A. परिमेय मान्यता, वर्ग करना, अभाज्य विभाज्यता और सहअभाज्यता का विरोधाभास क्रम से लिखना चाहिए/Write rational assumption, squaring, prime divisibility, and coprime contradiction in order
Step 1
Concept
First assume the square root is rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then square and use prime divisibility to show a common factor in numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
In exams, this order makes a clear full-mark answer. चरण 1: पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। चरण 2: फिर वर्ग करके अभाज्य विभाज्यता से अंश और हर में साझा गुणनखंड दिखाते हैं। चरण 3: परीक्षा में यही क्रम साफ और पूरे अंक वाला उत्तर बनाता है।
A. \(5\mid p^2\) से (p=5q) अवश्य होगा/From \(5\mid p^2\), necessarily (p=5q)
Step 1
Concept
From \(5\mid p^2\), we only get \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
This allows (p=5k), not necessarily (p=5q).
Step 3
Exam Tip
Do not create an unsupported relation between variables. चरण 1: \(5\mid p^2\) से केवल \(5\mid p\) मिलता है। चरण 2: इससे (p=5k) लिखा जाता है, (p=5q) जरूरी नहीं। चरण 3: चर बदलते समय मन से संबंध न बना दें।
A. सरलतम भिन्न का अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हो जाते/The numerator and denominator of a lowest-form fraction would both become divisible by (3)
Step 1
Concept
In the rational assumption, the fraction is in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both numerator and denominator are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This inconsistency shows that the assumption was false. चरण 1: परिमेय मान्यता में भिन्न सरलतम रूप में होती है। चरण 2: प्रमाण दिखाता है कि अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य हैं। चरण 3: यह असंगति बताती है कि मान्यता गलत थी।
A. क्योंकि \(q^2\) सम है, इसलिए (q) सम होगा/Because \(q^2\) is even, so (q) will be even
Step 1
Concept
From \(q^2=2r^2\), \(q^2\) is a multiple of (2).
Step 2
Why this answer is correct
So \(q^2\) is even and the integer (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
This is the second evenness conclusion in the proof. चरण 1: \(q^2=2r^2\) से \(q^2\) (2) का गुणज है। चरण 2: इसलिए \(q^2\) सम है और पूर्णांक (q) भी सम होगा। चरण 3: यह प्रमाण का दूसरा समपन निष्कर्ष है।
A. \(\sqrt{5}\) का लंबा दशमलव मान लिखना/Writing a long decimal value of \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
A long decimal value is not a necessary part of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The real proof is based on rational assumption and divisibility.
Step 3
Exam Tip
To save time, write only the logical steps. चरण 1: लंबा दशमलव मान प्रमाण का जरूरी हिस्सा नहीं है। चरण 2: असली प्रमाण परिमेय मान्यता और विभाज्यता पर आधारित है। चरण 3: समय बचाने के लिए केवल तार्किक कदम लिखें।
A. (p=3k) रखकर \(q^2=3k^2\) पाना/Put (p=3k) and get \(q^2=3k^2\)
Step 1
Concept
From \(3\mid p\), write (p=3k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting in \(p^2=3q^2\) gives \(q^2=3k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then \(3\mid q\) is proved. चरण 1: \(3\mid p\) से (p=3k) लिखा जाता है। चरण 2: इसे \(p^2=3q^2\) में रखने पर \(q^2=3k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(3\mid q\) साबित होता है।
A. पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर अंत में असंभव साझा गुणनखंड पाना/First assuming \(\sqrt{2}\) rational and finally getting an impossible common factor
Step 1
Concept
Proof by contradiction assumes the opposite statement.
Step 2
Why this answer is correct
Then that assumption gives an impossible result.
Step 3
Exam Tip
In \(\sqrt{2}\), the common factor (2) is that impossible result. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत बात को मानते हैं। चरण 2: फिर वह मान्यता असंभव परिणाम देती है। चरण 3: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलना यही असंभव परिणाम है।
A. क्योंकि तब (5) दोनों का साझा गुणनखंड होगा/Because then (5) will be a common factor of both
Step 1
Concept
(p=5m) means \(5\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
(q=5n) means \(5\mid q\).
Step 3
Exam Tip
Together, these break coprimality. चरण 1: (p=5m) का अर्थ है \(5\mid p\)। चरण 2: (q=5n) का अर्थ है \(5\mid q\)। चरण 3: दोनों बातें मिलकर सहअभाज्यता को तोड़ देती हैं।
A. यदि प्राकृतिक संख्या पूर्ण वर्ग नहीं है और अभाज्य है, तो उसका वर्गमूल अपरिमेय होता है/If a natural number is not a perfect square and is prime, its square root is irrational
Step 1
Concept
(2,3,5) are not perfect squares and are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
Identifying perfect squares is the first task in such questions. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर साझा गुणनखंड का विरोधाभास मिलता है। चरण 3: पूर्ण वर्ग पहचानना ऐसे प्रश्नों में पहला काम है।
Reduce factors correctly during simplification. चरण 1: (p=5r) रखने पर \(25r^2=5q^2\) बनता है। चरण 2: दोनों पक्षों को (5) से भाग देने पर \(q^2=5r^2\) मिलता है। चरण 3: सरलीकरण में गुणक सही घटाएँ।
When squaring (p=3r), both (3) and (r) are squared.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore (p-2=(3r)2=9r-2).
