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\(5x^4-x+6\) में \(x\) की उच्चतम घात \(4\) है। अतः यह चतुर्थ घात का बहुपद है, घन बहुपद नहीं। \(2x^3+x+1\) घन बहुपद है क्योंकि इसकी उच्चतम घात \(3\) है। \(\sqrt{x}+x^3\) में \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) और \(x^{-3}+x^2\) में ऋणात्मक घात है, इसलिए ये बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घातें केवल \(0\) या धनात्मक पूर्णांक होती हैं। / In \(5x^4-x+6\), the highest power of \(x\) is \(4\). Therefore, it is a fourth-degree polynomial, not a cubic polynomial. \(2x^3+x+1\) is cubic because its highest power is \(3\). In \(\sqrt{x}+x^3\), \(\sqrt{x}=x^{1/2}\), while \(x^{-3}+x^2\) contains a negative exponent, so neither is a polynomial. Exam tip: the exponents of a variable in a polynomial must be \(0\) or positive integers.
अंश में \(x\) उभयनिष्ठ गुणनखंड है: \(x^3+2x=x(x^2+2)\)। अतः \(x\ne0\) के लिए \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\) मिलता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 2 है, इसलिए यह द्विघात बहुपद है। रैखिक बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात 1 होती है। परीक्षा टिप: व्यंजक को पहले सरल करें, फिर चर की सबसे बड़ी घात से बहुपद की डिग्री पहचानें। / The numerator has a common factor \(x\): \(x^3+2x=x(x^2+2)\). Therefore, for \(x\ne0\), \(\frac{x^3+2x}{x}=x^2+2\). The highest power of \(x\) is 2, so it is a quadratic polynomial. A linear polynomial has highest power 1. Exam tip: simplify the expression first, then use the highest exponent of the variable to identify the degree.
\(x^5+x^3-x+2\) में चार पद हैं: \(x^5\), \(x^3\), \(-x\) और \(2\)। चर \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, इसलिए इस बहुपद की घात \(5\) है। विकल्प B में चार पद हैं, लेकिन उसकी घात \(4\) है। विकल्प C की घात \(5\) है, पर उसमें केवल दो पद हैं। विकल्प D बहुपद नहीं है, क्योंकि \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) में ऋणात्मक घात है। परीक्षा टिप: पहले पदों की संख्या गिनें, फिर चर की सबसे बड़ी अऋणात्मक पूर्णांक घात पहचानें। / \(x^5+x^3-x+2\) has four terms: \(x^5\), \(x^3\), \(-x\), and \(2\). The highest power of \(x\) is \(5\), so the degree of this polynomial is \(5\). Option B has four terms but degree \(4\). Option C has degree \(5\), but it contains only two terms. Option D is not a polynomial because \(\frac{1}{x}=x^{-1}\) has a negative exponent. Exam tip: First count the terms, then identify the greatest non-negative integer exponent of the variable.
D. यह घात 4 का बहुपद है/It is a polynomial of degree 4
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की घात उस चर की सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य नहीं होता। यहाँ \(x^4\) का गुणांक \(a\) है और \(a\neq0\) दिया गया है, इसलिए \(x^4\) पद बना रहेगा। \(b\) और \(c\) के किसी भी मान से इस उच्चतम घात वाले पद पर प्रभाव नहीं पड़ता; इसलिए बहुपद की घात 4 है। घात 2 वाला विकल्प केवल तब हो सकता था जब \(a=0\) होता। परीक्षा टिप: घात ज्ञात करने से पहले उच्चतम घात वाले पद का गुणांक अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest power of the variable with a non-zero coefficient. Here, the coefficient of \(x^4\) is \(a\), and \(a\neq0\), so the \(x^4\) term remains present. No value of \(b\) or \(c\) can affect this highest-power term; therefore, the polynomial has degree 4. It could be quadratic only if \(a=0\). Exam tip: Before identifying a polynomial’s degree, always check the coefficient of its highest-power term.
बहुपद की घात चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(a\neq0\) है, इसलिए \(ax^5\) पद उपस्थित है और \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है। \(bx^3\) पद की घात केवल \(3\) है, इसलिए वह बहुपद की घात निर्धारित नहीं करता। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक शून्य है या नहीं, यह अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient. Since \(a\neq0\), the term \(ax^5\) is present, so the highest power of \(x\) is \(5\). The term \(bx^3\) has exponent \(3\), so it does not determine the degree. Exam tip: always verify that the coefficient of the highest-power term is non-zero.
बहुपद की घात चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(a\neq0\) होने से \(ax^7\) पद उपस्थित है। इसलिए \(p(x)\) की घात \(7\) है। \(x^2\) पद होने पर भी घात \(2\) नहीं होगी, क्योंकि \(7\), \(2\) से बड़ी घात है। परीक्षा टिप: सबसे अधिक घात वाले पद का गुणांक शून्य नहीं है, यह अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of the variable having a non-zero coefficient. Since \(a\neq0\), the term \(ax^7\) is present. Hence, the degree of \(p(x)\) is \(7\). It is not \(2\), because \(7\) is the greater exponent. Exam tip: always verify that the coefficient of the highest-power term is non-zero.
\(x^3+1\) में \(x\) की घातें 3 और 0 हैं, जो ऋणेतर पूर्णांक हैं; इसलिए यह \(x\) में बहुपद है। इसकी उच्चतम घात 3 है, इसलिए यह घन बहुपद है, रैखिक बहुपद नहीं। \(5x-2\) की घात 1 होने से वह रैखिक बहुपद है। \(\frac{1}{x}+2\) में \(x\) की घात \(-1\) तथा \(\sqrt{x}+1\) में \(\frac12\) है, इसलिए वे बहुपद नहीं हैं। परीक्षा टिप: बहुपद में चर की घात केवल 0 या धनात्मक पूर्णांक होती है। / In \(x^3+1\), the powers of \(x\) are 3 and 0, both non-negative integers, so it is a polynomial in \(x\). Its highest power is 3, making it a cubic polynomial rather than a linear polynomial. \(5x-2\) is linear because its degree is 1. In \(\frac{1}{x}+2\) and \(\sqrt{x}+1\), the powers of \(x\) are \(-1\) and \(\frac12\), so they are not polynomials. Exam tip: variable exponents in a polynomial must be 0 or positive integers.
डिग्री (3) के लिए \(x^{11}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=2) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (3), both \(x^{11}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (a=2), both higher-term coefficients become (0).
फैलाने पर \(x^9-3x^5-x^9+6x^6-2\) मिलता है। \(x^9\) कटता है और सबसे बड़ी घात (6) रहती है। / On expanding, we get \(x^9-3x^5-x^9+6x^6-2\). The \(x^9\) term cancels and the highest power left is (6).
k=1 रखने पर (k-1)2=0 तथा k-2-1=0 हो जाते हैं। इसलिए x^{10} और x-6 वाले पदों के गुणांक शून्य हो जाते हैं और q(x)=4x-2 बचता है। शून्येतर गुणांक वाले उच्चतम घात वाले पद की घात ही बहुपद की डिग्री होती है, अतः डिग्री 2 है। 0 विकल्प तब होता जब पूरा बहुपद एक अशून्य नियतांक होता। परीक्षा टिप: पैरामीटर का मान रखने के बाद शून्य गुणांक वाले पदों को पहले हटाएँ, फिर उच्चतम बची हुई घात देखें। / On substituting k=1, we get (k-1)2=0 and k-2-1=0. Hence the coefficients of the x^{10} and x-6 terms become zero, leaving q(x)=4x-2. The degree of a polynomial is the highest exponent with a non-zero coefficient, so its degree is 2. Option 0 would apply if the polynomial reduced to a non-zero constant. Exam tip: substitute the parameter first, discard zero-coefficient terms, and then identify the highest remaining exponent.
C. डिग्री बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात से निर्धारित होती है
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है, पदों के क्रम से नहीं। यहाँ सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए डिग्री 8 है। \(x^6\) बीच में होना अप्रासंगिक है। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को घटती घातों में लिखकर सबसे बड़ी घात पहचानें। / The degree is the greatest exponent of the variable in any term, not the position of a term. Here the exponents are 0, 3, 6, and 8, so the degree is 8. The middle term \(x^6\) does not decide it. Exam tip: list exponents and select the largest one.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(4x^8-9x^8+5x^8=(4-9+5)x^8=0\) हो जाता है। अतः \(f(x)=-3x^4+10\) बचता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री \(4\) है। विकल्प 8 गलत है क्योंकि \(x^8\) वाले सभी पद परस्पर निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करें। / Combining like terms gives \(4x^8-9x^8+5x^8=(4-9+5)x^8=0\). Thus, \(f(x)=-3x^4+10\). The highest exponent with a non-zero coefficient is \(4\), so the degree of the polynomial is \(4\). Option 8 is incorrect because all the \(x^8\) terms cancel out. Exam tip: simplify like terms before finding a polynomial's degree.
बहुचरी बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 5+4=9, 3+7=10, 1+2=3 और स्थिरांक -11 के लिए 0 हैं। अतः सबसे बड़ी कुल घात 10 है। विकल्प 9 पहले पद की कुल घात है, लेकिन वह बहुपद की कुल डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a multivariable polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the term degrees are 5+4=9, 3+7=10, 1+2=3, and 0 for the constant term -11. Therefore, the highest total degree is 10. Option 9 is the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: Add the exponents in each term and select the largest sum.
x के संदर्भ में डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 8, 6, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए बहुपद की x के सापेक्ष डिग्री 8 है। 9, y की एक घात है, x की नहीं। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री पूछी जाए, तो केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficient. The powers of x in the given expression are 8, 6, 0, and 0. The greatest of these is 8, so the degree of the polynomial in x is 8. The number 9 is a power of y, not of x. Exam tip: When the degree is asked with respect to one variable, consider powers of that variable only.
\(4x^3y^2\) में घातों का योग \(3+2=5\) है, इसलिए इसकी कुल डिग्री 5 है। A की कुल डिग्री भी 5 लगती है, पर उसमें \(3x^4y\) वास्तव में कुल डिग्री 5 है; अतः A भी सही होगा। परीक्षा में प्रत्येक पद की घातों का योग जाँचें। / In \(4x^3y^2\), the sum of exponents is \(3+2=5\), so its total degree is 5. However, option A also has \(3x^4y\) of total degree 5, so it would also be correct. In exams, check exponent sums for every term.
जब (n>12) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=15) शर्त पूरी करता है। / When (n>12), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, (n=15) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसके चर की सबसे बड़ी घात होती है, जिसका गुणांक शून्य न हो। यहाँ \(3x^9\) पद मौजूद है और \(m<9\) दिया है, इसलिए \(6x^m\) की घात 9 से कम रहेगी। \(m=7\) रखने पर सबसे बड़ी घात \(9\) ही है, अतः डिग्री \(9\) रहती है। \(m=9\) डिग्री 9 तो देता है, पर वह दी गई शर्त \(m<9\) को पूरा नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई शर्तों को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of the variable with a non-zero coefficient. Since the term \(3x^9\) is present and \(m<9\), the power in \(6x^m\) must be less than 9. For \(m=7\), the highest power is still \(9\), so the degree remains \(9\). Although \(m=9\) would also give degree 9, it does not satisfy \(m<9\). Exam tip: While finding degree, always check any condition given on the exponent as well.
