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सममित संबंध में यदि \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी होना चाहिए। / A relation is symmetric if \((a,b)\in R\) implies \((b,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ शर्त (a+b सम है) है और (a+b=b+a), इसलिए उल्टा युग्म भी वही शर्त पूरी करता है। / Here the condition is (a+b is even\(), and (a+b=b+a), so the reverse pair also satisfies it.\)
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में ऐसी शर्तों में जोड़ की क्रम-विनिमेयता तुरंत जाँचें। / In exams, check commutative conditions like addition first.
A. हाँ, सभी अनिवार्य उल्टे युग्म हैं/Yes, all required reverse pairs are present
Step 1
Concept
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और दोनों हैं। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), and both are present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है और दोनों हैं; ((1,1)) अपना ही उल्टा है। / The reverse of ((2,3)) is ((3,2)), and ((1,1)) is its own reverse.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए हर संभव युग्म जरूरी नहीं, केवल लिए गए युग्मों के उल्टे जरूरी हैं। / Symmetry does not require all possible pairs, only reverse pairs of the chosen pairs.
(n) अवयवों वाले समुच्चय पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on a set with (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (n=3), इसलिए घात \(\frac{3\cdot4}{2}=6\) होगी। / For (n=3), the exponent is \(\frac{3\cdot4}{2}=6\).
Step 3
Exam Tip
विकर्ण युग्म अलग-अलग चुने जाते हैं और गैर-विकर्ण युग्म जोड़ों में चुने जाते हैं। / Diagonal pairs are chosen independently, while non-diagonal pairs are chosen in reverse-pair blocks.
चार अवयवों के लिए गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूहों की संख्या \(\frac{4\cdot3}{2}=6\) है। / For four elements, the number of non-diagonal reverse-pair blocks is \(\frac{4\cdot3}{2}=6\).
Step 2
Why this answer is correct
सभी विकर्ण युग्म पहले से अनिवार्य हैं, इसलिए केवल इन छह समूहों को चुनना या छोड़ना है। / All diagonal pairs are compulsory, so only these six blocks can be included or excluded.
Step 3
Exam Tip
जब प्रतिवर्ती और सममित साथ हों तो गिनती में विकर्ण युग्मों को स्वतंत्र मत गिनिए। / When reflexive and symmetric are combined, do not count diagonal choices as free.
कुल विकर्ण स्थान (n) होते हैं और गैर-विकर्ण उल्टे युग्मों के समूह (\frac{n(n-1)}{2}) होते हैं। / There are (n) diagonal positions and (\frac{n(n-1)}{2}) non-diagonal reverse-pair blocks.
Step 2
Why this answer is correct
कुल स्वतंत्र चयन (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}) हो जाते हैं। / Total independent choices become (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों की गिनती करते समय ((a,b)) और ((b,a)) को अलग-अलग स्वतंत्र नहीं गिनना चाहिए। / While counting symmetric relations, do not treat ((a,b)) and ((b,a)) as independent choices.
संबंध सममित तब होता है जब उसका आव्यूह मुख्य विकर्ण के बारे में समान हो। / A relation is symmetric when its matrix is symmetric about the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(m_{13}=m_{31}=1\) और \(m_{24}=m_{42}=1\), बाकी संबंधित स्थान भी समान हैं। / Here \(m_{13}=m_{31}=1\), \(m_{24}=m_{42}=1\), and the other matching positions also agree.
Step 3
Exam Tip
आव्यूह वाले प्रश्न में हमेशा मुख्य विकर्ण के दोनों ओर की प्रविष्टियाँ मिलाइए। / In matrix questions, compare entries across the main diagonal.
व्युत्क्रम संबंध में हर युग्म उलट जाता है। / In an inverse relation, every ordered pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
सममित संबंध में उल्टा युग्म पहले से उसी संबंध में होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\)। / In a symmetric relation, the reversed pair is already in the same relation, so \(R^{-1}=R\).
Step 3
Exam Tip
सममितता और व्युत्क्रम संबंध का संबंध याद रखना बहुत उपयोगी है। / Remembering the link between symmetry and inverse relation saves time in exams.
A. क्योंकि \((1,2)\in R\) पर \((2,1)\notin R\)/Because \((1,2)\in R\) but \((2,1)\notin R\)
Step 1
Concept
सममितता जाँचने के लिए एक ऐसा युग्म खोजें जिसका उल्टा न हो। / To disprove symmetry, find one pair whose reverse is missing.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) में (1<2), इसलिए यह (R) में है; पर (2<1) गलत है, इसलिए ((2,1)) नहीं है। / ((1,2)) is in (R) because (1<2), but ((2,1)) is not because (2<1) is false.
Step 3
Exam Tip
केवल एक विरोधी उदाहरण संबंध को सममित न मानने के लिए पर्याप्त है। / One counterexample is enough to show a relation is not symmetric.