Step 3
Exam Tip
Do not forget to square the coefficient, or the proof will go wrong. चरण 1: (p=3r) का वर्ग लेते समय (3) और (r) दोनों का वर्ग होगा। चरण 2: इसलिए (p-2=(3r)2=9r-2)। चरण 3: गुणांक का वर्ग न भूलें, नहीं तो आगे का प्रमाण गलत हो जाएगा।
A. अतः हमारी परिमेय मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/Hence our rational assumption is false, so \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof gets a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
When a contradiction occurs, that assumption is false.
Step 3
Exam Tip
In the final sentence, clearly write that \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर वही मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंतिम वाक्य में साफ लिखें कि \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. क्योंकि (p) और (q) सरलतम रूप में सहअभाज्य लिए गए थे/Because (p) and (q) were taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) gives a common factor.
Step 3
Exam Tip
So this situation goes against the starting condition. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड देता है। चरण 3: इसलिए यह स्थिति आरंभिक शर्त के विरुद्ध है।
If the square of an integer is even, the integer is also even.
Step 3
Exam Tip
Therefore (q) is even and the contradiction is completed. चरण 1: \(2\mid q^2\) का अर्थ है कि \(q^2\) सम है। चरण 2: यदि किसी पूर्णांक का वर्ग सम है, तो वह पूर्णांक भी सम होता है। चरण 3: इसलिए (q) सम है और विरोधाभास पूरा होता है।
A. भिन्न सरलतम रूप में नहीं थी/The fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction could be reduced by (3).
Step 3
Exam Tip
This directly contradicts the lowest-form assumption. चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता था। चरण 3: यह सरलतम रूप की मान्यता से सीधा विरोधाभास है।
A. ऐसा कोई पूर्णांक नहीं है जिसका वर्ग (2) हो/There is no integer whose square is (2)
Step 1
Concept
Squares of integers are like (0,1,4,9).
Step 2
Why this answer is correct
No integer has square (2).
Step 3
Exam Tip
Still, to prove irrationality, the full rational-form proof is needed. चरण 1: पूर्णांकों के वर्ग (0,1,4,9) जैसे होते हैं। चरण 2: कोई पूर्णांक ऐसा नहीं जिसका वर्ग (2) हो। चरण 3: फिर भी अपरिमेयता सिद्ध करने के लिए परिमेय रूप वाला पूरा प्रमाण चाहिए।
A. (p=5k) रखकर (q) के (5) से विभाज्य होने को सिद्ध करना/Put (p=5k) and prove that (q) is divisible by (5)
Step 1
Concept
From \(5\mid p\), it is proper to write (p=5k).
Step 2
Why this answer is correct
Substituting it into the original equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
Then prove \(5\mid q\) and complete the contradiction. चरण 1: \(5\mid p\) से (p=5k) लिखना उचित है। चरण 2: इसे मूल समीकरण में रखने पर \(q^2=5k^2\) मिलता है। चरण 3: फिर \(5\mid q\) दिखाकर विरोधाभास पूरा करें।
A. (p=3k), जहाँ (k) पूर्णांक है/(p=3k), where (k) is an integer
Step 1
Concept
\(3\mid p\) means (p) is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
So we write (p=3k), where (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
Converting divisibility into a multiple form helps in the proof. चरण 1: \(3\mid p\) का अर्थ है कि (p) (3) का गुणज है। चरण 2: इसलिए (p=3k) लिखा जाता है, जहाँ (k) पूर्णांक है। चरण 3: विभाज्यता को गुणज के रूप में बदलना प्रमाण में मदद करता है।
A. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में न लेना/Not taking \(\frac{p}{q}\) in lowest form
Step 1
Concept
The contradiction depends on (p) and (q) being coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If lowest form is not taken, getting a common factor will not be a contradiction.
Step 3
Exam Tip
Therefore lowest form is essential at the start. चरण 1: विरोधाभास इसी बात पर निर्भर करता है कि (p) और (q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: यदि सरलतम रूप नहीं लिया गया, तो साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास नहीं बनेगा। चरण 3: इसलिए शुरुआत में सरलतम रूप जरूरी है।
A. \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) मिलता है/The common factor is (3) for \(\sqrt{3}\) and (5) for \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), the equation is \(p^2=3q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
For \(\sqrt{5}\), the equation is \(p^2=5q^2\).
Step 3
Exam Tip
The structure is the same; only the prime factor changes. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में समीकरण \(p^2=3q^2\) बनता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में समीकरण \(p^2=5q^2\) बनता है। चरण 3: दोनों का ढाँचा समान है, केवल अभाज्य गुणनखंड बदलता है।
A. यह दिखाता है कि \(p^2\) सम है/It shows that \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(2q^2\) is clearly even.
Step 2
Why this answer is correct
Since \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is also even.
