\(A\times A\) has 16 pairs, and 4 self-pairs are compulsory in a reflexive relation.
Step 2
Why this answer is correct
In (P), ((4,4)) is already counted among self-pairs, while ((1,2)) and ((2,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\). चरण 1: \(A\times A\) में (16) युग्म हैं और परावर्ती संबंध में 4 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: (P) में ((4,4)) पहले से अपने-अपने युग्मों में गिना गया है, जबकि ((1,2)) और ((2,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। चरण 3: कुल निश्चित युग्म (6) हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) होगी।
A reflexive relation must contain ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).
Step 2
Why this answer is correct
In (P), ((2,2)) is already counted among these four, while ((1,3)) and ((3,1)) are two extra fixed pairs.
Step 3
Exam Tip
So 6 pairs are fixed, (16-6=10) pairs are free, and the count is \(2^{10}\). चरण 1: परावर्ती संबंध में ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) चार युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: (P) में ((2,2)) पहले से इन चार में गिना गया है, जबकि ((1,3)) और ((3,1)) दो अतिरिक्त निश्चित युग्म हैं। चरण 3: कुल निश्चित युग्म 6 हैं, इसलिए (16-6=10) युग्म स्वतंत्र हैं और संख्या \(2^{10}\) है।
To have 8 total pairs, choose 3 pairs from the (25-5=20) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(\binom{20}{3}\). चरण 1: 5 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 5 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 8 युग्म चाहिए, इसलिए (25-5=20) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। चरण 3: इसलिए ऐसे संबंधों की संख्या \(\binom{20}{3}\) होगी।
To have 9 total pairs, choose 3 pairs from the (36-6=30) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
Hence the number is \(\binom{30}{3}\). चरण 1: 6 तत्वों पर परावर्ती संबंध में 6 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: कुल 9 युग्म चाहिए, इसलिए (36-6=30) गैर-अपने युग्मों में से 3 युग्म चुनने होंगे। चरण 3: अतः संख्या \(\binom{30}{3}\) होगी।
On 3 elements, the total number of reflexive relations is \(2^{9-3}=64\).
Step 2
Why this answer is correct
One of them is the identity relation and one is the universal relation.
Step 3
Exam Tip
Removing both gives (64-2=62). चरण 1: 3 तत्वों पर कुल परावर्ती संबंध \(2^{9-3}=64\) होते हैं। चरण 2: इनमें पहचान संबंध एक है और सार्वत्रिक संबंध भी एक अलग संबंध है। चरण 3: दोनों को हटाने पर (64-2=62) संबंध बचते हैं।
On 4 elements, the total number of reflexive relations is \(2^{16-4}=2^{12}\).
Step 2
Why this answer is correct
The identity relation is exactly one of them.
Step 3
Exam Tip
Only the identity relation is removed, so the count is \(2^{12}-1\). चरण 1: 4 तत्वों पर कुल परावर्ती संबंध \(2^{16-4}=2^{12}\) हैं। चरण 2: पहचान संबंध इनमें से ठीक एक है। चरण 3: केवल पहचान संबंध हटाना है, इसलिए संख्या \(2^{12}-1\) है।
Reflexivity fixes 4 self-pairs and leaves 12 non-self pairs free.
Step 2
Why this answer is correct
At least 6 total pairs means at least 2 non-self pairs must be chosen.
Step 3
Exam Tip
From \(2^{12}\), subtract cases with 0 or 1 non-self pair: (1+12=13), so the answer is \(2^{12}-13\). चरण 1: परावर्ती होने से 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं और 12 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं। चरण 2: कम से कम 6 कुल युग्मों के लिए कम से कम 2 गैर-अपने युग्म चुने जाने चाहिए। चरण 3: कुल \(2^{12}\) विकल्पों में से 0 या 1 गैर-अपने युग्म वाले (1+12=13) मामले हटेंगे, इसलिए उत्तर \(2^{12}-13\) है।
At most 6 total pairs means choosing 0, 1, or 2 pairs from the 12 non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
The count is \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। चरण 2: अधिकतम 6 कुल युग्मों का अर्थ है कि 12 गैर-अपने युग्मों में से 0, 1, या 2 युग्म चुने जा सकते हैं। चरण 3: कुल संख्या \(\binom{12}{0}+\binom{12}{1}+\binom{12}{2}=1+12+66=79\) है।
Exactly one of ((1,2)) and ((2,1)) can be chosen in 2 ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(2\times2^4=32\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) में से ठीक एक चुनने के 2 तरीके हैं। चरण 3: बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(2\times2^4=32\) है।
Choose exactly 1 of the given 3 non-self pairs in \(\binom{3}{1}=3\) ways.
