A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((2,2)), the sum (4) is a perfect square, but for ((1,1)), the sum (2) is not, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,3)) and ((3,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((2,2)) में योग (4) पूर्ण वर्ग है, पर ((1,1)) में योग (2) पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। चरण 2: (a+b) क्रम बदलने पर नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,3)) और ((3,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
Divisibility of (a-b) by (3) means having the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (5) both leave remainder (2) on division by (3).
Step 3
Exam Tip
Put only those elements in the class that have the same remainder as the chosen element. चरण 1: (a-b) का (3) से विभाज्य होना समान शेषफल का संबंध है। चरण 2: (2) और (5) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। चरण 3: तुल्यता वर्ग में वही तत्व रखें जिनका शेषफल चुने गए तत्व जैसा हो।
A. सममितता और संक्रामकता दोनों/Both symmetry and transitivity
Step 1
Concept
All three self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is present but ((3,1)) is not, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
From ((2,1)) and ((1,3)), ((2,3)) is required but missing, so transitivity also fails. चरण 1: तीनों स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्तन सही है। चरण 2: ((1,3)) है पर ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममितता असफल है। चरण 3: ((2,1)) और ((1,3)) से ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामकता भी असफल है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
Over real numbers, \(a^2+b^2=0\) only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the relation contains only ((0,0)), which is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
It is not reflexive because self-pairs for all real numbers are not present. चरण 1: वास्तविक संख्याओं में \(a^2+b^2=0\) केवल तब होगा जब (a=0) और (b=0)। चरण 2: इसलिए संबंध में केवल ((0,0)) है; यह सममित और संक्रामक है। चरण 3: सभी वास्तविक संख्याओं के स्वयुग्म नहीं हैं, इसलिए परावर्ती नहीं है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the sum is (2), not divisible by (3), so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The sum remains the same when order changes, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,1)) exist but ((1,1)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) में योग (2) है, जो (3) से विभाज्य नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: योग क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,1)) हैं पर ((1,1)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है।
The remaining (30) pairs are optional, so the number is \(2^{30}\). चरण 1: \(A\times A\) में कुल \(6^2=36\) क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: परावर्ती संबंध के लिए (6) स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 3: बाकी (30) युग्म स्वतंत्र हैं, इसलिए कुल संख्या \(2^{30}\) है।
There are \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) unordered pairs of distinct elements.
Step 3
Exam Tip
Total independent choices are (5+10=15), so the number of symmetric relations is \(2^{15}\). चरण 1: पांच स्वयुग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के \(\frac{5\cdot4}{2}=10\) अनियोजित जोड़े हैं। चरण 3: कुल स्वतंत्र चुनाव (5+10=15) हैं, इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^{15}\) है।
The (10) unordered pairs of distinct elements remain.
Step 3
Exam Tip
For symmetry, each pair is chosen or omitted together, so the total number is \(2^{10}\). चरण 1: परावर्तन के कारण पांचों स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 2: अलग-अलग तत्वों के (10) अनियोजित जोड़े बचते हैं। चरण 3: सममितता में हर जोड़ा साथ चुना या छोड़ा जाता है, इसलिए कुल संख्या \(2^{10}\) है।
The elements (1,2,3) are mutually related in all directions.
Step 2
Why this answer is correct
The element (4) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
Therefore the partition is ({1,2,3}) and ({4}). चरण 1: (1,2,3) आपस में सभी दिशाओं में जुड़े हैं। चरण 2: (4) केवल अपने आप से जुड़ा है। चरण 3: इसलिए संबंध का विभाजन ({1,2,3}) और ({4}) में होता है।
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
There is no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Every needed forward result such as ((1,3),(2,4),(1,4)) is present, so transitivity holds. चरण 1: कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए यह परावर्ती नहीं है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममित नहीं। चरण 3: हर आगे की श्रृंखला का जरूरी परिणामी युग्म जैसे ((1,3),(2,4),(1,4)) मौजूद है, इसलिए संक्रामकता है।
A. सार्वत्रिक संबंध और तुल्यता संबंध/Universal relation and equivalence relation
Step 1
Concept
Every element of the set is not greater than (4).
