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Mathematics Quiz - Class 12 Mathematics Relations and...

Question 1/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) दिया है। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए कौन सा युग्म अवश्य जोड़ना होगा?

On the set \(A=\{1,2,3\}\), the relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) is given. Which pair must be added to make it an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. कोई युग्म नहींNo pair

Step 1

Concept

संबंध में हर तत्व का स्वयं से संबंध है, इसलिए यह स्वतुल्य है। / Every element is related to itself, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए सममितता भी पूरी है। / The pair ((1,2)) has its reverse ((2,1)), so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

({1,2}) और ({3}) अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए कोई नया युग्म जोड़ने की जरूरत नहीं है। / The classes are ({1,2}) and ({3}), so no extra pair is needed.

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Question 2/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब परिभाषित है जब (a-b) संख्या (6) से विभाज्य हो। (20) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) is defined when (a-b) is divisible by (6). Which is the equivalence class of (20)?

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Correct Answer

A. ({..., -4,2,8,14,20,26,...})

Step 1

Concept

(20) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (20) से अंतर (6) का गुणज हो। / Integers related to (20) must differ from (20) by a multiple of (6).

Step 2

Why this answer is correct

(20) को (6) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है, इसलिए समान शेष (2) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में होंगे। / (20) gives remainder (2) on division by (6), so all integers with remainder (2) are in its class.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में पहले दिए गए तत्व का शेष निकालें और उसी शेष वाले सभी तत्व चुनें। / In modulo-class questions, first find the remainder of the given element.

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Question 3/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब परिभाषित है जब (a-b) संख्या (4) से विभाज्य हो। (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) is defined when (a-b) is divisible by (4). What is the equivalence class of (7)?

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Correct Answer

A. ({..., -1,3,7,11,...})

Step 1

Concept

(7) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (7) से अंतर (4) से विभाज्य हो। / Integers related to (7) must differ from (7) by a multiple of (4).

Step 2

Why this answer is correct

(-1,3,7,11) सभी (4) से समान शेष (3) देते हैं। / (-1,3,7,11) all have the same remainder (3) on division by (4).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग निकालते समय समान शेष वाले सभी तत्वों को एक साथ लिखें। / For such questions, group all elements with the same remainder.

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Question 4/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (aRb) तब है जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। निम्न में से कौन सा युग्म (R) में नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (3). Which of the following pairs is not in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. ((1,5))

Step 1

Concept

समान शेष वाले युग्म ही इस संबंध में आते हैं। / Only pairs with the same remainder belong to this relation.

Step 2

Why this answer is correct

(1) का शेष (1) है और (5) का शेष (2) है, इसलिए ((1,5)) संबंध में नहीं होगा। / (1) has remainder (1), while (5) has remainder (2), so ((1,5)) is not in the relation.

Step 3

Exam Tip

विकल्प जांचते समय दोनों संख्याओं को (3) से भाग देकर शेष मिलाएँ। / For each option, compare the remainders after division by (3).

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Question 5/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हों। इस संबंध के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both even or both odd. What are the equivalence classes?

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Correct Answer

A. ({1,3},{2,4})

Step 1

Concept

संबंध समान प्रकृति यानी सम-सम या विषम-विषम पर आधारित है। / The relation groups numbers by the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

(1,3) विषम हैं और (2,4) सम हैं, इसलिए दो अलग तुल्यता वर्ग बनते हैं। / (1,3) are odd and (2,4) are even, so the two equivalence classes are ({1,3}) and ({2,4}).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्गों को हमेशा ऐसे समूहों में लिखें जिनमें प्रत्येक दो तत्व आपस में संबंधित हों। / Equivalence classes must form non-overlapping groups.

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Question 6/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{a,b,c,d\}\) पर बने तुल्यता संबंध के वर्ग ({a,c}) और ({b,d}) हैं। इस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

An equivalence relation on \(A=\{a,b,c,d\}\) has classes ({a,c}) and ({b,d}). How many ordered pairs are in this relation?

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Correct Answer

C. (8)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में एक ही वर्ग के प्रत्येक तत्व का उसी वर्ग के हर तत्व से संबंध होता है। / In an equivalence relation, every element of a class is related to every element of the same class.

Step 2

Why this answer is correct

({a,c}) से \(2^2=4\) युग्म और ({b,d}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / ({a,c}) contributes \(2^2=4\) pairs and ({b,d}) contributes \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (4+4=8) होंगे, अलग-अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते। / The total is (4+4=8), with no cross-class pairs.

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Question 7/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस गुण के कारण किसी भी तुल्यता संबंध में \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) होने पर \((a,c)\in R\) होना चाहिए?

Which property of an equivalence relation requires that if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)?

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Correct Answer

C. संक्रमणताTransitivity

Step 1

Concept

दिए गए कथन में संबंध दो कदमों से तीसरे संबंध तक जा रहा है। / The statement connects two related pairs to a third pair.

Step 2

Why this answer is correct

यही संक्रमणता का अर्थ है कि (a) से (b) और (b) से (c) हो तो (a) से (c) भी हो। / This is exactly transitivity.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में तीनों गुण याद रखें: स्वतुल्यता, सममितता और संक्रमणता। / An equivalence relation must be reflexive, symmetric, and transitive.

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Question 8/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी तुल्यता संबंध (R) में \([x]\cap[y]\neq\varnothing\) है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?

If an equivalence relation (R) satisfies \([x]\cap[y]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?

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Correct Answer

A. ([x]=[y])

Step 1

Concept

तुल्यता वर्गों का एक मुख्य गुण है कि वे या तो अलग-अलग होते हैं या पूरी तरह समान होते हैं। / A key property of equivalence classes is that they are either disjoint or exactly equal.

Step 2

Why this answer is correct

\([x]\cap[y]\neq\varnothing\) बताता है कि दोनों वर्गों में कम से कम एक समान तत्व है। / \([x]\cap[y]\neq\varnothing\) means the two classes share at least one element.

Step 3

Exam Tip

इसलिए दोनों वर्ग समान होंगे; यह विभाजन आधारित प्रश्नों में बहुत उपयोगी नियम है। / Therefore the two classes must be equal; this is a useful rule in partition questions.

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Question 9/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b=0)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when (a-b=0). What type of relation is it?

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Correct Answer

C. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-b=0) का अर्थ (a=b) है। / The condition (a-b=0) means (a=b).

Step 2

Why this answer is correct

समानता संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण होता है। / Equality is reflexive, symmetric, and transitive.

Step 3

Exam Tip

परीक्षा में समानता वाला संबंध अक्सर सबसे सरल तुल्यता संबंध होता है। / Equality is the standard example of an equivalence relation.

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Question 10/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{3}\). How many equivalence classes are formed?

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Correct Answer

B. (3)

Step 1

Concept

(3) से भाग देने पर संभावित शेष (0,1,2) हैं। / Division by (3) gives possible remainders (0,1,2).

Step 2

Why this answer is correct

इन्हीं शेषों के अनुसार वर्ग ({3,6},{1,4},{2,5}) बनते हैं। / The classes are ({3,6},{1,4},{2,5}).

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाला संबंध हमेशा शेषों की संख्या के अनुसार वर्ग देता है। / In modulo relations, equivalence classes are based on remainders.

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Question 11/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस स्थिति में संबंध (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध कहलाता है?

When is a relation (R) on a set (A) called an equivalence relation?

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Correct Answer

C. जब वह स्वतुल्य, सममित और संक्रमण होWhen it is reflexive, symmetric, and transitive

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध की परिभाषा तीन गुणों पर आधारित है। / An equivalence relation is defined by three properties.

Step 2

Why this answer is correct

केवल एक या दो गुण पर्याप्त नहीं होते। / One or two properties are not enough.

Step 3

Exam Tip

किसी भी प्रश्न में पहले स्वतुल्यता, फिर सममितता, फिर संक्रमणता अलग-अलग जांचें। / Always test reflexivity, symmetry, and transitivity separately.

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Question 12/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सार्वत्रिक संबंध \(R=A\times A\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

For \(A=\{1,2,3\}\), which statement is correct about the universal relation \(R=A\times A\)?

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Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में (A) के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / The universal relation contains all ordered pairs from (A).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी आवश्यक युग्म स्वतुल्यता, सममितता और संक्रमणता के लिए मौजूद होते हैं। / Hence the required pairs for reflexivity, symmetry, and transitivity are present.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में \(A\times A\) हमेशा तुल्यता संबंध का अच्छा उदाहरण है। / On any set, \(A\times A\) is an equivalence relation.

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Question 13/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध \(\varnothing\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Why is the empty relation \(\varnothing\) on \(A=\{1,2,3\}\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

B. क्योंकि यह स्वतुल्य नहीं हैBecause it is not reflexive

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) सभी चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).

Step 2

Why this answer is correct

रिक्त संबंध में कोई भी युग्म नहीं है, इसलिए स्वतुल्यता पूरी नहीं होती। / The empty relation has no pairs, so reflexivity fails.

Step 3

Exam Tip

गैर-रिक्त समुच्चय पर रिक्त संबंध तुल्यता संबंध नहीं होता। / On a non-empty set, the empty relation cannot be an equivalence relation.

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Question 14/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। यह संबंध कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when (a+b) is even. What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a+a=2a) हमेशा सम है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (a+a=2a) is always even, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b) सम होने पर (b+a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a+b) is even, then (b+a) is even, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि (a+b) और (b+c) सम हैं, तो (a) और (c) की सम-विषम प्रकृति समान होगी; इसलिए संक्रमणता भी है। / If (a+b) and (b+c) are even, then (a) and (c) have the same parity, so it is transitive.

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Question 15/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a+b) विषम हो। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On integers, (aRb) holds when (a+b) is odd. Why is it not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं हैBecause reflexivity fails

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) के लिए होना चाहिए। / Reflexivity needs (aRa) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.

Step 3

Exam Tip

जैसे ही स्वतुल्यता टूटती है, संबंध तुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / Once reflexivity fails, the relation cannot be an equivalence relation.

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Question 16/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (|a|=|b|) से बने संबंध में (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), under the relation (|a|=|b|), what is the equivalence class of (2)?

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Correct Answer

A. ({-2,2})

Step 1

Concept

(2) से वही तत्व संबंधित होंगे जिनका निरपेक्ष मान (2) हो। / Elements related to (2) must have absolute value (2).

Step 2

Why this answer is correct

(-2) और (2) दोनों का निरपेक्ष मान (2) है। / Both (-2) and (2) have absolute value (2).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग बनाते समय मूल शर्त को सीधे लक्ष्य तत्व पर लागू करें। / To find an equivalence class, apply the relation condition to the chosen element.

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Question 17/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समतल में बिंदुओं पर संबंध (P R Q) तब है जब (P) और (Q) का (x)-निर्देशांक समान हो। यह संबंध कैसा है?

For points in a plane, (P R Q) holds when (P) and (Q) have the same (x)-coordinate. What type of relation is this?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर बिंदु का (x)-निर्देशांक स्वयं के समान होता है। / Every point has the same (x)-coordinate as itself.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दो बिंदुओं के (x)-निर्देशांक समान हैं, तो उल्टे क्रम में भी समान रहेंगे। / If two points have the same (x)-coordinate, the order does not matter.

Step 3

Exam Tip

तीन बिंदुओं में पहले-दूसरे और दूसरे-तीसरे का (x)-निर्देशांक समान हो तो पहले-तीसरे का भी समान होगा। / Equality of (x)-coordinates also passes through a third point, so transitivity holds.