Step 3
Exam Tip
The remaining 3 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^3=24\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: दिए गए 3 गैर-अपने युग्मों में से ठीक 1 चुनने के \(\binom{3}{1}=3\) तरीके हैं। चरण 3: बाकी 3 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^3=24\) है।
(S) has no self-pair, so subtracting (S) will not remove the required pairs.
Step 3
Exam Tip
All self-pairs remain, hence (R-S) is reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए उसमें सभी अपने-अपने युग्म मौजूद हैं। चरण 2: (S) में कोई अपने-अपने युग्म नहीं है, इसलिए घटाने पर जरूरी युग्म नहीं हटेंगे। चरण 3: सभी अपने-अपने युग्म बचे रहेंगे, इसलिए (R-S) परावर्ती होगा।
B. यह परावर्ती नहीं हो सकता/It cannot be reflexive
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so the self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। चरण 2: \(A\times A-R\) में (R) के सभी युग्म हट जाते हैं, इसलिए अपने-अपने युग्म भी हट जाते हैं। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता।
A. यह परावर्ती नहीं हो सकता/It cannot be reflexive
Step 1
Concept
A reflexive (R) contains every ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
In \(A\times A-R\), all pairs of (R) are removed, so all self-pairs are removed.
Step 3
Exam Tip
On a non-empty set, a relation without self-pairs cannot be reflexive. चरण 1: परावर्ती (R) में हर ((a,a)) मौजूद होता है। चरण 2: \(A\times A-R\) में (R) के युग्म हटा दिए जाते हैं, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म हट जाते हैं। चरण 3: अरिक्त समुच्चय पर अपने-अपने युग्मों के बिना संबंध परावर्ती नहीं हो सकता।
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है/It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, all ((a,a)) are in it.
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of ((a,a)) is also ((a,a)), so these pairs are in \(R^{-1}\) too.
Step 3
Exam Tip
The intersection keeps all self-pairs and \(R^{-1}\cap R\) is also symmetric. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए सभी ((a,a)) इसमें हैं। चरण 2: ((a,a)) का व्युत्क्रम भी ((a,a)) है, इसलिए ये युग्म \(R^{-1}\) में भी हैं। चरण 3: प्रतिच्छेद में सभी अपने-अपने युग्म रहेंगे और \(R^{-1}\cap R\) सममित भी होगा।
A. ((a,a)) का व्युत्क्रम फिर ((a,a)) ही होता है/The inverse of ((a,a)) is again ((a,a))
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\).
Step 2
Why this answer is correct
Reversing ((a,a)) gives the same pair ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Hence all self-pairs are also in \(R^{-1}\). चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) है। चरण 2: ((a,a)) को उलटने पर वही ((a,a)) मिलता है। चरण 3: इसलिए सभी अपने-अपने युग्म \(R^{-1}\) में भी होंगे।
A. हर (a) के लिए मध्य तत्व (a) लिया जा सकता है/The middle element (a) can be taken for every (a)
Step 1
Concept
Reflexivity of (R) gives (aRa).
Step 2
Why this answer is correct
Reflexivity of (S) gives (aSa).
Step 3
Exam Tip
Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। चरण 2: (S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। चरण 3: मध्य तत्व (a) लेकर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संयोजन परावर्ती है।
Taking the middle element as (a), we get (a\(S\circ R\)a), so the composition is reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती होने से (aRa) सत्य है। चरण 2: (S) परावर्ती होने से (aSa) भी सत्य है। चरण 3: संयोजन में मध्य तत्व (a) लेने पर (a\(S\circ R\)a) मिलता है, इसलिए संबंध परावर्ती है।
For 12 total pairs, 8 non-self pairs are needed, meaning 4 unordered pairs are chosen in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 4 of the 6 unordered pairs in \(\binom{6}{4}=15\) ways. चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 12 युग्मों के लिए 8 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 4 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में चुनी जाएंगी। चरण 3: 6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 4 चुनने के \(\binom{6}{4}=15\) तरीके हैं।
To have 7 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are taken in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 2 of the 3 unordered pairs in \(\binom{3}{2}=3\) ways. चरण 1: परावर्ती होने से 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 7 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में ली जाएंगी। चरण 3: 3 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{3}{2}=3\) तरीके हैं।
The equal-remainder groups modulo 4 are ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), and ({4,8}).
