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बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। हर पद की घात जाँचें। / In a polynomial, powers of the variable are non-negative integers. Check the power of every term.
\(\frac{5}{x}\) में (x) की घात (-1) है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / In \(\frac{5}{x}\), the power of (x) is (-1). An expression with a negative power is not a polynomial.
बहुपद की घात चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ सबसे बड़ी घात (4) है। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable. Here the highest power is (4).
(11) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (11) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
बहुपद में घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। (-2) पूर्णांक है पर धनात्मक नहीं है। / In a polynomial, powers must be zero or positive integers. (-2) is an integer but not acceptable because it is negative.
द्विघात बहुपद की घात (2) होती है। \(4x^2-5x+9\) में सबसे बड़ी घात (2) है। / A quadratic polynomial has degree (2). In \(4x^2-5x+9\), the highest power is (2).
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में शून्य बहुपद और स्थिर बहुपद को अलग रखें। / (0) is the zero polynomial but its degree is not defined. In exams, keep zero polynomial and constant polynomial separate.
गुणांक वास्तविक संख्या हो सकते हैं इसलिए \(\sqrt{2}\) स्वीकार्य है। चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Coefficients may be real numbers, so \(\sqrt{2}\) is allowed. Powers of the variable must be non-negative integers.
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होता है और \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक घात नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{2}\) is not an integer power. Hence it is not a polynomial.
इसमें \(7x^5\), \(-2x^3\), (x) और (-4) चार पद हैं। पदों को चिन्ह सहित गिनें। / It has four terms: \(7x^5\), \(-2x^3\), (x), and (-4). Count terms with their signs.
B. यह बहुपद है क्योंकि घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं/It is a polynomial because powers are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
गुणांक भिन्न हो सकते हैं। यहाँ (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / Coefficients can be fractions. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0), so it is a polynomial.
\(x^2+4\) बहुपद है लेकिन इसकी घात (2) है। रैखिक बहुपद की घात (1) होती है। / \(x^2+4\) is a polynomial but its degree is (2). A linear polynomial has degree (1).
C. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Powers of the variable are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यही परिभाषा का मुख्य बिंदु है। / In a polynomial, powers of the variable are zero or positive integers. This is the key point of the definition.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है/Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^2}\) में (x) की घात (-2) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / In \(\frac{1}{x^2}\), the power of (x) is (-2). Due to the negative power, it is not a polynomial.
\(y^3-2y+6\) में (y) की घातें (3), (1) और (0) हैं। ये सभी शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / In \(y^3-2y+6\), the powers of (y) are (3), (1), and (0). All are non-negative integers.
स्थिर बहुपद में चर नहीं होता। (x+1) में (x) है इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है। / A constant polynomial has no variable. (x+1) contains (x), so it is not a constant polynomial.
\(0x^2\) शून्य पद है इसलिए घात तय नहीं करता। सबसे बड़ा अशून्य पद \(4x^3\) है। / \(0x^2\) is a zero term, so it does not determine the degree. The highest non-zero term is \(4x^3\).
बहुपद में सभी घातें होना जरूरी नहीं है। \(3x^4+5\) में घात (4) और (0) हैं जो मान्य हैं। / A polynomial need not contain every power. \(3x^4+5\) has powers (4) and (0), which are valid.
B. क्योंकि (x^{1/2}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{1 / 2}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/2}\) की घात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. \(x^{1/2}\) has power \(\frac{1}{2}\), so it is not a polynomial.
शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। (8) ऐसा ही स्थिर बहुपद है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). (8) is such a constant polynomial.
इस बहुपद की सबसे बड़ी घात (3) है। घात (3) वाला बहुपद घन बहुपद कहलाता है। / The highest power of this polynomial is (3). A polynomial of degree (3) is called a cubic polynomial.
घात सबसे बड़ी चर-घात से तय होती है। \(x^5\) में सबसे बड़ी घात (5) है। / The degree is determined by the highest power of the variable. The term \(x^5\) has the highest power (5).