Step 3
Exam Tip
Then an even square gives an even base. चरण 1: \(2q^2\) स्पष्ट रूप से सम संख्या है। चरण 2: \(p^2=2q^2\) होने से \(p^2\) भी सम होगा। चरण 3: फिर सम वर्ग से सम आधार का निष्कर्ष लिया जाता है।
\(2\mid p\) and \(2\mid q\) show that (2) is common.
Step 3
Exam Tip
Therefore this is a contradictory result. चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: \(2\mid p\) और \(2\mid q\) बताता है कि दोनों में (2) साझा है। चरण 3: इसलिए यह विरोधाभासी परिणाम है।
A. \(\sqrt{5}\) का दशमलव समाप्त नहीं दिखता/The decimal of \(\sqrt{5}\) does not seem to terminate
Step 1
Concept
Looking at the decimal only gives an idea.
Step 2
Why this answer is correct
A complete proof assumes rationality and shows the common-factor contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, write a proof, not a guess. चरण 1: दशमलव को देखकर केवल अनुमान बनता है। चरण 2: पूर्ण प्रमाण में परिमेय मानकर साझा गुणनखंड का विरोधाभास दिखाते हैं। चरण 3: परीक्षा में अनुमान नहीं, प्रमाण लिखें।
A. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता/Because the denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
A fraction is not valid if the denominator is zero.
Step 2
Why this answer is correct
So in the rational form \(\frac{p}{q}\), writing \(q\neq0\) is necessary.
Step 3
Exam Tip
Complete conditions make the proof stronger. चरण 1: किसी भिन्न में हर शून्य होने पर रूप मान्य नहीं रहता। चरण 2: इसलिए परिमेय रूप \(\frac{p}{q}\) में \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: प्रमाण की शर्तें पूरी लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता में/In the irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
In the proof for \(\sqrt{2}\), \(p^2\) is found even.
Step 2
Why this answer is correct
If (p) were odd, \(p^2\) would be odd, so (p) is even.
Step 3
Exam Tip
This parity rule is very useful for \(\sqrt{2}\). चरण 1: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम मिलता है। चरण 2: यदि (p) विषम होता तो \(p^2\) विषम होता, इसलिए (p) सम है। चरण 3: सम-विषम का यह नियम \(\sqrt{2}\) में बहुत उपयोगी है।
A. (p) और (q) सहअभाज्य हैं, फिर भी दोनों (5) से विभाज्य हैं/(p) and (q) are coprime, yet both are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime means there should be no common factor.
Step 2
Why this answer is correct
Both being divisible by (5) shows a common factor.
Step 3
Exam Tip
This contradiction proves \(\sqrt{5}\) irrational. चरण 1: सहअभाज्य होने का अर्थ है कि साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। चरण 2: दोनों का (5) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड दिखाता है। चरण 3: यही विरोधाभास \(\sqrt{5}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है।
A. क्योंकि दाएँ पक्ष में (3) गुणक के रूप में है/Because (3) appears as a factor on the right side
Step 1
Concept
In \(p^2=3q^2\), the right side is a multiple of (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since both sides are equal, \(p^2\) is also a multiple of (3).
Step 3
Exam Tip
Understand divisibility of the square first, then of the original number. चरण 1: \(p^2=3q^2\) में दायाँ पक्ष (3) का गुणज है। चरण 2: बराबरी के कारण \(p^2\) भी (3) का गुणज होगा। चरण 3: पहले वर्ग की विभाज्यता समझें, फिर मूल संख्या की।
A. \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), जहाँ (p,q) सहअभाज्य पूर्णांक और \(q\neq0\) हैं/\(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime integers and \(q\neq0\)
Step 1
Concept
The rational assumption is always taken as a ratio.
Step 2
Why this answer is correct
It is necessary to write (p,q) coprime and \(q\neq0\).
Step 3
Exam Tip
This standard form works in all three proofs. चरण 1: परिमेय मान्यता हमेशा अनुपात के रूप में ली जाती है। चरण 2: (p,q) को सहअभाज्य और \(q\neq0\) लिखना जरूरी है। चरण 3: यही मानक रूप तीनों प्रमाणों में काम आता है।
A. \(\frac{5}{1}\) का मान (5) है, \(\sqrt{5}\) नहीं/\(\frac{5}{1}\) equals (5), not \(\sqrt{5}\)
Step 1
Concept
\(\frac{5}{1}=5\).
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) is the number whose square is (5), so it is not (5).
Step 3
Exam Tip
Distinguish a number from its square root. चरण 1: \(\frac{5}{1}=5\) होता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) वह संख्या है जिसका वर्ग (5) हो, इसलिए वह (5) नहीं है। चरण 3: संख्या और उसके वर्गमूल में फर्क समझना जरूरी है।
A. \(3\mid p\) सिद्ध हो चुका है/\(3\mid p\) has been proved
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we get \(3\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
By the prime rule, \(3\mid p\), so (p=3r) can be written.
