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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर क्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?

On the set \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है, और \(a\neq -1\) होने से (e=0)। / (a+e+ae=a) gives (e(1+a)=0), so (e=0) because \(a\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में दोनों ओर से जाँचें, यहाँ (e*a=a) भी सही है। / In exams, also check the other side; here (e*a=a) holds.

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Question 2/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। अवयव (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab). What is the inverse of (a)?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1+a}\)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a*x=0), यानी (a+x+ax=0)। / For inverse (x), (a*x=0), so (a+x+ax=0).

Step 3

Exam Tip

(x(1+a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\); हर बार पहले तत्समक पहचानें। / Hence (x(1+a)=-a), giving \(x=\frac{-a}{1+a}\); always identify the identity first.

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Question 3/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) दी है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-3) is defined. Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों हैIt is both commutative and associative

Step 1

Concept

(a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। / (a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=a+b+c-6) और (a*(b*c)=a+b+c-6), इसलिए साहचर्य भी है। / ((a*b)*c=a+b+c-6) and (a*(b*c)=a+b+c-6), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

रैखिक क्रियाओं में दोनों पक्ष फैलाकर तुलना करना सबसे सुरक्षित तरीका है। / For linear operations, expand both sides and compare.

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Question 4/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-3). What is the inverse of (a) under this operation?

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Correct Answer

B. (6-a)

Step 1

Concept

पहले तत्समक (e) खोजें: (a+e-3=a), इसलिए (e=3)। / First find the identity (e): (a+e-3=a), hence (e=3).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-3=3), इसलिए (x=6-a)। / For inverse (x), (a+x-3=3), so (x=6-a).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय सामान्य जोड़ के शून्य को तत्समक मानने की गलती न करें। / Do not assume the usual additive identity (0) for a new operation.

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Question 5/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\). Choose the correct conclusion about this operation.

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहींCommutative but not associative

Step 1

Concept

(ab=ba), इसलिए (a*b=b*a) और क्रिया क्रमविनिमेय है। / Since (ab=ba), (a*b=b*a), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), जबकि (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), while (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.

Step 3

Exam Tip

साहचर्य जाँचने के लिए (a=1,b=4,c=16) जैसे मान तुरंत अंतर दिखाते हैं। / Values like (a=1,b=4,c=16) quickly disprove associativity.

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Question 6/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) का (4) से भाग देने पर शेष माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (2)?

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Correct Answer

C. (2)

Step 1

Concept

यह (4) के सापेक्ष जोड़ है, जिसका तत्समक (0) है। / This is addition modulo (4), whose identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x) का अर्थ है (2+x) का (4) से शेष, इसे (0) चाहिए। / (2*x) means the remainder of (2+x) on division by (4), and it must be (0).

Step 3

Exam Tip

(2+2=4), शेष (0), इसलिए (2) स्वयं अपना प्रतिलोम है। / Since (2+2=4), the remainder is (0), so (2) is its own inverse.

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Question 7/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव कौन-सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\max(a,b)). Which is the identity element?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। / This happens only when (e) is the smallest element of the set.

Step 3

Exam Tip

यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है, इसलिए वही तत्समक है। / Here the smallest element is (1), so it is the identity.

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Question 8/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (a*b=\min(a,b)). What is the identity element?

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Correct Answer

D. (4)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\min(a,e)=a) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

यह तब संभव है जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। / This is possible when (e) is the largest element of the set.

Step 3

Exam Tip

यहाँ (4) सबसे बड़ा है, इसलिए परीक्षा में न्यूनतम क्रिया के लिए सबसे बड़े अवयव पर ध्यान दें। / Here (4) is the largest, so for a minimum operation look at the largest element.

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Question 9/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?

On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element?

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Correct Answer

C. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर \(\frac{ae}{2}=a\) मिलता है। / Put (a*e=a), so \(\frac{ae}{2}=a\).

Step 2

Why this answer is correct

\(a\neq 0\) होने से दोनों ओर (a) से भाग दे सकते हैं, इसलिए (e=2)। / Since \(a\neq 0\), divide by (a) to get (e=2).

Step 3

Exam Tip

नई क्रिया में तत्समक हमेशा सामान्य गुणा का (1) नहीं होता। / Under a new operation, the identity is not always the usual multiplicative (1).

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Question 10/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। अवयव (a) का प्रतिलोम कौन-सा है?

On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\). Which is the inverse of (a)?

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Correct Answer

B. \(\frac{4}{a}\)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (2) है। / The identity for this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए \(\frac{ax}{2}=2\) होना चाहिए। / For inverse (x), \(\frac{ax}{2}=2\).

Step 3

Exam Tip

इससे (ax=4), इसलिए \(x=\frac{4}{a}\); पहले तत्समक फिर प्रतिलोम यही क्रम रखें। / Thus (ax=4), so \(x=\frac{4}{a}\); find identity before inverse.

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Question 11/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+1) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+1). What is the inverse of (a) under this operation?

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Correct Answer

C. (-a-2)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), अतः (e=-1)। / For identity (e), (a+e+1=a), so (e=-1).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+1=-1)। / For inverse (x), (a+x+1=-1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (x=-a-2); स्थिरांक वाली क्रिया में स्थिरांक को ध्यान से रखें। / Hence (x=-a-2); handle the constant term carefully.

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Question 12/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab+2) है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab+2). Does this operation have an identity element?

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Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

(a*e=a) से (a+e+ae+2=a) मिलता है। / From (a*e=a), we get (a+e+ae+2=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1+a)+2=0), जो हर (a) के लिए एक ही (e) से संभव नहीं है। / This gives (e(1+a)+2=0), which cannot hold for all (a) with one fixed (e).

Step 3

Exam Tip

तत्समक एक स्थिर अवयव होना चाहिए, (a) पर निर्भर नहीं। / An identity must be a fixed element, not dependent on (a).

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Question 13/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर \(a*b=a^b\) है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{N}\), \(a*b=a^b\). Which statement is correct?

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Correct Answer

D. न क्रमविनिमेय न साहचर्यNeither commutative nor associative

Step 1

Concept

\(2*3=2^3=8\) और \(3*2=3^2=9\), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / \(2*3=2^3=8\) and \(3*2=3^2=9\), so it is not commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((2*3)*2=8²=64), जबकि (2*(3*2)=2⁹=512), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((2*3)*2=8²=64), while (2*(3*2)=2⁹=512), so it is not associative.

Step 3

Exam Tip

एक सही प्रत्युदाहरण दोनों गुणों को जल्दी नकार सकता है। / A good counterexample can disprove both properties quickly.

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Question 14/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e-ae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e-ae=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1-a)=0) आता है, और हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। / Thus (e(1-a)=0), and (e=0) works for every (a).

Step 3

Exam Tip

(e*a=e+a-ea=a) भी जाँच लें, इसलिए (0) तत्समक है। / Also (e*a=e+a-ea=a), so (0) is the identity.

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Question 15/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया के बारे में कौन-सा कथन सही है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). Which statement is correct?

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Correct Answer

B. यह बंद है और प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम हैIt is closed and every element has an inverse

Step 1

Concept

(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। / (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).

Step 2

Why this answer is correct

\(a\neq 1\) और \(b\neq 1\) होने से यह शून्य नहीं, इसलिए \(a*b\neq 1\), अतः बंद है। / Since \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), this is non-zero, so \(a*b\neq 1\); hence closure holds.

Step 3

Exam Tip

तत्समक (0) है और \(a\neq 1\) होने पर प्रतिलोम \(x=\frac{a}{a-1}\) मिलता है। / Identity is (0), and for \(a\neq 1\), the inverse is \(x=\frac{a}{a-1}\).

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Question 16/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। निम्न में से कौन-सा युग्म बंदता के लिए सबसे अच्छा विश्लेषण देता है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Which option gives the best analysis for closure?

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Correct Answer

A. बंद है क्योंकि (a+b+ab) पूर्णांक हैClosed because (a+b+ab) is an integer

Step 1

Concept

पूर्णांकों का योग और गुणनफल फिर पूर्णांक ही रहता है। / Sums and products of integers are still integers.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b+ab) तीन पूर्णांकों का योग है, इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहेगा। / (a+b+ab) is a sum of three integers, so it belongs to \(\mathbb{Z}\).

Step 3

Exam Tip

बंदता में परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए, धनात्मक होना आवश्यक नहीं। / Closure requires the result to remain in the same set, not necessarily positive.

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Question 17/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{Z}:x\) सम है}) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। क्या यह द्विआधारी क्रिया है?

\(On (A={x\in\mathbb{Z}:x\) is even\(}), (a*b=\frac{a+b}{2}). Is it a binary operation\)?

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Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि परिणाम सम पूर्णांक होना जरूरी नहींNo, because the result need not be an even integer

Step 1

Concept

द्विआधारी क्रिया के लिए परिणाम फिर (A) में होना चाहिए। / For a binary operation, the result must again belong to (A).

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (4) दोनों सम हैं, पर \(\frac{2+4}{2}=3\), जो सम नहीं है। / (2) and (4) are even, but \(\frac{2+4}{2}=3\), which is not even.

Step 3

Exam Tip

बंदता टूटते ही क्रिया उस समुच्चय पर द्विआधारी नहीं रहती। / Once closure fails, it is not a binary operation on that set.

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Question 18/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर (a*b) को (a+b) का (8) से भाग देने पर शेष माना गया है। क्या यह (A) पर बंद है?

On \(A=\{1,3,5,7\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (8). Is it closed on (A)?

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Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि (1*7=0)No, because (1*7=0)

Step 1

Concept

बंदता के लिए हर परिणाम (A) में होना चाहिए। / Closure requires every result to lie in (A).

Step 2

Why this answer is correct

(1+7=8), और (8) से भाग देने पर शेष (0) आता है। / (1+7=8), whose remainder on division by (8) is (0).

Step 3

Exam Tip

(0), (A) में नहीं है, इसलिए एक ही प्रत्युदाहरण काफी है। / Since \(0\notin A\), one counterexample is enough.

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Question 19/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह क्रिया किस कारण क्रमविनिमेय है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Why is this operation commutative?

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Correct Answer

A. क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\)Because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता में (a*b=b*a) जाँचा जाता है। / Commutativity checks whether (a*b=b*a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*b=a^2+b^2\) और \(b*a=b^2+a^2\), जो योग के गुण से बराबर हैं। / \(a*b=a^2+b^2\) and \(b*a=b^2+a^2\), equal by commutativity of usual addition.

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता को साहचर्य या प्रतिलोम से न मिलाएँ। / Do not confuse commutativity with associativity or inverse.

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Question 20/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। क्या यह क्रिया साहचर्य है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Is this operation associative?

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Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि ((1*2)*3\neq 1*(2*3))No, because ((1*2)*3\neq 1*(2*3))

Step 1

Concept

साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) चाहिए। / Associativity requires ((a*b)*c=a*(b*c)).

Step 2

Why this answer is correct

((1*2)*3=5*3=25+9=34), जबकि (1*(2*3)=1*13=1+169=170)। / ((1*2)*3=5*3=25+9=34), while (1*(2*3)=1*13=1+169=170).

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेय होना साहचर्य होने की गारंटी नहीं देता। / Being commutative does not guarantee associativity.

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Question 21/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+kab) है। किन (k) के लिए यह क्रिया साहचर्य होगी?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+kab). For which values of (k) is the operation associative?

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Correct Answer

B. हर वास्तविक (k)Every real (k)

Step 1

Concept

((a*b)*c) फैलाने पर (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)) फैलाने पर (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)) मिलता है। / Expanding (a*(b*c)) gives (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)).

Step 3

Exam Tip

दोनों में \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) समान है, इसलिए हर (k) पर साहचर्य है। / Both equal \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\), so it is associative for every (k).

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Question 22/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{k}}\) पर (a*b=a+b+kab), जहाँ \(k\neq 0\), है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{k}}\), (a*b=a+b+kab), where \(k\neq 0\). What is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखने पर (a+e+kae=a) मिलता है। / Put (a*e=a), giving (a+e+kae=a).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e(1+ka)=0) है। दिए समुच्चय में \(1+ka\neq 0\), इसलिए (e=0)। / Thus (e(1+ka)=0). In the given set \(1+ka\neq 0\), so (e=0).

Step 3

Exam Tip

समुच्चय से हटाया गया अवयव बंदता और प्रतिलोम के लिए महत्त्वपूर्ण होता है। / The excluded element is important for closure and inverse behavior.

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Question 23/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{2}}\) पर (a*b=a+b+2ab) है। अवयव (a) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\setminus{-\frac{1}{2}}\), (a*b=a+b+2ab). What is the inverse of (a)?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1+2a}\)

Step 1

Concept

तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0) से (a+x+2ax=0) मिलता है। / From (a*x=0), we get (a+x+2ax=0).

Step 3

Exam Tip

(x(1+2a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+2a}\); हर में शून्य न हो इसलिए \(-\frac{1}{2}\) हटाया गया है। / Hence (x(1+2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1+2a}\); the excluded value avoids zero denominator.

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Question 24/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+2b) है। इस क्रिया के लिए सही कथन चुनिए।

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+2b). Choose the correct statement.