घात सबसे बड़ी शक्ति से मिलती है। \(x^4-3x+2\) में सबसे बड़ी घात (4) है। / The degree is obtained from the highest power. In \(x^4-3x+2\), the highest power is (4).
\(x^{-3}\) की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। / The power in \(x^{-3}\) is negative. Negative powers are not allowed in polynomials.
\(2x^2\) की घात (2), (3x) की घात (1) और (1) की घात (0) मानी जाती है। यही इसे बहुपद बनाता है। / The powers are (2) for \(2x^2\), (1) for (3x), and (0) for (1). This makes it a polynomial.
(y) को स्थिर मानने पर (yx) में (x) की घात (1) है। सभी (x) घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Treating (y) as a constant, the term (yx) has (x)-power (1). All powers of (x) are non-negative integers.
\(\frac{2}{x}\) में (x) की घात (-1) है। इसलिए पूरा व्यंजक बहुपद नहीं है। / In \(\frac{2}{x}\), the power of (x) is (-1). Hence the whole expression is not a polynomial.
\(4z^3-z+8\) में चर (z) है और उसकी घातें (3), (1), (0) हैं। इसलिए यह (z) में बहुपद है। / In \(4z^3-z+8\), the variable is (z) and its powers are (3), (1), (0). So it is a polynomial in (z).
\(\sqrt{3}\) गुणांक है और यह स्वीकार्य वास्तविक संख्या है। (x) की घातें (2), (1), (0) हैं। / \(\sqrt{3}\) is a coefficient and is an allowed real number. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
\(5x^4-x+2\) बहुपद है और इसकी घात (4) है। इसलिए इसकी घात (2) नहीं है। / \(5x^4-x+2\) is a polynomial and its degree is (4). Therefore, its degree is not (2).
सबसे बड़ी घात (1) होने पर बहुपद रैखिक कहलाता है। नाम याद करने के लिए घात पर ध्यान दें। / A polynomial with highest power (1) is called linear. Focus on the degree to remember the name.
सबसे बड़ी घात (2) होने पर बहुपद द्विघात कहलाता है। घात (2) को द्विघात से जोड़ें। / A polynomial with highest power (2) is called quadratic. Connect degree (2) with quadratic.
सबसे बड़ी घात (3) होने पर बहुपद घन कहलाता है। घात से बहुपद का प्रकार पहचानें। / A polynomial with highest power (3) is called cubic. Identify the type from the degree.
B. यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है/It is a quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
इसकी घात (2) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है। / Its degree is (2) and it has three terms. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial.
\(2x^6-4x^2+9\) में (x) की घातें (6), (2) और (0) हैं। ये सभी बहुपद की शर्त पूरी करती हैं। / In \(2x^6-4x^2+9\), the powers of (x) are (6), (2), and (0). All satisfy the condition of a polynomial.
किसी पद के न होने से घात नहीं बदलती। सबसे बड़ी उपस्थित घात (3) है। / The absence of a term does not change the degree. The highest present power is (3).
\(\frac{3}{t}=3t^{-1}\) होता है और घात (-1) है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / \(\frac{3}{t}=3t^{-1}\), so the power is (-1). An expression with a negative power is not a polynomial.
\(\frac{5}{y}\) में (y) की घात (-1) होती है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / In \(\frac{5}{y}\), the power of (y) is (-1). Due to the negative power, it is not a polynomial.
बहुपद की घात सबसे बड़ी चर-घात से मिलती है। यहाँ सबसे बड़ी घात (6) है। / The degree of a polynomial is given by the highest power of the variable. Here the highest power is (6).
\(\sqrt{3}\) वास्तविक गुणांक है और स्वीकार्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / \(\sqrt{3}\) is a real coefficient and is allowed. The powers of the variable are (2), (1), and (0), so it is a polynomial.
द्विघात बहुपद की घात (2) होती है। \(5x^2-4x+9\) की सबसे बड़ी घात (2) है। / A quadratic polynomial has degree (2). The highest power in \(5x^2-4x+9\) is (2).