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Question 18/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि कोई तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({1,4},{2,5},{3,6}) में बाँटता है, तो (4) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?

If an equivalence relation partitions a set into ({1,4},{2,5},{3,6}), what is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({1,4})

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग वही समूह है जिसमें दिया गया तत्व आता है। / An equivalence class is the block that contains the given element.

Step 2

Why this answer is correct

(4), समूह ({1,4}) में है। / (4) lies in ({1,4}).

Step 3

Exam Tip

विभाजन दिए जाने पर अलग गणना करने की जरूरत नहीं, बस तत्व वाला समूह चुनें। / When a partition is given, choose the block containing the element.

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Question 19/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस विकल्प में दिए गए वर्ग समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) का सही विभाजन बनाते हैं?

Which option forms a valid partition of \(A=\{1,2,3,4\}\)?

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Correct Answer

B. ({1,2},{3,4})

Step 1

Concept

विभाजन में समूह खाली नहीं होते, आपस में कटते नहीं और उनका संघ पूरा समुच्चय होता है। / A partition has non-empty, non-overlapping blocks whose union is the whole set.

Step 2

Why this answer is correct

({1,2}) और ({3,4}) अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। / ({1,2}) and ({3,4}) are disjoint and cover (A).

Step 3

Exam Tip

हर तुल्यता संबंध समुच्चय का विभाजन बनाता है। / Every equivalence relation creates a partition.

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Question 20/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के तुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

If (R) is an equivalence relation on (A) and (aRb), what is true about the equivalence classes of (a) and (b)?

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Correct Answer

B. वे बराबर होंगेThey are equal

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, related elements belong to the same class.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (aRb) होने पर ([a]=[b]) होता है। / Therefore (aRb) implies ([a]=[b]).

Step 3

Exam Tip

यदि दो तुल्यता वर्गों में एक भी समान तत्व हो, तो वे पूरी तरह समान होते हैं। / If two equivalence classes overlap, they are actually equal.

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Question 21/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), for \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1)\}\), what are the equivalence classes?

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Correct Answer

A. ({1,3},{2},{4})

Step 1

Concept

(1) और (3) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक ही वर्ग में हैं। / (1) and (3) are related to each other, so they form one class.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (4) केवल स्वयं से संबंधित हैं। / (2) and (4) are related only to themselves.

Step 3

Exam Tip

वर्ग लिखते समय जुड़े हुए तत्वों को समूह में और अकेले तत्वों को एकल वर्ग में रखें। / Connected related elements form groups, while isolated elements form singleton classes.

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Question 22/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का अंतिम अंक समान हो। यह संबंध कैसा है?

On natural numbers, (aRb) holds when (a) and (b) have the same last digit. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या का अंतिम अंक अपने अंतिम अंक के समान होता है। / Every number has the same last digit as itself.

Step 2

Why this answer is correct

समान अंतिम अंक का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Having the same last digit is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि दो-दो संख्याओं का अंतिम अंक समान है, तो पहली और तीसरी का भी समान होगा। / If two numbers share the same last digit through a middle number, the first and third also share it.

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Question 23/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

प्राकृतिक संख्याओं पर अंतिम अंक समान होने वाले संबंध में (23) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

For the relation on natural numbers where numbers have the same last digit, what is the equivalence class of (23)?

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Correct Answer

A. वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जिनका अंतिम अंक (3) हैAll natural numbers ending in (3)

Step 1

Concept

(23) का अंतिम अंक (3) है। / The last digit of (23) is (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (3,13,23,33) जैसे सभी प्राकृतिक संख्याएँ उसी वर्ग में आएँगी। / So numbers like (3,13,23,33) belong to the same class.

Step 3

Exam Tip

वर्ग का आधार ठीक वही गुण होता है जिससे संबंध परिभाषित है। / The class is built using the defining property of the relation.

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Question 24/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर पहचान संबंध \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

For \(A=\{1,2,3\}\), which statement is correct about the identity relation \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)?

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Correct Answer

A. यह तुल्यता संबंध हैIt is an equivalence relation

Step 1

Concept

पहचान संबंध में सभी ((a,a)) युग्म होते हैं। / The identity relation contains all pairs ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

केवल समान तत्वों के युग्म होने से सममितता और संक्रमणता भी पूरी होती है। / Since only identical elements are paired, symmetry and transitivity also hold.

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध हर समुच्चय पर तुल्यता संबंध होता है। / The identity relation is an equivalence relation on any set.

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Question 25/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (5) का गुणज हो। इस संबंध में कुल कितने अलग तुल्यता वर्ग होंगे?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is a multiple of (5). How many distinct equivalence classes are there?

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Correct Answer

C. (5)

Step 1

Concept

(5) से भाग देने पर केवल (0,1,2,3,4) शेष मिल सकते हैं। / Division by (5) gives only remainders (0,1,2,3,4).

Step 2

Why this answer is correct

समान शेष वाले पूर्णांक एक वर्ग बनाते हैं। / Integers with the same remainder form one class.

Step 3

Exam Tip

पूर्णांक अनंत हैं, पर शेषों की संख्या (5) है, इसलिए वर्ग भी (5) हैं। / Although integers are infinite, there are only (5) classes.

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Question 26/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस विकल्प में संबंध निश्चित रूप से तुल्यता संबंध नहीं है?

Which option definitely gives a relation that is not an equivalence relation?

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Correct Answer

C. छोटा या बराबर संबंध \(\leq\)Less than or equal to relation \(\leq\)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में सममितता जरूरी है। / Symmetry is necessary for an equivalence relation.

Step 2

Why this answer is correct

\(2\leq 3\) सही है, पर \(3\leq 2\) सही नहीं है। / \(2\leq 3\) is true, but \(3\leq 2\) is false.

Step 3

Exam Tip

क्रम वाले संबंधों में सममितता अक्सर टूटती है। / Order relations often fail symmetry.

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Question 27/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (|a-b|) सम हो। इस संबंध में (1) का तुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (|a-b|) is even. What is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. ({1,3,5})

Step 1

Concept

(|1-b|) सम होने के लिए (b) की सम-विषम प्रकृति (1) जैसी होनी चाहिए। / For (|1-b|) to be even, (b) must have the same parity as (1).

Step 2

Why this answer is correct

(1,3,5) सभी विषम हैं, इसलिए (1) से संबंधित हैं। / (1,3,5) are odd, so they are related to (1).

Step 3

Exam Tip

सम अंतर वाला संबंध समान सम-विषम प्रकृति के वर्ग बनाता है। / An even difference relation groups numbers by parity.

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Question 28/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो किसी भी \(a\in A\) के लिए ([a]) कैसा होता है?

If (R) is an equivalence relation, what is true about ([a]) for any \(a\in A\)?

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Correct Answer

B. इसमें कम से कम (a) होता हैIt contains at least (a)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध स्वतुल्य होता है। / An equivalence relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (aRa) हमेशा सही है, जिससे \(a\in [a]\) होगा। / Therefore (aRa), so \(a\in [a]\).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग कभी रिक्त नहीं होता। / Equivalence classes are never empty.

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Question 29/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

छात्रों के समुच्चय पर (aRb) तब है जब (a) और (b) एक ही कक्षा में पढ़ते हों। यह संबंध कैसा है?

On a set of students, (aRb) holds when (a) and (b) study in the same class. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर छात्र अपनी ही कक्षा में पढ़ता है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every student is in the same class as himself or herself.

Step 2

Why this answer is correct

यदि पहला छात्र दूसरे की कक्षा में है, तो दूसरा भी पहले की कक्षा में है। / If one student is in the same class as another, the reverse is also true.

Step 3

Exam Tip

एक ही कक्षा का संबंध तीसरे छात्र तक भी समान रूप से चलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The same-class relation is transitive, so it is an equivalence relation.

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Question 30/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) तुल्यता संबंध नहीं है। कौन सा युग्म संक्रमणता के लिए कमी दिखाता है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), the relation \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) is not an equivalence relation. Which missing pair shows the failure of transitivity?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((2,3))

Step 1

Concept

((2,1)) और ((1,3)) संबंध में मौजूद हैं। / The pairs ((2,1)) and ((1,3)) are present.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणता के लिए ((2,3)) भी होना चाहिए। / Transitivity would require ((2,3)).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में बीच वाले तत्व को पहचानकर जरूरी तीसरा युग्म खोजें। / In transitivity checks, identify the middle element and demand the connecting pair.

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Question 31/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^2=b^2\)। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) holds when \(a^2=b^2\). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(a^2=a^2\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^2=a^2\), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^2=b^2\) होने पर \(b^2=a^2\), इसलिए सममितता है। / If \(a^2=b^2\), then \(b^2=a^2\), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि \(a^2=b^2\) और \(b^2=c^2\), तो \(a^2=c^2\), इसलिए संक्रमणता है। / If \(a^2=b^2\) and \(b^2=c^2\), then \(a^2=c^2\), so it is transitive.

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Question 32/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

पूर्णांकों पर \(a^2=b^2\) वाले संबंध में (-3) का तुल्यता वर्ग क्या है?

For the relation \(a^2=b^2\) on integers, what is the equivalence class of (-3)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({-3,3})

Step 1

Concept

(-3) का वर्ग (9) है। / The square of (-3) is (9).

Step 2

Why this answer is correct

जिन पूर्णांकों का वर्ग (9) है, वे (-3) और (3) हैं। / The integers whose square is (9) are (-3) and (3).

Step 3

Exam Tip

वर्ग समानता में धन और ऋण दोनों मान साथ आ सकते हैं। / Equal-square classes usually contain both a number and its negative.

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Question 33/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (2) से भाग देने पर समान शेष मिले। कौन सा युग्म (R) में नहीं होगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (2). Which pair is not in (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. ((2,5))

Step 1

Concept

(2) से भाग देने पर समान शेष का अर्थ समान सम-विषम प्रकृति है। / Same remainder modulo (2) means same parity.

Step 2

Why this answer is correct

(2) सम है और (5) विषम है, इसलिए उनके शेष अलग हैं। / (2) is even and (5) is odd, so their remainders are different.

Step 3

Exam Tip

विकल्पों में पहले शेष मिलाकर जल्दी जांच करें। / In such options, compare remainders first.

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Question 34/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस कथन में तुल्यता वर्गों की सही विशेषता बताई गई है?

Which statement correctly describes equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. वे या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैंThey are either equal or disjoint

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध समुच्चय को अलग-अलग वर्गों में बाँटता है। / An equivalence relation divides a set into classes.

Step 2

Why this answer is correct

दो वर्गों में कोई समान तत्व हो तो दोनों वर्ग समान हो जाते हैं; वरना वे अलग रहते हैं। / If two classes share an element, they become equal; otherwise they are disjoint.

Step 3

Exam Tip

यह गुण विभाजन वाले प्रश्नों में बहुत उपयोगी है। / This idea is central in partition-based questions.

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Question 35/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या (a+b=5)। क्या यह तुल्यता संबंध है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or (a+b=5). Is this an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. हाँ, वर्ग ({1,4},{2,3}) हैंYes, classes are ({1,4},{2,3})

Step 1

Concept

(a=b) होने से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / The condition (a=b) ensures reflexivity.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b=5) शर्त उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / The condition (a+b=5) is symmetric.

Step 3

Exam Tip

जोड़े (1,4) और (2,3) अलग वर्ग बनाते हैं, इसलिए संबंध तुल्यता संबंध है। / The pairs form the classes ({1,4}) and ({2,3}), so the relation is an equivalence relation.