B. दावा गलत है; सरल करने पर बहुपद की डिग्री 2 है।/The claim is incorrect; after simplification, the degree is 2.
Explanation
Simple Explanation
कोष्ठक हटाने पर \(P(x)=x^4-3x^2+1-x^4-2x^2+5=-5x^2+6\) मिलता है। \(x^4\) पद कट जाते हैं, इसलिए उच्चतम घात 2 है। परीक्षा में पहले बहुपद को सरल करें। / On removing brackets, \(P(x)=x^4-3x^2+1-x^4-2x^2+5=-5x^2+6\). The \(x^4\) terms cancel, so the highest remaining power is 2. Exam tip: simplify fully before finding degree.
A. अशून्य स्थिर बहुपद की डिग्री 0 होती है।/The degree of a non-zero constant polynomial is 0.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य स्थिर बहुपद, जैसे 7 = 7x⁰, में x की सबसे बड़ी घात 0 होती है, इसलिए उसकी डिग्री 0 है। शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। परीक्षा में योग में समान उच्चतम घात के पद कट सकते हैं। / A non-zero constant polynomial such as 7 = 7x⁰ has highest exponent 0, so its degree is 0. The degree of the zero polynomial is not defined. Exam tip: in a sum, leading terms can cancel, reducing the degree.
\(b\neq-4\) होने पर \(x^{14}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (14) रहेगी। / When \(b\neq-4\), the coefficient of \(x^{14}\) is not zero. Therefore the highest power remains (14).
जब \(b=-4\) रखा जाता है, तब \(b+4=0\) हो जाता है। इसलिए \((b+4)x^{14}\) पद शून्य हो जाता है और व्यंजक \(8x^5-1\) रह जाता है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात \(5\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(5\) है। \(14\) मूल व्यंजक में घात थी, लेकिन उसका गुणांक शून्य होने पर वह पद डिग्री में नहीं गिना जाता। परीक्षा टिप: पहले चर की उच्चतम घात वाले पद का गुणांक जाँचें; वह शून्य हो सकता है। / On substituting \(b=-4\), we get \(b+4=0\). Hence, the term \((b+4)x^{14}\) becomes zero, and the expression reduces to \(8x^5-1\). The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is \(5\), so its degree is \(5\). Although \(14\) appears in the original expression, that term is not counted because its coefficient becomes zero. Exam tip: check whether the coefficient of the highest-power term becomes zero after substitution.
गुणन में दोनों बहुपदों के उच्चतम घात वाले पद गुणा होते हैं, इसलिए उनकी घातें जुड़ती हैं: \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\)। जोड़ में अग्रणी पद कट सकते हैं; परीक्षा में इस अंतर को याद रखें। / In a product, the leading terms multiply, so their exponents add: \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\). In a sum, leading terms can cancel; remember this distinction in exams.
दिया गया व्यंजक सरल करने पर: \(5x^7(x^2-1)-5x^9+2x^6=5x^9-5x^7-5x^9+2x^6=-5x^7+2x^6\)। यहाँ \(5x^9\) और \(-5x^9\) कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात 7 है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 9 गलत है क्योंकि \(x^9\) वाले पद सरल करने पर शून्य हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को अवश्य मिलाइए। / On simplifying, \(5x^7(x^2-1)-5x^9+2x^6=5x^9-5x^7-5x^9+2x^6=-5x^7+2x^6\). The terms \(5x^9\) and \(-5x^9\) cancel. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is 7, so its degree is 7. Option 9 is incorrect because the \(x^9\) terms become zero after simplification. Exam tip: Expand brackets and combine like terms before finding the degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-41) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-41) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (10) है और \(x^9\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^9\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (10), and the \(x^9\) term is absent. So the coefficient of \(x^9\) is (0).
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^5(x^2-6)=x^7-6x^5\)। अतः \(p(x)=x^7-6x^5-x^7+6x^5+29=29\)। यह एक अशून्य स्थिर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 7 मूल असरलित व्यंजक में दिखने वाली उच्चतम घात है, पर उसके पद कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^5(x^2-6)=x^7-6x^5\). Hence, \(p(x)=x^7-6x^5-x^7+6x^5+29=29\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Option 7 is the highest power visible in the unsimplified expression, but those terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
पहले गुणन करें:
\((x^5+2x^2)(x^6-x^3)=x^{11}-x^8+2x^8-2x^5=x^{11}+x^8-2x^5\)। अब इसमें से \(x^{11}\) घटाने पर \(x^8-2x^5\) प्राप्त होता है। इसकी सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री 8 है। \(11\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर \(x^{11}\) वाले पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान घात वाले पदों को सरल करके देखें। / First expand the product: \((x^5+2x^2)(x^6-x^3)=x^{11}-x^8+2x^8-2x^5=x^{11}+x^8-2x^5\). Subtracting \(x^{11}\) leaves \(x^8-2x^5\). The highest power present is 8, so the degree is 8. Option 11 is a close distractor, but the \(x^{11}\) terms cancel. Exam tip: always simplify like terms before identifying the degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^8\) और \(x^5\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=6) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^8\) and \(x^5\) terms must vanish. At (c=6), both coefficients become (0).
डिग्री (4) के लिए \(x^7\) पद हटना चाहिए और \(x^4\) पद बचना चाहिए। (d=-4) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (4), the \(x^7\) term must vanish and the \(x^4\) term must remain. This condition holds at (d=-4).
पहले पद की कुल घात (5+2+4=11) है और दूसरे पद की (3+1+7=11) है। इसलिए कुल डिग्री (11) है। / The total power of the first term is (5+2+4=11) and of the second term is (3+1+7=11). Therefore the total degree is (11).
(z) की सबसे बड़ी घात (8) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (8). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
एक विद्यार्थी दावा करता है कि किसी बहुपद की डिग्री हमेशा उसके पदों की संख्या के बराबर होती है। निम्नलिखित में से कौन-सा उदाहरण इस दावे को गलत सिद्ध करता है?
B. \(4x^7-3\) में दो पद हैं और इसकी डिग्री 7 है/\(4x^7-3\) has two terms and degree 7
Explanation
Simple Explanation
बहुपद \(4x^7-3\) में केवल दो पद हैं, पर \(x\) का उच्चतम घातांक 7 है; इसलिए इसकी डिग्री 7 है, 2 नहीं। परीक्षा में पदों की संख्या नहीं, सबसे बड़ी घात देखें। / The polynomial \(4x^7-3\) has only two terms, but its highest exponent of \(x\) is 7, so its degree is 7, not 2. Exam tip: count the highest power, not the terms.
यह
a-2-b-2=(a-b)(a+b)
के रूप का गुणनफल है। यहाँ
a=x-6
और
b=1
लेने पर
\(x^6-1\)\(x^6+1\)=x^{12}-1
प्राप्त होता है। इस बहुपद में
x
की सबसे बड़ी घात 12 है, इसलिए इसकी डिग्री 12 है। 6 प्रत्येक गुणनखंड की डिग्री है, पूरे गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: गुणनखंडों का गुणन करने से पहले सर्वसमिका पहचानने पर डिग्री जल्दी ज्ञात होती है। / This product has the form
a-2-b-2=(a-b)(a+b)
. Taking
a=x-6
and
b=1
gives
\(x^6-1\)\(x^6+1\)=x^{12}-1
. The highest power of
x
in this polynomial is 12, so its degree is 12. Degree 6 is the degree of each factor, not of the complete product. Exam tip: Recognising an identity before multiplying helps find the degree quickly.
अशून्य बहुपदों के अग्र पदों के गुणांक अशून्य होते हैं, इसलिए उनके गुणन का अग्र पद समाप्त नहीं हो सकता। अतः गुणनफल की डिग्री डिग्रियों का योग होती है। योग में अग्र पद कट सकते हैं; परीक्षा में इस अपवाद को याद रखें। / The leading coefficients of non-zero polynomials are non-zero, so the leading term of their product cannot cancel. Hence, the degree of a product is the sum of degrees. In a sum, leading terms may cancel; remember this exception in exams.
कोष्ठक खोलने पर दूसरे व्यंजक के प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: \(p(x)=x^7-5x^4+2-x^7+2x^4=-3x^4+2\)। \(x^7\) के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात \(4\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(4\) है। \(7\) मूल व्यंजकों में दिखाई देता है, लेकिन सरलीकरण के बाद उसका पद नहीं बचता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / On removing the brackets, every term of the second expression changes sign: \(p(x)=x^7-5x^4+2-x^7+2x^4=-3x^4+2\). The \(x^7\) terms cancel, and the highest power in the remaining polynomial is \(4\); hence its degree is \(4\). Although \(7\) appears in the original expressions, its term does not remain after simplification. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
व्यंजक का प्रसार करने पर
\(x^7(x^2+1)-x^2(x^7-6)=x^9+x^7-x^9+6x^2=x^7+6x^2\) मिलता है। इसमें सबसे अधिक घात वाला पद \(x^7\) है, इसलिए बहुपद की डिग्री 7 है। विकल्प 9 गलत है, क्योंकि \(x^9\) के पद आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले कोष्ठक खोलकर समान पदों को अवश्य सरल करें। / On expanding the expression,
\(x^7(x^2+1)-x^2(x^7-6)=x^9+x^7-x^9+6x^2=x^7+6x^2\). The highest power of \(x\) in the simplified polynomial is 7, so its degree is 7. Option 9 is incorrect because the \(x^9\) terms cancel each other. Exam tip: Always expand and combine like terms before finding the degree of a polynomial.
(e=3) पर \(x^{12}\) पद हटता है लेकिन \(x^{10}\) का गुणांक (5) रहता है। इसलिए डिग्री (10) है। / At (e=3), the \(x^{12}\) term vanishes but the coefficient of \(x^{10}\) remains (5). Therefore the degree is (10).
दिया गया व्यंजक सरल करने पर प्रत्येक पद का गुणांक 0 होने के कारण p(x)=0 प्राप्त होता है। यह शून्य बहुपद है और शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। 9 चुनना गलत है, क्योंकि x-9 का गुणांक भी 0 है; इसलिए वह पद बहुपद में प्रभावी नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplification, every term has coefficient 0, so p(x)=0. This is the zero polynomial, and the degree of the zero polynomial is not defined. Choosing 9 is incorrect because the coefficient of x-9 is also 0, so that term does not contribute to the polynomial. Exam tip: Remove terms with zero coefficients before finding the degree.
A. उनके अग्रणी पदों के गुणांकों का योग 0 हो/The sum of the coefficients of their leading terms is 0
Explanation
Simple Explanation
दोनों बहुपदों के \(x^n\) वाले अग्रणी पद जुड़ते हैं। उनके गुणांकों का योग 0 होने पर \(x^n\) पद कट जाता है, इसलिए डिग्री घट सकती है। समान स्थिर पद डिग्री नहीं बदलते। परीक्षा में अगला अशून्य पद देखें। / The leading \(x^n\) terms are added. If their coefficients sum to 0, the \(x^n\) term cancels, so the degree may decrease. Equal constant terms do not affect degree. Exam tip: check the next non-zero term.