\(0x^7\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (5) है। / \(0x^7\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (5).
\(x^{2/3}\) में घात \(\frac{2}{3}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^{2/3}\), the power is \(\frac{2}{3}\), which is not an integer. Polynomial powers must be non-negative integers.
(12) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (12) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) में \(\frac{5}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}\) contains \(\frac{5}{x}\), whose power is (-1). So it is not a polynomial.
घात सबसे बड़ी चर-घात वाले अशून्य पद से तय होती है। यहाँ \(2t^4\) में सबसे बड़ी घात (4) है। / The degree is determined by the non-zero term with the highest power. Here \(2t^4\) has the highest power (4).
\(3z^4-z^2+8\) में (z) की घातें (4), (2) और (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं। / In \(3z^4-z^2+8\), the powers of (z) are (4), (2), and (0). All powers are valid.
इसमें \(5x^3\), \(-2x^2\), (7x) और (-1) चार पद हैं। पदों को चिन्ह सहित गिनें। / It has four terms: \(5x^3\), \(-2x^2\), (7x), and (-1). Count terms with their signs.
बहुपद की घात उसकी सबसे बड़ी चर-घात ही होती है। इसलिए घात (4) होगी। / The degree of a polynomial is its highest variable power. Therefore, the degree will be (4).
\(\sqrt{x}=x^{1/2}\) होता है और \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक घात नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(\frac{1}{2}\) is not an integer power. Hence it is not a polynomial.
C. क्योंकि (x^{1/3}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{1 / 3}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{1/3}\) की घात पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. The power in \(x^{1/3}\) is not an integer.
शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। (13) ऐसा स्थिर बहुपद है। / A non-zero constant polynomial has degree (0). (13) is such a constant polynomial.
(a) को स्थिर मानने पर \(ax^2\) में (x) की घात (2) है। सभी (x) घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Treating (a) as a constant, \(ax^2\) has (x)-power (2). All powers of (x) are non-negative integers.
B. यह बहुपद है क्योंकि चर की घातें मान्य हैं/It is a polynomial because the variable powers are valid
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक स्वीकार्य होते हैं। यहाँ चर की घातें (2), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed. Here the powers of the variable are (2), (1), and (0).
\(x^{-2}\) की घात ऋणात्मक है इसलिए यह बहुपद नहीं है। (7) केवल स्थिर पद है और समस्या ऋणात्मक घात से है। / The power in \(x^{-2}\) is negative, so it is not a polynomial. (7) is only a constant term, and the issue is the negative power.
B. क्योंकि सभी (x)-घातें (0), (1), (2) हैं/Because all (x)-powers are (0), (1), (2)
Explanation
Simple Explanation
\(x^0\) की घात (0) है और \(x^0=1\) माना जाता है। सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / The power in \(x^0\) is (0), and \(x^0=1\) is considered. All powers are non-negative integers.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^3+5x-2\) में घातें (3), (1) और (0) हैं। / A polynomial need not contain every power. \(x^3+5x-2\) has powers (3), (1), and (0).
C. चर की घातें ऋणात्मक हो सकती हैं/Powers of the variable can be negative
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं होतीं। घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Negative powers are not allowed in a polynomial. Powers must be zero or positive integers.
\(2x^4\) की घात (4), \(5x^2\) की घात (2), और (1) स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(2x^4\) is (4), the power of \(5x^2\) is (2), and the constant (1) is treated as degree (0).
(7x+3) में चर (x) है इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है। फिर भी घात (1) होने से यह बहुपद है। / (7x+3) contains the variable (x), so it is not a constant polynomial. Still, it is a polynomial because the power is (1).
\(\sqrt{x^2}\) को सामान्य रूप से बहुपद पद की तरह नहीं लिया जाता। कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो उसे बहुपद नहीं मानते। / \(\sqrt{x^2}\) is not treated as a polynomial term in the usual class (9) definition. If the variable is under a root, it is not considered a polynomial.