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Question 36/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{a}{b}>0\)। यह संबंध कैसा है?

On non-zero real numbers, (aRb) holds when \(\frac{a}{b}>0\). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(\frac{a}{a}=1>0\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{a}{a}=1>0\), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a}{b}>0\) होने पर (a) और (b) का चिन्ह समान है, इसलिए \(\frac{b}{a}>0\) भी होगा। / If \(\frac{a}{b}>0\), then (a) and (b) have the same sign, so \(\frac{b}{a}>0\).

Step 3

Exam Tip

समान चिन्ह का संबंध संक्रमण भी होता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same sign is transitive, so the relation is an equivalence relation.

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Question 37/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर \(\frac{a}{b}>0\) वाले संबंध में (-5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

For the relation \(\frac{a}{b}>0\) on non-zero real numbers, what is the equivalence class of (-5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँAll negative real numbers

Step 1

Concept

\(\frac{-5}{b}>0\) तभी होगा जब (b) भी ऋणात्मक हो। / \(\frac{-5}{b}>0\) only when (b) is also negative.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (-5) का वर्ग सभी ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का समूह है। / Hence the class of (-5) is the set of all negative real numbers.

Step 3

Exam Tip

चिन्ह आधारित संबंध में वर्ग धनात्मक और ऋणात्मक समूहों में बँटते हैं। / Same-sign relations split numbers into positive and negative classes.

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Question 38/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि किसी संबंध के तुल्यता वर्ग ({a,b,c}) और ({d,e}) हैं, तो उस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

If an equivalence relation has equivalence classes ({a,b,c}) and ({d,e}), how many ordered pairs are in the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (13)

Step 1

Concept

एक तुल्यता वर्ग के भीतर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Inside one equivalence class, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

({a,b,c}) से \(3^2=9\) युग्म और ({d,e}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The class ({a,b,c}) gives \(3^2=9\) pairs and ({d,e}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (9+4=13) होंगे। / Total pairs are (9+4=13).

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Question 39/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) को वर्गों ({1,2},{3},{4,5}) में बाँटने वाला तुल्यता संबंध कितने युग्मों का होगा?

How many ordered pairs are in the equivalence relation on \(A=\{1,2,3,4,5\}\) corresponding to the partition ({1,2},{3},{4,5})?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (9)

Step 1

Concept

हर वर्ग अपने भीतर पूर्ण संबंध देता है। / Each block contributes all ordered pairs within itself.

Step 2

Why this answer is correct

युग्मों की संख्या \(2^2+1^2+2^2=4+1+4\) है। / The count is \(2^2+1^2+2^2=4+1+4\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए कुल (9) युग्म होंगे; वर्गों के बीच कोई युग्म नहीं जोड़ा जाता। / Therefore there are (9) pairs, with no pairs between different blocks.

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Question 40/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस विकल्प में \(A=\{1,2,3\}\) पर तुल्यता संबंध के लिए सही विभाजन नहीं है?

Which option is not a valid partition for an equivalence relation on \(A=\{1,2,3\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. ({1,2},{2,3})

Step 1

Concept

विभाजन में दो अलग समूहों में कोई समान तत्व नहीं होना चाहिए। / In a partition, different blocks must not share elements.

Step 2

Why this answer is correct

({1,2}) और ({2,3}) दोनों में (2) है, इसलिए वे कट रहे हैं। / ({1,2}) and ({2,3}) both contain (2), so they overlap.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध के वर्ग आपस में कट नहीं सकते। / Equivalence classes cannot overlap unless they are equal.

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Question 41/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) परिमेय संख्या हो। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is rational. What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) परिमेय है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (a-a=0) is rational, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) परिमेय है, तो (b-a=-(a-b)) भी परिमेय है। / If (a-b) is rational, then (b-a=-(a-b)) is rational.

Step 3

Exam Tip

दो परिमेय अंतरों का योग भी परिमेय होता है, इसलिए संक्रमणता पूरी होती है। / The sum of two rational differences is rational, so transitivity holds.

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Question 42/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

वास्तविक संख्याओं पर (a-b) परिमेय होने वाले संबंध में \(\sqrt{2}\) के साथ कौन सा तत्व निश्चित रूप से उसी तुल्यता वर्ग में है?

For the relation on real numbers where (a-b) is rational, which element is definitely in the same equivalence class as \(\sqrt{2}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\sqrt{2}+3\)

Step 1

Concept

\(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{2}+3\) का अंतर (3) है। / The difference between \(\sqrt{2}+3\) and \(\sqrt{2}\) is (3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) परिमेय संख्या है, इसलिए दोनों एक ही वर्ग में हैं। / Since (3) is rational, they are in the same class.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में चुने हुए तत्व से अंतर निकालकर देखें। / In such questions, subtract from the given representative.

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Question 43/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

किस संबंध में स्वतुल्यता तो है, पर सममितता सामान्यतः नहीं है?

Which relation is reflexive but generally not symmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. \(a\leq b\)

Step 1

Concept

\(a\leq a\) हमेशा सही है, इसलिए \(\leq\) स्वतुल्य है। / \(a\leq a\) is always true, so \(\leq\) is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

पर \(2\leq 3\) सही होने पर \(3\leq 2\) सही नहीं है। / But \(2\leq 3\) does not imply \(3\leq 2\).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध के लिए सममितता भी जरूरी है, इसलिए \(\leq\) तुल्यता संबंध नहीं है। / Since symmetry is missing, it is not an equivalence relation.

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Question 44/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। कौन सा युग्म (R) में होगा?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a+b) is even. Which pair belongs to (R)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. ((1,3))

Step 1

Concept

योग सम होने के लिए दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की होनी चाहिए। / A sum is even when both numbers have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (3) दोनों विषम हैं, इसलिए (1+3=4) सम है। / (1) and (3) are both odd, so (1+3=4) is even.

Step 3

Exam Tip

विकल्पों में जोड़े की सम-विषम प्रकृति देखकर जल्दी उत्तर मिल सकता है। / Check parity quickly in such pair-selection questions.

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Question 45/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\cap[b]\neq\varnothing\), which conclusion is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ([a]=[b])

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग या तो बिल्कुल अलग होते हैं या समान होते हैं। / Equivalence classes are either disjoint or identical.

Step 2

Why this answer is correct

यदि उनका प्रतिच्छेद खाली नहीं है, तो उनमें कोई समान तत्व है। / A non-empty intersection means they share an element.

Step 3

Exam Tip

समान तत्व होने पर दोनों वर्ग बराबर माने जाते हैं। / Therefore the two classes must be equal.

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Question 46/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{4}\). What is the equivalence class of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({2,6})

Step 1

Concept

(2) को (4) से भाग देने पर शेष (2) मिलता है। / (2) gives remainder (2) on division by (4).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (2) और (6) ही ऐसे तत्व हैं जिनका शेष (2) है। / In the given set, (2) and (6) have remainder (2).

Step 3

Exam Tip

मापांक संबंध में वर्ग हमेशा समान शेष से बनता है। / In modulo relations, classes are formed by equal remainders.

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Question 47/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो पहचान संबंध से बनने वाले तुल्यता वर्गों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (n) elements, how many equivalence classes are formed by the identity relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. (n)

Step 1

Concept

पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। / In the identity relation, each element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए प्रत्येक तत्व अपना अलग तुल्यता वर्ग बनाता है। / Hence every element forms its own equivalence class.

Step 3

Exam Tip

(n) तत्वों के लिए (n) एकल वर्ग मिलते हैं। / For (n) elements, there are (n) singleton classes.

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Question 48/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

यदि (A) में (n) तत्व हैं, तो सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) से बनने वाले तुल्यता वर्गों की संख्या क्या होगी?

If (A) has (n) elements, how many equivalence classes are formed by the universal relation \(A\times A\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In the universal relation, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी तत्व एक ही बड़े वर्ग में आ जाते हैं। / Thus all elements lie in one large class.

Step 3

Exam Tip

(A) गैर-रिक्त हो तो सार्वत्रिक संबंध में केवल (1) तुल्यता वर्ग होता है। / For a non-empty set (A), there is exactly (1) equivalence class.

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Question 49/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर दिए विभाजन ({1,4},{2},{3}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?

For the partition ({1,4},{2},{3}) of \(A=\{1,2,3,4\}\), which pair is not in the corresponding equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. ((2,3))

Step 1

Concept

विभाजन से बने संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर के युग्म आते हैं। / A relation from a partition contains only pairs from within the same block.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (3) अलग-अलग वर्गों में हैं। / (2) and (3) are in different blocks.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के बीच युग्म तुल्यता संबंध में शामिल नहीं किए जाते। / Pairs between different blocks are not included.

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Question 50/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 16

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) से भाग देने पर समान शेष देते हैं। कौन सा कथन सही है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) give the same remainder on division by (3). Which statement is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (1) और (4) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं(1) and (4) are in the same equivalence class

Step 1

Concept

(1) और (4) दोनों को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / Both (1) and (4) give remainder (1) when divided by (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए वे एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Hence they belong to the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

समान शेष वाले प्रश्नों में पहले भाग देकर शेष की तुलना करें। / In same-remainder questions, compare remainders directly.

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Question 51/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (7) से विभाज्य हो। (15) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (7). Which is the equivalence class of (15)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({...,1,8,15,22,29,...})

Step 1

Concept

(15) से संबंधित वे पूर्णांक होंगे जिनका (15) से अंतर (7) का गुणज हो। / Integers related to (15) must differ from (15) by a multiple of (7).

Step 2

Why this answer is correct

(15) को (7) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है, इसलिए समान शेष (1) वाले पूर्णांक उसी वर्ग में होंगे। / (15) gives remainder (1) on division by (7), so all integers with remainder (1) are in the same class.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग निकालते समय पहले शेष पहचानना सबसे तेज तरीका है। / First identify the remainder to find the equivalence class quickly.

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Question 52/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same remainder on division by (3). Which is the equivalence class of (4)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,4,7})

Step 1

Concept

(4) को (3) से भाग देने पर शेष (1) मिलता है। / (4) gives remainder (1) on division by (3).

Step 2

Why this answer is correct

(1,4,7) सभी का शेष (1) है, इसलिए वे एक ही वर्ग में हैं। / (1,4,7) all have remainder (1), so they form the same class.

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में केवल दिए गए समुच्चय के तत्व ही वर्ग में रखें। / In a finite set, include only elements that belong to the given set.

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Question 53/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) दिया है। इसके तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,4),(4,1)\}\) is given. What are its equivalence classes?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,4},{2},{3})

Step 1

Concept

(1) और (4) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक ही वर्ग बनाते हैं। / (1) and (4) are related to each other, so they form one class.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (3) केवल स्वयं से संबंधित हैं, इसलिए वे अलग एकल वर्ग हैं। / (2) and (3) are related only to themselves, so they form singleton classes.

Step 3

Exam Tip

संबंध से वर्ग बनाते समय परस्पर जुड़े तत्वों को एक समूह में रखें। / Group mutually related elements together.

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Question 54/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि किसी तुल्यता संबंध के वर्ग ({p,q,r}) और ({s}) हैं, तो संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

If an equivalence relation has classes ({p,q,r}) and ({s}), how many ordered pairs are in the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

C. (10)

Step 1

Concept

प्रत्येक तुल्यता वर्ग के अंदर हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / Within each equivalence class, every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

({p,q,r}) से \(3^2=9\) और ({s}) से \(1^2=1\) युग्म मिलते हैं। / ({p,q,r}) contributes \(3^2=9\) pairs and ({s}) contributes \(1^2=1\) pair.