बहुपद \(x^6y^3+2x\) में पद \(x^6y^3\) की कुल घात \(6+3=9\) है, जबकि \(2x\) की घात 1 है। अतः बहुपद की कुल डिग्री उसके पदों की अधिकतम कुल घात, अर्थात 9, है। विकल्प A में अधिकतम कुल घात \(4+3=7\) है। परीक्षा टिप: दो चरों वाले किसी पद की कुल घात ज्ञात करने के लिए सभी चरों के घातांकों को जोड़ें। / In \(x^6y^3+2x\), the term \(x^6y^3\) has total degree \(6+3=9\), while \(2x\) has degree 1. Therefore, the total degree of the polynomial, which is the greatest total degree among its terms, is 9. In option A, the greatest total degree is only \(4+3=7\). Exam tip: For a term in two variables, add the exponents of all variables to find its total degree.
\(0x^{17}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{15}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (15) है। / \(0x^{17}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{15}\) term. Therefore the degree is (15).
कोष्ठक खोलने पर समान पद कट जाते हैं:
\((x^7+x^4+1)-(x^7+x^4)=1\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है। अशून्य नियतांक बहुपद की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर 0 है। ‘परिभाषित नहीं’ विकल्प शून्य बहुपद के लिए लागू होता है, नियतांक 1 के लिए नहीं। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करें, फिर बचे हुए उच्चतम घात वाले पद से डिग्री ज्ञात करें। / On expanding the brackets, the like terms cancel:
\((x^7+x^4+1)-(x^7+x^4)=1\). This is a non-zero constant polynomial. The degree of every non-zero constant polynomial is \(0\), so the correct answer is 0. “Not defined” applies to the zero polynomial, not to the constant polynomial 1. Exam tip: simplify the expression first, then identify the highest power that remains.
डिग्री (0) के लिए \(x^{12}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-5) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{12}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (s=-5), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^9+5x^4+11)-(x^9+5x^4)=11\)। चूँकि 11 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए उसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 9 या 4 मूल बहुपदों के उच्चतम घातों पर आधारित हैं, लेकिन घटाने के बाद वे पद शेष नहीं रहते। परीक्षा टिप: बहुपदों के योग या अंतर की डिग्री ज्ञात करने से पहले उसे सरल अवश्य करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^9+5x^4+11)-(x^9+5x^4)=11\). Since 11 is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Options 9 and 4 refer to powers in the original polynomials, but those terms do not remain after subtraction. Exam tip: always simplify a sum or difference of polynomials before finding its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^8+7)+(-x^8+9x^5)=9x^5+7\)। यहाँ \(x^8\) के पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में सबसे अधिक घात \(5\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(5\) है। \(8\) चुनना गलत होगा, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^8\) पद बचता ही नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उच्चतम घात वाले शून्येतर पद से डिग्री ज्ञात करें। / \(A(x)+B(x)=(x^8+7)+(-x^8+9x^5)=9x^5+7\). The \(x^8\) terms cancel each other. The highest power with a non-zero coefficient in the remaining polynomial is \(5\), so its degree is \(5\). Choosing \(8\) would be incorrect because no \(x^8\) term remains after addition. Exam tip: always simplify the sum first, then identify the highest power with a non-zero coefficient.
एक विद्यार्थी कहता है कि बहुपद \(R(x)=(3x^6-2x^4)+(5x^4-3x^6)+7x^2\) की डिग्री 6 है, क्योंकि इसमें \(x^6\) पद दिखाई देता है। उसके कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. कथन गलत है; सरल करने पर \(x^6\) पद कट जाते हैं और बहुपद की डिग्री 4 होती है।/The statement is incorrect; after simplification, the \(x^6\) terms cancel and the degree is 4.
Explanation
Simple Explanation
समान पद मिलाने पर \(3x^6-3x^6=0\) और \(-2x^4+5x^4=3x^4\) मिलता है। अतः \(R(x)=3x^4+7x^2\) की डिग्री 4 है। परीक्षा में डिग्री सरल करने के बाद ही देखें। / Combining like terms gives \(3x^6-3x^6=0\) and \(-2x^4+5x^4=3x^4\). Thus, \(R(x)=3x^4+7x^2\), whose highest exponent is 4. In exams, always simplify before finding degree.
a=8 और b=13 रखने पर बहुपद 4x-8+6x-13+1 बनता है। इसके पदों की घातें 8, 13 और 0 हैं। सबसे बड़ी घात 13 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 13 है। 6 केवल x-13 का गुणांक है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: पहले चर की प्रत्येक घात देखें और सबसे बड़ी घात चुनें। / On substituting a=8 and b=13, the polynomial becomes 4x-8+6x-13+1. The degrees of its terms are 8, 13, and 0. Since 13 is the highest exponent of x, the degree of the polynomial is 13. Note that 6 is only the coefficient of x-13, not the degree. Exam tip: identify the largest exponent of the variable after simplifying or substituting values.
पहले व्यंजक को सरल करें: \(x^5(x^3+x)=x^8+x^6\)। अतः \(p(x)=x^8+x^6-x^8-x^6+37=37\)। 37 एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(8\) या \(6\) सरल करने से पहले के पदों की घात हैं; वे आपस में कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / First simplify the expression: \(x^5(x^3+x)=x^8+x^6\). Therefore, \(p(x)=x^8+x^6-x^8-x^6+37=37\). Since 37 is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). The values \(8\) and \(6\) are powers of terms before simplification, but those terms cancel. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
यहाँ \(x^5\) की डिग्री 5 तथा \((x-4)^2\) की डिग्री 2 है। दो अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः डिग्री \(5+2=7\) है। विकल्प 10 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणनफल में डिग्रियाँ जोड़ें और घात वाले गुणनखंड की डिग्री को उसकी घात से गुणा करें। / The degree of \(x^5\) is 5, and the degree of \((x-4)^2\) is 2. The degree of the product of two non-zero polynomials equals the sum of their degrees. Therefore, the degree is \(5+2=7\). Option 10 is incorrect because the degrees are not multiplied. Exam tip: In a product, add the degrees; for a power of a factor, multiply its degree by the power.
बहुपद की डिग्री 0 होने के लिए वह एक अचर बहुपद होना चाहिए। अतः \(x^{10}\) और \(x^3\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। दोनों का गुणांक \(r+9\) है, इसलिए \(r+9=0\), जिससे \(r=-9\) मिलता है। तब व्यंजक केवल \(18\) रह जाता है, जिसकी डिग्री 0 है। \(r=0\) रखने पर \(x^{10}\) का गुणांक 9 होगा, इसलिए डिग्री 10 रहेगी। परीक्षा टिप: सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक पहले जाँचें। / For the polynomial to have degree 0, it must become a constant polynomial. Therefore, the coefficients of both \(x^{10}\) and \(x^3\) must be zero. Their common coefficient is \(r+9\), so \(r+9=0\), giving \(r=-9\). The expression then becomes only \(18\), whose degree is 0. If \(r=0\), the coefficient of \(x^{10}\) is 9, so the degree remains 10. Exam tip: first check the coefficient of the term with the highest power.
दो अशून्य बहुपदों के गुणन की डिग्री उनके डिग्री के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(p(x)q(x))=7+6=13\), इसलिए सही विकल्प 13 है। विकल्प 42 डिग्रियों का गुणन करने से मिलता है, जो बहुपदों के गुणन की डिग्री का नियम नहीं है। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ें। / For the product of two non-zero polynomials, the degree equals the sum of their degrees. Thus, \(\deg(p(x)q(x))=7+6=13\), so 13 is correct. Option 42 comes from multiplying the degrees, which is not the rule for the degree of a polynomial product. Exam tip: add the degrees when polynomials are multiplied.
बहुपद के प्रत्येक पद की कुल घात निकालते हैं: \(x^6y^2\) की कुल घात \(6+2=8\), \(x^4y^7\) की कुल घात \(4+7=11\), और \(xy\) की कुल घात \(1+1=2\) है। इनमें सबसे बड़ी कुल घात 11 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 11 है। विकल्प 8 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: बहुचर बहुपद में प्रत्येक पद के घातांकों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / Find the total degree of each term: \(x^6y^2\) has degree \(6+2=8\), \(x^4y^7\) has degree \(4+7=11\), and \(xy\) has degree \(1+1=2\). The greatest of these is 11, so the total degree of the polynomial is 11. Option 8 is only the degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: For a polynomial in more than one variable, add the exponents in each term and select the greatest sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{13}\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=9) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{13}\) and \(x^6\) terms must vanish. At (u=9), both coefficients are (0).
समान पदों को मिलाने पर \(5x^{11}-5x^{11}=0\) और \(6x^7-6x^7=0\) हो जाते हैं। अतः \(F(x)=8x^4-3\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 4 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 4 है। विकल्प 0 केवल किसी अशून्य अचर बहुपद की डिग्री होता; यहाँ \(x^4\) का पद मौजूद है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को सरल करके रद्द होने वाले पदों को हटाएँ। / On combining like terms, \(5x^{11}-5x^{11}=0\) and \(6x^7-6x^7=0\). Thus, \(F(x)=8x^4-3\). The highest exponent of \(x\) is 4, so the degree of the polynomial is 4. Option 0 would be the degree of a non-zero constant polynomial, but an \(x^4\) term remains here. Exam tip: simplify and cancel like terms before finding a polynomial's degree.
(\(x^6+2x^3\)2=x^{12}+4x-9+4x-6) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(4x^6+7x^5\) बचता है जिसकी डिग्री (6) है। / (\(x^6+2x^3\)2=x^{12}+4x-9+4x-6). After higher terms cancel, \(4x^6+7x^5\) remains, whose degree is (6).
डिग्री (2) के लिए \(x^{14}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (w=10) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{14}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (w=10), both coefficients become (0).
गुणन में \(x^{12}\) पद बनता है और बाहर का \(-x^{12}\) उसे काट देता है। बची हुई सबसे बड़ी घात (8) है। / The product creates an \(x^{12}\) term and the outside \(-x^{12}\) cancels it. The remaining highest power is (8).
डिग्री (2) के लिए \(x^{12}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=5) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (2), both \(x^{12}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (a=5), both higher-term coefficients become (0).
फैलाने पर \(x^{10}-2x^6-x^{10}+3x^7-9\) मिलता है। \(x^{10}\) कटता है और सबसे बड़ी घात (7) रहती है। / On expanding, we get \(x^{10}-2x^6-x^{10}+3x^7-9\). The \(x^{10}\) term cancels and the highest power left is (7).
(k=-2) रखने पर \(x^{11}\) और \(x^6\) दोनों पद हट जाते हैं। बचा \(-5x^3+1\) है जिसकी डिग्री (3) है। / Putting (k=-2) removes both \(x^{11}\) and \(x^6\) terms. The remaining \(-5x^3+1\) has degree (3).
C. उसने \(-3x^4\) के घातांक 4 को नहीं माना है/She ignored the exponent 4 in \(-3x^4\)
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसका सबसे बड़ा घातांक होती है, पदों का क्रम नहीं। यहाँ घातांक 0, 4 और 2 हैं; सबसे बड़ा 4 है। इसलिए \(-3x^4\) डिग्री तय करता है। परीक्षा टिप: पहले सभी घातांक लिखकर अधिकतम चुनें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent, not the exponent of the last written term. Here the exponents are 0, 4 and 2, so the degree is 4. The term \(-3x^4\) decides it. Exam tip: list exponents and select the largest.
