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आच्छादीपन जांचने के लिए (f(x)=y) रखें। / To test onto nature, put (f(x)=y).
Step 2
Why this answer is correct
(5x-11=y) से \(x=\frac{y+11}{5}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From (5x-11=y), we get \(x=\frac{y+11}{5}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे सरल तरीका है। / For a linear function, solving (x) in terms of (y) is the easiest method.
यदि (k=0), तो फलन स्थिर (3) बन जाएगा और सभी वास्तविक मान नहीं देगा। / If (k=0), the function becomes the constant (3), so it cannot give all real values.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(k\ne0\), तो किसी भी (y) के लिए \(x=\frac{y-3}{k}\) मिल जाता है। / If \(k\ne0\), for any (y), \(x=\frac{y-3}{k}\) exists.
Step 3
Exam Tip
\(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) में रैखिक फलन आच्छादी तभी होता है जब ढाल शून्य न हो। / A linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto exactly when its slope is non-zero.
इसका न्यूनतम मान (3) है और परास \([3,\infty\)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Its minimum value is (3), so the range is \([3,\infty\)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन में पूर्ण वर्ग बनाकर परास जल्दी पहचानें। / For a quadratic function, complete the square to find the range quickly.
A. हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=2+e^y\) मिल जाता है/For every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=2+e^y\) exists
Step 1
Concept
(f(x)=y) रखने पर (\ln(x-2)=y) मिलता है। / Put (f(x)=y), so (\ln(x-2)=y).
Step 2
Why this answer is correct
इससे \(x-2=e^y\), यानी \(x=2+e^y\), जो हमेशा (2) से बड़ा है। / Then \(x-2=e^y\), so \(x=2+e^y\), which is always greater than (2).
Step 3
Exam Tip
लघुगणक फलन अपने प्राकृतिक धनात्मक अंदरूनी भाग पर सभी वास्तविक मान देता है। / A logarithmic function gives all real values when its inside expression is positive.
A. क्योंकि (4) नहीं मिलता/Because (4) is not obtained
Step 1
Concept
\(e^{2x}\) हमेशा धनात्मक होता है और कभी (0) नहीं होता। / \(e^{2x}\) is always positive and never (0).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(e^{2x}+4\) हमेशा (4) से बड़ा है, पर सहप्रांत में (4) शामिल है। / Hence \(e^{2x}+4\) is always greater than (4), but (4) is included in the codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी प्रश्नों में खुले और बंद सिरे की जांच जरूर करें। / In onto questions, always check open and closed endpoints.
\(x^3-3x\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3-3x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसा सतत घन बहुपद सभी वास्तविक मान लेता है। / Such a continuous cubic polynomial takes all real values.
A. यह (1) से (-1) तक सभी मान लेता है/It takes all values from (1) to (-1)
Step 1
Concept
\(\cos0=1\) और \(\cos\pi=-1\)। / \(\cos0=1\) and \(\cos\pi=-1\).
Step 2
Why this answer is correct
\([0,\pi]\) पर \(\cos x\) लगातार घटता है और बीच के सभी मान लेता है। / On \([0,\pi]\), \(\cos x\) decreases continuously and takes all intermediate values.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में चुने गए अंतराल का परास याद रखना जरूरी है। / For trigonometric functions, remember the range on the chosen interval.
सहप्रांत (B) के अवयव (p,q,r) हैं। / The codomain (B) has elements (p,q,r).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए प्रतिबिंबों में ये तीनों अवयव मिल रहे हैं। / All three appear among the given images.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत का हर अवयव प्रतिबिंब बने तो फलन आच्छादी होता है। / For finite sets, if every codomain element appears as an image, the function is onto.
कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। / The total number of functions is \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने वाले (2) फलन हैं, जिनमें सभी अवयव (B) के एक ही अवयव पर जाते हैं। / There are (2) non-onto functions, where all elements go to only one element of (B).
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) होंगे। / Hence the number of onto functions is (16-2=14).
समान आकार के सीमित समुच्चयों में आच्छादी फलन हर सहप्रांत अवयव को ठीक एक बार प्राप्त कराता है। / For finite sets of equal size, an onto function makes every codomain element appear exactly once.
Step 2
Why this answer is correct
यह (3) अवयवों का क्रमचय है, इसलिए संख्या (3!=6) है। / This is a permutation of (3) elements, so the number is (3!=6).
Step 3
Exam Tip
(|A|=|B|) होने पर आच्छादी फलन द्वैकिकी भी होता है। / When (|A|=|B|), an onto function is also bijective.
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / The cube root is defined for every real number.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=y^3-8\) लेने पर \(\sqrt[3]{x+8}=y\) मिलता है। / For any \(y\in\mathbb{R}\), take \(x=y^3-8\), then \(\sqrt[3]{x+8}=y\).
Step 3
Exam Tip
घनमूल रूप \(\mathbb{R}\) पर सभी वास्तविक मान देता है। / A cube-root form gives all real values on \(\mathbb{R}\).
