Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। (k=4) ही दी गई शर्त पूरी करता है। / In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer. Only (k=4) satisfies the condition.
ठीक द्विघात के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k-3=0) से (k=3) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k-3=0), we get (k=3).
(a=0) होने पर \(x^5\) वाला पद हट जाता है। बचा हुआ सबसे बड़ा पद \(3x^2\) है। / When (a=0), the \(x^5\) term disappears. The highest remaining term is \(3x^2\).
वास्तविक गुणांक होना पर्याप्त नहीं है। \(x^{-2}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having real coefficients is not enough. Because of the negative power \(x^{-2}\), it is not a polynomial.
\(0x^7\) शून्य पद है और घात निर्धारित नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (4) है। / \(0x^7\) is a zero term and does not determine degree. The highest non-zero power is (4).
(n=-2) देने पर \(x^{-2}\) आता है। ऋणात्मक घात बहुपद में स्वीकार्य नहीं होती। / For (n=-2), the term \(x^{-2}\) appears. A negative power is not allowed in a polynomial.
B. क्योंकि चर मूल के अंदर है/Because the variable is under a root
Explanation
Simple Explanation
कक्षा (9) में चर मूल के अंदर हो तो घात पूर्णांक रूप में मान्य नहीं मानी जाती। इसलिए इसे बहुपद नहीं माना जाता। / In class (9), when the variable is under a root, the power is not treated as a valid integer power. So it is not considered a polynomial.
बहुपद में हर घात का पद होना जरूरी नहीं है। \(x^4+5x^2-6\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not have every power term. In \(x^4+5x^2-6\), all present powers are valid.
C. इसकी घात परिभाषित नहीं होती/Its degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद (0) होता है, लेकिन उसकी घात परिभाषित नहीं होती। शून्य और अशून्य स्थिर बहुपद में अंतर रखें। / The zero polynomial is (0), but its degree is not defined. Keep zero and non-zero constant polynomials separate.
(a=2) पर \(x^4\) का गुणांक (0) हो जाता है। इसलिए सबसे बड़ी बची घात (2) है। / At (a=2), the coefficient of \(x^4\) becomes (0). Therefore, the highest remaining power is (2).
C. \(3x^5-2x^2+7\), बहुपद, घात (5)/\(3x^5-2x^2+7\), polynomial, degree (5)
Explanation
Simple Explanation
\(3x^5-2x^2+7\) में सभी घातें मान्य हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। बाकी विकल्पों में अमान्य घातें हैं। / In \(3x^5-2x^2+7\), all powers are valid and the highest power is (5). The other options have invalid powers.
\(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) में \(\frac{4}{x}\) की घात (-1) है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}\) contains \(\frac{4}{x}\), whose power is (-1). Hence it is not a polynomial.
B. घात (6) का चार-पदी बहुपद/Four-term polynomial of degree (6)
Explanation
Simple Explanation
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। इसलिए यह घात (6) का चार-पदी बहुपद है। / It has four terms and the highest power is (6). Therefore, it is a four-term polynomial of degree (6).
(a) और (b) गुणांक की तरह हैं। (x) की घातें (3), (1) और (0) मान्य हैं। / (a) and (b) act like coefficients. The powers of (x) are (3), (1), and (0), which are valid.
घात (2) होने के लिए \(x^3\) वाला पद हटना चाहिए। इसलिए (k=0) होना जरूरी है। / For the degree to be (2), the \(x^3\) term must disappear. Therefore, (k=0) is required.
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
इसमें (x) की घातें (5), (3), (1) और (0) हैं। ये सभी मान्य हैं और चर घातें विषम हैं। / It has powers (5), (3), (1), and (0). All are valid, and the variable powers are odd.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और बहुपद (6) बचता है। अशून्य स्थिर बहुपद की घात (0) होती है। / Terms with zero coefficients disappear and the polynomial (6) remains. A non-zero constant polynomial has degree (0).
\(3^x\) में चर घात में है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(3^x\), the variable is in the exponent. In a polynomial, variable powers must be fixed non-negative integers.
B. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों तो व्यंजक बहुपद हो सकता है/An expression can be a polynomial if variable powers are non-negative integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर है। गुणांक वास्तविक हो सकते हैं लेकिन घातें भी मान्य होनी चाहिए। / The main condition of a polynomial is about powers of the variable. Coefficients may be real, but powers must also be valid.
घात सबसे बड़ी चर-घात वाले अशून्य पद से तय होती है। यहाँ वह पद \(x^8\) है। / Degree is determined by the non-zero term with the highest variable power. Here that term is \(x^8\).
\(\frac{1}{x+1}\) में चर हर में है और यह बहुपद पद नहीं है। बहुपद में चर हर में नहीं होना चाहिए। / \(\frac{1}{x+1}\) has the variable in the denominator and is not a polynomial term. A polynomial must not have the variable in the denominator.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक (0) और \(x^2\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (m=-1) पर ऐसा होता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be (0) and the coefficient of \(x^2\) non-zero. This happens at (m=-1).
C. यह बहुपद है और घात (2) है/It is a polynomial and degree (2)
Explanation
Simple Explanation
भिन्न और अपरिमेय वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य हैं। सबसे बड़ी (x)-घात (2) है। / Fractional and irrational real coefficients are allowed in a polynomial. The highest (x)-power is (2).
(u) के संदर्भ में (x) गुणांक की तरह माना जा सकता है। (u) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / With respect to (u), (x) can be treated like a coefficient. The powers of (u) are (3), (1), and (0).
\(\frac{1}{3}\) पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / \(\frac{1}{3}\) is not an integer. In a polynomial, the variable power must be a non-negative integer.
सभी पदों के गुणांक (0) हैं इसलिए पूरा बहुपद (0) है। इसे शून्य बहुपद कहते हैं। / All terms have coefficient (0), so the whole polynomial is (0). It is called the zero polynomial.
\(x^3-5x+6\) में सबसे बड़ी घात (3) है और \(x^2\) पद अनुपस्थित है। अनुपस्थित पद बहुपद को अमान्य नहीं बनाता। / In \(x^3-5x+6\), the highest power is (3) and the \(x^2\) term is absent. A missing term does not make a polynomial invalid.
B. हर बहुपद एक बीजीय व्यंजक है/Every polynomial is an algebraic expression
Explanation
Simple Explanation
बहुपद बीजीय व्यंजक का विशेष प्रकार है। लेकिन हर बीजीय व्यंजक बहुपद नहीं होता। / A polynomial is a special type of algebraic expression. But every algebraic expression is not a polynomial.
C. क्योंकि \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) है/Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{1}{x^2}\) में (x) की घात (-2) है। ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / In \(\frac{1}{x^2}\), the power of (x) is (-2). Due to the negative power, it is not a polynomial.
घात (3) के लिए \(x^5\) का गुणांक (0) होना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2), और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहता है। / For degree (3), the coefficient of \(x^5\) must be (0). From (k+2=0), (k=-2), and the \(x^3\) coefficient remains non-zero.
द्विघात का अर्थ घात (2) और द्विपदी का अर्थ दो पद है। \(x^2-16\) दोनों शर्तें पूरी करता है। / Quadratic means degree (2), and binomial means two terms. \(x^2-16\) satisfies both conditions.
इसमें घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। सभी घातें मान्य हैं और अशून्य चर-घातें सम हैं। / It has powers (6), (4), (2), and (0). All powers are valid and the non-zero variable powers are even.
C. (4x) पद को शून्य करना/Making the (4x) term zero
Explanation
Simple Explanation
(4x) का गुणांक (4) तय है और शून्य नहीं हो सकता। इसलिए यह व्यंजक स्थिर बहुपद नहीं बन सकता। / The coefficient of (4x) is fixed and cannot become zero. Therefore, this expression cannot become a constant polynomial.
इसमें चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (3) है। पदों की संख्या और घात अलग-अलग जाँचें। / It has four terms and the highest power is (3). Check the number of terms and degree separately.