Step 3
Exam Tip
Give the reason before writing such a form. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: अभाज्य नियम से \(3\mid p\), इसलिए (p=3r) लिखा जा सकता है। चरण 3: कोई रूप लिखने से पहले उसका कारण जरूर दें।
A. क्योंकि (q) के सम होने और विरोधाभास तक पहुँचना भी जरूरी है/Because proving (q) even and reaching contradiction is also necessary
Step 1
Concept
From \(p^2\) even, we only get that (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
For the full contradiction, (q) must also be shown even.
Step 3
Exam Tip
Do not stop the proof midway; write until the final conflict. चरण 1: \(p^2\) सम होने से केवल (p) सम मिलता है। चरण 2: पूर्ण विरोधाभास के लिए (q) का भी सम होना दिखाना पड़ता है। चरण 3: प्रमाण को बीच में न छोड़ें, अंतिम टकराव तक लिखें।
A. \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\), \(p^2=5q^2\), \(5\mid p\), \(5\mid q\)
Step 1
Concept
The correct order begins with the rational form.
Step 2
Why this answer is correct
Squaring gives \(p^2=5q^2\), then (5) divides first (p) and then (q).
Step 3
Exam Tip
Remembering the order makes the proof clear and complete. चरण 1: सही क्रम परिमेय रूप से शुरू होता है। चरण 2: वर्ग करने पर \(p^2=5q^2\) आता है, फिर (5) पहले (p) और फिर (q) को भाग देता है। चरण 3: क्रम याद रखने से प्रमाण साफ और पूरा बनता है।
A. (x) और (y) दोनों (3) से विभाज्य हों/Both (x) and (y) are divisible by (3)
Step 1
Concept
Coprime numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (3), they have common factor (3).
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों का (3) से विभाज्य होना साझा गुणनखंड (3) देता है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
A. \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) लेना/Concluding \(3\mid p\) from \(3\mid p^2\)
Step 1
Concept
\(3\mid p\) follows from \(3\mid p^2\) because (3) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
This cannot be stated the same way for every composite number.
Step 3
Exam Tip
Mention the word prime in the proof. चरण 1: \(3\mid p^2\) से \(3\mid p\) तभी सीधे मिलता है क्योंकि (3) अभाज्य है। चरण 2: यह गुण सामान्य भाज्य संख्याओं के लिए ऐसे नहीं लिखा जाता। चरण 3: अभाज्य शब्द को प्रमाण में जरूर जोड़ें।
A. \(\sqrt{2}\) का दशमलव लगभग (1.414) है/The decimal of \(\sqrt{2}\) is approximately (1.414)
Step 1
Concept
A short decimal approximation does not prove irrationality.
Step 2
Why this answer is correct
A solid proof assumes rationality and derives a contradiction.
Step 3
Exam Tip
In exams, write logical proof instead of approximation. चरण 1: दशमलव का छोटा अनुमान अपरिमेयता सिद्ध नहीं करता। चरण 2: ठोस प्रमाण में परिमेय मानकर विरोधाभास निकाला जाता है। चरण 3: परीक्षा में अनुमान की जगह तार्किक प्रमाण लिखें।
This makes (5) common to both (p) and (q). चरण 1: (p=5t) रखने पर \(25t^2=5q^2\) होगा। चरण 2: इससे \(q^2=5t^2\) और फिर \(5\mid q\) मिलता है। चरण 3: यह (p) और (q) दोनों में (5) साझा करता है।
A. \(\frac{p}{q}\) का सरलतम रूप होना/The fraction \(\frac{p}{q}\) being in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
If both are even, (2) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
So the lowest-form condition fails. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड नहीं होता। चरण 2: दोनों सम होने पर (2) साझा गुणनखंड बन जाता है। चरण 3: इसलिए सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. अभाज्य (r) के लिए \(\sqrt{r}\) को परिमेय मानने से (r) अंश और हर दोनों को भाग देता है/For prime (r), assuming \(\sqrt{r}\) rational makes (r) divide both numerator and denominator
Step 1
Concept
(2,3,5) are prime.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) finally gives \(r\mid p\) and \(r\mid q\).
Step 3
Exam Tip
This common structure connects all three proofs. चरण 1: (2,3,5) अभाज्य हैं। चरण 2: \(\sqrt{r}=\frac{p}{q}\) मानने पर अंत में \(r\mid p\) और \(r\mid q\) मिलता है। चरण 3: यही साझा ढाँचा तीनों प्रमाणों को जोड़ता है।
A. \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), जहाँ (a,b) सहअभाज्य पूर्णांक और \(b\neq0\) हैं/\(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\), where (a,b) are coprime integers and \(b\neq0\)
Step 1
Concept
A rational number is a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
The denominator cannot be zero, and the fraction is taken in lowest form.
Step 3
Exam Tip
Write this complete form at the start of the proof. चरण 1: परिमेय संख्या का रूप दो पूर्णांकों का अनुपात होता है। चरण 2: हर शून्य नहीं हो सकता और भिन्न सरलतम रूप में ली जाती है। चरण 3: प्रमाण की शुरुआत में यह पूरा रूप लिखना चाहिए।
Here divisibility by (3), not evenness, is the main point. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid p\) होगा। चरण 3: यहाँ समपन नहीं, बल्कि (3) से विभाज्यता मुख्य है।
A. \(p^2\) सम है इसलिए (p) विषम है/\(p^2\) is even, so (p) is odd
Step 1
Concept
If \(p^2\) is even, then (p) is even.