\(\lfloor x-3\rfloor\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k+3) रखने पर \(\lfloor x-3\rfloor=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take (x=k+3), then \(\lfloor x-3\rfloor=k\).
Step 3
Exam Tip
नीचे पूर्णांक फलन पूर्णांक सहप्रांत पर आच्छादी हो सकता है। / A floor function can be onto an integer codomain.
A. क्योंकि गैर-पूर्णांक वास्तविक मान नहीं मिलते/Because non-integer real values are not obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x-3\rfloor\) हमेशा पूर्णांक होता है। / \(\lfloor x-3\rfloor\) is always an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) जैसे गैर-पूर्णांक मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains non-integer values such as \(\frac{1}{2}\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मान फलन पूरे वास्तविक सहप्रांत को नहीं ढकता। / An integer-valued function does not cover the full real codomain.
\(\lceil 2x\rceil\) पूर्णांक मान देता है। / \(\lceil 2x\rceil\) gives integer values.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए \(x=\frac{k}{2}\) रखने पर \(\lceil 2x\rceil=k\) मिलता है। / For any \(k\in\mathbb{Z}\), take \(x=\frac{k}{2}\), then \(\lceil 2x\rceil=k\).
Step 3
Exam Tip
छत फलन में अंदर का रैखिक भाग सभी आवश्यक पूर्णांक बना सकता है। / The linear expression inside the ceiling can produce all required integers.
A. क्योंकि (2) जैसा पूर्णांक नहीं मिलता/Because an integer like (2) is not obtained
Step 1
Concept
\(n^3\) हमेशा पूर्ण घन होता है। / \(n^3\) is always a perfect cube.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में (2) है, लेकिन कोई पूर्णांक (n) ऐसा नहीं कि \(n^3=2\)। / The codomain \(\mathbb{Z}\) contains (2), but no integer (n) satisfies \(n^3=2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक प्रांत में घात फलन सभी पूर्णांक नहीं देता। / On an integer domain, a power function does not necessarily give all integers.
A. यह सतत है और \(-\infty\) से \(\infty\) तक मान लेता है/It is continuous and takes values from \(-\infty\) to \(\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x+1\) एक सतत घन बहुपद है। / \(x^3+x+1\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) और \(x\to\infty\) पर \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), it tends to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
मध्य मान विचार से यह हर वास्तविक मान प्राप्त करता है। / By the intermediate value idea, it obtains every real value.
\(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। / \(|x|\ge0\), so \(e^{|x|}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। / For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं। / A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)).
A. क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है/Because it also gives value (1), which is outside the codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर \(e^{|x|}=1\) मिलता है। / At (x=0), \(e^{|x|}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए यह दिए गए सहप्रांत में ठीक से फलन ही नहीं बनता। / But (1) is not included in the codomain (\(1,\infty\)), so the mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन से पहले यह जांचें कि सभी फलन मान सहप्रांत में हैं या नहीं। / Before checking onto nature, verify that all function values lie in the codomain.
(x=0) पर मान (-1) मिलता है। / At (x=0), the value (-1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, लेकिन (1) तक नहीं पहुंचता, इसलिए परास ([-1,1)) है। / As (x) grows large, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is ([-1,1)).
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुंचना और सीमा पर मान लेना अलग बातें हैं। / Approaching a boundary and attaining it are different ideas.
(C) का कोई भी अवयव (c) लें। / Take any element (c) of (C).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है। / Therefore (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto.
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। यहां \(f(a)\in B\), इसलिए (c) का पूर्वप्रतिबिंब (g) के अंतर्गत मौजूद है। / Since \(g\circ f\) is onto, there is some \(a\in A\) such that (g(f(a))=c). Here \(f(a)\in B\), so (c) has a preimage under (g).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) आच्छादी होना जरूरी है। / Hence (g) must be onto.
A. क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते/Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास खुला अंतराल (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is the open interval (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में दोनों अंतिम मान शामिल हैं, लेकिन फलन उन्हें कभी प्राप्त नहीं करता। / The codomain includes both endpoint values, but the function never attains them.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का अंतर आच्छादीपन में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed endpoints is very important in onto questions.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने पर \(x^2+2x\ge0\) होता है। / When \(x\ge0\), \(x^2+2x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित होने पर परास भी सीमित हो सकता है। / When the domain is restricted, the range can also be restricted.
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य का प्रतिबिंब होना चाहिए। / For onto, every element of the codomain must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। साथ ही \(x^3+1\) बढ़ता हुआ है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y). The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले (y=f(x)) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / In exams, solve (y=f(x)) for (x).
सहप्रांत (B) के दोनों सदस्य (a) और (b) प्रतिबिंब के रूप में मिल रहे हैं। / Both elements (a) and (b) of the codomain appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन आच्छादी है। पर (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (b) है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। / Hence the function is onto. But (2) and (3) have the same image (b), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत के हर सदस्य को सूची में खोजें। / For finite sets, check whether every codomain element appears in the image list.