समान घात वाले पदों को मिलाने पर \(6x^9-11x^9+5x^9=(6-11+5)x^9=0\) मिलता है। अतः \(f(x)=4x^5-13\) रह जाता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 5 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 5 है। विकल्प 9 गलत है क्योंकि \(x^9\) वाले पद पूरी तरह निरस्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा समान पदों को सरल करके उनका गुणांक जाँचें। / Combining like terms gives \(6x^9-11x^9+5x^9=(6-11+5)x^9=0\). Thus, \(f(x)=4x^5-13\). The highest exponent is 5, so the degree of the polynomial is 5. Option 9 is incorrect because all the \(x^9\) terms cancel completely. Exam tip: Before finding the degree, simplify like terms and check whether the leading coefficient becomes zero.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः \(6+4=10\), \(2+9=11\), \(1+3=4\) और स्थिर पद \(-7\) के लिए \(0\) हैं। अतः सबसे बड़ी कुल घात \(11\) है। \(10\) पहला पद \(8x^6y^4\) की कुल घात है, लेकिन यह अधिकतम नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. The term degrees here are \(6+4=10\), \(2+9=11\), \(1+3=4\), and \(0\) for the constant term \(-7\). Hence, the highest total degree is \(11\). Although \(10\) is the degree of the first term \(8x^6y^4\), it is not the greatest. Exam tip: add the exponents within each term, then select the largest sum.
\(x\) के सापेक्ष डिग्री ज्ञात करते समय \(y\) को गुणांक का भाग माना जाता है। दिए गए व्यंजक में \(x\) वाली घातें \(7\) और \(9\) हैं; \(6y^8-4\) में \(x\) की घात \(0\) है। सबसे बड़ी घात \(9\) होने से \(x\) के सापेक्ष बहुपद की डिग्री \(9\) है। विकल्प \(7\) केवल पहले पद \(9x^7y^5\) की \(x\)-घात है। परीक्षा टिप: किसी विशेष चर के सापेक्ष डिग्री में केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to \(x\), treat every power of \(y\) as part of the coefficient. The powers of \(x\) in the expression are \(7\) and \(9\); in \(6y^8-4\), the power of \(x\) is \(0\). Since the greatest power is \(9\), the degree of the polynomial with respect to \(x\) is \(9\). Option \(7\) is only the power of \(x\) in the first term, \(9x^7y^5\). Exam tip: for degree with respect to one variable, compare powers of that variable only.
y के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करने के लिए केवल y की सबसे बड़ी घात देखी जाती है; x को स्थिर माना जाता है। दिए गए पदों में y की घातें क्रमशः 5, 3, 8 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 8 है, जो पद 6y-8 में है। इसलिए सही उत्तर 8 है। 9x-7y-5 की कुल घात 12 है, पर वह y के संदर्भ में डिग्री नहीं है। परीक्षा टिप: किसी एक चर के सापेक्ष डिग्री में केवल उसी चर की घातों की तुलना करें। / To find the degree with respect to y, consider only the powers of y and treat x as a constant. The powers of y in the given terms are 5, 3, 8, and 0 respectively. The greatest power is 8, occurring in 6y-8. Hence, the degree with respect to y is 8. Although 9x-7y-5 has total degree 12, that is not its degree in y. Exam tip: for degree in one variable, compare exponents of that variable only.
जब (n>13) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=16) शर्त पूरी करता है। / When (n>13), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, (n=16) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसमें उपस्थित चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(2x^{10}\) पद पहले से मौजूद है। चूँकि \(m<10\) होना चाहिए, इसलिए \(m=8\) लेने पर सबसे बड़ी घात \(10\) ही रहती है और बहुपद की डिग्री \(10\) होती है। \(m=10\) से डिग्री तो 10 रहती, पर वह दी गई शर्त \(m<10\) को पूरा नहीं करता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात के साथ दी गई शर्तों को भी अवश्य जाँचें। / The degree of a polynomial is the highest power of its variable. The term \(2x^{10}\) is already present. Since \(m<10\), taking \(m=8\) keeps \(10\) as the highest exponent, so the polynomial has degree \(10\). Although \(m=10\) would also leave the degree as 10, it does not satisfy the condition \(m<10\). Exam tip: While finding a degree, always check any condition given on the exponent as well.
बहुपद \((x^6-4)\) की डिग्री 6 है। किसी अशून्य बहुपद की घात लेने पर उसकी डिग्री घात के साथ गुणा होती है: \(6\times3=18\)। विस्तार में उच्चतम घात वाला पद \((x^6)^3=x^{18}\) होगा, इसलिए डिग्री 18 है। 12 एक संभावित भ्रम है, क्योंकि घातों को जोड़ना नहीं, बल्कि 3 से गुणा करना है। परीक्षा टिप: \((P(x))^n\) की डिग्री सामान्यतः \(n\deg(P)\) होती है। / The polynomial \((x^6-4)\) has degree 6. When a non-zero polynomial is raised to a power, its degree is multiplied by that power: \(6\times3=18\). On expansion, the highest-degree term is \((x^6)^3=x^{18}\), so the degree is 18. Choosing 12 may result from an incorrect operation on exponents; here the degree must be multiplied by 3. Exam tip: \(\deg((P(x))^n)=n\deg(P(x))\) for a non-zero polynomial \(P(x)\).
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनकी डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः \(\deg(PQ)=4+6=10\)। जोड़ या घटाव में अग्र पद कट सकते हैं, इसलिए उनकी डिग्री सदैव निश्चित नहीं होती। परीक्षा टिप: गुणनफल के लिए डिग्रियाँ जोड़ें। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Hence \(\deg(PQ)=4+6=10\). In addition or subtraction, leading terms may cancel, so the degree is not fixed. Exam tip: add degrees only when polynomials are multiplied.
\(b\neq6\) होने पर \(x^{15}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (15) रहेगी। / When \(b\neq6\), the coefficient of \(x^{15}\) is not zero. Therefore the highest power remains (15).
B. यह चर की वह सबसे बड़ी घात होती है जिसका गुणांक शून्येतर हो/It is the greatest exponent of the variable with a non-zero coefficient.
Explanation
Simple Explanation
अशून्य बहुपद की डिग्री चर की सबसे बड़ी घात होती है, बशर्ते उस पद का गुणांक शून्येतर हो। पदों की संख्या डिग्री नहीं बताती। परीक्षा में पहले शून्य गुणांक वाले पद हटाएँ। / The degree of a non-zero polynomial is the highest exponent of its variable whose coefficient is non-zero. The number of terms is not its degree. Exam tip: ignore every term with coefficient 0 first.
B. विद्यार्थी का कथन गलत है; बहुपद की डिग्री 3 है।/The student is incorrect; the degree is 3.
Explanation
Simple Explanation
\(4x^5-4x^5=0\), इसलिए सरल रूप \(6x^3-x+9\) है। इसमें सबसे बड़ी घात 3 है, अतः डिग्री 3 है। परीक्षा में डिग्री बताने से पहले समान पदों को अवश्य सरल करें। / Since \(4x^5-4x^5=0\), the simplified polynomial is \(6x^3-x+9\). Its highest non-zero exponent is 3, so its degree is 3. Exam tip: always simplify like terms before finding degree.
पहले व्यंजक का प्रसार करें: \(6x^8(x^2-1)=6x^{10}-6x^8\)। अतः पूरा व्यंजक \(6x^{10}-6x^8-6x^{10}+5x^7=-6x^8+5x^7\) बनता है। \(x^{10}\) वाले पद निरस्त हो जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात 8 है, इसलिए इसकी डिग्री 8 है। विकल्प 10 गलत है क्योंकि \(x^{10}\) का गुणांक सरल करने पर शून्य हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा कोष्ठक खोलकर समान घात वाले पदों को मिलाइए। / First expand: \(6x^8(x^2-1)=6x^{10}-6x^8\). Therefore, the full expression becomes \(6x^{10}-6x^8-6x^{10}+5x^7=-6x^8+5x^7\). The \(x^{10}\) terms cancel, and the highest power in the remaining polynomial is 8, so its degree is 8. Option 10 is incorrect because the coefficient of \(x^{10}\) becomes zero after simplification. Exam tip: Always expand brackets and combine like terms before finding a polynomial’s degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (53) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (53) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
पहले बहुपद की डिग्री (11) है और \(x^{10}\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^{10}\) का गुणांक (0) है। / The first polynomial has degree (11), and the \(x^{10}\) term is absent. So the coefficient of \(x^{10}\) is (0).
यहाँ \(Z(x)=0\) प्रत्येक \(x\) के लिए शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घात वाला पद निर्धारित नहीं किया जा सकता। अतः इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(0\) किसी अचर अशून्य बहुपद की डिग्री हो सकती है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय पहले जाँचें कि बहुपद पूर्णतः शून्य तो नहीं है। / Here, \(Z(x)=0\) is the zero polynomial for every value of \(x\). It has no non-zero term, so there is no highest power to determine its degree. Therefore, its degree is not defined. Degree \(0\) applies to a non-zero constant polynomial, not to the zero polynomial. Exam tip: Before finding degree, check whether the polynomial is identically zero.
पहले व्यंजक को सरल कीजिए: \(x^6(x^2-7)=x^8-7x^6\)। अतः \(p(x)=x^8-7x^6-x^8+7x^6+31=31\)। यह एक शून्येतर अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 8 लेने पर पदों के निरसन को अनदेखा कर दिया जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूरी तरह सरल करें। / First simplify the expression: \(x^6(x^2-7)=x^8-7x^6\). Hence, \(p(x)=x^8-7x^6-x^8+7x^6+31=31\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Choosing 8 would ignore the cancellation of like terms. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
गुणन से \(x^{13}+2x^9-3x^5\) मिलता है और \(x^{13}\) कटता है। बची सबसे बड़ी घात (9) है। / Multiplication gives \(x^{13}+2x^9-3x^5\), and \(x^{13}\) cancels. The remaining highest power is (9).
डिग्री (0) के लिए \(x^9\) और \(x^6\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=-7) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^9\) and \(x^6\) terms must vanish. At (c=-7), both coefficients become (0).
डिग्री (5) के लिए \(x^8\) पद हटना चाहिए और \(x^5\) पद बचना चाहिए। (d=8) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (5), the \(x^8\) term must vanish and the \(x^5\) term must remain. This condition holds at (d=8).
पहले पद की कुल घात (6+3+4=13) है और दूसरे पद की (2+2+9=13) है। इसलिए कुल डिग्री (13) है। / The total power of the first term is (6+3+4=13) and of the second term is (2+2+9=13). Therefore the total degree is (13).
(z) की सबसे बड़ी घात (9) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (9). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
\((x^6+x^3)^2=x^{12}+2x^9+x^6\)। अतः \(h(x)=x^{12}+2x^9+x^6-x^{12}-2x^9=x^6\)। इस बहुपद का सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(6\) है। \(12\) और \(9\) वाले पद निरस्त हो जाते हैं, इसलिए वे डिग्री निर्धारित नहीं करते। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को सरल करके समान पदों को अवश्य निरस्त करें। / \((x^6+x^3)^2=x^{12}+2x^9+x^6\). Therefore, \(h(x)=x^{12}+2x^9+x^6-x^{12}-2x^9=x^6\). The highest exponent in the simplified polynomial is \(6\), so its degree is \(6\). The terms with exponents \(12\) and \(9\) cancel, so they do not determine the degree. Exam tip: simplify the expression and cancel like terms before finding the degree.
शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए सबसे बड़ी घात निर्धारित नहीं की जा सकती। अतः इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। परीक्षा में इसे स्थिर बहुपद 0 की डिग्री न मानें। / The zero polynomial has no non-zero term, so there is no highest exponent to identify. Hence, its degree is not defined. Exam tip: do not confuse it with a non-zero constant polynomial, whose degree is 0.