Step 2
Why this answer is correct
Calling (p) odd violates the parity rule.
Step 3
Exam Tip
In error-based questions, check small rules carefully. चरण 1: यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम होगा। चरण 2: (p) को विषम कहना सम-विषम नियम के विरुद्ध है। चरण 3: गलती पहचानने वाले प्रश्नों में छोटे नियम बहुत ध्यान से जाँचें।
A. \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\) का अभाज्य गुणनखंड नियम/The prime-factor rule \(5\mid y^2\Rightarrow5\mid y\)
Step 1
Concept
Putting (x=5m) gives \(y^2=5m^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Hence \(5\mid y^2\), and by the prime-factor rule \(5\mid y\).
Step 3
Exam Tip
This gives the final common factor. चरण 1: (x=5m) रखने पर \(y^2=5m^2\) मिलता है। चरण 2: इससे \(5\mid y^2\) और अभाज्य नियम से \(5\mid y\) मिलता है। चरण 3: यही अंतिम साझा गुणनखंड देता है।
A. \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)/\(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\)
Step 1
Concept
From \(a^2=3b^2\) and (a=3k), we get \(9k^2=3b^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Simplifying gives \(b^2=3k^2\), so \(3\mid b\).
Step 3
Exam Tip
This shows (3) in both numerator and denominator. चरण 1: \(a^2=3b^2\) और (a=3k) से \(9k^2=3b^2\) मिलता है। चरण 2: सरल करने पर \(b^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid b\)। चरण 3: यह अंश और हर दोनों में (3) दिखाता है।
A. आरंभिक परिमेय मान्यता गलत है/The initial rational assumption is false
Step 1
Concept
Both being even means both have (2) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
But (p) and (q) were taken coprime.
Step 3
Exam Tip
Therefore the assumption that \(\sqrt{2}\) is rational is false. चरण 1: दोनों सम होने का अर्थ है कि दोनों में (2) साझा गुणनखंड है। चरण 2: लेकिन (p) और (q) को सहअभाज्य लिया गया था। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानना गलत है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime factor appears in a square, it appears in the original number too.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, \(5\mid x^2\) implies \(5\mid x\).
Step 3
Exam Tip
This rule is the main base of the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: किसी वर्ग में अभाज्य गुणनखंड आए तो वह मूल संख्या में भी होता है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए \(5\mid x^2\) से \(5\mid x\) मिलता है। चरण 3: यह नियम \(\sqrt{5}\) के प्रमाण का मुख्य आधार है।
A. (a) और (b) सहअभाज्य माने गए थे, पर दोनों (3) से विभाज्य निकले/(a) and (b) were assumed coprime, but both turned out divisible by (3)
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator must be coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof forces both to have (3) as a common factor.
Step 3
Exam Tip
Coprimality and a common factor cannot occur together. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होने चाहिए। चरण 2: प्रमाण में दोनों में (3) साझा गुणनखंड आ जाता है। चरण 3: सहअभाज्य और साझा गुणनखंड साथ-साथ नहीं हो सकते।
This step completes the proof that (q) is even. चरण 1: \(p^2=2q^2\) में (p=2r) रखें। चरण 2: \(4r^2=2q^2\), इसलिए \(q^2=2r^2\) मिलता है। चरण 3: इस कदम से (q) के सम होने का प्रमाण पूरा होता है।
\(x^2=5y^2\) shows that \(x^2\) has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (x) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
Conclude about (x) first, then move to (y). चरण 1: \(x^2=5y^2\) बताता है कि \(x^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य है, इसलिए (x) भी (5) से विभाज्य होगा। चरण 3: पहले (x) पर निष्कर्ष निकालें, फिर (y) पर जाएँ।
A. क्योंकि हर परिमेय संख्या को सरलतम रूप में लिखा जा सकता है/Because every rational number can be written in lowest form
Step 1
Concept
A rational number is written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
In lowest form, the numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
Later, getting a common factor contradicts this condition. चरण 1: परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात में लिखी जाती है। चरण 2: उस अनुपात को सरलतम रूप में लेने पर अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 3: बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. \(p^2\) (2) से विभाज्य है और (2) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (2) and (2) is prime
Step 1
Concept
From \(p^2=2q^2\), we get \(2\mid p^2\).
Step 2
Why this answer is correct
Since (2) is prime, \(2\mid p\).
Step 3
Exam Tip
In such proofs, state the prime-factor rule clearly. चरण 1: \(p^2=2q^2\) से \(2\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: (2) अभाज्य है, इसलिए \(2\mid p\) होगा। चरण 3: ऐसे प्रमाण में अभाज्य गुणनखंड का नियम साफ लिखना चाहिए।
A. तीनों अपरिमेय संख्याएँ हैं/All three are irrational numbers
Step 1
Concept
(2,3,5) are prime numbers and not perfect squares.
