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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (3) और (B) में (2) अवयव हों तो (A) से (B) तक कुल संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (3) elements and (B) has (2) elements, what is the total number of relations from (A) to (B)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(2^6\)

Step 1

Concept

\(A\times B\) में \(3\times2=6\) क्रमित युग्म होंगे। / \(A\times B\) has \(3\times2=6\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

हर उपसमुच्चय एक संबंध बनाता है इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे। / Each subset forms a relation, so the total number of relations is \(2^6\).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में पहले कार्तीय गुणनफल के युग्म गिनें। / In such questions first count the pairs in the Cartesian product.

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Question 2/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (3) अवयव हैं तो (A) पर स्वतः संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (3) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(3^2=9\) युग्म होते हैं। / \(A\times A\) has \(3^2=9\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

स्वतः होने के लिए (3) विकर्ण युग्म निश्चित हैं और बाकी (6) युग्म वैकल्पिक हैं। / For reflexivity, (3) diagonal pairs are fixed and the remaining (6) pairs are optional.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संख्या \(2^6\) होगी। / Hence the number is \(2^6\).

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Question 3/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (3) अवयव हैं तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (3) elements, what is the number of symmetric relations on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

तीन विकर्ण युग्म अलग अलग चुने या छोड़े जा सकते हैं। / The three diagonal pairs can be chosen or left independently.

Step 2

Why this answer is correct

तीन गैर विकर्ण उलटी जोड़ियाँ भी चुनी या छोड़ी जा सकती हैं। / The three off-diagonal reverse pairs can also be chosen or left.

Step 3

Exam Tip

कुल स्वतंत्र चुनाव (6) हैं इसलिए संख्या \(2^6\) है। / There are (6) independent choices, so the number is \(2^6\).

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Question 4/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (A) में (3) अवयव हैं तो (A) पर स्वतः और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (3) elements, what is the number of relations on (A) that are both reflexive and symmetric?

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Correct Answer

A. \(2^3\)

Step 1

Concept

स्वतः होने के कारण तीनों विकर्ण युग्म निश्चित रूप से लेने होंगे। / Reflexivity fixes all three diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

गैर विकर्ण उलटी जोड़ियों की संख्या (3) है और हर जोड़ी स्वतंत्र है। / There are (3) off-diagonal reverse pairs, and each pair is optional.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंध \(2^3\) होंगे। / Hence the total number of such relations is \(2^3\).

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Question 5/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (a-b) सम संख्या है। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) means (a-b) is even. What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) सम है इसलिए संबंध स्वतः है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) सम है तो (b-a) भी सम है और दो सम अंतरों को जोड़ने पर सम अंतर मिलता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, and adding two even differences gives an even difference.

Step 3

Exam Tip

तीनों गुण होने से यह तुल्यता संबंध है। / Since all three properties hold, it is an equivalence relation.

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Question 6/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ \(a\le b\) है। कौन सा कथन सही है?

On natural numbers, (aRb) means \(a\le b\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह स्वतः और संचारी है पर सममित नहींIt is reflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a\le a\) सही है इसलिए संबंध स्वतः है। / For every (a), \(a\le a\) is true, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\) मिलता है इसलिए संचारी है। / From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

\(1\le2\) सही है पर \(2\le1\) गलत है इसलिए सममित नहीं। / \(1\le2\) is true but \(2\le1\) is false, so it is not symmetric.

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Question 7/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a<b) है। कौन सा गुण सही है?

On natural numbers, (aRb) means (a<b). Which property is correct?

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Correct Answer

A. संचारी पर स्वतः नहींTransitive but not reflexive

Step 1

Concept

(a<a) कभी सही नहीं होता इसलिए संबंध स्वतः नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a<b) और (b<c) हो तो (a<c) होता है इसलिए संचारी है। / If (a<b) and (b<c), then (a<c), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

छोटे और बड़े के संबंध में सममितता सामान्यतः नहीं होती। / Relations based on less than are generally not symmetric.

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Question 8/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ \(a\mid b\) है। कौन सा कथन सही है?

On natural numbers, (aRb) means \(a\mid b\). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. स्वतः और संचारी पर सममित नहींReflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

हर प्राकृतिक संख्या अपने आप को भाग देती है इसलिए संबंध स्वतः है। / Every natural number divides itself, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a\mid b\) और \(b\mid c\) तो \(a\mid c\) होता है इसलिए संचारी है। / If \(a\mid b\) and \(b\mid c\), then \(a\mid c\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

\(2\mid4\) सही है पर \(4\mid2\) गलत है इसलिए सममित नहीं। / \(2\mid4\) is true but \(4\mid2\) is false, so it is not symmetric.

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Question 9/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (a+b) सम संख्या है। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) means (a+b) is even. What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a+a=2a) हमेशा सम है इसलिए संबंध स्वतः है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है इसलिए सममित है। / If (a+b) is even, then (b+a) is also even, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान समता वाले दो संबंधों से तीसरा संबंध भी समान समता वाला बनता है इसलिए यह संचारी है। / Same parity carries through the chain, so it is transitive.

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Question 10/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (a-b), (3) से विभाज्य है। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) means (a-b) is divisible by (3). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) (3) से विभाज्य है इसलिए संबंध स्वतः है। / (a-a=0) is divisible by (3), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) (3) से विभाज्य है तो (b-a) भी (3) से विभाज्य है। / If (a-b) is divisible by (3), then (b-a) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

विभाज्य अंतरों को जोड़ने पर फिर (3) से विभाज्य अंतर मिलता है इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Adding divisible differences again gives a divisible difference, so it is an equivalence relation.

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Question 11/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (|a|=|b|) है। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) means (|a|=|b|). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या के लिए (|a|=|a|) सही है इसलिए संबंध स्वतः है। / For every number, (|a|=|a|), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

बराबरी को उलटने पर भी बराबरी रहती है इसलिए सममित है। / Equality remains true when reversed, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि दो बराबरियाँ जुड़ती हैं तो तीसरी बराबरी भी मिलती है इसलिए संचारी है। / If two equalities connect, the third equality also follows, so it is transitive.

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Question 12/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ \(a^2=b^2\) है। यह संबंध किस प्रकार का है?

On real numbers, (aRb) means \(a^2=b^2\). What type of relation is this?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(a^2=a^2\) हर (a) के लिए सही है। / \(a^2=a^2\) is true for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\) भी सही है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\) is also true.

Step 3

Exam Tip

बराबरी की श्रृंखला से \(a^2=c^2\) मिलता है इसलिए तीनों गुण पूरे होते हैं। / A chain of equalities gives \(a^2=c^2\), so all three properties hold.

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Question 13/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

शून्य रहित वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (ab>0) है। यह संबंध कैसा है?

On non-zero real numbers, (aRb) means (ab>0). What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

शून्य रहित (a) के लिए \(a^2>0\) है इसलिए संबंध स्वतः है। / For non-zero (a), \(a^2>0\), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(ab>0) होने पर (ba>0) भी है इसलिए सममित है। / If (ab>0), then (ba>0), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यह संबंध समान चिह्न को दिखाता है और समान चिह्न की श्रृंखला संचारी होती है। / The relation means same sign, and same sign passes through a chain.

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Question 14/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a-b>0) है। कौन सा कथन सही है?

On real numbers, (aRb) means (a-b>0). Which statement is correct?

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Correct Answer

A. संचारी पर स्वतः नहींTransitive but not reflexive

Step 1

Concept

(a-a=0) है जो (0) से बड़ा नहीं है इसलिए संबंध स्वतः नहीं है। / (a-a=0), which is not greater than (0), so the relation is not reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a>b) और (b>c) है तो (a>c) होगा इसलिए संचारी है। / If (a>b) and (b>c), then (a>c), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

अधिकता वाले संबंध सामान्यतः सममित नहीं होते। / Greater-than type relations are generally not symmetric.

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Question 15/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a+b=0) है। कौन सा गुण सही है?

On real numbers, (aRb) means (a+b=0). Which property is correct?

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Correct Answer

A. सममित पर स्वतः नहींSymmetric but not reflexive

Step 1

Concept

(a+b=0) होने पर (b+a=0) भी होता है इसलिए संबंध सममित है। / If (a+b=0), then (b+a=0), so the relation is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

(a+a=0) हर वास्तविक (a) के लिए सही नहीं है इसलिए स्वतः नहीं है। / (a+a=0) is not true for every real (a), so it is not reflexive.

Step 3

Exam Tip

सममित होना अकेले तुल्यता के लिए पर्याप्त नहीं है। / Symmetry alone is not enough for equivalence.

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Question 16/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,2),(3,3)\}\) है तो (R) को सममित बनाने के लिए सबसे छोटा कौन सा संबंध चाहिए?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,2),(3,3)\}\), what is the smallest relation needed to make (R) symmetric?

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Correct Answer

A. ({(1,2),(2,1),(3,3)})

Step 1

Concept

सममितता के लिए ((1,2)) का उलटा ((2,1)) जोड़ना होगा। / For symmetry, the reverse ((2,1)) of ((1,2)) must be added.

Step 2

Why this answer is correct

((3,3)) अपने उलटे के समान है इसलिए अलग युग्म नहीं चाहिए। / ((3,3)) is its own reverse, so no extra pair is needed for it.

Step 3

Exam Tip

सबसे छोटा संबंध बनाते समय केवल जरूरी युग्म जोड़ें। / For the smallest relation add only compulsory pairs.

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Question 17/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,3)\}\) है तो (R) को स्वतः बनाने के लिए कौन से युग्म जोड़ने होंगे?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,3)\}\), which pairs must be added to make (R) reflexive?

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Correct Answer

A. ((2,2)) और ((3,3))((2,2)) and ((3,3))

Step 1

Concept

स्वतः संबंध के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) चाहिए। / Reflexivity needs ((1,1),(2,2),(3,3)).

Step 2

Why this answer is correct

दिए संबंध में ((1,1)) पहले से है। / ((1,1)) is already present in the relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए केवल ((2,2)) और ((3,3)) जोड़ने होंगे। / Therefore only ((2,2)) and ((3,3)) must be added.

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Question 18/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है तो संचारीता पूरी करने के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म जोड़ना होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,3)\}\), which minimum pair must be added to complete transitivity?

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Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

संचारीता में ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / Transitivity requires ((1,3)) from ((1,2)) and ((2,3)).

Step 2

Why this answer is correct

दिए संबंध में ((1,3)) नहीं है। / ((1,3)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए न्यूनतम जोड़ने वाला युग्म ((1,3)) है। / Hence the minimum pair to add is ((1,3)).

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Question 19/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है तो संचारीता सबसे पहले किस युग्म की माँग करती है?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which pair is first required by transitivity?

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Correct Answer

A. ((1,1))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,1)) में बीच का अवयव (2) समान है। / In ((1,2)) and ((2,1)), the middle element (2) matches.

Step 2

Why this answer is correct

संचारीता के लिए ((1,1)) होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,1)).

Step 3

Exam Tip

उलटे युग्मों से अक्सर विकर्ण युग्म की जरूरत बनती है। / Reverse pairs often create a need for a diagonal pair.