Step 3

Exam Tip

कुल युग्म (9+1=10) होंगे। / The total number of pairs is (9+1=10).

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Question 55/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{8}\)। इस संबंध में कुल कितने अलग तुल्यता वर्ग होंगे?

On integers, (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{8}\). How many distinct equivalence classes are there?

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Correct Answer

C. (8)

Step 1

Concept

(8) से भाग देने पर संभावित शेष (0,1,2,3,4,5,6,7) हैं। / Division by (8) gives remainders (0,1,2,3,4,5,6,7).

Step 2

Why this answer is correct

समान शेष वाले पूर्णांक एक ही तुल्यता वर्ग में आते हैं। / Integers with the same remainder lie in the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

पूर्णांक अनंत हैं, लेकिन अलग वर्गों की संख्या शेषों की संख्या यानी (8) है। / Although there are infinitely many integers, there are (8) distinct classes.

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Question 56/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(a^3=b^3\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when \(a^3=b^3\). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(a^3=a^3\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^3=a^3\), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

\(a^3=b^3\) होने पर \(b^3=a^3\), इसलिए सममितता है। / If \(a^3=b^3\), then \(b^3=a^3\), so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि \(a^3=b^3\) और \(b^3=c^3\), तो \(a^3=c^3\), इसलिए संक्रमणता भी है। / If \(a^3=b^3\) and \(b^3=c^3\), then \(a^3=c^3\), so it is transitive.

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Question 57/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (aRb) तब है जब \(a^2=b^2\)। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\), (aRb) holds when \(a^2=b^2\). Which is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. ({-1,1})

Step 1

Concept

(1) का वर्ग (1) है। / The square of (1) is (1).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (-1) और (1) दोनों का वर्ग (1) है। / In the given set, both (-1) and (1) have square (1).

Step 3

Exam Tip

वर्ग समानता वाले संबंध में धन और ऋण मान साथ आ सकते हैं। / In square-equality relations, a number and its negative often belong to the same class.

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Question 58/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (|a-b|) संख्या (3) से विभाज्य हो। कौन सा युग्म (R) में है?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (|a-b|) is divisible by (3). Which pair belongs to (R)?

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Correct Answer

A. ((1,4))

Step 1

Concept

(|1-4|=3), जो (3) से विभाज्य है। / (|1-4|=3), which is divisible by (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए ((1,4)) संबंध में आता है। / Therefore ((1,4)) belongs to the relation.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में अंतर का निरपेक्ष मान निकालकर विभाज्यता जांचें। / Find the absolute difference and then test divisibility.

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Question 59/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) तुल्यता संबंध है और (aRb) गलत है, तो ([a]) और ([b]) के बारे में सही कथन कौन सा है?

If (R) is an equivalence relation and (aRb) is false, which statement about ([a]) and ([b]) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. वे अलग-अलग हैंThey are disjoint

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में दो वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग होते हैं। / Equivalence classes are either equal or disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a) और (b) संबंधित नहीं हैं, तो वे एक ही वर्ग में नहीं हो सकते। / If (a) and (b) are not related, they cannot be in the same class.

Step 3

Exam Tip

इसलिए उनके वर्ग अलग-अलग होंगे और उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Hence their classes are disjoint.

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Question 60/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में दिए समूह \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का सही विभाजन बनाते हैं?

Which option gives a valid partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?

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Correct Answer

B. ({1,3,5},{2,4})

Step 1

Concept

विभाजन में समूह खाली नहीं होते और आपस में नहीं कटते। / A partition has non-empty blocks that do not overlap.

Step 2

Why this answer is correct

({1,3,5}) और ({2,4}) अलग हैं और मिलकर पूरा समुच्चय देते हैं। / ({1,3,5}) and ({2,4}) are disjoint and cover the whole set.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध के वर्ग हमेशा सही विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes always form a valid partition.

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Question 61/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) not an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि ((2,3)) नहीं हैBecause ((2,3)) is missing

Step 1

Concept

((2,1)) और ((1,3)) दोनों संबंध में हैं। / The pairs ((2,1)) and ((1,3)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणता के लिए ((2,3)) भी होना चाहिए, लेकिन वह नहीं है। / Transitivity requires ((2,3)), but it is missing.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध जांचते समय दो जुड़े युग्मों से जरूरी तीसरा युग्म खोजें। / While checking equivalence, use two connected pairs to identify the required third pair.

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Question 62/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) पूर्णांक हो। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is an integer. What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(a-a=0) पूर्णांक है, इसलिए स्वतुल्यता है। / (a-a=0) is an integer, so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (a-b) पूर्णांक है, तो (b-a=-(a-b)) भी पूर्णांक है। / If (a-b) is an integer, then (b-a=-(a-b)) is also an integer.

Step 3

Exam Tip

दो पूर्णांकीय अंतरों का योग भी पूर्णांक होता है, इसलिए संक्रमणता पूरी होती है। / The sum of two integer differences is also an integer, so transitivity holds.

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Question 63/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (a-b) पूर्णांक होने वाले संबंध में \(\frac{1}{2}\) के साथ कौन सा तत्व उसी वर्ग में है?

For the relation on real numbers where (a-b) is an integer, which element is in the same class as \(\frac{1}{2}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(\frac{5}{2}\)

Step 1

Concept

\(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\) है। / \(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\).

Step 2

Why this answer is correct

(2) पूर्णांक है, इसलिए \(\frac{5}{2}\) और \(\frac{1}{2}\) एक ही तुल्यता वर्ग में हैं। / Since (2) is an integer, \(\frac{5}{2}\) and \(\frac{1}{2}\) are in the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में दोनों संख्याओं का अंतर निकालें। / In such questions, subtract the two numbers.

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Question 64/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) संख्या (2) से विभाज्य हो। (2) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a+b) is divisible by (2). Which is the equivalence class of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({2,4,6})

Step 1

Concept

(a+b) सम होने के लिए दोनों संख्याओं की सम-विषम प्रकृति समान होनी चाहिए। / For (a+b) to be even, the two numbers must have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

(2) सम है, इसलिए (2) से संबंधित तत्व (2,4,6) हैं। / Since (2) is even, the elements related to (2) are (2,4,6).

Step 3

Exam Tip

योग सम वाले संबंध में सम और विषम के दो अलग वर्ग बनते हैं। / An even-sum relation creates even and odd classes.

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Question 65/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) किसी समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है, तो \({[a]:a\in A}\) किसे दर्शाता है?

If (R) is an equivalence relation on a set (A), what does \({[a]:a\in A}\) represent?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. समुच्चय (A) का विभाजनA partition of set (A)

Step 1

Concept

प्रत्येक तत्व किसी न किसी तुल्यता वर्ग में आता है। / Every element belongs to some equivalence class.

Step 2

Why this answer is correct

अलग-अलग तुल्यता वर्ग आपस में नहीं कटते और मिलकर पूरा (A) बनाते हैं। / Distinct equivalence classes are disjoint and together cover (A).

Step 3

Exam Tip

इसलिए सभी तुल्यता वर्गों का संग्रह (A) का विभाजन कहलाता है। / Hence the collection of all equivalence classes is a partition of (A).

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Question 66/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर विभाजन ({1,2,4},{3}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?

For the partition ({1,2,4},{3}) of \(A=\{1,2,3,4\}\), which pair will not be in the corresponding equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

D. ((2,3))

Step 1

Concept

विभाजन से बने संबंध में केवल एक ही समूह के अंदर के युग्म आते हैं। / The relation from a partition contains pairs only within the same block.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (3) अलग-अलग समूहों में हैं। / (2) and (3) are in different blocks.

Step 3

Exam Tip

अलग समूहों के बीच युग्म नहीं बनता, इसलिए ((2,3)) संबंध में नहीं होगा। / Cross-block pairs are not included, so ((2,3)) is not in the relation.

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Question 67/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर तुल्यता संबंध के वर्ग संभव हैं?

Which option can be the classes of an equivalence relation on \(A=\{1,2,3,4\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

B. ({1},{2,3,4})

Step 1

Concept

तुल्यता वर्गों को पूरा समुच्चय ढकना चाहिए। / Equivalence classes must cover the whole set.

Step 2

Why this answer is correct

({1}) और ({2,3,4}) अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। / ({1}) and ({2,3,4}) are disjoint and cover all of (A).

Step 3

Exam Tip

जिन वर्गों में दोहराव या छूटे हुए तत्व हों, वे सही विभाजन नहीं बनाते। / Blocks that overlap or miss elements cannot be equivalence classes.

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Question 68/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। यह संबंध कैसा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both multiples of (3) or both not multiples of (3). What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर तत्व अपने जैसे ही समूह में है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every element is in the same group as itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

समान समूह में होने का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Being in the same group is symmetric.

Step 3

Exam Tip

दो समूह ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / The two classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}), so the relation is an equivalence relation.

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Question 69/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

ऊपर दिए गए संबंध में, जहाँ \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) और समूह (3) के गुणज तथा (3) के गुणज न होने पर बनते हैं, (5) का तुल्यता वर्ग क्या है?

In the relation on \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) based on being multiples of (3) or not multiples of (3), what is the equivalence class of (5)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,2,4,5})

Step 1

Concept

(5), (3) का गुणज नहीं है। / (5) is not a multiple of (3).

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (5) का वर्ग उन सभी तत्वों का है जो (3) के गुणज नहीं हैं। / Therefore its class contains all elements that are not multiples of (3).

Step 3

Exam Tip

वर्ग निकालते समय पहले देखें कि दिया गया तत्व किस समूह में आता है। / To find a class, first identify the group of the given element.

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Question 70/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि किसी संबंध में \((a,b)\in R\) होने पर हमेशा \((b,a)\in R\) भी हो, तो यह कौन सा गुण है?

If a relation always has \((b,a)\in R\) whenever \((a,b)\in R\), which property is this?

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Correct Answer

B. सममितताSymmetry

Step 1

Concept

दिए गए कथन में युग्म का उल्टा युग्म भी संबंध में होने की बात है। / The statement says that the reverse of every related pair is also related.

Step 2

Why this answer is correct

यही सममितता की परिभाषा है। / This is the definition of symmetry.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध में सममितता के साथ स्वतुल्यता और संक्रमणता भी जरूरी हैं। / An equivalence relation also needs reflexivity and transitivity.

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Question 71/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में संबंध तुल्यता संबंध है?

Which option gives an equivalence relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. पूर्णांकों पर (aRb) जब (a-b) सम होOn integers, (aRb) when (a-b) is even

Step 1

Concept

(a-b) सम होने का अर्थ है कि दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की हैं। / (a-b) being even means the two integers have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

यह संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण है। / This relation is reflexive, symmetric, and transitive.

Step 3

Exam Tip

छोटे या विभाज्यता जैसे क्रम आधारित संबंधों में सममितता अक्सर नहीं होती। / Order-type relations often fail symmetry.

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Question 72/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{5}\)। (9) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{5}\). Which is the equivalence class of (9)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({4,9})

Step 1

Concept

(9) को (5) से भाग देने पर शेष (4) है। / (9) gives remainder (4) on division by (5).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (4) और (9) दोनों का शेष (4) है। / In the given set, (4) and (9) both have remainder (4).

Step 3

Exam Tip

मापांक संबंध में प्रतिनिधि कोई भी हो, वर्ग समान शेष से तय होता है। / In a modulo relation, the class is decided by the common remainder.

