यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(P=\{(1,2),(2,1),(4,4)\}\) है, तो (A) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध (R) होंगे जिनमें \(P\subseteq R\)?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(P=\{(1,2),(2,1),(4,4)\}\), how many reflexive relations (R) on (A) satisfy \(P\subseteq R\)?
#reflexive relation
#counting
#subset condition
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{10}\)
B \(2^{11}\)
C \(2^{12}\)
D \(2^9\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (16) युग्म हैं और परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / \(A\times A\) has 16 pairs, and 4 self-pairs are compulsory in a reflexive relation.
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((4,4)) पहले से अपने-अपने युग्मों में गिना गया है, जबकि ((1,2)) और ((2,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((4,4)) is already counted among self-pairs, while ((1,2)) and ((2,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म (6) हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) होगी। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(P=\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\) है, तो (A) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध (R) होंगे जिनमें \(P\subseteq R\)?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(P=\{(1,3),(3,1),(2,2)\}\), how many reflexive relations (R) on (A) satisfy \(P\subseteq R\)?
#reflexive relation
#counting
#fixed pairs
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{12}\)
B \(2^{10}\)
C \(2^9\)
D \(2^{11}\)
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Correct Answer
B. \(2^{10}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
(P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। / In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है। / So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\).
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यदि (A) में 5 तत्व हैं, तो (A) पर ठीक 8 युग्मों वाले परावर्ती संबंधों की संख्या क्या है?
If (A) has 5 elements, what is the number of reflexive relations on (A) having exactly 8 pairs?
#exact pair count
#reflexive relation
#combinations
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{20}{3}\)
B \(\binom{25}{8}\)
C \(\binom{20}{8}\)
D \(\binom{5}{3}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{20}{3}\)
Step 1
Concept
5 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 5 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 5 elements, 5 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 8 युग्म चाहिए, इसलिए (25-5=20) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 8 total pairs, choose 3 pairs from the (25-5=20) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या \(\binom{20}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{20}{3}\).
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यदि (A) में 6 तत्व हैं, तो (A) पर ठीक 9 युग्मों वाले परावर्ती संबंधों की संख्या क्या होगी?
If (A) has 6 elements, what is the number of reflexive relations on (A) having exactly 9 pairs?
#exact pair count
#reflexive relation
#combinations
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{30}{3}\)
B \(\binom{36}{9}\)
C \(\binom{30}{9}\)
D \(\binom{6}{3}\)
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Correct Answer
A. \(\binom{30}{3}\)
Step 1
Concept
6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / On 6 elements, 6 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। / To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी। / Hence the number is \(\binom{30}{3}\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जो न तो पहचान संबंध हैं और न ही सार्वत्रिक संबंध हैं?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations are neither the identity relation nor the universal relation?
#identity relation
#universal relation
#reflexive counting
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 62
B 63
C 64
D 512
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Step 1
Concept
3 तत्वों पर कुल परावर्ती संबंध \(2^{9-3}=64\) होते हैं। / On 3 elements, the total number of reflexive relations is \(2^{9-3}=64\).
Step 2
Why this answer is correct
इनमें पहचान संबंध एक है और सार्वत्रिक संबंध भी एक अलग संबंध है। / One of them is the identity relation and one is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
दोनों को हटाने पर (64-2=62) संबंध बचते हैं। / Removing both gives (64-2=62).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जो पहचान संबंध नहीं हैं, लेकिन सार्वत्रिक संबंध हो सकते हैं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations are not the identity relation but may be the universal relation?
#identity relation
#reflexive counting
#universal relation
#mcq
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{12}-2\)
B \(2^{12}-1\)
C \(2^{16}-1\)
D \(2^4-1\)
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Correct Answer
B. \(2^{12}-1\)
Step 1
Concept
4 तत्वों पर कुल परावर्ती संबंध \(2^{16-4}=2^{12}\) हैं। / On 4 elements, the total number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध इनमें से ठीक एक है। / The identity relation is exactly one of them.
Step 3
Exam Tip
केवल पहचान संबंध हटाना है, इसलिए संख्या \(2^{12}-1\) है। / Only the identity relation is removed, so the count is \(2^{12}-1\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें कम से कम 6 युग्म हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have at least 6 pairs?
#at least pairs
#counting relations
#reflexive relation
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^{12}-13\)
B \(2^{12}-79\)
C \(2^{16}-13\)
D \(2^{12}\)
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Correct Answer
A. \(2^{12}-13\)
Step 1
Concept
परावर्ती होने से 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं और 12 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं। / Reflexivity fixes 4 self-pairs and leaves 12 non-self pairs free.
Step 2
Why this answer is correct
कम से कम 6 कुल युग्मों के लिए कम से कम 2 गैर-अपने युग्म चुने जाने चाहिए। / At least 6 total pairs means at least 2 non-self pairs must be chosen.
Step 3
Exam Tip
कुल \(2^{12}\) विकल्पों में से 0 या 1 गैर-अपने युग्म वाले (1+12=13) मामले हटेंगे, इसलिए उत्तर \(2^{12}-13\) है। / From \(2^{12}\), subtract cases with 0 or 1 non-self pair: (1+12=13), so the answer is \(2^{12}-13\).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें अधिकतम 6 युग्म हों?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), how many reflexive relations have at most 6 pairs?
#at most pairs
#reflexive relation
#counting
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 79
B 13
C 66
D \(2^{12}-79\)
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Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / Four self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
अधिकतम 6 कुल युग्मों का अर्थ है कि 12 गैर-अपने युग्मों में से 0, 1, या 2 युग्म चुने जा सकते हैं। / At most 6 total pairs means choosing 0, 1, or 2 pairs from the 12 non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संख्या \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\) है। / The count is \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें ((1,2)) और ((2,1)) में से ठीक एक युग्म शामिल हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations contain exactly one of the pairs ((1,2)) and ((2,1))?
#exactly one pair
#reflexive relation
#ordered pairs
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 32
B 16
C 48
D 64
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Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / The 3 self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) में से ठीक एक चुनने के 2 तरीके हैं। / Exactly one of ((1,2)) and ((2,1)) can be chosen in 2 ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2\times2^4=32\) है। / The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(2\times2^4=32\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें ((1,2)), ((2,3)), ((3,1)) में से ठीक एक युग्म शामिल हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations contain exactly one of ((1,2)), ((2,3)), and ((3,1))?
#exactly one
#reflexive relation
#ordered pairs
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 12
B 24
C 8
D 16
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Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। / The 3 self-pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए 3 गैर-अपने युग्मों में से ठीक 1 चुनने के \(\binom{3}{1}=3\) तरीके हैं। / Choose exactly 1 of the given 3 non-self pairs in \(\binom{3}{1}=3\) ways.
Step 3
Exam Tip
बाकी 3 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^3=24\) है। / The remaining 3 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^3=24\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(S\subseteq A\times A\) में कोई भी अपने-अपने युग्म नहीं है, तो (R-S) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(S\subseteq A\times A\) has no self-pair, which statement about (R-S) is correct?
#difference of relations
#self pairs
#reflexive property
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R-S) परावर्ती है / (R-S) is reflexive
B (R-S) कभी संबंध नहीं होता / (R-S) is never a relation
C (R-S) परावर्ती नहीं हो सकता / (R-S) cannot be reflexive
D (R-S) हमेशा रिक्त होता है / (R-S) is always empty
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Correct Answer
A. (R-S) परावर्ती है / (R-S) is reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी अपने-अपने युग्म मौजूद हैं। / (R) is reflexive, so it contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(S) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है, इसलिए घटाने पर जरूरी युग्म नहीं हटेंगे। / (S) has no self-pair, so subtracting (S) will not remove the required pairs.
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म बचे रहेंगे, इसलिए (R-S) परावर्ती होगा। / All self-pairs remain, hence (R-S) is reflexive.
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यदि (A) अरिक्त है और (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(A\times A-R\) के बारे में कौन सा कथन सही है?
If (A) is non-empty and (R) is reflexive on (A), which statement about \(A\times A-R\) is correct?
#complement relation
#not reflexive
#non empty set
#mcq
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा परावर्ती है / It is always reflexive
B यह परावर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
C यह हमेशा पहचान संबंध है / It is always the identity relation
D यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. यह परावर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A-R\) में (R) के सभी युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट जाते हैं। / In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so the self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता। / On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive.
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यदि (A) अरिक्त है और (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(A\times A-R\) के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?
If (A) is non-empty and (R) is reflexive on (A), what is the correct conclusion about \(A\times A-R\)?
#complement relation
#not reflexive
#non empty set
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह परावर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
B यह हमेशा परावर्ती होगा / It will always be reflexive
C यह हमेशा (R) के बराबर होगा / It will always be equal to (R)
D यह हमेशा पहचान संबंध होगा / It will always be the identity relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह परावर्ती नहीं हो सकता / It cannot be reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती (R) में हर ((a,a)) मौजूद होता है। / A reflexive (R) contains every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A-R\) में (R) के युग्म हटा दिए जाते हैं, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म हट जाते हैं। / In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so all self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता। / On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R^{-1}\cap R\) के बारे में निश्चित रूप से क्या कहा जा सकता है?
If (R) is reflexive on (A), what can certainly be said about \(R^{-1}\cap R\)?
#inverse relation
#intersection
#reflexive symmetric
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
B यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह हमेशा सार्वत्रिक संबंध है / It is always the universal relation
D यह हमेशा रिक्त संबंध है / It is always the empty relation
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Correct Answer
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। / Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in it.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) का व्युत्क्रम भी ((a,a)) है, इसलिए ये युग्म \(R^{-1}\) में भी हैं। / The inverse of ((a,a)) is also ((a,a)), so these pairs are in \(R^{-1}\) too.
Step 3
Exam Tip
प्रतिच्छेद में सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे और \(R^{-1}\cap R\) सममित भी होगा। / The intersection keeps all self-pairs and \(R^{-1}\cap R\) is also symmetric.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R^{-1}\) के परावर्ती होने का सही कारण क्या है?
If (R) is reflexive on (A), what is the correct reason that \(R^{-1}\) is reflexive?
#inverse relation
#reflexive relation
#property
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((a,a)) का व्युत्क्रम फिर ((a,a)) ही होता है / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a))
B हर व्युत्क्रम संबंध सार्वत्रिक होता है / Every inverse relation is universal
C व्युत्क्रम लेने पर सभी युग्म हट जाते हैं / All pairs are removed when inverse is taken
D परावर्ती संबंध का व्युत्क्रम रिक्त होता है / The inverse of a reflexive relation is empty
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Correct Answer
A. ((a,a)) का व्युत्क्रम फिर ((a,a)) ही होता है / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a))
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। / Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) को उलटने पर वही ((a,a)) मिलता है। / Reversing ((a,a)) gives the same pair ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी अपने-अपने युग्म \(R^{-1}\) में भी होंगे। / Hence all self-pairs are also in \(R^{-1}\).
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर परावर्ती संबंध हैं, तो \(S\circ R\) के परावर्ती होने का मुख्य कारण क्या है?
If (R) and (S) are both reflexive relations on (A), what is the main reason that \(S\circ R\) is reflexive?
#composition
#reflexive relation
#proof idea
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है / The middle element (a) can be taken for every (a)
B संयोजन हमेशा सार्वत्रिक होता है / Composition is always universal
C संयोजन में केवल गैर-अपने युग्म रहते हैं / Only non-self pairs remain in composition
D परावर्ती संबंधों का संयोजन रिक्त होता है / The composition of reflexive relations is empty
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Correct Answer
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है / The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
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यदि (R) और (S) दोनों (A) पर परावर्ती हैं, तो \(S\circ R\) के परावर्ती होने में कौन सा मध्य तत्व काम करता है?
If (R) and (S) are both reflexive on (A), which middle element works to show \(S\circ R\) is reflexive?
#composition of relations
#reflexive property
#advanced
#hard
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? Hint Small clue
A वही तत्व (a) / The same element (a)
B कोई बाहरी तत्व / An outside element
C हमेशा पहला तत्व (1) / Always the first element (1)
D कोई मध्य तत्व नहीं चाहिए / No middle element is needed
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Correct Answer
A. वही तत्व (a) / The same element (a)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। / Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
(S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। / Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती और सममित है तथा (R) में कुल 12 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and symmetric and has 12 total pairs. How many such relations are possible?
#reflexive symmetric
#total pairs
#combinations
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 20
B 15
C 6
D 64
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Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 12 युग्मों के लिए 8 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 4 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में चुनी जाएंगी। / For 12 total pairs, 8 non-self pairs are needed, meaning 4 unordered pairs are chosen in both directions.
Step 3
Exam Tip
6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 4 चुनने के \(\binom{6}{4}=15\) तरीके हैं। / Choose 4 of the 6 unordered pairs in \(\binom{6}{4}=15\) ways.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर (R) परावर्ती और सममित है तथा इसमें कुल 7 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), (R) is reflexive and symmetric and has total 7 pairs. How many such relations are possible?
#reflexive symmetric
#total pairs
#counting
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 3
B 6
C 1
D 8
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
परावर्ती होने से 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the 3 self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 7 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में ली जाएंगी। / To have 7 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are taken in both directions.
Step 3
Exam Tip
3 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं। / Choose 2 of the 3 unordered pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways.
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\(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{4}\)}) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{4}\)}). How many total pairs will (R) have?
#modulo relation
#pair count
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 16
B 8
C 24
D 32
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Step 1
Concept
(4) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), ({4,8}) हैं। / The equal-remainder groups modulo 4 are ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), and ({4,8}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर \(2^2=4\) युग्म बनते हैं। / Each group gives \(2^2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+4=16) युग्म होंगे और सभी अपने-अपने युग्म शामिल हैं। / Total pairs are (4+4+4+4=16), including all self-pairs.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती और सममित है तथा इसमें कुल 8 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या होगी?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and symmetric and has total 8 pairs. How many such relations are possible?
#reflexive symmetric
#exact size
#combination
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 15
B 6
C 12
D 20
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Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed by reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 8 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में शामिल होंगी। / For 8 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are included in both directions.
Step 3
Exam Tip
6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं। / Choose 2 of the 6 unordered pairs, giving \(\binom{6}{2}=15\).
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\(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{6}\)}) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{6}\)}). How many total pairs are in (R)?
#square congruence
#modulo six
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 12
B 10
C 18
D 36
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Step 1
Concept
वर्ग शेषफल देखें: ({0}) का शेषफल 0, ({1,5}) का शेषफल 1, ({2,4}) का शेषफल 4, और ({3}) का शेषफल 3 है। / Square remainders are grouped as ({0}) with remainder 0, ({1,5}) with remainder 1, ({2,4}) with remainder 4, and ({3}) with remainder 3.
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग शेषफल वाले समूहों के अंदर युग्म बनेंगे। / Ordered pairs are formed within equal square-remainder groups.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\) नहीं, ध्यान से जोड़ने पर (1+4+4+1=10) है, इसलिए सही संख्या 10 है। / The total is \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\).
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\(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{6}\)}) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{6}\)}). How many total pairs will (R) have?
#square congruence
#modulo six
#pair count
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 12
B 10
C 18
D 36
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Step 1
Concept
वर्ग शेषफल के समूह ({0}), ({1,5}), ({2,4}), और ({3}) हैं। / The square-remainder groups are ({0}), ({1,5}), ({2,4}), and ({3}).
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग शेषफल वाले समूहों के अंदर ही युग्म बनेंगे। / Pairs are formed only within equal square-remainder groups.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\) होंगे। / Total pairs are \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\).
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\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a\equiv b \pmod{3}\)}). How many total pairs will (R) have?
#congruence modulo
#pair count
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A 12
B 6
C 18
D 36
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Step 1
Concept
(3) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,4}), ({2,5}), ({3,6}) बनते हैं। / The equal-remainder groups modulo 3 are ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर समूह के अंदर ही युग्म बनेंगे, इसलिए प्रत्येक समूह \(2^2=4\) युग्म देगा। / Pairs are formed only within each group, so each group gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे और यह संबंध परावर्ती भी है। / Total pairs are (4+4+4=12), and the relation is reflexive.
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समुच्चय \(S=\{1,2,3,4\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। इस संबंध में परावर्ती युग्मों की संख्या कितनी है?
On the power set of \(S=\{1,2,3,4\}\), (XRY) when \(X\subseteq Y\). How many reflexive pairs are in this relation?
#power set
#self pairs
#reflexive relation
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
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A 16
B 4
C 64
D 81
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Step 1
Concept
घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होते हैं। / The power set has \(2^4=16\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती युग्म हर तत्व (X) के लिए ((X,X)) होता है। / A reflexive pair is ((X,X)) for each element (X) of the power set.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परावर्ती युग्मों की संख्या घात समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर 16 है। / Hence the number of reflexive pairs is 16.