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Question 20/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) है तो पूर्ण संचारी विस्तार के लिए निम्न में से कौन सा युग्म अवश्य जोड़ा जाएगा?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), which of the following pairs must be added for a full transitive extension?

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Correct Answer

A. ((1,4))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is needed.

Step 2

Why this answer is correct

फिर ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी चाहिए। / Then ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)).

Step 3

Exam Tip

संचारी विस्तार में नए बने युग्मों से आगे की जरूरत भी देखें। / In a transitive extension, also check requirements created by newly added pairs.

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Question 21/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि किसी संबंध (R) का प्रांत ({1,2,3}) और परिसर ({4,5}) है तो \(R^{-1}\) का प्रांत क्या होगा?

If a relation (R) has domain ({1,2,3}) and range ({4,5}), what is the domain of \(R^{-1}\)?

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Correct Answer

A. ({4,5})

Step 1

Concept

विलोम संबंध में हर युग्म के घटक उलट जाते हैं। / In the inverse relation, the components of every pair are reversed.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए मूल संबंध का परिसर विलोम संबंध का प्रांत बनता है। / Therefore the range of the original relation becomes the domain of the inverse.

Step 3

Exam Tip

विलोम में प्रांत और परिसर की अदला बदली याद रखें। / Remember that domain and range interchange in the inverse.

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Question 22/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) सममित और संचारी है लेकिन स्वतः नहीं है तो क्या (R) तुल्यता संबंध होगा?

If (R) is symmetric and transitive but not reflexive, is (R) an equivalence relation?

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Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध के लिए स्वतः, सममित और संचारी तीनों गुण चाहिए। / An equivalence relation needs reflexive, symmetric, and transitive properties.

Step 2

Why this answer is correct

यहाँ स्वतः गुण नहीं है इसलिए शर्त पूरी नहीं होती। / Here reflexivity is missing, so the condition is not satisfied.

Step 3

Exam Tip

दो गुण पर्याप्त नहीं होते, तीनों की पुष्टि जरूरी है। / Two properties are not enough; all three must be confirmed.

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Question 23/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((1,2)\in R\), \((2,3)\in R\), तो कौन सा युग्म निश्चित रूप से (R) में होगा?

If (R) is an equivalence relation and \((1,2)\in R\), \((2,3)\in R\), which pair must definitely be in (R)?

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Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध संचारी होता है। / An equivalence relation is transitive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से संचारीता द्वारा ((1,3)) मिलेगा। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity gives ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में दी गई श्रृंखला से नए युग्म निकालें। / In equivalence relations use the given chain to find required pairs.

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Question 24/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((4,7)\in R\), तो कौन सा युग्म निश्चित रूप से (R) में होगा?

If (R) is an equivalence relation and \((4,7)\in R\), which pair must definitely be in (R)?

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Correct Answer

A. ((7,4))

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध सममित होता है। / An equivalence relation is symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((4,7)) होने पर सममितता से ((7,4)) भी होगा। / If ((4,7)) is present, symmetry gives ((7,4)).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में उलटे युग्म को हमेशा ध्यान में रखें। / In equivalence relations always remember the reverse pair.

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Question 25/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय ({1,2,3,4}) पर समान समता वाले संबंध में (1) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?

In the same-parity relation on ({1,2,3,4}), what is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. ({1,3})

Step 1

Concept

समान समता का अर्थ है दोनों संख्याएँ या तो विषम हों या दोनों सम हों। / Same parity means both numbers are odd or both are even.

Step 2

Why this answer is correct

(1) विषम है और ({1,2,3,4}) में विषम संख्याएँ (1,3) हैं। / (1) is odd, and the odd numbers in ({1,2,3,4}) are (1,3).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग में उसी समूह के अवयव लिखें। / In an equivalence class, write the elements of the same group.

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Question 26/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय ({1,2,3,4,5,6}) में (3) से भाग देने पर समान शेषफल वाले संबंध के कितने तुल्यता वर्ग होंगे?

In ({1,2,3,4,5,6}), how many equivalence classes are formed by the relation of having the same remainder on division by (3)?

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Correct Answer

A. (3)

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर संभव शेषफल (0,1,2) हैं। / On division by (3), the possible remainders are (0,1,2).

Step 2

Why this answer is correct

समान शेषफल वाले अवयव एक ही वर्ग में जाते हैं। / Elements with the same remainder go into the same class.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल (3) तुल्यता वर्ग बनेंगे। / Hence (3) equivalence classes are formed.

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Question 27/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समान शेषफल (3) से भाग देने वाले संबंध में समुच्चय ({1,2,3,4,5,6}) पर (2) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?

For the same-remainder modulo (3) relation on ({1,2,3,4,5,6}), what is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({2,5})

Step 1

Concept

(2) को (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। / Dividing (2) by (3) gives remainder (2).

Step 2

Why this answer is correct

(5) को भी (3) से भाग देने पर शेषफल (2) मिलता है। / Dividing (5) by (3) also gives remainder (2).

Step 3

Exam Tip

समान शेषफल वाले अवयव एक ही तुल्यता वर्ग में रहते हैं। / Elements with the same remainder belong to the same equivalence class.

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Question 28/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि किसी तुल्यता संबंध से विभाजन ({{1,2},{3}}) मिलता है तो कौन सा युग्म संबंध में अवश्य होगा?

If an equivalence relation gives the partition ({{1,2},{3}}), which pair must be in the relation?

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Correct Answer

A. ((1,2))

Step 1

Concept

एक ही भाग में रखे अवयव आपस में संबंधित होते हैं। / Elements placed in the same block are related to each other.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (2) एक ही भाग ({1,2}) में हैं। / (1) and (2) are in the same block ({1,2}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((1,2)) संबंध में अवश्य होगा। / Therefore ((1,2)) must be in the relation.

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Question 29/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर विभाजन ({{1},{2,3}}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?

For the equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\) formed by the partition ({{1},{2,3}}), which pair will not be present?

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Correct Answer

A. ((1,2))

Step 1

Concept

विभाजन से बने तुल्यता संबंध में केवल एक ही भाग के अवयव संबंधित होते हैं। / In an equivalence relation formed by a partition, only elements in the same block are related.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (2) अलग अलग भागों में हैं। / (1) and (2) are in different blocks.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((1,2)) संबंध में नहीं होगा। / Therefore ((1,2)) will not be in the relation.

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Question 30/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

दो अवयवों वाले समुच्चय पर कुल कितने तुल्यता संबंध हो सकते हैं?

How many equivalence relations can be formed on a set with two elements?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (2)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध समुच्चय के विभाजनों से जुड़े होते हैं। / Equivalence relations correspond to partitions of a set.

Step 2

Why this answer is correct

दो अवयवों के विभाजन हैं, दोनों अलग अलग या दोनों साथ। / For two elements, the partitions are both separate or both together.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल (2) तुल्यता संबंध बनते हैं। / Hence there are (2) equivalence relations.

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Question 31/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

तीन अवयवों वाले समुच्चय पर कुल कितने तुल्यता संबंध हो सकते हैं?

How many equivalence relations can be formed on a set with three elements?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंधों की संख्या विभाजनों की संख्या के बराबर होती है। / The number of equivalence relations equals the number of partitions.

Step 2

Why this answer is correct

तीन अवयवों के लिए विभाजन के (5) रूप बनते हैं। / For three elements, there are (5) possible partitions.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल (5) तुल्यता संबंध होंगे। / Therefore there are (5) equivalence relations.

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Question 32/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

गैर रिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध के बारे में सही कथन क्या है?

Which statement is correct about the empty relation on a non-empty set?

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Correct Answer

A. यह सममित और संचारी है पर स्वतः नहींIt is symmetric and transitive but not reflexive

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं होता इसलिए सममितता और संचारीता को तोड़ने वाला युग्म भी नहीं होता। / The empty relation has no pair, so there is no pair that can violate symmetry or transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन गैर रिक्त समुच्चय पर विकर्ण युग्म चाहिए जो अनुपस्थित हैं। / But on a non-empty set, diagonal pairs are needed for reflexivity and they are absent.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह स्वतः नहीं है। / Hence it is not reflexive.

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Question 33/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

किसी गैर रिक्त समुच्चय पर सर्वसम संबंध के बारे में कौन सा कथन सही है?

Which statement is correct about the universal relation on a non-empty set?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

सर्वसम संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं इसलिए सभी विकर्ण युग्म भी होते हैं। / The universal relation contains all possible pairs, so it contains all diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

हर युग्म का उलटा और संचारीता के लिए जरूरी युग्म भी मौजूद होता है। / Every reverse pair and every pair required for transitivity is also present.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Therefore it is an equivalence relation.

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Question 34/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) (A) पर स्वतः संबंध है तो (R) के प्रांत और परिसर के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is a reflexive relation on (A), which statement about the domain and range of (R) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. दोनों (A) के बराबर होंगेBoth are equal to (A)

Step 1

Concept

स्वतः संबंध में हर \(a\in A\) के लिए ((a,a)) होता है। / In a reflexive relation, ((a,a)) is present for every \(a\in A\).

Step 2

Why this answer is correct

इससे हर अवयव पहले घटक और दूसरे घटक दोनों रूप में आता है। / Thus every element appears as both first and second component.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रांत और परिसर दोनों (A) होंगे। / Therefore both domain and range are (A).

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Question 35/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) (A) पर सममित संबंध है तो प्रांत और परिसर के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is a symmetric relation on (A), which statement about domain and range is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. प्रांत और परिसर समान होंगेDomain and range will be equal

Step 1

Concept

सममित संबंध में ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी होता है। / In a symmetric relation, ((a,b)) comes with ((b,a)).

Step 2

Why this answer is correct

जो अवयव पहले घटक में आता है वह दूसरे घटक में भी आ जाता है। / Any element appearing as a first component also appears as a second component.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रांत और परिसर समान होते हैं। / Hence domain and range are equal.

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Question 36/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है तो यह संचारी क्यों नहीं है?

Why is \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) not transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,3)) अनुपस्थित है((1,3)) is missing

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संचारीता के लिए ((1,3)) होना चाहिए पर यह अनुपस्थित है। / Transitivity requires ((1,3)), but it is absent.

Step 3

Exam Tip

संचारीता में बीच वाला अवयव समान होने पर तीसरा युग्म अवश्य जाँचें। / In transitivity check the third pair whenever the middle element matches.

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Question 37/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) \(A=\{1,2,3\}\) पर है तो कौन सा गुण सही है?

If \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वतः और संचारी पर सममित नहींReflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

सभी विकर्ण युग्म मौजूद हैं इसलिए संबंध स्वतः है। / All diagonal pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) भी मौजूद है इसलिए संचारीता सुरक्षित है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is present, so transitivity is safe.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) का उलटा ((2,1)) नहीं है इसलिए सममित नहीं। / The reverse ((2,1)) of ((1,2)) is absent, so it is not symmetric.