\(x^x\) में घात स्थिर पूर्णांक नहीं है। बहुपद में चर की घात निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / In \(x^x\), the exponent is not a fixed integer. In a polynomial, the variable power must be a fixed non-negative integer.
(a=5) पर \(x^2\) पद हटता है, लेकिन \(2x^4\) मौजूद है। इसलिए घात (4) रहेगी। / At (a=5), the \(x^2\) term disappears, but \(2x^4\) remains. Therefore, the degree remains (4).
B. यह बहुपद है और घात (2) है/It is a polynomial and degree (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) स्थिर वास्तविक संख्या है और मान्य है। सबसे बड़ी (x)-घात (2) है। / \(\sqrt{3}\) is a constant real number and is allowed. The highest (x)-power is (2).
\(\pi\) वास्तविक गुणांक है और मान्य है। (x) की घातें (2), (1) और (0) हैं। / \(\pi\) is a real coefficient and is allowed. The powers of (x) are (2), (1), and (0).
B. क्योंकि (0) की घात परिभाषित नहीं होती/Because the degree of (0) is not defined
Explanation
Simple Explanation
(0) शून्य बहुपद है और उसकी घात परिभाषित नहीं होती। घात (0) केवल अशून्य स्थिर बहुपद की होती है। / (0) is the zero polynomial and its degree is not defined. Degree (0) belongs to non-zero constant polynomials only.
दो पद होना बहुपद होने की गारंटी नहीं है। \(x^{-1}\) की ऋणात्मक घात के कारण यह बहुपद नहीं है। / Having two terms does not guarantee being a polynomial. Due to the negative power \(x^{-1}\), it is not a polynomial.
\(5x^4-x+6\) बहुपद है लेकिन इसकी घात (4) है। इसलिए यह घन बहुपद नहीं है। / \(5x^4-x+6\) is a polynomial but its degree is (4). Therefore, it is not a cubic polynomial.
C. ऐसा कोई (k) संभव नहीं है/No such (k) is possible
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद में सभी गुणांक (0) होने चाहिए। (3x) और (2) के गुणांक शून्य नहीं हैं, इसलिए ऐसा (k) संभव नहीं। / In the zero polynomial, all coefficients must be (0). The coefficients of (3x) and (2) are not zero, so no such (k) is possible.
ठीक द्विघात के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (a-4=0) से (a=4) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^5\) must be zero. From (a-4=0), (a=4).
\(\frac{4}{x}=4x^{-1}\) है, जिसमें (x) की घात ऋणात्मक है। वास्तविक गुणांक होना अकेले बहुपद की गारंटी नहीं देता। / \(\frac{4}{x}=4x^{-1}\), where the power of (x) is negative. Having real coefficients alone does not guarantee a polynomial.
\(0x^6\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (4) है। / \(0x^6\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (4).
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (k+2=0) से (k=-2) मिलता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) must remain non-zero. From (k+2=0), (k=-2).
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि (\sqrt{x}=x^{1/2}) है / It is not a polynomial because \(\sqrt{x}=x^{1 / 2}\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में चर की घातें पूर्णांक होनी चाहिए। \(\frac{1}{2}\) पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be integers. \(\frac{1}{2}\) is not an integer.
ठीक घन बहुपद की सबसे बड़ी घात (3) होती है। \(4y^3-2y+8\) में सबसे बड़ी घात (3) है। / An exactly cubic polynomial has highest power (3). In \(4y^3-2y+8\), the highest power is (3).
(m) को (x) के लिए गुणांक माना जा सकता है। (x) की घातें (3), (1) और (0) हैं। / (m) can be treated as a coefficient with respect to (x). The powers of (x) are (3), (1), and (0).
स्थिर बहुपद के लिए (r-1=0) और (r+2=0) दोनों चाहिए। ये दोनों एक साथ संभव नहीं हैं। / For a constant polynomial, both (r-1=0) and (r+2=0) are required. These cannot hold together.
