(a+e+ae=a) gives (e(1+a)=0), so (e=0) because \(a\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
In exams, also check the other side; here (e*a=a) holds. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a*e=a) होना चाहिए। चरण 2: (a+e+ae=a) से (e(1+a)=0) मिलता है, और \(a\neq -1\) होने से (e=0)। चरण 3: परीक्षा में दोनों ओर से जाँचें, यहाँ (e*a=a) भी सही है।
Hence (x(1+a)=-a), giving \(x=\frac{-a}{1+a}\); always identify the identity first. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a*x=0), यानी (a+x+ax=0)। चरण 3: (x(1+a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+a}\); हर बार पहले तत्समक पहचानें।
A. यह क्रमविनिमेय और साहचर्य दोनों है/It is both commutative and associative
Step 1
Concept
(a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), so it is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=a+b+c-6) and (a*(b*c)=a+b+c-6), so it is associative.
Step 3
Exam Tip
For linear operations, expand both sides and compare. चरण 1: (a*b=a+b-3=b+a-3=b*a), इसलिए क्रमविनिमेय है। चरण 2: ((a*b)*c=a+b+c-6) और (a*(b*c)=a+b+c-6), इसलिए साहचर्य भी है। चरण 3: रैखिक क्रियाओं में दोनों पक्ष फैलाकर तुलना करना सबसे सुरक्षित तरीका है।
First find the identity (e): (a+e-3=a), hence (e=3).
Step 2
Why this answer is correct
For inverse (x), (a+x-3=3), so (x=6-a).
Step 3
Exam Tip
Do not assume the usual additive identity (0) for a new operation. चरण 1: पहले तत्समक (e) खोजें: (a+e-3=a), इसलिए (e=3)। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-3=3), इसलिए (x=6-a)। चरण 3: प्रतिलोम निकालते समय सामान्य जोड़ के शून्य को तत्समक मानने की गलती न करें।
A. क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं/Commutative but not associative
Step 1
Concept
Since (ab=ba), (a*b=b*a), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), while (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), not equal in general.
Step 3
Exam Tip
Values like (a=1,b=4,c=16) quickly disprove associativity. चरण 1: (ab=ba), इसलिए (a*b=b*a) और क्रिया क्रमविनिमेय है। चरण 2: ((a*b)*c=\sqrt{c\sqrt{ab}}), जबकि (a*(b*c)=\sqrt{a\sqrt{bc}}), ये सामान्यतः बराबर नहीं होते। चरण 3: साहचर्य जाँचने के लिए (a=1,b=4,c=16) जैसे मान तुरंत अंतर दिखाते हैं।
This is addition modulo (4), whose identity is (0).
Step 2
Why this answer is correct
(2*x) means the remainder of (2+x) on division by (4), and it must be (0).
Step 3
Exam Tip
Since (2+2=4), the remainder is (0), so (2) is its own inverse. चरण 1: यह (4) के सापेक्ष जोड़ है, जिसका तत्समक (0) है। चरण 2: (2*x) का अर्थ है (2+x) का (4) से शेष, इसे (0) चाहिए। चरण 3: (2+2=4), शेष (0), इसलिए (2) स्वयं अपना प्रतिलोम है।
This happens only when (e) is the smallest element of the set.
Step 3
Exam Tip
Here the smallest element is (1), so it is the identity. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\max(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। चरण 2: यह तभी होगा जब (e) समुच्चय का सबसे छोटा अवयव हो। चरण 3: यहाँ सबसे छोटा अवयव (1) है, इसलिए वही तत्समक है।
This is possible when (e) is the largest element of the set.
