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A. \(A\times A\) का कोई उपसमुच्चय/Any subset of \(A\times A\)
Step 1
Concept
A relation on a set is formed from a subset of its Cartesian product.
Step 2
Why this answer is correct
Here any subset of \(A\times A\) is a relation on (A).
Step 3
Exam Tip
In exams first identify the Cartesian product and then the relation. चरण 1: किसी समुच्चय पर संबंध उसके कार्तीय गुणनफल के उपसमुच्चय से बनता है। चरण 2: यहाँ संबंध \(A\times A\) के किसी भी उपसमुच्चय को कहेंगे। चरण 3: परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल पहचानें फिर संबंध तय करें।
The number of ordered pairs in a Cartesian product is \(n(A)\times n(B)\).
Step 2
Why this answer is correct
Here \(2\times2=4\).
Step 3
Exam Tip
In such questions count the elements of both sets first. चरण 1: कार्तीय गुणनफल में युग्मों की संख्या \(n(A)\times n(B)\) होती है। चरण 2: यहाँ \(2\times2=4\) युग्म होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों समुच्चयों के अवयव गिनें।
\(A\times A\) has \(2^2=4\) pairs so the number of subsets is \(2^4=16\).
Step 3
Exam Tip
Remember \(2^{n^2}\) for total relations on a set with (n) elements. चरण 1: (A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। चरण 2: \(A\times A\) में \(2^2=4\) युग्म हैं इसलिए उपसमुच्चय \(2^4=16\) होंगे। चरण 3: कुल संबंधों के लिए \(2^{n^2}\) याद रखें।
The universal relation contains all ordered pairs of the Cartesian product.
Step 2
Why this answer is correct
So on (A), the universal relation is \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
Do not confuse the universal relation with the empty relation. चरण 1: सर्वसम संबंध में समुच्चय के कार्तीय गुणनफल के सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। चरण 2: इसलिए (A) पर सर्वसम संबंध \(A\times A\) है। चरण 3: सर्वसम संबंध को कभी रिक्त संबंध से न मिलाएँ।
Empty relation and universal relation are opposite style examples. चरण 1: रिक्त संबंध का अर्थ है ऐसा संबंध जिसमें कोई क्रमित युग्म न हो। चरण 2: इसलिए इसमें एक भी युग्म शामिल नहीं होता। चरण 3: रिक्त संबंध और सर्वसम संबंध एक दूसरे के उलट उदाहरण हैं।
Since (n(A)=3), \(A\times A\) has \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
Count all possible ordered pairs for a universal relation. चरण 1: सर्वसम संबंध \(A\times A\) होता है। चरण 2: (n(A)=3) है इसलिए \(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म होंगे। चरण 3: सर्वसम संबंध में सभी संभव युग्म गिने जाते हैं।
A. केवल ((a,a)) जैसे युग्म/Only pairs like ((a,a))
Step 1
Concept
In an identity relation every element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore it contains pairs of the form ((a,a)).
Step 3
Exam Tip
Identify the identity relation through diagonal pairs. चरण 1: तत्समक संबंध में हर अवयव स्वयं से संबंधित होता है। चरण 2: इसलिए इसमें ((a,a)) प्रकार के युग्म ही होते हैं। चरण 3: तत्समक संबंध को विकर्ण युग्मों से पहचानें।
In an identity relation each element is related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For (1,2,3), the pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)).
Step 3
Exam Tip
In such questions choose only pairs with equal components. चरण 1: तत्समक संबंध में हर अवयव अपने आप से जुड़ता है। चरण 2: (1,2,3) के लिए युग्म ((1,1),(2,2),(3,3)) होंगे। चरण 3: ऐसे प्रश्न में केवल समान घटकों वाले युग्म चुनें।
A. हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\)/For every \(a\in A\), \((a,a)\in R\)
Step 1
Concept
In a reflexive relation every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
So ((a,a)) must belong to (R) for each (a).
Step 3
Exam Tip
While checking reflexivity look for all diagonal pairs. चरण 1: स्वतः संबंध में प्रत्येक अवयव स्वयं से संबंधित होना चाहिए। चरण 2: इसलिए हर (a) के लिए ((a,a)) संबंध में होना जरूरी है। चरण 3: स्वतः संबंध जाँचते समय सभी विकर्ण युग्म देखें।
For reflexivity, both ((1,1)) and ((2,2)) are needed.
