Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. (R) तुल्यता सम्बन्ध है/(R) is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी संख्या से उसी संख्या को घटाने पर (0) मिलता है, जो (2) से विभाज्य है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every element, (a-a=0), which is divisible by (2), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) (2) से विभाज्य है, तो (b-a) भी (2) से विभाज्य होगा, इसलिए सममित है। / If (a-b) is divisible by (2), then (b-a) is also divisible by (2), so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a-b) और (b-c) दोनों (2) से विभाज्य हैं, तो (a-c) भी (2) से विभाज्य होगा। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में तीनों गुण अलग-अलग जाँचें। / If (a-b) and (b-c) are divisible by (2), then (a-c) is also divisible by (2). In exams, test all three properties separately.
(2.4) का पूर्णांक भाग (2) है। / The greatest integer part of (2.4) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे (2) से बड़ी या बराबर और (3) से छोटी होती हैं। / Real numbers with greatest integer part (2) are greater than or equal to (2) and less than (3).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीमा बिंदुओं को ध्यान से देखें, इसलिए वर्ग ([2,3)) है। / In such questions, check the end points carefully, so the class is ([2,3)).
(7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / When (7) is divided by (5), the remainder is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (7) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक वही होंगे जिनका शेष (2) हो। / So all integers related to (7) must have the same remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग सीमित नहीं होता जब मूल समुच्चय (Z) हो, इसलिए पूरी शेष श्रेणी लिखना सही है। / Since the base set is (Z), the equivalence class is not finite; write the complete residue class.
(-1) को (4) से भाग देने पर शेष को (3) के रूप में लिखा जाता है। / The remainder of (-1) modulo (4) is written as (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (-1) से सम्बन्धित सभी पूर्णांक (4) से भाग देने पर शेष (3) देंगे। / So all integers related to (-1) leave remainder (3) on division by (4).
Step 3
Exam Tip
ऋणात्मक संख्या आने पर भी शेष को (0,1,2,3) में लिखना परीक्षा में सुरक्षित तरीका है। / Even for negative numbers, write the remainder in (0,1,2,3) for exam clarity.
(-3) से सम्बन्धित वही संख्याएँ होंगी जिनका परम मान (3) है। / Numbers related to (-3) must have absolute value (3).
Step 2
Why this answer is correct
वास्तविक संख्याओं में (|x|=3) के हल (x=3) और (x=-3) हैं। / In real numbers, (|x|=3) gives (x=3) or (x=-3).
Step 3
Exam Tip
परम मान वाले सम्बन्धों में चिन्ह बदलने पर भी मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों संख्याएँ शामिल करें। / In absolute value relations, a sign change may still keep the value equal, so include both numbers.
({1,2}) में (2) अवयव हैं। / The set ({1,2}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
इसके तुल्यता वर्ग में (A) के वे सभी उपसमुच्चय होंगे जिनमें ठीक (2) अवयव हों। / Its equivalence class contains all subsets of (A) having exactly (2) elements.
Step 3
Exam Tip
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या \(\binom{4}{2}=6\) होती है, इसलिए गिनती में क्रम नहीं मानना चाहिए। / The number of such subsets is \(\binom{4}{2}=6\), so order should not be counted.
अब (A) में उन संख्याओं को देखें जिनका (6) के साथ महत्तम समापवर्तक (2) है; ये (2) और (4) हैं। / In (A), the numbers whose greatest common divisor with (6) is (2) are (2) and (4).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (4) का तुल्यता वर्ग ({2,4}) है और इसमें (2) अवयव हैं। / Hence the equivalence class of (4) is ({2,4}), so it has (2) elements.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और हर वर्ग एकल है/It is an equivalence relation and every class is singleton
Step 1
Concept
हर वास्तविक संख्या के लिए \(a^3=a^3\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every real number, \(a^3=a^3\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
घन की समानता उलटी दिशा में भी सही रहती है और समानता संक्रामक भी होती है। / Equality of cubes works in both directions and is transitive.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं में \(a^3=b^3\) से (a=b), इसलिए हर तुल्यता वर्ग में केवल वही संख्या आती है। / Over real numbers, \(a^3=b^3\) implies (a=b), so every equivalence class is singleton.
हर रेखा का ढाल स्वयं के ढाल के बराबर होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / Every line has the same slope as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहली रेखा का ढाल दूसरी के बराबर है, तो दूसरी का ढाल भी पहली के बराबर है। / If the slope of one line equals the slope of another, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समानता संक्रामक होती है, इसलिए समान ढाल वाला सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality is transitive, so the same-slope relation is an equivalence relation.
A. एक ही दिशा वाली सभी रेखाओं के समूह/Groups of all lines with the same direction
Step 1
Concept
रेखा की दिशा स्वयं के समान होती है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / A line has the same direction as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान दिशा का अर्थ दोनों ओर से समान है और यह गुण आगे भी बना रहता है। / Same direction is mutual and remains consistent through a third line.
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रत्येक तुल्यता वर्ग में समान दिशा वाली रेखाएँ आती हैं, बिंदु से गुजरना आवश्यक नहीं है। / Hence each equivalence class contains lines with one fixed direction, not necessarily lines through one point.
A. क्योंकि निर्धारक की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of determinant is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी भी आव्यूह का निर्धारक अपने ही निर्धारक के बराबर होता है। / The determinant of any matrix is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
निर्धारक बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Equality of determinants works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे के निर्धारक बराबर हैं तथा दूसरे और तीसरे के भी बराबर हैं, तो पहले और तीसरे के निर्धारक बराबर होंगे। / If the first and second determinants are equal, and the second and third are equal, then the first and third are equal too.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
(3) से भाग देने पर तीन तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Division by (3) creates three equivalence classes.
Step 2
Why this answer is correct
प्रत्येक वर्ग में (3) अवयव हैं, इसलिए हर वर्ग से \(3^2=9\) क्रमित युग्म मिलेंगे। / Each class has (3) elements, so each contributes \(3^2=9\) ordered pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (9+9+9=27) युग्म होंगे; अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते। / Total pairs are (9+9+9=27); pairs across different classes are not counted.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
हर फलन के लिए (f(1)=f(1)), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every function, (f(1)=f(1)), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (f(1)=g(1)), तो (g(1)=f(1)) भी सही है। / If (f(1)=g(1)), then (g(1)=f(1)) is also true.