Step 3
Exam Tip
Here (4) is the largest, so for a minimum operation look at the largest element. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\min(a,e)=a) हर (a) के लिए चाहिए। चरण 2: यह तब संभव है जब (e) समुच्चय का सबसे बड़ा अवयव हो। चरण 3: यहाँ (4) सबसे बड़ा है, इसलिए परीक्षा में न्यूनतम क्रिया के लिए सबसे बड़े अवयव पर ध्यान दें।
Under a new operation, the identity is not always the usual multiplicative (1). चरण 1: (a*e=a) रखने पर \(\frac{ae}{2}=a\) मिलता है। चरण 2: \(a\neq 0\) होने से दोनों ओर (a) से भाग दे सकते हैं, इसलिए (e=2)। चरण 3: नई क्रिया में तत्समक हमेशा सामान्य गुणा का (1) नहीं होता।
Thus (ax=4), so \(x=\frac{4}{a}\); find identity before inverse. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (2) है। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए \(\frac{ax}{2}=2\) होना चाहिए। चरण 3: इससे (ax=4), इसलिए \(x=\frac{4}{a}\); पहले तत्समक फिर प्रतिलोम यही क्रम रखें।
Hence (x=-a-2); handle the constant term carefully. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (a+e+1=a), अतः (e=-1)। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a+x+1=-1)। चरण 3: इसलिए (x=-a-2); स्थिरांक वाली क्रिया में स्थिरांक को ध्यान से रखें।
This gives (e(1+a)+2=0), which cannot hold for all (a) with one fixed (e).
Step 3
Exam Tip
An identity must be a fixed element, not dependent on (a). चरण 1: (a*e=a) से (a+e+ae+2=a) मिलता है। चरण 2: इससे (e(1+a)+2=0), जो हर (a) के लिए एक ही (e) से संभव नहीं है। चरण 3: तत्समक एक स्थिर अवयव होना चाहिए, (a) पर निर्भर नहीं।
D. न क्रमविनिमेय न साहचर्य/Neither commutative nor associative
Step 1
Concept
\(2*3=2^3=8\) and \(3*2=3^2=9\), so it is not commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((2*3)*2=82=64), while (2*(3*2)=29=512), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
A good counterexample can disprove both properties quickly. चरण 1: \(2*3=2^3=8\) और \(3*2=3^2=9\), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। चरण 2: ((2*3)*2=82=64), जबकि (2*(3*2)=29=512), इसलिए साहचर्य नहीं। चरण 3: एक सही प्रत्युदाहरण दोनों गुणों को जल्दी नकार सकता है।
Also (e*a=e+a-ea=a), so (0) is the identity. चरण 1: (a*e=a) रखने पर (a+e-ae=a) मिलता है। चरण 2: इससे (e(1-a)=0) आता है, और हर (a) के लिए (e=0) काम करता है। चरण 3: (e*a=e+a-ea=a) भी जाँच लें, इसलिए (0) तत्समक है।
B. यह बंद है और प्रत्येक अवयव का प्रतिलोम है/It is closed and every element has an inverse
Step 1
Concept
(1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b)).
Step 2
Why this answer is correct
Since \(a\neq 1\) and \(b\neq 1\), this is non-zero, so \(a*b\neq 1\); hence closure holds.
Step 3
Exam Tip
Identity is (0), and for \(a\neq 1\), the inverse is \(x=\frac{a}{a-1}\). चरण 1: (1-(a*b)=1-a-b+ab=(1-a)(1-b))। चरण 2: \(a\neq 1\) और \(b\neq 1\) होने से यह शून्य नहीं, इसलिए \(a*b\neq 1\), अतः बंद है। चरण 3: तत्समक (0) है और \(a\neq 1\) होने पर प्रतिलोम \(x=\frac{a}{a-1}\) मिलता है।
A. बंद है क्योंकि (a+b+ab) पूर्णांक है/Closed because (a+b+ab) is an integer
Step 1
Concept
Sums and products of integers are still integers.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b+ab) is a sum of three integers, so it belongs to \(\mathbb{Z}\).
