Topic Quiz • 140 questions • 25 seconds per question.
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For which (k) will \(x^k+2x-5\) be a polynomial in (x)?
C. (k=4)
बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। (k=4) ही दी गई शर्त पूरी करता है। / In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer. Only (k=4) satisfies the condition.
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A. (3)
ठीक द्विघात के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k-3=0) से (k=3) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k-3=0), we get (k=3).
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If (a=0) in (p(x)=ax-5+3x-2-7), what will be the degree of (p(x))?
B. 2
जब \(a=0\) होता है, तब \(ax^5=0\) हो जाता है। इसलिए बहुपद \(p(x)=3x^2-7\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, अतः बहुपद की घात 2 है। घात 5 केवल तब होती जब \(x^5\) का गुणांक शून्य न होता। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटा दें। / When \(a=0\), the term \(ax^5\) becomes 0. Thus, \(p(x)=3x^2-7\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 2, so its degree is 2. Degree 5 would apply only if the coefficient of \(x^5\) were non-zero. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
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In which option is the expression not a polynomial although all coefficients are real?
D. \(6x^{-2}+8\)
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(x^{-2}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. Because of the negative power \(x^{-2}\), it is not a polynomial.
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If (q(x)=0x-7-5x-4+2x-1), what is the degree of (q(x))?
C. 4
बहुपद की घात उसके किसी भी अशून्य गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ 0x-7 का गुणांक 0 है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। शेष पदों में -5x-4 की घात सबसे अधिक 4 है, अतः सही उत्तर 4 है। 7 सबसे निकट का भ्रामक विकल्प है, लेकिन शून्य गुणांक वाले पद को नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent among terms with non-zero coefficients. Here, the coefficient of 0x-7 is 0, so this term does not contribute to the degree. Among the remaining terms, -5x-4 has the greatest exponent, 4. Hence, the correct answer is 4. Option 7 is a close distractor, but a term with zero coefficient is not counted. Exam tip: First ignore all terms whose coefficients are zero before finding the degree.
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For which (n) will \(4x^n+3x^2-1\) not be a polynomial?
D. \(n=-2\)
बहुपद में चर की घातें केवल अशून्य पूर्णांक हो सकती हैं। \(n=-2\) रखने पर व्यंजक में \(4x^{-2}=\frac{4}{x^2}\) पद आएगा, जिसमें \(x\) हर में है; इसलिए यह बहुपद नहीं है। इसके विपरीत \(n=0\) पर \(4x^0=4\) एक अचर पद बनता है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद में ऋणात्मक या भिन्नात्मक घात दिखते ही उसे बहुपद न मानें। / In a polynomial, the exponents of the variable must be non-negative integers. For \(n=-2\), the expression contains \(4x^{-2}=\frac{4}{x^2}\), so the variable occurs in the denominator; hence it is not a polynomial. In contrast, when \(n=0\), \(4x^0=4\) is a constant term, so the expression remains a polynomial. Exam tip: a negative or fractional exponent means the expression is not a polynomial.
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Which expression is a polynomial in (t) and has degree (0)?
B. 13
13 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, क्योंकि इसमें t का कोई पद नहीं है। प्रत्येक अशून्य स्थिर बहुपद की घात 0 होती है। 0 को शून्य बहुपद कहते हैं और उसकी घात सामान्यतः परिभाषित नहीं मानी जाती, इसलिए वह सही विकल्प नहीं है। t+13 तथा t-0+t = 1+t दोनों की घात 1 है। परीक्षा-युक्ति: स्थिर और अशून्य संख्या वाले बहुपद की घात हमेशा 0 होती है। / 13 is a non-zero constant polynomial because it has no term involving t. Every non-zero constant polynomial has degree 0. The zero polynomial 0 is usually treated as having an undefined degree, so it is not the correct choice. Both t+13 and t-0+t = 1+t have degree 1. Exam tip: the degree of a non-zero constant polynomial is always 0.
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Why is \(x^2+\sqrt{x^2}+1\) not treated as a polynomial under the usual class (9) definition?
B. क्योंकि चर मूल के अंदर हैBecause the variable is under a root
कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो घात पूर्णांक रूप में मान्य नहीं मानी जाती। इसलिए इसे बहुपद नहीं माना जाता। / In class (9), when the variable is under a root, the power is not treated as a valid integer power. So it is not considered a polynomial.
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Which expression is a polynomial in (x), but both \(x^3\) and (x) terms are absent?
A. \(x^4+5x^2-6\)
\(x^4+5x^2-6\) एक बहुपद है क्योंकि इसमें \(x\) की घातें \(4, 2\) और \(0\) हैं, जो सभी अशून्य पूर्णांक हैं। इसमें \(x^3\) और \(x\) के पद नहीं हैं, फिर भी किसी बहुपद में प्रत्येक घात का पद होना आवश्यक नहीं होता। विकल्प B में \(x^3\) पद है, विकल्प C में \(x\) पद है, जबकि विकल्प D में ऋणात्मक घात होने के कारण वह बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की सभी घातें अशून्य पूर्णांक होनी चाहिए। / \(x^4+5x^2-6\) is a polynomial because the powers of \(x\) present are \(4, 2\), and \(0\), all of which are non-negative integers. It has no \(x^3\) or \(x\) term; a polynomial does not need to include every intermediate power. Option B contains an \(x^3\) term, option C contains an \(x\) term, and option D is not a polynomial because it has a negative exponent. Exam tip: in a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer.
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Which statement is correct for the zero polynomial?
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होतीIts degree is not defined
शून्य बहुपद (0) होता है, लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। शून्य और अशून्य स्थिर बहुपद में अंतर रखें। / The zero polynomial is (0), but its degree is not defined. Keep zero and non-zero constant polynomials separate.
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If (a=2) in (p(x)=(a-2)x-4+5x-2-3), what will be the degree of (p(x))?
C. 2
जब \(a=2\) रखा जाता है, तब \(x^4\) का गुणांक \(a-2=0\) हो जाता है। अतः \(x^4\) वाला पद समाप्त हो जाता है और बहुपद \(5x^2-3\) बचता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है, इसलिए बहुपद की घात 2 है। विकल्प 4 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य होने पर \(x^4\) पद नहीं माना जाता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हमेशा हटा दें। / On substituting \(a=2\), the coefficient of \(x^4\) becomes \(a-2=0\). Hence, the \(x^4\) term vanishes and the polynomial becomes \(5x^2-3\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 2, so its degree is 2. Option 4 is incorrect because a term with zero coefficient is not counted. Exam tip: Always simplify a polynomial and remove zero-coefficient terms before finding its degree.
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Which option gives both the correct identification and degree of the polynomial?
C. \(3x^5-2x^2+7\), बहुपद, घात (5)\(3x^5-2x^2+7\), polynomial, degree (5)
\(3x^5-2x^2+7\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(3x^5-2x^2+7\), all powers are valid and the highest power is (5). The other options have invalid powers.
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Which expression is not a polynomial because the variable is hidden in the denominator?
B. \(\frac{x^2+4}{x}\)
\(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) में \(\frac{4}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) contains \(\frac{4}{x}\), whose power is (-1). Hence it is not a polynomial.
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What is the correct identification of \(2x^6-4x^4+x^2-9\)?
B. घात (6) का चार-पदी बहुपदFour-term polynomial of degree (6)
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। इसलिए यह घात (6) का चार-पदी बहुपद है। / It has four terms and the highest power is (6). Therefore, it is a four-term polynomial of degree (6).
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Which expression is a polynomial in (x), if (a) and (b) are constants?
A. \(ax^3+bx+9\)
विकल्प A में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए \(ax^3+bx+9\), \(x\) में बहुपद है। विकल्प B में \(x^{-1}\) की ऋणात्मक घात है। विकल्प C में \(\frac{a}{x^2}=ax^{-2}\) है, इसलिए इसमें भी ऋणात्मक घात है। विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात \(0,1,2,3,\ldots\) में से होनी चाहिए। / In option A, the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so \(ax^3+bx+9\) is a polynomial in \(x\). Option B contains the negative exponent \(x^{-1}\). In option C, \(\frac{a}{x^2}=ax^{-2}\), which also has a negative exponent. Option D contains \(\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}\), a fractional exponent. Exam tip: every exponent of the variable in a polynomial must be one of \(0,1,2,3,\ldots\).
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If the degree of (r(x)=kx-3+2x-2+1) is (2), what is correct about (k)?
C. k=0
बहुपद की घात उसके उस उच्चतम घातांक वाले पद से निर्धारित होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ यदि k शून्य के अलावा कोई अन्य मान हो, तो kx³ पद उपस्थित रहेगा और बहुपद की घात 3 होगी। घात 2 बनाने के लिए x³ वाला पद समाप्त होना चाहिए, इसलिए k=0 है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात वाले पद के गुणांक को पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is determined by the highest-power term whose coefficient is non-zero. Here, if k has any non-zero value, the term kx³ remains and the polynomial has degree 3. To make the degree 2, the x³ term must vanish; hence k=0. Exam tip: In parameter-based polynomials, check the coefficient of the highest-power term first.
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Which expression is not a polynomial because its power is not an integer?
C. (x^{52}+3x)
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
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Which expression is a polynomial with only odd powers along with a constant term?
A. \(x^5-2x^3+7x-4\)
\(x^5-2x^3+7x-4\) में \(x\) की घातें \(5,3\) और \(1\) हैं, जो सभी विषम धनात्मक पूर्णांक हैं, तथा \(-4\) स्थिर पद है। अतः यह दिया गया बहुपद है। विकल्प B भी बहुपद है, पर उसमें \(4\) और \(2\) सम घातें हैं। विकल्प C में ऋणात्मक घात है और विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) भिन्नात्मक घात है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल ऋणेतर पूर्णांक होती हैं। / In \(x^5-2x^3+7x-4\), the powers of \(x\) are \(5,3\), and \(1\), all of which are odd positive integers, and \(-4\) is a constant term. Therefore, it satisfies the given condition. Option B is also a polynomial, but it contains the even powers \(4\) and \(2\). Option C has a negative exponent, while option D has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: variable exponents in a polynomial must be non-negative integers.