किसी भी पूर्णांक (y) के लिए (y=n+5) रखें। / For any integer (y), put (y=n+5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (n=y-5), जो फिर से पूर्णांक है। इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है और फलन आच्छादी है। साथ ही अलग (n) अलग (n+5) देते हैं। / Then (n=y-5), which is also an integer. So every (y) has a preimage and the function is onto. Different (n) values also give different images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों में जोड़ या घटाव वाले फलन अक्सर आच्छादी होते हैं। / Addition or subtraction functions on integers are often onto.
A. क्योंकि (1) किसी भी (n) का प्रतिबिंब नहीं है/Because (1) is not the image of any (n)
Step 1
Concept
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) है, तो (n+1) का सबसे छोटा मान (2) है। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), the smallest value of (n+1) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का सदस्य (1) किसी भी (n) से नहीं मिलता। इसलिए परास सहप्रांत के बराबर नहीं है। / The codomain element (1) is not obtained from any (n). Hence the range is not equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में सबसे छोटे मान पर विशेष ध्यान दें। / For natural numbers, check the smallest possible value carefully.
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक है/Yes, because for every real (y), \(x=\frac{y+7}{2}\) is real
Step 1
Concept
आच्छादी जाँचने के लिए (y=2x-7) लिखें। / To check onto, write (y=2x-7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y+7}{2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। इसलिए सहप्रांत का हर सदस्य प्राप्त हो जाता है। / We get \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real for every real (y). Thus every codomain element is obtained.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function with non-zero slope is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब केवल (5) होता है। / In a constant function, every (x) has the image (5).
Step 2
Why this answer is correct
परास ({5}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। सहप्रांत के बाकी सदस्य जैसे (0) और (2) नहीं मिलते। / The range is ({5}), while the codomain is \(\mathbb{R}\). Other codomain elements such as (0) and (2) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः आच्छादी नहीं होता। / A constant function is usually not onto over a large codomain.
(|x|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (|2|=|-2|), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / This equals the given codomain, so the function is onto. But (|2|=|-2|), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में धनात्मक और ऋणात्मक मानों की जोड़ी देखना उपयोगी है। / For modulus functions, compare positive and negative input pairs.
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। / (|x|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-3)। (|x|=-3) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative numbers such as (-3). The equation (|x|=-3) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
वही नियम याद रखें: परास यदि सहप्रांत से छोटा है तो फलन आच्छादी नहीं है। / Remember: if the range is smaller than the codomain, the function is not onto.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,\infty\)) के लिए \(x=\sqrt{y}\) उसी प्रांत में है, इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(x^2\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / For any \(y\in[0,\infty\)), \(x=\sqrt{y}\) is in the domain, so the function is onto. Different (x) values give different squares, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change the nature of a function.
A. हाँ, क्योंकि परास \([-1,\infty\)) है/Yes, because the range is \([-1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge -1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लिया जा सकता है। अतः हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\ge -1\), we can take \(x=\sqrt{y+1}\). Hence every codomain element has a preimage.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान देखकर द्विघात फलन का परास जल्दी मिल जाता है। / For quadratics, find the minimum value to get the range quickly.
\(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है और इसका परास (\(0,\infty\)) है। / \(e^x\) is always positive and its range is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए सहप्रांत के हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है और बढ़ता हुआ होने से एकैकी भी है। / For every (y>0) in the codomain, \(x=\ln y\) is real. So the function is onto and also one-one because it is increasing.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास याद रखें। / Remember the range of exponential functions.
A. क्योंकि \(e^x\) कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता/Because \(e^x\) is never (0) or negative
Step 1
Concept
\(e^x>0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। / \(e^x>0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो \(e^x\) से प्राप्त नहीं होतीं। इसलिए परास सहप्रांत से छोटा है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, which are not obtained from \(e^x\). Hence the range is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को ध्यान से पढ़ना आच्छादी प्रश्नों में सबसे जरूरी है। / Reading the codomain carefully is most important in onto questions.
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, जो प्रांत में है। इसलिए फलन आच्छादी है। \(\ln x\) बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any real (y), \(x=e^y>0\), which lies in the domain. So the function is onto. Since \(\ln x\) is increasing, it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
\(\ln x\) और \(e^x\) के परास-प्रांत संबंध को याद रखें। / Remember the domain-range link between \(\ln x\) and \(e^x\).
A. (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर \(\sin 0=\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ([-1,1]), so the function is onto. But \(\sin 0=\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तता के कारण एकैकीपन अक्सर टूटता है। / Periodicity often breaks one-one nature in trigonometric functions.
A. हाँ, क्योंकि \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है/Yes, because the range of \(\cos x\) is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी यही दिया गया है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य किसी न किसी (x) का प्रतिबिंब है। अतः फलन आच्छादी है। / The codomain is the same, so every codomain element is the image of some (x). Hence the function is onto.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी होने के लिए परास और सहप्रांत बराबर होने चाहिए। / For onto, the range must equal the codomain.