Step 3
Exam Tip
Closure requires the result to remain in the same set, not necessarily positive. चरण 1: पूर्णांकों का योग और गुणनफल फिर पूर्णांक ही रहता है। चरण 2: (a+b+ab) तीन पूर्णांकों का योग है, इसलिए परिणाम \(\mathbb{Z}\) में रहेगा। चरण 3: बंदता में परिणाम उसी समुच्चय में होना चाहिए, धनात्मक होना आवश्यक नहीं।
B. नहीं, क्योंकि परिणाम सम पूर्णांक होना जरूरी नहीं/No, because the result need not be an even integer
Step 1
Concept
For a binary operation, the result must again belong to (A).
Step 2
Why this answer is correct
(2) and (4) are even, but \(\frac{2+4}{2}=3\), which is not even.
Step 3
Exam Tip
Once closure fails, it is not a binary operation on that set. चरण 1: द्विआधारी क्रिया के लिए परिणाम फिर (A) में होना चाहिए। चरण 2: (2) और (4) दोनों सम हैं, पर \(\frac{2+4}{2}=3\), जो सम नहीं है। चरण 3: बंदता टूटते ही क्रिया उस समुच्चय पर द्विआधारी नहीं रहती।
(1+7=8), whose remainder on division by (8) is (0).
Step 3
Exam Tip
Since \(0\notin A\), one counterexample is enough. चरण 1: बंदता के लिए हर परिणाम (A) में होना चाहिए। चरण 2: (1+7=8), और (8) से भाग देने पर शेष (0) आता है। चरण 3: (0), (A) में नहीं है, इसलिए एक ही प्रत्युदाहरण काफी है।
A. क्योंकि \(a^2+b^2=b^2+a^2\)/Because \(a^2+b^2=b^2+a^2\)
Step 1
Concept
Commutativity checks whether (a*b=b*a).
Step 2
Why this answer is correct
\(a*b=a^2+b^2\) and \(b*a=b^2+a^2\), equal by commutativity of usual addition.
Step 3
Exam Tip
Do not confuse commutativity with associativity or inverse. चरण 1: क्रमविनिमेयता में (a*b=b*a) जाँचा जाता है। चरण 2: \(a*b=a^2+b^2\) और \(b*a=b^2+a^2\), जो योग के गुण से बराबर हैं। चरण 3: क्रमविनिमेयता को साहचर्य या प्रतिलोम से न मिलाएँ।
B. नहीं, क्योंकि ((1*2)*3\neq 1*(2*3))/No, because ((1*2)*3\neq 1*(2*3))
Step 1
Concept
Associativity requires ((a*b)*c=a*(b*c)).
Step 2
Why this answer is correct
((1*2)*3=5*3=25+9=34), while (1*(2*3)=1*13=1+169=170).
Step 3
Exam Tip
Being commutative does not guarantee associativity. चरण 1: साहचर्य के लिए ((a*b)*c=a*(b*c)) चाहिए। चरण 2: ((1*2)*3=5*3=25+9=34), जबकि (1*(2*3)=1*13=1+169=170)। चरण 3: क्रमविनिमेय होना साहचर्य होने की गारंटी नहीं देता।
Both equal \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\), so it is associative for every (k). चरण 1: ((a*b)*c) फैलाने पर (a+b+c+kab+kc(a+b+kab)) मिलता है। चरण 2: (a*(b*c)) फैलाने पर (a+b+c+kbc+ka(b+c+kbc)) मिलता है। चरण 3: दोनों में \(a+b+c+kab+kac+kbc+k^2abc\) समान है, इसलिए हर (k) पर साहचर्य है।
Thus (e(1+ka)=0). In the given set \(1+ka\neq 0\), so (e=0).