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Question 73/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि ([a]={2,5,8}) और संबंध तुल्यता संबंध है, तो निम्न में से कौन सा युग्म निश्चित रूप से संबंध में होगा?

If ([a]={2,5,8}) and the relation is an equivalence relation, which pair must surely belong to the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ((2,8))

Step 1

Concept

एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements in the same equivalence class are related to one another.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (8) दोनों ({2,5,8}) में हैं। / (2) and (8) both belong to ({2,5,8}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((2,8)) संबंध में अवश्य होगा। / Therefore ((2,8)) must be in the relation.

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Question 74/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \((x,y)\in R\), तो निम्न में से कौन सा कथन अवश्य सही है?

If (R) is an equivalence relation and \((x,y)\in R\), which statement must be true?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ([x]=[y])

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में संबंधित तत्व एक ही वर्ग में आते हैं। / In an equivalence relation, related elements belong to the same class.

Step 2

Why this answer is correct

\((x,y)\in R\) होने से (x) और (y) का वर्ग समान होगा। / Since \((x,y)\in R\), the classes of (x) and (y) are equal.

Step 3

Exam Tip

संबंधित तत्वों के तुल्यता वर्गों को अलग-अलग न मानें। / Do not treat equivalence classes of related elements as different.

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Question 75/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस संबंध में संक्रमणता है, पर सममितता सामान्यतः नहीं है?

Which relation is transitive but generally not symmetric?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. \(a\leq b\)

Step 1

Concept

\(a\leq b\) और \(b\leq c\) से \(a\leq c\) मिलता है, इसलिए संक्रमणता है। / From \(a\leq b\) and \(b\leq c\), we get \(a\leq c\), so the relation is transitive.

Step 2

Why this answer is correct

लेकिन \(2\leq 3\) सही है और \(3\leq 2\) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है। / But \(2\leq 3\) does not imply \(3\leq 2\), so symmetry fails.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध के लिए संक्रमणता अकेली पर्याप्त नहीं है। / Transitivity alone is not enough for equivalence.

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Question 76/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a) और (b) में अंकों की संख्या समान हो। यह संबंध कैसा है?

On natural numbers, (aRb) holds when (a) and (b) have the same number of digits. What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या में अंकों की संख्या स्वयं के समान होती है। / Every number has the same number of digits as itself.

Step 2

Why this answer is correct

यदि दो संख्याओं में अंकों की संख्या समान है, तो उल्टे क्रम में भी समान रहेगी। / If two numbers have the same number of digits, the reverse statement is also true.

Step 3

Exam Tip

समान अंकों की संख्या तीसरी संख्या तक भी बनी रहती है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / This equality of digit count is transitive, so the relation is an equivalence relation.

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Question 77/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

प्राकृतिक संख्याओं पर अंकों की संख्या समान होने वाले संबंध में (145) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

For the relation on natural numbers based on having the same number of digits, which is the equivalence class of (145)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याएँAll three-digit natural numbers

Step 1

Concept

(145) में तीन अंक हैं। / (145) has three digits.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (145) का वर्ग सभी तीन अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का समूह है। / Therefore its class is the set of all three-digit natural numbers.

Step 3

Exam Tip

परिभाषा में दिए गए गुण को सीधे चुने हुए तत्व पर लागू करें। / Apply the defining property directly to the chosen element.

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Question 78/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समतल में सरल रेखाओं पर संबंध (lRm) तब है जब (l) और (m) समांतर हों या समान हों। यह संबंध कैसा है?

For lines in a plane, (lRm) holds when (l) and (m) are parallel or identical. What type of relation is it?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर रेखा स्वयं के समान है, इसलिए स्वतुल्यता है। / Every line is identical to itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

यदि (l) रेखा (m) के समांतर है, तो (m) भी (l) के समांतर है। / If (l) is parallel to (m), then (m) is parallel to (l).

Step 3

Exam Tip

एक ही दिशा वाली रेखाएँ तीसरी रेखा के साथ भी वही दिशा रखती हैं, इसलिए संक्रमणता है। / Lines with the same direction preserve transitivity, so the relation is an equivalence relation.

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Question 79/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (4) से छोटे हों या दोनों (4) से छोटे न हों। (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both less than (4) or both not less than (4). What is the equivalence class of (2)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,2,3})

Step 1

Concept

(2), (4) से छोटा है। / (2) is less than (4).

Step 2

Why this answer is correct

(4) से छोटे तत्व (1,2,3) हैं, इसलिए (2) का वर्ग ({1,2,3}) है। / The elements less than (4) are (1,2,3), so the class of (2) is ({1,2,3}).

Step 3

Exam Tip

समूह-आधारित संबंधों में पहले तय करें कि दिया तत्व किस समूह में है। / In grouping relations, first identify the group of the given element.

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Question 80/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what are the equivalence classes of \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2)\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,5},{2,4},{3})

Step 1

Concept

(1) और (5) आपस में संबंधित हैं, इसलिए एक वर्ग बनाते हैं। / (1) and (5) are mutually related, so they form one class.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (4) आपस में संबंधित हैं, और (3) केवल स्वयं से संबंधित है। / (2) and (4) form another class, while (3) is related only to itself.

Step 3

Exam Tip

संबंध के युग्मों से जुड़े समूहों को पहचानना वर्ग निकालने की अच्छी विधि है। / Identify connected groups from the given ordered pairs.

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Question 81/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर स्वतुल्य है?

Which option gives a reflexive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)})

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए ((1,1),(2,2),(3,3)) तीनों युग्म चाहिए। / Reflexivity requires ((1,1),(2,2),(3,3)).

Step 2

Why this answer is correct

केवल पहले विकल्प में ये तीनों युग्म मौजूद हैं। / Only the first option contains all three diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

स्वतुल्यता जांचते समय सबसे पहले सभी विकर्ण युग्म देखें। / Check all diagonal pairs first when testing reflexivity.

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Question 82/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर सममित है?

Which option gives a symmetric relation on \(A=\{1,2,3\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,2),(2,1),(3,3)})

Step 1

Concept

सममितता में हर ((a,b)) के साथ ((b,a)) भी चाहिए। / Symmetry requires ((b,a)) whenever ((a,b)) is present.

Step 2

Why this answer is correct

पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, तथा ((3,3)) स्वयं उल्टा है। / The first option has both ((1,2)) and ((2,1)), and ((3,3)) reverses to itself.

Step 3

Exam Tip

किसी भी असमान युग्म का उल्टा न मिले तो सममितता टूट जाती है। / If the reverse of a non-diagonal pair is missing, symmetry fails.

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Question 83/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में दिया संबंध \(A=\{1,2,3\}\) पर संक्रमण है?

Which option gives a transitive relation on \(A=\{1,2,3\}\)?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({(1,2),(2,3),(1,3)})

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) होने पर संक्रमणता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).

Step 2

Why this answer is correct

पहले विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। / The first option contains this required pair.

Step 3

Exam Tip

संक्रमणता में बीच वाले तत्व को पकड़कर आरंभ और अंत का युग्म जांचें। / In transitivity, use the middle element to identify the needed start-to-end pair.

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Question 84/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या ({a,b}={1,2})। इस संबंध के वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or ({a,b}={1,2}). What are the classes of this relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({1,2},{3},{4})

Step 1

Concept

(a=b) से हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / The condition (a=b) relates every element to itself.

Step 2

Why this answer is correct

(1) और (2) अलग से आपस में संबंधित किए गए हैं। / The extra condition relates (1) and (2) to each other.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (1,2) एक वर्ग बनाते हैं और (3,4) अलग एकल वर्ग रहते हैं। / Hence (1,2) form one class, while (3) and (4) remain singleton classes.

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Question 85/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (A) के (5) तत्व हैं और तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (2,2,1) हैं, तो संबंध में युग्मों की संख्या कितनी होगी?

If (A) has (5) elements and the sizes of the equivalence classes are (2,2,1), how many pairs are in the relation?

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Correct Answer

C. (9)

Step 1

Concept

आकार (m) वाले वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

कुल युग्म \(2^2+2^2+1^2=4+4+1\) होंगे। / The total is \(2^2+2^2+1^2=4+4+1\).

Step 3

Exam Tip

इसलिए संबंध में (9) युग्म होंगे। / Therefore the relation has (9) pairs.

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Question 86/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) तुल्यता संबंध है और ([a]=A), तो (a) के बारे में कौन सा कथन सही है?

If (R) is an equivalence relation and ([a]=A), which statement about (a) is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (a) समुच्चय (A) के हर तत्व से संबंधित है(a) is related to every element of (A)

Step 1

Concept

([a]) उन सभी तत्वों का समूह है जो (a) से संबंधित हैं। / ([a]) is the set of all elements related to (a).

Step 2

Why this answer is correct

([a]=A) का अर्थ है कि (A) का हर तत्व (a) से संबंधित है। / ([a]=A) means every element of (A) is related to (a).

Step 3

Exam Tip

वर्ग की परिभाषा को समझना ऐसे निष्कर्षों में मदद करता है। / Use the definition of an equivalence class for such conclusions.

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Question 87/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो ([a]) रिक्त क्यों नहीं हो सकता?

If (R) is an equivalence relation, why can ([a]) not be empty?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. क्योंकि (aRa) हमेशा सही हैBecause (aRa) is always true

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में स्वतुल्यता अनिवार्य है। / Reflexivity is required in an equivalence relation.

Step 2

Why this answer is correct

स्वतुल्यता से (aRa) मिलता है, इसलिए \(a\in[a]\)। / Reflexivity gives (aRa), so \(a\in[a]\).

Step 3

Exam Tip

इस कारण कोई भी तुल्यता वर्ग रिक्त नहीं होता। / Therefore no equivalence class is empty.

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Question 88/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{2}\)। इस संबंध से बना विभाजन कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{2}\). Which partition is formed by this relation?

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Correct Answer

A. ({1,3,5},{2,4,6})

Step 1

Concept

(2) से समान शेष का अर्थ समान सम-विषम प्रकृति है। / Having the same remainder modulo (2) means having the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

विषम तत्व (1,3,5) और सम तत्व (2,4,6) अलग वर्ग बनाते हैं। / Odd elements (1,3,5) and even elements (2,4,6) form two separate classes.

Step 3

Exam Tip

मापांक (2) वाले संबंध में हमेशा सम और विषम वर्ग मिलते हैं। / A modulo (2) relation splits a set into odd and even classes.

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Question 89/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में तुल्यता संबंध से बने वर्गों का सामान्य गुण सही है?

Which option states a general property of classes formed by an equivalence relation?

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Correct Answer

A. दो अलग वर्गों का प्रतिच्छेद रिक्त होता हैThe intersection of two distinct classes is empty

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग समुच्चय का विभाजन बनाते हैं। / Equivalence classes form a partition of the set.

Step 2

Why this answer is correct

विभाजन में अलग-अलग वर्ग आपस में नहीं कटते। / In a partition, distinct classes do not overlap.

Step 3

Exam Tip

यदि दो वर्ग कटते दिखें, तो वे अलग नहीं बल्कि समान वर्ग होंगे। / If two classes overlap, they are not distinct; they are equal.

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Question 90/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=A\times A\) है। इस संबंध में तुल्यता वर्गों की संख्या कितनी है?

For \(A=\{1,2,3,4\}\), let \(R=A\times A\). How many equivalence classes does this relation have?