Step 3
Exam Tip
यदि (f(1)=g(1)) और (g(1)=h(1)), तो (f(1)=h(1)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / If (f(1)=g(1)) and (g(1)=h(1)), then (f(1)=h(1)), so it is an equivalence relation.
A. हाँ, क्योंकि यह किसी फलन के समान मान पर आधारित है/Yes, because it is based on equal values of a function
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(\sin a=\sin a\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For every (a), \(\sin a=\sin a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो ज्या मान बराबर हैं, तो बराबरी उलटी दिशा में भी सही है। / If two sine values are equal, equality also holds in the reverse direction.
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान पर आधारित सम्बन्ध संक्रामक भी होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / A relation based on equal function values is transitive too, so it is an equivalence relation.
सम्बन्ध संख्याओं को सम और विषम दो प्रकारों में बाँटता है। / The relation separates numbers into two types: even and odd.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में विषम भाग ({1,3,5}) और सम भाग ({2,4}) बनते हैं। / In (A), the odd block is ({1,3,5}) and the even block is ({2,4}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध हमेशा समुच्चय का विभाजन बनाता है, इसलिए यहाँ (2) भाग हैं। / An equivalence relation always forms a partition, so there are (2) blocks here.
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है/It is an equivalence relation
Step 1
Concept
किसी भी पूर्णांक (a) के लिए (a+a=2a) सम होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / For any integer (a), (a+a=2a), which is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम होगा, इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
यदि (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है तथा (b) और (c) की भी समान है, तो (a) और (c) की भी समान होगी। / If (a) has the same parity as (b), and (b) has the same parity as (c), then (a) has the same parity as (c).
किसी भी बहुपद के लिए (p(0)=p(0)), इसलिए स्वतुल्यता पूरी होती है। / For any polynomial, (p(0)=p(0)), so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (p(0)=q(0)), तो (q(0)=p(0)) भी सही है। / If (p(0)=q(0)), then (q(0)=p(0)) also holds.
Step 3
Exam Tip
शून्य पर समान मान रखने की बात तीसरे बहुपद तक भी जाती है, इसलिए सम्बन्ध तुल्यता है। / Having the same value at zero passes through a third polynomial, so the relation is equivalence.
A. यह समान चिन्ह वाली संख्याओं को एक साथ रखता है/It groups numbers with the same sign
Step 1
Concept
\(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / \(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{a}{b}>0\) का अर्थ है कि (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए उल्टा अनुपात भी धनात्मक होगा। / \(\frac{a}{b}>0\) means (a) and (b) have the same sign, so the reverse ratio is also positive.
Step 3
Exam Tip
समान चिन्ह की बात संक्रामक है, इसलिए यह धनात्मक और ऋणात्मक दो तुल्यता वर्ग बनाता है। / Having the same sign is transitive, so it forms two equivalence classes: positive and negative.
A. क्योंकि ((2,3)) नहीं है जबकि ((2,1)) और ((1,3)) हैं/Because ((2,3)) is missing although ((2,1)) and ((1,3)) are present
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए सभी ((a,a)) मौजूद हैं। / All ((a,a)) pairs are present, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति भी दिए गए युग्मों में दिखाई देती है। / Symmetry is also visible from the given pairs.
Step 3
Exam Tip
पर ((2,1)) और ((1,3)) होने पर संक्रामकता के लिए ((2,3)) चाहिए, जो नहीं है; इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / But from ((2,1)) and ((1,3)), transitivity requires ((2,3)), which is missing; hence it is not an equivalence relation.
((1,1),(2,2),(3,3)) मौजूद हैं, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / ((1,1),(2,2),(3,3)) are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममिति भी पूरी है। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, so symmetry is satisfied.
Step 3
Exam Tip
({1,2}) अलग वर्ग है और ({3}) अलग वर्ग है; संक्रामकता नहीं टूटती, इसलिए कुछ जोड़ने की जरूरत नहीं है। / ({1,2}) is one class and ({3}) is another; transitivity is not broken, so no pair is needed.
तुल्यता सम्बन्ध में प्रत्येक भाग के भीतर सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं। / In an equivalence relation, all ordered pairs inside each block are included.
Step 2
Why this answer is correct
पहले भाग से \(2^2=4\) और दूसरे भाग से \(3^2=9\) युग्म मिलते हैं। / The first block gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(3^2=9\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+9=13) युग्म होंगे; पूरे समुच्चय के \(5^2\) युग्म तभी होंगे जब केवल एक वर्ग हो। / Total pairs are (4+9=13); \(5^2\) pairs would occur only if there were one class.
समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए कौन-से युग्म निश्चित रूप से चाहिए?
सम्बन्ध स्वतुल्य और सममित दिखता है, पर संक्रामकता जाँचनी है। / The relation is reflexive and appears symmetric, but transitivity must be checked.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए; ((3,2)) और ((2,1)) से ((3,1)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed; from ((3,2)) and ((2,1)), ((3,1)) is needed.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध में एक ही वर्ग के सभी अवयव आपस में जुड़े होते हैं। / In an equivalence relation, all elements of the same class must be mutually related.
(ab>0) का अर्थ है कि (a) और (b) दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हैं। / (ab>0) means (a) and (b) are either both positive or both negative.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सभी धनात्मक पूर्णांक एक वर्ग में और सभी ऋणात्मक पूर्णांक दूसरे वर्ग में आते हैं। / So all positive integers form one class and all negative integers form another.
Step 3
Exam Tip
शून्य को समुच्चय में नहीं लिया गया है, इसलिए अलग शून्य वर्ग नहीं बनेगा। / Zero is not included in the set, so no separate zero class is formed.
प्रत्येक भाग के भीतर सभी अवयव आपस में सम्बन्धित होंगे। / Inside each block, every element is related to every element of that block.
Step 2
Why this answer is correct
({1,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं, ({2}) से (1) और ({3}) से (1) युग्म मिलता है। / ({1,4}) gives \(2^2=4\) pairs, ({2}) gives (1), and ({3}) gives (1).
Step 3
Exam Tip
कुल युग्म (4+1+1=6) होंगे। / Total pairs are (4+1+1=6).