Step 2
Why this answer is correct
Assuming their square roots rational creates a common factor in the coprime numerator and denominator.
Step 3
Exam Tip
Therefore \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) are all irrational. चरण 1: (2,3,5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं और अभाज्य संख्याएँ हैं। चरण 2: इनके वर्गमूल को परिमेय मानने पर सहअभाज्य अंश और हर में साझा गुणनखंड आता है। चरण 3: इसलिए \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), और \(\sqrt{5}\) तीनों अपरिमेय हैं।
D. \(5\mid a\) से (a) और (b) सहअभाज्य सिद्ध हो जाते हैं/From \(5\mid a\), (a) and (b) are proved coprime
Step 1
Concept
\(5\mid a\) only tells divisibility of (a).
Step 2
Why this answer is correct
Later \(5\mid b\) is also obtained, creating a common factor.
Step 3
Exam Tip
So coprimality is not proved; a contradiction is obtained. चरण 1: \(5\mid a\) केवल (a) की विभाज्यता बताता है। चरण 2: बाद में \(5\mid b\) भी मिलता है, जिससे साझा गुणनखंड बनता है। चरण 3: इसलिए सहअभाज्य सिद्ध नहीं होता, बल्कि विरोधाभास मिलता है।
This rule is used immediately in the proof of \(\sqrt{2}\). चरण 1: यदि (x) विषम होता, तो \(x^2\) विषम होता। चरण 2: दिया है कि \(x^2\) सम है, इसलिए (x) सम होना चाहिए। चरण 3: \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में यह नियम तुरंत काम आता है।
A. संबंधित अभाज्य संख्या अंश और हर दोनों को भाग देने लगती है/The related prime number starts dividing both numerator and denominator
Step 1
Concept
In \(\sqrt{3}\), the common factor obtained is (3).
Step 2
Why this answer is correct
In \(\sqrt{5}\), the common factor obtained is (5).
Step 3
Exam Tip
The idea is the same; only the prime number changes. चरण 1: \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) मिलता है। चरण 2: \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है। चरण 3: दोनों में विचार समान है, केवल अभाज्य संख्या बदलती है।
A. क्योंकि (p) और (q) दोनों में (2) साझा गुणनखंड आ जाता है/Because (p) and (q) get (2) as a common factor
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) was taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (p) and (q) are divisible by (2).
Step 3
Exam Tip
So the form is no longer lowest, and the assumption fails. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया था। चरण 2: प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: इसलिए वह रूप सरलतम नहीं रहता और मान्यता टूट जाती है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य संख्या है/Because (5) is a prime number
Step 1
Concept
If a prime number is a factor of a square, it is also a factor of the original number.
Step 2
Why this answer is correct
Therefore \(5\mid b^2\) gives \(5\mid b\).
Step 3
Exam Tip
Instead of writing it without reason, mention that (5) is prime. चरण 1: अभाज्य संख्या का गुणनखंड यदि किसी वर्ग में है, तो मूल संख्या में भी होगा। चरण 2: इसलिए \(5\mid b^2\) से \(5\mid b\) मिलता है। चरण 3: इसे बिना कारण लिखने के बजाय अभाज्य होने का कारण जोड़ें।
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं/Assuming rationality makes numerator and denominator of the lowest fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) is assumed rational and written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that numerator and denominator are both even.
Step 3
Exam Tip
This is impossible in lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न बनाया जाता है। चरण 2: प्रमाण से अंश और हर दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: सरलतम भिन्न में ऐसा संभव नहीं, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है।
A. यह सबसे सरल रूप में नहीं है/It is not in lowest form
Step 1
Concept
Both have (3) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
So the fraction can be reduced by (3), meaning it is not in lowest form.
Step 3
Exam Tip
This becomes the contradiction in the proof for \(\sqrt{3}\). चरण 1: दोनों में (3) साझा गुणनखंड है। चरण 2: इसलिए भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, यानी वह सरलतम रूप में नहीं है। चरण 3: \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में यही बात विरोधाभास बनती है।
In these proofs, the square root is first assumed rational.
Step 2
Why this answer is correct
Then an impossible situation appears because numerator and denominator get a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence this is called proof by contradiction. चरण 1: इन प्रमाणों में पहले वर्गमूल को परिमेय मानते हैं। चरण 2: फिर अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलने से असंभव स्थिति आती है। चरण 3: इसलिए इसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहते हैं।
A. \(q^2=3k^2\), इसलिए \(3\mid q\)/\(q^2=3k^2\), so \(3\mid q\)
Step 1
Concept
\(q^2=3k^2\) shows that \(q^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
Since (3) is prime, (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
This shows the common factor in (p) and (q). चरण 1: \(q^2=3k^2\) बताता है कि \(q^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: (3) अभाज्य है, इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। चरण 3: यही (p) और (q) में साझा गुणनखंड दिखाता है।
A. परिमेय संख्या के रूप की आवश्यक शर्त अधूरी रह जाती है/The necessary condition of the rational form is incomplete
Step 1
Concept
\(\frac{p}{q}\) is valid only when \(q\neq0\).