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Correct Answer

A. (1)

Step 1

Concept

\(A\times A\) में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In \(A\times A\), every element is related to every element.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए सभी तत्व एक ही बड़े तुल्यता वर्ग में आ जाते हैं। / Hence all elements fall into one large equivalence class.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध में गैर-रिक्त समुच्चय के लिए केवल एक वर्ग होता है। / A universal relation on a non-empty set has only one class.

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Question 91/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान संबंध \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), what are the equivalence classes of the identity relation \(I=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\}\)?

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Correct Answer

A. ({1},{2},{3},{4})

Step 1

Concept

पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। / In the identity relation, every element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए प्रत्येक तत्व अपना अलग एकल तुल्यता वर्ग बनाता है। / Hence each element forms a separate singleton class.

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध के वर्गों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of classes in an identity relation equals the number of elements.

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Question 92/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों धनात्मक हों या दोनों धनात्मक न हों। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) holds when (a) and (b) are both positive or both not positive. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर पूर्णांक या तो धनात्मक है या धनात्मक नहीं है, इसलिए वह अपने समूह में स्वयं से संबंधित है। / Every integer is either positive or not positive, so it is related to itself within its group.

Step 2

Why this answer is correct

समान समूह में होने का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Being in the same group is symmetric.

Step 3

Exam Tip

इससे दो वर्ग बनते हैं: धनात्मक और धनात्मक न होने वाले पूर्णांक। / It creates two classes: positive integers and non-positive integers.

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Question 93/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

पूर्णांकों पर पिछले संबंध में, जहाँ दोनों धनात्मक या दोनों धनात्मक न होने पर संबंध है, (0) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

In the previous relation on integers where two integers are related if both are positive or both are not positive, which is the equivalence class of (0)?

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Correct Answer

A. सभी धनात्मक न होने वाले पूर्णांकAll non-positive integers

Step 1

Concept

(0) धनात्मक नहीं है। / (0) is not positive.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए (0) उन सभी पूर्णांकों से संबंधित है जो धनात्मक नहीं हैं। / Therefore (0) is related to all non-positive integers.

Step 3

Exam Tip

वर्ग पहचानते समय भाषा में छिपे समूह को ध्यान से पढ़ें। / Read the grouping condition carefully to identify the class.

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Question 94/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य, सममित और संक्रमण तीनों है?

Which option has all three properties: reflexive, symmetric, and transitive?

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Correct Answer

A. समान रंग वाली वस्तुओं का संबंधRelation of having the same colour

Step 1

Concept

हर वस्तु का रंग स्वयं के रंग के समान है। / Every object has the same colour as itself.

Step 2

Why this answer is correct

यदि पहली वस्तु का रंग दूसरी के समान है, तो दूसरी का रंग पहली के समान है। / If one object has the same colour as another, the reverse is also true.

Step 3

Exam Tip

समान रंग का संबंध तीसरी वस्तु तक भी चलता है, इसलिए यह तुल्यता संबंध है। / Having the same colour is transitive, so it is an equivalence relation.

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Question 95/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\lfloor a\rfloor=\lfloor a\rfloor\), so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

समान पूर्णांक भाग की समानता उल्टे क्रम में भी सही रहती है। / Equality of the greatest integer value is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि दो संख्याओं का पूर्णांक भाग समान मध्य संख्या से समान है, तो वे आपस में भी समान पूर्णांक भाग रखेंगी। / If two values are equal to the same middle value, they are equal to each other, so transitivity holds.

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Question 96/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

वास्तविक संख्याओं पर \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\) वाले संबंध में (2.7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

For the relation \(\lfloor a\rfloor=\lfloor b\rfloor\) on real numbers, which is the equivalence class of (2.7)?

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Correct Answer

A. ([2,3))

Step 1

Concept

\(\lfloor 2.7\rfloor=2\) है। / \(\lfloor 2.7\rfloor=2\).

Step 2

Why this answer is correct

जिन वास्तविक संख्याओं का पूर्णांक भाग (2) है, वे ([2,3)) में आती हैं। / Real numbers with greatest integer value (2) lie in ([2,3)).

Step 3

Exam Tip

पूर्णांक भाग वाले प्रश्नों में बायाँ सिरा शामिल और दायाँ सिरा शामिल नहीं होता। / For floor-based classes, the left endpoint is included and the right endpoint is excluded.

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Question 97/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों अभाज्य हों या दोनों अभाज्य न हों। (4) का तुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both prime or both not prime. What is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({1,4,6})

Step 1

Concept

दिए गए समुच्चय में (2,3,5) अभाज्य हैं। / In the given set, (2,3,5) are prime.

Step 2

Why this answer is correct

(4) अभाज्य नहीं है, इसलिए उसका वर्ग (1,4,6) है। / (4) is not prime, so its class is ({1,4,6}).

Step 3

Exam Tip

ऐसी वर्गीकरण शर्तों में पहले समूहों को साफ-साफ अलग करें। / For classification relations, first separate the groups clearly.

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Question 98/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

यदि किसी समुच्चय पर तुल्यता संबंध के वर्ग ({1,2}), ({3,4,5}) और ({6}) हैं, तो ((2,5)) के बारे में क्या सही है?

If the classes of an equivalence relation on a set are ({1,2}), ({3,4,5}), and ({6}), what is true about ((2,5))?

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Correct Answer

A. \((2,5)\notin R\)

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध में केवल एक ही वर्ग के भीतर के तत्व संबंधित होते हैं। / In an equivalence relation, only elements within the same class are related.

Step 2

Why this answer is correct

(2) वर्ग ({1,2}) में है और (5) वर्ग ({3,4,5}) में है। / (2) is in ({1,2}), while (5) is in ({3,4,5}).

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के तत्वों का क्रमित युग्म संबंध में नहीं होता। / Elements from different classes do not form related ordered pairs.

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Question 99/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

अशून्य बहुपदों के समुच्चय पर (pRq) तब है जब (p) और (q) की घात समान हो। \(x^2+1\) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On the set of non-zero polynomials, (pRq) holds when (p) and (q) have the same degree. Which is the equivalence class of \(x^2+1\)?

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Correct Answer

A. सभी घात (2) वाले अशून्य बहुपदAll non-zero polynomials of degree (2)

Step 1

Concept

\(x^2+1\) की घात (2) है। / The degree of \(x^2+1\) is (2).

Step 2

Why this answer is correct

समान घात वाले सभी अशून्य बहुपद इससे संबंधित होंगे। / All non-zero polynomials of degree (2) are related to it.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग निकालते समय चुने हुए तत्व की मुख्य विशेषता पहचानकर उसी विशेषता वाले तत्व लें। / To find an equivalence class, identify the key property of the chosen element.

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Question 100/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 17

समुच्चय \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\) पर (aRb) तब है जब दोनों क्रमित युग्मों का प्रथम घटक समान हो। ((1,2)) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\), (aRb) holds when the two ordered pairs have the same first component. Which is the equivalence class of ((1,2))?

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Correct Answer

A. ({(1,1),(1,2)})

Step 1

Concept

((1,2)) का प्रथम घटक (1) है। / The first component of ((1,2)) is (1).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में प्रथम घटक (1) वाले युग्म ((1,1)) और ((1,2)) हैं। / In the given set, the ordered pairs with first component (1) are ((1,1)) and ((1,2)).

Step 3

Exam Tip

घटक आधारित संबंधों में संबंधित वर्ग बनाने के लिए उसी घटक को समान रखें। / In component-based relations, keep the specified component the same to form the class.

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Question 101/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब है जब (a-b) संख्या (9) से विभाज्य हो। (25) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when (a-b) is divisible by (9). Which is the equivalence class of (25)?

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Correct Answer

A. ({..., -2,7,16,25,34,...})

Step 1

Concept

(25) से संबंधित हर पूर्णांक का (25) से अंतर (9) का गुणज होना चाहिए। / Every integer related to (25) must differ from (25) by a multiple of (9).

Step 2

Why this answer is correct

(25) को (9) से भाग देने पर शेष (7) मिलता है, इसलिए समान शेष (7) वाले पूर्णांक इसी वर्ग में आएँगे। / (25) gives remainder (7) on division by (9), so integers with the same remainder (7) form its class.

Step 3

Exam Tip

मापांक वाले प्रश्नों में पहले शेष निकालें, फिर उसी शेष वाले तत्व चुनें। / In modulo questions, first find the remainder.

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Question 102/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{4}\)। (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{4}\). Which is the equivalence class of (7)?

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Correct Answer

A. ({3,7})

Step 1

Concept

(7) को (4) से भाग देने पर शेष (3) है। / (7) gives remainder (3) on division by (4).

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (3) और (7) ही शेष (3) देते हैं। / In the given set, only (3) and (7) give remainder (3).

Step 3

Exam Tip

सीमित समुच्चय में वर्ग बनाते समय केवल उसी समुच्चय के तत्व लें। / For a finite set, include only elements from that set.

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Question 103/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) को (3) से भाग देने पर समान भागफल मिले। (4) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{0,1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (a) and (b) have the same quotient on division by (3). Which is the equivalence class of (4)?

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Correct Answer

A. ({3,4,5})

Step 1

Concept

(4) को (3) से भाग देने पर भागफल (1) मिलता है। / Dividing (4) by (3) gives quotient (1).

Step 2

Why this answer is correct

(3,4,5) तीनों का भागफल (1) है। / The numbers (3,4,5) all have quotient (1).

Step 3

Exam Tip

संबंध शेष पर नहीं, भागफल पर आधारित है; इसलिए शर्त को ध्यान से पढ़ें। / Read carefully whether the relation is based on quotient or remainder.

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Question 104/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(1,5),(5,1)\}\) के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), what are the equivalence classes of \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(1,3),(3,1),(3,5),(5,3),(1,5),(5,1)\}\)?

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Correct Answer

A. ({1,3,5},{2},{4})

Step 1

Concept

(1,3,5) आपस में संबंधित हैं, इसलिए वे एक वर्ग बनाते हैं। / (1,3,5) are mutually related, so they form one class.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (4) केवल स्वयं से संबंधित हैं, इसलिए वे अलग एकल वर्ग हैं। / (2) and (4) are related only to themselves, so they form singleton classes.

Step 3

Exam Tip

युग्मों से जुड़े समूहों को पहचानकर तुल्यता वर्ग जल्दी मिलते हैं। / Identify connected groups from the ordered pairs.

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Question 105/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\) में संक्रमणता के लिए कौन सा युग्म अवश्य चाहिए?

On \(A=\{1,2,3\}\), in \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), which pair is necessary for transitivity?

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Correct Answer

A. ((1,3))

Step 1

Concept

((1,2)) और ((2,3)) संबंध में मौजूद हैं। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation.

Step 2

Why this answer is correct

संक्रमणता के लिए ((1,3)) भी होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,3)).

Step 3

Exam Tip

बीच वाले तत्व को पहचानकर पहले और तीसरे तत्व का युग्म देखें। / Identify the middle element and check the pair from the first to the third element.

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Question 106/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), why is \(R=\{(1,1),(2,2),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि ((3,3)) नहीं हैBecause ((3,3)) is missing

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए समुच्चय के हर तत्व का स्वयं से संबंध जरूरी है। / Reflexivity requires every element of the set to be related to itself.

Step 2

Why this answer is correct

(3) समुच्चय में है, पर ((3,3)) संबंध में नहीं है। / (3) is in the set, but ((3,3)) is missing.

Step 3

Exam Tip

एक भी विकर्ण युग्म छूट जाए तो संबंध तुल्यता संबंध नहीं हो सकता। / If even one diagonal pair is absent, the relation cannot be an equivalence relation.