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Correct Answer

C. यह द्विआधारी है पर न क्रमविनिमेय न साहचर्यIt is binary but neither commutative nor associative

Step 1

Concept

(a,b) वास्तविक हों तो (a+2b) वास्तविक है, इसलिए बंदता है। / If (a,b) are real, (a+2b) is real, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

(1*2=5) और (2*1=4), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। / (1*2=5) and (2*1=4), so it is not commutative.

Step 3

Exam Tip

((1*2)*3=11), पर (1*(2*3)=17), इसलिए साहचर्य भी नहीं। / ((1*2)*3=11), but (1*(2*3)=17), so it is not associative.

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Question 25/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=2a+b) है। क्या इस क्रिया में कोई तत्समक अवयव है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=2a+b). Does this operation have an identity element?

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Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

दायाँ तत्समक हो तो (a*e=2a+e=a), यानी (e=-a), जो (a) पर निर्भर है। / A right identity would require (a*e=2a+e=a), giving (e=-a), dependent on (a).

Step 2

Why this answer is correct

बायाँ तत्समक हो तो (e*a=2e+a=a), इसलिए (e=0)। / A left identity would require (e*a=2e+a=a), giving (e=0).

Step 3

Exam Tip

दोनों ओर एक ही स्थिर अवयव न मिले तो तत्समक नहीं होता। / Since there is no single two-sided identity, no identity exists.

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Question 26/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) है। (ab=1) कब होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). When will (a*b=1)?

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Correct Answer

A. जब (a=1) या (b=1)When (a=1) or (b=1)

Step 1

Concept

(a+b-ab=1) को (1-a-b+ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=1) as (1-a-b+ab=0).

Step 2

Why this answer is correct

यह ((1-a)(1-b)=0) बनता है। / This factors as ((1-a)(1-b)=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (a=1) या (b=1); ऐसे गुणनखंड बनाना परीक्षा में समय बचाता है। / Hence (a=1) or (b=1); factoring saves time in such problems.

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Question 27/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। यह क्रिया किस गुण में असफल है?

On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). In which property does this operation fail?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. क्रमविनिमेयताCommutativity

Step 1

Concept

दो अशून्य परिमेयों का भाग फिर अशून्य परिमेय होता है, इसलिए बंदता है। / The quotient of two non-zero rationals is again a non-zero rational, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

पर \(2*4=\frac{1}{2}\), जबकि (4*2=2), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। / But \(2*4=\frac{1}{2}\), while (4*2=2), so commutativity fails.

Step 3

Exam Tip

गुण जाँचते समय बंदता और क्रमविनिमेयता को अलग-अलग देखें। / Check closure and commutativity separately.

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Question 28/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। क्या यह क्रिया साहचर्य है?

On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). Is this operation associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. नहीं, क्योंकि ((8*4)*2\neq 8*(4*2))No, because ((8*4)*2\neq 8*(4*2))

Step 1

Concept

((8*4)*2=(2)*2=1)। / ((8*4)*2=(2)*2=1).

Step 2

Why this answer is correct

(8*(4*2)=8*2=4)। / (8*(4*2)=8*2=4).

Step 3

Exam Tip

दोनों बराबर नहीं, इसलिए साहचर्य नहीं; एक स्पष्ट प्रत्युदाहरण सबसे मजबूत उत्तर है। / They are not equal, so associativity fails; a clear counterexample is the strongest argument.

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Question 29/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर क्रिया (a*b) को साधारण गुणन माना गया है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?

On \(A=\{0,1\}\), the operation (a*b) is ordinary multiplication. Which element has no inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

साधारण गुणन में तत्समक (1) है। / Under ordinary multiplication, the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(1) का प्रतिलोम (1) है क्योंकि \(1\cdot 1=1\)। / The inverse of (1) is (1) because \(1\cdot 1=1\).

Step 3

Exam Tip

\(0\cdot x\) कभी (1) नहीं बन सकता, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं है। / \(0\cdot x\) can never become (1), so (0) has no inverse.

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Question 30/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,-1\}\) पर साधारण गुणन क्रिया है। इस संरचना के बारे में सही कथन क्या है?

On \(A=\{1,-1\}\), ordinary multiplication is the operation. What is the correct statement about this structure?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. हर अवयव का प्रतिलोम हैEvery element has an inverse

Step 1

Concept

(1) और (-1) का गुणनफल फिर (1) या (-1) ही आता है, इसलिए बंदता है। / The product of (1) and (-1) always remains in ({1,-1}), so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

(1) तत्समक है। / (1) is the identity.

Step 3

Exam Tip

(1) का प्रतिलोम (1) और (-1) का प्रतिलोम (-1) है, इसलिए हर अवयव का प्रतिलोम है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (-1) is (-1), so every element has an inverse.

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Question 31/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b+ab) है। (ab=b) होने के लिए कौन-सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which condition is necessary and sufficient for (a*b=b)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (a=0) या (b=-1)(a=0) or (b=-1)

Step 1

Concept

(a+b+ab=b) से (a+ab=0) मिलता है। / From (a+b+ab=b), we get (a+ab=0).

Step 2

Why this answer is correct

इसे (a(1+b)=0) लिखेंगे। / Factor it as (a(1+b)=0).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (a=0) या (b=-1); गुणनखंड बनाना ऐसी शर्तों में बहुत उपयोगी है। / Hence (a=0) or (b=-1); factoring is very useful in such condition-based questions.

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Question 32/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर (a*b=ab) है। (a) का प्रतिलोम किस समुच्चय में रहता है?

On \(A=\mathbb{R}^{+}\), (a*b=ab). In which set does the inverse of (a) lie?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\mathbb{R}^{+}\)

Step 1

Concept

साधारण गुणन में तत्समक (1) है। / Under ordinary multiplication, the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(a>0) होने पर प्रतिलोम \(\frac{1}{a}\) भी धनात्मक होता है। / If (a>0), then its inverse \(\frac{1}{a}\) is also positive.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिलोम उसी समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) में रहता है, जो बंदता के बाद अगली जरूरी जाँच है। / Thus the inverse remains in \(\mathbb{R}^{+}\), which is the next key check after closure.

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Question 33/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। इस क्रिया में तत्समक अवयव के बारे में सही बात क्या है?

On \(A=\mathbb{R}^{+}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\). What is true about the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. तत्समक अस्तित्व में नहीं हैIdentity does not exist

Step 1

Concept

(a*e=a) से \(\frac{a+e}{2}=a\) मिलता है। / From (a*e=a), \(\frac{a+e}{2}=a\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे (e=a), जो हर (a) के लिए बदलता रहेगा। / This gives (e=a), which changes with (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक एक निश्चित अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ तत्समक नहीं है। / An identity must be fixed, so no identity exists here.

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Question 34/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=|a-b|) है। कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=|a-b|). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहींIt is commutative but not associative

Step 1

Concept

(|a-b|=|b-a|), इसलिए क्रिया क्रमविनिमेय है। / (|a-b|=|b-a|), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((1*3)*6=2*6=4), जबकि (1*(3*6)=1*3=2), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((1*3)*6=2*6=4), while (1*(3*6)=1*3=2), so it is not associative.

Step 3

Exam Tip

निरपेक्ष मान वाली क्रियाओं में छोटे प्रत्युदाहरण बहुत काम आते हैं। / Small counterexamples work well for absolute value operations.

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Question 35/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=|a-b|) है। क्या कोई तत्समक अवयव है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=|a-b|). Is there an identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. नहींNo

Step 1

Concept

यदि (e) तत्समक हो तो (|a-e|=a) हर वास्तविक (a) के लिए होना चाहिए। / If (e) is identity, then (|a-e|=a) for every real (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a=-1) रखने पर बायाँ पक्ष सदैव अऋणात्मक है, पर दायाँ पक्ष (-1) है। / Put (a=-1); the left side is always non-negative, but the right side is (-1).

Step 3

Exam Tip

इसलिए कोई तत्समक नहीं; ऋणात्मक मानों से कई दावे तुरंत टूटते हैं। / Hence no identity exists; negative values often disprove such claims quickly.

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Question 36/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{N}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(\operatorname{lcm}(a,1)=a) हर प्राकृतिक (a) के लिए सत्य है। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a) for every natural (a).

Step 3

Exam Tip

लघुत्तम समापवर्त्य वाली क्रिया में (1) को तुरंत जाँचें। / For an LCM operation, check (1) immediately.

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Question 37/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस क्रिया में क्या तत्समक अवयव \(\mathbb{N}\) में है?

On \(\mathbb{N}\), (a*b=\gcd(a,b)). Does the identity element lie in \(\mathbb{N}\)?

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Correct Answer

C. नहीं, क्योंकि कोई सबसे बड़ा प्राकृतिक अवयव नहींNo, because there is no largest natural element

Step 1

Concept

(\gcd(a,e)=a) होने के लिए (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए। / For (\gcd(a,e)=a), (e) must be a multiple of every (a).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा कोई एक प्राकृतिक अवयव नहीं जो सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणज हो। / There is no single natural number that is a multiple of all natural numbers.

Step 3

Exam Tip

यदि समुच्चय में (0) होता तो बात अलग होती, पर \(\mathbb{N}\) में यहाँ तत्समक नहीं है। / If (0) were included, the situation would differ, but in \(\mathbb{N}\) there is no identity here.

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Question 38/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\gcd(a,b)). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. (6)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) चाहिए। / For identity (e), (\gcd(a,e)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(6) इस समुच्चय के हर अवयव का गुणज है, इसलिए (\gcd(a,6)=a)। / (6) is a multiple of every element of this set, so (\gcd(a,6)=a).

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में महत्तम अवयव प्रायः ऐसी क्रिया में तत्समक बन सकता है। / In a finite set, the largest suitable multiple can become the identity for a GCD operation.

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Question 39/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What is the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a).

Step 2

Why this answer is correct

(1) हर अवयव को बिना बदले रखता है, क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। / (1) leaves every element unchanged because (\operatorname{lcm}(a,1)=a).

Step 3

Exam Tip

लघुत्तम समापवर्त्य में (1) और महत्तम समापवर्तक में ऊपर वाला गुणज अलग भूमिकाएँ निभाते हैं। / In LCM and GCD operations, (1) and the top common multiple play different roles.

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Question 40/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (a*b) को (ab) का (3) से भाग देने पर शेष माना गया है। कौन-सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (3). Which element has no inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

यह (3) के सापेक्ष गुणन है और तत्समक (1) है। / This is multiplication modulo (3), and the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(1) का प्रतिलोम (1), और (2) का प्रतिलोम (2) है क्योंकि \(2\cdot 2=4\) का शेष (1) है। / The inverse of (1) is (1), and the inverse of (2) is (2) because \(2\cdot 2=4\) has remainder (1).

Step 3

Exam Tip

(0) से गुणा करने पर शेष (0) ही रहेगा, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं। / Multiplying by (0) always gives remainder (0), so (0) has no inverse.

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Question 41/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{1,2,4,5\}\) पर (a*b) को (ab) का (6) से भाग देने पर शेष माना गया है। इस क्रिया के बारे में सही कथन क्या है?

On \(A=\{1,2,4,5\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (6). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह बंद है और (1) तत्समक हैIt is closed and (1) is identity

Step 1

Concept

दिए गए अवयवों के गुणनफल का (6) से शेष फिर (1,2,4,5) में ही आता है; जैसे (2*4=2), (5*5=1)। / Products of the given elements modulo (6) again lie in (1,2,4,5); for example, (2*4=2), (5*5=1).

Step 2

Why this answer is correct

(1*a=a) और (a*1=a), इसलिए (1) तत्समक है। / (1*a=a) and (a*1=a), so (1) is the identity.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में कुछ नमूना गुणन देखकर बंदता का ढाँचा समझें। / For a finite set, sample products reveal the closure pattern.

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Question 42/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। किस अवयव का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-2ab). Which element has no inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

तत्समक (0) है क्योंकि (a+0-0=a)। / The identity is (0) because (a+0-0=a).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-2ax=0), अतः (x(1-2a)=-a)। / For inverse (x), (a+x-2ax=0), so (x(1-2a)=-a).

Step 3

Exam Tip

\(a=\frac{1}{2}\) पर गुणक शून्य हो जाता है और समीकरण असंभव बनता है, इसलिए इसका प्रतिलोम नहीं। / At \(a=\frac{1}{2}\), the coefficient becomes zero and the equation is impossible, so it has no inverse.

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Question 43/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{\frac{1}{2}}\) पर (a*b=a+b-2ab) है। (a) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{\frac{1}{2}}\), (a*b=a+b-2ab). What is the inverse of (a)?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1-2a}\)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0) से (a+x-2ax=0) मिलता है। / From (a*x=0), (a+x-2ax=0).

Step 3

Exam Tip

(x(1-2a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-2a}\); हटाया गया अवयव हर को शून्य होने से बचाता है। / Thus (x(1-2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-2a}\); the excluded element prevents a zero denominator.