शून्य बहुपद \(0\) में कोई भी अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका सबसे बड़ा घातांक निर्धारित नहीं किया जा सकता। अतः इसकी घात परिभाषित नहीं है। \(7\) जैसे अशून्य अचर बहुपद की घात 0 होती है। परीक्षा टिप: शून्य बहुपद को अचर बहुपद न मानें। / The zero polynomial \(0\) has no non-zero term, so there is no greatest exponent to identify. Therefore, its degree is undefined. A non-zero constant such as \(7\) has degree 0. Exam tip: do not confuse the zero polynomial with a non-zero constant polynomial.
दूसरे कोष्ठक को घटाते समय उसके प्रत्येक पद का चिह्न बदलता है: p(x)=x-8-6x-5+3-x-8+2x-5=-4x-5+3। यहाँ x-8 के पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में x की सबसे बड़ी घात 5 है। इसलिए इसकी डिग्री 5 है। 8 निकटतम भ्रामक विकल्प है, लेकिन x-8 का गुणांक सरल करने पर 0 हो जाता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / While subtracting the second bracket, the sign of every term changes: p(x)=x-8-6x-5+3-x-8+2x-5=-4x-5+3. The x-8 terms cancel, and the highest power of x in the remaining polynomial is 5. Hence, its degree is 5. Option 8 is a close distractor, but the coefficient of x-8 becomes 0 after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
कोष्ठक खोलने पर \(x^8(x^2+1)-x^2(x^8-7)=x^{10}+x^8-x^{10}+7x^2=x^8+7x^2\) मिलता है। \(x^{10}\) वाले पद आपस में कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(8\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(8\) है। विकल्प \(10\) तब मिलता यदि समान \(x^{10}\) पदों के निरस्तीकरण को न देखा जाए। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा सरल रूप में लिखें। / On expanding, \(x^8(x^2+1)-x^2(x^8-7)=x^{10}+x^8-x^{10}+7x^2=x^8+7x^2\). The \(x^{10}\) terms cancel each other. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is \(8\), so its degree is \(8\). Option \(10\) would result from overlooking the cancellation of like terms. Exam tip: Always simplify a polynomial before finding its degree.
(e=-4) पर \(x^{13}\) पद हटता है लेकिन \(x^{11}\) का गुणांक (-5) रहता है। इसलिए डिग्री (11) है। / At (e=-4), the \(x^{13}\) term vanishes but the coefficient of \(x^{11}\) remains (-5). Therefore the degree is (11).
दिया गया व्यंजक सरल करने पर p(x)=0 प्राप्त होता है, क्योंकि प्रत्येक पद का गुणांक 0 है। यह शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद की कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। विकल्प 0 केवल अशून्य अचर बहुपद, जैसे p(x)=5, की डिग्री होता है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को सरल करके शून्य गुणांक वाले पद हटा दें। / On simplification, p(x)=0 because every term has coefficient 0. This is the zero polynomial. It has no non-zero term with a highest power, so its degree is not defined. Option 0 is the degree of a non-zero constant polynomial, such as p(x)=5, not of the zero polynomial. Exam tip: Simplify a polynomial and remove zero-coefficient terms before finding its degree.
A. गुणनफल की डिग्री दोनों बहुपदों की डिग्रियों के योग के बराबर होती है/The degree of the product equals the sum of the degrees of the two polynomials.
Explanation
Simple Explanation
यदि बहुपदों के अग्र पद \(ax^m\) और \(bx^n\) हों, तो गुणनफल का अग्र पद \(abx^{m+n}\) होगा। अतः डिग्री \(m+n\) है। परीक्षा टिप: गुणन में डिग्रियाँ जोड़ते हैं, घटाते नहीं। / If the leading terms are \(ax^m\) and \(bx^n\), their product has leading term \(abx^{m+n}\). Hence its degree is \(m+n\). Exam tip: add degrees while multiplying non-zero polynomials; do not subtract them.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। \(x^7y^3+2x\) में पद \(x^7y^3\) की कुल घात \(7+3=10\) है, जबकि \(2x\) की घात 1 है। इसलिए इस बहुपद की कुल डिग्री 10 है। विकल्प A में अधिकतम कुल घात \(5+4=9\) है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में घातों को जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of variables in any one term. In \(x^7y^3+2x\), the term \(x^7y^3\) has total degree \(7+3=10\), while \(2x\) has degree 1. Hence, the polynomial has total degree 10. In option A, the greatest total degree is \(5+4=9\), so it is not correct. Exam tip: add the exponents in each term and select the largest sum.
\(0x^{18}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{16}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (16) है। / \(0x^{18}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{16}\) term. Therefore the degree is (16).
दिए गए व्यंजक में घटाने पर समान पद कट जाते हैं:
\((x^8+x^5+1)-(x^8+x^5)=1\)। प्राप्त बहुपद 1 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री 0 होती है। 8 या 5 मूल व्यंजक में घातें हैं, लेकिन वे सरल करने पर बचती नहीं हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा सरल करें; शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती है, पर 1 की डिग्री 0 है। / On subtraction, the like terms cancel:
\((x^8+x^5+1)-(x^8+x^5)=1\). The resulting polynomial, 1, is a non-zero constant polynomial, so its degree is 0. Although 8 and 5 occur in the original expression, those terms do not remain after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial before finding its degree; the zero polynomial has undefined degree, but the degree of 1 is 0.
डिग्री (0) के लिए \(x^{13}\) और \(x^9\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-11) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{13}\) and \(x^9\) terms must vanish. At (s=-11), both coefficients become (0).
दिए गए बहुपदों को घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^{10}+6x^5+13)-(x^{10}+6x^5)=13\)। यह एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। \(10\) मूल बहुपदों की डिग्री है, लेकिन घटाने के बाद उच्च घात वाले पद समाप्त हो जाते हैं। परीक्षा टिप: घटाव के बाद प्राप्त अंतिम बहुपद की डिग्री ही लिखें। / On subtracting the polynomials, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^{10}+6x^5+13)-(x^{10}+6x^5)=13\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Although the original polynomials have degree \(10\), their highest-degree terms cancel on subtraction. Exam tip: always find the simplified resulting polynomial before identifying its degree.
\(A(x)+B(x)=(x^9+8)+(-x^9+10x^6)=10x^6+8\)। यहाँ \(x^9\) और \(-x^9\) परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 6 है, इसलिए इसकी डिग्री 6 है। विकल्प 9 सही नहीं है, क्योंकि जोड़ के बाद \(x^9\) पद बचता ही नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों को जोड़ने के बाद ही उसका उच्चतम घातांक देखकर डिग्री ज्ञात करें। / \(A(x)+B(x)=(x^9+8)+(-x^9+10x^6)=10x^6+8\). The \(x^9\) and \(-x^9\) terms cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is 6, so its degree is 6. Option 9 is incorrect because no \(x^9\) term remains after addition. Exam tip: Always simplify the polynomial first, then identify its highest exponent.
एक विद्यार्थी कहता है कि बहुपद \(R(x)=3x^4-2x^3+x^2+5x^4+2x^3-8x^4\) की डिग्री 4 है, क्योंकि इसमें \(x^4\) पद दिखाई देता है। उसके कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
C. विद्यार्थी गलत है; समान पदों को मिलाने पर \(x^4\) और \(x^3\) पद कट जाते हैं, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है।/The student is incorrect; after combining like terms, the \(x^4\) and \(x^3\) terms cancel, so the degree is 2.
Explanation
Simple Explanation
\(x^4\) का गुणांक \(3+5-8=0\) और \(x^3\) का गुणांक \(-2+2=0\) है। अतः \(R(x)=x^2\), जिसकी डिग्री 2 है। परीक्षा में पहले समान पद मिलाइए। / The coefficient of \(x^4\) is \(3+5-8=0\), and that of \(x^3\) is \(-2+2=0\). Thus \(R(x)=x^2\), whose degree is 2. In exams, simplify before finding degree.
दिए गए मान रखने पर बहुपद \(5x^9+7x^{14}+1\) बनता है। बहुपद की डिग्री उसके किसी पद में \(x\) की सबसे बड़ी घात होती है, अतः डिग्री \(14\) है। \(23\) घातों का योग है, लेकिन डिग्री ज्ञात करने के लिए घातों को जोड़ा नहीं जाता। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल रूप में लिखकर \(x\) की सबसे बड़ी घात पहचानें। / Substituting the given values gives the polynomial \(5x^9+7x^{14}+1\). The degree of a polynomial is the greatest exponent of \(x\) in any term, so its degree is \(14\). \(23\) is the sum of the exponents, but exponents are not added to find a polynomial’s degree. Exam tip: first write the polynomial in simplified form and then identify the highest power of \(x\).
विकल्प D में \(x^8-x^8=0\), इसलिए व्यंजक सरल होकर \(11x^5\) बनता है। इसका सबसे बड़ा घातांक 5 है, अतः इसकी डिग्री 5 है, 8 नहीं। विकल्प B में \(0x^9\) का कोई प्रभाव नहीं होता और शेष उच्चतम घातांक \(x^8\) है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर व्यंजक को सरल करें। / In option D, \(x^8-x^8=0\), so the expression simplifies to \(11x^5\). Its highest exponent is 5, so its degree is 5, not 8. In option B, \(0x^9\) has no effect, and the highest remaining power is \(x^8\). Exam tip: simplify like terms before finding the degree of a polynomial.
पहले विस्तार करें: \(x^6(x^3+x)=x^9+x^7\)। इसलिए \(p(x)=x^9+x^7-x^9-x^7+41=41\)। शून्येतर अचर बहुपद \(41\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(9\) या \(7\) लेने की भूल तब होती है जब समान पदों के निरस्तीकरण को नहीं देखा जाता। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा कोष्ठक खोलकर समान पदों को मिलाइए। / First expand: \(x^6(x^3+x)=x^9+x^7\). Hence, \(p(x)=x^9+x^7-x^9-x^7+41=41\). A non-zero constant polynomial such as \(41\) has degree \(0\), so \(0\) is correct. Choosing \(9\) or \(7\) ignores the cancellation of like terms. Exam tip: expand brackets and combine like terms before finding a polynomial’s degree.
यह बहुपद दो गुणकों का गुणनफल है। x-6 की डिग्री 6 है तथा (x-5)2 की डिग्री 2 है। गुणनफल में डिग्रियाँ जुड़ती हैं, इसलिए कुल डिग्री 6+2=8 है। विकल्प 12 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणनफल के रूप में दिए बहुपदों की डिग्रियाँ जोड़ें। / This polynomial is a product of two factors. The degree of x-6 is 6, and the degree of (x-5)2 is 2. Degrees add when polynomials are multiplied, so the total degree is 6+2=8. Option 12 is incorrect because the exponents are not multiplied. Exam tip: For a polynomial written as a product, add the degrees of its factors.