Step 2
Why this answer is correct
Both diagonal pairs are present in the given relation, so it is reflexive.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs do not spoil reflexivity. चरण 1: स्वतः होने के लिए ((1,1)) और ((2,2)) दोनों चाहिए। चरण 2: दिए संबंध में दोनों विकर्ण युग्म मौजूद हैं इसलिए यह स्वतः है। चरण 3: अतिरिक्त युग्म होने से स्वतः गुण खराब नहीं होता।
A. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है/Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
A reflexive relation must contain each element paired with itself.
Step 2
Why this answer is correct
Here ((3,3)) is missing, so the relation is not reflexive.
Step 3
Exam Tip
Check every element separately for reflexivity. चरण 1: स्वतः संबंध में हर अवयव का अपने साथ युग्म होना चाहिए। चरण 2: यहाँ (3) के लिए ((3,3)) नहीं है इसलिए संबंध स्वतः नहीं है। चरण 3: स्वतः गुण में सभी अवयवों को अलग अलग जाँचें।
A. यदि \((a,b)\in R\) तो \((b,a)\in R\)/If \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\)
Step 1
Concept
In a symmetric relation, reversing a pair should still keep it in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
So if ((a,b)) is present, ((b,a)) must also be present.
Step 3
Exam Tip
In symmetry questions quickly search for reverse pairs. चरण 1: सममित संबंध में युग्म उलटने पर भी संबंध में रहना चाहिए। चरण 2: इसलिए ((a,b)) के साथ ((b,a)) होना चाहिए। चरण 3: सममित गुण में उलटे युग्म को तुरंत खोजें।
The symmetric partner of a pair ((a,b)) is ((b,a)).
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((1,2)) is ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
In symmetric relations focus on the reversed ordered pair. चरण 1: किसी युग्म ((a,b)) का सममित साथी ((b,a)) होता है। चरण 2: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) है। चरण 3: सममित संबंध में उलटे युग्म पर ध्यान दें।
A. क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है/Because ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
For symmetry, every pair must have its reverse pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so the relation is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Symmetry depends on reverse pairs, not necessarily on diagonal pairs. चरण 1: सममित होने के लिए हर युग्म का उलटा युग्म भी चाहिए। चरण 2: ((1,2)) है लेकिन ((2,1)) नहीं है इसलिए संबंध सममित नहीं है। चरण 3: सममितता में विकर्ण युग्म जरूरी नहीं बल्कि उलटे युग्म जरूरी होते हैं।
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) तो \((a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
In a transitive relation, two connected pairs should produce the third pair.
Step 2
Why this answer is correct
If ((a,b)) and ((b,c)) are present, ((a,c)) must be present.
Step 3
Exam Tip
For transitivity look for the common middle element. चरण 1: संचारी संबंध में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म बनना चाहिए। चरण 2: ((a,b)) और ((b,c)) हों तो ((a,c)) भी होना चाहिए। चरण 3: संचारी गुण में बीच वाला अवयव समान देखकर आगे बढ़ें।
The transitive rule says ((a,b)) and ((b,c)) require ((a,c)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((1,2)) and ((2,3)), the required pair is ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
Remove the common middle element and join the first and last elements. चरण 1: संचारी नियम कहता है कि ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। चरण 3: बीच का (2) हटाकर पहला और अंतिम अवयव मिलाएँ।
A. स्वतः सममित और संचारी/Reflexive symmetric and transitive
Step 1
Concept
An equivalence relation is a special type of relation.
Step 2
Why this answer is correct
It must be reflexive, symmetric, and transitive.
Step 3
Exam Tip
In exams check all three properties separately. चरण 1: तुल्यता संबंध एक विशेष प्रकार का संबंध है। चरण 2: इसके लिए स्वतः सममित और संचारी तीनों गुण होने चाहिए। चरण 3: तुल्यता संबंध में तीनों गुणों की अलग अलग जाँच करें।
Diagonal pairs reverse to themselves and transitivity also holds.
Step 3
Exam Tip
The identity relation is a good example of an equivalence relation. चरण 1: इसमें दोनों विकर्ण युग्म हैं इसलिए यह स्वतः है। चरण 2: विकर्ण युग्म उलटने पर वही रहते हैं और संचारीता भी पूरी होती है। चरण 3: तत्समक संबंध हमेशा तुल्यता संबंध का अच्छा उदाहरण है।
In a reflexive relation every element must be related to itself.