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Question 38/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है तो तुल्यता संबंध बनने में कौन सा युग्म कमी दिखाता है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which missing pair prevents it from being an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

संबंध स्वतः है और दिए गए गैर विकर्ण युग्म अपने उलटे के साथ हैं। / The relation is reflexive and the given non-diagonal pairs have their reverses.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन ((1,2)) और ((2,3)) से संचारीता के लिए ((1,3)) चाहिए। / But ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)) by transitivity.

Step 3

Exam Tip

यह युग्म नहीं है इसलिए तुल्यता संबंध नहीं बनता। / This pair is missing, so it is not an equivalence relation.

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Question 39/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A\) का विलोम संबंध क्या होगा?

On \(A=\{1,2,3\}\), what is the inverse relation of \(R=A\times A\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(A\times A\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में सभी संभव युग्म होते हैं। / \(A\times A\) contains all possible pairs.

Step 2

Why this answer is correct

किसी भी युग्म को उलटने पर वह फिर \(A\times A\) में ही रहता है। / Reversing any pair still gives a pair in \(A\times A\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सर्वसम संबंध का विलोम वही सर्वसम संबंध होता है। / Therefore the inverse of the universal relation is the universal relation itself.

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Question 40/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) स्वतः संबंध है तो क्या \(R^{-1}\) भी स्वतः होगा?

If (R) is reflexive, will \(R^{-1}\) also be reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

स्वतः संबंध में हर ((a,a)) मौजूद होता है। / A reflexive relation contains every ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

((a,a)) को उलटने पर फिर ((a,a)) ही मिलता है। / Reversing ((a,a)) again gives ((a,a)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए विलोम संबंध भी स्वतः रहेगा। / Therefore the inverse relation also remains reflexive.

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Question 41/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) सममित संबंध है तो \(R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is symmetric, which statement about \(R^{-1}\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(R^{-1}=R\)

Step 1

Concept

सममित संबंध में हर युग्म का उलटा पहले से संबंध में होता है। / In a symmetric relation, the reverse of every pair is already in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

विलोम लेने पर वही युग्मों का समूह वापस मिलता है। / Taking the inverse gives the same set of pairs back.

Step 3

Exam Tip

सममित संबंध की सरल पहचान \(R^{-1}=R\) है। / A simple identity for a symmetric relation is \(R^{-1}=R\).

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Question 42/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) है तो कौन सा युग्म संचारीता की जाँच में ((1,3)) और ((3,3)) से चाहिए?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\), which pair is required from ((1,3)) and ((3,3)) while checking transitivity?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

((1,3)) और ((3,3)) में बीच का अवयव (3) समान है। / In ((1,3)) and ((3,3)), the middle element (3) matches.

Step 2

Why this answer is correct

संचारीता के लिए ((1,3)) चाहिए जो पहले से मौजूद है। / Transitivity requires ((1,3)), which is already present.

Step 3

Exam Tip

संचारीता में जरूरी युग्म कभी वही युग्म भी हो सकता है। / In transitivity, the required pair can sometimes be an already existing pair.

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Question 43/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) के तुल्यता वर्गों का सही समूह कौन सा है?

For \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which is the correct set of equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({{1,2},{3}})

Step 1

Concept

(1) और (2) आपस में संबंधित हैं क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं। / (1) and (2) are related because ((1,2)) and ((2,1)) are present.

Step 2

Why this answer is correct

(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) बनते हैं। / Therefore the classes are ({1,2}) and ({3}).

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Question 44/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध समान समता का है तो ((1,4)) के बारे में क्या सही है?

If the relation on \(A=\{1,2,3,4\}\) is same parity, what is true about ((1,4))?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह संबंध में नहीं हैIt is not in the relation

Step 1

Concept

(1) विषम है और (4) सम है। / (1) is odd and (4) is even.

Step 2

Why this answer is correct

समान समता वाले संबंध में दोनों संख्याओं की समता समान होनी चाहिए। / In the same-parity relation, both numbers must have the same parity.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((1,4)) संबंध में नहीं होगा। / Therefore ((1,4)) is not in the relation.

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Question 45/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों विषम हों, तो कौन सा युग्म संबंध में होगा?

If on \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) when (a) and (b) are both even or both odd, which pair belongs to the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((2,4))

Step 1

Concept

दिए संबंध में दोनों अवयवों की समता समान होनी चाहिए। / In the given relation, both elements must have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (4) दोनों सम हैं इसलिए ((2,4)) संबंध में है। / (2) and (4) are both even, so ((2,4)) belongs to the relation.

Step 3

Exam Tip

समता संबंध में सम के साथ सम और विषम के साथ विषम रखें। / In parity relations pair even with even and odd with odd.

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Question 46/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) है तो (R) का प्रांत क्या है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\), what is the domain of (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,2})

Step 1

Concept

प्रांत पहले घटकों से बनता है। / The domain is formed from first components.

Step 2

Why this answer is correct

दिए युग्मों के पहले घटक (1,2,1,2) हैं। / The first components are (1,2,1,2).

Step 3

Exam Tip

दोहराव हटाकर प्रांत ({1,2}) होगा। / Removing repetition gives the domain ({1,2}).

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Question 47/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) है तो (R) स्वतः क्यों नहीं है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\), why is (R) not reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((3,3)) अनुपस्थित है((3,3)) is absent

Step 1

Concept

स्वतः संबंध की जाँच आधार समुच्चय (A) के हर अवयव पर होती है। / Reflexivity is checked for every element of the base set (A).

Step 2

Why this answer is correct

(3) (A) में है पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। / (3) is in (A), but ((3,3)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

केवल प्रांत देखकर स्वतः गुण तय न करें, पूरा आधार समुच्चय देखें। / Do not decide reflexivity only from the domain; check the whole base set.

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Question 48/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) और (S) दोनों (A) पर स्वतः संबंध हैं तो \(R\cap S\) के बारे में क्या सही है?

If (R) and (S) are both reflexive relations on (A), what is true about \(R\cap S\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह भी स्वतः होगाIt will also be reflexive

Step 1

Concept

(R) और (S) दोनों में हर ((a,a)) मौजूद है। / Every ((a,a)) is present in both (R) and (S).

Step 2

Why this answer is correct

जो विकर्ण युग्म दोनों में हैं वे प्रतिच्छेद में भी रहेंगे। / The diagonal pairs common to both remain in the intersection.

Step 3

Exam Tip

इसलिए \(R\cap S\) स्वतः संबंध होगा। / Therefore \(R\cap S\) is reflexive.

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Question 49/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) और (S) दोनों (A) पर सममित संबंध हैं तो \(R\cup S\) के बारे में क्या सही है?

If (R) and (S) are both symmetric relations on (A), what is true about \(R\cup S\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह भी सममित होगाIt will also be symmetric

Step 1

Concept

यदि कोई युग्म \(R\cup S\) में है तो वह (R) या (S) में होगा। / If a pair is in \(R\cup S\), it belongs to (R) or (S).

Step 2

Why this answer is correct

जिस संबंध में वह युग्म है उसमें उसका उलटा भी होगा, इसलिए उलटा युग्म भी \(R\cup S\) में होगा। / In that relation, its reverse is also present, so the reverse is in \(R\cup S\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सममित संबंधों का सम्मिलन सममित रहता है। / Hence the union of symmetric relations remains symmetric.

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Question 50/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 1

यदि (R) और (S) दोनों संचारी संबंध हैं तो \(R\cup S\) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) and (S) are both transitive relations, which statement about \(R\cup S\) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह हमेशा संचारी हो यह जरूरी नहींIt need not always be transitive

Step 1

Concept

अलग अलग संबंधों से आए युग्म मिलकर नई श्रृंखला बना सकते हैं। / Pairs coming from different relations can form a new chain.

Step 2

Why this answer is correct

उस नई श्रृंखला के लिए जरूरी तीसरा युग्म सम्मिलन में न भी हो सकता है। / The third pair required for that new chain may not be present in the union.

Step 3

Exam Tip

इसलिए संचारी संबंधों का सम्मिलन हमेशा संचारी नहीं माना जाता। / Therefore the union of transitive relations is not always transitive.

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Question 51/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) है, तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), what type of relation is (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वपरक और सममितReflexive and symmetric

Step 1

Concept

स्वपरकता के लिए सभी स्वयं युग्म मौजूद होने चाहिए। / Reflexivity needs all self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मौजूद हैं और ((1,2)) के साथ ((2,1)) भी है। / ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) are present and ((1,2)) has ((2,1)).

Step 3

Exam Tip

पहले स्वयं युग्म फिर उल्टे युग्म जांचना अच्छा तरीका है। / Check self-pairs first and then reverse pairs.

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Question 52/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) है, तो (R) समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि यह सममित नहीं हैBecause it is not symmetric

Step 1

Concept

समतुल्यता संबंध के लिए स्वपरकता, सममितता और संक्रामकता तीनों चाहिए। / An equivalence relation needs reflexivity, symmetry, and transitivity.

Step 2

Why this answer is correct

यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is missing, so symmetry fails.

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता में एक भी गुण छूटे तो संबंध समतुल्यता नहीं होगा। / If even one property is missing, the relation is not equivalence.

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Question 53/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि किसी समुच्चय (A) में (4) तत्व हैं, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If a set (A) has (4) elements, how many relations are possible on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^{16}\)

Step 1

Concept

(A) पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation on (A) is a subset of \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.

Step 3

Exam Tip

उपसमुच्चयों की संख्या \(2^{16}\) होगी, इसलिए यही उत्तर है। / The number of subsets is \(2^{16}\), so that is the answer.

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Question 54/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (3) तत्व हैं, तो (A) पर स्वपरक संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (3) elements, what is the number of reflexive relations on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

स्वपरक संबंध में (3) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must include (3) self-pairs.

Step 2

Why this answer is correct

\(A\times A\) में (9) युग्म हैं, इसलिए (6) युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जा सकते हैं। / \(A\times A\) has (9) pairs, so (6) pairs are freely chosen.

Step 3

Exam Tip

स्वपरक संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / The number of reflexive relations is \(2^6\).

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Question 55/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) है, तो (R) \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\), why is (R) not symmetric on \(A=\{1,2,3\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित हैBecause ((2,1)) is missing

Step 1

Concept

सममितता में प्रत्येक युग्म का उल्टा युग्म भी होना चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) का उल्टा ((2,1)) है, जो संबंध में नहीं है। / The reverse of ((1,2)) is ((2,1)), which is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

एक भी उल्टा युग्म न मिलने पर सममितता समाप्त हो जाती है। / Missing even one reverse pair breaks symmetry.

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Question 56/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है, तो इसे संक्रामक बनाने के लिए कौन सा युग्म जोड़ना जरूरी है?

If \(R=\{(1,2),(2,3)\}\), which pair must be added to make it transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. ((1,3))

Step 1

Concept

संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। / Transitivity needs ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) जरूरी है। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता में पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लें। / Take the first entry of the first pair and the second entry of the second pair.

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Question 57/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\), तो (A) पर सर्वसम संबंध कौन सा है?

If \(A=\{1,2,3\}\), which is the identity relation on (A)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ({(1,1),(2,2),(3,3)})

Step 1

Concept

सर्वसम संबंध में हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित होता है। / In the identity relation, every element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (1), (2), (3) के लिए ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) मिलते हैं। / So for (1), (2), and (3), the pairs are ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग तत्वों वाले युग्म सर्वसम संबंध में नहीं होते। / Pairs with different entries are not part of the identity relation.