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Question 44/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda\) है। किस \(\lambda\) के लिए तत्समक अवयव (5) होगा?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda\). For which \(\lambda\) will the identity element be (5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-5)

Step 1

Concept

यदि (5) तत्समक है, तो (a*5=a) होना चाहिए। / If (5) is the identity, then (a*5=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a+5+\lambda=a\) से \(\lambda=-5\) मिलता है। / \(a+5+\lambda=a\) gives \(\lambda=-5\).

Step 3

Exam Tip

मान निकालने के बाद (5*a=a) भी वही परिणाम देता है, इसलिए जाँच पूरी है। / Checking (5*a=a) gives the same result, so the verification is complete.

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Question 45/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) है। किस \(\lambda\) पर अवयव (2) का प्रतिलोम अस्तित्व में नहीं होगा?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda ab\). For which \(\lambda\) will the element (2) have no inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\lambda=-\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

इस प्रकार की क्रिया का तत्समक (0) होता है। / This type of operation has identity (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x=0) से \(2+x+2\lambda x=0\), यानी (x\(1+2\lambda\)=-2) मिलता है। / From (2*x=0), \(2+x+2\lambda x=0\), so (x\(1+2\lambda\)=-2).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम न होने के लिए \(1+2\lambda=0\), इसलिए \(\lambda=-\frac{1}{2}\)। / No inverse exists when \(1+2\lambda=0\), hence \(\lambda=-\frac{1}{2}\).

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Question 46/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+mab) है। यदि (2) का प्रतिलोम (-1) है, तो (m) का मान क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+mab). If the inverse of (2) is (-1), what is the value of (m)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity for this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (-1) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2*(-1)=0)। / If (2) and (-1) are inverses, then (2*(-1)=0).

Step 3

Exam Tip

(2-1-2m=0) से (1-2m=0), अतः \(m=\frac{1}{2}\)। / (2-1-2m=0) gives (1-2m=0), so \(m=\frac{1}{2}\).

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Question 47/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (ab) को (a+b) का (5) से भाग देने पर शेष माना गया है। (34) का मान क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (5). What is (3*4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (2)

Step 1

Concept

यहाँ क्रिया (5) के सापेक्ष जोड़ है। / This operation is addition modulo (5).

Step 2

Why this answer is correct

(3+4=7), और (7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / (3+4=7), and the remainder on division by (5) is (2).

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाली क्रिया में पहले साधारण गणना करें, फिर शेष लें। / For remainder operations, first do the usual calculation, then take the remainder.

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Question 48/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (a+b) का (5) से शेष माना गया है। (4) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder of (a+b) modulo (5). What is the inverse of (4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(5) के सापेक्ष जोड़ में तत्समक (0) है। / In addition modulo (5), the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(4*x=0) के लिए (4+x) का (5) से शेष (0) होना चाहिए। / For (4*x=0), (4+x) must have remainder (0) on division by (5).

Step 3

Exam Tip

(4+1=5), इसलिए (4) का प्रतिलोम (1) है। / Since (4+1=5), the inverse of (4) is (1).

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Question 49/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?

If (A) has (n) elements, how many binary operations can be defined on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(n^{n^2}\)

Step 1

Concept

द्विआधारी क्रिया \(A\times A\) से (A) में फलन होती है। / A binary operation is a function from \(A\times A\) to (A).

Step 2

Why this answer is correct

\(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) विकल्प हैं। / \(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) possible outputs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) है; इसे याद रखने के बजाय फलन की गिनती से समझें। / Therefore the total number is \(n^{n^2}\); understand it through function counting, not rote memory.

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Question 50/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 28

यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी क्रमविनिमेय द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?

If (A) has (n) elements, how many commutative binary operations can be defined on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। / In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.

Step 2

Why this answer is correct

स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).

Step 3

Exam Tip

हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

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Question 51/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर क्रिया (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। यदि \(a\neq -1\) हो, तो (2) का प्रतिलोम क्या होगा?

On the set of real numbers, the operation (a*b=a+b+ab) is defined. If \(a\neq -1\), what will be the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(-\frac{2}{3}\)

Step 1

Concept

पहले तत्समक अवयव निकालते हैं। (a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। / First find the identity. Since (a*0=a), the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x=0) रखने पर \(2+x+2x=0\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\)। / Put (2*x=0). Then \(2+x+2x=0\Rightarrow 3x=-2\Rightarrow x=-\frac{2}{3}\).

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में पहले तत्समक अवयव जरूर पहचानें, फिर प्रतिलोम निकालें। / In exams, always identify the identity before finding an inverse.

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Question 52/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों के समुच्चय पर (a*b=a+b-1) परिभाषित है। इस क्रिया के सापेक्ष (7) का प्रतिलोम क्या है?

On the set of integers, (a*b=a+b-1) is defined. What is the inverse of (7) with respect to this operation?

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Correct Answer

A. (-5)

Step 1

Concept

(a*e=a) से (a+e-1=a), अतः (e=1)। / From (a*e=a), we get (a+e-1=a), so (e=1).

Step 2

Why this answer is correct

(7*x=1) रखने पर \(7+x-1=1\Rightarrow x=-5\)। / Put (7*x=1). Then \(7+x-1=1\Rightarrow x=-5\).

Step 3

Exam Tip

(a+b-c) जैसी क्रियाओं में तत्समक अवयव सीधे तुलना से मिल जाता है। / For operations like (a+b-c), compare directly to find the identity.

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Question 53/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) परिभाषित है। इस क्रिया के साहचर्य गुण के बारे में सही कथन चुनिए।

On positive real numbers, \(a*b=\sqrt{ab}\) is defined. Choose the correct statement about associativity of this operation.

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह साहचर्य नहीं हैIt is not associative

Step 1

Concept

साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) होना चाहिए। / For associativity, ((a*b)*c=a*(b*c)) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं होते। / Here ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), which are not equal in general.

Step 3

Exam Tip

एक छोटा प्रतिउदाहरण साहचर्य को खारिज करने का तेज तरीका है। / A small counterexample is a quick way to disprove associativity.

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Question 54/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) को (4) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल के रूप में परिभाषित किया गया है। (3) का प्रतिलोम क्या है?

On the set \(A=\{0,1,2,3\}\), (a*b) is defined as the remainder obtained when (a+b) is divided by (4). What is the inverse of (3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

इस क्रिया में (0) जोड़ने पर वही अवयव मिलता है, इसलिए तत्समक (0) है। / Adding (0) leaves every element unchanged, so the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(3*x=0) का अर्थ है (3+x) का (4) से शेषफल (0) हो। (x=1) रखने पर (4) का शेषफल (0) है। / (3*x=0) means (3+x) must have remainder (0) on division by (4). With (x=1), the sum is (4).

Step 3

Exam Tip

शेषफल वाली क्रिया में प्रतिलोम वही अवयव है जो योग को गुणज बना दे। / In remainder operations, the inverse makes the sum a multiple of the modulus.

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Question 55/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

प्राकृत संख्याओं पर \(a*b=a^b\) परिभाषित है। इस क्रिया के क्रमविनिमेय होने के बारे में सही कथन कौन सा है?

On natural numbers, \(a*b=a^b\) is defined. Which statement about commutativity of this operation is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह क्रमविनिमेय नहीं हैIt is not commutative

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। / For commutativity, (a*b=b*a) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

\(2*3=2^3=8\), जबकि \(3*2=3^2=9\), दोनों बराबर नहीं हैं। / \(2*3=2^3=8\), but \(3*2=3^2=9\).

Step 3

Exam Tip

एक सही प्रतिउदाहरण पूरे दावे को गलत सिद्ध कर देता है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.

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Question 56/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+kab) परिभाषित है। यदि (2) और (3) का प्रतिफल (11) है, तो (k) का मान क्या होगा?

On real numbers, (a*b=a+b+kab) is defined. If the product of (2) and (3) is (11), what is the value of (k)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

दी हुई क्रिया में (a=2), (b=3) रखें। / Substitute (a=2) and (b=3).

Step 2

Why this answer is correct

\(2*3=2+3+6k=11\Rightarrow 6k=6\Rightarrow k=1\)। / \(2*3=2+3+6k=11\Rightarrow 6k=6\Rightarrow k=1\).

Step 3

Exam Tip

अज्ञात नियतांक वाले प्रश्नों में पहले दिए गए मान को सीधे क्रिया में रखें। / For unknown-constant questions, directly use the given operation value.

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Question 57/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-2ab) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-2ab) is defined. What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), (a*e=a) must hold.

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-2ae=a\Rightarrow e(1-2a)=0)। यह हर (a) के लिए तभी होगा जब (e=0)। / (a+e-2ae=a\Rightarrow e(1-2a)=0). This is true for every (a) when (e=0).

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव हर अवयव के लिए काम करना चाहिए, केवल किसी एक (a) के लिए नहीं। / An identity must work for all elements, not just one value.

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Question 58/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। इस क्रिया के लिए तत्समक अवयव क्या है?

On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What is the identity element for this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\)। चूँकि \(a\neq 0\), इसलिए (e=2)। / \(\frac{ae}{2}=a\). Since \(a\neq 0\), we get (e=2).

Step 3

Exam Tip

भाग देकर सरल करते समय यह देखना जरूरी है कि दिया गया समुच्चय अशून्य है या नहीं। / Before dividing by a variable, check that the set excludes zero.

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Question 59/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) परिभाषित है। (5) का प्रतिलोम क्या होगा?

On non-zero real numbers, \(a*b=\frac{ab}{2}\) is defined. What will be the inverse of (5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{4}{5}\)

Step 1

Concept

पिछली तरह इस क्रिया का तत्समक (2) है। / The identity for this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

(5*x=2) रखने पर \(\frac{5x}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{5}\)। / Put (5*x=2). Then \(\frac{5x}{2}=2\Rightarrow x=\frac{4}{5}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम हमेशा तत्समक अवयव के सापेक्ष निकाला जाता है। / Inverses are always found with respect to the identity element.

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Question 60/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। कौन सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Which element does not have an inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0) से (a+x+ax=0\Rightarrow x(1+a)=-a)। यदि (a=-1), तो (x) का मान नहीं मिल सकता। / From (a*x=0), (a+x+ax=0\Rightarrow x(1+a)=-a). If (a=-1), no value of (x) can satisfy it.

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम के सूत्र में हर शून्य हो जाए तो उस अवयव को अलग से जाँचें। / If the denominator in an inverse formula becomes zero, check that element separately.

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Question 61/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (a*b=\max(a,b)) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (a*b=\max(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\max(a,e)=a) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है। / This happens when (e) is the least element of the set. Here the least element is (1).

Step 3

Exam Tip

\(\max\) क्रिया में तत्समक सबसे छोटा अवयव होता है। / For a \(\max\) operation, the identity is the smallest element of the set.

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Question 62/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (a*b=\min(a,b)) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?

On the set \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (a*b=\min(a,b)) is defined. What will be the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

(e) तत्समक हो तो (\min(a,e)=a) हर \(a\in A\) के लिए होना चाहिए। / If (e) is the identity, (\min(a,e)=a) for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

यह तभी संभव है जब (e) सबसे बड़ा अवयव हो। (A) में सबसे बड़ा अवयव (5) है। / This is possible only when (e) is the greatest element. In (A), the greatest element is (5).

Step 3

Exam Tip

\(\min\) क्रिया में तत्समक सबसे बड़ा अवयव होता है। / For a \(\min\) operation, the identity is the greatest element.

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Question 63/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (a*b=a) परिभाषित है। यह क्रिया किस गुण को संतुष्ट करती है?

On the set \(A=\{1,2,3\}\), (a*b=a) is defined. Which property is satisfied by this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. साहचर्य है पर क्रमविनिमेय नहींAssociative but not commutative

Step 1

Concept

((a*b)*c=a*c=a) और (a*(b*c)=a*b=a), इसलिए साहचर्य है। / ((a*b)*c=a*c=a) and (a*(b*c)=a*b=a), so it is associative.

Step 2

Why this answer is correct

(1*2=1), जबकि (2*1=2), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं है। / (1*2=1), but (2*1=2), so it is not commutative.

Step 3

Exam Tip

दोनों गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Check commutativity and associativity separately.

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Question 64/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस क्रिया के सापेक्ष (3) का प्रतिलोम क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. What is the inverse of (3) with respect to this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{3}{2}\)

Step 1

Concept

(a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। / Since (a*0=a), the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

\(3*x=0\Rightarrow 3+x-3x=0\Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\)। / \(3*x=0\Rightarrow 3+x-3x=0\Rightarrow 3-2x=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}\).

Step 3

Exam Tip

चिन्हों पर ध्यान रखें, क्योंकि (ab) वाला पद उत्तर बदल सकता है। / Be careful with signs because the (ab) term can change the inverse.

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Question 65/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-3) परिभाषित है। कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (a*b=a+b-3) is defined. Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तत्समक (3) है और (a) का प्रतिलोम (6-a) हैIdentity is (3) and inverse of (a) is (6-a)

Step 1

Concept

\(a*e=a\Rightarrow a+e-3=a\), इसलिए (e=3)। / \(a*e=a\Rightarrow a+e-3=a\), so (e=3).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*x=3\Rightarrow a+x-3=3\Rightarrow x=6-a\)। / \(a*x=3\Rightarrow a+x-3=3\Rightarrow x=6-a\).