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\(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)}) है। (R) में कुल कितने युग्म हैं?
On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (R={(a,b):\(a^2\equiv b^2 \pmod{5}\)}). How many total pairs are in (R)?
#square congruence
#modulo five
#reflexive relation
#mcq
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 9
B 5
C 13
D 25
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Step 1
Concept
वर्ग शेषफलों से समूह ({0}), ({1,4}), और ({2,3}) बनते हैं। / Square remainders form the groups ({0}), ({1,4}), and ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
समान वर्ग शेषफल वाले तत्वों के बीच युग्म बनेंगे। / Pairs are formed between elements with the same square remainder.
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2=9\) होंगे। / Total pairs are \(1^2+2^2+2^2=9\).
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समुच्चय \(S=\{1,2,3,4\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। इस संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On the power set of \(S=\{1,2,3,4\}\), (XRY) when \(X\subseteq Y\). How many total pairs will this relation have?
#power set
#subset relation
#total pairs
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 64
B 81
C 16
D 256
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Step 1
Concept
\(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
केवल (X) में होना संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे। / For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\).
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\(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):|a|=|b|\}\) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):|a|=|b|\}\). How many total pairs will (R) have?
#absolute value relation
#pair counting
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A 13
B 7
C 12
D 49
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
समान परिमाण के समूह ({-3,3}), ({-2,2}), ({-1,1}), और ({0}) हैं। / The equal absolute value groups are ({-3,3}), ({-2,2}), ({-1,1}), and ({0}).
Step 2
Why this answer is correct
पहले तीन समूह \(2^2\) युग्म देते हैं और ({0}) एक युग्म देता है। / The first three groups give \(2^2\) pairs each, and ({0}) gives one pair.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4+1=13) युग्म हैं। / Total pairs are (4+4+4+1=13).
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\(A=\{2,4,6,8\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम मान क्या है?
On \(A=\{2,4,6,8\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\). What is the minimum value of (k) for (R) to be reflexive?
#parameter
#sum inequality
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 12
B 14
C 16
D 8
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Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर ((a,a)) नियम पूरा करे। / For reflexivity, every ((a,a)) must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने योग (4,8,12,16) हैं। / The self-sums are (4,8,12,16).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ा अपने-अपने योग 16 है, इसलिए न्यूनतम (k=16) होगा। / The largest self-sum is 16, so the minimum (k) is 16.
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\(A=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर \(R={(a,b):a\) (b) का भाजक है(}) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,6,12\}\), \(R={(a,b):a\) is a divisor of (b)(}). How many total pairs will (R) have?
#divisor relation
#pair count
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 18
B 12
C 15
D 21
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Step 1
Concept
हर दूसरे घटक (b) के लिए (A) में मौजूद भाजक गिनें। / For each second component (b), count the divisors present in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,3,4,6,12) के लिए गिनतियां (1,2,2,3,4,6) हैं। / For (1,2,3,4,6,12), the counts are (1,2,2,3,4,6).
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (1+2+2+3+4+6=18) हैं और सभी अपने-अपने युग्म इसमें आते हैं। / Total pairs are (1+2+2+3+4+6=18), including all self-pairs.
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\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2<k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम पूर्णांक मान क्या है?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2<k\}\). What is the minimum integer value of (k) for (R) to be reflexive?
#strict inequality
#quadratic relation
#parameter
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 8
B 9
C 5
D 4
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Step 1
Concept
अपने-अपने युग्मों के लिए \(a^2+a^2=2a^2\) देखना होगा। / For self-pairs, check \(a^2+a^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे बड़ा मान \(a=\pm2\) पर \(2\cdot4=8\) है। / The largest value occurs at \(a=\pm2\), giving \(2\cdot4=8\).
Step 3
Exam Tip
नियम कठोर है, इसलिए (8<k) चाहिए और न्यूनतम पूर्णांक (k=9) है। / The inequality is strict, so (8<k) is needed, and the minimum integer value is (k=9).
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subseteq Y\)। इस संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?
On the power set of \(S=\{1,2,3\}\), (XRY) when \(X\subseteq Y\). How many total pairs will this relation have?
#power set
#subset relation
#pair count
#reflexive relation
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 27
B 8
C 16
D 64
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
हर मूल तत्व के लिए तीन स्थितियां संभव हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। / For each basic element, there are three possibilities: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
\(X\subseteq Y\) होने पर केवल (X) में होने की स्थिति संभव नहीं है। / Being in (X) only is not allowed because \(X\subseteq Y\).
Step 3
Exam Tip
3 मूल तत्वों के लिए \(3^3=27\) युग्म बनते हैं और संबंध परावर्ती है। / For 3 basic elements, this gives \(3^3=27\) pairs, and the relation is reflexive.
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\(A=\{1,2,4,8,16\}\) पर \(R={(a,b):a\) (b) का भाजक है(}) है। (R) में कुल कितने युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,4,8,16\}\), \(R={(a,b):a\) is a divisor of (b)(}). How many total pairs will (R) have?
#divisor relation
#pair count
#reflexive relation
#mcq
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 10
B 15
C 20
D 25
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Step 1
Concept
प्रत्येक दूसरे घटक के लिए (A) में मौजूद भाजक गिनें। / Count the divisors present in (A) for each second component.
Step 2
Why this answer is correct
(1,2,4,8,16) के लिए गिनतियां क्रमशः (1,2,3,4,5) हैं। / For (1,2,4,8,16), the counts are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (1+2+3+4+5=15) होंगे। / The total number of pairs is (1+2+3+4+5=15).
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समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के घात समुच्चय पर (XRY) जब \(X\subset Y\)। (R) को परावर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On the power set of \(S=\{1,2,3\}\), (XRY) when \(X\subset Y\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#proper subset
#power set
#make reflexive
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 8
B 7
C 27
D 1
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Step 1
Concept
घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। / The power set has \(2^3=8\) elements.
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। / In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे। / To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added.
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\(A=\{-4,-2,0,2,4\}\) पर \(R=\{(a,b):|a|=|b|\}\) है। (R) में गैर-अपने युग्मों की संख्या कितनी है?
On \(A=\{-4,-2,0,2,4\}\), \(R=\{(a,b):|a|=|b|\}\). How many non-self pairs are in (R)?
#absolute value
#non self pairs
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 2
B 4
C 5
D 9
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Step 1
Concept
समान परिमाण के समूह ({-4,4}), ({-2,2}), और ({0}) हैं। / The equal absolute value groups are ({-4,4}), ({-2,2}), and ({0}).
Step 2
Why this answer is correct
कुल युग्म \(2^2+2^2+1^2=9\) हैं। / Total pairs are \(2^2+2^2+1^2=9\).
Step 3
Exam Tip
इनमें 5 अपने-अपने युग्म हैं, इसलिए गैर-अपने युग्म (9-5=4) हैं। / Since 5 are self-pairs, the number of non-self pairs is (9-5=4).
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम मान क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\le k\}\). What is the minimum value of (k) for (R) to be reflexive?
#parameter
#sum inequality
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 8
B 6
C 7
D 4
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए सभी अपने-अपने युग्म नियम में आने चाहिए। / For reflexivity, all self-pairs must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
अपने-अपने योग (2,4,6,8) हैं और सबसे बड़ा योग 8 है। / The self-sums are (2,4,6,8), and the largest is 8.
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म शामिल करने के लिए \(k\ge8\) चाहिए, इसलिए न्यूनतम मान 8 है। / To include all self-pairs, \(k\ge8\), so the minimum value is 8.
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(I_A\) पहचान संबंध है, तो \(R\cup I_A\) के बारे में क्या सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(I_A\) is the identity relation, what is correct about \(R\cup I_A\)?
#identity relation
#union
#reflexive relation
#class 12
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
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A यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
B यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
C यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
D यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
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Correct Answer
B. यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए \(I_A\subseteq R\) है। / Since (R) is reflexive, \(I_A\subseteq R\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी समुच्चय में उसका उपसमुच्चय मिलाने पर वही बड़ा समुच्चय रहता है। / The union of a set with its subset is the larger set itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup I_A=R\) होगा। / Therefore \(R\cup I_A=R\).
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\(A=\{1,3,5\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b<k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम पूर्णांक मान क्या है?
On \(A=\{1,3,5\}\), \(R=\{(a,b):a+b<k\}\). What is the minimum integer value of (k) for (R) to be reflexive?
#strict inequality
#parameter
#reflexive relation
#mcq
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 11
B 10
C 12
D 6
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अपने-अपने युग्मों के योग (2,6,10) हैं। / The self-pair sums are (2,6,10).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (a+b<k) कठोर है, इसलिए सबसे बड़े योग 10 को भी (k) से छोटा होना चाहिए। / The condition (a+b<k) is strict, so even the largest sum 10 must be less than (k).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम पूर्णांक (k=11) होगा। / The minimum integer value is (k=11).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है और \(I_A\) पहचान संबंध है, तो \(R\cap I_A\) के बारे में क्या सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(I_A\) is the identity relation, what is correct about \(R\cap I_A\)?
#identity relation
#intersection
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा (R) के बराबर है / It is always equal to (R)
B यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
C यह हमेशा रिक्त है / It is always empty
D यह कभी परावर्ती नहीं है / It is never reflexive
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Correct Answer
B. यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है / It is always equal to \(I_A\)
Step 1
Concept
परावर्ती (R) में पहचान संबंध \(I_A\) पूरा शामिल होता है। / A reflexive (R) contains the whole identity relation \(I_A\).
Step 2
Why this answer is correct
\(I_A\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल वही अपने-अपने युग्म बचते हैं। / Intersecting with \(I_A\) keeps exactly those self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cap I_A=I_A\) है। / Therefore \(R\cap I_A=I_A\).
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\(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|<k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) पर कौन सी शर्त आवश्यक और पर्याप्त है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|<k\}\). Which condition on (k) is necessary and sufficient for (R) to be reflexive?
#absolute value
#strict condition
#parameter
#reflexive relation
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (k>0)
B \(k\ge0\)
C \(k\ge2\)
D (k<0)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
अपने-अपने युग्म के लिए (|a-a|=0) होता है। / For a self-pair, (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
नियम (|a-b|<k) में अपने-अपने युग्म के लिए (0<k) चाहिए। / In the rule (|a-b|<k), a self-pair needs (0<k).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त (k>0) है। / Therefore the necessary and sufficient condition is (k>0).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है। \(R\circ R\) में कौन सा युग्म अनिवार्य रूप से मिलेगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\). Which pair must appear in \(R\circ R\)?
#composition
#required pair
#reflexive relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((3,1))
B ((1,3))
C ((2,1))
D ((3,2))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. ((1,3))
Step 1
Concept
संयोजन में ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़ा जा सकता है क्योंकि बीच का तत्व 2 समान है। / In composition, ((1,2)) and ((2,3)) can be joined because the middle element 2 matches.
Step 2
Why this answer is correct
इनसे ((1,3)) \(R\circ R\) में आता है। / They produce ((1,3)) in \(R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्नों में लगातार जुड़ने वाले युग्मों को पहले देखें। / In composition questions, first look for consecutive connectable pairs.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2\le k\}\) है। पूरे \(\mathbb{R}\) पर (R) के परावर्ती होने के बारे में सही कथन क्या है?
On real numbers, \(R=\{(a,b):a^2+b^2\le k\}\). Which statement is correct about (R) being reflexive on all of \(\mathbb{R}\)?
#real numbers
#parameter bound
#not reflexive
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A किसी भी वास्तविक (k) के लिए परावर्ती नहीं / Not reflexive for any real (k)
B \(k\ge0\) होने पर परावर्ती / Reflexive when \(k\ge0\)
C \(k\ge1\) होने पर परावर्ती / Reflexive when \(k\ge1\)
D हर (k) के लिए परावर्ती / Reflexive for every (k)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. किसी भी वास्तविक (k) के लिए परावर्ती नहीं / Not reflexive for any real (k)
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर वास्तविक (a) पर ((a,a)) नियम पूरा करे। / Reflexivity requires ((a,a)) to satisfy the rule for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2+a^2=2a^2\le k\) हर वास्तविक (a) के लिए चाहिए। / This means \(2a^2\le k\) for every real (a).
Step 3
Exam Tip
(a) बहुत बड़ा हो सकता है, इसलिए कोई स्थिर वास्तविक (k) सभी मानों के लिए पर्याप्त नहीं है। / Since (a) can be arbitrarily large, no fixed real (k) can work.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती है और (R) में ठीक 7 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive and has exactly 7 pairs. How many such relations are possible?
#exact size
#reflexive relation
#combination
#mcq
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{12}{3}\)
B \(\binom{16}{7}\)
C \(\binom{12}{7}\)
D \(\binom{4}{3}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{12}{3}\)
Step 1
Concept
4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 4 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 7 युग्मों के लिए (7-4=3) गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। / To have 7 total pairs, choose (7-4=3) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
गैर-अपने युग्म 12 हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है। / There are 12 non-self pairs, so the count is \(\binom{12}{3}\).
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\(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2\le k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का न्यूनतम मान क्या है?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2\le k\}\). What is the minimum value of (k) for (R) to be reflexive?
#finite set
#parameter
#quadratic relation
#reflexive
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 2
B 1
C 0
D 4
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Step 1
Concept
अपने-अपने युग्मों के लिए \(a^2+a^2=2a^2\) जांचें। / For self-pairs, check \(a^2+a^2=2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
(a=-1,0,1) पर मान (2,0,2) मिलते हैं। / For (a=-1,0,1), the values are (2,0,2).
Step 3
Exam Tip
सबसे बड़ा मान 2 है, इसलिए न्यूनतम (k=2) होगा। / The largest value is 2, so the minimum (k) is 2.
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे परावर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें ठीक (n+3) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, what is the number of reflexive relations having exactly (n+3) pairs?
#general formula
#reflexive relation
#exact pairs
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{n^2-n}{3}\)
B \(\binom{n^2}{3}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(n^2-n\)
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Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{3}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+3) युग्मों के लिए 3 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चाहिए। / To have exactly (n+3) pairs, 3 additional non-self pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
\(n^2-n\) गैर-अपने युग्मों में से 3 चुनने होंगे, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{3}\) है। / Choose 3 from \(n^2-n\) non-self pairs, so the count is \(\binom{n^2-n}{3}\).
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\ge k\}\) है। (R) के परावर्ती होने के लिए (k) का अधिकतम मान क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab\ge k\}\). What is the maximum value of (k) for (R) to be reflexive?
#product inequality
#parameter
#reflexive relation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 1
B 3
C 6
D 9
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Step 1
Concept
अपने-अपने युग्मों के लिए गुणनफल \(a^2\) होगा। / For self-pairs, the product is \(a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(1^2,2^2,3^2\) के मान (1,4,9) हैं। / The values \(1^2,2^2,3^2\) are (1,4,9).
Step 3
Exam Tip
सभी अपने-अपने युग्म शामिल करने के लिए (k) सबसे छोटे मान 1 से अधिक नहीं हो सकता। / To include all self-pairs, (k) cannot exceed the smallest value, 1.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे कितने परावर्ती संबंध हैं जिनमें ((1,2)) होने पर ((2,1)) नहीं हो?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations satisfy that if ((1,2)) is present then ((2,1)) is absent?
#conditional counting
#reflexive relation
#ordered pairs
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 48
B 32
C 16
D 64
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Step 1
Concept
3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। / The 3 self-pairs are fixed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2),(2,1)) के लिए मान्य चुनाव हैं: कोई नहीं, केवल ((1,2)), या केवल ((2,1)); दोनों साथ नहीं हो सकते। / For ((1,2),(2,1)), valid choices are neither, only ((1,2)), or only ((2,1)); both together are not allowed.
Step 3
Exam Tip
बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^4=48\) है। / The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^4=48\).
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यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो ऐसे परावर्ती संबंधों की संख्या क्या है जिनमें ठीक (n+2) युग्म हों?
If (A) has (n) elements, what is the number of reflexive relations having exactly (n+2) pairs?
#general formula
#exact size
#reflexive relation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\binom{n^2-n}{2}\)
B \(\binom{n^2}{2}\)
C \(2^{n^2-n}\)
D (n+2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(\binom{n^2-n}{2}\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। / A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
ठीक (n+2) युग्मों के लिए 2 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। / To have exactly (n+2) pairs, choose 2 additional non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
गैर-अपने युग्म \(n^2-n\) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) होगी। / There are \(n^2-n\) non-self pairs, so the number is \(\binom{n^2-n}{2}\).