इस अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On this interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जब \(-\frac{\pi}{2}\) के पास जाता है तो मान बहुत छोटा होता है और \(\frac{\pi}{2}\) के पास बहुत बड़ा होता है। इसलिए परास \(\mathbb{R}\) है। / As (x) approaches \(-\frac{\pi}{2}\), the value becomes very small, and near \(\frac{\pi}{2}\), it becomes very large. Hence the range is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
उचित अंतराल चुनने से त्रिकोणमितीय फलन आच्छादी और एकैकी बन सकता है। / Choosing a suitable interval can make a trigonometric function onto and one-one.
A. हाँ, क्योंकि घन बहुपद का परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because this cubic polynomial has range \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(x^3-x\) सतत घन बहुपद है। / \(x^3-x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) के लिए कोई न कोई (x) मिलता है। / As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Therefore every real (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
विषम घात के प्रमुख पद वाले बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं। / Polynomials with odd leading degree are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^4\ge 0\), इसलिए \(x^4+1\ge 1\)। / \(x^4\ge 0\), so \(x^4+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, लेकिन (0) और ऋणात्मक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए यह आच्छादी नहीं है। / The codomain is \(\mathbb{R}\), but (0) and negative numbers are not images. Therefore it is not onto.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद में न्यूनतम मान पर ध्यान दें। / For even-degree polynomials, check the minimum value.
(B) के तीनों सदस्य (p,q,r) कम से कम एक बार प्रतिबिंब के रूप में आते हैं। / All three elements (p,q,r) of (B) appear at least once as images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (2) और (3) दोनों (q) पर जाते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / Hence the function is onto. But (2) and (3) both map to (q), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित फलन में आच्छादी जाँचने के लिए सहप्रांत के सभी सदस्यों को चिह्नित करें। / For finite functions, mark all elements of the codomain while checking onto.
A. क्योंकि प्रांत में सदस्यों की संख्या सहप्रांत से कम है/Because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य से जुड़ना चाहिए। / In an onto function, every codomain element must be covered by some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रांत में (3) सदस्य और सहप्रांत में (4) सदस्य हैं। तीन सदस्य चार अलग-अलग सहप्रांत सदस्यों को ढक नहीं सकते। / Here the domain has (3) elements and the codomain has (4) elements. Three elements cannot cover four distinct codomain elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge |B|\) जरूरी है। / For finite sets, onto requires \(|A|\ge |B|\).
A. आच्छादी फलन संभव है/An onto function is possible
Step 1
Concept
सीमित समुच्चयों में \(A\to B\) आच्छादी होने के लिए (A) में कम से कम (B) जितने सदस्य होने चाहिए। / For an onto function \(A\to B\) between finite sets, (A) must have at least as many elements as (B).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ \(5\ge 3\), इसलिए आच्छादी फलन बनाया जा सकता है। लेकिन हर फलन आच्छादी हो, यह जरूरी नहीं। / Here \(5\ge 3\), so an onto function can be made. But not every function must be onto.
Step 3
Exam Tip
अस्तित्व और सभी फलन के गुण में अंतर रखें। / Distinguish between existence and all-function property.
कुल फलनों की संख्या \(2^4=16\) है। / The total number of functions is \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी न होने पर सभी सदस्य केवल (a) पर या केवल (b) पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। इसलिए आच्छादी फलन (16-2=14) हैं। / A function is not onto if all elements map only to (a) or only to (b), giving (2) such functions. Hence onto functions are (16-2=14).
Step 3
Exam Tip
दो सदस्यीय सहप्रांत के लिए कुल फलनों में से दोनों स्थिर फलन घटाएँ। / For a two-element codomain, subtract the two constant functions from the total.
कुल फलन \(2^3=8\) होंगे। / Total functions are \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादी नहीं होने वाले फलन केवल दो हैं, जिनमें सभी सदस्य (a) पर या सभी (b) पर जाते हैं। इसलिए आच्छादी फलन (8-2=6) हैं। / Only two functions are not onto: all elements map to (a), or all map to (b). Hence onto functions are (8-2=6).
Step 3
Exam Tip
छोटे समुच्चय में गिनती करते समय पहले कुल फलन निकालें। / In small finite sets, first count total functions.
(x) कितना भी बड़ा हो, \(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (1) से कम रहता है। ऋणात्मक दिशा में यह (-1) से बड़ा रहता है। / However large (x) is, \(\frac{x}{1+|x|}\) remains less than (1). In the negative direction, it remains greater than (-1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास ((-1,1)) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। / So the range is ((-1,1)), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में सीमा जैसे मान अक्सर परास से बाहर रह जाते हैं। / In rational-type functions, limiting values often stay outside the range.
\(y=\frac{x+1}{x-1}\) रखें। / Put \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\) मिलता है। यह तब परिभाषित है जब \(y\ne 1\), और यही सहप्रांत है। इसलिए हर \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) का पूर्वप्रतिबिंब है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\). This is defined when \(y\ne 1\), which is exactly the codomain condition. So every \(y\in\mathbb{R}\setminus{1}\) has a preimage.
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलनों में (x) को (y) के रूप में निकालना सबसे साफ तरीका है। / For rational functions, solve for (x) in terms of (y).
