दिया है \(p(x)=2x-3\) और \(q(x)=x+5\)। अतः \(2p(x)-q(x)=2(2x-3)-(x+5)=4x-6-x-5=3x-11\)। इसलिए सही उत्तर \(3x-11\) है। \(3x+11\) तब मिल सकता है जब \(-(x+5)\) के चिन्ह सही ढंग से न बदले जाएँ। परीक्षा टिप: किसी बहुपद के आगे ऋण चिह्न हो, तो कोष्ठक के प्रत्येक पद का चिन्ह बदलें। / Given \(p(x)=2x-3\) and \(q(x)=x+5\), \(2p(x)-q(x)=2(2x-3)-(x+5)=4x-6-x-5=3x-11\). Hence, \(3x-11\) is correct. \(3x+11\) can result from incorrectly handling the minus sign before \((x+5)\). Exam tip: when subtracting a polynomial in brackets, change the sign of every term inside the bracket.
दिया है \(p(x)=x-4\) और \(q(x)=2x+1\)। अतः \(2p(x)+q(x)=2(x-4)+(2x+1)=2x-8+2x+1=4x-7\)। इसलिए सही उत्तर \(4x-7\) है। \(3x-7\) तब मिल सकता है जब \(2p(x)\) में \(2x\) पद को गलत तरीके से जोड़ा जाए। परीक्षा टिप: पहले प्रत्येक बहुपद में दिए गए गुणांक का गुणा करें, फिर समान पदों को मिलाएँ। / Given \(p(x)=x-4\) and \(q(x)=2x+1\), \(2p(x)+q(x)=2(x-4)+(2x+1)=2x-8+2x+1=4x-7\). Hence, \(4x-7\) is correct. The option \(3x-7\) may result from incorrectly combining the \(x\)-terms in \(2p(x)\). Exam tip: Multiply each polynomial by its coefficient first, then combine like terms.
एक विद्यार्थी कहता है कि बहुपद \(R(x)=3x^4-2x^3+x^2+5x^4+2x^3-8x^4\) की डिग्री 4 है, क्योंकि इसमें \(x^4\) पद दिखाई देता है। उसके कथन का सही मूल्यांकन कौन-सा है?
C. विद्यार्थी गलत है; समान पदों को मिलाने पर \(x^4\) और \(x^3\) पद कट जाते हैं, इसलिए बहुपद की डिग्री 2 है।/The student is incorrect; after combining like terms, the \(x^4\) and \(x^3\) terms cancel, so the degree is 2.
Explanation
Simple Explanation
\(x^4\) का गुणांक \(3+5-8=0\) और \(x^3\) का गुणांक \(-2+2=0\) है। अतः \(R(x)=x^2\), जिसकी डिग्री 2 है। परीक्षा में पहले समान पद मिलाइए। / The coefficient of \(x^4\) is \(3+5-8=0\), and that of \(x^3\) is \(-2+2=0\). Thus \(R(x)=x^2\), whose degree is 2. In exams, simplify before finding degree.
समान पदों को जोड़ने पर \(6x^5+6x^5=12x^5\) होता है। अतः सरल बहुपद \(12x^5-3x+8\) है। इसमें \(x\) की सबसे बड़ी घात 5 है, इसलिए इसकी डिग्री 5 है। 12 गुणांक है, घात नहीं; इसलिए 12 डिग्री नहीं हो सकती। परीक्षा टिप: बहुपद को पहले सरल करें, फिर शून्येतर पदों में चर की सबसे बड़ी घात देखें। / Combining like terms gives \(6x^5+6x^5=12x^5\). Thus, the simplified polynomial is \(12x^5-3x+8\). The highest power of \(x\) is 5, so its degree is 5. Here, 12 is a coefficient, not an exponent, so 12 cannot be the degree. Exam tip: simplify the polynomial first, then identify the greatest exponent of the variable in a non-zero term.