सरल करने पर \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\) मिलता है। यह घात (2) का बहुपद है। / On simplifying, \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\). It is a polynomial of degree (2).
\(x^{5/2}\) में घात \(\frac{5}{2}\) है जो पूर्णांक नहीं है। बहुपद में ऐसी घात मान्य नहीं होती। / In \(x^{5/2}\), the power is \(\frac{5}{2}\), which is not an integer. Such a power is not valid in a polynomial.
A. \(5x^6-2x^3+1\), घात (6)/\(5x^6-2x^3+1\), degree (6)
Explanation
Simple Explanation
पहले विकल्प में सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। बाकी विकल्प बहुपद नहीं हैं। / In the first option, all powers are non-negative integers and the highest power is (6). The other options are not polynomials.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (c+5=0) से (c=-5) और \(x^2\) का गुणांक (-7) अशून्य रहता है। / For degree (2), the coefficient of \(x^3\) must be zero. From (c+5=0), (c=-5), and the \(x^2\) coefficient (-7) remains non-zero.
B. यह बहुपद है और घात (2) है/It is a polynomial and has degree (2)
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x}{2}\) का अर्थ \(\frac{1}{2}x\) है, जहाँ घात (1) है। सभी घातें मान्य हैं। / \(\frac{x}{2}\) means \(\frac{1}{2}x\), where the power is (1). All powers are valid.
\(x^5+x^3-x+2\) में (4) पद हैं और सबसे बड़ी घात (5) है। हर में चर नहीं है। / \(x^5+x^3-x+2\) has (4) terms and the highest power is (5). There is no variable in the denominator.
रैखिक होने के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और (2x) पद मौजूद है। \(a^2-9=0\) से \(a=\pm3\)। / For it to be linear, the \(x^4\) coefficient must be zero and the (2x) term is present. From \(a^2-9=0\), \(a=\pm3\).
(u) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) स्थिर जैसा है, इसलिए यह (u) में बहुपद है। लेकिन (x) के संदर्भ में \(\frac{1}{x}\) की घात (-1) है। / With respect to (u), \(\frac{1}{x}\) is like a constant, so it is a polynomial in (u). With respect to (x), \(\frac{1}{x}\) has power (-1).
\(0x^5\) शून्य पद है और घात नहीं बढ़ाता। सबसे बड़ी अशून्य घात (3) है। / \(0x^5\) is a zero term and does not raise the degree. The highest non-zero power is (3).
C. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(x^{-1}\) है/It is not a polynomial because it has \(x^{-1}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^0\) मान्य है लेकिन \(x^{-1}\) मान्य नहीं है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(x^0\) is valid but \(x^{-1}\) is not valid. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
घात (1) के लिए \(x^2\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। (k=0) रखने पर (3x+4) रैखिक बहुपद बचता है। / For degree (1), the coefficient of \(x^2\) must be zero. With (k=0), (3x+4) remains a linear polynomial.
\(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\) है, जो ऋणात्मक घात है। बहुपद में ऋणात्मक घातें स्वीकार्य नहीं हैं। / \(\frac{1}{x^4}=x^{-4}\), which is a negative power. Negative powers are not allowed in polynomials.
\(\sqrt{11}\) स्थिर वास्तविक संख्या है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{11}\) is a real constant and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
D. यह घात (4) का बहुपद है/It is a polynomial of degree (4)
Explanation
Simple Explanation
\(a\neq0\) होने से \(x^4\) पद मौजूद रहता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (4) निश्चित है। / Since \(a\neq0\), the \(x^4\) term remains present. Therefore, the highest power is definitely (4).
बहुपद में बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^5+2x^2-3\) में उपस्थित घातें (5), (2), (0) हैं और मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^5+2x^2-3\), the present powers (5), (2), (0) are valid.
A. चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों और गुणांक वास्तविक हो सकते हैं/Variable powers are zero or positive integers and coefficients may be real
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की मुख्य शर्त चर की घातों पर होती है। घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / The main condition for a polynomial is about the powers of the variable. The powers must be zero or positive integers.