Step 2
Why this answer is correct
Each group gives \(2^2=4\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4+4+4=16), including all self-pairs. चरण 1: (4) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,5}), ({2,6}), ({3,7}), ({4,8}) हैं। चरण 2: हर समूह के अंदर \(2^2=4\) युग्म बनते हैं। चरण 3: कुल (4+4+4+4=16) युग्म होंगे और सभी अपने-अपने युग्म शामिल हैं।
For 8 total pairs, 4 non-self pairs are needed, meaning 2 unordered pairs are included in both directions.
Step 3
Exam Tip
Choose 2 of the 6 unordered pairs, giving \(\binom{6}{2}=15\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म परावर्ती होने से निश्चित हैं। चरण 2: कुल 8 युग्मों के लिए 4 गैर-अपने युग्म चाहिए, यानी 2 अव्यवस्थित जोड़ियां दोनों दिशाओं में शामिल होंगी। चरण 3: 6 अव्यवस्थित जोड़ियों में से 2 चुनने के \(\binom{6}{2}=15\) तरीके हैं।
Square remainders are grouped as ({0}) with remainder 0, ({1,5}) with remainder 1, ({2,4}) with remainder 4, and ({3}) with remainder 3.
Step 2
Why this answer is correct
Ordered pairs are formed within equal square-remainder groups.
Step 3
Exam Tip
The total is \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\). चरण 1: वर्ग शेषफल देखें: ({0}) का शेषफल 0, ({1,5}) का शेषफल 1, ({2,4}) का शेषफल 4, और ({3}) का शेषफल 3 है। चरण 2: समान वर्ग शेषफल वाले समूहों के अंदर युग्म बनेंगे। चरण 3: कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\) नहीं, ध्यान से जोड़ने पर (1+4+4+1=10) है, इसलिए सही संख्या 10 है।
The square-remainder groups are ({0}), ({1,5}), ({2,4}), and ({3}).
Step 2
Why this answer is correct
Pairs are formed only within equal square-remainder groups.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\). चरण 1: वर्ग शेषफल के समूह ({0}), ({1,5}), ({2,4}), और ({3}) हैं। चरण 2: समान वर्ग शेषफल वाले समूहों के अंदर ही युग्म बनेंगे। चरण 3: कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2+1^2=10\) होंगे।
The equal-remainder groups modulo 3 are ({1,4}), ({2,5}), and ({3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
Pairs are formed only within each group, so each group gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4+4=12), and the relation is reflexive. चरण 1: (3) से भाग देने पर समान शेषफल के समूह ({1,4}), ({2,5}), ({3,6}) बनते हैं। चरण 2: हर समूह के अंदर ही युग्म बनेंगे, इसलिए प्रत्येक समूह \(2^2=4\) युग्म देगा। चरण 3: कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे और यह संबंध परावर्ती भी है।
A reflexive pair is ((X,X)) for each element (X) of the power set.
Step 3
Exam Tip
Hence the number of reflexive pairs is 16. चरण 1: घात समुच्चय में \(2^4=16\) तत्व होते हैं। चरण 2: परावर्ती युग्म हर तत्व (X) के लिए ((X,X)) होता है। चरण 3: इसलिए परावर्ती युग्मों की संख्या घात समुच्चय के तत्वों की संख्या के बराबर 16 है।
Square remainders form the groups ({0}), ({1,4}), and ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
Pairs are formed between elements with the same square remainder.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are \(1^2+2^2+2^2=9\). चरण 1: वर्ग शेषफलों से समूह ({0}), ({1,4}), और ({2,3}) बनते हैं। चरण 2: समान वर्ग शेषफल वाले तत्वों के बीच युग्म बनेंगे। चरण 3: कुल युग्म \(1^2+2^2+2^2=9\) होंगे।
For \(X\subseteq Y\), each basic element has three choices: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
Being in (X) only is not allowed.