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यदि (R) (A) पर परावर्ती है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is reflexive on (A), which statement about \(R\cup R^{-1}\) is always true?
#union inverse
#reflexive symmetric
#relation property
#class 12
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
B यह परावर्ती नहीं है / It is not reflexive
C यह हमेशा पहचान संबंध है / It is always the identity relation
D यह हमेशा \(A\times A\) है / It is always \(A\times A\)
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Correct Answer
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है / It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं, इसलिए वे संघ में भी रहेंगे। / (R) contains all self-pairs, so they remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup R^{-1}\) में किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा भी आ जाता है। / In \(R\cup R^{-1}\), every pair appears with its reverse.
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह संबंध परावर्ती और सममित दोनों होता है। / Therefore the relation is both reflexive and symmetric.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर (R) परावर्ती है। यदि (R) में ((1,2)) और ((2,3)) हैं, तो \(R\circ R\) में कौन सा युग्म अनिवार्य होगा?
On \(A=\{1,2,3\}\), (R) is reflexive. If (R) contains ((1,2)) and ((2,3)), which pair must be in \(R\circ R\)?
#composition
#required pair
#reflexive relation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,3))
B ((3,1))
C ((2,1))
D ((3,2))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
संयोजन में ((1,2)) और ((2,3)) को मध्य तत्व (2) के माध्यम से जोड़ा जाता है। / In composition, ((1,2)) and ((2,3)) connect through the middle element 2.
Step 2
Why this answer is correct
इससे ((1,3)) \(R\circ R\) में आएगा। / This forces ((1,3)) to belong to \(R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
संयोजन वाले प्रश्न में पहले लगातार जुड़ने वाले युग्मों को पहचानें। / In composition questions, first identify pairs that connect consecutively.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) परावर्ती है। यदि \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), तो (S) के बारे में कौन सा निष्कर्ष निश्चित है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (R) is reflexive. If \(R\subseteq S\subseteq A\times A\), what conclusion about (S) is certain?
#super relation
#reflexive guarantee
#subset condition
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (S) परावर्ती है / (S) is reflexive
B (S) परावर्ती नहीं है / (S) is not reflexive
C (S) पहचान संबंध है / (S) is the identity relation
D (S) रिक्त संबंध है / (S) is the empty relation
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Correct Answer
A. (S) परावर्ती है / (S) is reflexive
Step 1
Concept
(R) परावर्ती है, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म (R) में हैं। / Since (R) is reflexive, all self-pairs are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
\(R\subseteq S\) होने से वे सभी अपने-अपने युग्म (S) में भी होंगे। / Because \(R\subseteq S\), all those self-pairs are also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (S) निश्चित रूप से परावर्ती है। / Therefore (S) is definitely reflexive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,1)\}\) दिया है। इसे स्ववाची बनाने के लिए कम से कम कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?
On the set \(A=\{1,2,3\}\), the relation \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(3,1)\}\) is given. Which pair must be added at minimum to make it reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#closure
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A केवल ((1,3)) / Only ((1,3))
B केवल ((3,3)) / Only ((3,3))
C केवल ((2,3)) / Only ((2,3))
D कोई युग्म नहीं / No pair
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Correct Answer
B. केवल ((3,3)) / Only ((3,3))
Step 1
Concept
स्ववाची संबंध में हर \(a \in A\) के लिए ((a,a)) होना चाहिए। / A relation is reflexive when every \(a \in A\) has ((a,a)) in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,1)) और ((2,2)) हैं लेकिन ((3,3)) नहीं है। / ((1,1)) and ((2,2)) are present but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले विकर्ण युग्म जाँचें। / In exams, check diagonal pairs first.
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यदि किसी समुच्चय (A) में (4) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितने स्ववाची संबंध बन सकते हैं?
If a set (A) has (4) elements, how many reflexive relations can be formed on (A)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#counting
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(2^4=16\)
B \(2^8=256\)
C \(2^{12}=4096\)
D \(2^{16}=65536\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(2^{12}=4096\)
Step 1
Concept
(4) अवयवों पर कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) होते हैं। / With (4) elements, there are \(4^2=16\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
स्ववाची होने के लिए (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए बाकी (16-4=12) युग्म स्वतंत्र हैं। / The (4) diagonal pairs are compulsory, so (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(2^{n^2-n}\) से जल्दी मिलती है। / Use \(2^{n^2-n}\) for quick counting.
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यदि (A) में (5) अवयव हैं, तो ऐसे स्ववाची संबंधों की संख्या कितनी होगी जिनमें विकर्ण युग्मों के अलावा ठीक (3) और युग्म हों?
If (A) has (5) elements, how many reflexive relations have exactly (3) additional pairs apart from the diagonal pairs?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#combinations
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(^{20}C_2\)
B \(^{15}C_3\)
C \(^{20}C_3\)
D \(^{25}C_3\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. \(^{20}C_3\)
Step 1
Concept
कुल युग्म \(5^2=25\) हैं और (5) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / There are \(5^2=25\) total pairs and (5) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (25-5=20) युग्म हैं, जिनमें से ठीक (3) चुनने हैं। / There are (25-5=20) non-diagonal pairs, and exactly (3) must be chosen.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले अनिवार्य और वैकल्पिक युग्म अलग करें। / Separate compulsory and optional pairs before counting.
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समुच्चय \(A=\{p,q,r,s\}\) पर निम्न में से कौन-सा संबंध निश्चित रूप से स्ववाची है?
On the set \(A=\{p,q,r,s\}\), which of the following relations is definitely reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#diagonal_pairs
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A जिसमें केवल ((p,p),(q,q),(r,r)) हैं / Contains only ((p,p),(q,q),(r,r))
B जिसमें ((p,p),(q,q),(s,s)) हैं लेकिन ((r,r)) नहीं है / Contains ((p,p),(q,q),(s,s)) but not ((r,r))
C जिसमें ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s)) सभी हैं / Contains all ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s))
D जिसमें कोई विकर्ण युग्म नहीं है / Contains no diagonal pair
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. जिसमें ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s)) सभी हैं / Contains all ((p,p),(q,q),(r,r),(s,s))
Step 1
Concept
स्ववाची संबंध में समुच्चय के हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। / In a reflexive relation, each element of the set must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के लिए चारों विकर्ण युग्म जरूरी हैं। / For (A), all four diagonal pairs are required.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त युग्म होने या न होने से फर्क नहीं पड़ता, विकर्ण पूरे होने चाहिए। / Extra pairs do not matter, but all diagonal pairs must be present.
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तीन अवयवों वाले समुच्चय पर किसी संबंध का आव्यूह \(\begin{bmatrix}1&0&1\1&0&0\0&1&1\end{bmatrix}\) है। इसे स्ववाची बनाने के लिए कम से कम कितनी प्रविष्टियाँ बदलनी होंगी?
The matrix of a relation on a three-element set is \(\begin{bmatrix}1&0&1\1&0&0\0&1&1\end{bmatrix}\). What is the minimum number of entries to change to make it reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#matrix
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
आव्यूह से स्ववाची संबंध जाँचने के लिए मुख्य विकर्ण देखें। / To check reflexivity from a matrix, look at the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण प्रविष्टियाँ (1,0,1) हैं, इसलिए बीच वाली प्रविष्टि को (1) करना होगा। / The diagonal entries are (1,0,1), so the middle entry must be changed to (1).
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण की कमी बदलना पर्याप्त है। / Only the missing diagonal entry needs correction.
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यदि (R) और (S) एक ही समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध हैं, तो \(R \cap S\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) and (S) are reflexive relations on the same set (A), which statement about \(R \cap S\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#intersection
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R \cap S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cap S\) is always reflexive
B \(R \cap S\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R \cap S\) is never reflexive
C \(R \cap S\) तभी स्ववाची होगा जब (R=S) हो / It is reflexive only when (R=S)
D निर्णय नहीं किया जा सकता / Cannot be decided
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R \cap S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cap S\) is always reflexive
Step 1
Concept
(R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। / Every ((a,a)) is present in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
जो युग्म दोनों में होगा, वह \(R \cap S\) में भी होगा, इसलिए सभी विकर्ण युग्म बने रहेंगे। / A pair common to both remains in \(R \cap S\), so all diagonal pairs remain.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंधों का प्रतिच्छेद भी स्ववाची होता है। / The intersection of reflexive relations is reflexive.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) is a reflexive relation on a set (A), which statement about \(R^{-1}\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#inverse_relation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R^{-1}\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R^{-1}\) is always reflexive
B \(R^{-1}\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R^{-1}\) is never reflexive
C \(R^{-1}\) तभी स्ववाची होगा जब (R) सममित हो / It is reflexive only when (R) is symmetric
D \(R^{-1}\) केवल सीमित समुच्चय पर स्ववाची होगा / It is reflexive only on finite sets
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R^{-1}\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R^{-1}\) is always reflexive
Step 1
Concept
स्ववाची होने से हर \((a,a) \in R\) है। / Since (R) is reflexive, every \((a,a) \in R\).
Step 2
Why this answer is correct
उल्टे संबंध में ((a,a)) का उल्टा भी ((a,a)) ही रहता है। / The inverse of ((a,a)) is again ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
उल्टा संबंध बनाते समय विकर्ण युग्म नहीं बदलते। / Diagonal pairs remain unchanged in the inverse relation.
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किसी संबंध (R) को स्ववाची बनाने के लिए सबसे छोटा आवश्यक विस्तार कौन-सा है?
What is the smallest necessary extension that makes a relation (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#reflexive_closure
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R \cap \Delta_A\)
B \(R \cup \Delta_A\)
C \(R-\Delta_A\)
D \(A \times A-R\)
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Correct Answer
B. \(R \cup \Delta_A\)
Step 1
Concept
\(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। / \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R \cup \Delta_A\) में पुराने युग्म भी रहते हैं और छूटे हुए विकर्ण युग्म भी आ जाते हैं। / \(R \cup \Delta_A\) keeps the old pairs and adds any missing diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
स्ववाची आवरण के लिए यही सबसे छोटा सुरक्षित तरीका है। / This gives the smallest reflexive closure.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) सम है}) दिया है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is even}) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#even_sum
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि (1+1) विषम है / (R) is not reflexive because (1+1) is odd
B (R) केवल दो अवयवों के लिए स्ववाची है / (R) is reflexive only for two elements
C (R) स्ववाची है क्योंकि हर (a+a) सम है / (R) is reflexive because every (a+a) is even
D (R) खाली संबंध है / (R) is the empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (R) स्ववाची है क्योंकि हर (a+a) सम है / (R) is reflexive because every (a+a) is even
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में ((a,a)) देखें। / To test reflexivity, check ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए \((a,a) \in R\) है। / For every (a), (a+a=2a) is even, so \((a,a) \in R\).
Step 3
Exam Tip
इस प्रकार के प्रश्नों में (b=a) रखकर देखें। / In such questions, put (b=a) first.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a-b\) 4 से विभाज्य है}) है। क्या (R) स्ववाची है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a-b\) is divisible by 4}). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#divisibility
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A नहीं, क्योंकि (a-b) हमेशा (4) नहीं होता / No, because (a-b) is not always (4)
B हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
C नहीं, क्योंकि (0) विभाज्य नहीं माना जाता / No, because (0) is not considered divisible
D केवल (a=4) के लिए हाँ / Yes only for (a=4)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. हाँ, क्योंकि (a-a=0) और (0) (4) से विभाज्य है / Yes, because (a-a=0) and (0) is divisible by (4)
Step 1
Concept
स्ववाची होने के लिए हर ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। / For reflexivity, every ((a,a)) must belong to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) होता है और (0) किसी भी अशून्य संख्या से विभाज्य माना जाता है। / (a-a=0), and (0) is divisible by any non-zero integer.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता वाले संबंधों में विकर्ण पर अंतर हमेशा (0) होता है। / In divisibility-type relations, the diagonal difference is always (0).
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) विषम है}) दिया है। (R) के लिए सही निष्कर्ष क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is odd}). What is the correct conclusion about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#odd_sum
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) स्ववाची है / (R) is reflexive
B (R) सार्वत्रिक संबंध है / (R) is the universal relation
C (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / (R) is not reflexive because no ((a,a)) belongs to it
D (R) केवल (A) के सबसे बड़े अवयव के लिए स्ववाची है / (R) is reflexive only for the largest element of (A)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / (R) is not reflexive because no ((a,a)) belongs to it
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म के लिए (a=b) रखें। / Put (a=b) for diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
तब (a+b=2a) होगा, जो हमेशा सम है, विषम नहीं। / Then (a+b=2a), which is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
यदि एक भी आवश्यक विकर्ण युग्म न मिले, संबंध स्ववाची नहीं होता। / If required diagonal pairs are missing, the relation is not reflexive.
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समुच्चय \(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a \le b\}\) है। (R) स्ववाची क्यों है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):a \le b\}\). Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#order_relation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि हर \(a \le a\) सत्य है / Because every \(a \le a\) is true
B क्योंकि हर (a<a) सत्य है / Because every (a<a) is true
C क्योंकि (A) में केवल सम संख्याएँ हैं / Because (A) has only even numbers
D क्योंकि (R) में केवल तीन युग्म हैं / Because (R) has only three pairs
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Correct Answer
A. क्योंकि हर \(a \le a\) सत्य है / Because every \(a \le a\) is true
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में अपने साथ संबंध देखना होता है। / Reflexivity checks whether each element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी संख्या के लिए \(a \le a\) सत्य है, इसलिए ((a,a)) हमेशा शामिल होगा। / For every number, \(a \le a\) is true, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
(<) और \(\le\) में अंतर ध्यान से देखें। / Be careful about the difference between (<) and \(\le\).
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समुच्चय \(A=\{2,4,6\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) स्ववाची क्यों नहीं है?
On \(A=\{2,4,6\}\), \(R=\{(a,b):a<b\}\). Why is (R) not reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#strict_inequality
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (a<a) कभी सत्य नहीं होता / Because (a<a) is never true
B क्योंकि (A) में तीन अवयव हैं / Because (A) has three elements
C क्योंकि (R) में कुछ युग्म हैं / Because (R) has some pairs
D क्योंकि (a<b) हमेशा सत्य है / Because (a<b) is always true
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Correct Answer
A. क्योंकि (a<a) कभी सत्य नहीं होता / Because (a<a) is never true
Step 1
Concept
स्ववाची होने के लिए ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (a<a) किसी भी (a) के लिए सत्य नहीं होती, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं आएगा। / The condition (a<a) is false for every (a), so no diagonal pair appears.
Step 3
Exam Tip
कड़े असमिका वाले संबंध अक्सर स्ववाची नहीं होते। / Strict inequality relations are usually not reflexive.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर संबंध \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) दिया है। (R) कैसा है?
On the power set (P(A)) of a set (A), the relation \(R=\{(X,Y):X \subseteq Y\}\) is given. What is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#power_set
#subset
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
B स्ववाची नहीं, क्योंकि कोई समुच्चय अपने बराबर नहीं होता / Not reflexive because no set equals itself
C स्ववाची केवल रिक्त समुच्चय के लिए / Reflexive only for the empty set
D स्ववाची केवल एक अवयव वाले समुच्चय के लिए / Reflexive only for singleton sets
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Correct Answer
A. स्ववाची, क्योंकि \(X \subseteq X\) होता है / Reflexive because \(X \subseteq X\)
Step 1
Concept
(P(A)) का हर अवयव स्वयं एक समुच्चय है। / Each element of (P(A)) is itself a set.
Step 2
Why this answer is correct
हर समुच्चय (X) के लिए \(X \subseteq X\) सत्य है। / For every set (X), \(X \subseteq X\) is true.
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय और उचित उपसमुच्चय में अंतर याद रखें। / Remember the difference between subset and proper subset.
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किसी समुच्चय (A) के घात समुच्चय (P(A)) पर \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\) है, जहाँ \(\subset\) उचित उपसमुच्चय दर्शाता है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On (P(A)), \(R=\{(X,Y):X \subset Y\}\), where \(\subset\) denotes proper subset. Which statement is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#proper_subset
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची है / It is reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
C हर (A) के लिए सार्वत्रिक है / It is universal for every (A)
D केवल सीमित (A) पर स्ववाची है / It is reflexive only when (A) is finite
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि \(X \subset X\) असत्य है / It is not reflexive because \(X \subset X\) is false
Step 1
Concept
उचित उपसमुच्चय में बराबरी की अनुमति नहीं होती। / A proper subset does not allow equality.
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी समुच्चय अपने ही उचित उपसमुच्चय के रूप में नहीं माना जाता। / No set is a proper subset of itself.