बहुपद की डिग्री 0 होने का अर्थ है कि वह एक अचर, अर्थात केवल 22, रह जाए। इसलिए \(x^{11}\) और \(x^4\) दोनों के गुणांक शून्य होने चाहिए। दोनों का गुणांक \(r-10\) है, अतः \(r-10=0\), जिससे \(r=10\) मिलता है। \(r=-10\) रखने पर गुणांक \(-20\) होगा और बहुपद की डिग्री 11 रहेगी। परीक्षा टिप: पैरामीटर वाले बहुपद में डिग्री घटाने के लिए उच्चतम घात के गुणांक को पहले शून्य जाँचें। / For the polynomial to have degree 0, it must reduce to a constant, namely 22. Therefore, the coefficients of both \(x^{11}\) and \(x^4\) must be zero. Since each coefficient is \(r-10\), we get \(r-10=0\), so \(r=10\). If \(r=-10\), the coefficient becomes \(-20\), and the polynomial still has degree 11. Exam tip: In parameter-based polynomials, first set the coefficient of the highest power to zero when checking whether the degree can decrease.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके डिग्रियों के योग के बराबर होती है। अतः
( p(x)q(x) ) की डिग्री = 8 + 7 = 15 होगी। विकल्प 8 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्रियाँ जोड़ते हैं, जबकि बहुपदों के योग में सामान्यतः बड़ी डिग्री लेते हैं। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Thus, the degree of ( p(x)q(x) ) is 8 + 7 = 15. Option 8 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: Add degrees when multiplying polynomials; for addition, the higher degree generally determines the result.
दो चरों वाले किसी पद की कुल डिग्री उसके चरों की घातों का योग होती है। यहाँ x-7y-2 की कुल डिग्री 7+2=9, x-5y-8 की 5+8=13 तथा xy की 1+1=2 है। इनका सबसे बड़ा मान 13 है, इसलिए बहुपद की कुल डिग्री 13 है। विकल्प A केवल पहले पद की कुल डिग्री है। परीक्षा टिप: बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय प्रत्येक पद की कुल घात निकालकर सबसे बड़ी कुल घात चुनें। / For a term in two variables, the total degree is the sum of the exponents of its variables. Here, the total degrees of x-7y-2, x-5y-8, and xy are 7+2=9, 5+8=13, and 1+1=2 respectively. The greatest of these is 13, so the total degree of the polynomial is 13. Option A is only the total degree of the first term. Exam tip: Find the total degree of every term and choose the greatest one.
डिग्री (0) के लिए \(x^{14}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=-12) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{14}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (u=-12), both coefficients are (0).
दिए गए व्यंजक में \(6x^{12}-6x^{12}=0\) और \(7x^8-7x^8=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=9x^5-4\) बचता है। इसमें शून्येतर गुणांक वाला सबसे बड़ा घातांक \(5\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(5\) है। विकल्प 0 केवल किसी शून्येतर अचर बहुपद की डिग्री होता। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को जोड़कर या घटाकर सरल कीजिए, फिर शेष उच्चतम घातांक देखिए। / In the given expression, \(6x^{12}-6x^{12}=0\) and \(7x^8-7x^8=0\). Thus, \(F(x)=9x^5-4\). The highest exponent with a non-zero coefficient is \(5\), so the degree of the polynomial is \(5\). Option 0 would apply only to a non-zero constant polynomial. Exam tip: simplify like terms first, then identify the highest remaining exponent.
(\(x^7+4x^3\)2=x^{14}+8x^{10}+16x-6) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(16x^6+6x^2\) बचता है जिसकी डिग्री (6) है। / (\(x^7+4x^3\)2=x^{14}+8x^{10}+16x-6). After higher terms cancel, \(16x^6+6x^2\) remains, whose degree is (6).
डिग्री (4) के लिए \(x^{13}\) और \(x^9\) दोनों पद हटने चाहिए। (a=-6) पर दोनों उच्च पदों के गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (4), both \(x^{13}\) and \(x^9\) terms must vanish. At (a=-6), both higher-term coefficients become (0).
फैलाने पर \(x^{11}-3x^7-x^{11}+5x^8-6\) मिलता है। \(x^{11}\) कटता है और सबसे बड़ी घात (8) रहती है। / On expanding, we get \(x^{11}-3x^7-x^{11}+5x^8-6\). The \(x^{11}\) term cancels and the highest power left is (8).
(k=3) रखने पर \(x^{12}\) और \(x^7\) दोनों पद हट जाते हैं। बचा \(6x^2-5\) है जिसकी डिग्री (2) है। / Putting (k=3) removes both \(x^{12}\) and \(x^7\) terms. The remaining \(6x^2-5\) has degree (2).
शून्येतर बहुपदों के उच्चतम घात वाले पदों का गुणन करने पर घातें जुड़ती हैं और उनका गुणांक शून्य नहीं होता। इसलिए \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\)। परीक्षा में याद रखें कि यह नियम केवल शून्येतर बहुपदों के लिए लागू होता है। / When the leading terms of two non-zero polynomials are multiplied, their exponents add and the resulting leading coefficient remains non-zero. Hence \(\deg(pq)=\deg p+\deg q\). Exam tip: this rule requires both polynomials to be non-zero.
\(5x^3-2x+7\) में \(x\) की घातें 3, 1 और 0 हैं; सबसे बड़ी घात 3 है, इसलिए यह तीसरी डिग्री का बहुपद है। \(\frac{1}{x}\) वाली B बहुपद नहीं है। परीक्षा टिप: घातें पूर्णांक और अऋणात्मक जाँचें। / In \(5x^3-2x+7\), the powers of \(x\) are 3, 1, and 0, so the highest power is 3. Hence it is a cubic polynomial. Option B has \(1/x=x^{-1}\), so it is not a polynomial. Exam tip: check for non-negative integer powers.
बहुचरीय बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी एक पद में चरों की घातों के योग का अधिकतम मान होती है। यहाँ पदों की कुल घातें क्रमशः 7+4=11, 3+10=13, 1+5=6 और अचर पद -13 के लिए 0 हैं। सबसे बड़ी कुल घात 13 है, इसलिए सही उत्तर 13 है। 11 पहले पद की कुल घात है, लेकिन वह अधिकतम नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद में सभी चरों की घातें जोड़कर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial in more than one variable is the greatest sum of the exponents of the variables in any term. Here, the term degrees are 7+4=11, 3+10=13, 1+5=6, and 0 for the constant term -13. The greatest value is 13, so the total degree is 13. Although 11 is the degree of the first term, it is not the highest. Exam tip: Add the exponents in each term and choose the largest sum.
x के संदर्भ में बहुपद की डिग्री ज्ञात करते समय y को गुणांक माना जाता है। दिए गए व्यंजक में x की घातें 9, 7, 0 और 0 हैं। इनमें सबसे बड़ी घात 9 है, इसलिए डिग्री 9 है। 11, y की घात है; x के संदर्भ में डिग्री निकालते समय इसे नहीं लिया जाता। परीक्षा टिप: जिस चर के सापेक्ष डिग्री पूछी हो, केवल उसी चर की सबसे बड़ी घात देखें। / To find the degree with respect to x, treat y as part of the coefficients. The powers of x in the given expression are 9, 7, 0, and 0. The greatest of these is 9, so the degree is 9. The exponent 11 belongs to y and is not considered for the degree in x. Exam tip: Look only at the highest exponent of the variable specified in the question.
B. डिग्री 3 है, क्योंकि \(x\) की सबसे बड़ी घात 3 है।/The degree is 3 because the highest exponent of \(x\) is 3.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री उसके किसी भी पद में चर की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ घातें 3, 1 और 0 हैं; अतः सबसे बड़ी घात 3 है। घातों को जोड़ना गलत है। परीक्षा में शून्येतर गुणांक वाले पद देखें। / The degree is the greatest exponent of the variable in any term. Here the exponents are 3, 1 and 0, so the degree is 3. Adding exponents is incorrect. Exam tip: first identify the term with the highest power and a non-zero coefficient.
जब (n>14) है, तो \(x^n\) सबसे बड़ी घात देगा। दिए गए विकल्पों में (n=17) शर्त पूरी करता है। / When (n>14), \(x^n\) gives the highest power. Among the options, (n=17) satisfies the condition.
बहुपद की डिग्री उसके किसी पद की सबसे बड़ी घात होती है। यहाँ \(3x^{11}\) पद के कारण डिग्री \(11\) है। शर्त \(m<11\) के अनुसार \(m=9\) संभव है और तब \(8x^9\) की घात \(11\) से कम रहती है। \(m=11\) शर्त \(m<11\) को पूरा नहीं करता, जबकि \(m=12\) या \(m=13\) होने पर बहुपद की डिग्री \(11\) से अधिक हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय हमेशा सबसे बड़ी घात और दी गई असमानता, दोनों जाँचें। / The degree of a polynomial is the greatest exponent of its variable among its terms. The term \(3x^{11}\) makes the degree \(11\). Since \(m<11\), \(m=9\) is possible, and the exponent of \(8x^9\) remains below \(11\). \(m=11\) does not satisfy \(m<11\), while \(m=12\) or \(m=13\) would make the degree greater than \(11\). Exam tip: Check both the highest exponent and every condition given in the question.
एक विद्यार्थी ने कहा कि बहुपद \(P(x)=6x^5-6x^5+4x^2-1\) की डिग्री 5 है, क्योंकि उसमें \(x^5\) पद दिखाई दे रहा है। विद्यार्थी के कथन का सही सुधार कौन-सा है?
A. डिग्री 2 है, क्योंकि \(6x^5-6x^5=0\) और शेष बहुपद \(4x^2-1\) है।/The degree is 2 because \(6x^5-6x^5=0\), leaving \(4x^2-1\).
Explanation
Simple Explanation
समान \(x^5\) पदों के गुणांक विपरीत होने से वे कट जाते हैं: \(6x^5-6x^5=0\)। सरल रूप \(4x^2-1\) में सबसे बड़ी घात 2 है। परीक्षा टिप: डिग्री निकालने से पहले बहुपद को सरल करें। / The \(x^5\) terms cancel because their coefficients are opposites: \(6x^5-6x^5=0\). The simplified polynomial is \(4x^2-1\), whose highest exponent is 2. Exam tip: always simplify before finding degree.
शून्य बहुपद \(0\) में कोई अशून्य पद नहीं होता, इसलिए उसका उच्चतम घातांक नहीं चुना जा सकता और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं है। \(-7\) की डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: केवल शून्य बहुपद की डिग्री अपरिभाषित होती है। / The zero polynomial \(0\) has no non-zero term, so there is no highest exponent to identify; hence its degree is undefined. In contrast, \(-7\) is a non-zero constant of degree 0. Exam tip: only the zero polynomial has undefined degree.
\(b\neq-8\) होने पर \(x^{16}\) का गुणांक शून्य नहीं है। इसलिए सबसे बड़ी घात (16) रहेगी। / When \(b\neq-8\), the coefficient of \(x^{16}\) is not zero. Therefore the highest power remains (16).
b=-8 रखने पर b+8=0 हो जाता है। इसलिए x^{16} वाला पद 0x^{16} बनकर समाप्त हो जाता है और बहुपद 10x-7-3 रह जाता है। इसमें x की सबसे बड़ी घात 7 है, अतः इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 16 गलत है क्योंकि उसका गुणांक शून्य हो चुका है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले चर वाले प्रत्येक पद का गुणांक शून्य तो नहीं है, यह अवश्य जाँचें। / Substituting b=-8 gives b+8=0. Hence, the x^{16} term becomes 0x^{16} and vanishes, leaving the polynomial 10x-7-3. The highest power of x is 7, so its degree is 7. Option 16 is incorrect because its coefficient becomes zero. Exam tip: Before finding a polynomial’s degree, check whether the coefficient of the apparent highest-degree term becomes zero.
