स्थिर होने के बाद (8) चुनाव बचते हैं और संख्या (256) होगी। / The remaining (8) choices give \(2^8=256\).
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) मौजूद हैं। / ((1,2)) is paired with ((2,1)), and ((2,3)) is paired with ((3,2)).
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं ही होते हैं, इसलिए वे सममिति में बाधा नहीं बनते। / Diagonal pairs are their own reverses, so they do not disturb symmetry.
Step 3
Exam Tip
((3,3)) नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता नहीं; लेकिन सममिति निश्चित है। / Since ((3,3)) is missing, reflexivity fails, but symmetry definitely holds.
A. सममित है पर स्वतुल्य नहीं है/It is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((1,3)) के साथ ((3,1)) मौजूद हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((1,3)) has ((3,1)).
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) अपना उल्टा खुद ही है, इसलिए वह समस्या नहीं बनाता। / ((2,2)) is its own reverse, so it creates no issue.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए केवल मौजूद युग्मों के उल्टे जाँचें, अनुपस्थित युग्मों की चिंता न करें। / For symmetry, check reverses of existing pairs only, not pairs that are absent.