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Question 58/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (2) तत्व और (B) में (3) तत्व हैं, तो (A) से (B) में कुल संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (2) elements and (B) has (3) elements, how many relations are possible from (A) to (B)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation from (A) to (B) is a subset of \(A\times B\).

Step 2

Why this answer is correct

\(A\times B\) में \(2\times3=6\) युग्म हैं। / \(A\times B\) has \(2\times3=6\) pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंध \(2^6\) होंगे। / Therefore, the number of relations is \(2^6\).

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Question 59/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) में कौन से गुण निश्चित हैं?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which properties are definite?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वपरक और सममितReflexive and symmetric

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म होने से संबंध स्वपरक है। / Since all self-pairs are present, the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)) और ((2,3)) के साथ ((3,2)) हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), and ((2,3)) has ((3,2)).

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता अलग से जांचनी पड़ती है, इसलिए यहां निश्चित गुण स्वपरक और सममित हैं। / Transitivity needs a separate check, so the definite properties here are reflexive and symmetric.

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Question 60/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है, तो \(A=\{1,2,3\}\) पर यह स्वपरक क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), why is it not reflexive on \(A=\{1,2,3\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. क्योंकि स्वयं युग्म नहीं हैंBecause self-pairs are missing

Step 1

Concept

स्वपरकता के लिए हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। / Reflexivity requires a self-pair for every element.

Step 2

Why this answer is correct

((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) संबंध में नहीं हैं। / ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) are not in the relation.

Step 3

Exam Tip

सममितता जैसी दिखने वाली स्थिति स्वपरकता की जगह नहीं ले सकती। / A relation may look symmetric, but that does not replace reflexivity.

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Question 61/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) के लिए सही कथन चुनिए।

Choose the correct statement for \(R=\{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\).

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह संक्रामक हैIt is transitive

Step 1

Concept

मुख्य कड़ी ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) की जांच करती है। / The main chain ((1,2)) and ((2,3)) asks for ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) मौजूद है और स्वयं युग्म भी संक्रामकता में बाधा नहीं हैं। / ((1,3)) is present, and self-pairs do not create a problem.

Step 3

Exam Tip

संक्रामकता में सभी बनी हुई कड़ियों को धीरे-धीरे जांचें। / Check all formed chains carefully for transitivity.

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Question 62/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)\}\), तो कौन सा गुण निश्चित रूप से नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property is definitely absent?

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Correct Answer

B. सममितताSymmetry

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) है लेकिन ((3,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,3)) is present but ((3,1)) is missing, so symmetry is absent.

Step 3

Exam Tip

अलग तत्वों वाले हर युग्म का उल्टा युग्म जरूर जांचें। / For every non-self pair, always check its reverse pair.

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Question 63/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) है, तो (A) पर सार्वत्रिक संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?

If \(A=\{1,2,3\}\), how many ordered pairs are in the universal relation on (A)?

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Correct Answer

C. 9

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। / The universal relation is equal to \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (3) तत्व हैं, इसलिए \(3^2=9\) युग्म होंगे। / (A) has (3) elements, so there are \(3^2=9\) pairs.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध में कोई भी संभावित युग्म छूटता नहीं है। / In the universal relation, no possible pair is left out.

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Question 64/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

किस संबंध में हर तत्व स्वयं से संबंधित होता है, पर उल्टे युग्म की शर्त आवश्यक नहीं होती?

In which relation is every element related to itself, but the reverse-pair condition is not necessary?

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Correct Answer

B. स्वपरक संबंधReflexive relation

Step 1

Concept

हर तत्व का स्वयं से संबंध स्वपरकता की पहचान है। / Every element being related to itself identifies reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

उल्टे युग्म की शर्त सममितता में आती है। / The reverse-pair condition belongs to symmetry.

Step 3

Exam Tip

अलग-अलग गुणों की परिभाषा अलग याद रखें। / Remember the definitions of different properties separately.

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Question 65/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) (A) पर ऐसा संबंध है कि \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\), तो (R) कैसा संबंध है?

If (R) is a relation on (A) such that \((a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\in R\), what type of relation is (R)?

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Correct Answer

C. सममित संबंधSymmetric relation

Step 1

Concept

दिए गए नियम में हर युग्म के साथ उल्टे युग्म की बात है। / The given rule talks about the reverse pair of every pair.

Step 2

Why this answer is correct

यही सममित संबंध की परिभाषा है। / This is the definition of a symmetric relation.

Step 3

Exam Tip

प्रतीकों को शब्दों में बदलकर समझने से गलती कम होती है। / Translating symbols into words reduces mistakes.

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Question 66/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (R) (A) पर ऐसा संबंध है कि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\), तो (R) कौन सा संबंध है?

If (R) is a relation on (A) such that \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\Rightarrow (a,c)\in R\), what type of relation is (R)?

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Correct Answer

C. संक्रामक संबंधTransitive relation

Step 1

Concept

यहां दो जुड़े हुए युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Here two connected pairs require a third pair.

Step 2

Why this answer is correct

यह संक्रामक संबंध की शर्त है। / This is the condition of a transitive relation.

Step 3

Exam Tip

((a,b)), ((b,c)), ((a,c)) की कड़ी को याद रखें। / Remember the chain ((a,b)), ((b,c)), and ((a,c)).

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Question 67/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (R) में \(A\times A\) के सभी युग्म हैं, तो (R) क्या है?

If (R) contains all pairs of \(A\times A\) on \(A=\{1,2,3\}\), what is (R)?

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Correct Answer

C. सार्वत्रिक संबंधUniversal relation

Step 1

Concept

\(A\times A\) के सभी युग्मों वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध कहलाता है। / A relation containing all pairs of \(A\times A\) is called the universal relation.

Step 2

Why this answer is correct

\(A=\{1,2,3\}\) के लिए कुल (9) युग्म होंगे। / For \(A=\{1,2,3\}\), there are (9) pairs.

Step 3

Exam Tip

सभी संभव युग्म दिखें तो संबंध सार्वत्रिक है। / If all possible pairs are present, the relation is universal.

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Question 68/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\varnothing\), तो (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(R=\varnothing\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

C. यह रिक्त संबंध हैIt is an empty relation

Step 1

Concept

\(\varnothing\) में कोई भी क्रमित युग्म नहीं होता। / \(\varnothing\) contains no ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए यह \(A\times A\) का खाली उपसमुच्चय है। / So it is the empty subset of \(A\times A\).

Step 3

Exam Tip

रिक्त संबंध को स्वपरक या सार्वत्रिक समझने से बचें। / Avoid confusing the empty relation with reflexive or universal relation.

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Question 69/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (3) तत्व हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (3) elements, what is the number of symmetric relations on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

सममित संबंध में स्वयं युग्म और बिना क्रम वाले अलग युग्म स्वतंत्र रूप से चुने जाते हैं। / In a symmetric relation, self-pairs and unordered distinct pairs are chosen independently.

Step 2

Why this answer is correct

(n=3) के लिए स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{3(3+1)}{2}=6) है। / For (n=3), independent choices are (\frac{3(3+1)}{2}=6).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) है। / Hence the number of symmetric relations is \(2^6\).

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Question 70/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) \(A=\{1,2\}\) पर है, तो (R) क्या है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2\}\), what is (R)?

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Correct Answer

C. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

((1,1)) और ((2,2)) होने से स्वपरकता है। / ((1,1)) and ((2,2)) make it reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों होने से सममितता है और पूरा संबंध संक्रामक भी है। / Both ((1,2)) and ((2,1)) make it symmetric, and the full relation is transitive.

Step 3

Exam Tip

तीनों गुण मिलकर समतुल्यता संबंध बनाते हैं। / These three properties make it an equivalence relation.

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Question 71/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), तो सही निष्कर्ष कौन सा है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which conclusion is correct?

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Correct Answer

C. यह समतुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वपरक है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा आवश्यक संक्रामक कड़ियां पूरी हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are both present, and the needed transitive checks are satisfied.

Step 3

Exam Tip

तीनों गुण पूरे हों तो संबंध समतुल्यता संबंध है। / When all three properties hold, the relation is an equivalence relation.

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Question 72/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

\(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) के लिए सही कथन चुनिए।

Choose the correct statement for \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\).

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Correct Answer

A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहींReflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए संबंध स्वपरक है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है, इसलिए मुख्य संक्रामकता पूरी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) का उल्टा ((2,1)) नहीं है, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) has no reverse ((2,1)), so it is not symmetric.

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Question 73/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) \(A=\{1,2,3\}\) पर है, तो (R) के लिए सही कथन कौन सा है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. यह सर्वसम और समतुल्यता संबंध हैIt is identity and equivalence relation

Step 1

Concept

हर तत्व केवल अपने आप से संबंधित है, इसलिए यह सर्वसम संबंध है। / Every element is related only to itself, so it is the identity relation.

Step 2

Why this answer is correct

सर्वसम संबंध स्वपरक, सममित और संक्रामक होता है। / The identity relation is reflexive, symmetric, and transitive.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह समतुल्यता संबंध भी है। / Hence it is also an equivalence relation.

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Question 74/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

किस स्थिति में (A) पर संबंध (R) स्वपरक नहीं होगा?

In which situation will a relation (R) on (A) not be reflexive?

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Correct Answer

A. जब किसी \(a\in A\) के लिए \((a,a)\notin R\) होWhen for some \(a\in A\), \((a,a)\notin R\)

Step 1

Concept

स्वपरकता में हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। / Reflexivity needs a self-pair for every element.

Step 2

Why this answer is correct

यदि किसी एक तत्व का भी स्वयं युग्म नहीं है, तो शर्त टूट जाती है। / If even one element has no self-pair, the condition fails.

Step 3

Exam Tip

स्वपरकता जांचते समय पूरे समुच्चय के सभी तत्व देखें। / When checking reflexivity, inspect every element of the whole set.

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Question 75/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\), तो (A) पर स्वपरक संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If \(A=\{1,2,3,4\}\), what is the number of reflexive relations on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^{12}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म हैं। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

स्वपरकता के लिए (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं, इसलिए (12) युग्म स्वतंत्र हैं। / Reflexivity makes (4) self-pairs compulsory, leaving (12) pairs free.

Step 3

Exam Tip

इस कारण स्वपरक संबंधों की संख्या \(2^{12}\) है। / Therefore, the number of reflexive relations is \(2^{12}\).

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Question 76/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{3,4\}\), तो (A) से (B) में संबंध कौन सा हो सकता है?

If \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{3,4\}\), which can be a relation from (A) to (B)?

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Correct Answer

B. ({(1,3),(2,4)})

Step 1

Concept

(A) से (B) में संबंध के हर युग्म का पहला तत्व (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / In a relation from (A) to (B), the first entry must come from (A) and the second from (B).

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) और ((2,4)) इस नियम को पूरा करते हैं। / ((1,3)) and ((2,4)) follow this rule.