A. (R) सममित और प्रतिवर्ती है/(R) is symmetric and reflexive
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए संबंध प्रतिवर्ती है। / All diagonal pairs ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं तथा विकर्ण युग्म अपने उल्टे स्वयं होते हैं, इसलिए सममित भी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and diagonal pairs are self-reverse, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
एक साथ दो गुण जाँचते समय दोनों की अलग-अलग कसौटी लगाइए। / When two properties are asked together, test both separately.
A. (R) सममित है पर प्रतिवर्ती नहीं है/(R) is symmetric but not reflexive
Step 1
Concept
((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है और ((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है, इसलिए संबंध सममित है। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)), so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1),(2,2),(3,3)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
सममितता के लिए विकर्ण युग्म अनिवार्य नहीं होते। / Diagonal pairs are not compulsory for symmetry alone.
A. \(R\cap S\) सममित होगा/\(R\cap S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cap S\), तो ((a,b)) दोनों (R) और (S) में है। / If \((a,b)\in R\cap S\), then ((a,b)) belongs to both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों सममित हैं, इसलिए ((b,a)) भी दोनों में होगा, अतः \((b,a)\in R\cap S\)। / Since both are symmetric, ((b,a)) belongs to both, so \((b,a)\in R\cap S\).
Step 3
Exam Tip
दो सममित संबंधों का प्रतिच्छेद हमेशा सममित रहता है। / The intersection of two symmetric relations is always symmetric.
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
यदि \((a,b)\in R\cup S\), तो यह (R) या (S) में होगा। / If \((a,b)\in R\cup S\), then it belongs to (R) or (S).
Step 2
Why this answer is correct
जिस संबंध में यह युग्म है, वह सममित है, इसलिए ((b,a)) भी उसी में और फिर \(R\cup S\) में होगा। / The relation containing it is symmetric, so ((b,a)) is also in that relation and hence in \(R\cup S\).
Step 3
Exam Tip
सममित संबंधों का संघ भी सममित रहता है। / The union of symmetric relations is also symmetric.
A. नहीं, क्योंकि (1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं/No, because (1) divides (2) but (2) does not divide (1)
Step 1
Concept
सममितता तोड़ने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove symmetry.
Step 2
Why this answer is correct
(1) संख्या (2) को विभाजित करती है, इसलिए \((1,2)\in R\), पर (2) संख्या (1) को विभाजित नहीं करती। / (1) divides (2), so \((1,2)\in R\), but (2) does not divide (1).
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता संबंध सामान्यतः सममित नहीं होता। / Divisibility relations are generally not symmetric.
शर्त \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\) है। / The condition is \(a+b\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 2
Why this answer is correct
क्योंकि (a+b=b+a), इसलिए \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\) भी होगा। / Since (a+b=b+a), we also get \(b+a\equiv 0 \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
जोड़ पर आधारित सर्वांगसमता में क्रम बदलने से शर्त नहीं बदलती। / Congruence conditions based on addition usually remain unchanged after swapping the order.
सबसे छोटी सममित अधिसंबंध में हर दिए गए युग्म का उल्टा जोड़ते हैं। / The smallest symmetric relation containing (R) is formed by adding the reverse of every given pair.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1),(3,2),(1,3)) तीन नए युग्म जुड़ेंगे, इसलिए कुल (3+3=6) युग्म होंगे। / The new pairs are ((2,1),(3,2),(1,3)), so the total is (3+3=6).
Step 3
Exam Tip
केवल आवश्यक उल्टे युग्म जोड़ें, अतिरिक्त युग्म नहीं। / Add only the required reverse pairs, not extra pairs.
A. क्योंकि इसमें ऐसा कोई युग्म नहीं है जो नियम तोड़े/Because it has no pair that can violate the condition
Step 1
Concept
सममितता तभी टूटती है जब कोई युग्म हो और उसका उल्टा न हो। / Symmetry fails only when a pair is present and its reverse is absent.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए विरोधी उदाहरण नहीं बन सकता। / The empty relation has no pairs, so no counterexample can exist.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध सममित होता है, पर गैर-रिक्त समुच्चय पर प्रतिवर्ती नहीं होता। / The empty relation is symmetric, but it is not reflexive on a non-empty set.
A. कोई निश्चित निष्कर्ष नहीं कि ((q,p)) है या नहीं/No definite conclusion about whether ((q,p)) is present
Step 1
Concept
सममितता केवल यह कहती है कि यदि कोई युग्म संबंध में है तो उसका उल्टा भी होगा। / Symmetry says that if a pair is in the relation, then its reverse is also in it.
Step 2
Why this answer is correct
किसी युग्म के न होने से उल्टे युग्म के बारे में हमेशा निर्णय नहीं मिलता। / From the absence of one pair, we cannot always decide about the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा में दिए गए निहित कथन की दिशा को उल्टा मत करिए। / Do not reverse the direction of an implication without justification.
योग विषम तब होगा जब एक संख्या विषम और दूसरी सम हो। / The sum is odd when one number is odd and the other is even.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में दो विषम और दो सम संख्याएँ हैं, इसलिए युग्मों की संख्या \(2\cdot2+2\cdot2=8\) है। / There are two odd and two even numbers, so the number of pairs is \(2\cdot2+2\cdot2=8\).