किसी भी \(y\ne 0\) के लिए \(y=\frac{1}{x}\) से \(x=\frac{1}{y}\) मिलता है। / For any \(y\ne 0\), from \(y=\frac{1}{x}\), we get \(x=\frac{1}{y}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह (x) भी शून्य नहीं है, इसलिए प्रांत में है। अतः फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(\frac{1}{x}\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / This (x) is also non-zero, so it lies in the domain. Hence the function is onto. Different (x) values give different reciprocals, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
व्युत्क्रम फलन में शून्य को प्रांत और सहप्रांत से हटाना जरूरी है। / For reciprocal functions, removing zero from domain and codomain is essential.
\(1+x^2\ge 1\), इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) और हमेशा धनात्मक है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\le 1\) and is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। इसलिए कई वास्तविक संख्याएँ जैसे (2) और (-1) नहीं मिलतीं। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\). So many real numbers such as (2) and (-1) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
हर बार परास को ठीक-ठीक पहचानें। / Always identify the exact range.
इस फलन का परास ((0,1]) है। / The range of this function is ((0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ((0,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ((0,1]), so the function is onto. But (f(1)=f(-1)=\frac{1}{2}), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में (x) और (-x) के मान मिलाकर एकैकीपन जाँचें। / For even functions, compare values at (x) and (-x).
\(y=3x^3-2\) से \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\) मिलता है। / From \(y=3x^3-2\), we get \(x=\sqrt[3]{\frac{y+2}{3}}\).
Step 2
Why this answer is correct
यह हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है, इसलिए फलन आच्छादी है। घन फलन बढ़ता है, इसलिए एकैकी भी है। / This is real for every real (y), so the function is onto. The cubic function is increasing, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
घनमूल हर वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित होता है। / Cube roots are defined for every real number.
A. हाँ, हर \(y\ge 0\) के लिए (x=y+1) है/Yes, for every \(y\ge 0\), (x=y+1)
Step 1
Concept
(y=x-1) रखने पर (x=y+1) मिलता है। / Put (y=x-1), so (x=y+1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(y\ge 0\), तो \(x\ge 1\), इसलिए (x) प्रांत में है। अतः सहप्रांत का हर सदस्य प्रतिबिंब बनता है। / If \(y\ge 0\), then \(x\ge 1\), so (x) lies in the domain. Hence every codomain element is an image.
Step 3
Exam Tip
अंतराल आधारित फलन में निकला हुआ (x) प्रांत में है या नहीं, यह जरूर जाँचें। / For interval-based functions, always check whether the obtained (x) lies in the domain.
([0,2]) पर \(x^2\) का परास ([0,4]) है। / On ([0,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। ([0,2]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / This equals the codomain, so the function is onto. On ([0,2]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर अंतिम बिंदुओं से परास जल्दी मिलता है। / On a closed interval, endpoints often help find the range quickly.
A. क्योंकि (5) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
([0,2]) पर \(x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / On ([0,2]), the maximum value of \(x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,5]) है, लेकिन (5) जैसे सदस्य प्राप्त नहीं होते। इसलिए परास ([0,4]) सहप्रांत से छोटा है। / The codomain is ([0,5]), but elements like (5) are not obtained. Thus the range ([0,4]) is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के अतिरिक्त हिस्से को पहचानना आच्छादी प्रश्नों में मदद करता है। / Identify the extra part of the codomain in onto questions.
((x-2)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / ((x-2)2\ge 0), so the minimum value is (3).
Step 2
Why this answer is correct
परास \([3,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (x=1) और (x=3) पर मान समान है, इसलिए एकैकी नहीं है। / The range is \([3,\infty\)), equal to the codomain. Hence the function is onto. But (x=1) and (x=3) give the same value, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का शीर्ष परास बताता है। / The vertex of a quadratic tells the range.
A. हाँ, इसका परास (\(-\infty,4]\) है/Yes, its range is (\(-\infty,4]\)
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(4-x^2\le 4\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(4-x^2\le 4\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान बहुत छोटे ऋणात्मक हो सकते हैं, इसलिए परास (\(-\infty,4]\) है। यह सहप्रांत के बराबर है। / For large (x), values become very negative, so the range is (\(-\infty,4]\). This equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
नीचे खुलने वाले द्विघात में अधिकतम मान देखें। / For a downward-opening quadratic, check the maximum value.
\(|x-4|\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 1)। / \(|x-4|\ge 0\), so (f(x)\ge 1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge 1\) के लिए (|x-4|=y-1) का हल मिल जाता है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (x=3) और (x=5) पर मान समान है। / For every \(y\ge 1\), the equation (|x-4|=y-1) has a solution, so the function is onto. But (x=3) and (x=5) give the same value.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन अक्सर आच्छादी हो सकता है, पर एकैकी नहीं। / A modulus function can be onto but often not one-one.
दिए गए प्रांत में \(x\ge 4\), इसलिए (|x-4|=x-4)। / In the given domain, \(x\ge 4\), so (|x-4|=x-4).