\(x^5-2x^2+6\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। इसलिए यह घात (5) का बहुपद है। / In \(x^5-2x^2+6\), all powers are valid and the highest power is (5). So it is a polynomial of degree (5).
केवल एक पद वाले बहुपद को एकपदी कहते हैं। \(4x^7\) में केवल एक पद है। / A polynomial with only one term is called a monomial. \(4x^7\) has only one term.
\(x^2-9\) की घात (2) है और इसमें दो पद हैं। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है। / \(x^2-9\) has degree (2) and two terms. Therefore, it is a quadratic binomial.
\(x^{-4}\) की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं होतीं। / The power in \(x^{-4}\) is negative. Negative powers are not allowed in a polynomial.
\(x^3+2x\) में घातें (3) और (1) हैं। इसलिए यह बहुपद है और इसकी घात (3) है। / In \(x^3+2x\), the powers are (3) and (1). So it is a polynomial and its degree is (3).
किसी घात का पद गायब होना बहुपद बनने से नहीं रोकता। \(x^4+x^2+1\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A missing power does not stop an expression from being a polynomial. In \(x^4+x^2+1\), all present powers are valid.
B. शून्य या धनात्मक पूर्णांक/Zero or positive integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यही सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, the powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition.
ऋणात्मक स्थिर पद होना बहुपद बनने में बाधा नहीं है। \(x^2+3x-8\) की सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. All powers in \(x^2+3x-8\) are valid.
इसकी घात (3) है और इसमें चार पद हैं। इसलिए यह घन चार-पदी बहुपद है। / Its degree is (3) and it has four terms. Therefore, it is a cubic four-term polynomial.
\(x^5+2x^3-7\) में (x) की घातें (5), (3) और स्थिर पद के लिए (0) हैं। / In \(x^5+2x^3-7\), the powers of (x) are (5), (3), and (0) for the constant term.
दशमलव (2.5) भी वास्तविक गुणांक है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / The decimal (2.5) is also a real coefficient. All powers of the variable are non-negative integers.
B. क्योंकि इसमें \(\frac{1}{x}\) है जिसकी घात (-1) है/Because it has \(\frac{1}{x}\), whose power is (-1)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x}=x^{-1}\) होता है। ऋणात्मक घात वाला व्यंजक बहुपद नहीं होता। / \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). An expression with a negative power is not a polynomial.
A. \(x^2+1\) क्योंकि घातें (2) और (0) हैं/\(x^2+1\) because powers are (2) and (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+1\) में घातें (2) और (0) हैं जो मान्य हैं। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(x^2+1\), the powers are (2) and (0), which are valid. The other options contain invalid powers.
(x) के संदर्भ में (y) को गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), (y) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
C. यह घन त्रिपदी बहुपद है/It is a cubic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
इसकी घात (3) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह घन त्रिपदी बहुपद है। / Its degree is (3) and it has three terms. Therefore, it is a cubic trinomial polynomial.
\(0x^5\) शून्य पद है इसलिए घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (2) है। / \(0x^5\) is a zero term, so it does not determine the degree. The highest non-zero power is (2).
बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती है। \(2^x\) में चर घात में है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / In a polynomial, the variable has fixed non-negative integer powers. In \(2^x\), the variable is in the exponent, so it is not a polynomial.
(a=0) रखने पर \(x^3\) वाला पद हट जाता है। शेष बहुपद (2x-1) की घात (1) है। / When (a=0), the \(x^3\) term disappears. The remaining polynomial (2x-1) has degree (1).
(a=2) रखने पर \(x^3\) का गुणांक (0) हो जाता है और (5x-7) बचता है। इसलिए यह रेखीय बहुपद है। / Putting (a=2) makes the coefficient of \(x^3\) equal to (0), leaving (5x-7). So it is a linear polynomial.
दूसरे व्यंजक में घातें (4), (2), और (0) हैं तथा गुणांक वास्तविक हैं। इसलिए यह डिग्री (4) का बहुपद है। / In the second expression, the powers are (4), (2), and (0), and the coefficients are real. So it is a polynomial of degree (4).