Step 3
Exam Tip
क्रमित युग्मों में दोनों क्रम अलग-अलग गिने जाते हैं। / In ordered pairs, both orders are counted separately.
A. (R) सममित और संक्रमणीय है/(R) is symmetric and transitive
Step 1
Concept
सम योग का मतलब दोनों संख्याएँ एक ही सम-विषम प्रकार की हैं। / An even sum means the two numbers have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) और (b) एक ही प्रकार के हैं तथा (b) और (c) भी एक ही प्रकार के हैं, तो (a) और (c) भी एक ही प्रकार के होंगे। / If (a) and (b) have the same parity, and (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
यह संबंध सममित भी है और संक्रमणीय भी। / This relation is both symmetric and transitive.
पहले संबंध में हर युग्म का उल्टा है, इसलिए सममित है। / In the first relation, every pair has its reverse, so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) हैं, पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रमणीय नहीं है। / ((1,2)) and ((2,3)) are present, but ((1,3)) is missing, so it is not transitive.
Step 3
Exam Tip
सममितता और संक्रमणीयता अलग गुण हैं, इन्हें अलग जाँचें। / Symmetry and transitivity are different properties and must be checked separately.
चार अवयवों पर कुल सममित संबंध \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}\) हैं। / The total number of symmetric relations on four elements is \(2^{\frac{4\cdot5}{2}}=2^{10}\).
Step 2
Why this answer is correct
प्रतिवर्ती और सममित संबंधों में सभी (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए संख्या \(2^6\) है। / Reflexive and symmetric relations require all four diagonal pairs, leaving \(2^6\) choices.
Step 3
Exam Tip
सममित पर प्रतिवर्ती नहीं संबंधों की संख्या \(2^{10}-2^6\) होगी। / Hence symmetric but not reflexive relations are \(2^{10}-2^6\).
(n) अवयवों पर सममित संबंधों की संख्या \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होती है। / The number of symmetric relations on (n) elements is \(2^{\frac{n(n+1)}{2}}\).
Step 2
Why this answer is correct
(n=5) रखने पर घात \(\frac{5\cdot6}{2}=15\) आती है। / Putting (n=5), the exponent is \(\frac{5\cdot6}{2}=15\).
Step 3
Exam Tip
सूत्र लगाने से पहले यह पहचानें कि प्रश्न सममित संबंधों की गिनती का है। / Identify counting questions on symmetric relations before applying the formula.
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए संबंध सममित है। / In the first option, ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so the relation is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) और ((2,2)) नहीं हैं, इसलिए प्रतिवर्ती नहीं है। / ((1,1)) and ((2,2)) are missing, so it is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
गुणों को नाम से नहीं, उनकी शर्तों से पहचानें। / Identify properties by their conditions, not by names only.
सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है। / For a symmetric relation, \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(R\cap R^{-1}=R\cap R=R\)। / Hence \(R\cap R^{-1}=R\cap R=R\).
Step 3
Exam Tip
पहले सममितता से व्युत्क्रम संबंध को सरल करें, फिर समुच्चय क्रिया करें। / First simplify the inverse relation using symmetry, then perform the set operation.
विरोधी उदाहरण लें: (a=2), (b=1)। तब (a+2b=4) सम है, इसलिए \((2,1)\in R\)। / Take a counterexample: (a=2), (b=1). Then (a+2b=4) is even, so \((2,1)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टा युग्म ((1,2)) में (1+4=5) विषम है, इसलिए \((1,2)\notin R\)। / For the reverse pair ((1,2)), (1+4=5) is odd, so \((1,2)\notin R\).
Step 3
Exam Tip
एक विरोधी उदाहरण सममितता को अस्वीकार करने के लिए काफी है। / One counterexample is enough to reject symmetry.
A. क्योंकि दूरी में (d(a,b)=d(b,a)) होता है/Because distance satisfies (d(a,b)=d(b,a))
Step 1
Concept
दूरी फलन में दो बिंदुओं की दूरी दिशा बदलने से नहीं बदलती। / In a distance function, the distance between two points does not change when direction is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (d(a,b)=2), तो (d(b,a)=2) भी होगा। / If (d(a,b)=2), then (d(b,a)=2) also holds.
Step 3
Exam Tip
दूरी आधारित संबंधों में सममितता सामान्यतः दूरी के इसी गुण से आती है। / Distance-based relations are usually symmetric because of this property.
A. हर \(a,b\in A\) के लिए यदि \((a,b)\in R\), तो \((b,a)\in R\)/For all \(a,b\in A\), if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
सममितता की मूल शर्त हर युग्म के साथ उल्टा युग्म होना है। / The core condition of symmetry is that every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
पहला कथन ठीक यही कहता है। / The first statement says exactly this.
Step 3
Exam Tip
बाकी कथन क्रमशः प्रतिवर्ती, संक्रमणीय और पहचान संबंध जैसी अलग धारणाओं से जुड़े हैं। / The other statements relate to reflexive, transitive, or identity-like ideas.