किसी भी वृत्त की त्रिज्या स्वयं के बराबर होती है। / The radius of any circle is equal to itself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले वृत्त की त्रिज्या दूसरे की त्रिज्या के बराबर है, तो उलटा भी सही है। / If the first circle has the same radius as the second, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान त्रिज्या की समानता संक्रामक है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality of radius is transitive, so this is an equivalence relation.
किसी तुल्यता वर्ग में यदि (n) अवयव हैं, तो उसके भीतर \(n^2\) क्रमित युग्म बनते हैं। / If an equivalence class has (n) elements, it contributes \(n^2\) ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ युग्मों की संख्या \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\) है। / Here the number of pairs is \(3^2+2^2+1^2=9+4+1\).
Step 3
Exam Tip
कुल (14) युग्म मिलते हैं; अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते। / Total pairs are (14); pairs between different classes are not included.
वर्गों को (3) से भाग देने पर शेष देखें। \(1^2,2^2,4^2\) का शेष (1) है। / Look at the remainders of squares on division by (3). The squares \(1^2,2^2,4^2\) leave remainder (1).
Step 2
Why this answer is correct
\(3^2\) का शेष (0) है, इसलिए (3) इस वर्ग में नहीं आएगा। / \(3^2\) leaves remainder (0), so (3) is not in this class.
Step 3
Exam Tip
समान वर्गीय शेष रखने वाली संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। / Numbers with the same square remainder belong to the same equivalence class.
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर ((a,b)) के साथ ((a,b)S(a,b)) होना चाहिए। / For reflexivity, every ((a,b)) must satisfy ((a,b)S(a,b)).
Step 2
Why this answer is correct
इसके लिए (a+a=b+b), अर्थात (a=b), जरूरी होगा। / This would require (a+a=b+b), meaning (a=b).
Step 3
Exam Tip
हर क्रमित युग्म में (a=b) नहीं होता, जैसे ((1,2)), इसलिए सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Not every ordered pair has (a=b), for example ((1,2)), so the relation is not equivalence.
A. हर वर्ग में वे संख्याएँ हैं जो किसी चुनी हुई संख्या से परिमेय अंतर रखती हैं/Each class contains numbers having rational difference from a chosen number
Step 1
Concept
(a-a=0) परिमेय है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
परिमेय अंतर का चिन्ह बदलने पर भी वह परिमेय ही रहता है। / Changing the sign of a rational difference keeps it rational.
Step 3
Exam Tip
चुनी हुई संख्या (a) का वर्ग \({x\in R:x-a\in Q}\) होता है; परीक्षा में वर्ग को इसी तरह समझें। / The class of a chosen number (a) is \({x\in R:x-a\in Q}\); this is the key exam idea.
\(12=2^2\cdot 3\), इसलिए इसके अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। / \(12=2^2\cdot 3\), so its set of prime factors is ({2,3}).
Step 2
Why this answer is correct
\(18=2\cdot 3^2\) में भी अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय ({2,3}) है। / \(18=2\cdot 3^2\) also has the prime factor set ({2,3}).
Step 3
Exam Tip
घातें अलग हो सकती हैं, पर इस सम्बन्ध में केवल अभाज्य गुणनखंडों का समुच्चय देखा जाता है। / Powers may differ, but this relation checks only the set of prime factors.
(3) से भाग देने पर समान शेष वाली संख्याएँ एक वर्ग में आएँगी। / Numbers with the same remainder on division by (3) belong to the same class.
Step 2
Why this answer is correct
शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3,6}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3,6}).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग आपस में अलग होते हैं और मिलकर पूरा समुच्चय बनाते हैं। / Equivalence classes are disjoint and together cover the whole set.
अंग्रेज़ी वर्णमाला के छोटे अक्षरों के समुच्चय पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों स्वर हों या दोनों व्यंजन हों। यह सम्बन्ध कितने तुल्यता वर्ग बनाता है?
सम्बन्ध अक्षरों को दो समूहों में बाँटता है: स्वर और व्यंजन। / The relation divides letters into two groups: vowels and consonants.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही समूह के अक्षर आपस में सम्बन्धित हैं और अलग समूह के अक्षर सम्बन्धित नहीं हैं। / Letters in the same group are related, while letters in different groups are not related.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ठीक (2) तुल्यता वर्ग बनते हैं; विकल्पों में (5) केवल स्वरों की संख्या है, वर्गों की संख्या नहीं। / Hence exactly (2) equivalence classes are formed; (5) is only the number of vowels, not the number of classes.
A. सभी अवयवों का एक ही तुल्यता वर्ग (A) है/All elements have the single equivalence class (A)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In \(A\times A\), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए कोई भी दो अवयव अलग वर्गों में नहीं रह सकते। / Therefore no two elements can lie in different classes.
Step 3
Exam Tip
यह सार्विक सम्बन्ध है और इसका एक ही तुल्यता वर्ग पूरा समुच्चय (A) होता है। / This is the universal relation, and its single equivalence class is the whole set (A).
((1,3)) और ((3,1)) बताते हैं कि (1) और (3) एक ही वर्ग में हैं। / ((1,3)) and ((3,1)) show that (1) and (3) are in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) केवल स्वयं से सम्बन्धित हैं, इसलिए वे अलग-अलग एकल वर्ग बनाते हैं। / (2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.
Step 3
Exam Tip
सम्बन्ध को विभाजन में बदलते समय जुड़े हुए अवयवों को एक ही डिब्बे में रखें। / To convert a relation into a partition, put mutually related elements in the same block.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर सम्बन्ध (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। (3) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
(3) स्वयं (3) का गुणज है। / (3) itself is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
इसके तुल्यता वर्ग में वही अवयव आएँगे जो (3) के गुणज हैं। / Its equivalence class contains exactly those elements that are multiples of (3).
Step 3
Exam Tip
दिए गए समुच्चय में (3) के गुणज (3) और (6) हैं, इसलिए वर्ग ({3,6}) है। / In the given set, the multiples of (3) are (3) and (6), so the class is ({3,6}).