Step 2
Why this answer is correct
For element (2), ((2,2)) is missing, so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
Missing even one diagonal pair destroys reflexivity. चरण 1: स्वतः संबंध में हर अवयव अपने आप से संबंधित होना चाहिए। चरण 2: (2) के लिए ((2,2)) मौजूद नहीं है इसलिए शर्त पूरी नहीं हुई। चरण 3: किसी एक विकर्ण युग्म के छूटने से स्वतः गुण समाप्त हो जाता है।
The smallest reflexive relation contains only the necessary diagonal pairs.
Step 2
Why this answer is correct
For three elements, the pairs are ((1,1),(2,2),(3,3)), so there are (3) pairs.
Step 3
Exam Tip
When the word smallest appears, count only compulsory pairs. चरण 1: न्यूनतम स्वतः संबंध में केवल जरूरी विकर्ण युग्म रखे जाते हैं। चरण 2: तीन अवयवों के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीन युग्म होंगे। चरण 3: न्यूनतम शब्द देखकर केवल अनिवार्य युग्म गिनें।
For the largest relation, take the full Cartesian product. चरण 1: अधिकतम संबंध सर्वसम संबंध होता है। चरण 2: इसमें \(A\times A\) के सभी \(3^2=9\) युग्म होंगे। चरण 3: अधिकतम संबंध के लिए हमेशा पूरे कार्तीय गुणनफल को लें।
For (n=3), there are (9) pairs and the number of relations is \(2^9\).
Step 3
Exam Tip
Total relations are counted by the number of subsets. चरण 1: \(A\times A\) में \(n^2\) युग्म होते हैं। चरण 2: (n=3) होने पर (9) युग्म होंगे और संबंधों की संख्या \(2^9\) होगी। चरण 3: कुल संबंधों में उपसमुच्चयों की संख्या लगती है।
A relation is a subset of \(A\times B\), so total relations are \(2^6\).
Step 3
Exam Tip
For two different sets, first count (mn) pairs. चरण 1: \(A\times B\) में \(2\times3=6\) युग्म होंगे। चरण 2: संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे। चरण 3: दो अलग समुच्चयों में (mn) युग्म गिनें।
The domain contains the first components of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here the first components are (1) and (2).
Step 3
Exam Tip
To find the domain, look at the left side of each pair. चरण 1: प्रांत में क्रमित युग्मों के पहले घटक लिए जाते हैं। चरण 2: यहाँ पहले घटक (1) और (2) हैं। चरण 3: प्रांत निकालते समय बाएँ स्थान वाले अवयव देखें।
The range contains the second components of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
Here the second components are (2,3,3), so the range is ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
Write repeated elements only once in a set. चरण 1: परिसर में क्रमित युग्मों के दूसरे घटक लिए जाते हैं। चरण 2: यहाँ दूसरे घटक (2,3,3) हैं इसलिए परिसर ({2,3}) होगा। चरण 3: दोहराए गए अवयव को समुच्चय में एक बार ही लिखें।
The second components are (2,4,6), so (3) is not in the range.
Step 3
Exam Tip
Avoid mixing up domain and range positions. चरण 1: परिसर दूसरे घटकों से बनता है। चरण 2: दूसरे घटक (2,4,6) हैं इसलिए (3) परिसर में नहीं है। चरण 3: प्रांत और परिसर में स्थान बदलने की गलती न करें।
The first components in the given pairs are (a) and (b).
Step 3
Exam Tip
While finding domain, read only the first position. चरण 1: प्रांत पहले घटकों का समुच्चय होता है। चरण 2: दिए गए युग्मों में पहले घटक (a) और (b) हैं। चरण 3: प्रांत निकालते समय केवल पहले स्थान को पढ़ें।
The second components are (1,2,2), and repetition is not written in a set.
Step 3
Exam Tip
So the range is ({1,2}). चरण 1: परिसर दूसरे घटकों से बनता है। चरण 2: यहाँ दूसरे घटक (1,2,2) हैं और समुच्चय में दोहराव नहीं लिखा जाता। चरण 3: इसलिए परिसर ({1,2}) होगा।
In an inverse relation, the components of every pair are reversed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) becomes ((2,1)), while diagonal pairs remain the same.
Step 3
Exam Tip
Reverse every pair one by one. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म के घटक उलट दिए जाते हैं। चरण 2: ((1,2)) का उलटा ((2,1)) होगा और विकर्ण युग्म वैसे ही रहेंगे। चरण 3: विलोम निकालते समय सभी युग्मों को एक एक करके उलटें।
In a symmetric relation, every pair is present with its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore the inverse relation is the same as the original relation.