Step 2
Why this answer is correct
फलन (f(x)=x-3) बन जाता है, जिसका परास \([1,\infty\)) है। यह सहप्रांत के बराबर है और बढ़ता हुआ भी है। / The function becomes (f(x)=x-3), whose range is \([1,\infty\)). This equals the codomain and is increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक हटाने से पहले प्रांत की शर्त देखें। / Before removing modulus, check the domain condition.
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2-4x+5=(x-2)2+1)। / (x-2-4x+5=(x-2)2+1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए न्यूनतम मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / So the minimum value is (1) and the range is \([1,\infty\)). The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने की विधि परास निकालने में बहुत उपयोगी है। / Completing the square is very useful for finding range.
\(x^3+3x\) हर जगह बढ़ता हुआ है, क्योंकि (x) बढ़ने पर मान भी बढ़ता है। / \(x^3+3x\) is increasing everywhere, because as (x) increases, the value increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) मिलता है और फलन आच्छादी है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence every real (y) is obtained and the function is onto.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ घन फलन अक्सर आच्छादी और एकैकी दोनों होता है। / An increasing cubic is often both onto and one-one.
सहप्रांत केवल सम पूर्णांक हैं। / The codomain contains only even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) को (y=2k) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)। तब (f(k)=y), इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (n) अलग (2n) देते हैं। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), where \(k\in\mathbb{Z}\). Then (f(k)=y), so the function is onto. Different (n) values give different (2n).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही नियम आच्छादी बना सकता है। / Changing the codomain can make the same rule onto.
A. सम प्राकृतिक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Even natural numbers are not images
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (2,4,6) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains even natural numbers such as (2,4,6), which are not images. Therefore the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से मिलने वाले मानों के प्रकार को पहचानें। / Identify the type of values produced by the formula.
सहप्रांत सभी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is the set of all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम संख्या (y=2k-1) के रूप में लिखी जा सकती है, इसलिए (k) उसका पूर्वप्रतिबिंब है। अलग (n) अलग विषम संख्याएँ देते हैं। / Every odd number can be written as (y=2k-1), so (k) is its preimage. Different (n) values give different odd numbers.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत ठीक परास के बराबर हो, फलन आच्छादी होता है। / When the codomain exactly equals the range, the function is onto.
\(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। / Since \(e^x>0\), \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y>1) के लिए (x=\ln(y-1)) मिलता है, जो वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है। यह बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any (y>1), (x=\ln(y-1)), which is real. Hence the function is onto. It is increasing, so it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव से परास बदलता है। / Vertical shifts change the range of exponential functions.
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (0) या उससे अधिक और (1) से कम होता है। / \(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always at least (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) किसी भी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। इसलिए परास ([0,1)) है, सहप्रांत ([0,1]) नहीं। / At (x=0), we get (0), but (1) is not obtained for any real (x). So the range is ([0,1)), not the codomain ([0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा मान और प्राप्त मान में अंतर रखें। / Distinguish between a limiting value and an attained value.
इस फलन का परास ([0,1)) है। / The range of this function is ([0,1)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([0,1)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (f(2)=f(-2)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ([0,1)), so the function is onto. But (f(2)=f(-2)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
परास सही चुनने पर वही फलन आच्छादी बन सकता है। / With the correct codomain, the same function can become onto.
A. हाँ, क्योंकि इसका परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because its range is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
यह विषम घात के प्रमुख पद वाला सतत बहुपद है। / This is a continuous polynomial with an odd leading degree.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए बीच के हर वास्तविक मान को लेता है और आच्छादी है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence it takes every real value in between and is onto.
Step 3
Exam Tip
सतत घन बहुपद के दूर के व्यवहार से आच्छादीपन समझें। / Use the end behavior of continuous cubic polynomials to judge onto nature.
([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। / On ([-1,1]), the range of \(x^2\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(-1)=f(1)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / This equals the given codomain, so the function is onto. But (f(-1)=f(1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में (x) और (-x) के मान जरूर मिलाएँ। / For even functions, compare values at (x) and (-x).
A. क्योंकि (2) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (2) is not an image
Step 1
Concept
([-1,1]) पर \(x^2\) का सबसे बड़ा मान (1) है। / On ([-1,1]), the greatest value of \(x^2\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास ([0,1]) है, जबकि सहप्रांत ([0,2]) दिया गया है। सहप्रांत का सदस्य (2) किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। / So the range is ([0,1]), while the codomain is ([0,2]). The codomain element (2) is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय अधिकतम और न्यूनतम मान ध्यान से देखें। / While checking onto, observe maximum and minimum values carefully.
इस फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of this function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) वास्तविक है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। यह फलन बढ़ता भी है, इसलिए एकैकी है। / For any \(y\in(-1,1)\), \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) is real, so every codomain element has a preimage. The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
भिन्न और वर्गमूल वाले फलन में पहले परास की सीमा पहचानें। / For fractional square-root functions, first identify the limiting range.
