Class 12 Mathematics Relations and Functions Binary operations Expert Level 29

धनात्मक पूर्णांकों पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है?

On positive integers, (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does this operation have an identity element?

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Correct Answer

A. नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं हैNo, there is no universal identity in positive integers

Step 1

Concept

If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a).

Step 2

Why this answer is correct

Such an (e) would need to be a multiple of every positive integer, which no finite positive integer can be.

Step 3

Exam Tip

Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change. चरण 1: (e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। चरण 3: समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी।

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Mathematics Answer, Explanation and Revision Hints

धनात्मक पूर्णांकों पर (a*b=\gcd(a,b)) परिभाषित है। क्या इस क्रिया का कोई तत्समक अवयव है? / On positive integers, (a*b=\gcd(a,b)) is defined. Does this operation have an identity element?

Correct Answer: A. नहीं, धनात्मक पूर्णांकों में कोई सार्वत्रिक तत्समक नहीं है / No, there is no universal identity in positive integers. Explanation: चरण 1: (e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। चरण 3: समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी। / Step 1: If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a). Step 2: Such an (e) would need to be a multiple of every positive integer, which no finite positive integer can be. Step 3: Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change.

Which concept should I revise for this Mathematics MCQ?

If (e) is the identity, then (\gcd(a,e)=a) for every positive integer (a).

What exam hint can help solve this Mathematics question?

Pay attention to the set; if (0) were included, the conclusion could change. चरण 1: (e) तत्समक हो तो (\gcd(a,e)=a) हर धनात्मक पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। चरण 2: ऐसा (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए, पर कोई सीमित धनात्मक पूर्णांक सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणज नहीं होता। चरण 3: समुच्चय पर ध्यान दें; यदि (0) शामिल होता तो स्थिति अलग हो सकती थी।