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What is the degree of \(0x^4+0x^2+6\)?
C. (0)
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और बहुपद (6) बचता है। अशून्य स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / Terms with zero coefficients disappear and the polynomial (6) remains. A non-zero constant polynomial has degree (0).
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Which expression is not a polynomial because the variable's power depends on the variable?
B. \(3^x+x^2\)
\(3^x\) में चर घात में है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(3^x\), the variable is in the exponent. In a polynomial, variable powers must be fixed non-negative integers.
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Which option gives the correct conclusion from the definition of a polynomial?
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों तो व्यंजक बहुपद हो सकता हैAn expression can be a polynomial if variable powers are non-negative integers
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर है। गुणांक वास्तविक हो सकते हैं लेकिन घातें भी मान्य होनी चाहिए। / The main condition of a polynomial is about powers of the variable. Coefficients may be real, but powers must also be valid.
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Which term determines the degree in (p(x)=x-8+x-5+x-2+1)?
D. \(x^8\)
बहुपद की घात उसके अशून्य पदों में चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है। दिए गए बहुपद में \(x^8\), \(x^5\), \(x^2\) और 1 हैं; इनमें \(x^8\) की घात 8 सबसे बड़ी है। इसलिए \(x^8\) घात तय करने वाला पद है। \(x^5\) निकटतम विकल्प है, पर उसकी घात 5 है, जो 8 से कम है। परीक्षा टिप: बहुपद के प्रत्येक पद की घात देखकर सबसे बड़ी घात चुनें; स्थिरांक की घात 0 होती है। / The degree of a polynomial is determined by the non-zero term having the greatest power of the variable. The given polynomial has \(x^8\), \(x^5\), \(x^2\), and 1; the highest power is 8 in \(x^8\). Hence, \(x^8\) determines the degree. Although \(x^5\) is the closest distractor, its power is only 5. Exam tip: compare the powers of the variable in all terms; a non-zero constant has degree 0.
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Which expression is not a polynomial in (x), even though some terms look simple after expansion?
C. \(x+\frac{1}{x+1}\)
\(\frac{1}{x+1}\) में चर हर में है और यह बहुपद पद नहीं है। बहुपद में चर हर में नहीं होना चाहिए। / \(\frac{1}{x+1}\) has the variable in the denominator and is not a polynomial term. A polynomial must not have the variable in the denominator.
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If (p(x)=(m+1)x-3+(m-2)x-2+5) has degree (2), what is the value of (m)?
A. (m=-1)
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (m=-1) पर ऐसा होता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be (0) and the coefficient of \(x^2\) non-zero. This happens at (m=-1).
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Which statement is correct about \(x^2+\frac{2}{3}x-\sqrt{7}\)?
C. यह बहुपद है और घात (2) हैIt is a polynomial and degree (2)
भिन्न और अपरिमेय वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य हैं। सबसे बड़ी (x)-घात (2) है। / Fractional and irrational real coefficients are allowed in a polynomial. The highest (x)-power is (2).
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Which expression is a polynomial in (u) but keeps (x) like a coefficient?
A. \(xu^3-4u+2\)
(u) के संदर्भ में (x) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (u) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (u), (x) can be treated like a coefficient. The powers of (u) are (3), (1), and (0).
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For which (a) will ((a-3)x-2+4x-1) become a linear polynomial?
B. \(a=3\)
रैखिक बहुपद की घात 1 होती है, इसलिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। यहाँ \(x^2\) का गुणांक \(a-3\) है। अतः \(a-3=0\) से \(a=3\) मिलता है। \(a=0\) या \(a=4\) रखने पर \(x^2\) का गुणांक शून्य नहीं होता, इसलिए बहुपद द्विघात ही रहेगा। परीक्षा टिप: बहुपद की घात घटाने के लिए उसके उच्चतम घात वाले पद का गुणांक शून्य करें। / A linear polynomial has degree 1, so the coefficient of \(x^2\) must be zero. Here, the coefficient of \(x^2\) is \(a-3\). Thus, \(a-3=0\) gives \(a=3\). For values such as \(a=0\) or \(a=4\), the \(x^2\) coefficient is non-zero, so the polynomial remains quadratic. Exam tip: To reduce the degree of a polynomial, set the coefficient of its highest-power term to zero.
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What is the degree of \(7x^4-2x^2+3x^0\)?
C. 4
बहुपद की घात उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ पदों की घातें 4, 2 और 0 हैं; क्योंकि \(x^0=1\), इसलिए \(3x^0=3\) एक स्थिर पद है। अतः सबसे बड़ी घात 4 है। विकल्प 2 केवल \(-2x^2\) की घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: पहले \(x^0\) को 1 मानकर स्थिर पद पहचानें, फिर सबसे बड़ी घात चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable among its terms with non-zero coefficients. Here the exponents are 4, 2, and 0; since \(x^0=1\), \(3x^0=3\) is a constant term. Therefore, the greatest exponent is 4. Option 2 is only the exponent of \(-2x^2\), not the degree of the entire polynomial. Exam tip: Treat \(x^0\) as 1 first, then identify the highest exponent.
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Which expression is not a polynomial because the variable has power \(\frac{1}{3}\)?
B. (x^{13}+x-2)
\(\frac{1}{3}\) पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / \(\frac{1}{3}\) is not an integer. In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
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If (p(x)=0x-3+0x+0), what polynomial is it?
C. शून्य बहुपदZero polynomial
यहाँ प्रत्येक पद का गुणांक 0 है, इसलिए \(p(x)=0\) सभी \(x\) के लिए है। अतः यह शून्य बहुपद है। \(0x^3\) दिखने पर भी इसे घन बहुपद नहीं कहेंगे, क्योंकि \(x^3\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें; शून्य बहुपद की घात सामान्यतः परिभाषित नहीं मानी जाती। / Every term has coefficient 0, so \(p(x)=0\) for every value of \(x\). Therefore, it is the zero polynomial. Although \(0x^3\) appears in the expression, it is not a cubic polynomial because the coefficient of \(x^3\) is zero. Exam tip: remove terms with zero coefficients before identifying the degree; the degree of the zero polynomial is generally considered undefined.
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Which expression has degree (3) but has no \(x^2\) term?
A. \(x^3-5x+6\)
\(x^3-5x+6\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद अनुपस्थित है। अनुपस्थित पद बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। / In \(x^3-5x+6\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. A missing term does not make a polynomial invalid.
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Which option correctly states the relation between a polynomial and an algebraic expression?
B. हर बहुपद एक बीजीय व्यंजक हैEvery polynomial is an algebraic expression
बहुपद बीजीय व्यंजक का विशेष प्रकार है। लेकिन हर बीजीय व्यंजक बहुपद नहीं होता। / A polynomial is a special type of algebraic expression. But every algebraic expression is not a polynomial.
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Why is \(x^4+\frac{1}{x^2}+x\) not a polynomial?
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) में \(x\) की घात ऋणात्मक हैBecause \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) contains a negative exponent of \(x\)
बहुपद में चर की प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। यहाँ \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है, इसलिए \(x\) की घात \(-2\) है। ऋणात्मक घात होने के कारण दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। \(x^4\) और \(x\) वैध बहुपदीय पद हैं तथा तीन पद होना भी कोई समस्या नहीं है। परीक्षा टिप: यदि चर हर में हो, तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer. Here, \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), so \(x\) has exponent \(-2\). Since a negative exponent occurs, the expression is not a polynomial. Both \(x^4\) and \(x\) are valid polynomial terms, and an expression may have three terms. Exam tip: When a variable appears in a denominator, rewrite it using a negative exponent before checking whether it is a polynomial.
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If (p(x)=(k+2)x-5+(k-1)x-3+9) has degree (3), what is (k)?
A. (k=-2)
घात (3) के लिए \(x^5\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2), और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहता है। / For degree (3), the coefficient of \(x^5\) must be (0). From (k+2=0), (k=-2), and the \(x^3\) coefficient remains non-zero.
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Which expression is a quadratic binomial polynomial in (x)?
A. \(x^2-16\)
द्विघात का अर्थ घात (2) और द्विपदी का अर्थ दो पद है। \(x^2-16\) दोनों शर्तें पूरी करता है। / Quadratic means degree (2), and binomial means two terms. \(x^2-16\) satisfies both conditions.
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Which expression is a polynomial in (x) and has all non-zero variable powers even?
A. \(x^6-3x^4+2x^2-5\)
इसमें घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं और अशून्य चर-घातें सम हैं। / It has powers (6), (4), (2), and (0). All powers are valid and the non-zero variable powers are even.
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If (f(x)=cx-2+4x+1) has to become a non-zero constant polynomial, what is impossible?
C. (4x) पद को शून्य करनाMaking the (4x) term zero
(4x) का गुणांक (4) तय है और शून्य नहीं हो सकता। इसलिए यह व्यंजक स्थिर बहुपद नहीं बन सकता। / The coefficient of (4x) is fixed and cannot become zero. Therefore, this expression cannot become a constant polynomial.
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What are the number of terms and degree in \(2x^3+5x^2+x+7\)?
B. चार पद और घात 3Four terms and degree 3
बहुपद 2x-3+5x-2+x+7 के पद 2x-3, 5x-2, x और 7 हैं, इसलिए इसमें चार पद हैं। चर x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः बहुपद की घात 3 है। 7 स्थिर पद है; उसे घात मानना गलत है। परीक्षा टिप: पदों को + या − चिह्नों के आधार पर अलग-अलग गिनें और फिर चर की सबसे बड़ी घात देखें। / The terms of 2x-3+5x-2+x+7 are 2x-3, 5x-2, x, and 7, so it has four terms. The highest exponent of the variable x is 3; therefore, the degree of the polynomial is 3. The number 7 is a constant term, not the degree. Exam tip: Count terms separated by + or − signs, then identify the greatest exponent of the variable.