Step 3
Exam Tip
The excluded element is important for closure and inverse behavior. चरण 1: (a*e=a) रखने पर (a+e+kae=a) मिलता है। चरण 2: इससे (e(1+ka)=0) है। दिए समुच्चय में \(1+ka\neq 0\), इसलिए (e=0)। चरण 3: समुच्चय से हटाया गया अवयव बंदता और प्रतिलोम के लिए महत्त्वपूर्ण होता है।
Hence (x(1+2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1+2a}\); the excluded value avoids zero denominator. चरण 1: तत्समक (0) है। चरण 2: (a*x=0) से (a+x+2ax=0) मिलता है। चरण 3: (x(1+2a)=-a), इसलिए \(x=\frac{-a}{1+2a}\); हर में शून्य न हो इसलिए \(-\frac{1}{2}\) हटाया गया है।
C. यह द्विआधारी है पर न क्रमविनिमेय न साहचर्य/It is binary but neither commutative nor associative
Step 1
Concept
If (a,b) are real, (a+2b) is real, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
(1*2=5) and (2*1=4), so it is not commutative.
Step 3
Exam Tip
((1*2)*3=11), but (1*(2*3)=17), so it is not associative. चरण 1: (a,b) वास्तविक हों तो (a+2b) वास्तविक है, इसलिए बंदता है। चरण 2: (1*2=5) और (2*1=4), इसलिए क्रमविनिमेय नहीं। चरण 3: ((1*2)*3=11), पर (1*(2*3)=17), इसलिए साहचर्य भी नहीं।
A right identity would require (a*e=2a+e=a), giving (e=-a), dependent on (a).
Step 2
Why this answer is correct
A left identity would require (e*a=2e+a=a), giving (e=0).
Step 3
Exam Tip
Since there is no single two-sided identity, no identity exists. चरण 1: दायाँ तत्समक हो तो (a*e=2a+e=a), यानी (e=-a), जो (a) पर निर्भर है। चरण 2: बायाँ तत्समक हो तो (e*a=2e+a=a), इसलिए (e=0)। चरण 3: दोनों ओर एक ही स्थिर अवयव न मिले तो तत्समक नहीं होता।
Hence (a=1) or (b=1); factoring saves time in such problems. चरण 1: (a+b-ab=1) को (1-a-b+ab=0) लिखें। चरण 2: यह ((1-a)(1-b)=0) बनता है। चरण 3: इसलिए (a=1) या (b=1); ऐसे गुणनखंड बनाना परीक्षा में समय बचाता है।
The quotient of two non-zero rationals is again a non-zero rational, so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
But \(2*4=\frac{1}{2}\), while (4*2=2), so commutativity fails.
Step 3
Exam Tip
Check closure and commutativity separately. चरण 1: दो अशून्य परिमेयों का भाग फिर अशून्य परिमेय होता है, इसलिए बंदता है। चरण 2: पर \(2*4=\frac{1}{2}\), जबकि (4*2=2), इसलिए क्रमविनिमेयता नहीं है। चरण 3: गुण जाँचते समय बंदता और क्रमविनिमेयता को अलग-अलग देखें।
B. नहीं, क्योंकि ((8*4)*2\neq 8*(4*2))/No, because ((8*4)*2\neq 8*(4*2))
Step 1
Concept
((8*4)*2=(2)*2=1).
Step 2
Why this answer is correct
(8*(4*2)=8*2=4).
Step 3
Exam Tip
They are not equal, so associativity fails; a clear counterexample is the strongest argument. चरण 1: ((8*4)*2=(2)*2=1)। चरण 2: (8*(4*2)=8*2=4)। चरण 3: दोनों बराबर नहीं, इसलिए साहचर्य नहीं; एक स्पष्ट प्रत्युदाहरण सबसे मजबूत उत्तर है।
Under ordinary multiplication, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of (1) is (1) because \(1\cdot 1=1\).
Step 3
Exam Tip
\(0\cdot x\) can never become (1), so (0) has no inverse. चरण 1: साधारण गुणन में तत्समक (1) है। चरण 2: (1) का प्रतिलोम (1) है क्योंकि \(1\cdot 1=1\)। चरण 3: \(0\cdot x\) कभी (1) नहीं बन सकता, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं है।
C. हर अवयव का प्रतिलोम है/Every element has an inverse
Step 1
Concept
The product of (1) and (-1) always remains in ({1,-1}), so closure holds.