A. यह तुल्यता सम्बन्ध है और (23) का वर्ग उन संख्याओं का है जिनका इकाई अंक (3) है/It is an equivalence relation and the class of (23) contains numbers with unit digit (3)
Step 1
Concept
हर संख्या का इकाई अंक स्वयं के इकाई अंक के समान होता है, इसलिए स्वतुल्य है। / Every number has the same unit digit as itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
समान इकाई अंक की बात उलटी दिशा में भी सही रहती है। / Having the same unit digit works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि दो संख्याएँ तीसरी के समान इकाई अंक रखती हैं, तो वे आपस में भी समान इकाई अंक रखेंगी। / If two numbers have the same unit digit as a third number, they also have the same unit digit as each other.
(x) तभी (1.7) से सम्बन्धित होगा जब (x-1.7) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to (1.7) only when (x-1.7) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसका अर्थ है (x=1.7+n), जहाँ \(n\in Z\)। / This means (x=1.7+n), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
केवल एक अंतराल लिखना गलत होगा, क्योंकि वर्ग में अलग-अलग पूर्णांक दूरी वाली संख्याएँ आती हैं। / Writing just one interval is wrong because the class contains numbers at integer distances.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (4) से भाग देने पर समान शेष मिलता है। (2) के तुल्यता वर्ग में कौन-कौन से अवयव होंगे?
(2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / Dividing (2) by (4) leaves remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में केवल (2) और (6) का शेष (2) है। / In the given set, only (2) and (6) leave remainder (2).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल समुच्चय से बाहर की संख्याएँ नहीं लिखनी चाहिए। / While writing an equivalence class, do not include numbers outside the given base set.
जिन अवयवों के लिए (\min(a,3)=3) होगा, वे (3,4,5) हैं। / The elements for which (\min(a,3)=3) are (3,4,5).
Step 3
Exam Tip
फलन के समान मान से बने सम्बन्ध में समान मान वाले सभी अवयव एक ही वर्ग में आते हैं। / In a relation made by equal function values, all elements with the same value lie in one class.
हर त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है, इसलिए सम्बन्ध स्वतुल्य है। / Every triangle is similar to itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला त्रिभुज दूसरे के समरूप है, तो दूसरा भी पहले के समरूप है। / If the first triangle is similar to the second, the second is similar to the first.
Step 3
Exam Tip
यदि पहला दूसरे के और दूसरा तीसरे के समरूप है, तो पहला तीसरे के समरूप होगा। / If the first is similar to the second and the second to the third, then the first is similar to the third.
तुल्यता वर्गों का मुख्य गुण है कि दो वर्ग या तो समान होते हैं या असंयुक्त। / The main property of equivalence classes is that two classes are either equal or disjoint.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ दिया है कि \([a]\neq[b]\), इसलिए समान होने की संभावना नहीं रही। / Here \([a]\neq[b]\), so they are not equal.
Step 3
Exam Tip
अतः दोनों वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Therefore their intersection must be empty.
तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयव एक ही वर्ग में होते हैं। / In an equivalence relation, related elements lie in the same class.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (aRb), तो जो भी (a) से सम्बन्धित है वह (b) से भी सम्बन्धित होगा। / If (aRb), anything related to (a) is also related to (b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए दोनों के तुल्यता वर्ग बराबर होते हैं; वे आंशिक रूप से नहीं बल्कि पूरी तरह समान होते हैं। / Therefore the equivalence classes are equal, not just partially overlapping.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेष मिले। इस सम्बन्ध में ((4,7)) के बारे में कौन-सा कथन सही है?
(4) को (2) से भाग देने पर शेष (0) है। / (4) leaves remainder (0) when divided by (2).
Step 2
Why this answer is correct
(7) को (2) से भाग देने पर शेष (1) है। / (7) leaves remainder (1) when divided by (2).
Step 3
Exam Tip
शेष अलग हैं, इसलिए (4) और (7) सम्बन्धित नहीं हैं और \((4,7)\notin R\) होगा। / The remainders are different, so (4) and (7) are not related and \((4,7)\notin R\).
तुल्यता वर्ग समुच्चय को अलग-अलग भागों में बाँटते हैं। / Equivalence classes divide the set into separate blocks.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दो वर्गों में कोई एक समान अवयव हो, तो वे दोनों वर्ग समान हो जाते हैं। / If two classes share even one element, the two classes become identical.
Step 3
Exam Tip
इसलिए अलग-अलग वर्गों में कोई साझा अवयव नहीं होता; यही विभाजन की मुख्य पहचान है। / Hence distinct equivalence classes are disjoint; this is the main idea of partition.
A. क्योंकि समान जन्मतिथि की बात स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because having the same date of birth is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
हर विद्यार्थी की जन्मतिथि स्वयं के समान होती है। / Every student has the same date of birth as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले की जन्मतिथि दूसरे जैसी है, तो दूसरे की भी पहले जैसी है। / If the first student has the same date as the second, the second has the same date as the first.
Step 3
Exam Tip
यदि दो विद्यार्थी तीसरे के साथ समान जन्मतिथि रखते हैं, तो वे आपस में भी समान जन्मतिथि रखेंगे। / If two students share the same date with a third student, they share it with each other too.
\(3^2-5^2=9-25=-16\), जो (8) से विभाज्य है। / \(3^2-5^2=9-25=-16\), which is divisible by (8).
Step 2
Why this answer is correct
बाकी विकल्पों में वर्गों का अंतर (8) से विभाज्य नहीं बनता। / In the other options, the difference of squares is not divisible by (8).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में सीधे वर्गों का अंतर निकालना तेज और सुरक्षित तरीका है। / In such questions, directly checking the difference of squares is quick and reliable.
(x) तभी \(\sqrt{2}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\sqrt{2}\) परिमेय हो। / A number (x) is related to \(\sqrt{2}\) when \(x-\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\sqrt{2}+q\), जहाँ \(q\in Q\)। / So \(x=\sqrt{2}+q\), where \(q\in Q\).
Step 3
Exam Tip
परिमेय अंतर वाले वर्गों में अनन्त संख्याएँ होती हैं, केवल एक संख्या नहीं। / Classes based on rational difference contain infinitely many numbers, not just one number.
विषम वर्ग ({1,3,5}) में (3) अवयव हैं और सम वर्ग ({2,4}) में (2) अवयव हैं। / The odd class ({1,3,5}) has (3) elements and the even class ({2,4}) has (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
क्रमित युग्मों की संख्या \(3^2+2^2=9+4\) होगी। / The number of ordered pairs is \(3^2+2^2=9+4\).