Step 3
Exam Tip
\(\subseteq\) और \(\subset\) का अर्थ अलग-अलग समझें। / Distinguish \(\subseteq\) from \(\subset\) carefully.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a\) b को विभाजित करता है}) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a\) divides b}). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#divides
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची है, क्योंकि (a) स्वयं को विभाजित करता है / Reflexive because (a) divides itself
B स्ववाची नहीं है, क्योंकि (1) सभी को विभाजित करता है / Not reflexive because (1) divides all elements
C स्ववाची नहीं है, क्योंकि (4) (1) को विभाजित नहीं करता / Not reflexive because (4) does not divide (1)
D स्ववाची तभी है जब (A) में केवल अभाज्य संख्याएँ हों / Reflexive only when (A) has only prime numbers
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Correct Answer
A. स्ववाची है, क्योंकि (a) स्वयं को विभाजित करता है / Reflexive because (a) divides itself
Step 1
Concept
स्ववाची के लिए हर ((a,a)) देखना है। / For reflexivity, check each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
कोई भी अशून्य संख्या स्वयं को विभाजित करती है, इसलिए ((a,a)) शामिल होगा। / Every non-zero number divides itself, so ((a,a)) is included.
Step 3
Exam Tip
अन्य युग्मों की कमी स्ववाचीता को नहीं रोकती। / Missing non-diagonal pairs do not affect reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) दिया है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):\gcd(a,b)=1\}\) is given. Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#gcd
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि (1) सभी के साथ सहअभाज्य है / Yes, because (1) is coprime with all
B हाँ, क्योंकि (\gcd(a,a)=a) होता है / Yes, because (\gcd(a,a)=a)
C नहीं, क्योंकि (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं / No, because (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3)
D नहीं, क्योंकि ((1,1)) भी नहीं आएगा / No, because ((1,1)) also will not appear
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Correct Answer
C. नहीं, क्योंकि (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं / No, because (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3)
Step 1
Concept
स्ववाची के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
(\gcd(1,1)=1) है, पर (\gcd(2,2)=2) और (\gcd(3,3)=3) हैं। / (\gcd(1,1)=1), but (\gcd(2,2)=2) and (\gcd(3,3)=3).
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म छूटे तो संबंध स्ववाची नहीं रहता। / If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.
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पूर्णांकों के किसी समुच्चय (A) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) दिया है। (R) स्ववाची क्यों है?
On a set (A) of integers, \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) is given. Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#squares
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
B क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=0\) है / Because \(a^2=0\) for every (a)
C क्योंकि \(a^2=b^2\) तभी होगा जब (a=b+1) / Because \(a^2=b^2\) only when (a=b+1)
D क्योंकि ऋणात्मक संख्याएँ नहीं आतीं / Because negative numbers do not occur
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Correct Answer
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) सत्य है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (b=a) रखें। / On the diagonal, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2=a^2\) बनती है, जो हमेशा सत्य है। / The condition becomes \(a^2=a^2\), which is always true.
Step 3
Exam Tip
स्ववाचीता के लिए केवल अपने साथ संबंध की जाँच जरूरी है। / Reflexivity only needs each element to be related to itself.
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समुच्चय \(A=\{-1,0,1\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b=0\}\) है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On \(A=\{-1,0,1\}\), \(R=\{(a,b):a+b=0\}\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#zero_sum
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि ((-1,1)) और ((1,-1)) हैं / Yes, because ((-1,1)) and ((1,-1)) are present
B हाँ, क्योंकि ((0,0)) है / Yes, because ((0,0)) is present
C नहीं, क्योंकि ((-1,-1)) और ((1,1)) नहीं हैं / No, because ((-1,-1)) and ((1,1)) are absent
D नहीं, क्योंकि कोई युग्म नहीं बनेगा / No, because no pair will be formed
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
C. नहीं, क्योंकि ((-1,-1)) और ((1,1)) नहीं हैं / No, because ((-1,-1)) and ((1,1)) are absent
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए हर विकर्ण युग्म चाहिए। / Reflexivity requires every diagonal pair.
Step 2
Why this answer is correct
((0,0)) शर्त पूरी करता है, लेकिन ((-1,-1)) और ((1,1)) शर्त पूरी नहीं करते। / ((0,0)) satisfies the condition, but ((-1,-1)) and ((1,1)) do not.
Step 3
Exam Tip
केवल कुछ विकर्ण युग्म होना पर्याप्त नहीं है। / Having only some diagonal pairs is not enough.
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समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\) है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On \(A=\{1,3,5,7\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|\le 2\}\). Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#absolute_difference
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
B स्ववाची नहीं है, क्योंकि (1) और (7) दूर हैं / Not reflexive because (1) and (7) are far apart
C स्ववाची तभी है जब सभी युग्म आएँ / Reflexive only when all pairs occur
D स्ववाची नहीं है, क्योंकि अंतर शून्य नहीं होना चाहिए / Not reflexive because the difference must not be zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. स्ववाची है, क्योंकि \(|a-a|=0\le 2\) / Reflexive because \(|a-a|=0\le 2\)
Step 1
Concept
हर (a) के लिए ((a,a)) की शर्त देखें। / Check the condition for each ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(|a-a|=0) होता है और \(0\le 2\) सत्य है। / (|a-a|=0), and \(0\le 2\) is true.
Step 3
Exam Tip
दूर वाले अलग-अलग युग्म स्ववाचीता को प्रभावित नहीं करते। / Far non-diagonal pairs do not affect reflexivity.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\) दिया है। (R) कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|>0\}\) is given. What is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#absolute_difference
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची है / Reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि (|a-a|=0) होता है / Not reflexive because (|a-a|=0)
C सार्वत्रिक संबंध है / Universal relation
D केवल ((1,1)) के कारण स्ववाची है / Reflexive only because of ((1,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि (|a-a|=0) होता है / Not reflexive because (|a-a|=0)
Step 1
Concept
विकर्ण युग्म में दोनों अवयव समान होते हैं। / In a diagonal pair, both entries are the same.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (|a-a|=0), जो (0) से बड़ा नहीं है। / Therefore (|a-a|=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
(>0) जैसी शर्तें अक्सर अपने साथ संबंध को हटा देती हैं। / Conditions like (>0) often remove self-related pairs.
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रिक्त समुच्चय \(A=\varnothing\) पर रिक्त संबंध \(R=\varnothing\) दिया है। स्ववाचीता के संदर्भ में सही कथन कौन-सा है?
On the empty set \(A=\varnothing\), the empty relation \(R=\varnothing\) is given. Which statement about reflexivity is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#empty_set
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) स्ववाची है क्योंकि जाँचने के लिए कोई अवयव नहीं है / (R) is reflexive because there is no element to check
B (R) स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई युग्म नहीं है / (R) is not reflexive because there is no pair
C (R) तभी स्ववाची होगा जब एक युग्म जोड़ा जाए / (R) will be reflexive only after adding one pair
D रिक्त समुच्चय पर स्ववाचीता परिभाषित नहीं होती / Reflexivity is not defined on the empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) स्ववाची है क्योंकि जाँचने के लिए कोई अवयव नहीं है / (R) is reflexive because there is no element to check
Step 1
Concept
स्ववाचीता कहती है कि हर अवयव अपने से संबंधित हो। / Reflexivity says every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन भी नहीं होता। / The empty set has no element, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
इसे रिक्त सत्यता के रूप में याद रखें। / Remember this as a vacuous truth.
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अरिक्त समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(R=\varnothing\) दिया है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On a non-empty set (A), the empty relation \(R=\varnothing\) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#empty_relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची है क्योंकि रिक्त संबंध सरल होता है / Reflexive because an empty relation is simple
B स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / Not reflexive because no ((a,a)) is present
C हमेशा सार्वत्रिक है / Always universal
D केवल दो अवयवों पर स्ववाची है / Reflexive only on two elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि कोई ((a,a)) इसमें नहीं है / Not reflexive because no ((a,a)) is present
Step 1
Concept
अरिक्त (A) में कम से कम एक अवयव (a) होगा। / A non-empty (A) has at least one element (a).
Step 2
Why this answer is correct
स्ववाचीता के लिए ((a,a)) चाहिए, लेकिन रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है। / Reflexivity requires ((a,a)), but the empty relation has no pairs.
Step 3
Exam Tip
रिक्त समुच्चय और रिक्त संबंध में अंतर समझें। / Distinguish an empty set from an empty relation on a non-empty set.
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किसी भी समुच्चय (A) पर सार्वत्रिक संबंध \(A \times A\) के बारे में सही कथन क्या है?
For any set (A), what is correct about the universal relation \(A \times A\)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#universal_relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A यह हमेशा स्ववाची है / It is always reflexive
B यह कभी स्ववाची नहीं है / It is never reflexive
C यह केवल तब स्ववाची है जब (A) में दो अवयव हों / It is reflexive only when (A) has two elements
D यह केवल रिक्त समुच्चय पर स्ववाची है / It is reflexive only on the empty set
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह हमेशा स्ववाची है / It is always reflexive
Step 1
Concept
\(A \times A\) में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / \(A \times A\) contains all possible ordered pairs from (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर ((a,a)) भी उसमें अवश्य होगा। / Hence every ((a,a)) is definitely included.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध स्ववाचीता की शर्त अपने आप पूरी करता है। / The universal relation automatically satisfies reflexivity.
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यदि (A) अरिक्त है और (R) (A) पर स्ववाची संबंध है, तो \(A \times A-R\) के बारे में क्या सही है?
If (A) is non-empty and (R) is a reflexive relation on (A), what is correct about \(A \times A-R\)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#complement
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A वह हमेशा स्ववाची होगा / It is always reflexive
B वह हमेशा (R) के बराबर होगा / It is always equal to (R)
C वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा / It is not reflexive because no diagonal pair remains
D वह सार्वत्रिक संबंध होगा / It will be the universal relation
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Correct Answer
C. वह स्ववाची नहीं होगा क्योंकि कोई विकर्ण युग्म नहीं बचेगा / It is not reflexive because no diagonal pair remains
Step 1
Concept
(R) स्ववाची है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। / Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
पूरक \(A \times A-R\) में वे विकर्ण युग्म हट जाते हैं। / In the complement \(A \times A-R\), those diagonal pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
अरिक्त समुच्चय पर विकर्ण न होने से स्ववाचीता टूट जाती है। / On a non-empty set, missing diagonal pairs destroy reflexivity.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध है और (S) (A) पर कोई भी संबंध है, तो \(R \cup S\) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If (R) is a reflexive relation on (A) and (S) is any relation on (A), which statement about \(R \cup S\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#union
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cup S\) is always reflexive
B \(R \cup S\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(R \cup S\) is never reflexive
C \(R \cup S\) तभी स्ववाची होगा जब (S) खाली हो / It is reflexive only when (S) is empty
D \(R \cup S\) तभी स्ववाची होगा जब (S=R) हो / It is reflexive only when (S=R)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(R \cup S\) हमेशा स्ववाची होगा / \(R \cup S\) is always reflexive
Step 1
Concept
(R) में सभी विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं। / All diagonal pairs are already present in (R).
Step 2
Why this answer is correct
संघ करने पर (R) के युग्म हटते नहीं, बल्कि (S) के युग्म जुड़ते हैं। / Taking a union does not remove pairs from (R); it only adds pairs from (S).
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंध के साथ संघ स्ववाचीता को बनाए रखता है। / A union with a reflexive relation remains reflexive.
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यदि (R) और (S) समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंध हैं, तो \(S \circ R\) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If (R) and (S) are reflexive relations on (A), which statement about \(S \circ R\) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#composition
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(S \circ R\) हमेशा स्ववाची होगा / \(S \circ R\) is always reflexive
B \(S \circ R\) कभी स्ववाची नहीं होगा / \(S \circ R\) is never reflexive
C \(S \circ R\) केवल तब स्ववाची होगा जब \(R\cap S=\varnothing\) हो / It is reflexive only when \(R\cap S=\varnothing\)
D निर्णय केवल अवयवों की संख्या से होगा / It depends only on the number of elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. \(S \circ R\) हमेशा स्ववाची होगा / \(S \circ R\) is always reflexive
Step 1
Concept
किसी भी \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) और \((a,a) \in S\) है। / For every \(a \in A\), \((a,a) \in R\) and \((a,a) \in S\).
Step 2
Why this answer is correct
संयोजन में बीच का अवयव (a) ही चुन सकते हैं, इसलिए \((a,a) \in S \circ R\) होगा। / In the composition, choose the middle element as (a), so \((a,a) \in S \circ R\).
Step 3
Exam Tip
स्ववाची संबंधों का संयोजन भी स्ववाची होता है। / The composition of reflexive relations is reflexive.
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची है और \(B \subseteq A\), तो (R \cap \(B \times B\)) किस समुच्चय पर स्ववाची होगा?
If (R) is reflexive on (A) and \(B \subseteq A\), on which set is (R \cap \(B \times B\)) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#restriction
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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? Hint Small clue
A (B) पर / On (B)
B केवल (A) पर / Only on (A)
C किसी भी समुच्चय पर नहीं / On no set
D केवल (A-B) पर / Only on (A-B)
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Correct Answer
A. (B) पर / On (B)
Step 1
Concept
(B) का हर अवयव (A) में भी है। / Every element of (B) is also in (A).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्ववाची होने से हर \(b \in B\) के लिए \((b,b) \in R\) है और \((b,b) \in B \times B\) भी है। / Since (R) is reflexive, \((b,b) \in R\) for every \(b \in B\), and also \((b,b) \in B \times B\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिबंधित संबंध (B) पर स्ववाची रहेगा। / Thus the restricted relation is reflexive on (B).
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यदि (R) समुच्चय (A) पर स्ववाची है और \(S \subseteq R\), तो (S) के बारे में कौन-सा कथन हमेशा सही है?
If (R) is reflexive on (A) and \(S \subseteq R\), which statement about (S) is always true?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#subrelation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (S) हमेशा स्ववाची होगा / (S) is always reflexive
B (S) स्ववाची हो भी सकता है और नहीं भी / (S) may or may not be reflexive
C (S) हमेशा रिक्त होगा / (S) is always empty
D (S) हमेशा सार्वत्रिक होगा / (S) is always universal
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Correct Answer
B. (S) स्ववाची हो भी सकता है और नहीं भी / (S) may or may not be reflexive
Step 1
Concept
(S) (R) का उपसमुच्चय है, इसलिए इसमें (R) के कुछ युग्म हट सकते हैं। / Since \(S\subseteq R\), some pairs of (R) may be removed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि किसी आवश्यक ((a,a)) को हटा दिया गया, तो (S) स्ववाची नहीं रहेगा। / If any required ((a,a)) is removed, (S) is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
उपसंबंध में स्ववाचीता अपने आप सुरक्षित नहीं रहती। / Reflexivity is not automatically preserved in subrelations.
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समुच्चय (A) पर सबसे छोटा स्ववाची संबंध कौन-सा होता है?
What is the smallest reflexive relation on a set (A)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#identity_relation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A रिक्त संबंध \(\varnothing\) / Empty relation \(\varnothing\)
B सार्वत्रिक संबंध \(A \times A\) / Universal relation \(A \times A\)
C पूरक संबंध / Complement relation
D तत्समक संबंध \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) / Identity relation \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\)
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Correct Answer
D. तत्समक संबंध \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\) / Identity relation \(\Delta_A={(a,a):a \in A}\)
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए सभी विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity requires all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटे संबंध में केवल वही अनिवार्य युग्म रखे जाते हैं, कोई अतिरिक्त युग्म नहीं। / The smallest relation keeps only those compulsory pairs and no extra pair.
Step 3
Exam Tip
इसलिए तत्समक संबंध सबसे छोटा स्ववाची संबंध है। / Therefore the identity relation is the smallest reflexive relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर ऐसे स्ववाची संबंधों की संख्या कितनी है जिनमें ((1,2)) और ((2,3)) दोनों अवश्य हों?
On \(A=\{1,2,3\}\), how many reflexive relations must contain both ((1,2)) and ((2,3))?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#counting
#fixed_pairs
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (8)
B (16)
C (32)
D (64)
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Step 1
Concept
(3) अवयवों पर कुल (9) युग्म हैं, जिनमें (3) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / With (3) elements, there are (9) pairs, and (3) diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
विकर्ण के बाहर (6) युग्म हैं, पर ((1,2)) और ((2,3)) पहले से अनिवार्य कर दिए गए हैं। / Among the (6) non-diagonal pairs, ((1,2)) and ((2,3)) are also fixed.
Step 3
Exam Tip
बाकी (4) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^4=16\) है। / The remaining (4) pairs are optional, so the count is \(2^4=16\).
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चार अवयवों वाले समुच्चय पर कुल कितने संबंध स्ववाची और सममित दोनों होंगे?