बहुपद की घात सबसे बड़ी चर-घात होती है। यहाँ सबसे बड़ी घात (5) है। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable. Here the highest power is (5).
\(0x^5\) शून्य पद है, इसलिए इसे डिग्री के लिए नहीं गिनते। बची हुई सबसे बड़ी घात (2) है। / \(0x^5\) is a zero term, so it is not counted for degree. The remaining highest power is (2).
\(\sqrt{5}\) केवल वास्तविक गुणांक है और मान्य है। (y) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\sqrt{5}\) is only a real coefficient and is allowed. The powers of (y) are (2), (1), and (0).
रेखीय बनने के लिए \(x^2\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (k+4=0) से (k=-4) मिलता है। / To become linear, the coefficient of \(x^2\) must be (0). From (k+4=0), we get (k=-4).
\(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) जब \(x\neq1\)। इसलिए सरल रूप \(x^2+x+1\) है। / \(\frac{x^2-1}{x-1}=x+1\) when \(x\neq1\). So the simplified form is \(x^2+x+1\).
B. क्योंकि (|x|) बहुपद पद नहीं है/Because (|x|) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
(|x|) को (x) की अऋणात्मक पूर्णांक घातों वाले पद के रूप में नहीं लिखा जाता। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / The term (|x|) is not written using non-negative integer powers of (x). Therefore it is not a polynomial.
इसकी सबसे बड़ी घात (3) है और इसमें (3) पद हैं। इसलिए यह घन त्रिपदी बहुपद है। / Its highest power is (3) and it has (3) terms. Therefore, it is a cubic trinomial polynomial.
(m=0) रखने पर \(x^4\) पद हट जाता है और \(2x^3-5\) बचता है। इसलिए डिग्री (3) है। / Putting (m=0) removes the \(x^4\) term and leaves \(2x^3-5\). Therefore the degree is (3).
C. यह बहुपद है और डिग्री (2) है/It is a polynomial and degree is (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\pi\) और \(\sqrt{3}\) वास्तविक गुणांक हैं। (x) की घातें (2), (1), और (0) हैं। / \(\pi\) and \(\sqrt{3}\) are real coefficients. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
इस बहुपद में \(x^4\) और (x) पद नहीं हैं। अनुपस्थित पदों के गुणांक (0) माने जाते हैं। / The \(x^4\) and (x) terms are absent in this polynomial. Coefficients of absent terms are taken as (0).
\(0x^6\) शून्य पद है इसलिए घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (4) है। / \(0x^6\) is a zero term, so it does not determine the degree. The highest non-zero power is (4).
\(\frac{x^2+4}{x+1}\) में चर हर में है। ऐसा मूल व्यंजक बहुपद की परिभाषा को पूरा नहीं करता। / In \(\frac{x^2+4}{x+1}\), the variable is in the denominator. Such an original expression does not satisfy the definition of a polynomial.
\(x^4+x\) में घातें (4) और (1) हैं। यह बहुपद है और इसकी घात (4) है। / In \(x^4+x\), the powers are (4) and (1). It is a polynomial and its degree is (4).
D. क्योंकि (x^{3/2}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{3 / 2}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{3/2}\) में घात \(\frac{3}{2}\) है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. In \(x^{3/2}\), the power is \(\frac{3}{2}\).
(k) स्थिर की तरह गुणांक है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं इसलिए यह बहुपद है। / (k) acts like a constant coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0), so it is a polynomial.
इसमें \(5x^3\), \(-2x^2\), (9x) और (-6) चार पद हैं। पदों को चिन्ह सहित गिनें। / It has four terms: \(5x^3\), \(-2x^2\), (9x), and (-6). Count terms with their signs.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+3x^2-5\) में सभी उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not have every power term. In \(x^4+3x^2-5\), all present powers are valid.
B. यह बहुपद है क्योंकि चर की घातें मान्य हैं/It is a polynomial because variable powers are valid
Explanation
Simple Explanation
भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। यहाँ (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed in polynomials. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0).