Step 3

Exam Tip

क्रमित युग्मों में स्थान बदलने से संबंध बदल जाता है। / Changing the order in ordered pairs changes the relation.

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Question 77/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,1)\}\), तो \(A=\{1,2\}\) पर इसे स्वपरक बनाने के लिए क्या जोड़ना होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,1)\}\), what must be added to make it reflexive on \(A=\{1,2\}\)?

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Correct Answer

A. ((1,1)) और ((2,2))((1,1)) and ((2,2))

Step 1

Concept

स्वपरकता के लिए समुच्चय के हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। / Reflexivity requires the self-pair of every element.

Step 2

Why this answer is correct

\(A=\{1,2\}\) के लिए ((1,1)) और ((2,2)) जरूरी हैं। / For \(A=\{1,2\}\), ((1,1)) and ((2,2)) are required.

Step 3

Exam Tip

अलग तत्वों वाले युग्म स्वपरकता की कमी पूरी नहीं करते। / Pairs with different elements do not complete reflexivity.

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Question 78/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), तो (R) को सममित बनाने के लिए कौन से युग्म जोड़ने होंगे?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), which pairs must be added to make (R) symmetric?

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Correct Answer

A. ({(2,1),(3,2),(1,3)})

Step 1

Concept

सममितता के लिए हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every pair.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए युग्मों के उल्टे ((2,1)), ((3,2)), ((1,3)) हैं। / The reverse pairs are ((2,1)), ((3,2)), and ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

सममित बनाने में छूटे उल्टे युग्म जोड़ना मुख्य काम है। / To make a relation symmetric, add the missing reverse pairs.

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Question 79/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), तो समतुल्यता के लिए कौन से युग्म और चाहिए?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pairs are still needed for equivalence?

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Correct Answer

A. ((1,3)) और ((3,1))((1,3)) and ((3,1))

Step 1

Concept

संबंध स्वपरक और सममित है। / The relation is reflexive and symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, और सममितता के लिए ((3,1)) भी चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and symmetry also needs ((3,1)).

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता में संक्रामक कड़ियों से छूटे युग्म मिलते हैं। / In equivalence, transitive chains reveal missing pairs.

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Question 80/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a=b), तो (R) किस संबंध को दर्शाता है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a=b), which relation does (R) represent?

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Correct Answer

C. सर्वसम संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

(a=b) का मतलब है कि तत्व केवल अपने आप से संबंधित है। / (a=b) means an element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए युग्म ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) होंगे। / So the pairs are ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).

Step 3

Exam Tip

बराबरी से बना संबंध सर्वसम संबंध होता है। / A relation based on equality is the identity relation.

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Question 81/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(a\le b\), तो यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(a\le b\), what type of relation is it?

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Correct Answer

A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहींReflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए स्वपरकता है। / For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है। / From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.

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Question 82/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a<b), तो सही कथन कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a<b), which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. यह संक्रामक है पर स्वपरक नहींIt is transitive but not reflexive

Step 1

Concept

(a<a) कभी सही नहीं होता, इसलिए स्वपरकता नहीं है।

Step 2

Why this answer is correct

(1<2) और (2<3) से (1<3) मिलता है, इसलिए संक्रामकता है।

Step 3

Exam Tip

छोटे से बड़े की दिशा वाला संबंध आमतौर पर सममित नहीं होता। / A relation going from smaller to larger is usually not symmetric.

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Question 83/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a-b) सम संख्या है, तो (R) कैसा संबंध है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a-b) is even, what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) सम है, इसलिए स्वपरकता है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान समता आगे भी बनी रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / Same parity continues through a chain, so it is transitive.

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Question 84/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

पूर्णांकों के समुच्चय पर (aRb) यदि (a-b) (3) से विभाज्य है। यह संबंध कौन सा है?

On the set of integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (3). What type of relation is this?

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Correct Answer

B. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वपरकता है। / (a-a=0) is divisible by (3), so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(a-b) विभाज्य होने पर (b-a) भी विभाज्य होगा, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible, then (b-a) is also divisible, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाली विभाज्यता संक्रामकता भी देती है। / Same-remainder divisibility also gives transitivity.

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Question 85/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,3)\}\), तो \(R^{-1}\) क्या होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,3)\}\), what is \(R^{-1}\)?

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Correct Answer

A. ({(2,1),(3,2),(3,3)})

Step 1

Concept

विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों स्थान बदलते हैं। / In the inverse relation, the two entries of each pair are interchanged.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) से ((2,1)), ((2,3)) से ((3,2)), और ((3,3)) वही रहता है। / ((1,2)) becomes ((2,1)), ((2,3)) becomes ((3,2)), and ((3,3)) remains the same.

Step 3

Exam Tip

स्वयं युग्म विलोम लेने पर नहीं बदलता। / A self-pair does not change in the inverse.

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Question 86/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

किस शर्त पर \(R^{-1}=R\) होता है?

Under which condition is \(R^{-1}=R\)?

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Correct Answer

A. जब (R) सममित होWhen (R) is symmetric

Step 1

Concept

विलोम संबंध में हर युग्म उल्टा हो जाता है। / In the inverse relation, every pair is reversed.

Step 2

Why this answer is correct

यदि हर उल्टा युग्म पहले से संबंध में है, तो विलोम संबंध वही रहेगा। / If every reverse pair is already in the relation, the inverse remains the same.

Step 3

Exam Tip

यही सममितता का मूल विचार है। / This is the basic idea of symmetry.

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Question 87/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\), तो (R) में कौन सा गुण अवश्य है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property is definitely present?

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Correct Answer

B. स्वपरकताReflexivity

Step 1

Concept

संबंध में ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) सभी मौजूद हैं। / The relation contains ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / Therefore, every element is related to itself.

Step 3

Exam Tip

अतिरिक्त युग्म स्वपरकता को खराब नहीं करते। / Extra pairs do not destroy reflexivity.

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Question 88/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\), तो (R) में कौन सा गुण है?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property does (R) have?

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Correct Answer

A. सममितताSymmetry

Step 1

Concept

प्रत्येक अलग युग्म का उल्टा युग्म संबंध में है। / Every distinct pair has its reverse in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) के साथ ((2,1)), ((2,3)) के साथ ((3,2)), और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), ((2,3)) has ((3,2)), and ((1,3)) has ((3,1)).

Step 3

Exam Tip

उल्टे युग्मों की पूरी उपस्थिति सममितता दिखाती है। / Complete presence of reverse pairs shows symmetry.

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Question 89/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\), तो (R) स्वपरक क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not reflexive?

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Correct Answer

C. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित हैBecause ((3,3)) is missing

Step 1

Concept

स्वपरकता पूरे समुच्चय के हर तत्व पर लागू होती है। / Reflexivity applies to every element of the whole set.

Step 2

Why this answer is correct

(3) समुच्चय में है, इसलिए ((3,3)) होना चाहिए। / Since (3) is in the set, ((3,3)) must be present.

Step 3

Exam Tip

कुछ स्वयं युग्म होने से स्वपरकता पूरी नहीं होती। / Having only some self-pairs does not complete reflexivity.

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Question 90/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A\), तो (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If \(R=A\times A\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

C. यह स्वपरक, सममित और संक्रामक हैIt is reflexive, symmetric, and transitive

Step 1

Concept

\(A\times A\) में सभी संभव युग्म होते हैं, इसलिए सभी स्वयं युग्म भी हैं। / \(A\times A\) contains all possible pairs, so all self-pairs are present.

Step 2

Why this answer is correct

हर युग्म का उल्टा और हर संक्रामक कड़ी का जरूरी युग्म भी मौजूद है। / Every reverse pair and every pair needed for transitivity is also present.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध कई बार समतुल्यता संबंध भी होता है। / The universal relation is often also an equivalence relation.

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Question 91/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\varnothing\), तो (R) सममित है या नहीं?

If \(R=\varnothing\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) symmetric?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

सममितता में मौजूद हर युग्म का उल्टा युग्म चाहिए। / Symmetry needs the reverse of every existing pair.

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई युग्म ही नहीं है, इसलिए शर्त का उल्लंघन नहीं होता। / The empty relation has no pairs, so the condition is not violated.

Step 3

Exam Tip

रिक्त संबंध सममित हो सकता है, पर गैर-रिक्त समुच्चय पर स्वपरक नहीं होता। / The empty relation can be symmetric, but it is not reflexive on a non-empty set.

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Question 92/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\varnothing\), तो (R) संक्रामक है या नहीं?

If \(R=\varnothing\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) transitive?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

संक्रामकता तब टूटती है जब दो युग्म हों पर तीसरा जरूरी युग्म न हो। / Transitivity fails only when two pairs exist but the required third pair is missing.

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई दो युग्म उपलब्ध नहीं हैं, इसलिए शर्त नहीं टूटती। / In the empty relation, no such two pairs exist, so the condition is not broken.

Step 3

Exam Tip

रिक्त संबंध को संक्रामक माना जाता है। / The empty relation is considered transitive.

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Question 93/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (A) में (1) तत्व है, तो (A) पर कुल संबंधों की संख्या कितनी है?

If (A) has (1) element, how many total relations are possible on (A)?

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Correct Answer

B. 2

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(1^2=1\) युग्म होगा। / \(A\times A\) has \(1^2=1\) pair.

Step 2

Why this answer is correct

इस एक युग्म के दो उपसमुच्चय बनेंगे, एक रिक्त और एक उसी युग्म वाला। / This one pair has two subsets: the empty subset and the subset containing that pair.

Step 3

Exam Tip

कुल संबंधों के लिए \(2^{n^2}\) का उपयोग करें। / Use \(2^{n^2}\) for total relations.

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Question 94/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{4,5\}\), तो \(A\times B\) में कितने युग्म होंगे?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{4,5\}\), how many pairs are there in \(A\times B\)?

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Correct Answer

B. 6

Step 1

Concept

\(A\times B\) में पहले स्थान के लिए (3) और दूसरे स्थान के लिए (2) विकल्प हैं। / In \(A\times B\), there are (3) choices for the first entry and (2) choices for the second.

Step 2

Why this answer is correct

कुल युग्म \(3\times2=6\) होंगे। / Total pairs are \(3\times2=6\).

Step 3

Exam Tip

कार्तीय गुणन में तत्वों की संख्याओं का गुणा करते हैं। / In Cartesian product, multiply the numbers of elements.

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Question 95/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\), तो (R) को सार्वत्रिक बनाने के लिए क्या जोड़ना होगा?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\), what must be added to make (R) universal?

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Correct Answer

A. ((2,3)) और ((3,2))((2,3)) and ((3,2))

Step 1

Concept

\(A\times A\) में कुल (9) युग्म होने चाहिए। / \(A\times A\) must contain (9) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में केवल ((2,3)) और ((3,2)) छूट रहे हैं। / In the given relation, only ((2,3)) and ((3,2)) are missing.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध के लिए हर छूटा हुआ युग्म जोड़ना होता है। / To make a relation universal, add every missing pair.

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Question 96/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि (aRb) का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?