How many relations on a four-element set are both reflexive and symmetric?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#symmetric_relation
#counting
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (16)
B (32)
C (64)
D (256)
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Step 1
Concept
स्ववाचीता से (4) विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / Reflexivity fixes the (4) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति में हर अविकर्ण जोड़ी ((a,b)) और ((b,a)) साथ-साथ चुनी जाती है या छोड़ी जाती है। / Symmetry makes each unordered off-diagonal pair either included both ways or excluded both ways.
Step 3
Exam Tip
ऐसी \({4 \choose 2}=6\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(2^6=64\) है। / There are \({4 \choose 2}=6\) such pairs, so the count is \(2^6=64\).
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तीन अवयवों वाले समुच्चय पर कुल कितने संबंध स्ववाची और प्रतिसममित दोनों होंगे?
How many relations on a three-element set are both reflexive and antisymmetric?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#antisymmetric_relation
#counting
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (9)
B (27)
C (64)
D (81)
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Step 1
Concept
स्ववाचीता से (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the (3) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर अलग अवयवों की जोड़ी के लिए तीन विकल्प हैं: कोई दिशा नहीं, पहली दिशा, या उल्टी दिशा। / For each unordered pair of distinct elements, there are three choices: no direction, one direction, or the opposite direction.
Step 3
Exam Tip
\({3 \choose 2}=3\) जोड़ियाँ हैं, इसलिए संख्या \(3^3=27\) है। / Since there are \({3 \choose 2}=3\) such pairs, the count is \(3^3=27\).
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तीन अवयवों वाले समुच्चय पर संबंध का आव्यूह कौन-सा हो तो संबंध स्ववाची होगा?
Which matrix of a relation on a three-element set makes the relation reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#matrix
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\begin{bmatrix}0&1&1\1&1&0\0&1&1\end{bmatrix}\)
B \(\begin{bmatrix}1&0&1\1&0&1\1&1&1\end{bmatrix}\)
C \(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&1\1&0&0\end{bmatrix}\)
D \(\begin{bmatrix}1&0&0\1&1&0\0&1&1\end{bmatrix}\)
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Correct Answer
D. \(\begin{bmatrix}1&0&0\1&1&0\0&1&1\end{bmatrix}\)
Step 1
Concept
आव्यूह में स्ववाचीता के लिए मुख्य विकर्ण की सभी प्रविष्टियाँ (1) होनी चाहिए। / For reflexivity in a matrix, all main diagonal entries must be (1).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए विकल्पों में केवल चौथे आव्यूह का विकर्ण (1,1,1) है। / Only the fourth matrix has diagonal entries (1,1,1).
Step 3
Exam Tip
बाकी प्रविष्टियाँ स्ववाचीता के निर्णय में बाधा नहीं बनतीं। / Other entries do not affect the decision of reflexivity.
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किसी संबंध का आव्यूह \(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&1\1&0&1\end{bmatrix}\) है। इस संबंध के बारे में सही कथन क्या है?
The matrix of a relation is \(\begin{bmatrix}1&1&0\0&1&1\1&0&1\end{bmatrix}\). Which statement about the relation is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#matrix_test
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची नहीं है क्योंकि कुछ शून्य हैं / Not reflexive because some zeros are present
B स्ववाची नहीं है क्योंकि आव्यूह सममित नहीं है / Not reflexive because the matrix is not symmetric
C स्ववाची है क्योंकि मुख्य विकर्ण की सभी प्रविष्टियाँ (1) हैं / Reflexive because all main diagonal entries are (1)
D स्ववाची केवल पहले दो अवयवों के लिए है / Reflexive only for the first two elements
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Correct Answer
C. स्ववाची है क्योंकि मुख्य विकर्ण की सभी प्रविष्टियाँ (1) हैं / Reflexive because all main diagonal entries are (1)
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए केवल मुख्य विकर्ण जरूरी है। / Reflexivity depends only on the main diagonal.
Step 2
Why this answer is correct
इस आव्यूह में मुख्य विकर्ण (1,1,1) है। / Here the main diagonal is (1,1,1).
Step 3
Exam Tip
सममित होना स्ववाचीता की अलग शर्त नहीं है। / Symmetry is a separate property and is not required for reflexivity.
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यदि किसी संबंध के आव्यूह में सभी अविकर्ण प्रविष्टियाँ (1) हैं, पर मुख्य विकर्ण में एक प्रविष्टि (0) है, तो संबंध कैसा होगा?
If a relation matrix has all off-diagonal entries (1), but one main diagonal entry is (0), what is the relation like?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#matrix_diagonal
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची होगा / Reflexive
B सार्वत्रिक होगा / Universal
C स्ववाची नहीं होगा / Not reflexive
D अवश्य सममित होगा और इसलिए स्ववाची होगा / Must be symmetric and therefore reflexive
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Correct Answer
C. स्ववाची नहीं होगा / Not reflexive
Step 1
Concept
स्ववाचीता में हर मुख्य विकर्ण प्रविष्टि (1) चाहिए। / Reflexivity requires every main diagonal entry to be (1).
Step 2
Why this answer is correct
एक भी विकर्ण प्रविष्टि (0) होने से कोई ((a,a)) छूट गया। / If one diagonal entry is (0), one ((a,a)) is missing.
Step 3
Exam Tip
बहुत सारे अविकर्ण युग्म होने से स्ववाचीता पूरी नहीं होती। / Having many off-diagonal pairs does not make a relation reflexive.
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तुल्यता संबंध और स्ववाची संबंध के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Which statement about equivalence relations and reflexive relations is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#equivalence_relation
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हर स्ववाची संबंध तुल्यता संबंध होता है / Every reflexive relation is an equivalence relation
B हर तुल्यता संबंध स्ववाची होता है / Every equivalence relation is reflexive
C तुल्यता संबंध कभी स्ववाची नहीं होता / An equivalence relation is never reflexive
D स्ववाचीता और तुल्यता का कोई संबंध नहीं है / Reflexivity and equivalence have no connection
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Correct Answer
B. हर तुल्यता संबंध स्ववाची होता है / Every equivalence relation is reflexive
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध के लिए स्ववाची, सममित और संक्रामी तीनों गुण चाहिए। / An equivalence relation must be reflexive, symmetric, and transitive.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर तुल्यता संबंध स्ववाची अवश्य होगा। / Therefore every equivalence relation is necessarily reflexive.
Step 3
Exam Tip
लेकिन केवल स्ववाची होने से संबंध तुल्यता नहीं बन जाता। / But a merely reflexive relation need not be an equivalence relation.
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यदि \(f:A \to B\) कोई फलन है और (A) पर \(R=\{(x,y):f(x)=f(y)\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:A \to B\) is a function and \(R=\{(x,y):f(x)=f(y)\}\) on (A), which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#function_relation
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) स्ववाची है / (R) is reflexive
B (R) स्ववाची नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) तभी स्ववाची है जब (f) एकैकी हो / (R) is reflexive only when (f) is one-one
D (R) तभी स्ववाची है जब (B=A) हो / (R) is reflexive only when (B=A)
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Correct Answer
A. (R) स्ववाची है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
स्ववाची जाँच में (x=y) रखें। / For reflexivity, put (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
हर (x) के लिए (f(x)=f(x)) सत्य है, इसलिए \((x,x) \in R\) होगा। / For every (x), (f(x)=f(x)) is true, so \((x,x) \in R\).
Step 3
Exam Tip
फलन का एकैकी होना यहाँ जरूरी नहीं है। / The function need not be one-one for this property.
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यदि \(f:A \to \mathbb{R}\) और \(R=\{(x,y):f(x)<f(y)\}\) हो, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(f:A \to \mathbb{R}\) and \(R=\{(x,y):f(x)<f(y)\}\), what is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#function_inequality
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हमेशा स्ववाची है / Always reflexive
B तभी स्ववाची है जब (f) स्थिर हो / Reflexive only when (f) is constant
C स्ववाची नहीं है क्योंकि (f(x)<f(x)) असत्य है / Not reflexive because (f(x)<f(x)) is false
D केवल सीमित (A) पर स्ववाची है / Reflexive only on finite (A)
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Correct Answer
C. स्ववाची नहीं है क्योंकि (f(x)<f(x)) असत्य है / Not reflexive because (f(x)<f(x)) is false
Step 1
Concept
अपने साथ संबंध के लिए (y=x) रखें। / For self-relation, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (f(x)<f(x)) बनेगी, जो कभी सत्य नहीं होती। / The condition becomes (f(x)<f(x)), which is never true.
Step 3
Exam Tip
कड़ी असमिका से बने संबंधों में स्ववाचीता नहीं मिलती। / Relations defined by strict inequality are not reflexive.
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यदि \(f:A \to \mathbb{R}\) और \(R=\{(x,y):f(x)\le f(y)\}\) हो, तो (R) कैसा होगा?
If \(f:A \to \mathbb{R}\) and \(R=\{(x,y):f(x)\le f(y)\}\), what is (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#function_order
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची / Reflexive
B स्ववाची नहीं / Not reflexive
C केवल तब स्ववाची जब (f) बढ़ता हुआ हो / Reflexive only when (f) is increasing
D केवल तब स्ववाची जब (f) घटता हुआ हो / Reflexive only when (f) is decreasing
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Correct Answer
A. स्ववाची / Reflexive
Step 1
Concept
स्ववाचीता के लिए (x=y) रखें। / For reflexivity, put (x=y).
Step 2
Why this answer is correct
(f(x)\le f(x)) हर (x) के लिए सत्य है। / (f(x)\le f(x)) is true for every (x).
Step 3
Exam Tip
यहाँ फलन का बढ़ना या घटना जरूरी नहीं है। / The function need not be increasing or decreasing for this.
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(x,y):x-y\in \mathbb{Z}\}\) दिया है। (R) के लिए सही कथन कौन-सा है?
On real numbers, \(R=\{(x,y):x-y\in \mathbb{Z}\}\) is given. Which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#integers
#real_numbers
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची नहीं है क्योंकि (x-y) वास्तविक है / Not reflexive because (x-y) is real
B स्ववाची है क्योंकि \(x-x=0\in \mathbb{Z}\) / Reflexive because \(x-x=0\in \mathbb{Z}\)
C स्ववाची केवल पूर्णांकों पर है / Reflexive only on integers
D स्ववाची तभी है जब (x>y) हो / Reflexive only when (x>y)
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Correct Answer
B. स्ववाची है क्योंकि \(x-x=0\in \mathbb{Z}\) / Reflexive because \(x-x=0\in \mathbb{Z}\)
Step 1
Concept
विकर्ण पर (y=x) रखें। / On the diagonal, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
(x-x=0) और (0) पूर्णांक है। / (x-x=0), and (0) is an integer.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं पर भी अपने साथ अंतर (0) ही रहता है। / Even on real numbers, the self-difference is always (0).
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(x,y):x<y+1\}\) है। (R) स्ववाची है या नहीं?
On real numbers, \(R=\{(x,y):x<y+1\}\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#real_numbers
#inequality
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, क्योंकि (x<x+1) हर (x) के लिए सत्य है / Yes, because (x<x+1) is true for every (x)
B नहीं, क्योंकि (x<x) असत्य है / No, because (x<x) is false
C नहीं, क्योंकि (1) शामिल है / No, because (1) is involved
D केवल धनात्मक संख्याओं पर हाँ / Yes only on positive numbers
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Correct Answer
A. हाँ, क्योंकि (x<x+1) हर (x) के लिए सत्य है / Yes, because (x<x+1) is true for every (x)
Step 1
Concept
स्ववाचीता में (y=x) रखना होता है। / For reflexivity, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त (x<x+1) बनती है, जो हर वास्तविक (x) के लिए सत्य है। / The condition becomes (x<x+1), which is true for every real (x).
Step 3
Exam Tip
शर्त को सही ढंग से बदलकर देखें, केवल (x<x) न मान लें। / Substitute carefully instead of assuming it becomes (x<x).
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वास्तविक संख्याओं पर \(R=\{(x,y):x-y>0\}\) है। (R) के बारे में सही कथन कौन-सा है?
On real numbers, \(R=\{(x,y):x-y>0\}\). Which statement is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#positive_difference
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची है / Reflexive
B स्ववाची नहीं है क्योंकि (x-x=0) है / Not reflexive because (x-x=0)
C स्ववाची केवल ऋणात्मक संख्याओं पर है / Reflexive only on negative numbers
D सार्वत्रिक संबंध है / Universal relation
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Correct Answer
B. स्ववाची नहीं है क्योंकि (x-x=0) है / Not reflexive because (x-x=0)
Step 1
Concept
अपने साथ संबंध के लिए (y=x) रखें। / For self-relation, put (y=x).
Step 2
Why this answer is correct
तब (x-y=x-x=0) होगा, जो (0) से बड़ा नहीं है। / Then (x-y=x-x=0), which is not greater than (0).
Step 3
Exam Tip
धनात्मक अंतर वाली शर्त स्ववाचीता को रोकती है। / A positive-difference condition prevents reflexivity.
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पूर्णांकों पर (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{3}\)}) है। (R) के लिए सही कथन क्या है?
On integers, (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{3}\)}). What is correct about (R)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#congruence
#modulo
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A स्ववाची है क्योंकि \(a \equiv a \pmod{3}\) / Reflexive because \(a \equiv a \pmod{3}\)
B स्ववाची नहीं क्योंकि (3) से भाग देना पड़ता है / Not reflexive because division by (3) is needed
C स्ववाची केवल (a=3) पर है / Reflexive only for (a=3)
D स्ववाची तभी है जब (a) विषम हो / Reflexive only when (a) is odd
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Correct Answer
A. स्ववाची है क्योंकि \(a \equiv a \pmod{3}\) / Reflexive because \(a \equiv a \pmod{3}\)
Step 1
Concept
सर्वांगसमता में अपने साथ तुलना करें। / Compare each element with itself in congruence.
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) और (0) (3) से विभाज्य है, इसलिए \(a \equiv a \pmod{3}\) है। / (a-a=0), and (0) is divisible by (3), so \(a \equiv a \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
सर्वांगसमता वाले संबंध सामान्यतः स्ववाची होते हैं। / Congruence relations are generally reflexive.
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\(समुच्चय (A={0,1,2}) पर (R={(a,b):a+b\) 3 से विभाज्य है}) दिया है। (R) को स्ववाची बनाने के लिए कितने विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे?
\(On (A={0,1,2}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by 3}) is given. How many diagonal pairs must be added to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#modulo
#closure
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (1)
C (2)
D (3)
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Step 1
Concept
विकर्ण युग्म ((0,0),(1,1),(2,2)) जाँचें। / Check the diagonal pairs ((0,0),(1,1),(2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
(0+0=0) विभाज्य है, पर (1+1=2) और (2+2=4) (3) से विभाज्य नहीं हैं। / (0+0=0) is divisible by (3), but (1+1=2) and (2+2=4) are not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((1,1)) और ((2,2)) जोड़ने होंगे। / Therefore ((1,1)) and ((2,2)) must be added.
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क्या दो अस्ववाची संबंधों का संघ कभी स्ववाची हो सकता है?
Can the union of two non-reflexive relations ever be reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#union
#counterexample
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
B नहीं, कभी नहीं / No, never
C हाँ, केवल रिक्त समुच्चय पर / Yes, only on the empty set
D नहीं, क्योंकि संघ में युग्म घटते हैं / No, because union removes pairs
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Correct Answer
A. हाँ, यदि दोनों मिलकर सभी विकर्ण युग्म दे दें / Yes, if together they contain all diagonal pairs
Step 1
Concept
प्रत्येक अलग संबंध में कुछ विकर्ण युग्म छूट सकते हैं। / Each separate relation may miss some diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में दोनों संबंधों के युग्म मिलते हैं, इसलिए छूटे हुए विकर्ण युग्म दूसरे संबंध से आ सकते हैं। / In the union, pairs from both relations are combined, so missing diagonal pairs may be supplied by the other relation.
Step 3
Exam Tip
संघ के प्रश्नों में संयुक्त विकर्ण सूची देखें। / For union questions, check the combined diagonal list.
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एक ही समुच्चय (A) पर स्ववाची संबंधों के किसी भी परिवार \({R_i}\) का प्रतिच्छेद \(\bigcap R_i\) कैसा होगा?
For any family \({R_i}\) of reflexive relations on the same set (A), what is \(\bigcap R_i\)?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#family_intersection
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हमेशा स्ववाची / Always reflexive
B कभी स्ववाची नहीं / Never reflexive
C केवल दो संबंध होने पर स्ववाची / Reflexive only for two relations
D केवल सीमित परिवार होने पर स्ववाची / Reflexive only for a finite family
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Correct Answer
A. हमेशा स्ववाची / Always reflexive
Step 1
Concept
हर \(R_i\) स्ववाची है, इसलिए हर ((a,a)) सभी \(R_i\) में है। / Each \(R_i\) is reflexive, so every ((a,a)) belongs to every \(R_i\).