Step 3
Exam Tip
A symmetric relation can also be recognized by \(R=R^{-1}\). चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म के साथ उसका उलटा भी होता है। चरण 2: इसलिए विलोम लेने पर वही संबंध वापस मिलता है। चरण 3: सममित संबंध की पहचान \(R=R^{-1}\) से भी की जा सकती है।
\(A\times A\) contains all possible ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
A relation containing all pairs is called the universal relation.
Step 3
Exam Tip
When you see the full Cartesian product, think of universal relation. चरण 1: \(A\times A\) में सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। चरण 2: सभी युग्मों वाला संबंध सर्वसम संबंध कहलाता है। चरण 3: पूरा कार्तीय गुणनफल दिखे तो सर्वसम संबंध सोचें।
For reflexivity, ((1,1),(2,2),(3,3)) are required.
Step 2
Why this answer is correct
All three pairs are present in the relation.
Step 3
Exam Tip
Extra pairs do not remove the reflexive property. चरण 1: स्वतः होने के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) जरूरी हैं। चरण 2: ये तीनों युग्म दिए गए संबंध में मौजूद हैं। चरण 3: बाकी अतिरिक्त युग्म स्वतः गुण को नहीं हटाते।
((1,2)) is paired with ((2,1)), and ((2,3)) with ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
Identify symmetry by matching reverse pairs. चरण 1: सममितता में हर युग्म का उलटा युग्म होना चाहिए। चरण 2: ((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं। चरण 3: उलटे युग्मों की जोड़ी देखकर सममितता पहचानें।
Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) is missing in the relation.
Step 3
Exam Tip
In transitivity, when the middle element matches, check the required third pair. चरण 1: ((1,2)) और ((2,3)) होने पर संचारीता के लिए ((1,3)) चाहिए। चरण 2: दिए संबंध में ((1,3)) नहीं है। चरण 3: संचारीता में बीच वाला अवयव समान हो तो तीसरा युग्म अवश्य देखें।
All pairs of \(A\times A\) are ((1,1),(1,2),(2,1),(2,2)).
Step 2
Why this answer is correct
The given relation contains all of them.
Step 3
Exam Tip
If all pairs are present, the relation is universal. चरण 1: \(A\times A\) के सभी युग्म ((1,1),(1,2),(2,1),(2,2)) हैं। चरण 2: दिए संबंध में ये सभी युग्म मौजूद हैं। चरण 3: सभी युग्म मिल जाएँ तो संबंध सर्वसम है।
A pair relating an element to itself has the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
A relation containing only such pairs is the identity relation.
Step 3
Exam Tip
Remember identity relation as self-related pairs. चरण 1: अपने आप से संबंधित होने वाले युग्म ((a,a)) रूप के होते हैं। चरण 2: केवल ऐसे युग्मों वाला संबंध तत्समक संबंध कहलाता है। चरण 3: तत्समक संबंध को अपने साथ जुड़ाव से याद रखें।
The smallest reflexive relation contains only self-pairs for every element.
Step 2
Why this answer is correct
For four elements, there are four diagonal pairs.
Step 3
Exam Tip
In the smallest reflexive relation, the number of pairs equals the number of elements. चरण 1: न्यूनतम स्वतः संबंध में हर अवयव का केवल स्वयं वाला युग्म होता है। चरण 2: चार अवयवों के लिए चार विकर्ण युग्म होंगे। चरण 3: न्यूनतम स्वतः संबंध में युग्मों की संख्या अवयवों की संख्या के बराबर होती है।
For a set multiplied by itself, take the square of the number of elements. चरण 1: \(A\times A\) में युग्मों की संख्या (n(A)2) होती है। चरण 2: (n(A)=4) है इसलिए \(4^2=16\) युग्म होंगे। चरण 3: एक ही समुच्चय का अपने साथ गुणनफल हो तो वर्ग लें।
Every element is related to itself and no extra pair is present.