If (aRb) means (a) and (b) have the same parity, which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. यह समतुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या की समता अपने जैसी होती है, इसलिए स्वपरकता है। / Every number has the same parity as itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) की समता (b) जैसी है, तो (b) की समता भी (a) जैसी है। / If (a) has the same parity as (b), then (b) has the same parity as (a).

Step 3

Exam Tip

समान समता की कड़ी आगे भी बनी रहती है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / Same parity continues through a chain, so it is an equivalence relation.

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Question 97/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\), तो \(R^{-1}\) क्या होगा?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what is \(R^{-1}\)?

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Correct Answer

A. (R) ही(R) itself

Step 1

Concept

विलोम संबंध में हर युग्म उल्टा होता है। / In an inverse relation, every pair is reversed.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में हर युग्म का उल्टा युग्म पहले से मौजूद है। / In the given relation, the reverse of every pair is already present.

Step 3

Exam Tip

ऐसे सममित संबंध का विलोम वही संबंध होता है। / The inverse of such a symmetric relation is the relation itself.

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Question 98/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\), तो (R) स्वपरक क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((3,3)) नहीं हैBecause ((3,3)) is missing

Step 1

Concept

स्वपरकता में समुच्चय के हर तत्व का स्वयं युग्म चाहिए। / Reflexivity requires a self-pair for every element of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(3) भी (A) का तत्व है, पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। / (3) is also an element of (A), but ((3,3)) is missing.

Step 3

Exam Tip

दिए गए युग्मों से पहले मूल समुच्चय को ध्यान से देखें। / Always look carefully at the original set before judging the relation.

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Question 99/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\), तो संक्रामकता की मुख्य कड़ी कौन सी है?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what is the main chain for transitivity?

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Correct Answer

A. ((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3))((1,2)) and ((2,3)) give ((1,3))

Step 1

Concept

संक्रामकता में दूसरे स्थान और पहले स्थान का बीच वाला तत्व समान होना चाहिए। / In transitivity, the second entry of the first pair and the first entry of the second pair must match.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) में (2) बीच में समान है, इसलिए ((1,3)) चाहिए। / In ((1,2)) and ((2,3)), the middle element (2) matches, so ((1,3)) is needed.

Step 3

Exam Tip

सही कड़ी पहचानना संक्रामकता के प्रश्नों की कुंजी है। / Identifying the correct chain is the key to transitivity questions.

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Question 100/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 2

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) के लिए सही कथन कौन सा है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement about (R) is correct?

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Correct Answer

A. यह स्वपरक और सममित हैIt is reflexive and symmetric

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं, इसलिए संबंध स्वपरक है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) के साथ ((3,2)) भी मौजूद है और स्वयं युग्म अपने उल्टे खुद हैं। / ((2,3)) has ((3,2)), and self-pairs reverse to themselves.

Step 3

Exam Tip

स्वपरकता और सममितता को अलग-अलग जांचना चाहिए। / Reflexivity and symmetry should be checked separately.

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Question 101/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन चुनिए।

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), choose the correct statement about (R).

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Correct Answer

A. स्वपरक और सममितReflexive and symmetric

Step 1

Concept

स्वपरकता के लिए सभी स्वयं युग्म चाहिए और चारों स्वयं युग्म मौजूद हैं। / Reflexivity needs all self-pairs, and all four self-pairs are present.

Step 2

Why this answer is correct

अलग युग्म ((1,2)) के साथ उसका उल्टा ((2,1)) भी मौजूद है। / The non-self pair ((1,2)) has its reverse ((2,1)).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्न में पहले स्वयं युग्म और फिर उल्टे युग्म जांचें। / In such questions, check self-pairs first and reverse pairs next.

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Question 102/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है, तो (R) किस गुण के कारण सममित नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not symmetric?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित हैBecause ((2,1)) is missing

Step 1

Concept

सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every pair.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) दिया है पर ((2,1)) नहीं है इसलिए सममितता टूटती है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is absent, so symmetry fails.

Step 3

Exam Tip

एक भी उल्टा युग्म छूटे तो संबंध सममित नहीं रहता। / Missing even one reverse pair makes the relation non-symmetric.

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Question 103/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि किसी समुच्चय में (5) तत्व हैं, तो उस पर कुल संबंधों की संख्या क्या होगी?

If a set has (5) elements, what is the total number of relations on it?

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Correct Answer

C. \(2^{25}\)

Step 1

Concept

(n) तत्वों वाले समुच्चय पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation on a set with (n) elements is a subset of \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

यहां \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होंगे। / Here \(A\times A\) has \(5^2=25\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) होगी। / Therefore, the total number of relations is \(2^{25}\).

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Question 104/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो (A) पर स्वपरक संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (4) elements, how many reflexive relations are possible on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^{12}\)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

स्वपरक संबंध के लिए (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं इसलिए (12) युग्म स्वतंत्र हैं। / A reflexive relation must contain (4) self-pairs, leaving (12) pairs free.

Step 3

Exam Tip

संख्या \(2^{12}\) होगी। / The number is \(2^{12}\).

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Question 105/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\), तो कौन सा गुण निश्चित रूप से नहीं है?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\), which property is definitely absent?

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Correct Answer

B. सममितताSymmetry

Step 1

Concept

तीनों स्वयं युग्म मौजूद हैं इसलिए संबंध स्वपरक है। / All three self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) मौजूद है लेकिन ((3,1)) नहीं है। / ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.

Step 3

Exam Tip

इसलिए सममितता निश्चित रूप से नहीं है। / Therefore, symmetry is definitely absent.

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Question 106/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) है, तो संक्रामकता की पहली कमी किस युग्म से पूरी होगी?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), which pair first fills the gap for transitivity?

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Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

यह युग्म दिए गए संबंध में नहीं है। / This pair is missing from the relation.

Step 3

Exam Tip

लंबी कड़ी में पहले पास-पास के युग्मों से शुरू करें। / In a long chain, start with adjacent connected pairs.

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Question 107/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,4)\}\), तो पूर्ण संक्रामकता के लिए कौन सा युग्म अभी भी आवश्यक है?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,4)\}\), which pair is still required for full transitivity?

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Correct Answer

A. ((2,4))

Step 1

Concept

((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। / From ((2,3)) and ((3,4)), transitivity requires ((2,4)).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में ((2,4)) नहीं है इसलिए संक्रामकता पूरी नहीं है। / ((2,4)) is missing, so transitivity is not complete.

Step 3

Exam Tip

सभी संभव कड़ियां जांचें, केवल पहली कड़ी नहीं। / Check all possible chains, not only the first one.

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Question 108/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), तो यह किस विभाजन से जुड़ा समतुल्यता संबंध है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which partition is associated with this equivalence relation?

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Correct Answer

A. ({{1,2},{3}})

Step 1

Concept

(1) और (2) आपस में संबंधित हैं क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं। / (1) and (2) are related because ((1,2)) and ((2,1)) are present.

Step 2

Why this answer is correct

(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).

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Question 109/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

पूर्णांकों पर (aRb) यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (7) किस वर्ग में आएगा?

On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (5). In which class will (7) lie?

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Correct Answer

A. (5) से भाग देने पर शेष (2) वाला वर्गClass of numbers leaving remainder (2) when divided by (5)

Step 1

Concept

(7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / Dividing (7) by (5) gives remainder (2).

Step 2

Why this answer is correct

इस संबंध में समान शेष वाली संख्याएं एक ही वर्ग में होती हैं। / In this relation, numbers with the same remainder lie in the same class.

Step 3

Exam Tip

शेषफल आधारित संबंधों में वर्ग शेष से पहचानें। / In remainder-based relations, identify classes by the remainder.

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Question 110/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हैं, तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

If on \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if (a) and (b) are both even or both odd, what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या अपनी समता खुद जैसी रखती है इसलिए स्वपरकता है। / Every number has the same parity as itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

समान समता की बात उलटने पर भी सही रहती है इसलिए सममितता है। / Same parity remains true when the order is reversed, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

समान समता की कड़ी आगे भी बनी रहती है इसलिए संक्रामकता है। / Same parity continues through a chain, so transitivity holds.

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Question 111/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a+b) सम है, तो सही कथन कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a+b) is even, which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह समतुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

(a+a=2a) हमेशा सम है इसलिए स्वपरकता है। / (a+a=2a) is always even, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) और (b+a) समान हैं इसलिए सममितता है। / (a+b) and (b+a) are the same, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

समान समता वाले तत्वों के बीच यह संबंध संक्रामक भी होता है। / This relation is also transitive because it connects elements of the same parity.

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Question 112/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a+b) विषम है, तो (R) स्वपरक क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a+b) is odd, why is (R) not reflexive?

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Correct Answer

A. क्योंकि (a+a) हमेशा सम होता हैBecause (a+a) is always even

Step 1

Concept

स्वपरकता के लिए ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)) to be in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन (a+a=2a) हमेशा सम है, विषम नहीं। / But (a+a=2a) is always even, not odd.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कोई भी स्वयं युग्म इस नियम से नहीं बनता। / Therefore, no self-pair is formed by this rule.

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Question 113/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a) (b) को विभाजित करता है, तो कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a) divides (b), which statement is correct?

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Correct Answer

A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहींReflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है इसलिए स्वपरकता है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करता है, तो (a) (c) को विभाजित करता है। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c).

Step 3

Exam Tip

(1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / (1) divides (2), but (2) does not divide (1), so it is not symmetric.

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Question 114/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(a\ge b\), तो (R) कैसा संबंध है?

On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(a\ge b\), what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहींReflexive and transitive but not symmetric

Step 1

Concept

हर (a) के लिए \(a\ge a\) सही है इसलिए स्वपरकता है। / For every (a), \(a\ge a\) is true, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\ge b\) और \(b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है इसलिए संक्रामकता है। / \(a\ge b\) and \(b\ge c\) imply \(a\ge c\), so it is transitive.

Step 3

Exam Tip

\(2\ge1\) सही है पर \(1\ge2\) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2\ge1\) is true but \(1\ge2\) is false, so it is not symmetric.

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Question 115/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\), तो (R) किस विभाजन से जुड़ा है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), which partition is associated with (R)?

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Correct Answer

A. ({{1,3},{2,4}})

Step 1

Concept

(1) और (3) आपस में संबंधित हैं। / (1) and (3) are related to each other.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (4) आपस में संबंधित हैं। / (2) and (4) are related to each other.

Step 3

Exam Tip

इसलिए समतुल्यता वर्ग ({1,3}) और ({2,4}) बनते हैं। / Hence the equivalence classes are ({1,3}) and ({2,4}).

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Question 116/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), तो \(R^{-1}\) क्या होगा?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), what is \(R^{-1}\)?

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Correct Answer

A. (R) ही(R) itself

Step 1

Concept

विलोम संबंध में हर युग्म का क्रम बदलता है। / In the inverse relation, the order of each pair is changed.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) एक-दूसरे के विलोम हैं, इसी तरह ((2,3)) और ((3,2)) भी हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are reverses, and so are ((2,3)) and ((3,2)).

Step 3

Exam Tip

इसलिए विलोम संबंध (R) ही रहेगा। / Therefore, the inverse relation is (R) itself.