\(3x^2y\) और \(7x^2y\) समान पद हैं, इसलिए इनके गुणांक जोड़ने पर \(10x^2y\) मिलता है। इसी प्रकार, \(-5xy^2\) और \(-2xy^2\) को जोड़ने पर \(-7xy^2\) प्राप्त होता है। अतः सरल रूप \(10x^2y-7xy^2\) है। विकल्प B में दूसरे पद के ऋण चिह्न को गलत तरीके से धन माना गया है। परीक्षा टिप: केवल उन्हीं पदों को जोड़ें जिनमें सभी चरों की घातें समान हों। / \(3x^2y\) and \(7x^2y\) are like terms, so adding their coefficients gives \(10x^2y\). Similarly, \(-5xy^2\) and \(-2xy^2\) combine to give \(-7xy^2\). Therefore, the simplified expression is \(10x^2y-7xy^2\). Option B incorrectly treats the negative second terms as positive. Exam tip: combine only those terms that have the same variables raised to the same powers.
वितरण गुण का प्रयोग करने पर \(3(x+2)=3x+6\) होता है। अब समान पदों \(3x\) और \(4x\) को जोड़ने पर \(7x\) मिलता है। अतः व्यंजक का सरल रूप \(7x+6\) है। \(3x+6\) में बाहरी \(4x\) को नहीं जोड़ा गया है। परीक्षा टिप: कोष्ठक हटाने के बाद ही समान पदों को मिलाएँ। / Using the distributive property, \(3(x+2)=3x+6\). Combining the like terms \(3x\) and \(4x\) gives \(7x\). Therefore, the simplified expression is \(7x+6\). The option \(3x+6\) incorrectly leaves out the outside \(4x\). Exam tip: Expand brackets first, then combine like terms.
5x और 2x समान पद हैं, क्योंकि दोनों में चर x की घात 1 है। इसलिए 5x + 2x = 7x होगा और स्थिर पद -4 अपरिवर्तित रहेगा। अतः व्यंजक 7x - 4 के बराबर है। 3x - 4 में गुणांकों का योग गलत है। परीक्षा टिप: केवल समान पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। / 5x and 2x are like terms because both contain x to the first power. Therefore, 5x + 2x = 7x, while the constant term -4 remains unchanged. Hence, the equivalent expression is 7x - 4. In 3x - 4, the coefficients have been combined incorrectly. Exam tip: Add or subtract only like terms.
यहाँ 2x, 3x और 4x समान पद हैं, क्योंकि प्रत्येक पद में चर x की घात 1 है। इसलिए इनके गुणांक जोड़े जाते हैं: 2+3+4=9। अतः व्यंजक का सरल रूप 9x है। 24x गुणांकों को गुणा करने पर मिलता है, जो यहाँ नहीं करना है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ा जा सकता है। / Here, 2x, 3x, and 4x are like terms because each term contains x to the power 1. So, add their coefficients: 2+3+4=9. Hence, the simplified expression is 9x. The option 24x comes from multiplying the coefficients, which is not required here. Exam tip: Only terms with the same variable and the same exponent can be added.
\(5u\) और \(u\) समान पद हैं, इसलिए उनके गुणांक जोड़ते हैं: \(5u+u=6u\)। स्थिर पद \(-2\) अपरिवर्तित रहता है। अतः सरल रूप \(6u-2\) है। \(6u+2\) में स्थिर पद का चिन्ह गलत है। परीक्षा टिप: केवल समान चर और समान घात वाले पदों को ही जोड़ा या घटाया जाता है। / \(5u\) and \(u\) are like terms, so their coefficients are added: \(5u+u=6u\). The constant term \(-2\) remains unchanged. Therefore, the simplified expression is \(6u-2\). In \(6u+2\), the sign of the constant term is incorrect. Exam tip: Combine only terms with the same variable and the same power.
यहाँ 4c और c समान पद हैं, क्योंकि दोनों में चर c की घात 1 है। c का गुणांक 1 होता है, इसलिए 4c+c = 4c+1c = 5c। विकल्प 4c-2 गलत है, क्योंकि समान पदों को जोड़ने पर घात नहीं बढ़ती। परीक्षा टिप: समान पदों को जोड़ते समय केवल उनके गुणांकों को जोड़ें। / Here, 4c and c are like terms because both contain c to the first power. The coefficient of c is 1, so 4c+c = 4c+1c = 5c. The option 4c-2 is incorrect because adding like terms does not increase the exponent. Exam tip: When adding like terms, add only their coefficients.