Step 3
Exam Tip
For 4 basic elements, the total number of pairs is \(3^4=81\). चरण 1: \(X\subseteq Y\) के लिए हर मूल तत्व की तीन स्थितियां हो सकती हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। चरण 2: केवल (X) में होना संभव नहीं है। चरण 3: 4 मूल तत्वों के लिए कुल \(3^4=81\) युग्म होंगे।
The equal absolute value groups are ({-3,3}), ({-2,2}), ({-1,1}), and ({0}).
Step 2
Why this answer is correct
The first three groups give \(2^2\) pairs each, and ({0}) gives one pair.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4+4+1=13). चरण 1: समान परिमाण के समूह ({-3,3}), ({-2,2}), ({-1,1}), और ({0}) हैं। चरण 2: पहले तीन समूह \(2^2\) युग्म देते हैं और ({0}) एक युग्म देता है। चरण 3: कुल (4+4+4+1=13) युग्म हैं।
For reflexivity, every ((a,a)) must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
The self-sums are (4,8,12,16).
Step 3
Exam Tip
The largest self-sum is 16, so the minimum (k) is 16. चरण 1: परावर्ती होने के लिए हर ((a,a)) नियम पूरा करे। चरण 2: अपने-अपने योग (4,8,12,16) हैं। चरण 3: सबसे बड़ा अपने-अपने योग 16 है, इसलिए न्यूनतम (k=16) होगा।
For each second component (b), count the divisors present in (A).
Step 2
Why this answer is correct
For (1,2,3,4,6,12), the counts are (1,2,2,3,4,6).
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (1+2+2+3+4+6=18), including all self-pairs. चरण 1: हर दूसरे घटक (b) के लिए (A) में मौजूद भाजक गिनें। चरण 2: (1,2,3,4,6,12) के लिए गिनतियां (1,2,2,3,4,6) हैं। चरण 3: कुल युग्म (1+2+2+3+4+6=18) हैं और सभी अपने-अपने युग्म इसमें आते हैं।
The largest value occurs at \(a=\pm2\), giving \(2\cdot4=8\).
Step 3
Exam Tip
The inequality is strict, so (8<k) is needed, and the minimum integer value is (k=9). चरण 1: अपने-अपने युग्मों के लिए \(a^2+a^2=2a^2\) देखना होगा। चरण 2: सबसे बड़ा मान \(a=\pm2\) पर \(2\cdot4=8\) है। चरण 3: नियम कठोर है, इसलिए (8<k) चाहिए और न्यूनतम पूर्णांक (k=9) है।
For each basic element, there are three possibilities: in (Y) only, in both, or in neither.
Step 2
Why this answer is correct
Being in (X) only is not allowed because \(X\subseteq Y\).
Step 3
Exam Tip
For 3 basic elements, this gives \(3^3=27\) pairs, and the relation is reflexive. चरण 1: हर मूल तत्व के लिए तीन स्थितियां संभव हैं: केवल (Y) में, दोनों में, या किसी में नहीं। चरण 2: \(X\subseteq Y\) होने पर केवल (X) में होने की स्थिति संभव नहीं है। चरण 3: 3 मूल तत्वों के लिए \(3^3=27\) युग्म बनते हैं और संबंध परावर्ती है।
Count the divisors present in (A) for each second component.
Step 2
Why this answer is correct
For (1,2,4,8,16), the counts are (1,2,3,4,5).
Step 3
Exam Tip
The total number of pairs is (1+2+3+4+5=15). चरण 1: प्रत्येक दूसरे घटक के लिए (A) में मौजूद भाजक गिनें। चरण 2: (1,2,4,8,16) के लिए गिनतियां क्रमशः (1,2,3,4,5) हैं। चरण 3: कुल युग्म (1+2+3+4+5=15) होंगे।
In the proper subset relation, no pair ((X,X)) is included.
Step 3
Exam Tip
To make it reflexive, add ((X,X)) for every (X), so 8 pairs must be added. चरण 1: घात समुच्चय में \(2^3=8\) तत्व हैं। चरण 2: वास्तविक उपसमुच्चय संबंध में कोई भी ((X,X)) शामिल नहीं होता। चरण 3: परावर्ती बनाने के लिए हर (X) के लिए ((X,X)) जोड़ना होगा, इसलिए 8 युग्म जोड़ने होंगे।
The equal absolute value groups are ({-4,4}), ({-2,2}), and ({0}).
Step 2
Why this answer is correct
Total pairs are \(2^2+2^2+1^2=9\).