Step 2
Why this answer is correct
(1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
The inverse of (1) is (1), and the inverse of (-1) is (-1), so every element has an inverse. चरण 1: (1) और (-1) का गुणनफल फिर (1) या (-1) ही आता है, इसलिए बंदता है। चरण 2: (1) तत्समक है। चरण 3: (1) का प्रतिलोम (1) और (-1) का प्रतिलोम (-1) है, इसलिए हर अवयव का प्रतिलोम है।
Hence (a=0) or (b=-1); factoring is very useful in such condition-based questions. चरण 1: (a+b+ab=b) से (a+ab=0) मिलता है। चरण 2: इसे (a(1+b)=0) लिखेंगे। चरण 3: इसलिए (a=0) या (b=-1); गुणनखंड बनाना ऐसी शर्तों में बहुत उपयोगी है।
Under ordinary multiplication, the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
If (a>0), then its inverse \(\frac{1}{a}\) is also positive.
Step 3
Exam Tip
Thus the inverse remains in \(\mathbb{R}^{+}\), which is the next key check after closure. चरण 1: साधारण गुणन में तत्समक (1) है। चरण 2: (a>0) होने पर प्रतिलोम \(\frac{1}{a}\) भी धनात्मक होता है। चरण 3: इसलिए प्रतिलोम उसी समुच्चय \(\mathbb{R}^{+}\) में रहता है, जो बंदता के बाद अगली जरूरी जाँच है।
D. तत्समक अस्तित्व में नहीं है/Identity does not exist
Step 1
Concept
From (a*e=a), \(\frac{a+e}{2}=a\).
Step 2
Why this answer is correct
This gives (e=a), which changes with (a).
Step 3
Exam Tip
An identity must be fixed, so no identity exists here. चरण 1: (a*e=a) से \(\frac{a+e}{2}=a\) मिलता है। चरण 2: इससे (e=a), जो हर (a) के लिए बदलता रहेगा। चरण 3: तत्समक एक निश्चित अवयव होना चाहिए, इसलिए यहाँ तत्समक नहीं है।
A. यह क्रमविनिमेय है पर साहचर्य नहीं/It is commutative but not associative
Step 1
Concept
(|a-b|=|b-a|), so the operation is commutative.
Step 2
Why this answer is correct
((1*3)*6=2*6=4), while (1*(3*6)=1*3=2), so it is not associative.
Step 3
Exam Tip
Small counterexamples work well for absolute value operations. चरण 1: (|a-b|=|b-a|), इसलिए क्रिया क्रमविनिमेय है। चरण 2: ((1*3)*6=2*6=4), जबकि (1*(3*6)=1*3=2), इसलिए साहचर्य नहीं। चरण 3: निरपेक्ष मान वाली क्रियाओं में छोटे प्रत्युदाहरण बहुत काम आते हैं।
If (e) is identity, then (|a-e|=a) for every real (a).
Step 2
Why this answer is correct
Put (a=-1); the left side is always non-negative, but the right side is (-1).
Step 3
Exam Tip
Hence no identity exists; negative values often disprove such claims quickly. चरण 1: यदि (e) तत्समक हो तो (|a-e|=a) हर वास्तविक (a) के लिए होना चाहिए। चरण 2: (a=-1) रखने पर बायाँ पक्ष सदैव अऋणात्मक है, पर दायाँ पक्ष (-1) है। चरण 3: इसलिए कोई तत्समक नहीं; ऋणात्मक मानों से कई दावे तुरंत टूटते हैं।
(\operatorname{lcm}(a,1)=a) for every natural (a).
Step 3
Exam Tip
For an LCM operation, check (1) immediately. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। चरण 2: (\operatorname{lcm}(a,1)=a) हर प्राकृतिक (a) के लिए सत्य है। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य वाली क्रिया में (1) को तुरंत जाँचें।
C. नहीं, क्योंकि कोई सबसे बड़ा प्राकृतिक अवयव नहीं/No, because there is no largest natural element
Step 1
Concept
For (\gcd(a,e)=a), (e) must be a multiple of every (a).