Step 2
Why this answer is correct
Hence every ((a,b)) with \(a,b\in A\) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
When all pairs are present, the relation is universal and also an equivalence relation. चरण 1: समुच्चय के सभी तत्व (4) से बड़े नहीं हैं। चरण 2: इसलिए हर \(a,b\in A\) के लिए ((a,b)) संबंध में होगा। चरण 3: जब सभी युग्म मौजूद हों, तो संबंध सार्वत्रिक और साथ ही तुल्यता संबंध होता है।
Since (a=a), every number is related to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a=b) or (a=-b), the reverse relation satisfies the same condition, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
This is the relation of equal absolute values, so transitivity also holds. चरण 1: (a=a) होने से हर संख्या अपने आप से संबंधित है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: यदि (a=b) या (a=-b), तो उल्टा संबंध भी वही शर्त पूरी करता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: यह समान निरपेक्ष मान वाले तत्वों का संबंध है, इसलिए संक्रामकता भी पूरी होती है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
(a-a=0), so every number is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
\(a-b\ge0\) means \(a\ge b\), which is transitive.
Step 3
Exam Tip
(3R2) is true but (2R3) is false, so symmetry does not hold. चरण 1: (a-a=0), इसलिए हर संख्या अपने आप से संबंधित है। चरण 2: \(a-b\ge0\) का अर्थ \(a\ge b\) है, जो संक्रामक संबंध है। चरण 3: (3R2) सही है पर (2R3) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है।
Every element belongs to the same divisibility-by-(3) type as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
The same type condition is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
A chain within the same type remains in that type, so transitivity holds. चरण 1: हर तत्व अपने ही (3) से विभाज्यता प्रकार में आता है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: समान प्रकार का क्रम बदलने से संबंध नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान प्रकार की श्रृंखला उसी प्रकार में रहती है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
(3) and (6) are multiples, while (1,2,4,5) are not.
Step 3
Exam Tip
Hence the two classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}). चरण 1: (3) के गुणज एक वर्ग में आएंगे। चरण 2: (3) और (6) गुणज हैं, जबकि (1,2,4,5) गुणज नहीं हैं। चरण 3: इसलिए दो वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Reverse pairs for ((1,2)) and ((2,4)) are also present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
From ((1,2)) and ((2,4)), ((1,4)) is required but missing, so it is not transitive. चरण 1: सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध परावर्ती है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,4)) के उल्टे युग्म भी मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,4)) से ((1,4)) चाहिए, जो नहीं है, इसलिए संक्रामक नहीं।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
All required pairs inside ({1,2}) are present and no chain involves (3), so transitivity holds. चरण 1: ((3,3)) अनुपस्थित है, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म मौजूद हैं और (3) से कोई श्रृंखला नहीं बनती, इसलिए संक्रामकता है।
A. संक्रामक है पर परावर्ती और सममित नहीं/Transitive but neither reflexive nor symmetric
Step 1
Concept
No number can be at least (2) less than itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
If (a) is less than (b), the reverse cannot hold, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
If \(a\le b-2\) and \(b\le c-2\), then \(a\le c-4\), so (a) is at least (2) less than (c). चरण 1: कोई संख्या अपने आप से (2) कम नहीं हो सकती, इसलिए परावर्ती नहीं है। चरण 2: यदि (a), (b) से कम है, तो उल्टा सही नहीं होगा, इसलिए सममित नहीं। चरण 3: यदि \(a\le b-2\) और \(b\le c-2\), तो \(a\le c-4\), इसलिए (a) (c) से कम से कम (2) कम है।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
The condition (a=b) puts every self-pair in the relation, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Since (|a-b|=|b-a|), symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) exist, but ((1,3)) does not, so transitivity fails. चरण 1: (a=b) से हर स्वयुग्म संबंध में है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: (|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) हैं पर ((1,3)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
No statement involving an arbitrary third element (c) follows without more information. चरण 1: तुल्यता संबंध में सममितता हमेशा होती है। चरण 2: (aRb) होने पर सममितता से (bRa) अनिवार्य रूप से मिलेगा। चरण 3: किसी तीसरे तत्व (c) से जुड़ा निष्कर्ष बिना अतिरिक्त सूचना के नहीं निकाला जाता।
From (aRb) and (bRc), transitivity directly gives (aRc).