Step 3

Exam Tip

ऐसी क्रिया में घटाई गई संख्या ही तत्समक बनती है। / In this type of operation, the subtracted constant becomes the identity.

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Question 66/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

पूर्णांकों पर (a*b=a+b+2ab) परिभाषित है। क्या यह पूर्णांकों पर आंतरिक क्रिया है?

On integers, (a*b=a+b+2ab) is defined. Is this a binary operation on integers?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ, क्योंकि परिणाम हमेशा पूर्णांक हैYes, because the result is always an integer

Step 1

Concept

आंतरिक क्रिया के लिए \(a,b\in \mathbb{Z}\) होने पर \(a*b\in \mathbb{Z}\) होना चाहिए। / For closure, if \(a,b\in \mathbb{Z}\), then \(a*b\in \mathbb{Z}\).

Step 2

Why this answer is correct

(a+b+2ab) पूर्णांकों का योग और गुणनफल है, इसलिए हमेशा पूर्णांक रहेगा। / (a+b+2ab) is formed using sums and products of integers, so it is always an integer.

Step 3

Exam Tip

आंतरिकता जाँचते समय परिणाम का उसी समुच्चय में रहना जरूरी है। / To check closure, verify that the result stays in the same set.

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Question 67/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

प्राकृत संख्याओं पर (a*b=a-b) परिभाषित किया गया है। यह आंतरिक क्रिया क्यों नहीं है?

On natural numbers, (a*b=a-b) is defined. Why is it not a binary operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (1*2=-1) प्राकृत संख्या नहीं हैBecause (1*2=-1) is not a natural number

Step 1

Concept

प्राकृत संख्याओं पर आंतरिक क्रिया में परिणाम भी प्राकृत होना चाहिए। / For a binary operation on natural numbers, the result must also be natural.

Step 2

Why this answer is correct

(1*2=1-2=-1), जो प्राकृत संख्या नहीं है। / (1*2=1-2=-1), which is not a natural number.

Step 3

Exam Tip

आंतरिकता गलत सिद्ध करने के लिए एक प्रतिउदाहरण पर्याप्त है। / One counterexample is enough to disprove closure.

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Question 68/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^2+b^2\) परिभाषित है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।

On real numbers, \(a*b=a^2+b^2\) is defined. Choose the correct conclusion about this operation.

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहींCommutative but not associative

Step 1

Concept

\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेय है। / \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((1*1)*2=2*2=8), जबकि (1*(1*2)=1*5=26), इसलिए साहचर्य नहीं है। / ((1*1)*2=2*2=8), while (1*(1*2)=1*5=26), so it is not associative.

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता और साहचर्य को अलग उदाहरणों से जाँचें। / Test commutativity and associativity with separate checks.

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Question 69/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+1) परिभाषित है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On real numbers, (a*b=a+b+1) is defined. What will be the inverse of (a) in this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-a-2)

Step 1

Concept

\(a*e=a\Rightarrow a+e+1=a\), इसलिए (e=-1)। / \(a*e=a\Rightarrow a+e+1=a\), so (e=-1).

Step 2

Why this answer is correct

\(a*x=-1\Rightarrow a+x+1=-1\Rightarrow x=-a-2\)। / \(a*x=-1\Rightarrow a+x+1=-1\Rightarrow x=-a-2\).

Step 3

Exam Tip

तत्समक ऋणात्मक हो सकता है, इसलिए अनुमान लगाने के बजाय समीकरण हल करें। / The identity may be negative, so solve the equation instead of guessing.

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Question 70/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर (ab=ab) परिभाषित है। (ab=ba) और ((ab)c=a(b*c)) के बारे में सही विकल्प चुनिए।

On positive real numbers, (a*b=ab) is defined. Choose the correct option about (a*b=b*a) and ((a*b)*c=a*(b*c)).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. दोनों सत्य हैंBoth are true

Step 1

Concept

वास्तविक संख्याओं का गुणन क्रमविनिमेय है, इसलिए (ab=ba)। / Multiplication of real numbers is commutative, so (ab=ba).

Step 2

Why this answer is correct

गुणन साहचर्य भी है, इसलिए ((ab)c=a(bc))। / Multiplication is also associative, so ((ab)c=a(bc)).

Step 3

Exam Tip

सामान्य गुणन को पहचानना कई कठिन प्रश्नों को सरल बना देता है। / Recognizing ordinary multiplication helps simplify many binary-operation questions.

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Question 71/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+2) और \(a\circ b=a+b-2\) परिभाषित हैं। (3\(4\circ 5\)) का मान क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+2) and \(a\circ b=a+b-2\) are defined. What is the value of (3*\(4\circ 5\))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (12)

Step 1

Concept

पहले अंदर की क्रिया करें: \(4\circ 5=4+5-2=7\)। / First evaluate the inner operation: \(4\circ 5=4+5-2=7\).

Step 2

Why this answer is correct

अब (3*7=3+7+2=12)। / Now (3*7=3+7+2=12).

Step 3

Exam Tip

मिश्रित क्रियाओं में कोष्ठक वाली क्रिया पहले करें। / In mixed-operation questions, solve the bracketed operation first.

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Question 72/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1\}\) पर (a*b) को (a+b) को (2) से भाग देने पर प्राप्त शेषफल माना गया है। इस क्रिया के लिए कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{0,1\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (2). Which statement is correct for this operation?

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Correct Answer

A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों हैIt is both commutative and associative

Step 1

Concept

शेषफल (0) या (1) ही आता है, इसलिए क्रिया आंतरिक है। / The remainder is always (0) or (1), so the operation is closed.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) का शेषफल क्रम बदलने से नहीं बदलता और योग के साहचर्य गुण से यह साहचर्य भी है। / The remainder of (a+b) does not change with order, and associativity follows from addition modulo (2).

Step 3

Exam Tip

छोटे समुच्चय में क्रिया सारणी बनाकर गुण जल्दी जाँचे जा सकते हैं। / For small sets, an operation table quickly verifies properties.

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Question 73/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक पूर्णांकों पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) परिभाषित है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On positive integers, (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) is defined. What is the identity element of this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / For identity (e), (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every positive integer (a).

Step 2

Why this answer is correct

(\operatorname{lcm}(a,1)=a), इसलिए (e=1)। / (\operatorname{lcm}(a,1)=a), so (e=1).

Step 3

Exam Tip

लघुत्तम समापवर्त्य में (1) अक्सर तत्समक की भूमिका निभाता है। / In the least common multiple operation, (1) acts as the identity.

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Question 74/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक पूर्णांकों पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

On positive integers, (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does this operation have an identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं हैNo, there is no universal identity in positive integers

Step 1

Concept

(e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। / Such an (e) would need to be a multiple of every positive integer, which no finite positive integer can be.

Step 3

Exam Tip

समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी। / Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change.

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Question 75/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) और फलन (f(x)=x+1) दिया है। (f(ab)) किसके बराबर होगा?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) and (f(x)=x+1) are given. What is (f(a*b)) equal to?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (f(a)f(b))

Step 1

Concept

(f(a*b)=a+b+ab+1)। / (f(a*b)=a+b+ab+1).

Step 2

Why this answer is correct

इसे ((a+1)(b+1)) लिखा जा सकता है, जो (f(a)f(b)) है। / This can be written as ((a+1)(b+1)), which is (f(a)f(b)).

Step 3

Exam Tip

कभी-कभी द्विआधारी क्रिया साधारण गुणन से जुड़ी हुई छिपी रहती है। / Sometimes a binary operation hides an ordinary multiplication structure.

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Question 76/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) परिभाषित है। (12*3) को बाएँ से दाएँ करते हुए ((12)3) का मान क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Evaluating (1*2*3) from left to right as ((1*2)*3), what is the value?

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Correct Answer

A. (23)

Step 1

Concept

पहले (1*2=1+2+2=5)। / First (1*2=1+2+2=5).

Step 2

Why this answer is correct

अब (5*3=5+3+15=23)। / Now (5*3=5+3+15=23).

Step 3

Exam Tip

यदि क्रिया साहचर्य सिद्ध न हो, तो दिए गए कोष्ठक के अनुसार ही गणना करें। / If associativity is not already established, evaluate according to the given brackets.

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Question 77/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। (4) के प्रतिलोम के बारे में सही कथन क्या है, यदि तत्समक (6) माना जाए?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (a*b=\gcd(a,b)) is defined. What is the correct statement about the inverse of (4), if identity is assumed to be (6)?

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Correct Answer

A. प्रतिलोम नहीं हैIt has no inverse

Step 1

Concept

प्रतिलोम (x) के लिए (\gcd(4,x)=6) चाहिए। / For inverse (x), we need (\gcd(4,x)=6).

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी \(x\in A\) के लिए (\gcd(4,x)) अधिकतम (4) हो सकता है, इसलिए (6) नहीं मिलेगा। / For any \(x\in A\), (\gcd(4,x)) can be at most (4), so it cannot be (6).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम तभी होगा जब क्रिया का परिणाम तत्समक तक पहुँच सके। / An inverse exists only if the operation can reach the identity element.

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Question 78/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{1,2,3,6\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) परिभाषित है। कौन सा अवयव (6) का प्रतिलोम है, यदि तत्समक (1) है?

On \(A=\{1,2,3,6\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) is defined. Which element is the inverse of (6), if the identity is (1)?

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Correct Answer

A. कोई नहींNone

Step 1

Concept

प्रतिलोम (x) के लिए (\operatorname{lcm}(6,x)=1) चाहिए। / For inverse (x), (\operatorname{lcm}(6,x)=1) is required.

Step 2

Why this answer is correct

(6) के साथ लघुत्तम समापवर्त्य कभी (1) नहीं हो सकता। / The least common multiple with (6) can never be (1).

Step 3

Exam Tip

हर तत्समक वाली क्रिया में हर अवयव का प्रतिलोम होना जरूरी नहीं है। / Having an identity does not mean every element has an inverse.

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Question 79/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) परिभाषित है। किस \(\lambda\) के लिए (0) तत्समक अवयव होगा?

On real numbers, \(a*b=a+b+\lambda ab\) is defined. For which \(\lambda\) will (0) be the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हर वास्तविक \(\lambda\)Every real \(\lambda\)

Step 1

Concept

\(a*0=a+0+\lambda a0=a\)। / \(a*0=a+0+\lambda a0=a\).

Step 2

Why this answer is correct

\(0*a=0+a+\lambda 0a=a\)। दोनों हर \(\lambda\) पर सही हैं। / \(0*a=0+a+\lambda 0a=a\). Both hold for every \(\lambda\).

Step 3

Exam Tip

शून्य से गुणा होने वाला पद अक्सर नियतांक को अप्रभावी बना देता है। / A term multiplied by zero often makes the parameter irrelevant for the identity.

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Question 80/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a+b+\lambda ab\) परिभाषित है। यदि \(\lambda\neq 0\), तो किस अवयव का प्रतिलोम नहीं होगा?

On real numbers, \(a*b=a+b+\lambda ab\) is defined. If \(\lambda\neq 0\), which element will not have an inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(-\frac{1}{\lambda}\)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a)। यदि \(1+\lambda a=0\), तो प्रतिलोम नहीं मिलेगा। / (a*x=0\Rightarrow a+x+\lambda ax=0\Rightarrow x\(1+\lambda a\)=-a). If \(1+\lambda a=0\), no inverse is obtained.

Step 3

Exam Tip

हर वाले पद को शून्य बनाने वाले मान को अलग पहचानें। / Identify the value that makes the denominator zero.

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Question 81/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। कौन सा अवयव प्रतिलोम नहीं रखता?

On real numbers, (a*b=a+b-ab) is defined. Which element does not have an inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

(a*0=a), इसलिए तत्समक (0) है। / Since (a*0=a), the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a)। यदि (a=1), तो (x) का मान नहीं मिल सकता। / (a*x=0\Rightarrow a+x-ax=0\Rightarrow x(1-a)=-a). If (a=1), no value of (x) can satisfy it.

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय (1-a) जैसे गुणक को शून्य होने से रोकना जरूरी है। / While finding inverse, check where factors like (1-a) become zero.

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Question 82/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2\}\) पर (ab) को (a+b) को (3) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (22) का मान क्या है?

On \(A=\{0,1,2\}\), (a*b) is the remainder when (a+b) is divided by (3). What is the value of (2*2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

(2+2=4)। / (2+2=4).

Step 2

Why this answer is correct

(4) को (3) से भाग देने पर शेषफल (1) है, इसलिए (2*2=1)। / The remainder when (4) is divided by (3) is (1), so (2*2=1).

Step 3

Exam Tip

शेषफल आधारित क्रिया में अंतिम उत्तर समुच्चय के भीतर होना चाहिए। / In a remainder-based operation, the final answer must lie in the given set.