Step 3
Exam Tip
Such a relation is called the identity relation. चरण 1: दिए गए सभी युग्म ((a,a)) रूप के हैं। चरण 2: हर अवयव अपने आप से संबंधित है और कोई बाहरी युग्म नहीं है। चरण 3: ऐसे संबंध को तत्समक संबंध कहते हैं।
The presence of reverse pairs indicates symmetry. चरण 1: सममितता में युग्म के साथ उसका उलटा भी होता है। चरण 2: ((1,2)) और ((2,1)) एक दूसरे के उलटे हैं। चरण 3: उलटे युग्मों की उपस्थिति सममितता का संकेत देती है।
In a symmetric relation, every pair must have its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
The reverse of ((3,5)) is ((5,3)).
Step 3
Exam Tip
For symmetry, interchange the first and second components. चरण 1: सममित संबंध में हर युग्म का उलटा युग्म भी होता है। चरण 2: ((3,5)) का उलटा ((5,3)) है। चरण 3: सममितता में पहले और दूसरे घटक की अदला बदली करें।
Transitivity requires ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
From ((2,4)) and ((4,6)), the needed pair is ((2,6)).
Step 3
Exam Tip
Remove the common middle element and form the new pair. चरण 1: संचारीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। चरण 2: यहाँ ((2,4)) और ((4,6)) से ((2,6)) चाहिए। चरण 3: बीच के समान अवयव को हटाकर नया युग्म बनाइए।
In contrast, a reflexive relation requires all diagonal pairs. चरण 1: रिक्त संबंध में कोई भी युग्म नहीं होता। चरण 2: इसलिए उसमें ((a,a)) जैसे युग्म भी जरूरी नहीं हैं। चरण 3: स्वतः संबंध में इसके उलट सभी विकर्ण युग्म जरूरी होते हैं।
((1,2)) becomes ((2,1)), and ((2,1)) becomes ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
So the inverse relation is the same relation. चरण 1: विलोम संबंध में हर युग्म को उलटा किया जाता है। चरण 2: ((1,2)) उलटकर ((2,1)) और ((2,1)) उलटकर ((1,2)) बनता है। चरण 3: इसलिए विलोम वही संबंध रहेगा।
((2,1)) is missing, so the relation is not symmetric.
Step 3
Exam Tip
Missing one reverse pair breaks symmetry. चरण 1: सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी चाहिए। चरण 2: ((2,1)) अनुपस्थित है इसलिए यह सममित नहीं है। चरण 3: एक उलटा युग्म छूट जाए तो सममित गुण टूट जाता है।
Even in diagonal pairs, read the first component carefully. चरण 1: प्रांत पहले घटकों से बनता है। चरण 2: दिए गए युग्मों के पहले घटक (1,2,3) हैं। चरण 3: विकर्ण युग्मों में भी पहला घटक ध्यान से पढ़ें।
In an identity relation, domain and range can be the same. चरण 1: परिसर दूसरे घटकों से बनता है। चरण 2: दिए गए युग्मों के दूसरे घटक (1,2,3) हैं। चरण 3: तत्समक संबंध में प्रांत और परिसर समान हो सकते हैं।
In \(A\times B\), the first component comes from (A) and the second from (B).
Step 2
Why this answer is correct
Hence the pairs are ((1,3)) and ((2,3)).
Step 3
Exam Tip
In Cartesian products, changing the order can change the answer. चरण 1: \(A\times B\) में पहला घटक (A) से और दूसरा घटक (B) से आता है। चरण 2: इसलिए युग्म ((1,3)) और ((2,3)) होंगे। चरण 3: कार्तीय गुणनफल में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है।
In \(A\times B\), the first component must come from (A).
Step 2
Why this answer is correct
In ((3,1)), the first component is (3), which is not in (A).
Step 3
Exam Tip
Position matters a lot in ordered pairs. चरण 1: \(A\times B\) में पहला घटक (A) से होना चाहिए। चरण 2: ((3,1)) में पहला घटक (3) है जो (A) में नहीं है। चरण 3: क्रमित युग्म में स्थान बहुत महत्वपूर्ण होता है।
A. प्रांत ({1,2}) और परिसर ({1,2})/Domain ({1,2) and range ({1,2})
Step 1
Concept
Domain is formed from first components and range from second components.
Step 2
Why this answer is correct
The first components give (1,2), and the second components also give (1,2).
Step 3
Exam Tip
Even for a larger relation, find domain and range separately. चरण 1: प्रांत पहले घटकों से और परिसर दूसरे घटकों से बनता है। चरण 2: पहले घटकों में (1,2) और दूसरे घटकों में भी (1,2) मिलते हैं। चरण 3: संबंध बड़ा हो तो भी प्रांत और परिसर को अलग अलग निकालें।