Step 2
Why this answer is correct
जो युग्म सभी संबंधों में है, वह उनके प्रतिच्छेद में भी रहेगा। / A pair present in all relations remains in their intersection.
Step 3
Exam Tip
यह बात सीमित और असीम दोनों परिवारों के लिए सही है। / This works for both finite and infinite families.
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चार अवयवों वाले समुच्चय पर कोई संबंध अधिकतम कितने युग्म रखकर भी स्ववाची न हो सकता है?
On a four-element set, what is the maximum number of pairs a relation can have and still not be reflexive?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#maximum_pairs
#hard
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (12)
B (14)
C (15)
D (16)
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Step 1
Concept
चार अवयवों पर कुल \(4^2=16\) युग्म हैं। / A four-element set has \(4^2=16\) total pairs.
Step 2
Why this answer is correct
स्ववाची न होने के लिए कम से कम एक विकर्ण युग्म गायब होना चाहिए। / To be non-reflexive, at least one diagonal pair must be missing.
Step 3
Exam Tip
बाकी सभी (15) युग्म रखे जा सकते हैं, फिर भी संबंध स्ववाची नहीं होगा। / The remaining (15) pairs can be present, and the relation will still not be reflexive.
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(n) अवयवों वाले अरिक्त समुच्चय पर किसी स्ववाची संबंध में कम से कम कितने युग्म होंगे?
On a non-empty set with (n) elements, what is the minimum number of pairs in a reflexive relation?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#minimum_pairs
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (0)
B (n)
C \(n^2-n\)
D \(n^2\)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
स्ववाची संबंध में हर अवयव के लिए एक विकर्ण युग्म अनिवार्य है। / A reflexive relation must contain one diagonal pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
(n) अवयवों के लिए ऐसे (n) विकर्ण युग्म होंगे। / For (n) elements, there are (n) such diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम स्थिति में केवल ये (n) युग्म रखे जाते हैं। / In the minimum case, only these (n) pairs are included.
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समुच्चय (A) पर संबंध (R) के लिए कौन-सी शर्त स्ववाचीता के तुल्य है?
For a relation (R) on set (A), which condition is equivalent to reflexivity?
#relations
#functions
#reflexive_relation
#identity_subset
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A \(\Delta_A \subseteq R\)
B \(R \subseteq \Delta_A\)
C \(R=\varnothing\)
D (R=A)
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Correct Answer
A. \(\Delta_A \subseteq R\)
Step 1
Concept
\(\Delta_A\) में सभी ((a,a)) विकर्ण युग्म होते हैं। / \(\Delta_A\) contains all diagonal pairs ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
(R) स्ववाची तभी है जब ये सभी विकर्ण युग्म (R) में शामिल हों। / (R) is reflexive exactly when all these diagonal pairs are included in (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\Delta_A \subseteq R\) स्ववाचीता की छोटी और सटीक शर्त है। / Therefore \(\Delta_A \subseteq R\) is the concise equivalent condition for reflexivity.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर संबंध (R={(a,b):a+b\) सम है}) दिया है। बताइए (R) परावर्ती है या नहीं?
\(On the set (A={1,2,3,4}), the relation (R={(a,b):a+b\) is even}) is given. Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#class 12
#hard
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) है / Yes because \((a,a) \in R\) for every \(a \in A\)
B नहीं क्योंकि केवल सम संख्याओं के युग्म मिलते हैं / No because only pairs of even numbers occur
C हाँ केवल (A) में सम संख्या होने पर / Yes only if (A) contains even numbers
D नहीं क्योंकि ((1,1)) नहीं होगा / No because ((1,1)) will not occur
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a) \in R\) है / Yes because \((a,a) \in R\) for every \(a \in A\)
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए हर \(a \in A\) पर ((a,a)) होना चाहिए। / A relation is reflexive if ((a,a)) is present for every \(a \in A\).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (a+a=2a) हमेशा सम होता है इसलिए \((a,a) \in R\) हर तत्व के लिए है। / Here (a+a=2a), which is always even, so every required diagonal pair is in (R).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले केवल विकर्ण युग्मों की जाँच करें। / In exams, check diagonal pairs first.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a-b\) विषम है}) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a-b\) is odd}). Choose the correct statement about (R).
#relations
#functions
#reflexive relation
#ordered pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) केवल रिक्त समुच्चय पर परावर्ती है / (R) is reflexive only on an empty set
D (R) में सभी क्रमित युग्म हैं / (R) contains all ordered pairs
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Correct Answer
B. (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में हर (a) के लिए ((a,a)) चाहिए। / A reflexive relation must contain ((a,a)) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0) होता है और (0) विषम नहीं है इसलिए कोई भी ((a,a)) इस संबंध में नहीं आएगा। / Since (a-a=0), and (0) is not odd, no diagonal pair belongs to (R).
Step 3
Exam Tip
जब शर्त में (a-b) हो तो (a=b) रखकर तुरंत जाँच करें। / For conditions involving (a-b), put (a=b) first.
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\(यदि (A={2,3,5,7}) और (R={(a,b):a\) divides b}) है, तो (R) को परावर्ती बनाने के लिए न्यूनतम कितने युग्म जोड़ने होंगे?
\(If (A={2,3,5,7}) and (R={(a,b):a\) divides b}), how many minimum pairs must be added to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#divisibility
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 0
B 1
C 2
D 4
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Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए ((2,2),(3,3),(5,5),(7,7)) चाहिए। / Reflexivity needs ((2,2),(3,3),(5,5),(7,7)).
Step 2
Why this answer is correct
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है इसलिए ये चारों युग्म पहले से संबंध में हैं। / Every number divides itself, so all these diagonal pairs already belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम जोड़ पूछे तो पहले देखें कि विकर्ण युग्म पहले से मौजूद हैं या नहीं। / When minimum additions are asked, first check the existing diagonal pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a<b\}\) है। (R) को परावर्ती बनाने के लिए कौन-सा युग्मों का समुच्चय जोड़ना अनिवार्य है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a<b\}\). Which set of pairs must be added to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#diagonal pairs
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ({(1,2),(2,3),(3,4)})
B ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)})
C ({(2,1),(3,2),(4,3)})
D ({(1,4),(4,1)})
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Correct Answer
B. ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)})
Step 1
Concept
(a<b) में कभी (a=a) नहीं हो सकता। / In (a<b), (a=a) can never satisfy the condition.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध में कोई भी ((a,a)) नहीं है और चारों विकर्ण युग्म जोड़ने होंगे। / So no diagonal pair is present, and all four diagonal pairs must be added.
Step 3
Exam Tip
परावर्ती बनाने में केवल विकर्ण युग्म अनिवार्य होते हैं। / To make a relation reflexive, only missing diagonal pairs are compulsory.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(3,1)\}\) है, तो (R) को परावर्ती बनाने के लिए कौन-सा युग्म जोड़ना होगा?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(3,1)\}\), which pair must be added to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#missing pair
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((1,3))
B ((2,1))
C ((3,3))
D ((3,2))
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Correct Answer
C. ((3,3))
Step 1
Concept
(A) के लिए जरूरी विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। / The required diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,1)) और ((2,2)) हैं लेकिन ((3,3)) नहीं है। / The relation already has ((1,1)) and ((2,2)), but ((3,3)) is missing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में बाकी युग्मों से भ्रमित न हों, केवल ((a,a)) देखें। / Do not get distracted by other pairs; check only ((a,a)) pairs.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\geq 2a\}\) दिया है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\geq 2a\}\) is given. Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#inequality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि \(a+a\geq 2a\) हर (a) के लिए सत्य है / Yes because \(a+a\geq 2a\) is true for every (a)
B नहीं क्योंकि (b) हमेशा बड़ा होना चाहिए / No because (b) must always be larger
C हाँ केवल (a=1) के लिए / Yes only for (a=1)
D नहीं क्योंकि ((4,4)) शर्त पूरी नहीं करता / No because ((4,4)) does not satisfy the condition
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ क्योंकि \(a+a\geq 2a\) हर (a) के लिए सत्य है / Yes because \(a+a\geq 2a\) is true for every (a)
Step 1
Concept
परावर्ती जाँच में (b=a) रखिए। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a+a\geq 2a\) बनती है, अर्थात \(2a\geq 2a\), जो हमेशा सत्य है। / The condition becomes \(a+a\geq 2a\), or \(2a\geq 2a\), which is always true.
Step 3
Exam Tip
असमानता वाले संबंधों में बराबरी की स्थिति ध्यान से देखें। / In inequality relations, carefully test the equality case.
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\(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(a,b):|a-b|<1\}\) है। (R) के लिए सही विकल्प कौन-सा है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(R=\{(a,b):|a-b|<1\}\). Which option is correct for (R)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#modulus
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में कोई युग्म नहीं है / (R) has no pair
D (R) केवल ((1,1)) रखता है / (R) contains only ((1,1))
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Correct Answer
A. (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए (|a-a|=0) होता है। / For ((a,a)), (|a-a|=0).
Step 2
Why this answer is correct
(0<1) सत्य है इसलिए हर विकर्ण युग्म संबंध में है। / Since (0<1) is true, every diagonal pair is in the relation.
Step 3
Exam Tip
मापांक वाले प्रश्न में समान तत्व रखने पर मान प्रायः (0) आता है। / In modulus-based relations, equal elements usually make the expression (0).
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):|a-b|\leq 0\}\) है, तो (R) कैसा है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):|a-b|\leq 0\}\), what is (R)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#identity relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परावर्ती है और केवल विकर्ण युग्म रखता है / Reflexive and contains only diagonal pairs
B परावर्ती नहीं है / Not reflexive
C सार्वत्रिक संबंध है / Universal relation
D रिक्त संबंध है / Empty relation
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Correct Answer
A. परावर्ती है और केवल विकर्ण युग्म रखता है / Reflexive and contains only diagonal pairs
Step 1
Concept
\(|a-b|\leq 0\) तभी संभव है जब (|a-b|=0)। / \(|a-b|\leq 0\) is possible only when (|a-b|=0).
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ (a=b) है, इसलिए सारे और केवल विकर्ण युग्म मिलते हैं। / This means (a=b), so all and only diagonal pairs occur.
Step 3
Exam Tip
\(\leq 0\) वाली मापांक शर्त को बराबरी की शर्त समझें। / A modulus condition with \(\leq 0\) is essentially an equality condition.
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समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है। क्या (R) परावर्ती है?
On \(A=\{0,1,2,3\}\), the relation \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) is given. Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#equality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (0) के लिए / Only for (0)
D केवल विषम तत्वों के लिए / Only for odd elements
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
परावर्ती जाँच में ((a,a)) रखें। / For reflexivity, test ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
तब \(a^2=a^2\) मिलेगा, जो हर \(a \in A\) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a^2=a^2\), true for every \(a \in A\).
Step 3
Exam Tip
समानता वाली शर्त में दोनों ओर समान अभिव्यक्ति बने तो संबंध परावर्ती होता है। / If substituting equal entries makes both sides identical, the relation is reflexive.
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\(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\) है। (R) के परावर्ती होने का मुख्य कारण क्या है?
On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):a^2=b^2\}\). What is the main reason (R) is reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#squares
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
B क्योंकि \(a^2=b^2\) होने पर हमेशा (a=b) है / Because \(a^2=b^2\) always means (a=b)
C क्योंकि समुच्चय में ऋणात्मक संख्या है / Because the set contains negative numbers
D क्योंकि संबंध में केवल दो युग्म हैं / Because the relation has only two pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर (a) के लिए \(a^2=a^2\) है / Because \(a^2=a^2\) for every (a)
Step 1
Concept
परावर्तीता के लिए यह जरूरी नहीं कि केवल (a=b) वाले युग्म हों। / Reflexivity does not require only (a=b) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हर तत्व के साथ उसका अपना युग्म ((a,a)) शर्त \(a^2=a^2\) पूरी करता है। / Each self-pair ((a,a)) satisfies \(a^2=a^2\).
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त युग्म हो सकते हैं, पर विकर्ण युग्म छूटने नहीं चाहिए। / Extra pairs may exist, but no diagonal pair may be missing.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b>2a\}\) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b>2a\}\). Choose the correct statement about (R).
#relations
#functions
#reflexive relation
#strict inequality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में सभी विकर्ण युग्म हैं / (R) contains all diagonal pairs
D (R) केवल ((1,1)) को रखता है / (R) contains only ((1,1))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर शर्त (a+a>2a) बनती है। / For ((a,a)), the condition becomes (a+a>2a).
Step 2
Why this answer is correct
यह (2a>2a) है, जो कभी सत्य नहीं होता। / This is (2a>2a), which is never true.
Step 3
Exam Tip
कड़ी असमानता में बराबरी वाला युग्म अक्सर असफल होता है। / In strict inequalities, diagonal pairs often fail.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a\leq b\}\) है। (R) परावर्ती क्यों है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a\leq b\}\). Why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#less than equal
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि \(a\leq a\) हर (a) के लिए सत्य है / Because \(a\leq a\) is true for every (a)
B क्योंकि (a<b) हर (a) के लिए सत्य है / Because (a<b) is true for every (a)
C क्योंकि केवल बड़ा तत्व चुना जाता है / Because only the larger element is selected
D क्योंकि (A) में तीन तत्व हैं / Because (A) has three elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि \(a\leq a\) हर (a) के लिए सत्य है / Because \(a\leq a\) is true for every (a)
Step 1
Concept
परावर्तीता में हर तत्व का अपने आप से संबंध होना चाहिए। / Reflexivity needs every element to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
\(\leq\) में बराबरी स्वीकार होती है, इसलिए \(a\leq a\) सत्य है। / The symbol \(\leq\) allows equality, so \(a\leq a\) is true.
Step 3
Exam Tip
\(\leq\) और (<) का अंतर परीक्षा में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between \(\leq\) and (<) is very important in exams.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a\neq b\}\) है। (R) को परावर्ती बनाने के लिए कितने युग्म जोड़ने होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a\neq b\}\). How many pairs must be added to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#not equal
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A 0
B 2
C 4
D 8
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Step 1
Concept
\(a\neq b\) में ((a,a)) कभी शामिल नहीं होगा। / In \(a\neq b\), no pair ((a,a)) is included.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में 4 तत्व हैं, इसलिए चार विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) जोड़ने होंगे। / Since (A) has 4 elements, four diagonal pairs must be added.
Step 3
Exam Tip
यदि संबंध सभी असमान युग्म रखता है तो परावर्ती बनाने के लिए सभी समान युग्म जोड़ें। / If a relation contains unequal pairs, add all equal self-pairs for reflexivity.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a+b\) is divisible by 2}) है। (R) की परावर्तीता के लिए कौन-सा तर्क सही है?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by 2}). Which argument correctly proves reflexivity of (R)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#divisibility by 2
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हर (a) के लिए (a+a=2a), जो (2) से विभाज्य है / For every (a), (a+a=2a), which is divisible by (2)
B केवल सम (a) के लिए (a+a) सम है / (a+a) is even only for even (a)
C केवल विषम (a) के लिए (a+a) सम है / (a+a) is even only for odd (a)
D कोई भी (a+a) (2) से विभाज्य नहीं होता / No (a+a) is divisible by (2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हर (a) के लिए (a+a=2a), जो (2) से विभाज्य है / For every (a), (a+a=2a), which is divisible by (2)
Step 1
Concept
परावर्तीता में (b=a) रखकर देखें। / To test reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
(a+a=2a) हर पूर्णांक (a) के लिए (2) से विभाज्य है। / (a+a=2a), which is divisible by (2) for every integer (a).
Step 3
Exam Tip
सम और विषम दोनों का स्वयं से योग सम होता है। / Both even and odd numbers give an even sum with themselves.
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\((A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a+b\) is divisible by 3}) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a+b\) is divisible by 3}). Choose the correct statement for (R).
#relations
#functions
#reflexive relation
#divisibility by 3
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है क्योंकि \((1,1)\notin R\) / (R) is not reflexive because \((1,1)\notin R\)
C (R) परावर्ती नहीं है क्योंकि \((3,3)\notin R\) / (R) is not reflexive because \((3,3)\notin R\)
D (R) परावर्ती है क्योंकि \(3\in A\) / (R) is reflexive because \(3\in A\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. (R) परावर्ती नहीं है क्योंकि \((1,1)\notin R\) / (R) is not reflexive because \((1,1)\notin R\)
Step 1
Concept
परावर्तीता में सभी ((a,a)) चाहिए। / Reflexivity requires all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) के लिए (1+1=2), जो (3) से विभाज्य नहीं है। / For ((1,1)), (1+1=2), which is not divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
एक भी विकर्ण युग्म गायब हो तो संबंध परावर्ती नहीं होता। / If even one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.