रीमा का कथन है कि बहुपद \(P(x)=(x^4+2x^2+1)-(x^4-3x^2+5)\) की डिग्री 4 है, क्योंकि दोनों कोष्ठकों में \(x^4\) पद है। रीमा के कथन का सही मूल्यांकन क्या है?
B. रीमा गलत है; सरल करने पर \(x^4\) पद कट जाते हैं और \(P(x)=5x^2-4\) की डिग्री 2 है।/Rima is incorrect; the \(x^4\) terms cancel on simplification, and \(P(x)=5x^2-4\) has degree 2.
Explanation
Simple Explanation
पहले कोष्ठक खोलें: \(P(x)=x^4+2x^2+1-x^4+3x^2-5=5x^2-4\)। उच्चतम घात 2 है, इसलिए डिग्री 2 है। परीक्षा में डिग्री बताने से पहले समान पदों को अवश्य मिलाएँ। / First simplify: \(P(x)=x^4+2x^2+1-x^4+3x^2-5=5x^2-4\). The highest power with a non-zero coefficient is 2, so the degree is 2. Exam tip: combine like terms before finding degree.
पहले विस्तार करें: \(7x^9(x^2-1)=7x^{11}-7x^9\)। अतः पूरा व्यंजक \(7x^{11}-7x^9-7x^{11}+6x^8=-7x^9+6x^8\) बनता है। इसमें \(x^{11}\) वाले पद कट जाते हैं और सबसे अधिक घात 9 है, इसलिए डिग्री 9 है। विकल्प 8 केवल शेष दूसरे पद की घात है, सबसे बड़ी घात नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले व्यंजक को पूरी तरह सरल करना आवश्यक है। / First expand: \(7x^9(x^2-1)=7x^{11}-7x^9\). Thus, the expression becomes \(7x^{11}-7x^9-7x^{11}+6x^8=-7x^9+6x^8\). The \(x^{11}\) terms cancel, and the highest remaining exponent is 9, so the degree is 9. Option 8 is the exponent of the other remaining term, not the highest one. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
शून्य गुणांक वाले पद हट जाते हैं और (-61) बचता है। यह अशून्य नियतांक बहुपद है जिसकी डिग्री (0) है। / Terms with zero coefficients disappear and (-61) remains. It is a non-zero constant polynomial with degree (0).
चौथे बहुपद की डिग्री (12) है और \(x^{11}\) पद अनुपस्थित है। इसलिए \(x^{11}\) का गुणांक (0) है। / The fourth polynomial has degree (12), and the \(x^{11}\) term is absent. So the coefficient of \(x^{11}\) is (0).
यहाँ \(Y(x)=0\) शून्य बहुपद है, अर्थात इसके सभी गुणांक शून्य हैं। शून्य बहुपद में कोई उच्चतम घात वाला अशून्य पद नहीं होता, इसलिए इसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(0\) केवल अचर अशून्य बहुपद, जैसे \(5\), की डिग्री होती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करते समय सबसे बड़ी घात वाले अशून्य पद को देखें। / Here, \(Y(x)=0\) is the zero polynomial, meaning that all its coefficients are zero. It has no non-zero term with a highest power, so its degree is not defined. \(0\) is the degree of a non-zero constant polynomial, such as \(5\), not of the zero polynomial. Exam tip: To find a degree, look for the highest power having a non-zero coefficient.
पहले व्यंजक को सरल कीजिए: \(x^7(x^2-8)=x^9-8x^7\)। अतः \(p(x)=x^9-8x^7-x^9+8x^7+43=43\)। यह एक अशून्य अचर बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 9 लेने पर रद्द होने वाले \(x^9\) पद की उपेक्षा हो जाएगी। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा बहुपद को पूरी तरह सरल करें। / First simplify the expression: \(x^7(x^2-8)=x^9-8x^7\). Hence, \(p(x)=x^9-8x^7-x^9+8x^7+43=43\). This is a non-zero constant polynomial, so its degree is \(0\). Choosing 9 would ignore the cancellation of the \(x^9\) terms. Exam tip: always simplify a polynomial completely before finding its degree.
गुणन से \(x^{15}+3x^{11}-4x^7\) मिलता है और \(x^{15}\) कटता है। बची सबसे बड़ी घात (11) है। / Multiplication gives \(x^{15}+3x^{11}-4x^7\), and \(x^{15}\) cancels. The remaining highest power is (11).
डिग्री (0) के लिए \(x^{10}\) और \(x^7\) दोनों पद हटने चाहिए। (c=8) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{10}\) and \(x^7\) terms must vanish. At (c=8), both coefficients become (0).
डिग्री (6) के लिए \(x^9\) पद हटना चाहिए और \(x^6\) पद बचना चाहिए। (d=-9) पर यह शर्त पूरी होती है। / For degree (6), the \(x^9\) term must vanish and the \(x^6\) term must remain. This condition holds at (d=-9).
पहले पद की कुल घात (7+4+3=14) है और दूसरे पद की (3+2+10=15) है। इसलिए कुल डिग्री (15) है। / The total power of the first term is (7+4+3=14) and of the second term is (3+2+10=15). Therefore the total degree is (15).
(z) की सबसे बड़ी घात (10) है। अन्य चर (z) के संदर्भ में गुणांक जैसे माने जाते हैं। / The highest power of (z) is (10). Other variables are treated like coefficients with respect to (z).
A. समान घात वाले पदों को पहले जोड़ना चाहिए; सरलीकरण के बाद उच्चतम घात 3 है।
Explanation
Simple Explanation
बहुपद में समान घात वाले पद जोड़े जाते हैं: \(5x^3-2x^3=3x^3\)। अतः \(p(x)=3x^3+x^2-7\) है और इसकी उच्चतम घात 3 है। घातों को जोड़ना गुणन में होता है, जोड़ या घटाव में नहीं। परीक्षा टिप: पहले बहुपद को सरल करें, फिर सबसे बड़ी घात देखें। / Like terms must be combined first: \(5x^3-2x^3=3x^3\). Thus, \(p(x)=3x^3+x^2-7\), whose highest exponent is 3. Exponents are added during multiplication, not during addition or subtraction. Exam tip: simplify the polynomial before identifying its degree.
a² - b² = (a-b)(a+b) के सूत्र में a = x-8 और b = 1 रखने पर
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B. विद्यार्थी गलत है; सरल करने पर बहुपद की डिग्री 2 होती है।/The student is incorrect; after simplification, the polynomial has degree 2.
Explanation
Simple Explanation
कोष्ठक खोलने पर \(p(x)=x^3+2x^2-x-x^3+5x-4=2x^2+4x-4\) मिलता है। \(x^3\) पद कट जाता है, इसलिए उच्चतम घात 2 है। परीक्षा में पहले बहुपद को पूर्णतः सरल करें। / On opening the brackets, \(p(x)=x^3+2x^2-x-x^3+5x-4=2x^2+4x-4\). The \(x^3\) terms cancel, so the highest remaining power is 2. Exam tip: simplify fully before finding degree.
कोष्ठक खोलने पर \(p(x)=x^9-7x^6+5-x^9+3x^6=-4x^6+5\) मिलता है। \(x^9\) वाले पद कट जाते हैं और शेष बहुपद में सबसे बड़ी घात \(6\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(6\) है। \(5\) स्थिर पद है, डिग्री नहीं। परीक्षा टिप: घटाव वाले कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलकर पहले बहुपद को सरल करें। / On opening the brackets, \(p(x)=x^9-7x^6+5-x^9+3x^6=-4x^6+5\). The \(x^9\) terms cancel, and the highest exponent in the remaining polynomial is \(6\), so its degree is \(6\). The number \(5\) is a constant term, not the degree. Exam tip: When subtracting a bracket, change the sign of every term before simplifying.
दिए गए व्यंजक को फैलाने पर \(x^9(x^2+1)-x^2(x^9-8)=x^{11}+x^9-x^{11}+8x^2=x^9+8x^2\) मिलता है। \(x^{11}\) वाले पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद में \(x\) की सबसे बड़ी घात \(9\) है, इसलिए इसकी डिग्री \(9\) है। \(11\) चुनना गलत होगा, क्योंकि वह पद सरल रूप में बचता नहीं है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले हमेशा व्यंजक को पूरी तरह सरल करें। / Expanding the expression gives \(x^9(x^2+1)-x^2(x^9-8)=x^{11}+x^9-x^{11}+8x^2=x^9+8x^2\). The \(x^{11}\) terms cancel each other. The highest power of \(x\) in the remaining polynomial is \(9\), so its degree is \(9\). Choosing \(11\) would be incorrect because that term does not remain after simplification. Exam tip: always simplify a polynomial fully before finding its degree.
(e=5) पर \(x^{14}\) पद हटता है लेकिन \(x^{12}\) का गुणांक (8) रहता है। इसलिए डिग्री (12) है। / At (e=5), the \(x^{14}\) term vanishes but the coefficient of \(x^{12}\) remains (8). Therefore the degree is (12).
दिए गए व्यंजक के प्रत्येक पद का गुणांक \(0\) है, इसलिए \(p(x)\) शून्य बहुपद है। शून्य बहुपद में कोई अशून्य पद नहीं होता, अतः उसका उच्चतम घात वाला पद निर्धारित नहीं किया जा सकता और उसकी डिग्री परिभाषित नहीं होती। \(0\) केवल किसी अशून्य अचर बहुपद की डिग्री होती है, शून्य बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले जाँचें कि बहुपद शून्य बहुपद तो नहीं है। / Every term in the given expression has coefficient \(0\), so \(p(x)\) is the zero polynomial. The zero polynomial has no non-zero term, so it has no highest power and its degree is not defined. \(0\) is the degree of a non-zero constant polynomial, not of the zero polynomial. Exam tip: Before finding a degree, check whether the polynomial is the zero polynomial.
A. डिग्री सबसे बड़े घातांक से निर्धारित होती है; अतः डिग्री 6 है।/Degree is determined by the highest exponent; therefore, the degree is 6.
Explanation
Simple Explanation
बहुपद की डिग्री शून्येतर गुणांक वाले पद का सबसे बड़ा घातांक होती है, गुणांक का मान नहीं। यहाँ \(2x^6\) में घातांक 6 है, इसलिए डिग्री 6 है। परीक्षा में पहले सबसे बड़ी \(x\) की घात पहचानें। / The degree is the greatest exponent of the variable among terms with non-zero coefficients, not the largest coefficient. Since \(2x^6\) has exponent 6, the degree is 6. Exam tip: scan exponents first, not coefficients.
बहुपद \(x^8y^3+2x\) में पद \(x^8y^3\) की कुल घात \(8+3=11\) है। दूसरे पद \(2x\) की घात 1 है, इसलिए बहुपद की सबसे बड़ी कुल घात 11 होगी। अतः सही विकल्प B है। विकल्प A की डिग्री \(6+4=10\) है। परीक्षा टिप: कई चरों वाले पद में सभी चरों की घातों को जोड़कर कुल घात ज्ञात करें। / In \(x^8y^3+2x\), the term \(x^8y^3\) has total degree \(8+3=11\). The other term, \(2x\), has degree 1, so the greatest total degree of the polynomial is 11. Hence, option B is correct. Option A has degree \(6+4=10\). Exam tip: For a term in several variables, add the exponents of all its variables to find its total degree.