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Question 107/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({2,4,6},{1,3},{5}) में बाँटता है, तो (3) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

If an equivalence relation partitions a set into ({2,4,6},{1,3},{5}), which is the equivalence class of (3)?

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Correct Answer

A. ({1,3})

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग वही समूह है जिसमें दिया गया तत्व आता है। / The equivalence class of an element is the block containing that element.

Step 2

Why this answer is correct

(3) समूह ({1,3}) में है। / (3) lies in ({1,3}).

Step 3

Exam Tip

विभाजन दिए होने पर तत्व वाला समूह सीधे चुनें। / When a partition is given, directly choose the block containing the element.

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Question 108/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी तुल्यता संबंध के वर्गों के आकार (4) और (2) हैं, तो संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

If an equivalence relation has class sizes (4) and (2), how many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

C. (20)

Step 1

Concept

आकार (m) वाले वर्ग से \(m^2\) क्रमित युग्म मिलते हैं। / A class of size (m) contributes \(m^2\) ordered pairs.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए कुल युग्म \(4^2+2^2=16+4\) होंगे। / The total is \(4^2+2^2=16+4\).

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं जोड़े जाते, इसलिए उत्तर (20) है। / No pairs are added between different classes, so the answer is (20).

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Question 109/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) का सही विभाजन दिया है?

Which option gives a valid partition of \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\)?

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Correct Answer

A. ({1,2},{3,4},{5,6})

Step 1

Concept

विभाजन में सभी समूह खाली नहीं होने चाहिए, आपस में कटने नहीं चाहिए और पूरा समुच्चय ढकना चाहिए। / A partition must have non-empty, non-overlapping blocks whose union is the whole set.

Step 2

Why this answer is correct

पहले विकल्प के समूह अलग-अलग हैं और मिलकर पूरा (A) देते हैं। / The first option has disjoint blocks covering all of (A).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्गों की सूची हमेशा ऐसे ही सही विभाजन बनाती है। / Equivalence classes always form such a partition.

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Question 110/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4,5\}\) का विभाजन नहीं बनता?

Which option does not form a partition of \(A=\{1,2,3,4,5\}\)?

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Correct Answer

A. ({1,2},{2,3},{4,5})

Step 1

Concept

विभाजन में दो अलग समूहों में कोई समान तत्व नहीं होना चाहिए। / In a partition, different blocks must not share an element.

Step 2

Why this answer is correct

पहले विकल्प में (2) दोनों समूहों ({1,2}) और ({2,3}) में है। / In the first option, (2) appears in both ({1,2}) and ({2,3}).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग आपस में कटते नहीं हैं। / Equivalence classes do not overlap.

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Question 111/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

अशून्य परिमेय संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{a}{b}>0\)। \(-\frac{3}{5}\) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On non-zero rational numbers, (aRb) holds when \(\frac{a}{b}>0\). Which is the equivalence class of \(-\frac{3}{5}\)?

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Correct Answer

A. सभी ऋणात्मक परिमेय संख्याएँAll negative rational numbers

Step 1

Concept

\(-\frac{3}{5}\) ऋणात्मक है। / \(-\frac{3}{5}\) is negative.

Step 2

Why this answer is correct

\(\frac{a}{b}>0\) तभी होगा जब दोनों संख्याओं का चिन्ह समान हो। / \(\frac{a}{b}>0\) holds when both numbers have the same sign.

Step 3

Exam Tip

इसलिए इसका वर्ग सभी ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समूह है। / Hence its class is the set of all negative rational numbers.

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Question 112/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) पूर्णांक हो। (2.3) के तुल्यता वर्ग में कौन सा तत्व आएगा?

On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is an integer. Which element belongs to the equivalence class of (2.3)?

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Correct Answer

A. (5.3)

Step 1

Concept

(5.3-2.3=3) है। / (5.3-2.3=3).

Step 2

Why this answer is correct

(3) पूर्णांक है, इसलिए (5.3), (2.3) के वर्ग में आएगा। / Since (3) is an integer, (5.3) belongs to the class of (2.3).

Step 3

Exam Tip

ऐसे प्रश्नों में चुने हुए तत्व से अंतर निकालकर देखें कि वह पूर्णांक है या नहीं। / Subtract from the given element and check whether the difference is an integer.

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Question 113/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor=\lfloor \frac{b}{3}\rfloor\)। (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On integers, (aRb) holds when \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor=\lfloor \frac{b}{3}\rfloor\). Which is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({3,4,5})

Step 1

Concept

\(\lfloor \frac{5}{3}\rfloor=1\) है। / \(\lfloor \frac{5}{3}\rfloor=1\).

Step 2

Why this answer is correct

(3,4,5) के लिए भी \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor=1\) मिलता है। / For (3,4,5), the value of \(\lfloor \frac{a}{3}\rfloor\) is also (1).

Step 3

Exam Tip

पूर्णांक भाग वाले संबंध में समान पूर्णांक भाग वाले तत्व ही एक वर्ग बनाते हैं। / In floor-based relations, elements with the same floor value form one class.

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Question 114/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a) और (b) का अंतिम अंक समान हो। (42) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On natural numbers, (aRb) holds when (a) and (b) have the same last digit. Which is the equivalence class of (42)?

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Correct Answer

A. वे सभी प्राकृतिक संख्याएँ जिनका अंतिम अंक (2) हैAll natural numbers ending in (2)

Step 1

Concept

(42) का अंतिम अंक (2) है। / The last digit of (42) is (2).

Step 2

Why this answer is correct

उसी अंतिम अंक वाली संख्याएँ (2,12,22,32,42) आदि हैं। / Numbers such as (2,12,22,32,42) have the same last digit.

Step 3

Exam Tip

अंतिम अंक वाले संबंध में पूरा वर्ग अंतिम अंक से तय होता है, केवल सम-विषम से नहीं। / This class is decided by the last digit, not just by parity.

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Question 115/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

अशून्य वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब \(\frac{1}{a}\) और \(\frac{1}{b}\) का चिन्ह समान हो। यह संबंध कैसा है?

On non-zero real numbers, (aRb) holds when \(\frac{1}{a}\) and \(\frac{1}{b}\) have the same sign. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(\frac{1}{a}\) का चिन्ह स्वयं के चिन्ह के समान होता है, इसलिए स्वतुल्यता है। / \(\frac{1}{a}\) has the same sign as itself, so reflexivity holds.

Step 2

Why this answer is correct

समान चिन्ह का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Having the same sign is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि दो-दो प्रतिलोमों के चिन्ह समान हैं, तो पहली और तीसरी का चिन्ह भी समान होगा। / If two reciprocal signs are equal through a middle element, the first and third signs are also equal.

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Question 116/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2)\}\) पर (aRb) तब है जब दोनों क्रमित युग्मों का दूसरा घटक समान हो। ((1,2)) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,2)\}\), (aRb) holds when the two ordered pairs have the same second component. Which is the equivalence class of ((1,2))?

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Correct Answer

A. ({(1,2),(2,2),(3,2)})

Step 1

Concept

((1,2)) का दूसरा घटक (2) है। / The second component of ((1,2)) is (2).

Step 2

Why this answer is correct

दूसरे घटक (2) वाले युग्म ((1,2),(2,2),(3,2)) हैं। / The pairs with second component (2) are ((1,2),(2,2),(3,2)).

Step 3

Exam Tip

घटक आधारित संबंध में वही घटक समान रखने वाले सभी तत्व वर्ग में आते हैं। / In component-based relations, all elements with the specified same component form the class.

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Question 117/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समतल में बिंदुओं पर (P R Q) तब है जब (P) और (Q) का (y)-निर्देशांक समान हो। बिंदु ((3,5)) का तुल्यता वर्ग क्या है?

For points in the plane, (P R Q) holds when (P) and (Q) have the same (y)-coordinate. What is the equivalence class of ((3,5))?

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Correct Answer

A. सभी बिंदु जिनका (y)-निर्देशांक (5) हैAll points whose (y)-coordinate is (5)

Step 1

Concept

((3,5)) का (y)-निर्देशांक (5) है। / The (y)-coordinate of ((3,5)) is (5).

Step 2

Why this answer is correct

समान (y)-निर्देशांक वाले सभी बिंदु इसी वर्ग में आएँगे। / All points with the same (y)-coordinate (5) belong to its class.

Step 3

Exam Tip

निर्देशांक वाले संबंध में कौन सा निर्देशांक समान रखना है, इसे ध्यान से पढ़ें। / In coordinate relations, note carefully which coordinate must be equal.

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Question 118/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (|a-2|=|b-2|)। यह संबंध कैसा है?

On real numbers, (aRb) holds when (|a-2|=|b-2|). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

(|a-2|=|a-2|), इसलिए स्वतुल्यता है। / (|a-2|=|a-2|), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

बराबरी का कथन उल्टे क्रम में भी सही रहता है, इसलिए सममितता है। / Equality remains true when the order is reversed, so it is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि दो दूरियाँ एक ही मध्य दूरी के बराबर हैं, तो वे आपस में भी बराबर होंगी। / If two distances equal the same middle distance, they are equal to each other.

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Question 119/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (|a-2|=|b-2|) वाले संबंध में (5) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

For the relation (|a-2|=|b-2|) on real numbers, which is the equivalence class of (5)?

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Correct Answer

A. ({-1,5})

Step 1

Concept

(5) की (2) से दूरी (3) है। / The distance of (5) from (2) is (3).

Step 2

Why this answer is correct

(2) से दूरी (3) वाले वास्तविक मान (5) और (-1) हैं। / The real numbers at distance (3) from (2) are (5) and (-1).

Step 3

Exam Tip

दूरी आधारित वर्ग में केंद्र से समान दूरी वाले तत्व आते हैं। / In distance-based classes, include points at the same distance from the center.

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Question 120/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

प्राकृतिक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a) और (b) में अंकों का योग समान हो। यह संबंध कैसा है?

On natural numbers, (aRb) holds when (a) and (b) have the same sum of digits. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर संख्या के अंकों का योग स्वयं के अंकों के योग के समान है। / Every number has the same digit sum as itself.

Step 2

Why this answer is correct

समान योग का संबंध उल्टे क्रम में भी सही रहता है। / Equality of digit sum is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यदि दो संख्याएँ किसी तीसरी संख्या के समान अंकों का योग रखती हैं, तो वे आपस में भी समान योग रखेंगी। / If two numbers have the same digit sum as a middle number, they have the same digit sum as each other.

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Question 121/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

अंकों के योग समान होने वाले संबंध में (23) का तुल्यता वर्ग किस प्रकार की संख्याओं का समूह होगा?

For the relation based on equal sum of digits, the equivalence class of (23) will be the set of which type of numbers?

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Correct Answer

A. वे प्राकृतिक संख्याएँ जिनके अंकों का योग (5) हैNatural numbers whose digit sum is (5)

Step 1

Concept

(23) के अंकों का योग (2+3=5) है। / The digit sum of (23) is (2+3=5).

Step 2

Why this answer is correct

उसी वर्ग में वे संख्याएँ होंगी जिनके अंकों का योग (5) है। / Its class contains numbers whose digit sum is (5).

Step 3

Exam Tip

वर्ग हमेशा संबंध की दी हुई शर्त से बनता है, बाहरी गुण से नहीं। / An equivalence class is formed by the defining condition of the relation.

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Question 122/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में संबंध तुल्यता संबंध नहीं है?