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Question 117/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,3),(2,3),(3,1)\}\), तो \(R^{-1}\) कौन सा है?

If \(R=\{(1,3),(2,3),(3,1)\}\), which is \(R^{-1}\)?

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Correct Answer

A. ({(3,1),(3,2),(1,3)})

Step 1

Concept

हर क्रमित युग्म के दोनों स्थान बदलें। / Interchange the entries of every ordered pair.

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) से ((3,1)), ((2,3)) से ((3,2)), और ((3,1)) से ((1,3)) मिलता है। / ((1,3)) gives ((3,1)), ((2,3)) gives ((3,2)), and ((3,1)) gives ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

विलोम निकालते समय कोई युग्म छोड़ें नहीं। / Do not skip any pair while finding the inverse.

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Question 118/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\), तो समतुल्यता के लिए कौन से युग्म और चाहिए?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pairs are still needed for equivalence?

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Correct Answer

A. ((2,3)) और ((3,2))((2,3)) and ((3,2))

Step 1

Concept

(1) (2) से और (1) (3) से संबंधित है। / (1) is related to (2), and (1) is related to (3).

Step 2

Why this answer is correct

संक्रामकता और सममितता के कारण (2) और (3) भी आपस में संबंधित होने चाहिए। / By transitivity and symmetry, (2) and (3) must also be related to each other.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((2,3)) और ((3,2)) जोड़ने होंगे। / Hence ((2,3)) and ((3,2)) must be added.

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Question 119/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) सर्वसम संबंध है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?

If (R) is the identity relation on \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in (R)?

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Correct Answer

A. 4

Step 1

Concept

सर्वसम संबंध में हर तत्व का केवल स्वयं युग्म होता है। / In the identity relation, each element has only its self-pair.

Step 2

Why this answer is correct

(4) तत्वों के लिए (4) स्वयं युग्म होंगे। / For (4) elements, there are (4) self-pairs.

Step 3

Exam Tip

सर्वसम संबंध में युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of pairs in the identity relation equals the number of elements.

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Question 120/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सार्वत्रिक संबंध है, तो उसमें कितने युग्म होंगे?

If the universal relation is on \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs will it contain?

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Correct Answer

C. 16

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। / The universal relation is equal to \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

(A) में (4) तत्व हैं, इसलिए \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म हैं। / Since (A) has (4) elements, \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध में कोई संभव युग्म छूटता नहीं है। / No possible pair is left out in the universal relation.

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Question 121/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) समतुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि ((1,3)) अनुपस्थित हैBecause ((1,3)) is missing

Step 1

Concept

संबंध स्वपरक और सममित है। / The relation is reflexive and symmetric.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

((1,3)) नहीं है, इसलिए यह समतुल्यता संबंध नहीं है। / Since ((1,3)) is missing, it is not an equivalence relation.

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Question 122/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) का सही नाम क्या है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), what is the correct name of (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सार्वत्रिक संबंधUniversal relation

Step 1

Concept

\(A=\{1,2,3\}\) के लिए \(A\times A\) में कुल (9) युग्म होते हैं। / For \(A=\{1,2,3\}\), \(A\times A\) has (9) pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में सभी (9) युग्म मौजूद हैं। / The given relation contains all (9) pairs.

Step 3

Exam Tip

सभी युग्मों वाला संबंध सार्वत्रिक संबंध है। / A relation containing all pairs is the universal relation.

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Question 123/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\varnothing\) किसी अरिक्त समुच्चय (A) पर है, तो कौन सा कथन सही है?

If \(R=\varnothing\) on a non-empty set (A), which statement is correct?

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Correct Answer

A. यह सममित और संक्रामक है पर स्वपरक नहींIt is symmetric and transitive but not reflexive

Step 1

Concept

रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए सममितता और संक्रामकता की शर्त नहीं टूटती। / The empty relation has no pair, so symmetry and transitivity conditions are not violated.

Step 2

Why this answer is correct

अरिक्त समुच्चय में स्वयं युग्म चाहिए, पर वे अनुपस्थित हैं। / A non-empty set needs self-pairs for reflexivity, but they are absent.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह स्वपरक नहीं है। / Hence it is not reflexive.

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Question 124/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (R) सममित है और \((2,3)\in R\), तो कौन सा युग्म अवश्य (R) में होगा?

If (R) is symmetric on \(A=\{1,2,3\}\) and \((2,3)\in R\), which pair must be in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((3,2))

Step 1

Concept

सममित संबंध में किसी भी युग्म का उल्टा युग्म भी होता है। / In a symmetric relation, the reverse of any pair is also present.

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) का उल्टा ((3,2)) है। / The reverse of ((2,3)) is ((3,2)).

Step 3

Exam Tip

सममितता में स्वयं युग्म जरूरी नहीं, उल्टा युग्म जरूरी है। / Symmetry requires reverse pairs, not necessarily self-pairs.

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Question 125/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) स्वपरक है और \(A=\{5,6,7\}\), तो कौन सा युग्म (R) में अवश्य होगा?

If (R) is reflexive and \(A=\{5,6,7\}\), which pair must be in (R)?

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Correct Answer

A. ((6,6))

Step 1

Concept

स्वपरक संबंध में हर तत्व अपने आप से संबंधित होता है। / In a reflexive relation, every element is related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

(6) समुच्चय (A) का तत्व है, इसलिए ((6,6)) होना जरूरी है। / Since (6) is an element of (A), ((6,6)) must be present.

Step 3

Exam Tip

स्वपरकता में अलग-अलग तत्वों वाले युग्म अनिवार्य नहीं होते। / Pairs with different elements are not compulsory for reflexivity.

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Question 126/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (R) संक्रामक है और \((4,5)\in R\), \((5,8)\in R\), तो कौन सा युग्म (R) में अवश्य होगा?

If (R) is transitive and \((4,5)\in R\), \((5,8)\in R\), which pair must be in (R)?

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Correct Answer

A. ((4,8))

Step 1

Concept

संक्रामकता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) मिलता है। / Transitivity gives ((a,c)) from ((a,b)) and ((b,c)).

Step 2

Why this answer is correct

यहां (a=4), (b=5), (c=8) है। / Here (a=4), (b=5), and (c=8).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((4,8)) अवश्य होना चाहिए। / Therefore, ((4,8)) must be present.

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Question 127/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि (A) में (3) तत्व हैं, तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (3) elements, how many symmetric relations are possible on (A)?

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Correct Answer

B. \(2^6\)

Step 1

Concept

सममित संबंध में स्वतंत्र चुनावों की संख्या (\frac{n(n+1)}{2}) होती है। / For a symmetric relation, the number of independent choices is (\frac{n(n+1)}{2}).

Step 2

Why this answer is correct

(n=3) रखने पर (\frac{3(4)}{2}=6) मिलता है। / For (n=3), this is (\frac{3(4)}{2}=6).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सममित संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / Hence the number of symmetric relations is \(2^6\).

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Question 128/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2\}\) है, तो (A) पर ऐसे संबंधों की संख्या कितनी है जो स्वपरक भी हों और सममित भी हों?

If \(A=\{1,2\}\), how many relations on (A) are both reflexive and symmetric?

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Correct Answer

A. 2

Step 1

Concept

स्वपरकता के कारण ((1,1)) और ((2,2)) अनिवार्य हैं। / Reflexivity makes ((1,1)) and ((2,2)) compulsory.

Step 2

Why this answer is correct

अलग युग्म ((1,2)) और ((2,1)) या तो दोनों आएंगे या दोनों नहीं आएंगे। / The distinct pair group ((1,2)) and ((2,1)) is either included together or excluded together.

Step 3

Exam Tip

इसलिए दो संबंध संभव हैं। / Therefore, two relations are possible.

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Question 129/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध (R) को (aRb) यदि (|a-b|=0) से परिभाषित किया गया है, तो (R) क्या है?

On \(A=\{1,2,3\}\), relation (R) is defined by (aRb) if (|a-b|=0). What is (R)?

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Correct Answer

A. सर्वसम संबंधIdentity relation

Step 1

Concept

(|a-b|=0) तभी होगा जब (a=b)। / (|a-b|=0) only when (a=b).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) जैसे युग्म बनेंगे। / So only pairs like ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)) occur.

Step 3

Exam Tip

बराबरी आधारित संबंध सर्वसम संबंध होता है। / A relation based on equality is the identity relation.

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Question 130/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (|a-b|) सम है, तो (R) किस प्रकार का संबंध है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (|a-b|) is even, what type of relation is (R)?

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Correct Answer

A. समतुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(|a-a|=0) सम है, इसलिए स्वपरकता है। / (|a-a|=0) is even, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(|a-b|=|b-a|), इसलिए सममितता है। / (|a-b|=|b-a|), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

सम अंतर का अर्थ समान समता है, जिससे संक्रामकता भी मिलती है। / Even difference means same parity, which also gives transitivity.

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Question 131/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\), तो (R) किस कारण स्वपरक नहीं है?

If \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not reflexive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि ((3,3)) नहीं हैBecause ((3,3)) is missing

Step 1

Concept

स्वपरकता पूरे समुच्चय के हर तत्व पर लागू होती है। / Reflexivity applies to every element of the whole set.

Step 2

Why this answer is correct

(3) समुच्चय का तत्व है लेकिन ((3,3)) संबंध में नहीं है। / (3) is an element of the set, but ((3,3)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

कुछ स्वयं युग्म होना पर्याप्त नहीं है। / Having some self-pairs is not enough.

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Question 132/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,2),(2,3)\}\), तो संक्रामकता के लिए कौन सा युग्म जरूरी है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,2),(2,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pair is required for transitivity?

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Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

यह युग्म संबंध में नहीं दिया गया है। / This pair is not given in the relation.

Step 3

Exam Tip

दो जुड़े युग्मों से बनने वाले तीसरे युग्म को तुरंत पहचानें। / Quickly identify the third pair formed by two connected pairs.

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Question 133/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\) \(A=\{1,2\}\) पर है, तो (R) किसके बराबर है?

If \(R=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\) on \(A=\{1,2\}\), what is (R) equal to?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(A\times A\)

Step 1

Concept

\(A=\{1,2\}\) के लिए \(A\times A\) में चार युग्म होते हैं। / For \(A=\{1,2\}\), \(A\times A\) has four pairs.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए संबंध में वे चारों युग्म मौजूद हैं। / The given relation contains all four pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह \(A\times A\), अर्थात सार्वत्रिक संबंध है। / Hence it equals \(A\times A\), the universal relation.

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Question 134/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(B=\{x,y,z\}\), तो (A) से (B) में कुल संबंधों की संख्या कितनी होगी?

If \(A=\{1,2,3\}\) and \(B=\{x,y,z\}\), how many relations are possible from (A) to (B)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(2^9\)

Step 1

Concept

(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation from (A) to (B) is a subset of \(A\times B\).

Step 2

Why this answer is correct

\(A\times B\) में \(3\times3=9\) युग्म हैं। / \(A\times B\) has \(3\times3=9\) pairs.

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल संबंधों की संख्या \(2^9\) है। / Hence the number of relations is \(2^9\).