\(x^0=1\) माना जाता है जब \(x\neq0\)। इसलिए \(6x^0\) स्थिर पद (6) जैसा है। / \(x^0=1\) when \(x\neq0\). So \(6x^0\) behaves like the constant term (6).
\(x^2+6\) बहुपद है और इसकी घात (2) है। इसलिए इसकी घात (1) नहीं है। / \(x^2+6\) is a polynomial and its degree is (2). Therefore, its degree is not (1).
(a=0) होने पर \(x^4\) वाला पद हट जाता है। शेष बहुपद \(3x^2-1\) की घात (2) है। / When (a=0), the \(x^4\) term disappears. The remaining polynomial \(3x^2-1\) has degree (2).
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए/Variable powers must be zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। यह परिभाषा की सबसे महत्वपूर्ण शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable are zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(\frac{4}{x}\) में (x) की घात (-1) है इसलिए यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. In \(\frac{4}{x}\), the power of (x) is (-1), so it is not a polynomial.
ऋणात्मक स्थिर पद होने से व्यंजक बहुपद बनने से नहीं रुकता। \(x^2-11\) में सभी घातें मान्य हैं। / A negative constant term does not prevent an expression from being a polynomial. In \(x^2-11\), all powers are valid.
\(2x^5\) की घात (5), \(x^2\) की घात (2), और स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(2x^5\) is (5), the power of \(x^2\) is (2), and the constant term is treated as power (0).
\(2x^6-x^3+8\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। इसलिए इसकी घात (6) है। / In \(2x^6-x^3+8\), all powers are valid and the highest power is (6). So its degree is (6).
C. चर हर में रह सकता है/The variable can be in the denominator
Explanation
Simple Explanation
यदि चर हर में आता है तो अक्सर उसकी घात ऋणात्मक हो जाती है। बहुपद में ऋणात्मक घात मान्य नहीं होती। / If the variable appears in the denominator, its power often becomes negative. Negative powers are not valid in a polynomial.
B. क्योंकि \(x^{-1}\) की घात ऋणात्मक है/Because the power in \(x^{-1}\) is negative
Explanation
Simple Explanation
\(x^{-1}\) की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऐसी घात स्वीकार्य नहीं होती। / The power in \(x^{-1}\) is negative. Such a power is not allowed in a polynomial.
दशमलव (1.5) वास्तविक गुणांक है। (x) की घातें (2), (1) और (0) मान्य हैं। / The decimal (1.5) is a real coefficient. The powers of (x) are (2), (1), and (0), which are valid.
\(x^4+3x-2\) में \(x^2\) पद नहीं है पर सबसे बड़ी घात (4) है। गायब पद घात को नहीं रोकता। / In \(x^4+3x-2\), the \(x^2\) term is missing but the highest power is (4). A missing term does not affect validity.
\(3x^2-7\) में दो पद हैं और सबसे बड़ी घात (2) है। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है। / \(3x^2-7\) has two terms and the highest power is (2). So it is a quadratic binomial.
\(n^{4/3}\) की घात पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The power in \(n^{4/3}\) is not an integer. In a polynomial, variable powers must be non-negative integers.
(a=0) पर \(x^2\) वाला पद हटता है लेकिन \(2x^3\) रहता है। इसलिए घात (3) ही रहेगी। / When (a=0), the \(x^2\) term disappears but \(2x^3\) remains. Therefore, the degree stays (3).
A. \(x^2+4x+4\) क्योंकि घातें (2), (1), (0) हैं/\(x^2+4x+4\) because powers are (2), (1), (0)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2+4x+4\) में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। इसलिए यह सही बहुपद उदाहरण है। / In \(x^2+4x+4\), all powers are non-negative integers. So it is a correct polynomial example.
(x) के संदर्भ में \(y^2\) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (x), \(y^2\) can be treated like a coefficient. The powers of (x) are (3), (1), and (0).