Step 2
Why this answer is correct
There is no single natural number that is a multiple of all natural numbers.
Step 3
Exam Tip
If (0) were included, the situation would differ, but in \(\mathbb{N}\) there is no identity here. चरण 1: (\gcd(a,e)=a) होने के लिए (e) हर (a) का गुणज होना चाहिए। चरण 2: ऐसा कोई एक प्राकृतिक अवयव नहीं जो सभी प्राकृतिक संख्याओं का गुणज हो। चरण 3: यदि समुच्चय में (0) होता तो बात अलग होती, पर \(\mathbb{N}\) में यहाँ तत्समक नहीं है।
(6) is a multiple of every element of this set, so (\gcd(a,6)=a).
Step 3
Exam Tip
In a finite set, the largest suitable multiple can become the identity for a GCD operation. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\gcd(a,e)=a) चाहिए। चरण 2: (6) इस समुच्चय के हर अवयव का गुणज है, इसलिए (\gcd(a,6)=a)। चरण 3: सीमित समुच्चय में महत्तम अवयव प्रायः ऐसी क्रिया में तत्समक बन सकता है।
(1) leaves every element unchanged because (\operatorname{lcm}(a,1)=a).
Step 3
Exam Tip
In LCM and GCD operations, (1) and the top common multiple play different roles. चरण 1: तत्समक (e) के लिए (\operatorname{lcm}(a,e)=a) होना चाहिए। चरण 2: (1) हर अवयव को बिना बदले रखता है, क्योंकि (\operatorname{lcm}(a,1)=a)। चरण 3: लघुत्तम समापवर्त्य में (1) और महत्तम समापवर्तक में ऊपर वाला गुणज अलग भूमिकाएँ निभाते हैं।
This is multiplication modulo (3), and the identity is (1).
Step 2
Why this answer is correct
The inverse of (1) is (1), and the inverse of (2) is (2) because \(2\cdot 2=4\) has remainder (1).
Step 3
Exam Tip
Multiplying by (0) always gives remainder (0), so (0) has no inverse. चरण 1: यह (3) के सापेक्ष गुणन है और तत्समक (1) है। चरण 2: (1) का प्रतिलोम (1), और (2) का प्रतिलोम (2) है क्योंकि \(2\cdot 2=4\) का शेष (1) है। चरण 3: (0) से गुणा करने पर शेष (0) ही रहेगा, इसलिए (0) का प्रतिलोम नहीं।
A. यह बंद है और (1) तत्समक है/It is closed and (1) is identity
Step 1
Concept
Products of the given elements modulo (6) again lie in (1,2,4,5); for example, (2*4=2), (5*5=1).
Step 2
Why this answer is correct
(1*a=a) and (a*1=a), so (1) is the identity.
Step 3
Exam Tip
For a finite set, sample products reveal the closure pattern. चरण 1: दिए गए अवयवों के गुणनफल का (6) से शेष फिर (1,2,4,5) में ही आता है; जैसे (2*4=2), (5*5=1)। चरण 2: (1*a=a) और (a*1=a), इसलिए (1) तत्समक है। चरण 3: सीमित समुच्चय में कुछ नमूना गुणन देखकर बंदता का ढाँचा समझें।
At \(a=\frac{1}{2}\), the coefficient becomes zero and the equation is impossible, so it has no inverse. चरण 1: तत्समक (0) है क्योंकि (a+0-0=a)। चरण 2: प्रतिलोम (x) के लिए (a+x-2ax=0), अतः (x(1-2a)=-a)। चरण 3: \(a=\frac{1}{2}\) पर गुणक शून्य हो जाता है और समीकरण असंभव बनता है, इसलिए इसका प्रतिलोम नहीं।
Thus (x(1-2a)=-a), so \(x=\frac{-a}{1-2a}\); the excluded element prevents a zero denominator. चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: (a*x=0) से (a+x-2ax=0) मिलता है। चरण 3: (x(1-2a)=-a), अतः \(x=\frac{-a}{1-2a}\); हटाया गया अवयव हर को शून्य होने से बचाता है।
Checking (5*a=a) gives the same result, so the verification is complete. चरण 1: यदि (5) तत्समक है, तो (a*5=a) होना चाहिए। चरण 2: \(a+5+\lambda=a\) से \(\lambda=-5\) मिलता है। चरण 3: मान निकालने के बाद (5*a=a) भी वही परिणाम देता है, इसलिए जाँच पूरी है।
From (2*x=0), \(2+x+2\lambda x=0\), so (x\(1+2\lambda\)=-2).