स्थिर बहुपद के लिए (s-2=0) और (s+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (s) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (s-2=0) and (s+1=0) are required. One value of (s) cannot satisfy both conditions.
पहले विकल्प में घातें (6), (4), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (6), (4), (2), and (0). All are even and valid for a polynomial.
घात (2) तभी होगी जब \(x^2\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) चाहिए। / The degree will be (2) only if the coefficient of \(x^2\) is non-zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
\(x^2\) पद होना पर्याप्त नहीं है। \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) अमान्य घात वाला पद है। / Having an \(x^2\) term is not enough. \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) is a term with an invalid power.
\(5x^2-11\) की घात (2) है और इसमें दो पद हैं। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है, त्रिपदी नहीं। / \(5x^2-11\) has degree (2) and two terms. So it is a quadratic binomial, not a trinomial.
\(x^3\) का गुणांक (2) है जो कभी शून्य नहीं होता। इसलिए घात (3) हर (h) के लिए रहेगी। / The coefficient of \(x^3\) is (2), which is never zero. So the degree remains (3) for every (h).
\(3x^2+1\) में चर (x) मौजूद है और घात (2) है। इसलिए यह स्थिर बहुपद नहीं है। / \(3x^2+1\) contains the variable (x) and has degree (2). Therefore, it is not a constant polynomial.
A. क्योंकि यह \(x^2-\frac{1}{x^2}\) बनता है/Because it becomes \(x^2-\frac{1}{x^2}\)
Explanation
Simple Explanation
सरल रूप \(x^2-\frac{1}{x^2}\) है। \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\) के कारण यह बहुपद नहीं है। / The simplified form is \(x^2-\frac{1}{x^2}\). Because \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\), it is not a polynomial.
\(x^2\) का गुणांक (1) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए घात हर (a) के लिए (2) है। / The coefficient of \(x^2\) is (1), which is non-zero. Therefore, the degree is (2) for every (a).
A. \(x^n+1\), जहाँ (n) बदलता चर है/\(x^n+1\), where (n) is a changing variable
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। बदलते चर वाली घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers must be fixed non-negative integers. A power depending on a changing variable is not valid in the definition.
पहले विकल्प में घातें (5), (3), (1) और (0) हैं। सभी घातें बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (5), (3), (1), and (0). All powers are valid for a polynomial.
घात (0) के लिए (a-1=0) और (a+3=0) दोनों चाहिए। ये दोनों साथ-साथ संभव नहीं हैं। / For degree (0), both (a-1=0) and (a+3=0) are required. These cannot be true together.
\(\sqrt{x^2+1}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में यह बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+1}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, it is not treated as a polynomial term.
\(a\neq0\) होने से \(x^5\) पद मौजूद रहता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (5) है। / Since \(a\neq0\), the \(x^5\) term is present. Therefore, the highest power is (5).
\(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\) है, जो बहुपद है। सरल करने से पहले और बाद की घातों को ध्यान से देखें। / \(\frac{x^3+x}{x}=x^2+1\), which is a polynomial. Check powers carefully before and after simplification.
\(x^3-4x\) में कोई अलग स्थिर पद नहीं है, इसलिए स्थिर पद (0) माना जाता है। इसकी घातें मान्य हैं। / In \(x^3-4x\), there is no separate constant term, so the constant term is considered (0). Its powers are valid.
(-2) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-2) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
\(x^2-4\) की घात (2) है और इसमें दो पद हैं। इसलिए यह द्विघात द्विपदी है। / \(x^2-4\) has degree (2) and two terms. Therefore, it is a quadratic binomial.
ठीक घन के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^3\) का गुणांक अशून्य रहना चाहिए। (a-2=0) से (a=2) मिलता है। / For exactly cubic, the coefficient of \(x^4\) must be zero and the coefficient of \(x^3\) must remain non-zero. From (a-2=0), (a=2).
