Class 10 Mathematics - Real Numbers - Proof of irrationality of √2, √3, √5 Expert Quiz

A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है/Because every rational number can be written in lowest form

A. \(5\mid x\)

A. \(q^2=2r^2\)

A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)

A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number

A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false

A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)/\(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)

A. \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम/The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)

A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd

A. (p) (3) से विभाज्य है/(p) is divisible by (3)

A. \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं/\(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)

A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator

A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना/The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form

A. \(5\mid q\)

A. \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है/The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)

A. \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना/Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)

A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों/Both (x) and (y) are divisible by (3)

A. \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), \(p^2=5q^2\), \(5\mid p\), \(5\mid q\)

A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है/Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary

A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है/\(3\mid p\) has been proved

A. \(\frac{5}{1}\) का मान (5) है, \(\sqrt{5}\) नहीं/\(\frac{5}{1}\) equals (5), not \(\sqrt{5}\)

A. \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं/\(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)

A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है/Because (3) appears as a factor on the right side

A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)

A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)

A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero

A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता/The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate

A. विरोधाभासी परिणाम/Contradictory result

A. यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है/It shows that \(p^2\) is even

A. \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है/The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)

A. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना/Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form

A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है/(p=3k), where (k) is an integer

A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना/Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)

A. ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग (2) हो/There is no integer whose square is (2)

A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी/The fraction was not in lowest form

A. (q) सम है/(q) is even

A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे/Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form

A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational

A. \(9r^2\)

A. \(q^2=5r^2\)

A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational

A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (5) will be a common factor of both

A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor

A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना/Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)

A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)

A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even

A. सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते/The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)

A. \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा/From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)

A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखना चाहिए/Write rational assumption, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order

A. क्योंकि \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है/Because \(p^2\) is even, so (p) is even

A. साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा/Getting a common factor will not become a contradiction

A. पहले वर्ग करें, फिर दोनों पक्षों को \(y^2\) से गुणा करें/First square, then multiply both sides by \(y^2\)

A. (q) सम है/(q) is even

A. अभाज्य गुणनखंड का सिद्धांत/Principle of prime factor

A. प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false

A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd

A. \(9m^2=3b^2\)

A. दशमलव का सीमित अनुमान प्रमाण नहीं होता/A finite decimal approximation is not a proof

A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता, फिर विरोधाभास/Rational assumption, squaring, prime divisibility, then contradiction

A. \(p^2=rq^2\)

A. (b) (3) से विभाज्य है/(b) is divisible by (3)

A. \(y^2=5n^2\)

A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकता/It cannot be in lowest form

A. (a) और (b) सहअभाज्य थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were coprime, but both turned out divisible by (3)

A. \(5\mid y\)

A. प्रमाण परिमेय मान्यता और सहअभाज्यता के विरोधाभास पर आधारित है/The proof is based on rational assumption and contradiction of coprimality

A. (a) का (3) से विभाज्य होना मिलता है, पर (a=3b) जरूरी नहीं/We get that (a) is divisible by (3), but (a=3b) is not necessary

A. यदि \(5\mid x^2\), तो \(5\mid x\)/If \(5\mid x^2\), then \(5\mid x\)

A. दो बार/Twice

A. (3) और (5)/(3) and (5)

A. मान लें \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक हैं और \(q\neq0\)/Assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)

A. (\gcd(x,y)\ge5)

A. भिन्न को सरलतम रूप में लेना/Taking the fraction in lowest form

A. \(2\mid p\) और \(2\mid q\)/\(2\mid p\) and \(2\mid q\)

A. \(5\mid x\) और फिर गुणज रूप/\(5\mid x\) and then multiple form

A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) परिमेय मानने पर (r) अंश और हर दोनों को भाग देगा/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator

A. \(4k^2=2q^2\) को (2) से सही तरह भाग नहीं दिया गया/\(4k^2=2q^2\) was not divided correctly by (2)

A. (2)

A. मानें \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), फिर \(p^2=3q^2\), फिर \(3\mid p\), फिर \(3\mid q\)/Assume \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), then \(p^2=3q^2\), then \(3\mid p\), then \(3\mid q\)