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Which expression is not a polynomial in (x) because the variable has another variable as exponent?
B. \(x^x+1\)
\(x^x\) में घात स्थिर पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^x\), the exponent is not a fixed integer. In a polynomial, the variable power must be a fixed non-negative integer.
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If (a=5) in (p(x)=2x-4+(a-5)x-2+3x-1), which statement is correct?
B. बहुपद की घात 4 रहेगीThe degree of the polynomial will remain 4
a=5 रखने पर (a-5)x-2 का गुणांक 0 हो जाता है, इसलिए x-2 पद हट जाता है। तब p(x)=2x-4+3x-1 प्राप्त होता है। इसमें x का सबसे बड़ा घातांक 4 है और उसका गुणांक 2 शून्य नहीं है, इसलिए बहुपद की घात 4 रहती है। विकल्प A गलत है क्योंकि x-4 पद अभी भी उपस्थित है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय शून्य गुणांक वाले पद हटाने के बाद सबसे बड़ी घात देखें। / On substituting a=5, the coefficient of (a-5)x-2 becomes 0, so the x-2 term disappears. Thus, p(x)=2x-4+3x-1. The highest exponent of x with a non-zero coefficient is 4, so the degree remains 4. Option A is incorrect because the x-4 term is still present. Exam tip: remove terms with zero coefficients before identifying the highest power.
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What is the correct conclusion about \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\)?
B. यह 2 घात का बहुपद हैIt is a polynomial of degree 2
\(\sqrt{3}\) एक वास्तविक स्थिरांक है, इसलिए इसका होना व्यंजक को बहुपद होने से नहीं रोकता। \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(2\) है और उसका गुणांक \(1\) शून्य नहीं है। अतः यह 2 घात का बहुपद है। विकल्प A गलत है क्योंकि बहुपद के गुणांक अपरिमेय वास्तविक संख्याएँ भी हो सकते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करते समय चर की सबसे बड़ी गैर-शून्य घात देखें। / \(\sqrt{3}\) is a real constant, so its presence does not prevent the expression from being a polynomial. In \(x^2+2x+1+\sqrt{3}\), the highest power of \(x\) is \(2\), and its coefficient, \(1\), is non-zero. Therefore, it is a polynomial of degree 2. Option A is incorrect because polynomial coefficients may be irrational real numbers. Exam tip: determine the degree from the highest non-zero exponent of the variable.
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In which option is the degree of the polynomial in (x) stated incorrectly?
D. \(x^4+x^2\) — घात \(2\)degree \(2\)
बहुपद की घात उसके चर की सबसे बड़ी घातांक होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। \(x^4+x^2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए इसकी घात \(4\) होगी, \(2\) नहीं। विकल्प C में \(9\) एक अशून्य अचर बहुपद है, जिसकी घात \(0\) होती है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखकर \(x\) की सबसे बड़ी घात देखें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. In \(x^4+x^2\), the greatest power of \(x\) is \(4\), so its degree is \(4\), not \(2\). In option C, \(9\) is a non-zero constant polynomial, whose degree is \(0\). Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest power of \(x\).
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Which expression is a polynomial in (x) and can include \(\pi\) as a coefficient?
A. \(\pi x^2-3x+1\)
\(\pi x^2-3x+1\) में \(x\) की घातें \(2,1,0\) हैं, जो सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं। \(\pi\) एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह बहुपद का गुणांक हो सकता है। विकल्प B में \(x\) की घात \(-2\) है, C में \(\sqrt{x}=x^{\tfrac12}\) है और D में \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल \(0,1,2,\ldots\) हो सकती है। / In \(\pi x^2-3x+1\), the powers of \(x\) are \(2,1,0\), all non-negative integers. Since \(\pi\) is a real number, it may be a coefficient of a polynomial. In B, the exponent of \(x\) is \(-2\); in C, \(\sqrt{x}=x^{\tfrac12}\); and in D, \(\frac{1}{x}=x^{-1}\). Hence, none of these is a polynomial. Exam tip: in a polynomial, variable exponents can only be \(0,1,2,\ldots\).
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If (g(x)=0), why is it wrong to call it a constant polynomial of degree (0)?
B. क्योंकि (0) की घात परिभाषित नहीं होतीBecause the degree of (0) is not defined
(0) शून्य बहुपद है और उसकी घात परिभाषित नहीं होती। घात (0) केवल अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। / (0) is the zero polynomial and its degree is not defined. Degree (0) belongs to non-zero constant polynomials only.
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Which expression is not a polynomial in (x), although it has only two terms?
C. \(x^{-1}+8\)
दो पद होना बहुपद होने की गारंटी नहीं है। \(x^{-1}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having two terms does not guarantee being a polynomial. Due to the negative power \(x^{-1}\), it is not a polynomial.
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C. केवल \(7x^3-4x+1\) बहुपद है; \(x^{-2}+5\) में ऋणात्मक घात हैOnly \(7x^3-4x+1\) is a polynomial; \(x^{-2}+5\) has a negative exponent.
बहुपद में चर की प्रत्येक घात एक अऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात् 0 या धनात्मक पूर्णांक, होनी चाहिए। \(7x^3-4x+1\) में \(x\) की घातें 3, 1 और 0 हैं, इसलिए यह बहुपद है। लेकिन \(x^{-2}+5\) में \(x\) की घात \(-2\) है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। केवल वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को बहुपद मानने से पहले चर की सभी घातें जाँचें। / In a polynomial, every exponent of the variable must be a non-negative integer, that is, 0 or a positive integer. In \(7x^3-4x+1\), the exponents of \(x\) are 3, 1, and 0, so it is a polynomial. However, \(x^{-2}+5\) contains the exponent \(-2\), so it is not a polynomial. Having real coefficients alone is not sufficient. Exam tip: check all variable exponents before classifying an expression as a polynomial.
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After simplifying \(4x^2+3x+2x^2-3x+1\), what will be its degree?
C. 2
समान पदों को मिलाने पर \(4x^2+2x^2=6x^2\) और \(3x-3x=0\) मिलता है। अतः व्यंजक का सरल रूप \(6x^2+1\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए बहुपद की घात 2 होगी। घात 1 नहीं है, क्योंकि रैखिक पद कट गए हैं, लेकिन \(x^2\) वाला पद शेष है। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल रूप बनाइए, फिर शेष पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखिए। / Combining like terms gives \(4x^2+2x^2=6x^2\) and \(3x-3x=0\). Thus, the simplified expression is \(6x^2+1\). The highest power of \(x\) in it is 2, so the degree of the polynomial is 2. It is not 1 because the linear terms cancel, while the \(x^2\) term remains. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the highest exponent of the variable left in the polynomial.
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If (h(x)=kx-2+3x+2) is the zero polynomial, what is correct about (k)?
C. ऐसा कोई (k) संभव नहीं हैNo such (k) is possible
शून्य बहुपद में सभी गुणांक (0) होने चाहिए। (3x) और (2) के गुणांक शून्य नहीं हैं, इसलिए ऐसा (k) संभव नहीं। / In the zero polynomial, all coefficients must be (0). The coefficients of (3x) and (2) are not zero, so no such (k) is possible.
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If (p(x)=(a-4)x-5+3x-2-7) is to be exactly a quadratic polynomial, what is the value of (a)?
B. 4
द्विघात बहुपद की उच्चतम घात 2 होती है। इसलिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए: \(a-4=0\)। अतः \(a=4\)। इस स्थिति में \(p(x)=3x^2-7\) बनता है, जिसकी घात 2 है क्योंकि \(x^2\) का गुणांक 3 शून्य नहीं है। \(a=0\) लेने पर \(x^5\) पद बना रहेगा, इसलिए वह द्विघात नहीं होगा। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले प्रश्नों में उच्चतम घात वाले पद का गुणांक पहले शून्य करें। / A quadratic polynomial has highest power 2. Therefore, the coefficient of \(x^5\) must be zero: \(a-4=0\). Hence, \(a=4\). Then \(p(x)=3x^2-7\), which has degree 2 because the coefficient of \(x^2\) is the non-zero number 3. If \(a=0\), the \(x^5\) term remains, so the polynomial is not quadratic. Exam tip: in parameter-based questions, first make the coefficient of the highest unwanted power zero.
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Which expression is not a polynomial in (x), even though it has real coefficients?
C. \(7x^2+\frac{4}{x}-9\)
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है, जिसमें (x) की घात ऋणात्मक है। वास्तविक गुणांक होना अकेले बहुपद की गारंटी नहीं देता। / \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\), where the power of (x) is negative. Having real coefficients alone does not guarantee a polynomial.
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If (p(x)=0x-6+5x-4-2x-3+9), what is the degree of (p(x))?
A. \(4\)
बहुपद की घात उस पद की सबसे बड़ी घातांक होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^6\) का मान शून्य है, इसलिए यह बहुपद की घात में शामिल नहीं होगा। शेष पदों में \(5x^4\) की घात सबसे अधिक है, अतः \(p(x)\) की घात \(4\) है। \(6\) चुनना गलत है क्योंकि उसका गुणांक \(0\) है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of a term with a non-zero coefficient. Here, \(0x^6\) equals zero, so it does not contribute to the degree. Among the remaining terms, \(5x^4\) has the greatest exponent; therefore, the degree of \(p(x)\) is \(4\). Choosing \(6\) is incorrect because its coefficient is \(0\). Exam tip: remove all zero-coefficient terms before identifying the highest power.
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Under which condition will ((k+2)x-3+(5-k)x-2+7) have degree (2)?
D. (k=-2)
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2) मिलता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k+2=0), (k=-2).
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Which statement is correct about \(x^2+\sqrt{x}+1\)?
B. यह बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\sqrt{x}=x^{12} है / It is not a polynomial because \(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\)
बहुपद में चर की घातें केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती हैं। यहाँ \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) है और \(1/2\) पूर्णांक नहीं है। इसलिए \(x^2+\sqrt{x}+1\) बहुपद नहीं है। इसमें \(x^2\) होने के बावजूद इसे द्विघात बहुपद नहीं कह सकते, क्योंकि पूरा व्यंजक बहुपद होना आवश्यक है। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक में चर का मूल या भिन्नात्मक घात दिखे, तो पहले जाँचें कि वह बहुपद है या नहीं। / In a polynomial, the exponents of the variable can only be non-negative integers. Here, \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and \(1/2\) is not an integer. Therefore, \(x^2+\sqrt{x}+1\) is not a polynomial. Although the expression contains \(x^2\), it cannot be called a quadratic polynomial because the complete expression must first be a polynomial. Exam tip: if a variable appears under a radical or with a fractional exponent, first test whether the expression is a polynomial.
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Which option is exactly a cubic polynomial in (y)?
A. \(4y^3-2y+8\)
घन बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 3 होती है और सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। \(4y^3-2y+8\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह ठीक घन बहुपद है। \(y^4+y^3+1\) चतुर्थ घात का बहुपद है, जबकि \(y^{-3}+2\) बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने से पहले ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातों की जाँच करें। / A cubic polynomial has highest exponent 3, and every exponent of the variable must be a non-negative integer. In \(4y^3-2y+8\), the highest exponent is 3, so it is exactly cubic. \(y^4+y^3+1\) is quartic, while \(y^{-3}+2\) is not a polynomial because it has a negative exponent. Exam tip: before identifying the degree, check that no variable has a negative or fractional exponent.
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If (p(x)=bx-4+3x-3-2x+1) and (b=0), what will be the degree of (p(x))?
C. 3
जब b=0 रखा जाता है, तब bx-4=0 हो जाता है। इसलिए p(x)=3x-3-2x+1 बचता है। इस बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 3 है, अतः इसकी घात 3 है। विकल्प 4 गलत है क्योंकि x-4 का गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / Substituting b=0 makes bx-4=0. Thus, p(x)=3x-3-2x+1. The greatest exponent of x with a non-zero coefficient is 3, so the degree is 3. Option 4 is incorrect because the coefficient of x-4 becomes zero. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
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Which expression is a polynomial in (x) if (m) is treated as a constant?
D. \(m^2x^3-5mx+6\)
\(m\) को स्थिर मानने पर \(m^2x^3-5mx+6\) में \(x\) की घातें क्रमशः 3, 1 और 0 हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। विकल्प A में \(x^{-2}\), विकल्प B में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), और विकल्प C में \(\frac{m}{x}=mx^{-1}\) है; इनमें \(x\) की घातें बहुपद के लिए मान्य नहीं हैं। परीक्षा टिप: जिस चर में बहुपद जाँचना हो, उसकी प्रत्येक घात 0 या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / Treating \(m\) as a constant, the powers of \(x\) in \(m^2x^3-5mx+6\) are 3, 1, and 0. All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Option A has \(x^{-2}\), option B has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), and option C has \(\frac{m}{x}=mx^{-1}\); these powers are not permitted in a polynomial. Exam tip: For a polynomial in a given variable, every exponent of that variable must be a non-negative integer.
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If (p(x)=(r-1)x-2+(r+2)x+5) is a constant polynomial, what is the correct conclusion about (r)?
B. ऐसा कोई \(r\) नहीं हैNo such \(r\) exists
स्थिर बहुपद में \(x^2\) और \(x\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। अतः \(r-1=0\) से \(r=1\) तथा \(r+2=0\) से \(r=-2\) मिलना चाहिए। एक ही \(r\) का मान 1 और −2 दोनों नहीं हो सकता, इसलिए ऐसा कोई \(r\) नहीं है। \(r=1\) केवल \(x^2\) पद हटाता है, जबकि \(x\) पद बना रहता है। परीक्षा टिप: स्थिर बहुपद के लिए चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक शून्य जाँचें। / For a polynomial to be constant, the coefficients of both \(x^2\) and \(x\) must be zero. Thus, \(r-1=0\) requires \(r=1\), while \(r+2=0\) requires \(r=-2\). The same value of \(r\) cannot be both 1 and −2, so no such \(r\) exists. In particular, \(r=1\) removes only the \(x^2\) term; the \(x\) term remains. Exam tip: for a constant polynomial, set the coefficient of every variable term equal to zero.
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Which expression is not a polynomial in (x) because it has a fractional power?
D. (x^{52}+x+1)
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
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In which option are the polynomial and its degree both correct?
A. \(5x^6-2x^3+1\), घात (6)\(5x^6-2x^3+1\), degree (6)
पहले विकल्प में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। बाकी विकल्प बहुपद नहीं हैं। / In the first option, all powers are non-negative integers and the highest power is (6). The other options are not polynomials.
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If (q(x)=(c+5)x-3+(c-2)x-2+4x-1) must have degree (2), what condition is needed?
C. (c=-5)
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (c+5=0) से (c=-5) और \(x^2\) का गुणांक (-7) अशून्य रहता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero. From (c+5=0), (c=-5), and the \(x^2\) coefficient (-7) remains non-zero.
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Which statement is correct about \(x^2+\frac{x}{2}+9\)?
B. यह 2 घात का बहुपद हैIt is a polynomial of degree 2
\(\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x\) है, इसलिए चर \(x\) हर में नहीं है; \(\frac{1}{2}\) केवल उसका गुणांक है। इस व्यंजक के पद \(x^2\), \(\frac{1}{2}x\) और 9 हैं, जिनमें \(x\) की घातें क्रमशः 2, 1 और 0 हैं। ये सभी अऋणात्मक पूर्णांक हैं और सबसे बड़ी घात 2 है, अतः यह 2 घात का बहुपद है। विकल्प A में चर को हर में मानना गलत है, जबकि विकल्प C केवल एक पद की घात देखकर पूरे बहुपद की घात बताता है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात ज्ञात करने के लिए सभी पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Since \(\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x\), the variable \(x\) is not in the denominator; \(\frac{1}{2}\) is only a coefficient. The terms are \(x^2\), \(\frac{1}{2}x\), and 9, whose exponents of \(x\) are 2, 1, and 0 respectively. All are non-negative integers, and the greatest exponent is 2, so it is a polynomial of degree 2. Option A wrongly treats the variable as being in the denominator, while option C looks at only one term instead of the whole polynomial. Exam tip: find the degree of a polynomial by identifying the greatest exponent of the variable among all its terms.
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If (p(x)=\(a^2-9\)x-4+2x+1) is a linear polynomial, which values of (a) are possible?
C. (a=3) या (a=-3)(a=3) or (a=-3)
रैखिक होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और (2x) पद मौजूद है। \(a^2-9=0\) से \(a=\pm3\)। / For it to be linear, the \(x^4\) coefficient must be zero and the (2x) term is present. From \(a^2-9=0\), \(a=\pm3\).
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B. \(u^2+\frac{1}{x}\)
(u) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) स्थिर जैसा है, इसलिए यह (u) में बहुपद है। लेकिन (x) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। / With respect to (u), \(\frac{1}{x}\) is like a constant, so it is a polynomial in (u). With respect to (x), \(\frac{1}{x}\) has power (-1).
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Which is the correct identification of (p(x)=7x-3-4x-2+0x-5+11)?
C. घात 3 का बहुपदPolynomial of degree 3
बहुपद की घात उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^5\) का गुणांक शून्य है, इसलिए यह पद बहुपद की घात में योगदान नहीं देता। शेष पदों में \(7x^3\) की घात सबसे अधिक 3 है; अतः यह घात 3 का बहुपद है। घात 5 वाला विकल्प इसलिए गलत है क्योंकि \(x^5\) का गुणांक शून्य है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पदों को अनदेखा करें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(0x^5\) is zero, so this term does not contribute to the degree. Among the remaining terms, \(7x^3\) has the highest power, 3; therefore, the polynomial has degree 3. The degree-5 option is incorrect because the coefficient of \(x^5\) is zero. Exam tip: Ignore all terms with zero coefficients before finding the degree.
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Which statement is correct about \(x^0+x^{-1}+2\)?
C. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(x^{-1}\) हैIt is not a polynomial because it has \(x^{-1}\)
\(x^0\) मान्य है लेकिन \(x^{-1}\) मान्य नहीं है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(x^0\) is valid but \(x^{-1}\) is not valid. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
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If (p(x)=kx-2+3x+4) has degree (1), what should be the value of (k)?
A. (0)
घात (1) के लिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (k=0) रखने पर (3x+4) रैखिक बहुपद बचता है। / For degree (1), the coefficient of \(x^2\) must be zero. With (k=0), (3x+4) remains a linear polynomial.
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Which expression is not a polynomial because it contains \(\frac{1}{x^4}\)?
A. \(x^4+\frac{1}{x^4}\)
\(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\) है, जो ऋणात्मक घात है। बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं हैं। / \(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\), which is a negative power. Negative powers are not allowed in polynomials.
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Which expression is a polynomial with real coefficients and an irrational constant term?
D. \(3x^3-2x+\sqrt{11}\)
\(\sqrt{11}\) स्थिर वास्तविक संख्या है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{11}\) is a real constant and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
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Which expression is a polynomial but does not contain all consecutive powers?
A. \(x^5+2x^2-3\)
बहुपद में बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^5+2x^2-3\) में उपस्थित घातें (5), (2), (0) हैं और मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^5+2x^2-3\), the present powers (5), (2), (0) are valid.
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What is the degree of (p(x)=0x-3+0x-2+0x+6)?
D. 0
दिया गया व्यंजक सरल करने पर p(x)=6 मिलता है, क्योंकि x वाले सभी पदों के गुणांक 0 हैं। 6 एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी घात 0 होती है। "परिभाषित नहीं" केवल शून्य बहुपद के लिए माना जाता है, अशून्य स्थिर बहुपद के लिए नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplifying, p(x)=6 because every term containing x has coefficient 0. Since 6 is a non-zero constant polynomial, its degree is 0. “Not defined” applies to the zero polynomial, not to a non-zero constant polynomial. Exam tip: remove terms with zero coefficients before finding the degree.
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Which option states the definition of a polynomial most correctly?
A. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों और गुणांक वास्तविक हो सकते हैंVariable powers are zero or positive integers and coefficients may be real
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर होती है। घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The main condition for a polynomial is about the powers of the variable. The powers must be zero or positive integers.
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If (p(x)=(s-2)x-3+(s+1)x-2+5) is a non-zero constant polynomial, what is possible?
C. कोई ऐसा (s) नहीं हैNo such (s) exists
स्थिर बहुपद के लिए (s-2=0) और (s+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (s) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (s-2=0) and (s+1=0) are required. One value of (s) cannot satisfy both conditions.
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Which expression is a polynomial in (x) but has only even powers of (x)?
A. \(x^6-3x^4+2x^2-8\)
पहले विकल्प में घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (6), (4), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
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If (p(x)=\lambda x-2+4x-3) has degree (2), what is the correct condition for \(\lambda\)?
B. \(\lambda\neq0\)
घात (2) तभी होगी जब \(x^2\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) चाहिए। / The degree will be (2) only if the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
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Which of the following expressions is an example of a polynomial in one variable?
A. \(5x^3-2x+7\)
\(5x^3-2x+7\) में \(x\) की घातें \(3\), \(1\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह एक चर में बहुपद है। विकल्प B में \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\) तथा विकल्प D में ऋणात्मक घात है; विकल्प C में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की प्रत्येक घात ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(5x^3-2x+7\), the powers of \(x\) are \(3\), \(1\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in one variable. In option B, \(\frac{3}{x}=3x^{-1}\), and option D also has a negative exponent; option C has \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), a fractional exponent. Exam tip: every exponent of the variable in a polynomial must be a non-negative integer.
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How many terms and what degree does (p(x)=x-4-2x-3+3x-2-4x+5) have?
B. 5 पद, घात 45 terms, degree 4
बहुपद के पद हैं: \(x^4\), \(-2x^3\), \(3x^2\), \(-4x\) और \(5\)। इसलिए इसमें 5 पद हैं। बहुपद की घात चर \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, जो \(x^4\) में 4 है। अतः सही उत्तर 5 पद और घात 4 है। \(5\) स्थिर पद है, इसलिए उसे गिनते समय छोड़ना नहीं चाहिए। परीक्षा टिप: पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों के आधार पर अलग-अलग गिनें। / The terms of the polynomial are \(x^4\), \(-2x^3\), \(3x^2\), \(-4x\), and \(5\). Hence, it has 5 terms. The degree of a polynomial is the highest exponent of \(x\), which is 4 in \(x^4\). Therefore, the correct answer is 5 terms and degree 4. Do not omit the constant \(5\), as it is also a term. Exam tip: Count terms by separating them at addition and subtraction signs.
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Which expression is a quadratic polynomial in (x) but not a trinomial?
C. \(5x^2-11\)
\(5x^2-11\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसमें केवल दो अशून्य पद, \(5x^2\) और \(-11\), हैं; अतः यह द्विपदी है, त्रिपदी नहीं। \(x^2+3x+2\) द्विघात तो है, लेकिन उसके तीन पद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात सबसे बड़ी घातांक से और पदों की संख्या अशून्य पदों को गिनकर तय करें। / In \(5x^2-11\), the highest power of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial. It has only two non-zero terms, \(5x^2\) and \(-11\), making it a binomial rather than a trinomial. \(x^2+3x+2\) is quadratic, but it has three terms. Exam tip: find the degree from the highest exponent and count only non-zero terms to identify the type of polynomial.
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If (p(x)=2x-3+(h-4)x-2+7) has degree (3), what is correct about (h)?
B. \(h\) का कोई भी वास्तविक मानAny real value of \(h\)
बहुपद \(p(x)=2x^3+(h-4)x^2+7\) में \(x^3\) का गुणांक \(2\) है, जो शून्य नहीं है और \(h\) पर निर्भर भी नहीं करता। इसलिए सबसे बड़ी घात वाला पद \(2x^3\) प्रत्येक वास्तविक \(h\) के लिए बना रहता है, अतः बहुपद की घात \(3\) ही होगी। \(h=4\) रखने पर केवल \(x^2\) का गुणांक शून्य होता है; \(x^3\) पद नहीं हटता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले गैर-शून्य गुणांक को पहले जाँचें। / In \(p(x)=2x^3+(h-4)x^2+7\), the coefficient of \(x^3\) is \(2\). It is non-zero and does not depend on \(h\). Hence the highest-power term \(2x^3\) remains present for every real value of \(h\), so the degree is always \(3\). If \(h=4\), only the \(x^2\) coefficient becomes zero; the \(x^3\) term does not disappear. Exam tip: to determine degree, first check the coefficient of the highest-power term.
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Which expression is a polynomial in (x), but not a constant polynomial in (x)?
C. \(3x^2+1\)
\(3x^2+1\) में \(x\) का पद \(3x^2\) उपस्थित है और इसकी घात 2 है। अतः यह \(x\) में एक अचर बहुपद है, स्थिर बहुपद नहीं। \(14\), \(0\) और \(-9\) में \(x\) नहीं है, इसलिए वे स्थिर बहुपद हैं। परीक्षा टिप: जिस बहुपद में चर की कोई धनात्मक घात हो, वह स्थिर बहुपद नहीं होता। / In \(3x^2+1\), the term \(3x^2\) contains \(x\), and the polynomial has degree 2. Hence, it is a non-constant polynomial in \(x\). The expressions \(14\), \(0\), and \(-9\) contain no \(x\), so they are constant polynomials. Exam tip: A polynomial with a variable raised to a positive power cannot be a constant polynomial.
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Why will \(\frac{x^4-1}{x^2}\) not remain a polynomial after simplification?
A. क्योंकि यह \(x^2-\frac{1}{x^2}\) बनता हैBecause it becomes \(x^2-\frac{1}{x^2}\)
सरल रूप \(x^2-\frac{1}{x^2}\) है। \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) के कारण यह बहुपद नहीं है। / The simplified form is \(x^2-\frac{1}{x^2}\). Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), it is not a polynomial.
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A. \(\sqrt{2}x^3-5x+1\)
बहुपद में x की घातें केवल 0, 1, 2, 3 जैसी अशून्य पूर्ण संख्याएँ होती हैं; गुणांक \(\sqrt{2}\) हो सकता है। विकल्प A में घातें 3, 1, 0 हैं। B में \(x^{-1}\), C में \(x^{1/2}\) है। परीक्षा टिप: चर हर में दिखे तो वह बहुपद नहीं होता। / In a polynomial, powers of x must be non-negative integers; coefficients such as \(\sqrt{2}\) are allowed. Option A has powers 3, 1, and 0. Option B contains \(x^{-1}\), while C has \(x^{1/2}\). Exam tip: if the variable appears in a denominator, the expression is not a polynomial.
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If (p(x)=x-2+ax+a-2), when will its degree in (x) be (2)?
C. \(a\) के सभी वास्तविक मानों के लिएFor all real values of \(a\)
बहुपद की घात, \(x\) की उस सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^2\) का गुणांक हमेशा \(1\) है, जो \(a\) के किसी भी मान पर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए \(p(x)\) की घात सभी वास्तविक \(a\) के लिए \(2\) है। \(a\ne0\) वाली शर्त आवश्यक नहीं है, क्योंकि \(a=0\) पर भी \(p(x)=x^2\) की घात \(2\) रहती है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में उच्चतम घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of \(x\) having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^2\) is always \(1\), and it cannot become zero for any value of \(a\). Hence, \(p(x)\) has degree \(2\) for every real \(a\). The condition \(a\ne0\) is unnecessary because even when \(a=0\), \(p(x)=x^2\) still has degree \(2\). Exam tip: In a polynomial containing a parameter, first check the coefficient of the highest-power term.
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Which expression is not a polynomial because the power of (x) depends on a variable?
A. \(x^n+1\), जहाँ (n) बदलता चर है\(x^n+1\), where (n) is a changing variable
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। बदलते चर वाली घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers must be fixed non-negative integers. A power depending on a changing variable is not valid in the definition.
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Which option correctly identifies the polynomial \(x^3-5x^2+2\)?
B. घन त्रिपदीCubic trinomial
बहुपद \(x^3-5x^2+2\) में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए इसकी घात 3 है और यह घन बहुपद है। इसके तीन अशून्य पद \(x^3\), \(-5x^2\) और \(2\) हैं, इसलिए यह त्रिपदी है। अतः सही पहचान घन त्रिपदी है। घन द्विपदी गलत है क्योंकि इसमें तीन पद हैं, दो नहीं। परीक्षा टिप: घात जानने के लिए चर की सबसे बड़ी घात देखें और पदों की संख्या अलग से गिनें। / In \(x^3-5x^2+2\), the highest power of \(x\) is 3, so its degree is 3 and it is a cubic polynomial. It has three non-zero terms: \(x^3\), \(-5x^2\), and \(2\); therefore, it is a trinomial. Hence, it is a cubic trinomial. “Cubic binomial” is incorrect because the expression has three terms, not two. Exam tip: find the highest exponent for the degree, then count the non-zero terms separately.
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Which expression is a polynomial with only odd powers and a constant term?