Step 3
Exam Tip
Since 5 are self-pairs, the number of non-self pairs is (9-5=4). चरण 1: समान परिमाण के समूह ({-4,4}), ({-2,2}), और ({0}) हैं। चरण 2: कुल युग्म \(2^2+2^2+1^2=9\) हैं। चरण 3: इनमें 5 अपने-अपने युग्म हैं, इसलिए गैर-अपने युग्म (9-5=4) हैं।
For reflexivity, all self-pairs must satisfy the rule.
Step 2
Why this answer is correct
The self-sums are (2,4,6,8), and the largest is 8.
Step 3
Exam Tip
To include all self-pairs, \(k\ge8\), so the minimum value is 8. चरण 1: परावर्ती होने के लिए सभी अपने-अपने युग्म नियम में आने चाहिए। चरण 2: अपने-अपने योग (2,4,6,8) हैं और सबसे बड़ा योग 8 है। चरण 3: सभी अपने-अपने युग्म शामिल करने के लिए \(k\ge8\) चाहिए, इसलिए न्यूनतम मान 8 है।
B. यह हमेशा (R) के बराबर है/It is always equal to (R)
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, \(I_A\subseteq R\).
Step 2
Why this answer is correct
The union of a set with its subset is the larger set itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cup I_A=R\). चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए \(I_A\subseteq R\) है। चरण 2: किसी समुच्चय में उसका उपसमुच्चय मिलाने पर वही बड़ा समुच्चय रहता है। चरण 3: इसलिए \(R\cup I_A=R\) होगा।
The condition (a+b<k) is strict, so even the largest sum 10 must be less than (k).
Step 3
Exam Tip
The minimum integer value is (k=11). चरण 1: अपने-अपने युग्मों के योग (2,6,10) हैं। चरण 2: शर्त (a+b<k) कठोर है, इसलिए सबसे बड़े योग 10 को भी (k) से छोटा होना चाहिए। चरण 3: न्यूनतम पूर्णांक (k=11) होगा।
B. यह हमेशा \(I_A\) के बराबर है/It is always equal to \(I_A\)
Step 1
Concept
A reflexive (R) contains the whole identity relation \(I_A\).
Step 2
Why this answer is correct
Intersecting with \(I_A\) keeps exactly those self-pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(R\cap I_A=I_A\). चरण 1: परावर्ती (R) में पहचान संबंध \(I_A\) पूरा शामिल होता है। चरण 2: \(I_A\) के साथ प्रतिच्छेद लेने पर केवल वही अपने-अपने युग्म बचते हैं। चरण 3: इसलिए \(R\cap I_A=I_A\) है।
Therefore the necessary and sufficient condition is (k>0). चरण 1: अपने-अपने युग्म के लिए (|a-a|=0) होता है। चरण 2: नियम (|a-b|<k) में अपने-अपने युग्म के लिए (0<k) चाहिए। चरण 3: इसलिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त (k>0) है।
In composition, ((1,2)) and ((2,3)) can be joined because the middle element 2 matches.
Step 2
Why this answer is correct
They produce ((1,3)) in \(R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
In composition questions, first look for consecutive connectable pairs. चरण 1: संयोजन में ((1,2)) और ((2,3)) को जोड़ा जा सकता है क्योंकि बीच का तत्व 2 समान है। चरण 2: इनसे ((1,3)) \(R\circ R\) में आता है। चरण 3: संयोजन वाले प्रश्नों में लगातार जुड़ने वाले युग्मों को पहले देखें।
A. किसी भी वास्तविक (k) के लिए परावर्ती नहीं/Not reflexive for any real (k)
Step 1
Concept
Reflexivity requires ((a,a)) to satisfy the rule for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
This means \(2a^2\le k\) for every real (a).
Step 3
Exam Tip
Since (a) can be arbitrarily large, no fixed real (k) can work. चरण 1: परावर्ती होने के लिए हर वास्तविक (a) पर ((a,a)) नियम पूरा करे। चरण 2: तब \(a^2+a^2=2a^2\le k\) हर वास्तविक (a) के लिए चाहिए। चरण 3: (a) बहुत बड़ा हो सकता है, इसलिए कोई स्थिर वास्तविक (k) सभी मानों के लिए पर्याप्त नहीं है।
To have 7 total pairs, choose (7-4=3) non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
There are 12 non-self pairs, so the count is \(\binom{12}{3}\). चरण 1: 4 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: कुल 7 युग्मों के लिए (7-4=3) गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। चरण 3: गैर-अपने युग्म 12 हैं, इसलिए संख्या \(\binom{12}{3}\) है।
The largest value is 2, so the minimum (k) is 2. चरण 1: अपने-अपने युग्मों के लिए \(a^2+a^2=2a^2\) जांचें। चरण 2: (a=-1,0,1) पर मान (2,0,2) मिलते हैं। चरण 3: सबसे बड़ा मान 2 है, इसलिए न्यूनतम (k=2) होगा।
A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (n+3) pairs, 3 additional non-self pairs are needed.