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Question 83/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b-4ab) परिभाषित है। \(a=\frac{1}{4}\) के बारे में सही कथन चुनिए।

On real numbers, (a*b=a+b-4ab) is defined. Choose the correct statement about \(a=\frac{1}{4}\).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. इसका प्रतिलोम नहीं हैIt has no inverse

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (0) है क्योंकि (a*0=a)। / The identity is (0) because (a*0=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a)। \(a=\frac{1}{4}\) पर (1-4a=0), इसलिए समाधान नहीं है। / (a*x=0\Rightarrow a+x-4ax=0\Rightarrow x(1-4a)=-a). At \(a=\frac{1}{4}\), (1-4a=0), so no solution exists.

Step 3

Exam Tip

विशेष मान को सामान्य सूत्र में रखने से पहले हर की जाँच करें। / Check the denominator before substituting special values.

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Question 84/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) परिभाषित है। समीकरण (x2=7) का हल क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the solution of (x*2=7)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{5}{3}\)

Step 1

Concept

परिभाषा के अनुसार (x*2=x+2+2x)। / By definition, (x*2=x+2+2x).

Step 2

Why this answer is correct

\(x+2+2x=7\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\)। / \(x+2+2x=7\Rightarrow 3x=5\Rightarrow x=\frac{5}{3}\).

Step 3

Exam Tip

समीकरण वाले प्रश्नों में क्रिया को पहले सामान्य बीजगणितीय रूप में लिखें। / In equation-based problems, first convert the operation into an algebraic equation.

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Question 85/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=2a+3b) परिभाषित है। क्या यह क्रिया क्रमविनिमेय है?

On real numbers, (a*b=2a+3b) is defined. Is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहीं, क्योंकि \(1*2\neq 2*1\)No, because \(1*2\neq 2*1\)

Step 1

Concept

(1*2=2(1)+3(2)=8)। / (1*2=2(1)+3(2)=8).

Step 2

Why this answer is correct

(2*1=2(2)+3(1)=7), इसलिए दोनों बराबर नहीं हैं। / (2*1=2(2)+3(1)=7), so the values are not equal.

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग गुणांकों वाली रैखिक क्रिया सामान्यतः क्रमविनिमेय नहीं होती। / A linear operation with different coefficients is generally not commutative.

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Question 86/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=2a+3b) परिभाषित है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

On real numbers, (a*b=2a+3b) is defined. Does this operation have an identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

दाएँ तत्समक के लिए \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), जिससे (3e=-a), जो (a) पर निर्भर है। / For a right identity, \(a*e=a\Rightarrow 2a+3e=a\), giving (3e=-a), which depends on (a).

Step 2

Why this answer is correct

एक स्थिर (e) सभी (a) के लिए नहीं मिल सकता। / No fixed (e) works for all (a).

Step 3

Exam Tip

तत्समक अवयव को स्थिर होना चाहिए, बदलते (a) के साथ बदलना नहीं चाहिए। / An identity must be a fixed element, not a value depending on (a).

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Question 87/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+m) परिभाषित है। यदि तत्समक अवयव (5) है, तो (m) का मान क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+m) is defined. If the identity element is (5), what is the value of (m)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-5)

Step 1

Concept

(5) तत्समक है, इसलिए (a*5=a)। / Since (5) is the identity, (a*5=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a+5+m=a\Rightarrow m=-5\)। / \(a+5+m=a\Rightarrow m=-5\).

Step 3

Exam Tip

दिए गए तत्समक को सीधे परिभाषा में रखकर नियतांक निकाला जा सकता है। / Substitute the given identity directly into the operation to find the parameter.

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Question 88/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+mab) परिभाषित है। किस (m) के लिए (2) का प्रतिलोम (-1) होगा?

On real numbers, (a*b=a+b+mab) is defined. For which (m) will the inverse of (2) be (-1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*(-1)=0) होना चाहिए। इसलिए (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2})। / We need (2*(-1)=0). Thus (2-1+m(2)(-1)=0\Rightarrow 1-2m=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम से जुड़े प्रश्न में दोनों अवयवों की क्रिया तत्समक के बराबर रखें। / In inverse-related parameter problems, set the operation equal to the identity.

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Question 89/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) परिभाषित है। यदि (ab=0), तो (b) को (a) के रूप में कैसे लिखा जाएगा, जहाँ \(a\neq -1\)?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. If (a*b=0), how will (b) be written in terms of (a), where \(a\neq -1\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(-\frac{a}{a+1}\)

Step 1

Concept

(a+b+ab=0) लिखें। / Write (a+b+ab=0).

Step 2

Why this answer is correct

(b(1+a)=-a), इसलिए \(b=-\frac{a}{a+1}\), जहाँ \(a\neq -1\)। / (b(1+a)=-a), so \(b=-\frac{a}{a+1}\), where \(a\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

(b) के पदों को साथ लेकर गुणनखंड निकालना ऐसे प्रश्नों में तेज तरीका है। / Collect the (b)-terms and factor them for a quick solution.

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Question 90/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) परिभाषित है। इस समुच्चय पर क्रिया के बारे में सही कथन चुनिए।

On \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab) is defined. Choose the correct statement about this operation on this set.

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह आंतरिक क्रिया हैIt is closed

Step 1

Concept

(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। / (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\neq 1\) और \(b\neq 1\), तो ((1-a)(1-b)\neq 0), इसलिए \(a*b\neq 1\)। / If \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), then ((1-a)(1-b)\neq 0), so \(a*b\neq 1\).

Step 3

Exam Tip

समुच्चय से हटाए गए मान को परिणाम में आने से रोकना आंतरिकता जाँचने का अच्छा तरीका है। / To check closure on an excluded-value set, show that the excluded value cannot appear as an output.

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Question 91/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस क्रिया के बारे में सही कथन कौन सा है?

On \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), (a*b=a+b+ab) is defined. Which statement about this operation is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह आंतरिक है और (0) तत्समक हैIt is closed and (0) is the identity

Step 1

Concept

(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। / (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\neq -1\) और \(b\neq -1\), तो यह गुणनफल शून्य नहीं है, अतः \(a*b\neq -1\)। / If \(a\neq -1\) and \(b\neq -1\), this product is non-zero, so \(a*b\neq -1\).

Step 3

Exam Tip

(a*0=a), इसलिए (0) तत्समक भी है। / Since (a*0=a), (0) is also the identity.

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Question 92/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) परिभाषित है। (a(b*c)) को साधारण रूप में लिखने पर क्या मिलेगा?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. What is the simplified form of (a*(b*c))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (a+b+c+ab+bc+ca+abc)

Step 1

Concept

पहले (b*c=b+c+bc)। / First (b*c=b+c+bc).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc))। सरल करने पर (a+b+c+ab+bc+ca+abc) मिलता है। / (a*(b*c)=a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)). Simplifying gives (a+b+c+ab+bc+ca+abc).

Step 3

Exam Tip

विस्तार करते समय हर पद को सावधानी से लिखें। / While expanding, write every term carefully.

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Question 93/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (a*b=a+b+ab) परिभाषित है। इस क्रिया के साहचर्य होने का सबसे उपयुक्त कारण कौन सा है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Which is the most suitable reason for this operation being associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (1+(a*b)=(1+a)(1+b))Because (1+(a*b)=(1+a)(1+b))

Step 1

Concept

(1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b))। / (1+(a*b)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)).

Step 2

Why this answer is correct

गुणन साहचर्य है, इसलिए ((1+a)(1+b)(1+c)) में कोष्ठक बदलने से मान नहीं बदलता। / Multiplication is associative, so changing brackets in ((1+a)(1+b)(1+c)) does not change the value.

Step 3

Exam Tip

छिपी हुई संरचना पहचानने से लंबी गणना बचती है। / Recognizing a hidden structure saves lengthy calculation.

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Question 94/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). What is the inverse of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

गुणन आधारित शेषफल क्रिया में तत्समक (1) है। / In multiplication modulo (5), the identity is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(2*x) का (5) से शेषफल (1) चाहिए। \(2\cdot 3=6\), जिसका शेषफल (1) है। / We need (2*x) to have remainder (1) on division by (5). Since \(2\cdot 3=6\), the remainder is (1).

Step 3

Exam Tip

गुणनात्मक प्रतिलोम में गुणनफल को (1) के बराबर शेषफल देना चाहिए। / A multiplicative inverse must make the product congruent to (1).

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Question 95/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4\}\) पर (a*b) को (ab) को (5) से भाग देने पर शेषफल माना गया है। किस अवयव का प्रतिलोम नहीं है?

On \(A=\{0,1,2,3,4\}\), (a*b) is the remainder when (ab) is divided by (5). Which element does not have an inverse?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

इस क्रिया का तत्समक (1) है। / The identity of this operation is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(0*x=0) हर (x) के लिए, इसलिए यह कभी (1) नहीं बन सकता। / (0*x=0) for every (x), so it can never become (1).

Step 3

Exam Tip

शून्य का गुणनात्मक प्रतिलोम नहीं होता, यह बात शेषफल वाली क्रिया में भी याद रखें। / Zero has no multiplicative inverse, even in a remainder-based operation.

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Question 96/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{a}{b}\) परिभाषित है। यह क्रिया किस गुण को संतुष्ट नहीं करती?

On positive real numbers, \(a*b=\frac{a}{b}\) is defined. Which property is not satisfied by this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. साहचर्यAssociativity

Step 1

Concept

धनात्मक (a,b) के लिए \(\frac{a}{b}\) धनात्मक है, इसलिए आंतरिकता है। / For positive (a,b), \(\frac{a}{b}\) is positive, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

((a*b)*c=\frac{a}{bc}), जबकि (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), ये सामान्य रूप से बराबर नहीं हैं। / ((a*b)*c=\frac{a}{bc}), while (a*(b*c)=\frac{ac}{b}), which are not equal in general.

Step 3

Exam Tip

भाग वाली क्रियाएँ अक्सर साहचर्य नहीं होतीं। / Division-type operations are often not associative.

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Question 97/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) परिभाषित है। (ab=b*a) क्यों सत्य है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. Why is (a*b=b*a) true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (a+b=b+a) और (ab=ba)Because (a+b=b+a) and (ab=ba)

Step 1

Concept

(a*b=a+b+ab)। / (a*b=a+b+ab).

Step 2

Why this answer is correct

(b*a=b+a+ba)। वास्तविक संख्याओं में योग और गुणन क्रमविनिमेय हैं, इसलिए दोनों बराबर हैं। / (b*a=b+a+ba). In real numbers, addition and multiplication are commutative, so both are equal.

Step 3

Exam Tip

क्रिया के हर पद में क्रम बदलने का प्रभाव देखें। / Check how changing order affects every term of the operation.

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Question 98/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) परिभाषित है। यदि (ab=a), तो (b) का मान क्या होगा, जहाँ \(a\neq -1\)?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. If (a*b=a), what is the value of (b), where \(a\neq -1\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a+b+ab=a) लिखें। / Write (a+b+ab=a).

Step 2

Why this answer is correct

(b+ab=0\Rightarrow b(1+a)=0)। क्योंकि \(a\neq -1\), इसलिए (b=0)। / (b+ab=0\Rightarrow b(1+a)=0). Since \(a\neq -1\), (b=0).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्न में वास्तव में तत्समक अवयव की पहचान छिपी होती है। / Such a question often hides the identity element condition.

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Question 99/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं पर (ab=a+b+ab) परिभाषित है। यदि ((x1)=5), तो (x) का मान क्या है?

On real numbers, (a*b=a+b+ab) is defined. If ((x*1)=5), what is the value of (x)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

(x*1=x+1+x=2x+1)। / (x*1=x+1+x=2x+1).

Step 2

Why this answer is correct

\(2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\)। / \(2x+1=5\Rightarrow 2x=4\Rightarrow x=2\).

Step 3

Exam Tip

क्रिया को सामान्य बीजगणितीय रूप में बदलते ही समीकरण आसान हो जाता है। / Once the operation is converted into an algebraic expression, the equation becomes easy.

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Question 100/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 29

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर क्रिया (ab=a+b+ab) परिभाषित है। यदि (x), (5) का प्रतिलोम है, तो (x2) का मान क्या होगा?

On the set \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. If (x) is the inverse of (5), what is the value of (x*2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(-\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

इस क्रिया में तत्समक अवयव (0) है, क्योंकि (a*0=a)। / The identity element is (0) because (a*0=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(5*x=0\Rightarrow 5+x+5x=0\Rightarrow 6x=-5\Rightarrow x=-\frac{5}{6}\)। / \(5*x=0\Rightarrow 5+x+5x=0\Rightarrow 6x=-5\Rightarrow x=-\frac{5}{6}\).

Step 3

Exam Tip

अब \(x*2=-\frac{5}{6}+2-\frac{10}{6}=-\frac{1}{2}\)। परीक्षा में प्रतिलोम मिलने के बाद उसे अगली क्रिया में सावधानी से रखें। / Now \(x*2=-\frac{5}{6}+2-\frac{10}{6}=-\frac{1}{2}\). In exams, after finding the inverse, substitute it carefully into the next operation.

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Question 101/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर संक्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव क्या है?

On the set \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), the operation (a*b=a+b+ab) is defined. What is the identity element for this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq -1\), इसलिए (e=0)। / From (a+e+ae=a), we get (e(1+a)=0). Since \(a\neq -1\), (e=0).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में पहले सामान्य अवयव (a) लेकर तत्समक की शर्त लगाएं। / In identity questions, always apply the condition with a general element.

