यदि (A) में (n) अवयव हैं, तो (A) पर कुल कितनी क्रमविनिमेय द्विआधारी क्रियाएँ परिभाषित की जा सकती हैं?

Correct Answer: C. \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\). Explanation: चरण 1: क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। चरण 2: स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। चरण 3: हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी। / Step 1: In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value. Step 2: The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}). Step 3: Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\).

In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.

Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। चरण 2: स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। चरण 3: हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी।