Class 10 Mathematics - Real Numbers - Proof of irrationality of √2, √3, √5 Hard Quiz

A. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. (q) भी (5) से विभाज्य है यह दिखाना/To show that (q) is also divisible by (5)

A. \(q^2=2r^2\)

A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं हो सकती/\(\frac{p}{q}\) cannot be in lowest form

A. \(p^2=5q^2\) से सीधे (q) (5) से विभाज्य है कहना/Saying directly from \(p^2=5q^2\) that (q) is divisible by (5)

A. (p=2m) और (q=2n)/(p=2m) and (q=2n)

A. यह अधूरा है, पहले (p) सम और फिर प्रतिस्थापन से (q) सम सिद्ध होता है/This is incomplete; first (p) is proved even and then (q) is proved even by substitution

A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में माना गया था, पर (3) साझा गुणनखंड मिल गया/Because \(\frac{p}{q}\) was assumed in lowest form, but common factor (3) was found

A. (p=5k) से \(p^2=5k^2\) लिखना/Writing \(p^2=5k^2\) from (p=5k)

A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाकर विरोधाभास लिखना/Showing a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction and writing contradiction

A. \(p^2=3q^2\), (p=3k), \(9k^2=3q^2\), \(q^2=3k^2\)

A. (5) के अभाज्य होने पर/On (5) being prime

A. (p) और (q) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (2) से विभाज्य निकले/(p) and (q) were assumed coprime, but both turned out divisible by (2)

A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)

A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था, इसलिए परिमेय मान्यता असंभव है/\(\frac{p}{q}\) was not in lowest form, so the rational assumption is impossible

A. (p=2k) रखने के बाद \(q^2=2k^2\) मिलता है/After substituting (p=2k), \(q^2=2k^2\) is obtained

A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालना/To conclude \(r\mid x\)

A. क्योंकि \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. वर्गमूल को उसके अंदर की संख्या के बराबर मान लेना/Treating the square root as equal to the number inside it

A. (q) (5) से विभाज्य है/(q) is divisible by (5)

A. यह सहअभाज्य मान्यता के विपरीत है, अतः \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/This contradicts the coprime assumption, hence \(\sqrt{2}\) is irrational

A. \(p^2=3q^2\) से सीधे (p=3q) लिखना/Directly writing (p=3q) from \(p^2=3q^2\)

A. ताकि दोनों में (5) साझा गुणनखंड मिलने पर स्पष्ट विरोधाभास बने/So that finding common factor (5) in both gives a clear contradiction

A. (p) सम है/(p) is even

A. यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती/It cannot be in lowest form

A. \(p^2=5q^2\) से (p=5k), फिर (q=5r), इसलिए सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास/From \(p^2=5q^2\), (p=5k), then (q=5r), so contradiction with coprime condition

A. \(\sqrt{2}\) में समता का तर्क मुख्य है, जबकि \(\sqrt{3}\) में (3) के अभाज्य गुणनखंड का तर्क मुख्य है/Evenness is central in \(\sqrt{2}\), while prime factor (3) is central in \(\sqrt{3}\)

A. (5) अभाज्य हो/(5) is prime

A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false

A. वर्ग में अभाज्य गुणनखंड का घातांक सम होता है, पर \(p^2=3q^2\) या \(p^2=5q^2\) असंतुलन पैदा करता है/In a square, the exponent of a prime factor is even, but \(p^2=3q^2\) or \(p^2=5q^2\) creates imbalance

A. (p) सम है, इसलिए (q) भी बिना किसी प्रतिस्थापन के सम है/(p) is even, so (q) is also even without any substitution

A. (q) (5) से विभाज्य है/(q) is divisible by (5)

A. (\gcd(p,q)=1)

A. \(\frac{p}{q}=\frac{2k}{2r}=\frac{k}{r}\)

A. (p=5m) और (q=5n)/(p=5m) and (q=5n)

A. परिमेय मान्यता असंभव है/The rational assumption is impossible

B. (p) सम है क्योंकि \(\sqrt{2}\) धनात्मक है/(p) is even because \(\sqrt{2}\) is positive

A. वर्ग करने के बाद \(p^2=5q^2\) बनता है और साझा गुणनखंड (5) मिलता है/After squaring, \(p^2=5q^2\) is formed and common factor (5) is found

A. पूर्णांक/Integer

A. बाद में (p) और (q) दोनों सम मिलने पर विरोधाभास दिखाना/To show contradiction when both (p) and (q) are later found even

A. वर्ग समीकरण से मूल समीकरण गलत तरीके से निकालना/Incorrectly taking a root-level equation from a squared equation

A. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं, जो सहअभाज्य होने के विरुद्ध है/Both (p) and (q) are divisible by (3), which contradicts being coprime

A. वर्ग करने से वर्गमूल हटता है और अभाज्य गुणनखंडों की विभाज्यता पर तर्क संभव होता है/Squaring removes the radical and makes reasoning about prime factor divisibility possible

A. यह परिणाम असंभव है क्योंकि भिन्न घट सकती है/This result is impossible because the fraction can be reduced

A. (\gcd(p,q)=1)

A. \(9k^2=3q^2\), इसलिए \(q^2=3k^2\), अतः (q) (3) से विभाज्य है/\(9k^2=3q^2\), so \(q^2=3k^2\), hence (q) is divisible by (3)

A. परिमेय संख्या का वर्गमूल तभी परिमेय होना जरूरी है जब वह उपयुक्त पूर्ण वर्ग रूप में हो/The square root of a rational number is necessarily rational only when it is in a suitable perfect-square form

A. यह हमारी परिमेय मान्यता के विपरीत है, अतः दी गई संख्या अपरिमेय है/This contradicts our rational assumption, hence the given number is irrational

A. परिमेय मानना, सरलतम भिन्न लिखना, वर्ग करना, साझा गुणनखंड से विरोधाभास लेना/Assume rational, write a lowest-form fraction, square, get contradiction from a common factor

A. \(a^2\) सम है/\(a^2\) is even

B. (p) (3) से विभाज्य है/(p) is divisible by (3)

B. (n) भी (5) से विभाज्य है दिखाना/To show (n) is also divisible by (5)

C. \(b^2=2r^2\)

A. \(9k^2=3q^2\)

C. (p=5k) से \(p^2=5k^2\)/From (p=5k), \(p^2=5k^2\)

B. (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य हैं/Both (a) and (b) are divisible by (3)

A. क्योंकि (b) सम सिद्ध करने के लिए (a=2k) को समीकरण में रखना होगा/Because to prove (b) even, (a=2k) must be substituted in the equation

A. (\gcd(p,q)) कम से कम (3) है/(\gcd(p,q)) is at least (3)

D. (q) (5) से विभाज्य है/(q) is divisible by (5)

A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना/Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction

A. \(q^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(q^2\) is divisible by (3) and (3) is prime

A. \(\frac{p}{q}=\frac{5k}{5r}=\frac{k}{r}\)

A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों सम निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out even

A. दोनों ओर वर्ग करने पर \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलेगा/Squaring both sides gives \(3=\frac{p^2}{q^2}\)

A. (5) अभाज्य है/(5) is prime

A. (\gcd(a,b)) कम से कम (2) है/(\gcd(a,b)) is at least (2)

A. \(r\mid x\) निष्कर्ष निकालने में/To conclude \(r\mid x\)

A. केवल \(p^2=5q^2\) लिखकर रुक जाना/Stopping after only writing \(p^2=5q^2\)

A. (a) सम है/(a) is even

B. \(p^2=3q^2\) से सीधे (q) (3) से विभाज्य लिखना/Directly writing (q) is divisible by (3) from \(p^2=3q^2\)

A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime

A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{m}{n}\) तक घटाया जा सकता है/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{m}{n}\)

C. (p=3k) से \(p^2=3k^2\)/From (p=3k), \(p^2=3k^2\)

A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य मिलते हैं/Assuming rational makes both numerator and denominator of the lowest-form fraction divisible by (5)

A. वर्गमूल हटाकर विभाज्यता वाला समीकरण बनाना/To remove the square root and create a divisibility equation

A. यह सरलतम रूप में नहीं रह सकती/It cannot remain in lowest form

A. क्योंकि यदि (a) विषम होता तो \(a^2\) भी विषम होता/Because if (a) were odd, then \(a^2\) would also be odd

A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2), \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है/\(\sqrt{2}\) gives common factor (2), while \(\sqrt{5}\) gives common factor (5)

A. अभाज्य गुणनखंड वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करता है/If a prime factor divides a square, it also divides the original number