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Question 102/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) के अंतर्गत (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\setminus{-1}\), for (a*b=a+b+ab), what is the inverse of (a)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1+a}\)

Step 1

Concept

पिछले विचार से तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (b) के लिए (a*b=0), यानी (a+b+ab=0)। इससे (b(1+a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1+a}\)। / For inverse (b), (a*b=0), so (a+b+ab=0). Thus (b(1+a)=-a), giving \(b=\frac{-a}{1+a}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम निकालते समय हमेशा (a*b=e) लिखें। / To find inverse, set (a*b=e).

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Question 103/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=a^{\log b}\) दिया है, जहाँ \(\log\) का आधार (10) है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय कब होगी?

On positive real numbers, \(a*b=a^{\log b}\), where \(\log\) has base (10). When is this operation commutative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सभी (a,b>0) के लिएFor all (a,b>0)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए (a*b=b*a) चाहिए। / Commutativity needs (a*b=b*a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^{\log b}=b^{\log a}\)। दोनों ओर \(\log\) लेने पर (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), जो सदा सत्य है। / Here \(a^{\log b}=b^{\log a}\). Taking \(\log\) on both sides gives (\(\log a\)\(\log b\)=\(\log b\)\(\log a\)), always true.

Step 3

Exam Tip

घात वाले प्रश्नों में लघुगणक लेने से तुलना सरल हो जाती है। / For exponential operations, logarithms often simplify comparison.

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Question 104/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ka b) है। कौन-सा (k) इस संक्रिया को साहचर्य बनाता है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+kab). Which value of (k) makes this operation associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हर वास्तविक (k)Every real (k)

Step 1

Concept

((a*b)*c) और (a*(b*c)) की तुलना करें। / Compare ((a*b)*c) and (a*(b*c)).

Step 2

Why this answer is correct

दोनों तरफ \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) मिलता है। इसलिए बराबरी हर वास्तविक (k) के लिए सही है। / Both sides become \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\). Hence associativity holds for every real (k).

Step 3

Exam Tip

साहचर्य जांच में विस्तार पूरा करें, जल्दी अनुमान न लगाएं। / In associativity checks, expand fully before deciding.

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Question 105/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-2) है। इस संक्रिया के अंतर्गत (7) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b-2). What is the inverse of (7) under this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-3)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a+e-2=a), इसलिए (e=2)। / For identity (e), (a+e-2=a), so (e=2).

Step 2

Why this answer is correct

(7) के प्रतिलोम (x) के लिए (7+x-2=2), इसलिए (x=-3)। / For inverse (x) of (7), (7+x-2=2), so (x=-3).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम से पहले तत्समक अवयव जरूर निकालें। / Always find the identity before finding an inverse.

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Question 106/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इस संक्रिया के बारे में सही कथन कौन-सा है?

On \(\mathbb{N}\), (a*b=\max(a,b)). Which statement about this operation is correct?

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Correct Answer

A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य है, पर तत्समक (1) हैIt is commutative and associative, with identity (1)

Step 1

Concept

(\max(a,b)=\max(b,a)), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / (\max(a,b)=\max(b,a)), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

(\max(\max(a,b),c)=\max(a,\max(b,c))), इसलिए साहचर्य भी है। / (\max(\max(a,b),c)=\max(a,\max(b,c))), so it is associative.

Step 3

Exam Tip

\(\mathbb{N}\) में सबसे छोटा अवयव (1) है, अतः (\max(a,1)=a)। / In \(\mathbb{N}\), the least element is (1), hence (\max(a,1)=a).

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Question 107/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। इस संक्रिया में तत्समक अवयव के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

On \(\mathbb{N}\), (a*b=\min(a,b)). What is the correct conclusion about the identity element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. कोई तत्समक नहीं हैNo identity exists

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर \(a\in\mathbb{N}\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\min(a,e)=a) for every \(a\in\mathbb{N}\).

Step 2

Why this answer is correct

इसका अर्थ है (e) सभी प्राकृतिक संख्याओं से बड़ा या बराबर हो। \(\mathbb{N}\) में ऐसा सबसे बड़ा अवयव नहीं है। / This means (e) must be greater than or equal to every natural number, but \(\mathbb{N}\) has no greatest element.

Step 3

Exam Tip

\(\min\) में तत्समक तभी मिलता है जब समुच्चय में सबसे बड़ा अवयव हो। / A \(\min\) operation has identity only when the set has a greatest element.

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Question 108/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय ({1,2,3,4,5}) पर (a*b=\min(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On ({1,2,3,4,5}), (a*b=\min(a,b)). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

C. (5)

Step 1

Concept

(\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। / We need (\min(a,e)=a) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। यहाँ सबसे बड़ा अवयव (5) है। / This is possible only when (e) is the greatest element of the set. Here the greatest element is (5).

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में \(\min\) और \(\max\) के तत्समक को सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव से जोड़कर देखें। / For finite sets, connect \(\min\) and \(\max\) identities with greatest and least elements.

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Question 109/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b^2\). Which property does this operation satisfy?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. केवल क्रमविनिमेयCommutative only

Step 1

Concept

\(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(a*b=a^2+b^2=b^2+a^2=b*a\), so it is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

((1*1)*1=2*1=5), जबकि (1*(1*1)=1*2=5); यह एक उदाहरण बराबर है, इसलिए दूसरा लें: ((1*2)*3=5*3=34), पर (1*(2*3)=1*13=170)। साहचर्य नहीं है। / But ((1*2)*3=5*3=34), while (1*(2*3)=1*13=170). So it is not associative.

Step 3

Exam Tip

साहचर्य गलत दिखाने के लिए एक विरोधी उदाहरण काफी है। / One counterexample is enough to disprove associativity.

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Question 110/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

C. (2)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{ae}{2}=a\)। चूँकि \(a\neq0\), इसलिए (e=2)। / \(\frac{ae}{2}=a\). Since \(a\neq0\), (e=2).

Step 3

Exam Tip

भाग वाले ऑपरेशन में शून्य से भाग या शून्य अवयव की शर्त पर ध्यान दें। / In division-type operations, pay attention to nonzero restrictions.

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Question 111/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Q}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। (5) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{Q}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{ab}{2}\). What is the inverse of (5)?

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Correct Answer

B. \(\frac{4}{5}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (2) है। / The identity of this operation is (2).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (5*x=2), यानी \(\frac{5x}{2}=2\)। इससे \(x=\frac{4}{5}\)। / For inverse (x), (5*x=2), so \(\frac{5x}{2}=2\). Hence \(x=\frac{4}{5}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम को सामान्य गुणा का प्रतिलोम समझकर जल्दी उत्तर न दें। / Do not confuse operation inverse with ordinary reciprocal.

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Question 112/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+1) है। कौन-सा अवयव सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिलोम रखने में सहायता करता है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+1). Which element acts as the identity that allows every real number to have an inverse?

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Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

(a*e=a) लिखें। / Write (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e+1=a) से (e=-1) मिलता है। फिर (a*x=-1) से (x=-a-2), जो वास्तविक है। / From (a+e+1=a), we get (e=-1). Then (a*x=-1) gives (x=-a-2), a real number.

Step 3

Exam Tip

पहले तत्समक पहचानने से प्रतिलोम का अस्तित्व साफ हो जाता है। / Finding the identity first makes inverse existence clear.

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Question 113/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। कौन-सा अवयव संक्रिया से बाहर आने के कारण इसे \(\mathbb{R}\setminus{1}\) तक सीमित करने का कारण बनता है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which element motivates restricting the operation to \(\mathbb{R}\setminus{1}\)?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

(a*b=1-(1-a)(1-b)) लिखा जा सकता है। / We can write (a*b=1-(1-a)(1-b)).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\neq1\) और \(b\neq1\), तो ((1-a)(1-b)\neq0), इसलिए \(a*b\neq1\)। / If \(a\neq1\) and \(b\neq1\), then ((1-a)(1-b)\neq0), so \(a*b\neq1\).

Step 3

Exam Tip

ऐसी संक्रिया में बंदता समझने के लिए अभिव्यक्ति को गुणन रूप में बदलना उपयोगी है। / For closure, rewriting into a product form can reveal excluded values.

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Question 114/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the identity element?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

(a*e=a) रखें। / Put (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-ae=a) से (e(1-a)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq1\), इसलिए (e=0)। / (a+e-ae=a) gives (e(1-a)=0). Since \(a\neq1\), (e=0).

Step 3

Exam Tip

निष्कासित अवयव की शर्त का उपयोग समीकरण हल करते समय करें। / Use the excluded-value condition while solving the identity equation.

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Question 115/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\setminus{1}\), (a*b=a+b-ab). What is the inverse of (a)?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1-a}\)

Step 1

Concept

तत्समक (0) है। / The identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-ax=0)। इसलिए (x(1-a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-a}\)। / For inverse (x), (a+x-ax=0). Hence (x(1-a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-a}\).

Step 3

Exam Tip

चिह्नों पर ध्यान दें, क्योंकि (1-a) और (a-1) में ऋण चिह्न का अंतर होता है। / Watch signs carefully because (1-a) and (a-1) differ by a negative sign.

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Question 116/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) दिया है। यह संक्रिया किस कारण से पूर्ण समूह नहीं बनाती?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Why does this operation not form a group on the whole set?

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Correct Answer

D. कुछ अवयवों के प्रतिलोम नहीं हैंSome elements have no inverse

Step 1

Concept

संक्रिया \(\mathbb{Z}\) में बंद है और साहचर्य भी है। / The operation is closed in \(\mathbb{Z}\) and associative.

Step 2

Why this answer is correct

तत्समक (0) है। प्रतिलोम के लिए (a*x=0) से \(x=\frac{-a}{1+a}\) मिलता है। / The identity is (0). For inverse, (a*x=0) gives \(x=\frac{-a}{1+a}\).

Step 3

Exam Tip

(a=1) पर \(x=-\frac{1}{2}\), जो पूर्णांक नहीं है; इसलिए सभी प्रतिलोम नहीं मिलते। / For (a=1), \(x=-\frac{1}{2}\), not an integer, so not every element has an inverse.

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Question 117/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह क्रमविनिमेय हैIt is commutative

Step 1

Concept

(a*b=a+b-ab) है। / (a*b=a+b-ab).

Step 2

Why this answer is correct

(b*a=b+a-ba=a+b-ab), इसलिए (a*b=b*a)। / (b*a=b+a-ba=a+b-ab), so (a*b=b*a).

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता में केवल क्रम बदलने पर मान की तुलना करनी होती है। / For commutativity, compare the value after swapping the order.

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Question 118/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस संक्रिया के साहचर्य होने का सही कारण कौन-सा है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the correct reason this operation is associative?

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Correct Answer

A. दोनों ओर (a+b+c-ab-ac-bc+abc) मिलता हैBoth sides become (a+b+c-ab-ac-bc+abc)

Step 1

Concept

((a*b)*c) फैलाने पर (a+b-ab+c-c(a+b-ab)) मिलता है। / Expanding ((a*b)*c) gives (a+b-ab+c-c(a+b-ab)).

Step 2

Why this answer is correct

सरलीकरण से (a+b+c-ab-ac-bc+abc) आता है। (a*(b*c)) से भी यही रूप मिलता है। / It simplifies to (a+b+c-ab-ac-bc+abc). The same expression comes from (a*(b*c)).

Step 3

Exam Tip

साहचर्य सिद्ध करने में दोनों पक्षों को एक जैसे रूप तक लाना सबसे सुरक्षित तरीका है। / To prove associativity, reduce both sides to the same form.

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Question 119/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय ({0,1}) पर (a*b=a+b-ab) है। यह संक्रिया किस सामान्य तार्किक क्रिया जैसी है?

On ({0,1}), (a*b=a+b-ab). This operation behaves like which common logical operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. याOR

Step 1

Concept

(0*0=0), (0*1=1), (1*0=1), और (1*1=1)। / (0*0=0), (0*1=1), (1*0=1), and (1*1=1).

Step 2

Why this answer is correct

यही परिणाम तार्किक या में मिलते हैं। / These are exactly the outputs of logical OR.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में सारणी बनाकर संक्रिया को पहचानना आसान होता है। / For finite sets, a small table helps identify the operation quickly.

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Question 120/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय ({0,1}) पर (a*b=ab) है। इस संक्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?

On ({0,1}), (a*b=ab). Which statement is correct for this operation?

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Correct Answer

A. तत्समक (1) है और (0) का प्रतिलोम नहीं हैIdentity is (1) and (0) has no inverse

Step 1

Concept

गुणा में (1) तत्समक है क्योंकि \(a\cdot1=a\)। / In multiplication, (1) is the identity because \(a\cdot1=a\).

Step 2

Why this answer is correct

(1) का प्रतिलोम (1) है, पर (0*x=1) कभी नहीं हो सकता। इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं है। / The inverse of (1) is (1), but (0*x=1) is impossible. So (0) has no inverse.

Step 3

Exam Tip

शून्य वाले गुणन में प्रतिलोम पर विशेष ध्यान दें। / In multiplication-like operations, check zero carefully.