\(x^6+2x^4-x^2+9\) में घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और मान्य हैं। / In \(x^6+2x^4-x^2+9\), the powers are (6), (4), (2), and (0). All are even and valid.
इस बहुपद में (5) अलग-अलग पद हैं। जोड़ के चिन्हों से पदों को अलग पहचानें। / This polynomial has (5) distinct terms. Use plus signs to identify the terms separately.
A. द्विघात त्रिपदी बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
इसकी घात (2) है और इसमें (3) पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है। / Its degree is (2) and it has (3) terms. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial.
\(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}\) contains \(\frac{1}{x}\), whose power is (-1). Therefore, it is not a polynomial.
\(x^{-3}\) की घात ऋणात्मक है। बहुपद में ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। / The power in \(x^{-3}\) is negative. Negative powers are not allowed in a polynomial.
बहुपद की घात सबसे बड़ी चर-घात होती है। यहाँ सबसे बड़ी घात (7) है। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable. Here the highest power is (7).
(23) में कोई चर नहीं है इसलिए यह स्थिर बहुपद है। शून्य से अलग स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / (23) has no variable, so it is a constant polynomial. A non-zero constant polynomial has degree (0).
B. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग रखें। / (0) is the zero polynomial but its degree is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
भिन्न गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। यहाँ (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed in polynomials. Here the powers of (x) are (2), (1), and (0).
इसमें \(x^4\), \(-3x^2\), (2x) और (-11) चार पद हैं। पदों को चिन्ह सहित गिनें। / It has four terms: \(x^4\), \(-3x^2\), (2x), and (-11). Count terms with their signs.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Powers of the variable are zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यही परिभाषा की सबसे जरूरी शर्त है। / In a polynomial, powers of the variable must be zero or positive integers. This is the most important condition in the definition.
C. क्योंकि (x^{2/5}) की घात पूर्णांक नहीं है / Because the power in \(x^{2 / 5}\) is not an integer
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(x^{2/5}\) की घात \(\frac{2}{5}\) है, जो पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. The power in \(x^{2/5}\) is \(\frac{2}{5}\), which is not an integer.
\(0x^5\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (3) है। / \(0x^5\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (3).
\(x^{-4}\) की घात ऋणात्मक है इसलिए यह बहुपद नहीं है। (8) केवल स्थिर पद है। / The power in \(x^{-4}\) is negative, so it is not a polynomial. (8) is only a constant term.
B. द्विघात त्रिपदी बहुपद/Quadratic trinomial polynomial
Explanation
Simple Explanation
इसकी घात (2) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी बहुपद है। / Its degree is (2) and it has three terms. Therefore, it is a quadratic trinomial polynomial.
\(x^5\) की घात (5), \(2x^3\) की घात (3), और स्थिर पद की घात (0) मानी जाती है। / The power of \(x^5\) is (5), the power of \(2x^3\) is (3), and the constant term is treated as power (0).
\(6x^4-x+3\) बहुपद है और इसकी घात (4) है। इसलिए इसकी घात (2) नहीं है। / \(6x^4-x+3\) is a polynomial and its degree is (4). Therefore, it is not of degree (2).
\(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) है और \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x+4}{x}=1+\frac{4}{x}\) and \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\). Due to the negative power, it is not a polynomial.
सबसे बड़ी घात (3) होने पर बहुपद घन कहलाता है। बहुपद का प्रकार घात से पहचानें। / A polynomial with highest power (3) is called cubic. Identify the type of polynomial from its degree.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+3x-5\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not contain every power term. In \(x^4+3x-5\), the present powers are valid.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\) है/Because \(\frac{1}{x^3}=x^{-3}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^3}\) में (x) की घात (-3) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / In \(\frac{1}{x^3}\), the power of (x) is (-3). Due to the negative power, it is not a polynomial.
\(4z^3-2z+9\) में (z) की घातें (3), (1) और (0) हैं। इसलिए यह (z) में बहुपद है। / In \(4z^3-2z+9\), the powers of (z) are (3), (1), and (0). So it is a polynomial in (z).