A. \(x^5-2x^3+x-9\)
\(x^5-2x^3+x-9\) में \(x\) की घातें 5, 3 और 1 हैं, जो सभी विषम धनात्मक पूर्णांक हैं, तथा \(-9\) स्थिर पद है। इसलिए यह बहुपद प्रश्न की दोनों शर्तें पूरी करता है। \(x^4+x^2+1\) बहुपद है, पर इसमें चर की घातें सम हैं। \(x^{-3}+x\) में ऋणात्मक घात है और \(\sqrt{x}+x^3\) में \(x\) की घात \(\frac12\) है; इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। / In \(x^5-2x^3+x-9\), the powers of \(x\) are 5, 3, and 1, all odd positive integers, and \(-9\) is the constant term. Therefore, it satisfies both conditions in the question. \(x^4+x^2+1\) is a polynomial, but its variable terms have even powers. \(x^{-3}+x\) has a negative exponent, while \(\sqrt{x}+x^3\) contains \(x^{\frac12}\); hence neither is a polynomial. Exam tip: exponents of variables in a polynomial must be 0 or positive integers.
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If (p(x)=(a-1)x-2+(a+3)x+2) has degree (0), what happens?
C. ऐसा कोई a नहीं हैNo such a exists
बहुपद की घात 0 होने के लिए वह केवल एक अशून्य स्थिरांक होना चाहिए। यहाँ स्थिरांक पद 2 है, इसलिए x वाले दोनों पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए: a-1=0 और a+3=0। पहले से a=1 तथा दूसरे से a=-3 मिलता है, जो एक ही a के लिए संभव नहीं है। इसलिए ऐसा कोई a नहीं है। परीक्षा टिप: घात 0 के लिए सभी चर वाले पदों के गुणांक शून्य करना आवश्यक है। / For a polynomial to have degree 0, it must reduce to a non-zero constant. Since the constant term here is 2, the coefficients of both x-terms must be zero: a-1=0 and a+3=0. These give a=1 and a=-3 respectively, which cannot hold for the same value of a. Therefore, no such a exists. Exam tip: for degree 0, set the coefficients of every variable term equal to zero.
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Which expression is not a polynomial in (x) because \(\sqrt{x^2+1}\) is present?
C. \(\sqrt{x^2+1}+x\)
\(\sqrt{x^2+1}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में यह बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+1}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, it is not treated as a polynomial term.
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Which expression becomes a polynomial after simplification for \(x\neq0\)?
B. \(\frac{x^3+x}{x}\)
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है, जो बहुपद है। सरल करने से पहले और बाद की घातों को ध्यान से देखें। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\), which is a polynomial. Check powers carefully before and after simplification.
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Which expression is a polynomial in (x) and has constant term (0)?
A. \(x^3-4x\)
\(x^3-4x\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। इसकी घातें मान्य हैं। / In \(x^3-4x\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). Its powers are valid.
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If (p(x)=0), which statement about its degree is correct?
C. घात परिभाषित नहीं हैIts degree is not defined
यह शून्य बहुपद है, क्योंकि इसके सभी गुणांक शून्य हैं। बहुपद की घात सबसे बड़े उस घातांक को कहते हैं जिसका गुणांक शून्य न हो; शून्य बहुपद में ऐसा कोई घातांक नहीं होता। इसलिए इसकी घात परिभाषित नहीं है। घात 0 केवल अशून्य अचर बहुपद, जैसे 5, की होती है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद और अशून्य अचर बहुपद में अंतर अवश्य रखें। / This is the zero polynomial because all its coefficients are zero. The degree of a polynomial is the greatest exponent having a non-zero coefficient; the zero polynomial has no such exponent. Hence, its degree is not defined. Degree 0 belongs only to a non-zero constant polynomial, such as 5. Exam tip: Do not confuse the zero polynomial with a non-zero constant polynomial.
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In which expression are all powers integers, yet it is not a polynomial?
B. \(x^{-2}+x^3\)
(-2) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-2) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
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Given (p(x)=2x-2-3x+5) and (q(x)=x-3+p(x)), what is the degree of (q(x))?
B. 3
दिया है कि \(q(x)=x^3+p(x)\) और \(p(x)=2x^2-3x+5\)। अतः \(q(x)=x^3+2x^2-3x+5\) होगा। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए \(q(x)\) की घात 3 है। विकल्प 5 गलत है, क्योंकि बहुपदों को जोड़ने पर घातें जोड़ी नहीं जातीं; केवल सबसे बड़ी घात देखी जाती है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखें, फिर शून्येतर गुणांक वाले पद की उच्चतम घात पहचानें। / Since \(q(x)=x^3+p(x)\) and \(p(x)=2x^2-3x+5\), we get \(q(x)=x^3+2x^2-3x+5\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 3, so the degree of \(q(x)\) is 3. Option 5 is incorrect because degrees are not added when polynomials are added; the highest power is considered. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
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Which option gives the correct identification of \(x^2-4\)?
D. द्विघात द्विपदीQuadratic binomial
बहुपद x-2-4 में सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए इसकी घात द्विघात है। इसमें दो पद, x-2 और -4, हैं; इसलिए यह द्विपदी है। अतः सही पहचान द्विघात द्विपदी है। द्विघात त्रिपदी में तीन पद होते हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की पहचान के लिए पहले पदों की संख्या, फिर सबसे बड़ी घात जाँचें। / In the polynomial x-2-4, the highest exponent is 2, so its degree is quadratic. It has two terms, x-2 and -4, so it is a binomial. Therefore, it is a quadratic binomial. A quadratic trinomial would have three terms. Exam tip: first count the terms, then identify the highest exponent.
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If (p(x)=(a-2)x-4+(a+1)x-3+6) is to be exactly a cubic polynomial, what is the value of (a)?
A. (2)
ठीक घन के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (a-2=0) से (a=2) मिलता है। / For exactly cubic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^3\) must remain non-zero. From (a-2=0), (a=2).
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If (p(x)=(a-5)x-6+4x-2-9) is to be exactly a quadratic polynomial, what is the value of (a)?
A. (5)
ठीक द्विघात के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य है। (a-5=0) से (a=5) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^6\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) is non-zero. From (a-5=0), (a=5).
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Which expression is not a polynomial in (x), even though it has an \(x^4\) term?
B. \(x^4+\frac{2}{x}-1\)
\(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, जिसमें चर की घात ऋणात्मक है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), where the variable has a negative power. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
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If (p(x)=0x-8-6x-5+2x-3-1), what is the degree of (p(x))?
C. 5
बहुपद की घात उसके उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(0x^8\) शून्य पद है, इसलिए \(x^8\) को नहीं गिना जाएगा। शेष पदों में सबसे बड़ी घात \(5\) है, जो \(-6x^5\) में है। \(3\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(2x^3\) की घात इससे कम है। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले सभी पद हटा दें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, \(0x^8\) is a zero term, so \(x^8\) is not counted. Among the remaining terms, the highest power is \(5\), in \(-6x^5\). Option \(3\) is a close distractor, but \(2x^3\) has a lower power. Exam tip: remove all terms with zero coefficients before finding the degree.
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For which (k) will ((k-1)x-4+(k+2)x-3+7x-4) have degree (3)?
A. (k=1)
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (k=1) पर (k+2=3) भी अशून्य है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (k=1), (k+2=3) is also non-zero.
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Which expression is not a polynomial in (x) because the variable has power \(\frac{7}{3}\)?
B. (x^{73}+2x-5)
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। \(\frac{7}{3}\) पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be non-negative integers. \(\frac{7}{3}\) is not an integer.
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If (p(x)=\lambda x-4-2x-2+3) has degree (4), which condition is correct for \(\lambda\)?
B. \(\lambda\neq0\)
घात (4) तभी होगी जब \(x^4\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) आवश्यक है। / The degree is (4) only when the coefficient of \(x^4\) is not zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
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If (p(x)=(r-3)x-3+(r+1)x-2+9) is a constant polynomial, what is the correct conclusion about (r)?
C. ऐसा कोई (r) नहीं हैNo such (r) exists
स्थिर बहुपद के लिए (r-3=0) और (r+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (r-3=0) and (r+1=0) are needed. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
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Which statement about the degree of the zero polynomial (p(x)=0) is correct?
C. घात परिभाषित नहीं हैDegree is not defined
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
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If (q(x)=(m+4)x-5+(m-1)x-4+x-2) has degree (4), what is (m)?
B. (-4)
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य और \(x^4\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (m=-4) पर (m-1=-5) अशून्य है। / For degree (4), the \(x^5\) coefficient must be zero and the \(x^4\) coefficient must be non-zero. At (m=-4), (m-1=-5) is non-zero.
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Which statement is correct about \(x^2+\sqrt{x^2+4}\)?
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि चर मूल के अंदर हैIt is not a polynomial because the variable is inside a root
\(\sqrt{x^2+4}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में ऐसा पद बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+4}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, such a term is not treated as a polynomial term.
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Which expression is a four-term polynomial of degree (6)?
A. \(x^6-2x^4+x-3\)
पहले विकल्प में चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। सभी घातें बहुपद के लिए मान्य हैं। / The first option has four terms and the highest power is (6). All powers are valid for a polynomial.
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Which statement is correct for \(x^0+x^{-2}+3\)?
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि इसमें x^{-2} हैIt is not a polynomial because it contains x^{-2}
सही उत्तर B है। यहाँ x-0=1 होता है, इसलिए शून्य घात पूरी तरह स्वीकार्य है। लेकिन x^{-2}=\(\frac{1}{x^2}\) में चर की घात ऋणात्मक है। बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है, इसलिए दिया गया व्यंजक बहुपद नहीं है। विकल्प A केवल x-0 को देखकर निष्कर्ष निकालता है और x^{-2} को नजरअंदाज करता है। परीक्षा टिप: बहुपद पहचानने के लिए सबसे पहले जाँचें कि किसी चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक तो नहीं है। / Option B is correct. Here, x-0=1, so a zero exponent is perfectly valid. However, x^{-2}=\(\frac{1}{x^2}\), which gives the variable a negative exponent. In a polynomial, variable exponents must be 0 or positive integers; therefore, the given expression is not a polynomial. Option A considers only x-0 and ignores x^{-2}. Exam tip: To identify a polynomial, first check whether any variable has a negative or fractional exponent.