Step 3
Exam Tip
No inverse exists when \(1+2\lambda=0\), hence \(\lambda=-\frac{1}{2}\). चरण 1: इस प्रकार की क्रिया का तत्समक (0) होता है। चरण 2: (2*x=0) से \(2+x+2\lambda x=0\), यानी (x\(1+2\lambda\)=-2) मिलता है। चरण 3: प्रतिलोम न होने के लिए \(1+2\lambda=0\), इसलिए \(\lambda=-\frac{1}{2}\)।
(2-1-2m=0) gives (1-2m=0), so \(m=\frac{1}{2}\). चरण 1: इस क्रिया का तत्समक (0) है। चरण 2: (2) और (-1) प्रतिलोम हैं, इसलिए (2*(-1)=0)। चरण 3: (2-1-2m=0) से (1-2m=0), अतः \(m=\frac{1}{2}\)।
(3+4=7), and the remainder on division by (5) is (2).
Step 3
Exam Tip
For remainder operations, first do the usual calculation, then take the remainder. चरण 1: यहाँ क्रिया (5) के सापेक्ष जोड़ है। चरण 2: (3+4=7), और (7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। चरण 3: शेषफल वाली क्रिया में पहले साधारण गणना करें, फिर शेष लें।
For (4*x=0), (4+x) must have remainder (0) on division by (5).
Step 3
Exam Tip
Since (4+1=5), the inverse of (4) is (1). चरण 1: (5) के सापेक्ष जोड़ में तत्समक (0) है। चरण 2: (4*x=0) के लिए (4+x) का (5) से शेष (0) होना चाहिए। चरण 3: (4+1=5), इसलिए (4) का प्रतिलोम (1) है।
A binary operation is a function from \(A\times A\) to (A).
Step 2
Why this answer is correct
\(A\times A\) has \(n^2\) ordered pairs, and each pair has (n) possible outputs.
Step 3
Exam Tip
Therefore the total number is \(n^{n^2}\); understand it through function counting, not rote memory. चरण 1: द्विआधारी क्रिया \(A\times A\) से (A) में फलन होती है। चरण 2: \(A\times A\) में \(n^2\) क्रमित युग्म होते हैं और हर युग्म के लिए (n) विकल्प हैं। चरण 3: इसलिए कुल संख्या \(n^{n^2}\) है; इसे याद रखने के बजाय फलन की गिनती से समझें।
In a commutative operation, (a*b=b*a), so ((a,b)) and ((b,a)) must have the same value.
Step 2
Why this answer is correct
The number of independent positions is (n+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}).
Step 3
Exam Tip
Each independent position has (n) choices, so the total number of operations is \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\). चरण 1: क्रमविनिमेय क्रिया में (a*b=b*a), इसलिए ((a,b)) और ((b,a)) का मान एक जैसा होना चाहिए। चरण 2: स्वतंत्र स्थानों की संख्या (n) विकर्ण युग्मों और (\frac{n(n-1)}{2}) अविकर्ण युग्मों को मिलाकर (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। चरण 3: हर स्वतंत्र स्थान पर (n) विकल्प हैं, इसलिए कुल क्रियाएँ \(n^{\frac{n(n+1)}{2}}\) होंगी।