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं गिने जाते, इसलिए कुल (13) है। / Pairs between different classes are not counted, so the total is (13).
जिन वास्तविक संख्याओं का वर्ग (25) है, वे (-5) और (5) हैं। / The real numbers whose square is (25) are (-5) and (5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग वाली समानता में चिन्ह बदल सकता है, इसलिए दोनों संख्याओं को शामिल करना चाहिए। / In equality of squares, the sign may change, so both numbers must be included.
\(\frac{a}{a}=1\), जो परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{a}{a}=1\), which is rational, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\frac{a}{b}\) परिमेय और अशून्य है, तो \(\frac{b}{a}\) भी परिमेय है। / If \(\frac{a}{b}\) is rational and non-zero, then \(\frac{b}{a}\) is also rational.
Step 3
Exam Tip
दो परिमेय अनुपातों का गुणनफल परिमेय होता है, इसलिए संक्रामकता भी मिलती है। / The product of two rational ratios is rational, so transitivity also holds.
((2,5)) के लिए योग (2+5=7) है। / For ((2,5)), the sum is (2+5=7).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी युग्मों का योग भी (7) होना चाहिए। / Every pair related to it must also have sum (7).
Step 3
Exam Tip
ऐसे सम्बन्धों में तुल्यता वर्ग एक नियत मान वाली रेखा या वक्र के रूप में मिल सकता है। / In such relations, an equivalence class may appear as a set of points satisfying a fixed value condition.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) दिया है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
(1) का (2) से और (2) का (3) से सम्बन्ध है। / (1) is related to (2), and (2) is related to (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए (1) का (3) से सम्बन्ध चाहिए, और सममिति के लिए उलटा युग्म भी चाहिए। / Transitivity requires (1) to be related to (3), and symmetry requires the reverse pair too.
Step 3
Exam Tip
(4) केवल स्वयं से जुड़ा है, इसलिए (4) से जुड़े नए युग्म जरूरी नहीं हैं। / (4) is only related to itself, so no new pair involving (4) is needed.
किसी समुच्चय पर तुल्यता सम्बन्धों की संख्या उसके विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations on a set equals the number of partitions of that set.
Step 2
Why this answer is correct
(4) अवयवों वाले समुच्चय के विभाजनों की संख्या (15) होती है। / A set with (4) elements has (15) partitions.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में तुल्यता सम्बन्ध और विभाजन के बीच सीधा संबंध याद रखें। / In exams, remember the direct link between equivalence relations and partitions.
A. क्योंकि अनुरेख की समानता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है/Because equality of trace is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
किसी आव्यूह का अनुरेख अपने ही अनुरेख के बराबर है। / The trace of a matrix is equal to its own trace.
Step 2
Why this answer is correct
अनुरेख बराबर होने की बात दोनों दिशाओं में ठीक रहती है। / Equality of trace works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि दो-दो आव्यूहों के अनुरेख बराबर हों, तो पहले और तीसरे का अनुरेख भी बराबर होगा। / If the traces are equal pairwise through a middle matrix, then the first and third traces are also equal.
A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपद/All non-zero polynomials of degree (2)
Step 1
Concept
\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इस सम्बन्ध में दो बहुपद तभी सम्बन्धित हैं जब उनकी घात समान हो। / In this relation, two polynomials are related exactly when their degrees are equal.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग में घात (2) वाले सभी अशून्य बहुपद आएँगे, केवल वही बहुपद नहीं। / So the class contains all non-zero polynomials of degree (2), not only the given polynomial.
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर (a) के लिए (\gcd(a,a)>1) चाहिए। / Reflexivity requires (\gcd(a,a)>1) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1) लेने पर (\gcd(1,1)=1), जो (1) से बड़ा नहीं है। / For (a=1), (\gcd(1,1)=1), which is not greater than (1).
Step 3
Exam Tip
एक भी अवयव पर स्वतुल्यता टूटे तो सम्बन्ध तुल्यता सम्बन्ध नहीं हो सकता। / If reflexivity fails for even one element, the relation cannot be an equivalence relation.
A. नहीं, यह संक्रामक नहीं है/No, it is not transitive
Step 1
Concept
यह सम्बन्ध स्वतुल्य है क्योंकि (|a-a|=0<1)। / The relation is reflexive because (|a-a|=0<1).
Step 2
Why this answer is correct
यह सममित भी है क्योंकि दूरी दोनों दिशाओं में समान रहती है। / It is also symmetric because distance is the same in both directions.
Step 3
Exam Tip
पर (0R0.6) और (0.6R1.2) हैं, जबकि (0R1.2) नहीं है, इसलिए संक्रामकता टूटती है। / But (0R0.6) and (0.6R1.2), while (0R1.2) is false, so transitivity fails.
हर समीकरण अपनी ही रेखा दर्शाता है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every equation represents the same line as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला समीकरण दूसरी वाली ही रेखा दर्शाता है, तो दूसरा भी पहली वाली ही रेखा दर्शाता है। / If the first equation represents the same line as the second, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान रेखा दर्शाने की बात संक्रामक है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Representing the same line is transitive, so this is an equivalence relation.
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर (a) के लिए (\max(a,a)) सम होना चाहिए। / For reflexivity, (\max(a,a)) must be even for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=1) लेने पर (\max(1,1)=1), जो सम नहीं है। / For (a=1), (\max(1,1)=1), which is not even.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Therefore not every element is related to itself, so the relation is not equivalence.
\(\cos 2\pi=1\), इसलिए \(2\pi\) का कोज्या मान भी (0) जैसा है। / \(\cos 2\pi=1\), so \(2\pi\) has the same cosine value as (0).
Step 3
Exam Tip
समान फलन मान वाले सम्बन्ध में समान मान वाली सभी संख्याएँ एक ही वर्ग में आती हैं। / In a relation based on equal function value, all numbers with the same value lie in the same class.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) एक ही प्रकार के हों: दोनों (4) से छोटे या दोनों (4) से बड़े या बराबर। कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
A. सार्विक तुल्यता सम्बन्ध/Universal equivalence relation
Step 1
Concept
दिए गए (R) में (A) के हर अवयव का हर अवयव से सम्बन्ध है। / In the given (R), every element of (A) is related to every element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यह \(A\times A\) के बराबर है। / It is equal to \(A\times A\).