Step 2
Why this answer is correct
This condition is necessary when writing the rational form.
Step 3
Exam Tip
Small conditions make the proof complete. चरण 1: \(\frac{p}{q}\) तभी मान्य है जब \(q\neq0\) हो। चरण 2: परिमेय रूप लिखते समय यह शर्त जरूरी है। चरण 3: छोटी शर्तें भी प्रमाण को पूर्ण बनाती हैं।
(4,9,25) are perfect squares, so their square roots are integers.
Step 2
Why this answer is correct
(5) is not a perfect square, and \(\sqrt{5}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
In options, identify perfect squares first. चरण 1: (4,9,25) पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए उनके वर्गमूल पूर्णांक हैं। चरण 2: (5) पूर्ण वर्ग नहीं है और \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है। चरण 3: विकल्पों में पहले पूर्ण वर्ग पहचानें।
A. सरलतम रूप के अंश और हर दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं/Numerator and denominator in lowest form both turn out divisible by (5)
Step 1
Concept
Assuming rationality, \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) is taken in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows that both (a) and (b) are divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
This cannot happen in lowest form, so the assumption is false. चरण 1: परिमेय मानने पर \(\sqrt{5}=\frac{a}{b}\) सबसे सरल रूप में लिया जाता है। चरण 2: प्रमाण में (a) और (b) दोनों (5) से विभाज्य निकलते हैं। चरण 3: सरलतम रूप में ऐसा नहीं हो सकता, इसलिए मान्यता गलत है।
Do not forget to square the coefficient; it leads to \(q^2=3k^2\) next. चरण 1: (p=3k) का वर्ग करने पर (p-2=(3k)2) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(p^2=9k^2\) होगा। चरण 3: गुणांक का वर्ग करना न भूलें, यही आगे \(q^2=3k^2\) देता है।
A. मान्यता में विरोधाभास है/There is a contradiction in the assumption
Step 1
Concept
Coprime numbers cannot both be even.
Step 2
Why this answer is correct
Both being even means (2) is a common factor.
Step 3
Exam Tip
Hence the rational assumption is proved false. चरण 1: सहअभाज्य संख्याएँ दोनों सम नहीं हो सकतीं। चरण 2: दोनों सम होने का मतलब है कि (2) साझा गुणनखंड है। चरण 3: इसलिए परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. जिसे सिद्ध करना है, उसके विपरीत को मानकर असंभव परिणाम दिखाना/Assume the opposite of what is to be proved and show an impossible result
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we begin with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Then we reach a result that conflicts with the given condition.
Step 3
Exam Tip
The proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) follow this structure. चरण 1: विरोधाभास की विधि में विपरीत मान्यता से शुरुआत होती है। चरण 2: फिर ऐसा परिणाम मिलता है जो दी गई शर्त से मेल नहीं खाता। चरण 3: \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाण इसी ढाँचे पर आधारित हैं।
A. यदि \(2\mid p^2\), तो \(2\mid p\)/If \(2\mid p^2\), then \(2\mid p\)
Step 1
Concept
(2) is a prime number.
Step 2
Why this answer is correct
If a prime factor divides \(p^2\), it must divide (p).
Step 3
Exam Tip
Writing this rule makes the proof logical. चरण 1: (2) अभाज्य संख्या है। चरण 2: अभाज्य गुणनखंड यदि \(p^2\) को भाग देता है, तो वह (p) को भी भाग देता है। चरण 3: इस नियम को लिखना प्रमाण को तार्किक बनाता है।
Simplify algebra carefully, or the proof will break. चरण 1: (p=5k) रखने पर \(p^2=25k^2\) होगा। चरण 2: \(25k^2=5q^2\), इसलिए \(q^2=5k^2\)। चरण 3: बीजगणितीय सरलीकरण ध्यान से करें, वरना प्रमाण टूट जाता है।
A. अतः हमारी मान्यता गलत है, इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/Hence our assumption is false, so \(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The proof reaches a contradiction from the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
Once a contradiction is reached, the original assumption is false.
Step 3
Exam Tip
End clearly by stating that \(\sqrt{3}\) is irrational. चरण 1: प्रमाण में परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिलता है। चरण 2: विरोधाभास मिलने पर प्रारंभिक मान्यता गलत होती है। चरण 3: अंत में साफ लिखें कि \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
A. (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हों/Both (p) and (q) are divisible by (5)
Step 1
Concept
Coprime numbers have only (1) as a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), then (5) becomes a common factor.
Step 3
Exam Tip
This impossible situation appears in the proof for \(\sqrt{5}\). चरण 1: सहअभाज्य संख्याओं का साझा गुणनखंड केवल (1) होता है। चरण 2: यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो (5) साझा गुणनखंड बन जाएगा। चरण 3: \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यही असंभव स्थिति आती है।
This fact helps prove that if \(p^2\) is even, then (p) is even in the \(\sqrt{2}\) proof. चरण 1: विषम पूर्णांक को (2k+1) लिखा जा सकता है। चरण 2: उसका वर्ग \(4k^2+4k+1\) बनता है, जो विषम है। चरण 3: यह तथ्य \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2\) सम होने से (p) सम बताने में मदद करता है।
A. मान लें \(\sqrt{5}\) परिमेय है/Assume \(\sqrt{5}\) is rational
Step 1
Concept
In proof by contradiction, we first assume the opposite of what we want to prove.