ठीक द्विघात के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य होना चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य है। (a-5=0) से (a=5) मिलता है। / For exactly quadratic, the coefficient of \(x^6\) must be zero and the coefficient of \(x^2\) is non-zero. From (a-5=0), (a=5).
\(\frac{2}{x}=2x^{-1}\) है, जिसमें चर की घात ऋणात्मक है। एक अमान्य पद पूरे व्यंजक को बहुपद नहीं रहने देता। / \(\frac{2}{x}=2x^{-1}\), where the variable has a negative power. One invalid term prevents the whole expression from being a polynomial.
\(0x^8\) शून्य पद है और घात तय नहीं करता। सबसे बड़ी अशून्य घात (5) है। / \(0x^8\) is a zero term and does not determine the degree. The highest non-zero power is (5).
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (k=1) पर (k+2=3) भी अशून्य है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (k=1), (k+2=3) is also non-zero.
साझा \(x^2\) से भाग देने पर \(x^2-3\) मिलता है। यह घात (2) का बहुपद है। / Dividing by common \(x^2\) gives \(x^2-3\). It is a polynomial of degree (2).
बहुपद में चर की घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। \(\frac{7}{3}\) पूर्णांक नहीं है। / In a polynomial, powers of the variable must be non-negative integers. \(\frac{7}{3}\) is not an integer.
घात (4) तभी होगी जब \(x^4\) का गुणांक शून्य न हो। इसलिए \(\lambda\neq0\) आवश्यक है। / The degree is (4) only when the coefficient of \(x^4\) is not zero. Therefore, \(\lambda\neq0\) is required.
स्थिर बहुपद के लिए (r-3=0) और (r+1=0) दोनों चाहिए। एक ही (r) दोनों शर्तें पूरी नहीं कर सकता। / For a constant polynomial, both (r-3=0) and (r+1=0) are needed. One value of (r) cannot satisfy both conditions.
शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। इसे शून्य से अलग स्थिर बहुपद से अलग समझें। / The degree of the zero polynomial is not defined. Keep it separate from a non-zero constant polynomial.
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य और \(x^4\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (m=-4) पर (m-1=-5) अशून्य है। / For degree (4), the \(x^5\) coefficient must be zero and the \(x^4\) coefficient must be non-zero. At (m=-4), (m-1=-5) is non-zero.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि चर मूल के अंदर है/It is not a polynomial because the variable is inside a root
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{x^2+4}\) में चर मूल के अंदर है। कक्षा (9) की परिभाषा में ऐसा पद बहुपद पद नहीं माना जाता। / \(\sqrt{x^2+4}\) has the variable inside a root. In the class (9) definition, such a term is not treated as a polynomial term.
पहले विकल्प में चार पद हैं और सबसे बड़ी घात (6) है। सभी घातें बहुपद के लिए मान्य हैं। / The first option has four terms and the highest power is (6). All powers are valid for a polynomial.
रैखिक होने के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। \(a^2-16=0\) से \(a=\pm4\) मिलता है। / For it to be linear, the \(x^3\) coefficient must be zero. From \(a^2-16=0\), \(a=\pm4\).
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(x^{-2}\) है/It is not a polynomial because it has \(x^{-2}\)
Explanation
Simple Explanation
\(x^0\) मान्य है, लेकिन \(x^{-2}\) अमान्य है। बहुपद में ऋणात्मक घात स्वीकार्य नहीं होती। / \(x^0\) is valid, but \(x^{-2}\) is invalid. Negative powers are not allowed in a polynomial.
\(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\) है। \(\frac{1}{x}\) में ऋणात्मक घात है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^3+1}{x}=x^2+\frac{1}{x}\). Since \(\frac{1}{x}\) has a negative power, it is not a polynomial.
\(x^4\) का गुणांक (2) है जो शून्य नहीं है। इसलिए किसी भी (b) पर घात (4) रहेगी। / The coefficient of \(x^4\) is (2), which is non-zero. Therefore, the degree remains (4) for any (b).