Step 3
Exam Tip
सार्विक सम्बन्ध स्वतुल्य, सममित और संक्रामक होता है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / The universal relation is reflexive, symmetric, and transitive, so it is an equivalence relation.
A. क्योंकि ((3,1)) नहीं है/Because ((3,1)) is missing
Step 1
Concept
((1,3)) सम्बन्ध में है। / ((1,3)) belongs to the relation.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति के लिए ((3,1)) भी होना चाहिए। / For symmetry, ((3,1)) must also belong to it.
Step 3
Exam Tip
((3,1)) न होने से सममिति टूट जाती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Since ((3,1)) is missing, symmetry fails and the relation is not an equivalence relation.
(3.25-0.25=3), जो पूर्णांक है। / (3.25-0.25=3), which is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों संख्याएँ एक ही तुल्यता वर्ग में आती हैं। / Therefore both numbers lie in the same equivalence class.
Step 3
Exam Tip
दशमलव भाग समान हो तो पूर्णांक अंतर वाला सम्बन्ध जल्दी पहचाना जा सकता है। / If the decimal part is the same, a relation based on integer difference can be identified quickly.
हर आयत का क्षेत्रफल स्वयं के क्षेत्रफल के बराबर होता है। / Every rectangle has the same area as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान क्षेत्रफल की बात दोनों दिशाओं में सही रहती है। / Having equal area works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे का क्षेत्रफल समान है और दूसरे और तीसरे का भी समान है, तो पहले और तीसरे का क्षेत्रफल समान होगा। / If the first and second have equal area, and the second and third have equal area, then the first and third have equal area.
A. \(R\cap S\) हमेशा तुल्यता सम्बन्ध होगा/\(R\cap S\) is always an equivalence relation
Step 1
Concept
दोनों सम्बन्ध स्वतुल्य हैं, इसलिए सभी ((a,a)) दोनों में होंगे और प्रतिच्छेद में भी होंगे। / Both relations are reflexive, so every ((a,a)) lies in both and also in the intersection.
Step 2
Why this answer is correct
सममिति दोनों में होने से प्रतिच्छेद में भी रहती है। / Symmetry is preserved in the intersection.
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता भी दोनों सम्बन्धों में साथ-साथ लागू होती है, इसलिए \(R\cap S\) तुल्यता सम्बन्ध होगा। / Transitivity also works because it holds in both relations, so \(R\cap S\) is an equivalence relation.
A. यह हमेशा तुल्यता सम्बन्ध नहीं होता/It is not always an equivalence relation
Step 1
Concept
संघ में स्वतुल्यता और सममिति अक्सर बच सकती हैं। / Reflexivity and symmetry may often remain in the union.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन संक्रामकता टूट सकती है, क्योंकि एक युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / But transitivity can fail because one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup S\) को बिना जाँच तुल्यता सम्बन्ध नहीं माना जाता। / Therefore \(R\cup S\) is not assumed to be an equivalence relation without checking.
(29) के अंकों का योग (2+9=11) है। / The sum of digits of (29) is (2+9=11).
Step 2
Why this answer is correct
(56) के अंकों का योग (5+6=11) है। / The sum of digits of (56) is (5+6=11).
Step 3
Exam Tip
सम्बन्ध अंकों के योग पर आधारित है, इसलिए (56) उसी तुल्यता वर्ग में आएगा। / Since the relation is based on digit sum, (56) lies in the same equivalence class.
सभी वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\tan a=\tan b\), जहाँ \(\tan a\) और \(\tan b\) परिभाषित हैं। (0) के तुल्यता वर्ग में निम्न में से कौन-सी संख्या होगी?
\(\tan \pi=0\), इसलिए \(\pi\) भी (0) के समान स्पर्शज्या मान देता है। / \(\tan \pi=0\), so \(\pi\) has the same tangent value as (0).
Step 3
Exam Tip
पर \(\frac{\pi}{2}\) पर स्पर्शज्या परिभाषित नहीं है, इसलिए सावधानी रखें। / But tangent is undefined at \(\frac{\pi}{2}\), so the domain must be checked carefully.
A. नहीं, यह संक्रामक नहीं है/No, it is not transitive
Step 1
Concept
(a=b) के कारण स्वतुल्यता पूरी हो जाती है। / The condition (a=b) gives reflexivity.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b=6) वाली शर्त सममित है। / The condition (a+b=6) is symmetric.
Step 3
Exam Tip
लेकिन (1R5) और (5R1) हैं, पर (1R1) तो है; बेहतर जाँच में (2R4) और (4R2) भी है। फिर भी वर्ग ({1,5}), ({2,4}), ({3}) बनते हैं, इसलिए यह वास्तव में तुल्यता है। / The relation creates the blocks ({1,5}), ({2,4}), and ({3}), so it is actually an equivalence relation.
A. सभी धनात्मक पूर्णांक जिनका अंतिम अंक (2) है/All positive integers with last digit (2)
Step 1
Concept
(102) का अंतिम अंक (2) है। / The last digit of (102) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सम्बन्ध अंतिम अंक की समानता पर आधारित है। / The relation is based on equality of last digit.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इसका वर्ग (2) अंतिम अंक वाली सभी धनात्मक पूर्णांकों से बनेगा, केवल सम संख्याओं से नहीं। / So its class consists of all positive integers with last digit (2), not merely all even numbers.
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
(|a|+|b|=0) तभी होता है जब (a=0) और (b=0)। / (|a|+|b|=0) happens only when (a=0) and (b=0).
Step 2
Why this answer is correct
(1R1) के लिए (|1|+|1|=2), इसलिए (1R1) नहीं है। / For (1R1), (|1|+|1|=2), so (1R1) is false.
Step 3
Exam Tip
सभी वास्तविक संख्याओं पर स्वतुल्यता न मिलने से यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Since reflexivity fails on all real numbers, it is not an equivalence relation.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{b}{3}\right\rfloor\)। (8) का तुल्यता वर्ग कौन-सा है?
दिए गए समुच्चय में (6,7,8) के लिए \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\) मिलता है। / In the given set, (6,7,8) have \(\left\lfloor\frac{a}{3}\right\rfloor=2\).