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Question 121/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b+ab) और \(a\circ b=a+b\) हैं। () का \(\circ\) पर वितरण किस स्थिति में होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab) and \(a\circ b=a+b\). Under what condition does (*) distribute over \(\circ\)?

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Correct Answer

B. केवल (a=0) होने परOnly when (a=0)

Step 1

Concept

बायाँ पक्ष (a*\(b\circ c\)=a+b+c+a(b+c)) है। / The left side is (a*\(b\circ c\)=a+b+c+a(b+c)).

Step 2

Why this answer is correct

दायाँ पक्ष ((a*b)\circ(a*c)=a+b+ab+a+c+ac=2a+b+c+ab+ac) है। बराबरी के लिए (a=2a), इसलिए (a=0)। / The right side is ((a*b)\circ(a*c)=a+b+ab+a+c+ac=2a+b+c+ab+ac). Equality needs (a=2a), so (a=0).

Step 3

Exam Tip

वितरण में दोनों पक्षों को अलग-अलग फैलाकर तुलना करें। / In distributive questions, expand both sides separately.

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Question 122/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b) और \(a\circ b=ab\) हैं। कौन-सी संक्रिया दूसरी पर वितरित होती है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b) and \(a\circ b=ab\). Which operation distributes over the other?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\circ\), (*) पर वितरित होती है\(\circ\) distributes over (*)

Step 1

Concept

(a\circ(b*c)=a(b+c)=ab+ac)। / (a\circ(b*c)=a(b+c)=ab+ac).

Step 2

Why this answer is correct

(\(a\circ b\)*\(a\circ c\)=ab+ac), इसलिए \(\circ\), (*) पर वितरित है। / (\(a\circ b\)*\(a\circ c\)=ab+ac), so \(\circ\) distributes over (*).

Step 3

Exam Tip

उल्टा (a*(bc)=a+bc) और ((a+b)(a+c)) बराबर नहीं होते। / Conversely, (a*(bc)=a+bc) and ((a+b)(a+c)) are not generally equal.

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Question 123/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a-b) है। निम्न में से कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a-b). Which of the following statements is correct?

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Correct Answer

A. यह बंद है, पर क्रमविनिमेय और साहचर्य नहींIt is closed, but neither commutative nor associative

Step 1

Concept

दो वास्तविक संख्याओं का अंतर वास्तविक होता है, इसलिए बंदता है। / The difference of two real numbers is real, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

(a-b) सामान्यतः (b-a) के बराबर नहीं, इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं। / (a-b) is not generally equal to (b-a), so it is not commutative.

Step 3

Exam Tip

((a-b)-c) और (a-(b-c)) सामान्यतः अलग हैं, इसलिए साहचर्य नहीं। / ((a-b)-c) and (a-(b-c)) are generally different, so it is not associative.

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Question 124/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+3) है। इस संक्रिया के अंतर्गत (4) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+3). What is the inverse of (4) under this operation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-10)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a+e+3=a), इसलिए (e=-3)। / For identity (e), (a+e+3=a), so (e=-3).

Step 2

Why this answer is correct

(4*x=-3) रखें। (4+x+3=-3), इसलिए (x=-10)। / Put (4*x=-3). Then (4+x+3=-3), so (x=-10).

Step 3

Exam Tip

(a+b+k) प्रकार में तत्समक (-k) होता है। / For an operation (a+b+k), the identity is (-k).

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Question 125/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\lambda\) है। किस \(\lambda\) के लिए तत्समक (5) होगा?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\lambda\). For which \(\lambda\) will the identity be (5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (-5)

Step 1

Concept

यदि (5) तत्समक है, तो (a*5=a)। / If (5) is the identity, then (a*5=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a+5+\lambda=a\) से \(\lambda=-5\) मिलता है। / From \(a+5+\lambda=a\), we get \(\lambda=-5\).

Step 3

Exam Tip

जब तत्समक दिया हो, उसे सीधे शर्त में रखकर पैरामीटर निकालें। / When identity is given, substitute it directly into the identity condition.

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Question 126/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+\mu b\) है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय तभी होगी जब \(\mu\) का मान क्या हो?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+\mu b\). The operation will be commutative only for what value of \(\mu\)?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

क्रमविनिमेयता के लिए \(a+\mu b=b+\mu a\) हर (a,b) के लिए चाहिए। / Commutativity requires \(a+\mu b=b+\mu a\) for all (a,b).

Step 2

Why this answer is correct

इसे (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b) की तरह देखा जा सकता है। हर (a,b) के लिए यह तभी संभव है जब \(\mu=1\)। / This can be written as (\(1-\mu\)a=\(1-\mu\)b). For all (a,b), this is possible only when \(\mu=1\).

Step 3

Exam Tip

पैरामीटर प्रश्नों में बराबरी सभी अवयवों के लिए होनी चाहिए। / In parameter questions, equality must hold for all elements.

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Question 127/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+\mu b\) है। यह संक्रिया साहचर्य होने के लिए \(\mu\) के कौन-से मान संभव हैं?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+\mu b\). Which values of \(\mu\) make this operation associative?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\mu=0\) या \(\mu=1\)\(\mu=0\) or \(\mu=1\)

Step 1

Concept

((a*b)*c=\(a+\mu b\)+\mu c=a+\mu b+\mu c)। / ((a*b)*c=\(a+\mu b\)+\mu c=a+\mu b+\mu c).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu^-2c)। बराबरी के लिए \(\mu c=\mu^2c\) हर (c) पर चाहिए, इसलिए \(\mu=\mu^2\)। / (a*(b*c)=a+\mu\(b+\mu c\)=a+\mu b+\mu^-2c). Equality needs \(\mu c=\mu^2c\) for every (c), so \(\mu=\mu^2\).

Step 3

Exam Tip

अतः \(\mu=0\) या \(\mu=1\)। / Thus \(\mu=0\) or \(\mu=1\).

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Question 128/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=pa+qb) है। यह संक्रिया क्रमविनिमेय होने के लिए सही शर्त क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=pa+qb). What condition is needed for this operation to be commutative?

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Correct Answer

A. (p=q)

Step 1

Concept

(a*b=pa+qb) और (b*a=pb+qa)। / (a*b=pa+qb) and (b*a=pb+qa).

Step 2

Why this answer is correct

हर (a,b) के लिए बराबरी तभी होगी जब (a) और (b) के गुणांक समान मिलें। इसलिए (p=q)। / For equality for every (a,b), the coefficients of (a) and (b) must match. Hence (p=q).

Step 3

Exam Tip

रैखिक संक्रिया में गुणांकों की तुलना सबसे तेज तरीका है। / For linear operations, comparing coefficients is the fastest method.

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Question 129/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=pa+qb) है। यह संक्रिया साहचर्य होने के लिए कौन-सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=pa+qb). Which condition is necessary and sufficient for associativity?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(p^2=p\) और \(q^2=q\)\(p^2=p\) and \(q^2=q\)

Step 1

Concept

((a*b)*c=p(pa+qb)+qc=p^-2a+pqb+qc)। / ((a*b)*c=p(pa+qb)+qc=p^-2a+pqb+qc).

Step 2

Why this answer is correct

(a*(b*c)=pa+q(pb+qc)=pa+pqb+q^-2c)। / (a*(b*c)=pa+q(pb+qc)=pa+pqb+q^-2c).

Step 3

Exam Tip

हर (a,c) के लिए बराबरी हेतु \(p^2=p\) और \(q^2=q\) चाहिए। / Equality for every (a,c) requires \(p^2=p\) and \(q^2=q\).

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Question 130/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a+b+\alpha ab\) है। यदि (2) और (3) के प्रतिलोम क्रमशः (-1) और \(-\frac{3}{2}\) हों, तो \(\alpha\) क्या है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a+b+\alpha ab\). If the inverses of (2) and (3) are (-1) and \(-\frac{3}{2}\) respectively, what is \(\alpha\)?

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Correct Answer

A. \(\frac{1}{2}\)

Step 1

Concept

इस प्रकार की संक्रिया में तत्समक (0) होता है। / For this type of operation, the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(2*(-1)=0) रखने पर \(2-1-2\alpha=0\), इसलिए \(\alpha=\frac{1}{2}\)। / Put (2*(-1)=0): \(2-1-2\alpha=0\), so \(\alpha=\frac{1}{2}\).

Step 3

Exam Tip

जाँच करें: (3*\(-\frac{3}{2}\)=3-\frac{3}{2}-\frac{9\alpha}{2}), \(\alpha=\frac{1}{2}\) पर यह (0) है। / Check: (3*\(-\frac{3}{2}\)=3-\frac{3}{2}-\frac{9\alpha}{2}), which is (0) when \(\alpha=\frac{1}{2}\).

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Question 131/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{0}\) पर \(a*b=\frac{a}{b}\) है। कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{R}\setminus{0}\), \(a*b=\frac{a}{b}\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह बंद है, पर क्रमविनिमेय नहीं हैIt is closed but not commutative

Step 1

Concept

\(a\neq0\) और \(b\neq0\) होने पर \(\frac{a}{b}\neq0\), इसलिए बंदता है। / If \(a\neq0\) and \(b\neq0\), then \(\frac{a}{b}\neq0\), so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a}{b}\) सामान्यतः \(\frac{b}{a}\) के बराबर नहीं होता, इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं। / \(\frac{a}{b}\) is not generally equal to \(\frac{b}{a}\), so it is not commutative.

Step 3

Exam Tip

भाग की संक्रिया में बंदता और क्रमविनिमेयता अलग-अलग जांचें। / For division operations, test closure and commutativity separately.

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Question 132/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\sqrt{ab}\) है। इस संक्रिया के बारे में सही निष्कर्ष क्या है?

On \(\mathbb{R}^{+}\), \(a*b=\sqrt{ab}\). What is the correct conclusion about this operation?

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Correct Answer

A. बंद और क्रमविनिमेय है, पर साहचर्य नहींClosed and commutative, but not associative

Step 1

Concept

धनात्मक (a,b) के लिए \(\sqrt{ab}\) धनात्मक है, इसलिए बंदता है। / For positive (a,b), \(\sqrt{ab}\) is positive, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

\(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(\sqrt{ab}=\sqrt{ba}\), so it is commutative.

Step 3

Exam Tip

((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) और (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं। / ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}) and (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.

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Question 133/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{ab}{a+b}\) है। यह संक्रिया किस गुण को पूरा करती है?

On \(\mathbb{R}^{+}\), \(a*b=\frac{ab}{a+b}\). Which property does this operation satisfy?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेय हैIt is commutative

Step 1

Concept

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), इसलिए संक्रिया क्रमविनिमेय है। / \(\frac{ab}{a+b}=\frac{ba}{b+a}\), so the operation is commutative.

Step 2

Why this answer is correct

धनात्मक (a,b) के लिए परिणाम भी धनात्मक है, इसलिए बंदता भी है। / For positive (a,b), the result is also positive, so it is closed.

Step 3

Exam Tip

तत्समक के लिए \(\frac{ae}{a+e}=a\) से \(ae=a^2+ae\), यानी \(a^2=0\), असंभव; इसलिए तत्समक नहीं। / Identity would need \(\frac{ae}{a+e}=a\), giving \(ae=a^2+ae\), impossible for (a>0).

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Question 134/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-1) है। ((23)4) और (2(3*4)) के बारे में सही कथन कौन-सा है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-1). Which statement about ((2*3)*4) and (2*(3*4)) is correct?

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Correct Answer

A. दोनों (6) हैंBoth are (6)

Step 1

Concept

(2*3=2+3-1=4), फिर (4*4=4+4-1=7) नहीं, ध्यान दें तीसरा अवयव (4) है, इसलिए परिणाम (7) आता है। / (2*3=2+3-1=4), then (4*4=7).

Step 2

Why this answer is correct

(3*4=6), फिर (2*6=7)। अतः दोनों (7) हैं, विकल्पों में यह नहीं है। / (3*4=6), then (2*6=7). So both are (7), but that is not among the options.

Step 3

Exam Tip

ऐसी स्थिति में दिए विकल्पों की जांच जरूरी है। / This shows the listed choices must be checked carefully.

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Question 135/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-1) है। ((23)*4) का मान क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-1). What is the value of ((2*3)*4)?

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Correct Answer

C. (7)

Step 1

Concept

पहले कोष्ठक के अंदर (2*3=2+3-1=4) निकालें। / First calculate inside the bracket: (2*3=2+3-1=4).

Step 2

Why this answer is correct

अब (4*4=4+4-1=7) मिलेगा। / Now (4*4=4+4-1=7).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में संक्रिया को सामान्य जोड़ न समझें, हर बार दी गई परिभाषा लगाएं। / Do not treat the operation as ordinary addition; apply the given definition each time.

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Question 136/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-1) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-1). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

B. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। / For identity (e), we need (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+e-1=a) से (e=1) मिलता है। / From (a+e-1=a), we get (e=1).

Step 3

Exam Tip

(a+b-k) रूप में तत्समक प्रायः (k) होता है, लेकिन फिर भी शर्त लगाकर जांचें। / In operations of the form (a+b-k), the identity is often (k), but always verify through the identity condition.