पहले विकल्प में घातें (7), (5), (1) और (0) हैं। ये सभी बहुपद के लिए मान्य हैं। / In the first option, the powers are (7), (5), (1), and (0). All are valid for a polynomial.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (p(x)=9) बचता है। यह शून्य से अलग स्थिर बहुपद है। / The zero-coefficient terms disappear and (p(x)=9) remains. It is a non-zero constant polynomial.
घात (2) के लिए \(x^3\) का गुणांक शून्य चाहिए और \(x^2\) का गुणांक अशून्य चाहिए। (k=0) पर (k-2=-2) अशून्य है। / For degree (2), the \(x^3\) coefficient must be zero and the \(x^2\) coefficient must be non-zero. At (k=0), (k-2=-2) is non-zero.
(-3) पूर्णांक है लेकिन ऋणात्मक है। बहुपद में घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / (-3) is an integer but it is negative. In a polynomial, powers must be zero or positive integers.
\(\sqrt{7}\) एक वास्तविक गुणांक है और मान्य है। चर की सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / \(\sqrt{7}\) is a real coefficient and is allowed. All powers of the variable are non-negative integers.
स्थिर बहुपद के लिए (a+1=0) और (a-2=0) दोनों चाहिए। ये दोनों एक साथ संभव नहीं हैं। / For a constant polynomial, both (a+1=0) and (a-2=0) are required. These cannot hold together.
A. \(x^n+2\), जहाँ (n) बदलता है/\(x^n+2\), where (n) varies
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। बदलते चर पर निर्भर घात परिभाषा में मान्य नहीं है। / In a polynomial, powers are fixed non-negative integers. A power depending on a varying variable is not valid in the definition.
\(a\neq0\) होने से \(x^7\) पद मौजूद रहता है। इसलिए सबसे बड़ी घात (7) है। / Since \(a\neq0\), the \(x^7\) term remains present. Therefore, the highest power is (7).
बहुपद में सभी बीच की घातों का होना जरूरी नहीं है। \(x^8+3x^3-2\) में उपस्थित घातें मान्य हैं। / A polynomial need not contain all middle powers. In \(x^8+3x^3-2\), the present powers are valid.
\(x^3\) का गुणांक (2) हमेशा अशून्य है। इसलिए घात (3) हर (h) के लिए रहेगी। / The coefficient of \(x^3\) is always non-zero. Therefore, the degree remains (3) for every (h).
A. यह \(x^3+1\) बनता है, इसलिए बहुपद है/It becomes \(x^3+1\), so it is a polynomial
Explanation
Simple Explanation
\(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\) है। इसमें घातें (3) और (0) हैं, इसलिए यह बहुपद है। / \(\frac{x^5+x^2}{x^2}=x^3+1\). Its powers are (3) and (0), so it is a polynomial.
B. यह बहुपद नहीं है क्योंकि \(\sin x\) बहुपद पद नहीं है/It is not a polynomial because \(\sin x\) is not a polynomial term
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में पद चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों के रूप में होते हैं। \(\sin x\) ऐसा पद नहीं है। / In a polynomial, terms are powers of the variable with non-negative integer exponents. \(\sin x\) is not such a term.
\(x^2\) का गुणांक (1) है, जो शून्य नहीं है। इसलिए घात हर (a) के लिए (2) है। / The coefficient of \(x^2\) is (1), which is non-zero. Therefore, the degree is (2) for every (a).
(x) के संदर्भ में \(z^2\) और (3z) गुणांक हैं। (x) की घातें (4), (2) और (0) हैं। / With respect to (x), \(z^2\) and (3z) are coefficients. The powers of (x) are (4), (2), and (0).
घात (0) के लिए \(x^2\) और (x) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-2=0) से (a=2) है और (7) बचता है। / For degree (0), the coefficients of both \(x^2\) and (x) must be zero. From (a-2=0), (a=2), and (7) remains.
\(\log x\) चर की शून्य या धनात्मक पूर्णांक घात वाला पद नहीं है। इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\log x\) is not a term with a non-negative integer power of the variable. Therefore, it is not a polynomial.