Step 3
Exam Tip
(9) के लिए मान (3) है, इसलिए (9) इस वर्ग में नहीं आएगा। / For (9), the value is (3), so (9) is not in this class.
(5) को (6) से भाग देने पर शेष (5) है। / (5) leaves remainder (5) on division by (6).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए समुच्चय में (11) भी (6) से भाग देने पर शेष (5) देता है। / In the given set, (11) also leaves remainder (5) on division by (6).
Step 3
Exam Tip
तुल्यता वर्ग लिखते समय केवल समान शेष वाले और मूल समुच्चय के अवयव ही रखें। / While writing an equivalence class, include only elements from the base set with the same remainder.
(x) तभी \(\frac{3}{4}\) से सम्बन्धित होगा जब \(x-\frac{3}{4}\) पूर्णांक हो। / A number (x) is related to \(\frac{3}{4}\) only when \(x-\frac{3}{4}\) is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(x=\frac{3}{4}+n\), जहाँ \(n\in Z\)। / Thus \(x=\frac{3}{4}+n\), where \(n\in Z\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे वर्ग में समान भिन्नांश भाग वाली संख्याएँ आती हैं, पूरा अंतराल नहीं। / This class contains numbers with the same fractional part, not a full interval.
\(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), इसलिए पूर्णांक भाग (2) है। / \(2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{2}\), so the floor value is (2).
Step 2
Why this answer is correct
\(\lfloor 2x\rfloor=2\) के लिए \(2\le 2x<3\) होगा। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).
Step 3
Exam Tip
इससे \(\frac{5}{4}\le x<\frac{3}{2}\) नहीं, बल्कि \(1\le x<\frac{3}{2}\) मिलता है; इसलिए सही वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Hence \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the correct class is \([1,\frac{3}{2}\)).
\(\lfloor 2x\rfloor=2\) का अर्थ \(2\le 2x<3\) है। / \(\lfloor 2x\rfloor=2\) means \(2\le 2x<3\).
Step 3
Exam Tip
दोनों तरफ (2) से भाग देने पर \(1\le x<\frac{3}{2}\), इसलिए वर्ग \([1,\frac{3}{2}\)) है। / Dividing by (2) gives \(1\le x<\frac{3}{2}\), so the class is \([1,\frac{3}{2}\)).
सभी \(3\times 3\) वास्तविक आव्यूहों पर (A RB) तब और केवल तब जब (\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B))। इस सम्बन्ध से कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?
वास्तविक संख्याओं में \(x^4=16\) के हल (x=2) और (x=-2) हैं। / Over real numbers, \(x^4=16\) gives (x=2) and (x=-2).
Step 3
Exam Tip
सम घात में चिन्ह बदलने पर मान समान रह सकता है, इसलिए दोनों अवयव वर्ग में होंगे। / With an even power, the sign can change while the value remains the same, so both elements are included.
(2+3i) का वास्तविक भाग (2) है। / The real part of (2+3i) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी जटिल संख्याओं का वास्तविक भाग (2) होना चाहिए। / All complex numbers related to it must have real part (2).
Step 3
Exam Tip
काल्पनिक भाग कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग \({2+yi:y\in R}\) है। / The imaginary part can be any real number, so the class is \({2+yi:y\in R}\).
\(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), इसलिए (6) भी उसी वर्ग में है। / \(\lceil \frac{6}{2}\rceil=3\), so (6) is in the same class.
Step 3
Exam Tip
छत फलन वाले प्रश्नों में अगला पूरा मान कब आता है, यह ध्यान से देखें। / In ceiling function questions, carefully check where the next integer value begins.
सम्बन्ध के लिए दोनों संख्याओं का अंतर परिमेय होना चाहिए। / For the relation, the difference of the two numbers must be rational.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है, इसलिए यह युग्म सम्बन्ध में नहीं है। / \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\) is not rational, so this pair is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
बाकी विकल्पों में अंतर परिमेय है, इसलिए वे सम्बन्ध में आते हैं। / In the other options, the difference is rational, so they are in the relation.
एक ही भाग के अवयव आपस में सम्बन्धित होते हैं। / Elements in the same block are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(a) और (b) अलग-अलग भागों में हैं, इसलिए ((a,b)) सम्बन्ध में नहीं होगा। / (a) and (b) are in different blocks, so ((a,b)) is not in the relation.
Step 3
Exam Tip
वर्ग के भीतर दिशा बदलने पर भी युग्म शामिल रहता है, इसलिए बाकी युग्म सही हैं। / Within a class, ordered pairs in both directions are included, so the other pairs are valid.
A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है/Because it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए हर (a) पर (a+a) अभाज्य होना चाहिए। / Reflexivity would require (a+a) to be prime for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=2) लेने पर (2+2=4), जो अभाज्य नहीं है। / For (a=2), (2+2=4), which is not prime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सम्बन्ध सभी अवयवों पर स्वतुल्य नहीं है और तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Therefore the relation is not reflexive on all elements and cannot be equivalence.
(|a-b|) का (3) से विभाज्य होना समान शेष की बात है। / (|a-b|) being divisible by (3) means the numbers have the same remainder modulo (3).
Step 2
Why this answer is correct
शेष (1) वाला वर्ग ({1,4}), शेष (2) वाला ({2,5}), और शेष (0) वाला ({3}) है। / Remainder (1) gives ({1,4}), remainder (2) gives ({2,5}), and remainder (0) gives ({3}).
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग बनाते हैं। / Elements with the same remainder form one equivalence class.
A. वे संख्याएँ जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है/Numbers whose greatest prime factor is (3)
Step 1
Concept
\(18=2\cdot 3^2\), इसलिए इसका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है। / \(18=2\cdot 3^2\), so its greatest prime factor is (3).
Step 2
Why this answer is correct
सम्बन्ध केवल सबसे बड़े अभाज्य गुणनखंड को देखता है। / The relation checks only the greatest prime factor.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का होगा जिनका सबसे बड़ा अभाज्य गुणनखंड (3) है। / Therefore the class contains all natural numbers whose greatest prime factor is (3).
उससे सम्बन्धित हर युग्म में पहला घटक घटा दूसरा घटक (3) होना चाहिए। / Every pair related to it must have first component minus second component equal to (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए तुल्यता वर्ग ({(x,y):x-y=3}) है। / Hence the equivalence class is ({(x,y):x-y=3}).