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Question 137/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-1) है। (8) का प्रतिलोम क्या होगा?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-1). What is the inverse of (8)?

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Correct Answer

A. (-6)

Step 1

Concept

इस संक्रिया में तत्समक (1) है। / The identity of this operation is (1).

Step 2

Why this answer is correct

(8*x=1) रखें। इसलिए (8+x-1=1), जिससे (x=-6) मिलता है। / Put (8*x=1). Thus (8+x-1=1), giving (x=-6).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम हमेशा संक्रिया के तत्समक के सापेक्ष निकाला जाता है। / An inverse is always found with respect to the identity of the given operation.

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Question 138/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b+ab) है। समीकरण (x2=8) का हल क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). What is the solution of (x*2=8)?

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Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

परिभाषा के अनुसार (x*2=x+2+2x)। / By definition, (x*2=x+2+2x).

Step 2

Why this answer is correct

(x+2+2x=8) से (3x=6), इसलिए (x=2)। / From (x+2+2x=8), we get (3x=6), so (x=2).

Step 3

Exam Tip

संक्रिया वाले समीकरण में पहले संक्रिया को सामान्य बीजीय रूप में बदलें। / In operation equations, first convert the operation into an ordinary algebraic equation.

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Question 139/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-2}\) पर \(a*b=a+b+\frac{ab}{2}\) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(\mathbb{R}\setminus{-2}\), \(a*b=a+b+\frac{ab}{2}\). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (a*e=a) लिखें। / For identity (e), write (a*e=a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a+e+\frac{ae}{2}=a\) से (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0) मिलता है। चूँकि \(a\neq-2\), इसलिए (e=0)। / \(a+e+\frac{ae}{2}=a\) gives (e\left\(1+\frac{a}{2}\right\)=0). Since \(a\neq-2\), (e=0).

Step 3

Exam Tip

निष्कासित मान पर ध्यान देने से भाग और गुणन की गलती नहीं होती। / Paying attention to the excluded value avoids algebraic mistakes.

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Question 140/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\setminus{-2}\) पर \(a*b=a+b+\frac{ab}{2}\) है। (4) का प्रतिलोम क्या है?

On \(\mathbb{R}\setminus{-2}\), \(a*b=a+b+\frac{ab}{2}\). What is the inverse of (4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(-\frac{4}{3}\)

Step 1

Concept

इस संक्रिया का तत्समक (0) है। / The identity of this operation is (0).

Step 2

Why this answer is correct

प्रतिलोम (x) के लिए \(4+x+\frac{4x}{2}=0\)। इससे (4+3x=0), इसलिए \(x=-\frac{4}{3}\)। / For inverse (x), \(4+x+\frac{4x}{2}=0\). Thus (4+3x=0), so \(x=-\frac{4}{3}\).

Step 3

Exam Tip

प्रतिलोम का मान समुच्चय में होना चाहिए; यहाँ \(-\frac{4}{3}\neq-2\), इसलिए मान्य है। / The inverse must belong to the set; here \(-\frac{4}{3}\neq-2\), so it is valid.

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Question 141/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b\) है। यह संक्रिया किस गुण में असफल होती है?

On \(\mathbb{R}\), \(a*b=a^2+b\). In which property does this operation fail?

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Correct Answer

A. क्रमविनिमेयताCommutativity

Step 1

Concept

किसी भी वास्तविक (a,b) के लिए \(a^2+b\) वास्तविक है, इसलिए बंदता है। / For any real (a,b), \(a^2+b\) is real, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

\(a*b=a^2+b\), जबकि \(b*a=b^2+a\)। ये सामान्यतः बराबर नहीं हैं, जैसे (1*2=3) और (2*1=5)। / \(a*b=a^2+b\), while \(b*a=b^2+a\). They are not generally equal; for example, (1*2=3) and (2*1=5).

Step 3

Exam Tip

क्रमविनिमेयता गलत दिखाने के लिए एक सही विरोधी उदाहरण काफी है। / One valid counterexample is enough to disprove commutativity.

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Question 142/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab) है। कौन-सा रूप बंदता को \(\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर समझाने में सबसे उपयोगी है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). Which form is most useful for explaining closure on \(\mathbb{R}\setminus{-1}\)?

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Correct Answer

A. (a*b=(a+1)(b+1)-1)

Step 1

Concept

(a+b+ab) को ((a+1)(b+1)-1) लिखा जा सकता है। / (a+b+ab) can be written as ((a+1)(b+1)-1).

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\neq-1\) और \(b\neq-1\), तो ((a+1)(b+1)\neq0), इसलिए परिणाम (-1) नहीं होगा। / If \(a\neq-1\) and \(b\neq-1\), then ((a+1)(b+1)\neq0), so the result cannot be (-1).

Step 3

Exam Tip

बंदता में निष्कासित मान को पहचानने के लिए गुणन रूप बहुत उपयोगी है। / A product form is very useful for detecting excluded values in closure questions.

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Question 143/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b+ab) है। यदि (ab=0), तो (b) का (a) के पदों में सही मान क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b+ab). If (a*b=0), what is the correct value of (b) in terms of (a)?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1+a}\), जहाँ \(a\neq-1\)\(\frac{-a}{1+a}\), where \(a\neq-1\)

Step 1

Concept

(a*b=0) से (a+b+ab=0) मिलता है। / From (a*b=0), we get (a+b+ab=0).

Step 2

Why this answer is correct

(b(1+a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1+a}\), पर \(a\neq-1\) होना चाहिए। / (b(1+a)=-a), hence \(b=\frac{-a}{1+a}\), with \(a\neq-1\).

Step 3

Exam Tip

हर बार हर में आने वाली शर्त लिखना परीक्षा में जरूरी है। / Always mention the denominator condition in exam answers.

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Question 144/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) है। यदि (ab=0), तो (b) का सही मान क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). If (a*b=0), what is the correct value of (b)?

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Correct Answer

A. \(\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)\(\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\)

Step 1

Concept

(a+b-ab=0) लिखें। / Write (a+b-ab=0).

Step 2

Why this answer is correct

(b(1-a)=-a), इसलिए \(b=\frac{-a}{1-a}\), जहाँ \(a\neq1\)। / (b(1-a)=-a), so \(b=\frac{-a}{1-a}\), where \(a\neq1\).

Step 3

Exam Tip

(a+b+ab) और (a+b-ab) में चिह्न अलग होता है, इसलिए जल्दबाजी में पुराना सूत्र न लगाएं। / The signs differ in (a+b+ab) and (a+b-ab), so do not reuse a formula blindly.

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Question 145/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। कौन-सा अवयव अपना ही प्रतिलोम है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Which element is its own inverse?

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Correct Answer

A. (0)

Step 1

Concept

अपना ही प्रतिलोम होने के लिए (a*a=0) चाहिए, क्योंकि तत्समक (0) है। / To be self-inverse, (a*a=0), since the identity is (0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*a=2a+a^-2=a(a+2)=0), इसलिए (a=0) या (a=-2)। / (a*a=2a+a^-2=a(a+2)=0), so (a=0) or (a=-2).

Step 3

Exam Tip

दिए विकल्पों में (0) और (-2) दोनों दिख रहे हैं, पर (-2) भी सही है; इसलिए प्रश्न में यदि एक उत्तर चाहिए तो विकल्पों की रचना सावधानी से होनी चाहिए। / Since both (0) and (-2) appear in the options, the item has two correct choices and must be corrected before use.

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Question 146/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। निम्न में से कौन-सा अवयव अपना ही प्रतिलोम नहीं है?

On \(\mathbb{Z}\), (a*b=a+b+ab). Which of the following elements is not its own inverse?

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Correct Answer

C. (1)

Step 1

Concept

अपना ही प्रतिलोम होने के लिए (a*a=0) होना चाहिए। / To be self-inverse, (a*a=0).

Step 2

Why this answer is correct

(a*a=a^-2+2a=a(a+2)), इसलिए केवल (a=0) और (a=-2) अपने प्रतिलोम हैं। / (a*a=a^-2+2a=a(a+2)), so only (a=0) and (a=-2) are self-inverse.

Step 3

Exam Tip

\(1*1=3\neq0\), इसलिए (1) अपना प्रतिलोम नहीं है। / \(1*1=3\neq0\), so (1) is not its own inverse.

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Question 147/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(S=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (a*b=\gcd(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(S=\{1,2,3,4,6,12\}\), (a*b=\gcd(a,b)). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

B. (12)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\gcd(a,e)=a) for every \(a\in S\).

Step 2

Why this answer is correct

ऐसा तब होता है जब हर (a), (e) को विभाजित करे। (12) इस समुच्चय के सभी अवयवों का गुणज है। / This happens when every (a) divides (e). Here (12) is a multiple of all elements of the set.

Step 3

Exam Tip

\(\gcd\) संक्रिया में तत्समक सामान्यतः समुच्चय का ऐसा बड़ा अवयव होता है जो सभी से विभाज्य हो। / For a \(\gcd\) operation, the identity is usually a greatest common multiple-like element inside the set.

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Question 148/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(S=\{1,2,3,4,6,12\}\) पर (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)) है। इस संक्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

On \(S=\{1,2,3,4,6,12\}\), (a*b=\operatorname{lcm}(a,b)). What is the identity element of this operation?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) हर \(a\in S\) के लिए चाहिए। / Identity (e) must satisfy (\operatorname{lcm}(a,e)=a) for every \(a\in S\).

Step 2

Why this answer is correct

यह (e=1) पर सही है क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। / This works for (e=1), since (\operatorname{lcm}(a,1)=a).

Step 3

Exam Tip

\(\operatorname{lcm}\) में (1) को पहले जांचें, क्योंकि वह हर संख्या को अपरिवर्तित रखता है। / In an \(\operatorname{lcm}\) operation, check (1) first because it leaves every number unchanged.

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Question 149/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। कौन-सा कथन सही है?

On \(\mathbb{R}^{+}\), \(a*b=\frac{a+b}{2}\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह बंद और क्रमविनिमेय है, पर साहचर्य नहींIt is closed and commutative, but not associative

Step 1

Concept

दो धनात्मक संख्याओं का औसत धनात्मक होता है, इसलिए बंदता है। / The average of two positive numbers is positive, so closure holds.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}\), इसलिए क्रमविनिमेयता है। / \(\frac{a+b}{2}=\frac{b+a}{2}\), so it is commutative.

Step 3

Exam Tip

((2*4)*8=3*8=\frac{11}{2}), पर (2*(4*8)=2*6=4), इसलिए साहचर्य नहीं। / ((2*4)*8=3*8=\frac{11}{2}), but (2*(4*8)=2*6=4), so it is not associative.

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Question 150/150 Expert Mathematics Relations and Functions Binary operations Class 12 Level 30

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) है। (2x=3) का हल क्या है?

On \(\mathbb{R}\), (a*b=a+b-ab). What is the solution of (2*x=3)?

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Correct Answer

A. (-1)

Step 1

Concept

परिभाषा लगाएं: (2*x=2+x-2x)। / Apply the definition: (2*x=2+x-2x).

Step 2

Why this answer is correct

(2-x=3) से (x=-1) मिलता है। / From (2-x=3), we get (x=-1).

Step 3

Exam Tip

संक्रिया में चर दो जगह आ सकता है, इसलिए पहले पूरा बीजीय समीकरण बनाएं। / The variable may appear in two places in an operation, so first form the complete algebraic equation.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Binary operations Expert Quiz

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर क्रिया (a*b=a+b+ab) दी है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{-1}\) पर (a*b=a+b+ab) है। अवयव (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) दी है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b-3) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\sqrt{ab}\) है। इस क्रिया के बारे में सही निष्कर्ष चुनिए।

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3\}\) पर (a*b) को (a+b) का (4) से भाग देने पर शेष माना गया है। (2) का प्रतिलोम क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\max(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (a*b=\min(a,b)) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(a*b=\frac{ab}{2}\) है। अवयव (a) का प्रतिलोम कौन-सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+1) है। इस क्रिया में (a) का प्रतिलोम क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b+ab+2) है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{N}\) पर \(a*b=a^b\) है। इस क्रिया के लिए कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया का तत्समक अवयव क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\mathbb{R}\setminus{1}\) पर (a*b=a+b-ab) है। इस क्रिया के बारे में कौन-सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{Z}\) पर (a*b=a+b+ab) है। निम्न में से कौन-सा युग्म बंदता के लिए सबसे अच्छा विश्लेषण देता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

\(समुच्चय (A={x\in\mathbb{Z}:x\) सम है}) पर \(a*b=\frac{a+b}{2}\) है। क्या यह द्विआधारी क्रिया है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,3,5,7\}\) पर (a*b) को (a+b) का (8) से भाग देने पर शेष माना गया है। क्या यह (A) पर बंद है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। यह क्रिया किस कारण क्रमविनिमेय है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर \(a*b=a^2+b^2\) है। क्या यह क्रिया साहचर्य है?

Concept

Why this answer is correct

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b-ab) है। (ab=1) कब होगा?

समुच्चय \(\mathbb{R}\) पर (ab=a+b+ab) है। (ab=b) होने के लिए कौन-सी शर्त पर्याप्त और आवश्यक है?