Step 2
Why this answer is correct
So \(\sqrt{5}\) is assumed rational and written as \(\frac{a}{b}\).
Step 3
Exam Tip
Writing the method clearly at the start strengthens the answer. चरण 1: विरोधाभास की विधि में जिस बात को गलत सिद्ध करना है, पहले उसे सही मानते हैं। चरण 2: इसलिए \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानकर \(\frac{a}{b}\) लिखा जाता है। चरण 3: शुरुआत में विधि साफ लिखने से उत्तर मजबूत बनता है।
A. वर्गमूल लेने पर सीधे (3q) नहीं मिलता/Taking square roots does not directly give (3q)
Step 1
Concept
From \(p^2=3q^2\), we only get that \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q).
Step 3
Exam Tip
Be careful when removing squares in a proof. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से केवल यह मिलता है कि \(p^2\) (3) से विभाज्य है। चरण 2: सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं। चरण 3: प्रमाण में वर्ग हटाते समय सावधानी रखें।
A. (2) अंश और हर दोनों का साझा गुणनखंड बन जाता है/(2) becomes a common factor of both numerator and denominator
Step 1
Concept
We assume \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\), where (p,q) are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The proof shows both (p) and (q) are even.
Step 3
Exam Tip
Thus (2) becomes a common factor, contradicting coprimality. चरण 1: \(\sqrt{2}\) को \(\frac{p}{q}\) मानते हैं, जहाँ (p,q) सहअभाज्य हैं। चरण 2: प्रमाण से (p) और (q) दोनों सम निकलते हैं। चरण 3: इसलिए (2) साझा गुणनखंड बनता है, जो सहअभाज्यता के विरुद्ध है।
A. \(\frac{a}{b}\) सरलतम रूप में नहीं था/\(\frac{a}{b}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 2
Why this answer is correct
If both are divisible by (5), they have a common factor.
Step 3
Exam Tip
This proves the original rational assumption false. चरण 1: सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। चरण 2: यदि दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनमें साझा गुणनखंड है। चरण 3: इससे प्रारंभिक परिमेय मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/Numerator and denominator both become even
Step 1
Concept
For \(\sqrt{2}\), the common factor is (2), so numerator and denominator become even.
Step 2
Why this answer is correct
For \(\sqrt{3}\), the common factor is (3), so evenness is not the direct point.
Step 3
Exam Tip
Identify the related prime for each root. चरण 1: \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) आता है, इसलिए अंश और हर सम होते हैं। चरण 2: \(\sqrt{3}\) में साझा गुणनखंड (3) आता है, समपन जरूरी नहीं। चरण 3: अलग-अलग मूलों में संबंधित अभाज्य को पहचानें।
Write the form according to the prime divisor involved. चरण 1: \(p^2=3q^2\) से \(3\mid p^2\) मिलता है। चरण 2: इसलिए \(3\mid p\), और (p=3k) लिखा जा सकता है। चरण 3: किस अभाज्य से भाग जा रहा है, उसी के अनुसार रूप लिखें।
A. जब (p) और (q) का कोई साझा गुणनखंड (1) से बड़ा हो/When (p) and (q) have a common factor greater than (1)
Step 1
Concept
Lowest form means numerator and denominator have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
If a common factor greater than (1) exists, the fraction can still be reduced.
Step 3
Exam Tip
This idea becomes the contradiction in irrationality proofs. चरण 1: सरलतम रूप का मतलब है कि अंश और हर में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। चरण 2: यदि साझा गुणनखंड (1) से बड़ा है, तो भिन्न और सरल की जा सकती है। चरण 3: यही विचार अपरिमेयता के प्रमाण में विरोधाभास बनता है।
A. क्योंकि (5) अभाज्य है और \(5\mid a^2\)/Because (5) is prime and \(5\mid a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=5b^2\), \(a^2\) clearly has (5) as a factor.
Step 2
Why this answer is correct
Since (5) is prime, (a) must also have (5) as a factor.
Step 3
Exam Tip
Apply the prime-factor rule carefully. चरण 1: \(a^2=5b^2\) से साफ है कि \(a^2\) में (5) गुणनखंड है। चरण 2: (5) अभाज्य होने के कारण (a) में भी (5) गुणनखंड होना चाहिए। चरण 3: अभाज्य गुणनखंड नियम को ठीक से लागू करें।
Multiplying both sides by \(q^2\) gives \(p^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
After squaring, remove the denominator carefully. चरण 1: \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर \(2=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। चरण 2: दोनों पक्षों को \(q^2\) से गुणा करने पर \(p^2=2q^2\) बनता है। चरण 3: वर्ग करने के बाद हर को ठीक से हटाएँ।