Step 3
Exam Tip
In such questions, identify the middle element in the chain. चरण 1: तुल्यता संबंध में संक्रामकता होती है। चरण 2: (aRb) और (bRc) से सीधे (aRc) मिलता है। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में शृंखला के मध्य तत्व को पहचानना जरूरी है।
A. सममित और संक्रामक है पर परावर्ती नहीं/Symmetric and transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(5) will not be related to itself, so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both elements are less than (5) remains true after reversal, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The relation is complete inside ({1,2,3,4}), so transitivity also holds. चरण 1: (5) स्वयं से संबंधित नहीं होगा, इसलिए संबंध परावर्ती नहीं है। चरण 2: दोनों तत्वों के (5) से छोटे होने की शर्त क्रम बदलने पर भी सही रहती है, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध ({1,2,3,4}) के भीतर पूरा है, इसलिए संक्रामकता भी है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
(a+a=0) only for (a=0), so reflexivity does not hold for all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
If (a+b=0), then (b+a=0), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R(-1)) and ((-1)R1) are true, but (1R1) is false, so transitivity fails. चरण 1: (a+a=0) केवल (a=0) पर होगा, इसलिए सभी के लिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: (a+b=0) होने पर (b+a=0) भी है, इसलिए सममितता है। चरण 3: (1R(-1)) और ((-1)R1) हैं पर (1R1) नहीं है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
A. परावर्ती और संक्रामक है पर सममित नहीं/Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) exists but ((2,1)) does not, so it is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, and other required chains also do not fail. चरण 1: ((1,1),(2,2),(3,3)) हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। चरण 3: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, और बाकी जरूरी शृंखलाएं भी टूटती नहीं हैं।
In a symmetric relation, whenever ((a,b)) is present, ((b,a)) is also present.
Step 2
Why this answer is correct
The inverse relation reverses these pairs, so it does not create a different set.
Step 3
Exam Tip
Therefore, for a symmetric relation, \(R^{-1}=R\). चरण 1: सममित संबंध में ((a,b)) होने पर ((b,a)) भी होता है। चरण 2: विलोम संबंध इन्हीं युग्मों को उलटता है, इसलिए कोई नया अलग समूह नहीं बनता। चरण 3: इसलिए सममित संबंध के लिए \(R^{-1}=R\) होता है।
Transitivity requires ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).
Step 2
Why this answer is correct
No other chain forces any additional pair.
Step 3
Exam Tip
Hence the smallest transitive extension is obtained by adding only ((1,3)). चरण 1: संक्रामकता के लिए ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है। चरण 2: कोई अन्य शृंखला अतिरिक्त युग्म अनिवार्य नहीं करती। चरण 3: इसलिए सबसे छोटा संक्रामक विस्तार केवल ((1,3)) जोड़कर मिलेगा।
((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)) already.
Step 3
Exam Tip
Therefore nothing needs to be added to make it symmetric. चरण 1: सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा चाहिए। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) पहले से हैं। चरण 3: इसलिए इसे सममित बनाने के लिए कुछ जोड़ने की जरूरत नहीं है।
The reverse of ((3,4)), which is ((4,3)), is missing.
Step 3
Exam Tip
Adding only ((4,3)) completes symmetry. चरण 1: ((1,2)) और ((2,1)) पहले से संतुलित हैं। चरण 2: ((3,4)) का उल्टा ((4,3)) मौजूद नहीं है। चरण 3: केवल ((4,3)) जोड़ने से सममितता पूरी हो जाएगी।
Then ((1,3)) and ((3,4)) also require ((1,4)). चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 2: ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। चरण 3: फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए।
A. यह तुल्यता संबंध है और वर्ग ({1,2},{3}) हैं/It is an equivalence relation with classes ({1,2},{3})
Step 1
Concept
All self-pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is alone, so the relation is an equivalence relation. चरण 1: सभी स्वयुग्म हैं, इसलिए परावर्तन पूरा है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({1,2}) के भीतर सभी जरूरी युग्म हैं और (3) अकेला है, इसलिए संबंध तुल्यता है।
\(a\equiv 0 \pmod{4}\) means (a) leaves remainder (0) when divided by (4).
Step 2
Why this answer is correct
Such integers are all multiples of (4).
Step 3
Exam Tip
An equivalence class contains all elements with the same remainder. चरण 1: \(a\equiv 0 \pmod{4}\) का अर्थ है कि (a) को (4) से भाग देने पर शेषफल (0) हो। चरण 2: ऐसे पूर्णांक (4) के सभी गुणज होते हैं। चरण 3: तुल्यता वर्ग हमेशा समान शेषफल वाले सभी तत्वों को रखता है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the minimum is (1), so not all self-pairs occur and reflexivity fails.