((3,-2)) का (x)-निर्देशांक (3) है। / The (x)-coordinate of ((3,-2)) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
उसी वर्ग के सभी बिंदुओं का (x)-निर्देशांक (3) होगा। / All points in the same class must have (x)-coordinate (3).
Step 3
Exam Tip
(y)-निर्देशांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए वर्ग ऊर्ध्वाधर रेखा है। / The (y)-coordinate can be any real number, so the class is a vertical line.
A. मूल बिंदु से दूरी (10) वाला वृत्त/Circle at distance (10) from the origin
Step 1
Concept
((6,8)) की मूल बिंदु से दूरी \(\sqrt{6^2+8^2}=10\) है। / The distance of ((6,8)) from the origin is \(\sqrt{6^2+8^2}=10\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे सम्बन्धित सभी बिंदुओं की दूरी भी (10) होगी। / All points related to it must also have distance (10).
Step 3
Exam Tip
समान दूरी वाले सभी बिंदु मूल बिंदु केंद्र वाला वृत्त बनाते हैं। / All points at the same distance from the origin form a circle centered at the origin.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है। इसे तुल्यता सम्बन्ध बनाने के लिए न्यूनतम कौन-से युग्म जोड़ने होंगे?
(a) हमेशा अपने वर्ग ([a]) में होता है। / (a) always belongs to its own class ([a]).
Step 2
Why this answer is correct
\([a]\subseteq[b]\) होने से \(a\in[b]\), इसलिए (a) और (b) सम्बन्धित हैं। / Since \([a]\subseteq[b]\), we get \(a\in[b]\), so (a) and (b) are related.
Step 3
Exam Tip
तुल्यता सम्बन्ध में सम्बन्धित अवयवों के वर्ग समान होते हैं, अतः ([a]=[b])। / In an equivalence relation, related elements have equal classes, hence ([a]=[b]).
A. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं है/Because it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) पर चाहिए। / Reflexivity requires (aRa) for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a-a=0), और (0) परिमेय है, अपरिमेय नहीं। / (a-a=0), and (0) is rational, not irrational.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोई भी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं है और यह तुल्यता सम्बन्ध नहीं है। / Hence no element is related to itself, so this is not an equivalence relation.
हर त्रिभुज का परिमाप स्वयं के परिमाप के बराबर होता है। / Every triangle has the same perimeter as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान परिमाप की बात दोनों दिशाओं में समान रहती है। / Equality of perimeter works in both directions.
Step 3
Exam Tip
यदि पहले और दूसरे का परिमाप बराबर है तथा दूसरे और तीसरे का भी बराबर है, तो पहले और तीसरे का परिमाप बराबर होगा। / If the first and second perimeters are equal and the second and third are equal, then the first and third are equal too.
A. एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्तों के समूह/Groups of all circles with one fixed centre
Step 1
Concept
हर वृत्त का केंद्र स्वयं के केंद्र जैसा होता है। / Every circle has the same centre as itself.
Step 2
Why this answer is correct
समान केंद्र की बात सममित और संक्रामक भी है। / Having the same centre is symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए हर वर्ग में किसी एक नियत केंद्र वाले सभी वृत्त आएँगे, त्रिज्या अलग हो सकती है। / Hence each class contains all circles with one fixed centre, while radii may differ.
A. क्योंकि यह संक्रामक नहीं है/Because it is not transitive
Step 1
Concept
यदि दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं, तो उलटी दिशा में भी यही बात सही है। / If two lines intersect, the statement is also true in the reverse direction.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (l) और (m) प्रतिच्छेद करें तथा (m) और (n) प्रतिच्छेद करें, तो जरूरी नहीं कि (l) और (n) भी प्रतिच्छेद करें। / But if (l) intersects (m) and (m) intersects (n), it is not necessary that (l) intersects (n).
Step 3
Exam Tip
संक्रामकता टूटने पर तुल्यता सम्बन्ध नहीं बनता। / Failure of transitivity prevents it from being an equivalence relation.
किसी व्यक्ति की ऊँचाई स्वयं की ऊँचाई के बराबर होती है। / A person's height is equal to his or her own height.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहले की ऊँचाई दूसरे के बराबर है, तो दूसरे की भी पहले के बराबर है। / If the first person's height equals the second's, the reverse is also true.
Step 3
Exam Tip
समान ऊँचाई की समानता तीसरे व्यक्ति तक भी चलती है, इसलिए यह तुल्यता सम्बन्ध है। / Equality of height also transfers through a third person, so this is an equivalence relation.
A. प्रत्येक कक्षा के विद्यार्थियों के समूह/Groups of students of each class
Step 1
Concept
हर विद्यार्थी अपनी कक्षा में स्वयं के साथ है। / Every student is in the same class as himself or herself.
Step 2
Why this answer is correct
एक ही कक्षा में होना दोनों दिशाओं में और तीसरे विद्यार्थी के साथ भी सही रहता है। / Being in the same class works both ways and also through a third student.
Step 3
Exam Tip
इसलिए तुल्यता वर्ग वास्तविक कक्षाओं के विद्यार्थी समूह होंगे। / Therefore the equivalence classes are the groups of students in each actual class.
समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। इस सम्बन्ध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
A. नहीं, यह स्वतुल्य नहीं है/No, it is not reflexive
Step 1
Concept
स्वतुल्यता के लिए (\min(a,a)=a) हर (a) पर विषम होना चाहिए। / Reflexivity would require (\min(a,a)=a) to be odd for every (a).
Step 2
Why this answer is correct
(a=2) लेने पर (\min(2,2)=2), जो विषम नहीं है। / For (a=2), (\min(2,2)=2), which is not odd.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सभी अवयव स्वयं से सम्बन्धित नहीं हैं और सम्बन्ध तुल्यता नहीं है। / Hence not all elements are related to themselves, so it is not an equivalence relation.
सभी धनात्मक पूर्णांकों पर (aRb) तब और केवल तब जब (a) और (b) में (2) की घात समान हो, अर्थात \(a=2^k m\) और \(b=2^k n\), जहाँ (m,n) विषम हैं। (12) का तुल्यता वर्ग किससे बनेगा?