A. क्योंकि (-1) और (1) प्रतिबिंब नहीं बनते/Because (-1) and (1) are not images
Step 1
Concept
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। / The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) remains greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बहुत बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, पर (1) बनता नहीं। इसी तरह (-1) भी नहीं मिलता। / For very large (x), the value approaches (1), but never becomes (1). Similarly, (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुँचना और सीमा मान प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching a limiting value and attaining it are different ideas.
किसी पूर्णांक को (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) में से ही एक होता है। / When an integer is divided by (3), the remainder is one of (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
ये तीनों शेष मिलते हैं, जैसे (f(3)=0), (f(4)=1), (f(5)=2)। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन कई पूर्णांक समान शेष देते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / All three remainders are obtained, for example (f(3)=0), (f(4)=1), and (f(5)=2). Hence the function is onto. But many integers give the same remainder, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले प्रश्नों में सभी संभव शेषों की सूची बनाइए। / In remainder-based questions, list all possible remainders.
आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। / For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / In exams, cubic functions often cover all real values.
(f(n)=n+1) से मान \(2,3,4,\ldots\) मिलते हैं। / (f(n)=n+1) gives values \(2,3,4,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में (1) है पर (1) किसी (n) से प्राप्त नहीं होता। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but (1) has no preimage.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला मान अलग से जाँचना उपयोगी होता है। / In natural-number questions, checking the first few codomain values is very helpful.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) हैं जो परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / Remembering the range of exponential functions helps in onto questions.
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी (\(0,\infty\)) दिया है इसलिए हर लक्ष्य मान (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मिल जाता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में दिए गए सहक्षेत्र को अनदेखा न करें। / Never ignore the given codomain in onto problems.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (-3) जैसे मान हैं जो (|x|) से नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-3), which cannot be obtained from (|x|).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में ऋणात्मक लक्ष्य मान तुरंत आच्छादकता तोड़ देते हैं। / Negative target values quickly show that the modulus function is not onto over \(\mathbb{R}\).
किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए समीकरण (y=2x+7) हल करें। / For any \(y\in\mathbb{R}\), solve (y=2x+7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y-7}{2}\) हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / \(x=\frac{y-7}{2}\) is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
शून्येतर ढाल वाला रैखिक फलन \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) पर आच्छादक होता है। / A non-zero-slope linear function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is onto.
स्थिर फलन (f(x)=5) हमेशा केवल (5) देता है। / The constant function (f(x)=5) always gives only (5).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) के बाकी मान जैसे (4) और (6) नहीं मिलते। / Other codomain values such as (4) and (6) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
यदि परास में केवल एक मान हो और सहक्षेत्र बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होगा। / If the range has only one value and the codomain is larger, the function is not onto.
सहक्षेत्र (B) के सदस्य (p) और (q) हैं। / The codomain (B) has elements (p) and (q).
Step 2
Why this answer is correct
(p) भी मिलता है और (q) भी मिलता है इसलिए कोई सदस्य छूटा नहीं। / Both (p) and (q) are obtained, so no codomain element is missed.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता के लिए अलग-अलग पूर्वप्रतिबिंब जरूरी नहीं बस हर सहक्षेत्र सदस्य मिलना चाहिए। / Onto does not require distinct preimages, only that every codomain element is hit.
A. हर \(b\in B\) के लिए कोई \(a\in A\) हो जिससे (f(a)=b)/For every \(b\in B\), there exists \(a\in A\) such that (f(a)=b)
Step 1
Concept
आच्छादकता सहक्षेत्र के हर सदस्य से जुड़ी शर्त है। / Onto is a condition about every element of the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
यदि हर \(b\in B\) किसी \(a\in A\) का प्रतिबिंब है तो परास (B) के बराबर है। / If every \(b\in B\) is the image of some \(a\in A\), then range equals (B).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा वाले प्रश्नों में (B) से शुरू होने वाली शर्त पहचानें। / In definition questions, identify the statement that starts from the codomain.
\(x^3+x\) एक सतत बढ़ता हुआ फलन है क्योंकि \(3x^2+1>0\)। / \(x^3+x\) is a continuous increasing function because \(3x^2+1>0\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to \infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to -\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to \infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to -\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
ऐसे घन फलन पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / Such cubic functions cover all real values.
A. यह पूरे \(\mathbb{R}\) पर परिभाषित नहीं है/It is not defined on all of \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(\tan x\) \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\) पर परिभाषित नहीं होता। / \(\tan x\) is not defined at \(x=\frac{\pi}{2}+n\pi\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए इसे \(\mathbb{R}\) से \(\mathbb{R}\) तक फलन की तरह सीधे नहीं माना जा सकता। / So it cannot directly be treated as a function from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि दिया गया नियम पूरे प्रांत पर परिभाषित है या नहीं। / Before testing onto, check whether the rule is defined on the entire domain.