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\(यदि (A={3,6,9}) और (R={(a,b):a+b\) is divisible by 3}) है, तो (R) परावर्ती है या नहीं?
\(If (A={3,6,9}) and (R={(a,b):a+b\) is divisible by 3}), is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#set condition
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+10 Time+ 10 sec extra
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A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल ((3,3)) के लिए / Only for ((3,3))
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
(A) का हर तत्व (3) से विभाज्य है। / Every element of (A) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) के लिए (a+a=2a), और (a) यदि (3) से विभाज्य है तो (2a) भी (3) से विभाज्य होगा। / For ((a,a)), (a+a=2a), and if (a) is divisible by (3), then (2a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
समुच्चय की प्रकृति शर्त के साथ मिलाकर देखें। / Always connect the nature of the set with the condition.
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\(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{2}\)}) है। (R) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{2}\)}). Choose the correct option about (R).
#relations
#functions
#reflexive relation
#modulo
50 50-50 2 wrong hide
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परावर्ती है / Reflexive
B परावर्ती नहीं है / Not reflexive
C केवल सम संख्याओं पर परावर्ती है / Reflexive only on even numbers
D केवल विषम संख्याओं पर परावर्ती है / Reflexive only on odd numbers
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Correct Answer
A. परावर्ती है / Reflexive
Step 1
Concept
हर संख्या का स्वयं से शेष समान होता है। / Every number has the same remainder as itself.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर (a) के लिए \(a \equiv a \pmod{2}\) सत्य है और ((a,a)) संबंध में है। / Therefore \(a \equiv a \pmod{2}\) is true for every (a), so all diagonal pairs are present.
Step 3
Exam Tip
समानता वाले अवशेष संबंध सामान्यतः परावर्ती होते हैं। / Congruence-based equality relations are usually reflexive.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (R={(a,b):\(a \equiv b+1 \pmod{2}\)}) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (R={(a,b):\(a \equiv b+1 \pmod{2}\)}). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#congruence
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (a=1) के लिए / Only for (a=1)
D केवल (a=2) के लिए / Only for (a=2)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
परावर्ती जाँच के लिए (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a \equiv a+1 \pmod{2}\) बनेगी, जिसका अर्थ है \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), यह असत्य है। / The condition becomes \(a \equiv a+1 \pmod{2}\), which means \(0 \equiv 1 \pmod{2}\), false.
Step 3
Exam Tip
ऐसी शर्त में स्वयं से संबंध अक्सर नहीं बनता। / Such shifted congruence conditions often fail for self-pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{3}\)}) है, तो (R) परावर्ती क्यों है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and (R={(a,b):\(a \equiv b \pmod{3}\)}), why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#mod 3
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A क्योंकि (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है / Because (a-a=0), which is divisible by (3)
B क्योंकि हर (a) (3) से विभाज्य है / Because every (a) is divisible by (3)
C क्योंकि (A) में (3) है / Because (A) contains (3)
D क्योंकि सभी युग्म अलग-अलग हैं / Because all pairs are different
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (a-a=0), जो (3) से विभाज्य है / Because (a-a=0), which is divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a \equiv b \pmod{3}\) का अर्थ (a-b) का (3) से विभाज्य होना है। / \(a \equiv b \pmod{3}\) means (a-b) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) पर (a-a=0), और (0) हर धन पूर्णांक से विभाज्य माना जाता है। / For ((a,a)), (a-a=0), and (0) is divisible by every positive integer.
Step 3
Exam Tip
अवशेष संबंध में स्वयं से तुलना हमेशा सत्य होती है। / In congruence relations, self-comparison is always true.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(a,b):a+b\leq 5\}\) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), the relation \(R=\{(a,b):a+b\leq 5\}\) is given. Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#inequality condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ क्योंकि सभी \(a+a\leq 5\) हैं / Yes because all \(a+a\leq 5\)
B नहीं क्योंकि ((3,3)) और ((4,4)) नहीं हैं / No because ((3,3)) and ((4,4)) are missing
C हाँ क्योंकि (5) बड़ा है / Yes because (5) is large
D नहीं क्योंकि ((1,1)) नहीं है / No because ((1,1)) is missing
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं क्योंकि ((3,3)) और ((4,4)) नहीं हैं / No because ((3,3)) and ((4,4)) are missing
Step 1
Concept
सभी विकर्ण युग्मों पर शर्त जाँचें। / Check the condition on all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
((3,3)) के लिए \(6\leq 5\) असत्य है और ((4,4)) के लिए \(8\leq 5\) असत्य है। / For ((3,3)), \(6\leq 5\) is false, and for ((4,4)), \(8\leq 5\) is false.
Step 3
Exam Tip
कुछ विकर्ण युग्म मिलना काफी नहीं, सभी मिलने चाहिए। / Some diagonal pairs are not enough; all must be present.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\leq 6\}\) है। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):a+b\leq 6\}\). What is the correct statement about (R)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#bounded relation
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परावर्ती है / Reflexive
B परावर्ती नहीं है / Not reflexive
C केवल ((3,3)) गायब है / Only ((3,3)) is missing
D रिक्त संबंध है / Empty relation
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. परावर्ती है / Reflexive
Step 1
Concept
(A) के विकर्ण युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं। / The diagonal pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इनके योग क्रमशः (2,4,6) हैं और सभी (6) से कम या बराबर हैं। / Their sums are (2,4,6), all less than or equal to (6).
Step 3
Exam Tip
सीमा वाली शर्त में सबसे बड़े तत्व का स्वयं से योग जरूर जाँचें। / In bounded sum conditions, check the largest element with itself.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a+b\geq 4\}\) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a+b\geq 4\}\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#sum condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं क्योंकि \((1,1)\notin R\) / No because \((1,1)\notin R\)
C नहीं क्योंकि \((4,4)\notin R\) / No because \((4,4)\notin R\)
D हाँ केवल बड़े तत्वों के कारण / Yes only because of larger elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं क्योंकि \((1,1)\notin R\) / No because \((1,1)\notin R\)
Step 1
Concept
परावर्ती होने के लिए सबसे छोटे तत्व का भी स्वयं से संबंध चाहिए। / Reflexivity requires even the smallest element to be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
((1,1)) के लिए (1+1=2), जो (4) से कम है। / For ((1,1)), (1+1=2), which is less than (4).
Step 3
Exam Tip
एक असफल विकर्ण युग्म पूरा संबंध अपारावर्ती बना देता है। / One failed diagonal pair makes the relation non-reflexive.
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यदि \(A=\{2,3,4,5\}\) और \(R=\{(a,b):a+b\geq 4\}\) है, तो (R) परावर्ती है या नहीं?
If \(A=\{2,3,4,5\}\) and \(R=\{(a,b):a+b\geq 4\}\), is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#minimum element
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल ((2,2)) असफल है / Only ((2,2)) fails
D केवल ((5,5)) सफल है / Only ((5,5)) works
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए (a+a=2a) होगा। / For ((a,a)), the sum is (2a).
Step 2
Why this answer is correct
(A) का सबसे छोटा तत्व (2) है और (2+2=4), इसलिए बाकी सभी के लिए भी शर्त पूरी होगी। / The smallest element is (2), and (2+2=4), so all larger elements also satisfy the condition.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में सबसे छोटे तत्व का विकर्ण युग्म निर्णायक हो सकता है। / In such questions, the smallest diagonal pair can decide reflexivity.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab\geq a^2\}\) है। (R) के लिए सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab\geq a^2\}\). Choose the correct statement for (R).
#relations
#functions
#reflexive relation
#product condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) में कोई विकर्ण युग्म नहीं है / (R) has no diagonal pair
D (R) केवल (a=1) के लिए परावर्ती है / (R) is reflexive only for (a=1)
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Correct Answer
A. (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर \(ab=a^2\) हो जाता है। / Put ((a,a)), so \(ab=a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
शर्त \(a^2\geq a^2\) बनती है, जो हर (a) के लिए सत्य है। / The condition becomes \(a^2\geq a^2\), true for every (a).
Step 3
Exam Tip
जब असमानता में बराबरी संभव हो, तो विकर्ण युग्म छूटते नहीं हैं। / If equality is allowed in an inequality, diagonal pairs often satisfy it.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(a,b):ab>a^2\}\) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On \(A=\{1,2,3\}\), \(R=\{(a,b):ab>a^2\}\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#strict product condition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (a=1) के लिए / Only for (a=1)
D केवल (a=3) के लिए / Only for (a=3)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
परावर्ती जाँच में (b=a) रखें। / For reflexivity, put (b=a).
Step 2
Why this answer is correct
तब शर्त \(a^2>a^2\) बनती है, जो कभी सत्य नहीं है। / The condition becomes \(a^2>a^2\), which is never true.
Step 3
Exam Tip
कड़े (>) में अपने-आप से तुलना असफल हो सकती है। / A strict (>) comparison with itself fails.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):a^2+b^2\geq 2ab\}\) है। (R) की परावर्तीता के बारे में क्या सही है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):a^2+b^2\geq 2ab\}\). What is correct about the reflexivity of (R)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#algebraic inequality
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C केवल (a=1) पर सत्य है / True only for (a=1)
D केवल अलग तत्वों पर सत्य है / True only for different elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर \(a^2+a^2\geq 2a^2\) बनता है। / Put ((a,a)), giving \(a^2+a^2\geq 2a^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(2a^2\geq 2a^2\) है, जो हर तत्व के लिए सत्य है। / This is \(2a^2\geq 2a^2\), true for every element.
Step 3
Exam Tip
पहचान (a-2 +b-2 -2ab=(a-b)2 ) भी बताती है कि शर्त कभी ऋणात्मक नहीं होती। / Also, (a-2 +b-2 -2ab=(a-b)2 ), which is never negative.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\) है। (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):(a-b)^2>0\}\). Choose the correct statement about (R).
#relations
#functions
#reflexive relation
#square condition
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? Hint Small clue
A परावर्ती है / Reflexive
B परावर्ती नहीं है / Not reflexive
C सभी विकर्ण युग्म शामिल हैं / All diagonal pairs are included
D सार्वत्रिक संबंध है / Universal relation
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Correct Answer
B. परावर्ती नहीं है / Not reflexive
Step 1
Concept
((a,a)) के लिए ((a-a)2 =0) होता है। / For ((a,a)), ((a-a)2 =0).
Step 2
Why this answer is correct
(0>0) असत्य है, इसलिए कोई विकर्ण युग्म नहीं आएगा। / (0>0) is false, so no diagonal pair belongs.
Step 3
Exam Tip
((a-b)2 >0) का अर्थ है \(a\neq b\), इसलिए यह परावर्ती नहीं है। / ((a-b)2 >0) means \(a\neq b\), so the relation is not reflexive.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(a,b):(a-b)^2\geq 0\}\) है। यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(a,b):(a-b)^2\geq 0\}\). What type of relation is this?
#relations
#functions
#reflexive relation
#nonnegative square
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A परावर्ती है / Reflexive
B परावर्ती नहीं है / Not reflexive
C केवल पहचान संबंध है / Only identity relation
D रिक्त संबंध है / Empty relation
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Correct Answer
A. परावर्ती है / Reflexive
Step 1
Concept
किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग (0) या उससे बड़ा होता है। / The square of any real number is non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
((a,a)) पर मान (0) आता है, और \(0\geq 0\) सत्य है। / For ((a,a)), the value is (0), and \(0\geq 0\) is true.
Step 3
Exam Tip
वर्ग की गैर-ऋणात्मकता से जुड़े संबंधों में विकर्ण युग्म अवश्य जाँचें। / In relations involving non-negative squares, check diagonal pairs carefully.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=\{(a,b):\frac{a}{b}=1\}\) है, तो (R) परावर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=\{(a,b):\frac{a}{b}=1\}\), is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#fraction condition
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (a=1) के लिए / Only for (a=1)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
परावर्ती जाँच में (b=a) रखें। / Put (b=a) to test reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
हर \(a \in A\) शून्य नहीं है, इसलिए \(\frac{a}{a}=1\) सत्य है। / Since every \(a \in A\) is non-zero, \(\frac{a}{a}=1\) is true.
Step 3
Exam Tip
भिन्न वाले संबंधों में हर तत्व के शून्य न होने की बात भी देखें। / In fraction-based relations, also check that the denominator is not zero.
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\(A=\{0,1,2\}\) पर \(R=\{(a,b):\frac{a}{b}=1\}\) दिया है, जहाँ भिन्न केवल \(b\neq 0\) पर परिभाषित है। (R) परावर्ती है या नहीं?
On \(A=\{0,1,2\}\), \(R=\{(a,b):\frac{a}{b}=1\}\), where the fraction is defined only for \(b\neq 0\). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#undefined fraction
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं क्योंकि ((0,0)) परिभाषित नहीं है / No because ((0,0)) is not defined
C हाँ क्योंकि (0=0) है / Yes because (0=0)
D नहीं क्योंकि ((1,1)) नहीं है / No because ((1,1)) is missing
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Correct Answer
B. नहीं क्योंकि ((0,0)) परिभाषित नहीं है / No because ((0,0)) is not defined
Step 1
Concept
परावर्तीता के लिए ((0,0)), ((1,1)), ((2,2)) सभी चाहिए। / Reflexivity needs ((0,0)), ((1,1)), and ((2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{0}{0}\) परिभाषित नहीं है, इसलिए ((0,0)) संबंध में नहीं आ सकता। / \(\frac{0}{0}\) is undefined, so ((0,0)) cannot belong to the relation.
Step 3
Exam Tip
शून्य वाले समुच्चय में विभाजन शर्त को सावधानी से पढ़ें। / With sets containing zero, read division conditions carefully.
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\(समुच्चय (A={1,2,3,4}) पर (R={(a,b):a\mid b\) and b\mid a}) है। (R) परावर्ती क्यों है?
\(On (A={1,2,3,4}), (R={(a,b):a\mid b\) and \(b\mid a}). Why is (R) reflexive\)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#divides
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? Hint Small clue
A क्योंकि हर (a) अपने-आप को विभाजित करता है / Because every (a) divides itself
B क्योंकि हर (a) हर (b) को विभाजित करता है / Because every (a) divides every (b)
C क्योंकि केवल (1) सबको विभाजित करता है / Because only (1) divides all
D क्योंकि (A) में चार तत्व हैं / Because (A) has four elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर (a) अपने-आप को विभाजित करता है / Because every (a) divides itself
Step 1
Concept
परावर्तीता में ((a,a)) पर शर्त जाँचें। / Test the condition on ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
हर (a) के लिए \(a\mid a\) और \(a\mid a\) दोनों सत्य हैं। / For every (a), both \(a\mid a\) and \(a\mid a\) are true.
Step 3
Exam Tip
विभाज्यता में स्वयं से विभाजन हमेशा वैध होता है, यदि \(a\neq 0\) हो। / A number divides itself, provided it is non-zero.
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\((A={2,4,6,8}) पर (R={(a,b):\frac{b}{a}\) is an integer}) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
\(On (A={2,4,6,8}), (R={(a,b):\frac{b}{a}\) is an integer}). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#integer quotient
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल (a=2) के लिए / Only for (a=2)
D केवल (a=8) के लिए / Only for (a=8)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
((a,a)) रखने पर \(\frac{a}{a}=1\) मिलता है। / For ((a,a)), \(\frac{a}{a}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
(1) पूर्णांक है, इसलिए हर विकर्ण युग्म शामिल है। / Since (1) is an integer, every diagonal pair is included.
Step 3
Exam Tip
भागफल वाले प्रश्न में स्वयं से भाग देने पर (1) आता है, यदि हर तत्व शून्य न हो। / In quotient conditions, dividing a non-zero element by itself gives (1).
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\(यदि (A={1,2,3,4}) और (R={(a,b):a\) and b have the same parity}) है, तो (R) परावर्ती क्यों है?
\(If (A={1,2,3,4}) and (R={(a,b):a\) and b have the same parity}), why is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#parity
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? Hint Small clue
A क्योंकि हर संख्या की सम-विषम प्रकृति स्वयं जैसी होती है / Because every number has the same parity as itself
B क्योंकि सभी संख्याएँ सम हैं / Because all numbers are even
C क्योंकि सभी संख्याएँ विषम हैं / Because all numbers are odd
D क्योंकि समुच्चय में (4) तत्व हैं / Because the set has (4) elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि हर संख्या की सम-विषम प्रकृति स्वयं जैसी होती है / Because every number has the same parity as itself
Step 1
Concept
((a,a)) में दोनों स्थानों पर वही संख्या है। / In ((a,a)), both entries are the same number.