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Which expression will still not become a polynomial after simplification for \(x\neq0\)?
C. \(\frac{x^3+1}{x}\)
\(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\) है। \(\frac{1}{x}\) में ऋणात्मक घात है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\). Since \(\frac{1}{x}\) has a negative power, it is not a polynomial.
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If (p(x)=2x-4+(b-3)x-2+7), what will be the degree of (p(x))?
A. हमेशा 4Always 4
बहुपद की घात उसके उस पद की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ x-4 का गुणांक 2 है, जो b के किसी भी मान के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए p(x) की घात हमेशा 4 है। b=3 होने पर केवल x-2 का गुणांक शून्य होता है, x-4 का पद नहीं हटता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय पहले सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of x-4 is 2, which cannot become zero for any value of b. Hence, the degree of p(x) is always 4. When b=3, only the coefficient of x-2 becomes zero; the x-4 term remains. Exam tip: To find the degree, first check the coefficient of the term with the highest power.
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Which expression is a polynomial in (x) with only odd powers and a constant term?
A. \(x^7-4x^5+2x-6\)
विकल्प A में चर वाले पदों में \(x\) की घातें \(7, 5\) और \(1\) हैं, जो सभी विषम धनात्मक पूर्णांक हैं। \(-6\) स्थिर पद है, इसलिए \(x^7-4x^5+2x-6\) दी गई शर्त के अनुसार बहुपद है। विकल्प B में \(x^6\) की सम घात है। विकल्प C में \(x^{-7}\) की ऋणात्मक घात तथा विकल्प D में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) की भिन्नात्मक घात है; अतः ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल शून्य या धनात्मक पूर्णांक हो सकती है। / In option A, the variable terms have powers \(7, 5\), and \(1\), all of which are odd positive integers. The term \(-6\) is a constant, so \(x^7-4x^5+2x-6\) satisfies the condition. Option B includes the even power \(x^6\). Option C has the negative exponent in \(x^{-7}\), while option D has the fractional exponent \(\sqrt{x}=x^{1/2}\); therefore, neither is a polynomial in \(x\). Exam tip: Exponents of a variable in a polynomial must be non-negative integers.
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If (p(x)=0x-4+0x-2+9), what type of polynomial is it?
C. स्थिर बहुपदConstant polynomial
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (p(x)=9) बचता है। यह शून्य से अलग स्थिर बहुपद है। / The zero-coefficient terms disappear and (p(x)=9) remains. It is a non-zero constant polynomial.
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If (p(x)=kx-3+(k-2)x-2+1) has degree (2), what is (k)?
A. (0)
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (k=0) पर (k-2=-2) अशून्य है। / For degree (2), the \(x^3\) coefficient must be zero and the \(x^2\) coefficient must be non-zero. At (k=0), (k-2=-2) is non-zero.
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B. \(x^{-3}+2x^2-1\)
(-3) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-3) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
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If (f(x)=x-2-1) and (g(x)=x-3+f(x)), what is the degree of (g(x))?
C. 3
दिया है कि \(f(x)=x^2-1\)। अतः \(g(x)=x^3+f(x)=x^3+x^2-1\) होगा। इस बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए \(g(x)\) की घात 3 है। घात 2 केवल \(f(x)\) की घात है, \(g(x)\) की नहीं। परीक्षा टिप: किसी फलन में दूसरे बहुपद को रखने के बाद सरलीकृत व्यंजक में \(x\) की सबसे बड़ी घात देखें। / Given \(f(x)=x^2-1\), we get \(g(x)=x^3+f(x)=x^3+x^2-1\). The highest power of \(x\) in this polynomial is 3, so the degree of \(g(x)\) is 3. Degree 2 is the degree of \(f(x)\), not of \(g(x)\). Exam tip: Substitute first, simplify the polynomial, and then identify the highest power of \(x\).
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Which expression is a polynomial with real coefficients and an irrational coefficient?
B. \(\sqrt{7}x^4-3x+2\)
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक गुणांक है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real coefficient and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
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If (p(x)=(a+1)x-2+(a-2)x+5) is to be made a constant polynomial, what is possible?
C. ऐसा कोई \(a\) नहीं हैNo such \(a\) exists
स्थिर बहुपद में \(x^2\) और \(x\) वाले पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। इसलिए \(a+1=0\) से \(a=-1\) तथा \(a-2=0\) से \(a=2\) मिलता है। एक ही \(a\) का मान \(-1\) और \(2\) दोनों नहीं हो सकता, अतः ऐसा कोई \(a\) नहीं है। केवल \(a=-1\) रखने पर \(x^2\) का पद हटता है, लेकिन \(x\) का पद बना रहता है। परीक्षा टिप: स्थिर बहुपद के लिए चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक शून्य जाँचें। / For a constant polynomial, the coefficients of both the \(x^2\) term and the \(x\) term must be zero. Thus, \(a+1=0\) gives \(a=-1\), while \(a-2=0\) gives \(a=2\). The same value of \(a\) cannot be both \(-1\) and \(2\), so no such \(a\) exists. Taking \(a=-1\) removes only the \(x^2\) term; the \(x\) term still remains. Exam tip: for a constant polynomial, set the coefficient of every variable term equal to zero.
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Which expression is not a polynomial because the power of (x) depends on a variable (n)?
A. \(x^n+2\), जहाँ (n) बदलता है\(x^n+2\), where (n) varies
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। बदलते चर पर निर्भर घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers are fixed non-negative integers. A power depending on a varying variable is not valid in the definition.
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Which expression is a quadratic polynomial but not a trinomial?
C. 7x-2+5
\(7x^2+5\) में \(x\) की उच्चतम घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। इसके केवल दो पद, \(7x^2\) और 5, हैं; अतः यह द्विपदी है, त्रिपदी नहीं। \(2x^2-3x+1\) द्विघात तो है, लेकिन उसके तीन पद हैं। परीक्षा टिप: बहुपद की घात उच्चतम घातांक से और पदों का प्रकार अलग-अलग पदों को गिनकर ज्ञात करें। / In \(7x^2+5\), the highest power of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial. It has only two terms, \(7x^2\) and 5; therefore, it is a binomial, not a trinomial. Although \(2x^2-3x+1\) is also quadratic, it has three terms. Exam tip: find the degree from the highest exponent and the type from the number of terms separately.
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Which expression is a polynomial in (x) but has several middle powers missing?
A. \(x^8+3x^3-2\)
बहुपद में सभी बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^8+3x^3-2\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^8+3x^3-2\), the present powers are valid.
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If (p(x)=2x-3+(h-5)x+4) has degree (3), what is correct about (h)?
B. कोई भी वास्तविक (h)Any real (h)
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक अशून्य हो। यहाँ \(x^3\) का गुणांक 2 है, जो (h) के किसी भी वास्तविक मान के लिए अशून्य रहता है। इसलिए बहुपद की घात हमेशा 3 होगी। (h=5) रखने पर केवल (x) का पद समाप्त होता है, \(x^3\) का पद नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले पद के गुणांक को पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable having a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^3\) is 2, which remains non-zero for every real value of (h). Hence, the polynomial always has degree 3. For (h=5), only the (x) term disappears; the \(x^3\) term does not. Exam tip: To determine degree, first check the coefficient of the highest-power term.
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Why will \(\frac{x^5+x^2}{x^2}\) give a polynomial after simplification or not?
A. वास्तव में यह \(x^3+1\) बनता है, इसलिए यह बहुपद हैIt actually simplifies to \(x^3+1\), so it is a polynomial.
अंश का गुणनखंड करने पर \(x^5+x^2=x^2(x^3+1)\) मिलता है। इसलिए \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\), जहाँ \(x\ne0\) है। \(x^3+1\) में चर की घातें 3 और 0 हैं, जो दोनों अऋणात्मक पूर्णांक हैं; अतः यह बहुपद है। विकल्प B में \(x^2\) से भाग देने का गलत सरलीकरण किया गया है। परीक्षा टिप: भिन्नात्मक बीजीय व्यंजक को सरल करने से पहले अंश का गुणनखंड कीजिए। / Factor the numerator: \(x^5+x^2=x^2(x^3+1)\). Hence \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\), for \(x\ne0\). The exponents of the variable in \(x^3+1\) are 3 and 0, both non-negative integers, so it is a polynomial. Option B comes from incorrect division by \(x^2\). Exam tip: factor the numerator before cancelling a common factor in an algebraic fraction.
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Which statement is correct about \(x^2+\sin x\)?
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sin x\) बहुपद पद नहीं हैIt is not a polynomial because \(\sin x\) is not a polynomial term
बहुपद में पद चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों के रूप में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / In a polynomial, terms are powers of the variable with non-negative integer exponents. \(\sin x\) is not such a term.
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If (p(x)=x-2+ax+a), when will its degree be (2)?
C. सभी वास्तविक \(a\) के लिएFor all real \(a\)
बहुपद की घात उसके उच्चतम घात वाले पद की घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^2\) का गुणांक \(1\) है और यह \(a\) के किसी भी मान पर शून्य नहीं होता। इसलिए \(p(x)\) की घात सभी वास्तविक \(a\) के लिए \(2\) है। \(a=0\) रखने पर भी \(p(x)=x^2\) रहता है, जिसकी घात \(2\) है। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में सबसे बड़े घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest exponent whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of \(x^2\) is \(1\), and it never becomes zero for any value of \(a\). Hence, \(p(x)\) has degree \(2\) for all real \(a\). Even when \(a=0\), \(p(x)=x^2\), which still has degree \(2\). Exam tip: In a polynomial containing a parameter, first check whether the coefficient of the highest-power term can become zero.