\(\tan x\) इस खुले अंतराल पर परिभाषित है। / \(\tan x\) is defined on this open interval.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जैसे-जैसे सिरों के पास जाता है मान \(-\infty\) से \(\infty\) तक सभी वास्तविक मान लेता है। / As (x) approaches the ends, the values cover all real numbers from \(-\infty\) to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलन में चुना गया अंतराल बहुत महत्वपूर्ण होता है। / The chosen interval is very important for trigonometric functions.
(f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}) है। / (f(x)=\left\(x-\frac{1}{2}\right\)2-\frac{1}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)) है और यही सहक्षेत्र दिया गया है। / Its range is \(\left[-\frac{1}{4},\infty\right\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
परास और सहक्षेत्र बराबर मिलते ही आच्छादकता सिद्ध हो जाती है। / Once range and codomain match, onto is proved.
\(2\mathbb{Z}\) सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय है। / \(2\mathbb{Z}\) is the set of all even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) के लिए (y=2k) होगा और (x=k) लेने पर (f(x)=y)। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), and taking (x=k) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
सहक्षेत्र को सम पूर्णांकों तक रखने पर यह फलन आच्छादक हो जाता है। / With codomain restricted to even integers, this function is onto.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि सम प्राकृतिक संख्याएँ नहीं मिलतीं/Not onto because even natural numbers are not obtained
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में \(2,4,6,\ldots\) जैसे सम मान भी हैं जो नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{N}\) also contains even values \(2,4,6,\ldots\), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
जब सूत्र केवल विषम या सम मान देता हो तो आच्छादकता सावधानी से जाँचें। / When a formula gives only odd or even values, check onto carefully.
(2n-1) सभी विषम प्राकृतिक संख्याएँ देता है। / (2n-1) gives all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is also the set of odd natural numbers.
Step 3
Exam Tip
यदि लक्ष्य समुच्चय वही है जो सूत्र वास्तव में देता है तो फलन आच्छादक होता है। / If the target set is exactly what the formula produces, the function is onto.
\(1+x^2\ge 1\) इसलिए \(\frac{1}{1+x^2}\) (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / Since \(1+x^2\ge 1\), \(\frac{1}{1+x^2}\) is greater than (0) and at most (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसका परास ((0,1]) है जबकि सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) है। / Its range is ((0,1]), while the codomain is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
भिन्न फलन में हर का न्यूनतम मान परास समझने में मदद करता है। / For rational functions, the minimum denominator helps determine the range.
(x=0) पर मान (1) मिलता है। / At (x=0), the value (1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (0) के पास जाता है पर (0) नहीं होता इसलिए परास ((0,1]) है। / As (x) grows large, the value approaches (0) but never becomes (0), so the range is ((0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा पर मिले या न मिले यह आच्छादकता में महत्वपूर्ण है। / Whether a boundary value is attained matters in onto questions.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल पूर्णांक मान मिलते हैं/Not onto because only integer values are obtained
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हर (x) के लिए सबसे बड़ा पूर्णांक देता है जो (x) से बड़ा नहीं होता। / \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer not greater than (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास \(\mathbb{Z}\) है \(\mathbb{R}\) नहीं। / Hence its range is \(\mathbb{Z}\), not \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
मंजिल फलन में दशमलव लक्ष्य मान कभी नहीं मिलते। / For the floor function, decimal target values are never obtained.
B. नहीं क्योंकि (B) में अधिक सदस्य हैं/No because (B) has more elements
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) के हर सदस्य को कम से कम एक पूर्वप्रतिबिंब चाहिए। / In an onto function, every element of (B) needs at least one preimage.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (3) सदस्य हैं पर (B) में (4) सदस्य हैं इसलिए चारों को ढकना असंभव है। / (A) has (3) elements while (B) has (4), so all four elements cannot be covered.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में यदि (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बन सकता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.
कुल फलनों की संख्या \(2^3=8\) है। / Total functions are \(2^3=8\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जिनका परास केवल एक सदस्य है ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
अतः आच्छादक फलन (8-2=6) हैं और छोटे समुच्चयों में पूरक विधि तेज रहती है। / Therefore onto functions are (8-2=6); complement counting is quick for small sets.
दोनों समुच्चयों में समान (2) सदस्य हैं। / Both sets have (2) elements.
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक होने के लिए दोनों लक्ष्य सदस्य मिलने चाहिए इसलिए फलन वास्तव में एक-एक मेल होगा। / To be onto, both target elements must be hit, so the function is a one-to-one pairing.
Step 3
Exam Tip
ऐसे मेलों की संख्या (2!=2) होती है। / The number of such pairings is (2!=2).
\(x\in[-2,2]\) होने पर \(x^2\) का मान (0) से (4) तक होता है। / When \(x\in[-2,2]\), \(x^2\) takes values from (0) to (4).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,4]\) के लिए \(x=\sqrt{y}\) लेने पर \(x\in[-2,2]\) और (f(x)=y) मिल जाता है। / For any \(y\in[0,4]\), taking \(x=\sqrt{y}\) gives \(x\in[-2,2]\) and (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में प्रांत और सहक्षेत्र दोनों देखकर ही आच्छादकता तय करें। / In exams, decide onto only after checking both the domain and the codomain.