Step 2
Why this answer is correct
कोई संख्या स्वयं के साथ समान सम-विषम प्रकृति रखती है, इसलिए हर विकर्ण युग्म संबंध में है। / A number has the same parity as itself, so every diagonal pair belongs.
Step 3
Exam Tip
समान गुण पर आधारित संबंध में स्वयं से तुलना प्रायः सत्य होती है। / Relations based on the same property are usually reflexive.
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\((A={1,2,3,4,5}) पर (R={(a,b):a\) and b are of opposite parity}) है। (R) परावर्ती है या नहीं?
\(On (A={1,2,3,4,5}), (R={(a,b):a\) and b are of opposite parity}). Is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#opposite parity
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? Hint Small clue
A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल सम तत्वों पर / Only on even elements
D केवल विषम तत्वों पर / Only on odd elements
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
((a,a)) में दोनों संख्याएँ एक ही होती हैं। / In ((a,a)), both numbers are identical.
Step 2
Why this answer is correct
एक संख्या स्वयं के विपरीत सम-विषम प्रकृति की नहीं हो सकती। इसलिए कोई विकर्ण युग्म संबंध में नहीं होगा। / A number cannot have parity opposite to itself, so no diagonal pair belongs.
Step 3
Exam Tip
विपरीत गुण वाले संबंध परावर्ती नहीं होते। / Relations based on opposite properties are not reflexive.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है, तो (R) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\), which statement about (R) is correct?
#relations
#functions
#reflexive relation
#extra pairs
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? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है क्योंकि अतिरिक्त युग्म है / (R) is not reflexive because it has an extra pair
C (R) परावर्ती नहीं है क्योंकि ((2,1)) नहीं है / (R) is not reflexive because ((2,1)) is missing
D (R) रिक्त संबंध है / (R) is empty
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
Step 1
Concept
परावर्तीता के लिए केवल सभी विकर्ण युग्मों की उपस्थिति जरूरी है। / Reflexivity requires the presence of all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। / Here ((1,1),(2,2),(3,3)) are all present, so the relation is reflexive.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त युग्म परावर्तीता को खराब नहीं करते। / Extra pairs do not destroy reflexivity.
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\(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,4),(4,1)\}\) है। (R) को परावर्ती बनाने के लिए न्यूनतम क्या करना होगा?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,4),(4,1)\}\). What minimum action is needed to make (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#minimal addition
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+10 Time+ 10 sec extra
? Hint Small clue
A ((4,4)) जोड़ना होगा / Add ((4,4))
B ((2,4)) जोड़ना होगा / Add ((2,4))
C ((4,2)) जोड़ना होगा / Add ((4,2))
D कुछ भी जोड़ने की जरूरत नहीं / Nothing needs to be added
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. ((4,4)) जोड़ना होगा / Add ((4,4))
Step 1
Concept
(A) के लिए चार विकर्ण युग्म चाहिए। / Four diagonal pairs are needed for (A).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, पर ((4,4)) नहीं है। / The relation has ((1,1),(2,2),(3,3)), but not ((4,4)).
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम जोड़ में केवल छूटा हुआ विकर्ण युग्म जोड़ें। / For minimum addition, add only the missing diagonal pair.
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किसी (n) तत्वों वाले अशून्य समुच्चय (A) पर एक संबंध (R) में ठीक (n-1) विकर्ण युग्म हैं। (R) के बारे में सही कथन क्या है?
On a non-empty set (A) with (n) elements, a relation (R) contains exactly (n-1) diagonal pairs. What is the correct statement about (R)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#n elements
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? Hint Small clue
A (R) परावर्ती है / (R) is reflexive
B (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
C (R) सार्वत्रिक संबंध है / (R) is universal
D (R) रिक्त संबंध है / (R) is empty
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Correct Answer
B. (R) परावर्ती नहीं है / (R) is not reflexive
Step 1
Concept
(n) तत्वों वाले समुच्चय पर परावर्ती संबंध में (n) विकर्ण युग्म चाहिए। / A reflexive relation on an (n)-element set needs all (n) diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ केवल (n-1) विकर्ण युग्म हैं, मतलब एक तत्व का स्वयं से संबंध नहीं है। / Here only (n-1) diagonal pairs are present, so one element is not related to itself.
Step 3
Exam Tip
एक विकर्ण युग्म भी छूटे तो परावर्तीता समाप्त हो जाती है। / Missing even one diagonal pair destroys reflexivity.
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किसी 5 तत्वों वाले समुच्चय पर बनाए गए परावर्ती संबंध में न्यूनतम कितने क्रमित युग्म होने चाहिए?
For a set with 5 elements, what is the minimum number of ordered pairs in a reflexive relation on it?
#relations
#functions
#reflexive relation
#counting
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? Hint Small clue
A 5
B 10
C 20
D 25
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Step 1
Concept
परावर्ती संबंध में हर तत्व के लिए एक विकर्ण युग्म जरूरी है। / A reflexive relation must contain one diagonal pair for each element.
Step 2
Why this answer is correct
5 तत्वों के लिए न्यूनतम युग्म ((a,a)) प्रकार के 5 होंगे। / For 5 elements, the minimum number of required pairs is 5.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम संख्या पूछी जाए तो केवल अनिवार्य विकर्ण युग्म गिनें। / For minimum count, count only compulsory diagonal pairs.
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किसी 4 तत्वों वाले समुच्चय पर परावर्ती संबंधों की संख्या कितनी होगी?
How many reflexive relations are possible on a set with 4 elements?
#relations
#functions
#reflexive relation
#number of relations
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? Hint Small clue
A \(2^{16}\)
B \(2^{12}\)
C \(2^4\)
D \(4^2\)
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Correct Answer
B. \(2^{12}\)
Step 1
Concept
कुल क्रमित युग्म \(4^2=16\) हैं। / Total ordered pairs are \(4^2=16\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंध में 4 विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए शेष (16-4=12) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / A reflexive relation must include 4 diagonal pairs, so the remaining (16-4=12) pairs are optional.
Step 3
Exam Tip
स्वतंत्र युग्मों की संख्या (m) हो तो संबंधों की संख्या \(2^m\) होती है। / If (m) pairs are optional, the number of choices is \(2^m\).
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किसी (n) तत्वों वाले समुच्चय पर परावर्ती संबंधों की संख्या के लिए सही सूत्र कौन-सा है?
Which formula gives the number of reflexive relations on a set with (n) elements?
#relations
#functions
#reflexive relation
#general formula
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? Hint Small clue
A \(2^{n^2}\)
B \(2^n\)
C \(2^{n^2-n}\)
D \(n^2-n\)
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Correct Answer
C. \(2^{n^2-n}\)
Step 1
Concept
कुल युग्म \(n^2\) होते हैं। / There are \(n^2\) total ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
(n) विकर्ण युग्म परावर्तीता के लिए निश्चित रूप से लेने होंगे। / The (n) diagonal pairs are compulsory for reflexivity.
Step 3
Exam Tip
शेष \(n^2-n\) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2^{n^2-n}\) होगी। / The remaining \(n^2-n\) pairs are optional, so the count is \(2^{n^2-n}\).
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3 तत्वों वाले समुच्चय पर कुल संबंधों में से कितने संबंध परावर्ती नहीं होंगे?
On a set with 3 elements, how many relations are not reflexive among all possible relations?
#relations
#functions
#reflexive relation
#non reflexive count
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? Hint Small clue
A 64
B 512
C 448
D 8
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Step 1
Concept
कुल संबंधों की संख्या \(2^{3^2}=2^9=512\) है। / Total relations are \(2^{3^2}=2^9=512\).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्ती संबंधों की संख्या \(2^{9-3}=2^6=64\) है। / Reflexive relations are \(2^{9-3}=2^6=64\).
Step 3
Exam Tip
परावर्ती नहीं संबंध (512-64=448) होंगे। / Non-reflexive relations are (512-64=448).
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यदि 3 तत्वों वाले समुच्चय पर एक संबंध परावर्ती होना चाहिए और कुल 5 युग्म रखने चाहिए, तो ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है?
If a relation on a 3-element set must be reflexive and must contain exactly 5 pairs, how many such relations are possible?
#relations
#functions
#reflexive relation
#combination count
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? Hint Small clue
A 3
B 6
C 9
D 12
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Step 1
Concept
परावर्तीता के कारण 3 विकर्ण युग्म निश्चित हैं। / Reflexivity fixes the 3 diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 5 युग्म चाहिए, इसलिए शेष 2 युग्म गैर-विकर्ण 6 युग्मों में से चुनने होंगे। / To have exactly 5 pairs, choose 2 more from the 6 non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(\binom{6}{2}=15\) नहीं, ध्यान दें विकल्पों में सही गणना होनी चाहिए; यहाँ सही मान 15 होता है। / The count is \(\binom{6}{2}=15\), so none of the listed numerical choices is correct.
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3 तत्वों वाले समुच्चय पर एक परावर्ती संबंध में ठीक 5 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या कितनी होगी?
A reflexive relation on a 3-element set has exactly 5 pairs. How many such relations are possible?
#relations
#functions
#reflexive relation
#exact pairs
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? Hint Small clue
A 6
B 12
C 15
D 18
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Step 1
Concept
3 विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The 3 diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 5 युग्म चाहिए, इसलिए 2 अतिरिक्त युग्म गैर-विकर्ण \(3^2-3=6\) युग्मों में से चुनेंगे। / Since exactly 5 pairs are needed, choose 2 additional pairs from \(3^2-3=6\) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संख्या \(\binom{6}{2}=15\) है। / Therefore the number is \(\binom{6}{2}=15\).
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4 तत्वों वाले समुच्चय पर एक परावर्ती संबंध में ठीक 6 युग्म हैं। ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है?
A reflexive relation on a 4-element set has exactly 6 pairs. How many such relations are possible?
#relations
#functions
#reflexive relation
#combination
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? Hint Small clue
A 12
B 24
C 66
D 72
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Step 1
Concept
4 विकर्ण युग्म अनिवार्य हैं। / The 4 diagonal pairs are compulsory.
Step 2
Why this answer is correct
कुल 6 युग्म चाहिए, इसलिए 2 अतिरिक्त युग्म गैर-विकर्ण (16-4=12) युग्मों में से चुनेंगे। / To have exactly 6 pairs, choose 2 extra pairs from (16-4=12) non-diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(\binom{12}{2}=66\) होगी। / The number is \(\binom{12}{2}=66\).
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किसी 4 तत्वों वाले समुच्चय पर परावर्ती संबंध में अधिकतम कितने युग्म हो सकते हैं?
What is the maximum number of pairs in a reflexive relation on a set with 4 elements?
#relations
#functions
#reflexive relation
#maximum pairs
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A 4
B 8
C 12
D 16
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Step 1
Concept
परावर्तीता केवल यह कहती है कि विकर्ण युग्म होने चाहिए। / Reflexivity only requires diagonal pairs to be present.
Step 2
Why this answer is correct
बाकी सभी युग्म भी जोड़े जा सकते हैं, इसलिए अधिकतम संबंध सार्वत्रिक संबंध होगा। / All other pairs may also be included, so the maximum case is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
4 तत्वों पर कुल \(4^2=16\) युग्म होते हैं। / A 4-element set has \(4^2=16\) ordered pairs.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=A\times A-{(2,2)}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन क्या है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=A\times A-{(2,2)}\), what is the correct statement about (R)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#cartesian product
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? Hint Small clue
A परावर्ती है / Reflexive
B परावर्ती नहीं है / Not reflexive
C रिक्त संबंध है / Empty relation
D पहचान संबंध है / Identity relation
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Correct Answer
B. परावर्ती नहीं है / Not reflexive
Step 1
Concept
\(A\times A\) में सभी युग्म होते हैं, पर ((2,2)) हटाया गया है। / \(A\times A\) contains all pairs, but ((2,2)) has been removed.
Step 2
Why this answer is correct
परावर्तीता के लिए ((2,2)) भी अनिवार्य था। / Reflexivity requires ((2,2)) as well.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध से एक विकर्ण युग्म हटाने पर संबंध परावर्ती नहीं रहता। / Removing even one diagonal pair from the universal relation destroys reflexivity.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(R=A\times A-{(1,2),(3,4)}\) है, तो (R) परावर्ती है या नहीं?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(R=A\times A-{(1,2),(3,4)}\), is (R) reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#removed pairs
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A हाँ / Yes
B नहीं / No
C केवल दो विकर्ण युग्म बचे हैं / Only two diagonal pairs remain
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Correct Answer
A. हाँ / Yes
Step 1
Concept
\(A\times A\) में सभी विकर्ण युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
हटाए गए युग्म ((1,2)) और ((3,4)) हैं, जो विकर्ण युग्म नहीं हैं। / The removed pairs ((1,2)) and ((3,4)) are not diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
गैर-विकर्ण युग्म हटाने से परावर्तीता पर असर नहीं पड़ता। / Removing non-diagonal pairs does not affect reflexivity.
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\(A=\{1,2,3\}\) पर पहचान संबंध \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) दिया है। (I) के बारे में सही कथन चुनिए।
On \(A=\{1,2,3\}\), the identity relation \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) is given. Choose the correct statement about (I).
#relations
#functions
#reflexive relation
#identity relation
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A (I) परावर्ती है / (I) is reflexive
B (I) परावर्ती नहीं है / (I) is not reflexive
C (I) में कोई विकर्ण युग्म नहीं है / (I) has no diagonal pair
D (I) केवल सार्वत्रिक संबंध होने पर परावर्ती है / (I) is reflexive only if it is universal
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Correct Answer
A. (I) परावर्ती है / (I) is reflexive
Step 1
Concept
पहचान संबंध में हर तत्व का अपने-आप से युग्म होता है। / The identity relation contains each element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
(A) के सभी तीन विकर्ण युग्म (I) में मौजूद हैं। / All three diagonal pairs of (A) are present in (I).
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध हर समुच्चय पर परावर्ती संबंध का सबसे छोटा रूप है। / The identity relation is the smallest reflexive relation on a set.
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किसी अशून्य समुच्चय (A) पर रिक्त संबंध \(\phi\) दिया है। यह परावर्ती है या नहीं?
On a non-empty set (A), the empty relation \(\phi\) is given. Is it reflexive?
#relations
#functions
#reflexive relation
#empty relation
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A हाँ / Yes
B नहीं / No
C हमेशा सार्वत्रिक है / Always universal
D केवल एक तत्व वाले समुच्चय पर / Only on a one-element set
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Correct Answer
B. नहीं / No
Step 1
Concept
अशून्य समुच्चय में कम से कम एक तत्व (a) होता है। / A non-empty set has at least one element (a).
Step 2
Why this answer is correct
परावर्तीता के लिए ((a,a)) चाहिए, पर रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता। / Reflexivity requires ((a,a)), but the empty relation has no pairs.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध अशून्य समुच्चय पर परावर्ती नहीं होता। / The empty relation is not reflexive on a non-empty set.
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यदि \(A=\phi\) है और \(R=\phi\) है, तो (R) को (A) पर परावर्ती मानने के बारे में कौन-सा कथन सही है?
If \(A=\phi\) and \(R=\phi\), which statement is correct about considering (R) reflexive on (A)?
#relations
#functions
#reflexive relation
#empty set
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? Hint Small clue
A यह परावर्ती है क्योंकि जाँचने के लिए कोई तत्व नहीं है / It is reflexive because there is no element to check
B यह परावर्ती नहीं है क्योंकि कोई युग्म नहीं है / It is not reflexive because there is no pair
C यह केवल तब परावर्ती है जब एक युग्म जोड़ा जाए / It is reflexive only after adding one pair
D यह सार्वत्रिक नहीं हो सकता इसलिए परावर्ती नहीं है / It cannot be universal so it is not reflexive
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Correct Answer
A. यह परावर्ती है क्योंकि जाँचने के लिए कोई तत्व नहीं है / It is reflexive because there is no element to check
Step 1
Concept
परावर्तीता कहती है कि हर \(a \in A\) के लिए \((a,a)\in R\) हो। / Reflexivity says that for every \(a \in A\), \((a,a)\in R\).
Step 2
Why this answer is correct
जब \(A=\phi\) है, तो ऐसा कोई (a) नहीं है जिसके लिए शर्त टूटे। / When \(A=\phi\), there is no element (a) for which the condition can fail.
Step 3
Exam Tip
खाली समुच्चय पर यह शर्त रिक्त सत्यता के कारण पूरी मानी जाती है। / On the empty set, the condition is treated as true by vacuous truth.
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