Step 2
Why this answer is correct
The minimum does not change when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
((3,2)) and ((2,4)) exist, but ((3,4)) has minimum (3), so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) में न्यूनतम (1) है, इसलिए सभी स्वयुग्म नहीं मिलते और परावर्तन नहीं है। चरण 2: न्यूनतम मान क्रम बदलने से नहीं बदलता, इसलिए सममितता है। चरण 3: ((3,2)) और ((2,4)) हैं पर ((3,4)) में न्यूनतम (3) है, इसलिए संक्रामकता असफल है।
A. सममित है पर परावर्ती और संक्रामक नहीं/Symmetric but neither reflexive nor transitive
Step 1
Concept
For ((1,1)), the maximum is (1), so the relation is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The maximum value stays the same when order is reversed, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
((1,5)) and ((5,2)) exist, but ((1,2)) does not, so transitivity fails. चरण 1: ((1,1)) में अधिकतम (1) है, इसलिए परावर्ती नहीं। चरण 2: अधिकतम मान क्रम बदलने पर भी समान रहता है, इसलिए सममित है। चरण 3: ((1,5)) और ((5,2)) हैं पर ((1,2)) नहीं है, इसलिए संक्रामकता नहीं है।
In the inverse relation, each ((a,b)) is changed to ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
If the original relation has \(a\le b\), the inverse has \(b\le a\).
Step 3
Exam Tip
This can be written as \(a\ge b\). चरण 1: विलोम संबंध में हर ((a,b)) को ((b,a)) किया जाता है। चरण 2: यदि मूल संबंध में \(a\le b\) है, तो विलोम में \(b\le a\) होगा। चरण 3: इसे \(a\ge b\) के रूप में लिखा जा सकता है।
Because (a=b), all self-pairs are present, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
The condition that both are greater than (2) is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
({3,4}) forms a closed class while (1,2) are singleton classes, so transitivity holds. चरण 1: (a=b) के कारण सभी स्वयुग्म मौजूद हैं, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: दोनों का (2) से बड़ा होना क्रम बदलने पर भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({3,4}) एक बंद वर्ग बनता है और (1,2) अलग-अलग वर्ग हैं, इसलिए संक्रामकता है।
The condition (a+b=6) relates (1) with (5), and (2) with (4).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3+3=6), (3) stays in its own class.
Step 3
Exam Tip
Hence the classes are ({1,5},{2,4},{3}). चरण 1: (a+b=6) से (1) का संबंध (5) से और (2) का संबंध (4) से बनता है। चरण 2: (3+3=6) होने पर (3) अपने ही वर्ग में रहता है। चरण 3: इसलिए वर्ग ({1,5},{2,4},{3}) हैं।
If (a-b) is an integer, then (b-a) is also an integer, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The sum of two integer differences is an integer, so transitivity holds. चरण 1: (a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: यदि (a-b) पूर्णांक है तो (b-a) भी पूर्णांक है, इसलिए सममितता है। चरण 3: दो पूर्णांक अंतरों का योग पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रामकता पूरी होती है।
If \(a^2-b^2=0\), then \(b^2-a^2=0\), so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
Equality of squares passes through a third element, so transitivity holds. चरण 1: \(a^2-a^2=0\), इसलिए परावर्तन है। चरण 2: \(a^2-b^2=0\) होने पर \(b^2-a^2=0\) भी होगा, इसलिए सममितता है। चरण 3: समान वर्ग का संबंध तीसरे तत्व तक भी जाता है, इसलिए संक्रामकता है।
Option A has no self-pair, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is present.
Step 3
Exam Tip
No other chain forces a new missing pair, so it is transitive. चरण 1: विकल्प A में कोई स्वयुग्म नहीं है, इसलिए परावर्तन नहीं है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है। चरण 3: अन्य कोई ऐसी शृंखला नहीं है जो नया अनिवार्य युग्म मांगे, इसलिए यह संक्रामक है।
Both ((1,2)) and ((2,1)) are present, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
All required pairs inside ({1,2}) are present and (3) is separate, so transitivity holds. चरण 1: विकल्प A में ((3,3)) नहीं है, इसलिए परावर्ती नहीं। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) दोनों मौजूद हैं, इसलिए सममितता है। चरण 3: ({1,2}) के भीतर सभी आवश्यक युग्म मौजूद हैं और (3) अलग है, इसलिए संक्रामकता है।
A. \(R\cap S\) परावर्ती होगा/\(R\cap S\) will be reflexive
Step 1
Concept
Since (R) is reflexive, every ((a,a)) is in (R).