\(x^6+3x^4-5\) में (x) की घातें (6), (4) और स्थिर पद के लिए (0) हैं। / In \(x^6+3x^4-5\), the powers of (x) are (6), (4), and (0) for the constant term.
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक स्थिर पद है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real constant term and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
पहले विकल्प में घातें (6), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (6), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\sin x\) is not such a term.
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है। सरल रूप में घातें (2) और (0) हैं, इसलिए यह बहुपद है। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\). In the simplified form, the powers are (2) and (0), so it is a polynomial.
इसकी घात (3) है और इसमें चार पद हैं। इसलिए यह घन चार-पदी बहुपद है। / Its degree is (3) and it has four terms. Therefore, it is a cubic four-term polynomial.
\(0x^5\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (3) है। / \(0x^5\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (3).
\(\sqrt{13}\) वास्तविक गुणांक है और बहुपद में मान्य है। चर की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\sqrt{13}\) is a real coefficient and is allowed in a polynomial. The powers of the variable are (2), (1), and (0).
\(x^4+7x-3\) में घातें (4), (1) और स्थिर पद के लिए (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं। / In \(x^4+7x-3\), the powers are (4), (1), and (0) for the constant term. All powers are valid.
\(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}\) है। \(\frac{5}{x}\) में (x) की घात (-1) है। / \(\frac{2x^2+5}{x}=2x+\frac{5}{x}\). In \(\frac{5}{x}\), the power of (x) is (-1).
इसकी सबसे बड़ी घात (2) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी है। / Its highest power is (2) and it has three terms. Therefore, it is a quadratic trinomial.
\(2x^2+x-5\) में तीन पद हैं इसलिए यह त्रिपदी है। इसकी सभी घातें मान्य हैं। / \(2x^2+x-5\) has three terms, so it is a trinomial. All its powers are valid.
भिन्न गुणांक मान्य होते हैं। \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\) में (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / Fractional coefficients are allowed. In \(\frac{1}{2}x^3+4x-6\), the powers of (x) are (3), (1), and (0).
इसमें घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / It has powers (6), (4), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
\(-\frac{1}{2}\) न तो शून्य है और न धनात्मक पूर्णांक। इसलिए यह घात बहुपद में मान्य नहीं है। / \(-\frac{1}{2}\) is neither zero nor a positive integer. So this power is not valid in a polynomial.
(b) को (x) के संदर्भ में गुणांक माना जा सकता है। (x) की घातें (4), (1) और (0) हैं। / (b) can be treated as a coefficient with respect to (x). The powers of (x) are (4), (1), and (0).
A. यह चार पदों वाला घन बहुपद है/It is a cubic polynomial with four terms
Explanation
Simple Explanation
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (3) है। इसलिए यह चार पदों वाला घन बहुपद है। / It has four terms and the highest power is (3). Therefore, it is a cubic polynomial with four terms.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\tan x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\tan x\) is not such a term.
\(4x^4-3x^2\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। सभी घातें मान्य हैं। / In \(4x^4-3x^2\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). All powers are valid.
A. क्योंकि यह \(x^2+x\) बनता है/Because it becomes \(x^2+x\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\) है। यह बहुपद है, इसलिए सही कारण यह है कि इसमें घातें (2) और (1) मान्य हैं। / \(\frac{x^4+x^3}{x^2}=x^2+x\). It is a polynomial, so the correct reason is that powers (2) and (1) are valid.
C. यह द्विघात बहुपद है/It is a quadratic polynomial
Explanation
Simple Explanation
विस्तारित रूप \(x^2+4x+4\) है। सबसे बड़ी घात (2) है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। / The expanded form is \(x^2+4x+4\). The highest power is (2), so it is a quadratic polynomial.
\(5+x^3-2x\) में घातें (0), (3), (1) हैं, पर सभी मान्य हैं। घटते क्रम में लिखना जरूरी नहीं है। / In \(5+x^3-2x\), the powers are (0), (3), and (1), but all are valid. Writing in descending order is not required.