\(0x^{19}\) शून्य पद है और \(t\neq0\) से \(x^{17}\) पद बचता है। इसलिए डिग्री (17) है। / \(0x^{19}\) is a zero term, and \(t\neq0\) keeps the \(x^{17}\) term. Therefore the degree is (17).
दिए गए व्यंजक में समान पद घटाने पर \(x^9-x^9=0\) और \(x^6-x^6=0\) हो जाते हैं। इसलिए बहुपद केवल \(1\) रह जाता है। \(1\) एक अशून्य नियतांक बहुपद है, जिसकी डिग्री \(0\) होती है। \(9\) या \(6\) मूल व्यंजक में घातें हैं, लेकिन वे सरलीकरण के बाद समाप्त हो जाती हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को हमेशा पूर्णतः सरल करें। / On subtracting like terms, \(x^9-x^9=0\) and \(x^6-x^6=0\). Thus, the polynomial reduces to \(1\). Since \(1\) is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Degrees \(9\) and \(6\) occur in the original expression, but those terms cancel after simplification. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
डिग्री (0) के लिए \(x^{14}\) और \(x^{10}\) दोनों पद हटने चाहिए। (s=-13) पर दोनों गुणांक (0) हो जाते हैं। / For degree (0), both \(x^{14}\) and \(x^{10}\) terms must vanish. At (s=-13), both coefficients become (0).
घटाने पर समान पद कट जाते हैं: \(A(x)-B(x)=(x^{11}+7x^6+17)-(x^{11}+7x^6)=17\)। चूँकि 17 एक अशून्य नियतांक बहुपद है, इसलिए इसकी डिग्री \(0\) होती है। विकल्प 11 या 6 मूल बहुपदों की डिग्रियाँ हैं, अंतर की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों को घटाने के बाद ही बचे हुए उच्चतम घात वाले पद से डिग्री ज्ञात करें। / On subtraction, the like terms cancel: \(A(x)-B(x)=(x^{11}+7x^6+17)-(x^{11}+7x^6)=17\). Since 17 is a non-zero constant polynomial, its degree is \(0\). Options 11 and 6 are degrees suggested by the original polynomials, not by their difference. Exam tip: always simplify a polynomial expression before identifying its highest power.
\(A(x)+B(x)=(x^{10}+9)+(-x^{10}+11x^7)=11x^7+9\)। यहाँ \(x^{10}\) और \(-x^{10}\) पद परस्पर कट जाते हैं। शेष बहुपद का सबसे बड़ा घातांक 7 है, इसलिए इसकी डिग्री 7 है। विकल्प 10 गलत है क्योंकि घात 10 वाले पद योग में नहीं बचते। परीक्षा टिप: बहुपदों का योग करने के बाद ही उसका उच्चतम शून्येतर घातांक देखकर डिग्री निर्धारित करें। / \(A(x)+B(x)=(x^{10}+9)+(-x^{10}+11x^7)=11x^7+9\). The terms \(x^{10}\) and \(-x^{10}\) cancel each other. The highest exponent in the remaining polynomial is 7, so its degree is 7. Option 10 is incorrect because no term of degree 10 remains after addition. Exam tip: Always simplify the sum first, then identify the highest non-zero exponent.
अशून्य बहुपदों के गुणन में उनके अग्रणी पद गुणा होते हैं, इसलिए उनकी घातें जुड़ती हैं: \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\)। योग में अग्रणी पद कट सकते हैं, इसलिए विकल्प D सदैव सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणन के नियम में ‘अशून्य’ शर्त अवश्य जाँचें। / When non-zero polynomials are multiplied, their leading terms multiply, so their exponents add: \(\deg(PQ)=\deg P+\deg Q\). In addition, leading terms may cancel, so option D is not always true. Exam tip: always check the non-zero condition before using the product-degree rule.
a = 10 और b = 15 रखने पर बहुपद 6x^{10} + 8x^{15} + 1 बनता है। इसके पदों की घातें 10, 15 और 0 हैं। शून्येतर गुणांक वाले पद की सबसे बड़ी घात 15 है, इसलिए बहुपद की डिग्री 15 है। 25 घातों को जोड़ने पर मिलता है, लेकिन बहुपद की डिग्री घातों का योग नहीं होती। परीक्षा टिप: पहले चर के प्रत्येक पद की घात पहचानें और सबसे बड़ी घात चुनें। / Substituting a = 10 and b = 15 gives 6x^{10} + 8x^{15} + 1. The degrees of its terms are 10, 15, and 0. The highest exponent of a term with a non-zero coefficient is 15, so the degree of the polynomial is 15. Option 25 results from adding the exponents, but the degree of a polynomial is not found by adding exponents of separate terms. Exam tip: identify the exponent of x in every term and select the greatest one.
विकल्प D में \(x^9-x^9=0\) हो जाता है, इसलिए व्यंजक \(12x^6\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, अतः इसकी डिग्री \(6\) है, \(9\) नहीं। विकल्प B में \(0x^{10}\) का पद शून्य है, लेकिन \(8x^9\) के कारण उसकी डिग्री \(9\) रहती है। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले समान पदों को सरल करें और शून्य गुणांक वाले पदों को हटा दें। / In option D, \(x^9-x^9=0\), so the expression reduces to \(12x^6\). Its highest exponent is \(6\), so its degree is \(6\), not \(9\). In option B, the term \(0x^{10}\) vanishes, but \(8x^9\) still gives degree \(9\). Exam tip: simplify like terms and ignore terms with zero coefficients before finding the degree.
पहले व्यंजक को सरल कीजिए: \(x^7(x^3+x)=x^{10}+x^8\)। अतः \(p(x)=x^{10}+x^8-x^{10}-x^8+59=59\)। शून्येतर अचर बहुपद \(59\) की डिग्री \(0\) होती है, इसलिए सही उत्तर \(0\) है। \(10\) या \(8\) चुनना गलत है, क्योंकि उनके पद परस्पर कट जाते हैं। परीक्षा टिप: डिग्री ज्ञात करने से पहले बहुपद को पूरी तरह सरल अवश्य करें। / First simplify the expression: \(x^7(x^3+x)=x^{10}+x^8\). Therefore, \(p(x)=x^{10}+x^8-x^{10}-x^8+59=59\). A non-zero constant polynomial such as \(59\) has degree \(0\), so the correct answer is \(0\). Choosing \(10\) or \(8\) is incorrect because those terms cancel out. Exam tip: Always simplify a polynomial completely before finding its degree.
बहुपद में गुणन होने पर डिग्रियाँ जोड़ी जाती हैं। यहाँ \(x^7\) की डिग्री 7 तथा \((x-6)^2\) की डिग्री 2 है। अतः \(x^7(x-6)^2\) की डिग्री \(7+2=9\) है। विकल्प 14 गलत है, क्योंकि घातों को गुणा नहीं किया जाता। परीक्षा टिप: गुणनखंडों के गुणन में उनकी डिग्रियाँ जोड़ें। / For a product of polynomials, the degrees are added. Here, \(x^7\) has degree 7 and \((x-6)^2\) has degree 2. Therefore, the degree of \(x^7(x-6)^2\) is \(7+2=9\). Option 14 is incorrect because the exponents are not multiplied. Exam tip: Add the degrees of polynomial factors in a product.
डिग्री 0 वाला बहुपद एक अचर बहुपद होता है, इसलिए x वाले सभी पदों के गुणांक शून्य होने चाहिए। यहाँ x^{12} और x-5 दोनों का गुणांक r+12 है। अतः r+12=0, जिससे r=-12 प्राप्त होता है। इस मान पर बहुपद केवल 26 रह जाता है, जिसकी डिग्री 0 है। परीक्षा टिप: अचर पद की डिग्री 0 होती है, जबकि शून्य बहुपद की डिग्री परिभाषित नहीं होती। / A polynomial of degree 0 must be a non-zero constant, so the coefficients of all terms containing x must be zero. Here, the coefficient of both x^{12} and x-5 is r+12. Thus, r+12=0, giving r=-12. With this value, the polynomial becomes 26, whose degree is 0. Exam tip: A non-zero constant has degree 0, whereas the degree of the zero polynomial is not defined.
अशून्य बहुपदों के गुणनफल की डिग्री उनके डिग्रीों के योग के बराबर होती है। अतः deg(p(x)q(x)) = 9 + 8 = 17, इसलिए सही उत्तर 17 है। 9 केवल p(x) की डिग्री है, गुणनफल की नहीं। परीक्षा टिप: बहुपदों के गुणन में डिग्री जोड़ें; जोड़ या घटाव में ऐसा नियम हमेशा लागू नहीं होता। / For non-zero polynomials, the degree of a product equals the sum of their degrees. Hence, deg(p(x)q(x)) = 9 + 8 = 17, so 17 is correct. The value 9 is only the degree of p(x), not of the product. Exam tip: Add degrees when polynomials are multiplied; this rule does not always apply to addition or subtraction.
बहुपद की कुल डिग्री उसके किसी पद में चरों की घातों के अधिकतम योग के बराबर होती है। यहाँ x-8y-2 की कुल घात 8+2=10, x-6y-9 की 6+9=15 और xy की 1+1=2 है। इनमें सबसे बड़ा मान 15 है, इसलिए सही उत्तर 15 है। विकल्प 10 केवल पहले पद की कुल घात है, पूरे बहुपद की नहीं। परीक्षा टिप: प्रत्येक पद की घातों का योग निकालकर सबसे बड़ा योग चुनें। / The total degree of a polynomial is the greatest sum of the exponents of the variables in any one term. Here, the total degrees of x-8y-2, x-6y-9, and xy are 8+2=10, 6+9=15, and 1+1=2 respectively. The greatest value is 15, so the correct answer is 15. Option 10 is only the total degree of the first term, not of the whole polynomial. Exam tip: add the exponents in each term and select the largest sum.
डिग्री (0) के लिए \(x^{15}\) और \(x^8\) दोनों पद हटने चाहिए। (u=14) पर दोनों गुणांक (0) हैं। / For degree (0), both \(x^{15}\) and \(x^8\) terms must vanish. At (u=14), both coefficients are (0).
दिए गए व्यंजक में \(7x^{13}-7x^{13}=0\) तथा \(8x^9-8x^9=0\) हो जाते हैं। इसलिए \(F(x)=10x^6-5\) बचता है। इसका सबसे बड़ा घातांक \(6\) है, अतः बहुपद की डिग्री \(6\) है। विकल्प 13 और 9 कट चुके पदों के घातांक हैं, इसलिए वे डिग्री नहीं हो सकते। परीक्षा टिप: पहले समान पदों को मिलाकर बहुपद को सरल करें, फिर शून्येतर पद का सबसे बड़ा घातांक लें। / In the given expression, \(7x^{13}-7x^{13}=0\) and \(8x^9-8x^9=0\). Thus, \(F(x)=10x^6-5\) remains. Its highest exponent is \(6\), so the degree of the polynomial is \(6\). Options 13 and 9 are exponents of terms that cancel, so they cannot determine the degree. Exam tip: simplify by combining like terms first, then identify the highest exponent with a non-zero coefficient.
(\(x^8+5x^4\)2=x^{16}+10x^{12}+25x-8) होता है। बड़े पद कटने के बाद \(25x^8+3x^7\) बचता है जिसकी डिग्री (8) है। / (\(x^8+5x^4\)2=x^{16}+10x^{12}+25x-8). After higher terms cancel, \(25x^8+3x^7\) remains, whose degree is (8).