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Which expression is not a polynomial because it contains \(\frac{1}{x^5}\)?
B. \(4+\frac{1}{x^5}\)
विकल्प B, \(4+\frac{1}{x^5}\), बहुपद नहीं है क्योंकि \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\) होता है। इसमें \(x\) की घात \(-5\) है, जबकि बहुपद में चर की घात केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात \(0,1,2,\ldots\), हो सकती है। विकल्प C में \(x^0=1\) है, इसलिए वह बहुपद है। परीक्षा टिप: चर हर में हो तो उसे ऋणात्मक घात के रूप में लिखकर जाँचें। / Option B, \(4+\frac{1}{x^5}\), is not a polynomial because \(\frac{1}{x^5}=x^{-5}\). The exponent of \(x\) is \(-5\), whereas exponents of variables in a polynomial must be non-negative integers: \(0,1,2,\ldots\). In option C, \(x^0=1\), so it is a polynomial. Exam tip: If a variable is in the denominator, rewrite it with a negative exponent and check it.
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How many terms and what degree does (p(x)=x-6-2x-4+x-2-1) have?
A. 4 पद, घात 64 terms, degree 6
बहुपद के पद हैं: x-6, -2x-4, x-2 और -1। अतः इसमें 4 पद हैं। बहुपद की घात उसके किसी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, जो यहाँ 6 है। घात 4 नहीं है, क्योंकि x-6 पद मौजूद है। परीक्षा टिप: पदों को जोड़ और घटाव के चिह्नों के आधार पर अलग-अलग गिनें। / The terms of the polynomial are x-6, -2x-4, x-2, and -1. Therefore, it has 4 terms. The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable in any term, which is 6 here. Degree 4 is incorrect because the term x-6 is present. Exam tip: Count terms by separating the expression at addition and subtraction signs.
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Which expression is a polynomial in (x), while (z) acts like a coefficient?
B. \(z^2x^4+3zx^2-8\)
\(z^2x^4+3zx^2-8\) में \(x\) की घातें \(4\), \(2\) और \(0\) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। यहाँ \(z^2\) तथा \(3z\), \(x\) की घातों के गुणांक हैं। विकल्प A में \(x\) की घात \(-2\) है, विकल्प C में \(x\) हर में है अर्थात उसकी घात \(-1\) है, और विकल्प D में \(x\) की घात \(\frac12\) है; इसलिए ये \(x\) में बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी व्यंजक को \(x\) में बहुपद जाँचते समय केवल \(x\) की घातों को देखें; अन्य अक्षर गुणांक हो सकते हैं। / In \(z^2x^4+3zx^2-8\), the powers of \(x\) are \(4\), \(2\), and \(0\). All are non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). The expressions \(z^2\) and \(3z\) act as coefficients of powers of \(x\). In option A, \(x\) has exponent \(-2\); in option C, \(x\) is in the denominator, so its exponent is \(-1\); and in option D, the exponent of \(x\) is \(\frac12\). Hence, these are not polynomials in \(x\). Exam tip: when testing for a polynomial in \(x\), check the exponents of \(x\); other letters may be coefficients.
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If (p(x)=(a-2)x-2+(a-2)x+7) has degree (0), what is (a)?
A. (2)
घात (0) के लिए \(x^2\) और (x) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-2=0) से (a=2) है और (7) बचता है। / For degree (0), the coefficients of both \(x^2\) and (x) must be zero. From (a-2=0), (a=2), and (7) remains.
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Which expression is not a polynomial in (x) because it contains \(\log x\)?
A. \(x^2+\log x\)
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
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If (p(x)=0x-9+0x-4+0), which statement is correct about (p(x))?
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं हैIt is the zero polynomial whose degree is not defined
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
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Which option gives the most accurate definition of a polynomial?
A. चर की घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होंVariable powers are fixed zero or positive integers
बहुपद की पहचान मुख्य रूप से चर की घातों से होती है। घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / A polynomial is identified mainly by the powers of the variable. The powers must be fixed non-negative integers.
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Which expression is a polynomial in (x) and has only even powers?
A. \(x^8-5x^6+2x^2+4\)
\(x^8-5x^6+2x^2+4\) में \(x\) की घातें \(8,6,2\) और \(0\) (स्थिर पद \(4\) की घात) हैं। ये सभी ऋणेतर पूर्णांक तथा सम हैं, इसलिए यह \(x\) में बहुपद है और इसमें केवल सम घातें हैं। \(x^7+x^2+1\) बहुपद तो है, पर \(7\) विषम घात है। \(x^{-2}+x^4\) और \(x^{1/2}+x^2\) बहुपद नहीं हैं क्योंकि इनमें क्रमशः ऋणात्मक और भिन्नात्मक घात है। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात हमेशा ऋणेतर पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^8-5x^6+2x^2+4\), the powers of \(x\) are \(8,6,2\), and \(0\) (for the constant term \(4\)). They are all non-negative integers and even, so it is a polynomial containing only even powers. \(x^7+x^2+1\) is a polynomial, but \(7\) is an odd power. \(x^{-2}+x^4\) and \(x^{1/2}+x^2\) are not polynomials because they contain a negative and a fractional exponent, respectively. Exam tip: powers of the variable in a polynomial must be non-negative integers.
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If (p(x)=\(k^2-1\)x-5+2x-4+3), when will the degree of (p(x)) be (4)?
A. (k=1) या (k=-1)(k=1) or (k=-1)
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। \(k^2-1=0\) से \(k=\pm1\) और \(2x^4\) अशून्य रहता है। / For degree (4), the coefficient of \(x^5\) must be zero. From \(k^2-1=0\), \(k=\pm1\), and \(2x^4\) remains non-zero.
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Which expression is a quadratic trinomial polynomial?
A. \(x^2-5x+6\)
\(x^2-5x+6\) में तीन पद हैं: \(x^2\), \(-5x\) और \(6\)। इसकी सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है; तीन पद होने के कारण यह त्रिपदी भी है। \(x^3-5x+6\) भी त्रिपदी है, लेकिन उसकी घात 3 है, इसलिए वह घन बहुपद है। परीक्षा टिप: बहुपद की घात सबसे बड़े घातांक से और पदों की संख्या \(+\) या \(-\) से अलग हुए पदों से ज्ञात करें। / \(x^2-5x+6\) has three terms: \(x^2\), \(-5x\), and \(6\). Its highest exponent is 2, so it is a quadratic polynomial; because it has three terms, it is a trinomial. \(x^3-5x+6\) is also a trinomial, but its degree is 3, so it is cubic. Exam tip: identify degree from the highest exponent and count terms separated by \(+\) or \(-\).
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Which expression is not a polynomial because (x) is hidden in the denominator?
B. \(\frac{x^2+4}{x^2}\)
\(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\) है। \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\). Since \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), it is not a polynomial.
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If (p(x)=x-4+cx-3+dx-2+e), under what condition is its degree definitely (4)?
A. (c), (d) और (e) के किसी भी मान के लिएFor any values of (c), (d) and (e)
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(x^4\) का गुणांक (1) है, जो (c), (d) और (e) के किसी भी मान के लिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए बहुपद की घात निश्चित रूप से (4) है। (c), (d) या (e) को शून्य करने से केवल निम्न घात वाले पद प्रभावित होते हैं, \(x^4\) पद नहीं। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable whose coefficient is non-zero. Here, the coefficient of \(x^4\) is (1), which cannot become zero for any values of (c), (d), and (e). Hence, the degree is definitely (4). Setting (c), (d), or (e) to zero affects only lower-degree terms, not the \(x^4\) term. Exam tip: always check the coefficient of the highest-power term before deciding the degree.
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If (p(x)=(a-1)x-3+(a-1)x-2+(a-1)x+5) is a constant polynomial, what is (a)?
A. (1)
स्थिर बहुपद के लिए सभी चर पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-1=0) से (a=1) मिलता है और (5) बचता है। / For a constant polynomial, all variable-term coefficients must be zero. From (a-1=0), (a=1), and (5) remains.
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If (q(x)=(a+2)x-6+(a-4)x-5+3) has degree exactly (5), what is the value of (a)?
B. (-2)
घात (5) के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य और \(x^5\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=-2) पर (a-4=-6) अशून्य रहता है। / For degree (5), the \(x^6\) coefficient must be zero and the \(x^5\) coefficient must be non-zero. At (a=-2), (a-4=-6) remains non-zero.
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After simplifying \(\frac{x^4+x^2+x}{x}\) for \(x\neq0\), which polynomial is obtained?
A. \(x^3+x+1\)
हर पद को (x) से भाग देने पर \(x^3+x+1\) मिलता है। इसमें सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Dividing each term by (x) gives \(x^3+x+1\). All its powers are non-negative integers.
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Which expression is not a polynomial in (x) because it contains a term like \(\cos x\)?
B. \(3x^2+\cos x\)
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\cos x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\cos x\) is not such a term.
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If (p(x)=(k-3)x-2+(2k-6)x+11) has degree (0), what is (k)?
C. (3)
घात (0) के लिए चर वाले दोनों गुणांक शून्य होने चाहिए। (k-3=0) और (2k-6=0) दोनों से (k=3) मिलता है। / For degree (0), both variable-term coefficients must be zero. Both (k-3=0) and (2k-6=0) give (k=3).
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If (p(x)=\(a^2-4\)x-4+(a+2)x-3+5x+1) has degree exactly (3), what is the value of (a)?
B. (2)
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=2) पर \(a^2-4=0\) और (a+2=4) है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (a=2), \(a^2-4=0\) and (a+2=4).
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