Step 2
Why this answer is correct
Since (S) is also reflexive, every ((a,a)) is in (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore each self-pair is common to both, so \(R\cap S\) is reflexive. चरण 1: परावर्ती होने के कारण (R) में हर ((a,a)) है। चरण 2: (S) में भी हर ((a,a)) है। चरण 3: इसलिए हर स्वयुग्म दोनों में साझा होगा और \(R\cap S\) परावर्ती रहेगा।
A. \(R\cup S\) सममित होगा/\(R\cup S\) will be symmetric
Step 1
Concept
If a pair is in \(R\cup S\), it is in (R) or in (S).
Step 2
Why this answer is correct
In that relation, symmetry gives the reverse pair.
Step 3
Exam Tip
Hence the reverse pair is also in \(R\cup S\), so the union remains symmetric. चरण 1: यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है, तो वह (R) या (S) में होगा। चरण 2: जिस संबंध में वह है, उसके सममित होने से उल्टा युग्म भी उसी संबंध में होगा। चरण 3: इसलिए उल्टा युग्म \(R\cup S\) में भी होगा और सममितता बनी रहेगी।
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S), so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
Hence the union of transitive relations is not always transitive. चरण 1: संक्रामकता में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। चरण 2: \(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलेगा। चरण 3: इसलिए संक्रामक संबंधों का संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता।
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
Since (R) is transitive, ((a,c)) is in (R); since (S) is transitive, it is also in (S).
Step 3
Exam Tip
Therefore ((a,c)) is in \(R\cap S\). चरण 1: यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। चरण 2: (R) के संक्रामक होने से ((a,c)) (R) में होगा और (S) के संक्रामक होने से (S) में भी होगा। चरण 3: इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में होगा।
A. परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं/Reflexive and symmetric but not transitive
Step 1
Concept
The difference of an element from itself is (0), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
Difference remains the same when order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
(1R3) and (3R4) are true, but (1R4) is false because the difference is (3), so it is not transitive. चरण 1: अपने आप से अंतर (0) है, इसलिए परावर्ती है। चरण 2: अंतर क्रम बदलने पर समान रहता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: (1R3) और (3R4) सही हैं, पर (1R4) गलत है क्योंकि अंतर (3) है, इसलिए संक्रामकता नहीं।
The condition (a=b) gives all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=5) remains true after reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
The relation forms closed classes ({1,4}) and ({2,3}), so transitivity also holds. चरण 1: (a=b) से सभी स्वयुग्म मिलते हैं, इसलिए परावर्तन है। चरण 2: (a+b=5) क्रम बदलने पर भी सत्य रहता है, इसलिए सममितता है। चरण 3: संबंध ({1,4}) और ({2,3}) के बंद वर्ग बनाता है, इसलिए संक्रामकता भी है।
A. यह सार्वत्रिक संबंध है/It is the universal relation
Step 1
Concept
A set with three elements has \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
The given relation contains all (9) pairs.
Step 3
Exam Tip
Therefore it is \(A\times A\), the universal relation. चरण 1: तीन तत्वों वाले समुच्चय में कुल \(3^2=9\) क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: दिए गए संबंध में सभी (9) युग्म हैं। चरण 3: इसलिए यह \(A\times A\) है, अर्थात सार्वत्रिक संबंध है।
A reflexive relation must contain self-pairs, but other pairs may also be included.
Step 2
Why this answer is correct
In the maximum case, the relation is \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
For (4) elements, \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs. चरण 1: परावर्ती संबंध में स्वयुग्म अनिवार्य होते हैं, पर अन्य युग्म भी जोड़े जा सकते हैं। चरण 2: अधिकतम स्थिति में संबंध \(A\times A\) होगा। चरण 3: (4) तत्वों के लिए \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे।
A reflexive relation must contain the self-pair of every element.
Step 2
Why this answer is correct
Here there are five elements, so five self-pairs are compulsory.
Step 3
Exam Tip
In the minimum case, only these five pairs are present. चरण 1: परावर्ती संबंध में हर तत्व का स्वयुग्म होना जरूरी है। चरण 2: यहां पांच तत्व हैं, इसलिए पांच स्वयुग्म अनिवार्य हैं। चरण 3: न्यूनतम स्थिति में केवल यही पांच युग्म होंगे।
In an equivalence relation, all ordered pairs within each class are included.
Step 2
Why this answer is correct
({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs and ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Total pairs are (4+4=8). चरण 1: तुल्यता संबंध में हर वर्ग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। चरण 2: ({1,3}) से \(2^2=4\) युग्म और ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। चरण 3: कुल युग्म (4+4=8) होंगे।