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Question 135/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) के लिए सही कथन कौन सा है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement is correct for (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. यह स्वपरक और सममित हैIt is reflexive and symmetric

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए संबंध स्वपरक है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((2,3)) के साथ ((3,2)) भी है और स्वयं युग्म अपने उल्टे खुद हैं। / ((2,3)) has ((3,2)), and self-pairs reverse to themselves.

Step 3

Exam Tip

दोनों गुणों को अलग-अलग जांचने से उत्तर स्पष्ट होता है। / Checking both properties separately makes the answer clear.

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Question 136/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\), तो (R) समतुल्यता संबंध है या नहीं?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), is (R) an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म मौजूद हैं इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,4)) और ((4,1)) दोनों हैं इसलिए सममितता है। / Both ((1,4)) and ((4,1)) are present, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

बनी हुई संक्रामक कड़ियां भी आवश्यक स्वयं युग्मों में पूरी हो जाती हैं, इसलिए यह समतुल्यता संबंध है। / The formed transitive chains are completed by existing self-pairs, so it is an equivalence relation.

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Question 137/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), तो (R) सममित है या नहीं?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) symmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

सममितता के लिए ((1,2)) के साथ ((2,1)) चाहिए। / Symmetry requires ((2,1)) along with ((1,2)).

Step 2

Why this answer is correct

((2,1)) संबंध में नहीं है। / ((2,1)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

चक्रीय दिखने वाला संबंध जरूरी नहीं कि सममित हो। / A cyclic-looking relation is not necessarily symmetric.

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Question 138/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), तो (R) संक्रामक है या नहीं?

If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,1)\}\), is (R) transitive?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. नहींNo

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

((1,3)) संबंध में नहीं है। / ((1,3)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

इसलिए यह संबंध संक्रामक नहीं है। / Therefore, the relation is not transitive.

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Question 139/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\), तो (R) समतुल्यता संबंध है या नहीं?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

इसमें सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए स्वपरकता है। / It contains all self-pairs, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

हर युग्म का उल्टा भी है इसलिए सममितता है। / Every pair has its reverse, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

सभी संभव युग्म मौजूद होने से संक्रामकता भी पूरी है। / Since all possible pairs are present, transitivity also holds.

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Question 140/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि \(a\equiv b \pmod{2}\), तो (1) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when \(a\equiv b \pmod{2}\), what is the equivalence class of (1)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,3})

Step 1

Concept

\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है समान समता। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means same parity.

Step 2

Why this answer is correct

(1) के समान विषम तत्व (1) और (3) हैं। / The odd elements like (1) are (1) and (3).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1) का वर्ग ({1,3}) है। / Hence the class of (1) is ({1,3}).

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Question 141/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) यदि \(a\equiv b \pmod{3}\), तो (2) का समतुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), if (aRb) when \(a\equiv b \pmod{3}\), what is the equivalence class of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({2,5})

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर (2) का शेष (2) है। / Dividing (2) by (3) gives remainder (2).

Step 2

Why this answer is correct

(5) का भी (3) से भाग देने पर शेष (2) है। / Dividing (5) by (3) also gives remainder (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (2) का वर्ग ({2,5}) है। / Therefore, the class of (2) is ({2,5}).

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Question 142/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि किसी संबंध में \((a,b)\in R\) और \((b,a)\in R\) से हमेशा (a=b) निकलता है, तो वह गुण कौन सा है?

If in a relation, \((a,b)\in R\) and \((b,a)\in R\) always imply (a=b), which property is this?

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Correct Answer

A. प्रतिसममितताAntisymmetry

Step 1

Concept

यह शर्त बताती है कि दो अलग तत्व दोनों दिशाओं में संबंधित नहीं हो सकते। / This condition says that two distinct elements cannot be related in both directions.

Step 2

Why this answer is correct

यही प्रतिसममितता की पहचान है। / This is the identity of antisymmetry.

Step 3

Exam Tip

सममितता और प्रतिसममितता को उल्टे युग्मों के आधार पर अलग समझें। / Understand symmetry and antisymmetry separately through reverse pairs.

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Question 143/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(\le\) कौन-कौन से गुण रखता है?

On \(A=\{1,2,3\}\), which properties does the relation \(\le\) have?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. स्वपरक, प्रतिसममित और संक्रामकReflexive, antisymmetric and transitive

Step 1

Concept

हर संख्या अपने बराबर होती है इसलिए स्वपरकता है। / Every number is less than or equal to itself, so it is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a\le b\) और \(b\le a\) से (a=b) मिलता है इसलिए प्रतिसममितता है। / If \(a\le b\) and \(b\le a\), then (a=b), so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

\(\le\) की कड़ी संक्रामक भी होती है। / The \(\le\) chain is also transitive.

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Question 144/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\), तो (R) प्रतिसममित है या नहीं?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

प्रतिसममितता तब टूटती है जब अलग (a,b) के लिए दोनों ((a,b)) और ((b,a)) हों। / Antisymmetry fails when both ((a,b)) and ((b,a)) exist for distinct (a,b).

Step 2

Why this answer is correct

यहां ((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं है। / Here ((1,2)) is present but ((2,1)) is not.

Step 3

Exam Tip

इसलिए प्रतिसममितता नहीं टूटती और संबंध प्रतिसममित है। / So antisymmetry is not violated, and the relation is antisymmetric.

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Question 145/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), तो (R) प्रतिसममित क्यों नहीं है?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not antisymmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि \(1\ne2\) होते हुए ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैंBecause ((1,2)) and ((2,1)) are both present while \(1\ne2\)

Step 1

Concept

प्रतिसममितता में अलग तत्वों के बीच दोनों दिशाओं के युग्म नहीं होने चाहिए। / In antisymmetry, pairs in both directions should not occur between distinct elements.

Step 2

Why this answer is correct

यहां (1) और (2) अलग हैं फिर भी ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं। / Here (1) and (2) are distinct, yet both ((1,2)) and ((2,1)) are present.

Step 3

Exam Tip

इसी कारण प्रतिसममितता टूट जाती है। / Therefore, antisymmetry fails.

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Question 146/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

किस प्रकार के संबंध में स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता तीनों होती हैं?

Which type of relation has reflexivity, antisymmetry and transitivity together?

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Correct Answer

A. आंशिक क्रम संबंधPartial order relation

Step 1

Concept

आंशिक क्रम संबंध के लिए तीन विशेष गुण चाहिए। / A partial order relation needs three special properties.

Step 2

Why this answer is correct

वे गुण स्वपरकता, प्रतिसममितता और संक्रामकता हैं। / These are reflexivity, antisymmetry and transitivity.

Step 3

Exam Tip

समतुल्यता संबंध में सममितता होती है, जबकि आंशिक क्रम में प्रतिसममितता होती है। / Equivalence relation uses symmetry, while partial order uses antisymmetry.

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Question 147/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

समुच्चय ({1,2,3}) पर विभाज्यता संबंध का सबसे छोटा तत्व कौन सा है?

In the divisibility relation on ({1,2,3}), which is the least element?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. 1

Step 1

Concept

विभाज्यता में सबसे छोटा तत्व वह है जो सभी तत्वों को विभाजित करे। / In divisibility, the least element is the one that divides every element.

Step 2

Why this answer is correct

(1), (1), (2) और (3) तीनों को विभाजित करता है। / (1) divides (1), (2), and (3).

Step 3

Exam Tip

विभाज्यता के प्रश्नों में (1) को ध्यान से जांचें। / In divisibility questions, check (1) carefully.

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Question 148/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध है, तो सबसे छोटा तत्व कौन सा है?

If divisibility relation is defined on \(A=\{2,3,6\}\), which is the least element?

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Correct Answer

D. कोई नहींNone

Step 1

Concept

सबसे छोटा तत्व सभी तत्वों को विभाजित करना चाहिए। / A least element must divide every element in the set.

Step 2

Why this answer is correct

(2), (3) को विभाजित नहीं करता और (3), (2) को विभाजित नहीं करता। / (2) does not divide (3), and (3) does not divide (2).

Step 3

Exam Tip

इसलिए इस समुच्चय में कोई ऐसा तत्व नहीं है जो सबको विभाजित करे। / Hence no element divides all elements of this set.

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Question 149/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3,6\}\) पर विभाज्यता संबंध है, तो सबसे बड़ा तत्व कौन सा है?

If divisibility relation is defined on \(A=\{1,2,3,6\}\), which is the greatest element?

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Correct Answer

D. 6

Step 1

Concept

सबसे बड़ा तत्व वह है जिसे समुच्चय के सभी तत्व विभाजित करें। / A greatest element is divisible by every element of the set.

Step 2

Why this answer is correct

(1), (2), (3) और (6) सभी (6) को विभाजित करते हैं। / (1), (2), (3), and (6) all divide (6).

Step 3

Exam Tip

इसलिए (6) सबसे बड़ा तत्व है। / Therefore, (6) is the greatest element.

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Question 150/150 Medium Mathematics Relations and Functions Relations Class 12 Level 3

यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\), तो (R) आंशिक क्रम संबंध है या नहीं?

If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), is (R) a partial order relation?

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Correct Answer

A. हाँYes

Step 1

Concept

सभी स्वयं युग्म हैं इसलिए स्वपरकता है। / All self-pairs are present, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

किसी अलग युग्म का उल्टा युग्म नहीं है इसलिए प्रतिसममितता है। / No reverse pair exists for distinct elements, so it is antisymmetric.

Step 3

Exam Tip

((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मौजूद है इसलिए संक्रामकता भी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present, so it is transitive.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Relations Medium Quiz

यदि (A) में (3) और (B) में (2) अवयव हों तो (A) से (B) तक कुल संबंधों की संख्या क्या होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (3) अवयव हैं तो (A) पर स्वतः संबंधों की संख्या क्या होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (3) अवयव हैं तो (A) पर सममित संबंधों की संख्या क्या होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (A) में (3) अवयव हैं तो (A) पर स्वतः और सममित दोनों संबंधों की संख्या क्या होगी?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (a-b) सम संख्या है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ \(a\le b\) है। कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a<b) है। कौन सा गुण सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ \(a\mid b\) है। कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (a+b) सम संख्या है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (a-b), (3) से विभाज्य है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) का अर्थ (|a|=|b|) है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ \(a^2=b^2\) है। यह संबंध किस प्रकार का है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

शून्य रहित वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (ab>0) है। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a-b>0) है। कौन सा कथन सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) का अर्थ (a+b=0) है। कौन सा गुण सही है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,2),(3,3)\}\) है तो (R) को सममित बनाने के लिए सबसे छोटा कौन सा संबंध चाहिए?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,3)\}\) है तो (R) को स्वतः बनाने के लिए कौन से युग्म जोड़ने होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(R=\{(1,2),(2,3)\}\) है तो संचारीता पूरी करने के लिए न्यूनतम कौन सा युग्म जोड़ना होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) है तो संचारीता सबसे पहले किस युग्म की माँग करती है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) है तो पूर्ण संचारी विस्तार के लिए निम्न में से कौन सा युग्म अवश्य जोड़ा जाएगा?

Concept

Why this answer is correct