Step 3
Exam Tip
Choose 3 from \(n^2-n\) non-self pairs, so the count is \(\binom{n^2-n}{3}\). चरण 1: परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। चरण 2: ठीक (n+3) युग्मों के लिए 3 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चाहिए। चरण 3: \(n^2-n\) गैर-अपने युग्मों में से 3 चुनने होंगे, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{3}\) है।
To include all self-pairs, (k) cannot exceed the smallest value, 1. चरण 1: अपने-अपने युग्मों के लिए गुणनफल \(a^2\) होगा। चरण 2: \(1^2,2^2,3^2\) के मान (1,4,9) हैं। चरण 3: सभी अपने-अपने युग्म शामिल करने के लिए (k) सबसे छोटे मान 1 से अधिक नहीं हो सकता।
For ((1,2),(2,1)), valid choices are neither, only ((1,2)), or only ((2,1)); both together are not allowed.
Step 3
Exam Tip
The remaining 4 non-self pairs are free, so the count is \(3\times2^4=48\). चरण 1: 3 अपने-अपने युग्म निश्चित हैं। चरण 2: ((1,2),(2,1)) के लिए मान्य चुनाव हैं: कोई नहीं, केवल ((1,2)), या केवल ((2,1)); दोनों साथ नहीं हो सकते। चरण 3: बाकी 4 गैर-अपने युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए संख्या \(3\times2^4=48\) है।
A reflexive relation has (n) compulsory self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
To have exactly (n+2) pairs, choose 2 additional non-self pairs.
Step 3
Exam Tip
There are \(n^2-n\) non-self pairs, so the number is \(\binom{n^2-n}{2}\). चरण 1: परावर्ती संबंध में (n) अपने-अपने युग्म अनिवार्य होते हैं। चरण 2: ठीक (n+2) युग्मों के लिए 2 अतिरिक्त गैर-अपने युग्म चुनने होंगे। चरण 3: गैर-अपने युग्म \(n^2-n\) हैं, इसलिए संख्या \(\binom{n^2-n}{2}\) होगी।
A. यह परावर्ती और सममित दोनों है/It is both reflexive and symmetric
Step 1
Concept
(R) contains all self-pairs, so they remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup R^{-1}\), every pair appears with its reverse.
Step 3
Exam Tip
Therefore the relation is both reflexive and symmetric. चरण 1: (R) में सभी अपने-अपने युग्म हैं, इसलिए वे संघ में भी रहेंगे। चरण 2: \(R\cup R^{-1}\) में किसी भी युग्म के साथ उसका उल्टा भी आ जाता है। चरण 3: इसलिए यह संबंध परावर्ती और सममित दोनों होता है।
In composition, ((1,2)) and ((2,3)) connect through the middle element 2.
Step 2
Why this answer is correct
This forces ((1,3)) to belong to \(R\circ R\).
Step 3
Exam Tip
In composition questions, first identify pairs that connect consecutively. चरण 1: संयोजन में ((1,2)) और ((2,3)) को मध्य तत्व (2) के माध्यम से जोड़ा जाता है। चरण 2: इससे ((1,3)) \(R\circ R\) में आएगा। चरण 3: संयोजन वाले प्रश्न में पहले लगातार जुड़ने वाले युग्मों को पहचानें।
Since (R) is reflexive, all self-pairs are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Because \(R\subseteq S\), all those self-pairs are also in (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore (S) is definitely reflexive. चरण 1: (R) परावर्ती है, इसलिए सभी अपने-अपने युग्म (R) में हैं। चरण 2: \(R\subseteq S\) होने से वे सभी अपने-अपने युग्म (S) में भी होंगे। चरण 3: इसलिए (S) निश्चित रूप से परावर्ती है।