C. यह शून्य बहुपद है जिसकी घात परिभाषित नहीं है/It is the zero polynomial whose degree is not defined
Explanation
Simple Explanation
सभी पदों के गुणांक शून्य हैं, इसलिए यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती। / All terms have zero coefficients, so it is the zero polynomial. The degree of the zero polynomial is not defined.
A. चर की घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक हों/Variable powers are fixed zero or positive integers
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की पहचान मुख्य रूप से चर की घातों से होती है। घातें निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक होनी चाहिए। / A polynomial is identified mainly by the powers of the variable. The powers must be fixed non-negative integers.
पहले विकल्प में घातें (8), (6), (2) और (0) हैं। ये सभी सम और मान्य हैं। / In the first option, the powers are (8), (6), (2), and (0). All are even and valid.
घात (4) के लिए \(x^5\) का गुणांक शून्य होना चाहिए। \(k^2-1=0\) से \(k=\pm1\) और \(2x^4\) अशून्य रहता है। / For degree (4), the coefficient of \(x^5\) must be zero. From \(k^2-1=0\), \(k=\pm1\), and \(2x^4\) remains non-zero.
\(x^2-5x+6\) की घात (2) है और इसमें तीन पद हैं। इसलिए यह द्विघात त्रिपदी है। / \(x^2-5x+6\) has degree (2) and three terms. Therefore, it is a quadratic trinomial.
\(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\) है। \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), इसलिए यह बहुपद नहीं है। / \(\frac{x^2+4}{x^2}=1+\frac{4}{x^2}\). Since \(\frac{4}{x^2}=4x^{-2}\), it is not a polynomial.
A. किसी भी (c), (d), (e) के लिए/For any (c), (d), (e)
Explanation
Simple Explanation
\(x^4\) का गुणांक (1) है, जो कभी शून्य नहीं होता। इसलिए घात हमेशा (4) रहेगी। / The coefficient of \(x^4\) is (1), which is never zero. Therefore, the degree is always (4).
\(x^3+1\) बहुपद है, पर इसकी घात (3) है। रैखिक बहुपद की घात (1) होती है। / \(x^3+1\) is a polynomial, but its degree is (3). A linear polynomial has degree (1).
स्थिर बहुपद के लिए सभी चर पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। (a-1=0) से (a=1) मिलता है और (5) बचता है। / For a constant polynomial, all variable-term coefficients must be zero. From (a-1=0), (a=1), and (5) remains.
घात (5) के लिए \(x^6\) का गुणांक शून्य और \(x^5\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=-2) पर (a-4=-6) अशून्य रहता है। / For degree (5), the \(x^6\) coefficient must be zero and the \(x^5\) coefficient must be non-zero. At (a=-2), (a-4=-6) remains non-zero.
हर पद को (x) से भाग देने पर \(x^3+x+1\) मिलता है। इसमें सभी घातें शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं। / Dividing each term by (x) gives \(x^3+x+1\). All its powers are non-negative integers.
बहुपद के पद चर की निश्चित शून्य या धनात्मक पूर्णांक घातों में होते हैं। \(\cos x\) ऐसा पद नहीं है। / Polynomial terms use fixed non-negative integer powers of the variable. \(\cos x\) is not such a term.
घात (0) के लिए चर वाले दोनों गुणांक शून्य होने चाहिए। (k-3=0) और (2k-6=0) दोनों से (k=3) मिलता है। / For degree (0), both variable-term coefficients must be zero. Both (k-3=0) and (2k-6=0) give (k=3).
घात (3) के लिए \(x^4\) का गुणांक शून्य और \(x^3\) का गुणांक अशून्य होना चाहिए। (a=2) पर \(a^2-4=0\) और (a+2=4) है। / For degree (3), the \(x^4\) coefficient must be zero and the \(x^3\) coefficient must be non-zero. At (a=2), \(a^2-4=0\) and (a+2=4).