Which option is not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. वास्तविक संख्याओं पर (aRb) जब (a>b)On real numbers, (aRb) when (a>b)

Step 1

Concept

(a>b) संबंध स्वतुल्य नहीं है क्योंकि (a>a) गलत है। / The relation (a>b) is not reflexive because (a>a) is false.

Step 2

Why this answer is correct

यह सममित भी नहीं है, क्योंकि (5>3) सही है पर (3>5) गलत है। / It is also not symmetric, since (5>3) does not imply (3>5).

Step 3

Exam Tip

तुलना वाले सख्त संबंध सामान्यतः तुल्यता संबंध नहीं होते। / Strict order relations are generally not equivalence relations.

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Question 123/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब \(a^2-b^2\) संख्या (3) से विभाज्य हो। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) holds when \(a^2-b^2\) is divisible by (3). What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

\(a^2-a^2=0\), इसलिए स्वतुल्यता है। / \(a^2-a^2=0\), so the relation is reflexive.

Step 2

Why this answer is correct

यदि \(a^2-b^2\) (3) से विभाज्य है, तो \(b^2-a^2\) भी विभाज्य होगा। / If \(a^2-b^2\) is divisible by (3), then \(b^2-a^2\) is also divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

समान वर्गीय शेष होने से संक्रमणता भी पूरी होती है। / Equality of square remainders modulo (3) is transitive.

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Question 124/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर \(a^2-b^2\) संख्या (3) से विभाज्य होने वाले संबंध में (2) के वर्ग में कौन सा तत्व अवश्य आएगा?

For the relation on integers where \(a^2-b^2\) is divisible by (3), which element must belong to the class of (2)?

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Correct Answer

A. (5)

Step 1

Concept

\(2^2=4\) और \(5^2=25\) हैं। / \(2^2=4\) and \(5^2=25\).

Step 2

Why this answer is correct

(25-4=21), जो (3) से विभाज्य है। / (25-4=21), which is divisible by (3).

Step 3

Exam Tip

विकल्पों में वर्गों का अंतर निकालकर विभाज्यता जांचें। / For options, subtract the squares and test divisibility.

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Question 125/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \([a]\neq[b]\), तो कौन सा कथन सही है?

If (R) is an equivalence relation and \([a]\neq[b]\), which statement is correct?

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Correct Answer

A. \([a]\cap[b]=\varnothing\)

Step 1

Concept

तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या पूरी तरह अलग। / Equivalence classes are either equal or completely disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

जब \([a]\neq[b]\) है, तो वे समान नहीं हैं। / Since \([a]\neq[b]\), they are not equal.

Step 3

Exam Tip

इसलिए उनका प्रतिच्छेद रिक्त होगा। / Hence their intersection is empty.

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Question 126/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी तुल्यता संबंध में ([x]={1,4,7}), तो निम्न में से कौन सा युग्म संबंध में निश्चित रूप से होगा?

If ([x]={1,4,7}) in an equivalence relation, which of the following pairs is definitely in the relation?

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Correct Answer

A. ((4,7))

Step 1

Concept

एक ही तुल्यता वर्ग के सभी तत्व आपस में संबंधित होते हैं। / All elements in the same equivalence class are related to one another.

Step 2

Why this answer is correct

(4) और (7) दोनों ({1,4,7}) में हैं। / (4) and (7) both lie in ({1,4,7}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((4,7)) संबंध में निश्चित रूप से होगा। / Therefore ((4,7)) is definitely in the relation.

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Question 127/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य और सममित है, पर संक्रमण जरूरी नहीं है?

Which option gives a relation that is reflexive and symmetric but not necessarily transitive?

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Correct Answer

A. लोगों में एक-दूसरे से परिचित होने का संबंधRelation of being acquainted among people

Step 1

Concept

कोई व्यक्ति स्वयं से परिचित माना जा सकता है, इसलिए स्वतुल्यता हो सकती है। / A person may be considered acquainted with himself or herself, so reflexivity can hold.

Step 2

Why this answer is correct

यदि पहला व्यक्ति दूसरे से परिचित है, तो दूसरा भी पहले से परिचित माना जाता है, इसलिए सममितता है। / If one person is acquainted with another, the reverse is also true, so symmetry holds.

Step 3

Exam Tip

पर पहला दूसरे से और दूसरा तीसरे से परिचित हो, तो पहला तीसरे से परिचित हो यह जरूरी नहीं। / But acquaintance need not pass through a third person, so transitivity can fail.

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Question 128/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (4) से अधिक हों या दोनों (4) से अधिक न हों। (6) का तुल्यता वर्ग क्या है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6,7\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both greater than (4) or both not greater than (4). What is the equivalence class of (6)?

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Correct Answer

A. ({5,6,7})

Step 1

Concept

(6), (4) से अधिक है। / (6) is greater than (4).

Step 2

Why this answer is correct

(4) से अधिक तत्व (5,6,7) हैं। / The elements greater than (4) are (5,6,7).

Step 3

Exam Tip

समूह आधारित संबंध में दिया गया तत्व जिस समूह में हो, वही उसका तुल्यता वर्ग होता है। / In a grouping relation, the class of an element is the group containing it.

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Question 129/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों अभाज्य हों या दोनों अभाज्य न हों। (1) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both prime or both not prime. Which is the equivalence class of (1)?

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Correct Answer

A. ({1,4,6})

Step 1

Concept

(1) अभाज्य नहीं है। / (1) is not prime.

Step 2

Why this answer is correct

दिए गए समुच्चय में (4) और (6) भी अभाज्य नहीं हैं। / In the given set, (4) and (6) are also not prime.

Step 3

Exam Tip

अभाज्य और अभाज्य न होने के आधार पर दो वर्ग बनते हैं। / The relation creates two classes: prime and non-prime elements.

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Question 130/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a=b) या (a+b=5)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a=b) or (a+b=5). How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

(a=b) से चार विकर्ण युग्म मिलते हैं। / The condition (a=b) gives four diagonal pairs.

Step 2

Why this answer is correct

(a+b=5) से असमान युग्म ((1,4),(4,1),(2,3),(3,2)) मिलते हैं। / The condition (a+b=5) gives non-diagonal pairs ((1,4),(4,1),(2,3),(3,2)).

Step 3

Exam Tip

कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / The total is (4+4=8) pairs.

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Question 131/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में \(A=\{1,2,3,4\}\) पर पहचान संबंध दिया गया है?

Which option gives the identity relation on \(A=\{1,2,3,4\}\)?

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Correct Answer

A. ({(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)})

Step 1

Concept

पहचान संबंध में हर तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। / In the identity relation, every element is related only to itself.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए इसमें केवल ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)) होंगे। / Therefore it contains only ((1,1),(2,2),(3,3),(4,4)).

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध और सार्वत्रिक संबंध में अंतर साफ रखें। / Keep the identity relation distinct from the universal relation.

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Question 132/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में \(A=\{1,2\}\) पर सार्वत्रिक संबंध दिया गया है?

Which option gives the universal relation on \(A=\{1,2\}\)?

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Correct Answer

A. ({(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)})

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध में समुच्चय के सभी संभव क्रमित युग्म होते हैं। / The universal relation contains all possible ordered pairs from the set.

Step 2

Why this answer is correct

\(A=\{1,2\}\) के लिए कुल \(2^2=4\) युग्म होंगे। / For \(A=\{1,2\}\), there are \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

सभी चार युग्म वाला विकल्प सार्वत्रिक संबंध है। / The option with all four pairs is the universal relation.

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Question 133/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (A) में (6) तत्व हैं और सार्वत्रिक संबंध लिया गया है, तो संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?

If (A) has (6) elements and the universal relation is taken, how many ordered pairs are in the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (36)

Step 1

Concept

सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है। / The universal relation is \(A\times A\).

Step 2

Why this answer is correct

यदि (A) में (6) तत्व हैं, तो \(A\times A\) में \(6^2=36\) युग्म होंगे। / If (A) has (6) elements, then \(A\times A\) has \(6^2=36\) pairs.

Step 3

Exam Tip

सार्वत्रिक संबंध में हर तत्व हर तत्व से संबंधित होता है। / In a universal relation, every element is related to every element.

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Question 134/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (A) में (6) तत्व हैं और पहचान संबंध लिया गया है, तो संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?

If (A) has (6) elements and the identity relation is taken, how many ordered pairs are in the relation?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. (6)

Step 1

Concept

पहचान संबंध में केवल ((a,a)) प्रकार के युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).

Step 2

Why this answer is correct

(6) तत्वों के लिए ऐसे (6) विकर्ण युग्म होंगे। / For (6) elements, there are (6) such diagonal pairs.

Step 3

Exam Tip

पहचान संबंध में युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / In an identity relation, the number of pairs equals the number of elements.

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Question 135/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस कथन में तुल्यता संबंध और विभाजन का सही संबंध बताया गया है?

Which statement correctly describes the connection between an equivalence relation and a partition?

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Correct Answer

A. हर तुल्यता संबंध एक विभाजन बनाता हैEvery equivalence relation forms a partition

Step 1

Concept

तुल्यता संबंध के वर्ग मिलकर पूरा समुच्चय ढकते हैं। / Classes of an equivalence relation cover the whole set.

Step 2

Why this answer is correct

अलग-अलग वर्ग आपस में नहीं कटते। / Distinct classes do not overlap.

Step 3

Exam Tip

इसी कारण हर तुल्यता संबंध समुच्चय का विभाजन देता है। / Therefore every equivalence relation gives a partition of the set.

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Question 136/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि किसी विभाजन से तुल्यता संबंध बनाया जाए, तो किन तत्वों के बीच संबंध रखा जाता है?

When an equivalence relation is formed from a partition, which elements are related?

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Correct Answer

A. जो एक ही समूह में होंElements that lie in the same block

Step 1

Concept

विभाजन के हर समूह को एक तुल्यता वर्ग माना जाता है। / Each block of a partition is treated as an equivalence class.

Step 2

Why this answer is correct

एक ही समूह के किसी भी दो तत्वों को संबंधित रखा जाता है। / Any two elements in the same block are related.

Step 3

Exam Tip

अलग समूहों के तत्वों के बीच संबंध नहीं जोड़ा जाता। / Elements from different blocks are not related.

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Question 137/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर विभाजन ({1,6},{2,5},{3,4}) से बने तुल्यता संबंध में कौन सा युग्म होगा?

For the partition ({1,6},{2,5},{3,4}) of \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), which pair belongs to the corresponding equivalence relation?

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Correct Answer

A. ((2,5))

Step 1

Concept

विभाजन से बने संबंध में एक ही समूह के तत्वों के युग्म लिए जाते हैं। / In the relation formed from a partition, pairs are taken from within the same block.

Step 2

Why this answer is correct

(2) और (5) समूह ({2,5}) में साथ हैं। / (2) and (5) are together in the block ({2,5}).

Step 3

Exam Tip

इसलिए ((2,5)) संबंध में होगा। / Therefore ((2,5)) belongs to the relation.

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Question 138/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

उसी विभाजन ({1,6},{2,5},{3,4}) से बने संबंध में कौन सा युग्म नहीं होगा?

For the same partition ({1,6},{2,5},{3,4}), which pair will not belong to the relation?

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Correct Answer

A. ((1,2))

Step 1

Concept

(1) समूह ({1,6}) में है और (2) समूह ({2,5}) में है। / (1) is in ({1,6}), while (2) is in ({2,5}).

Step 2

Why this answer is correct

वे अलग-अलग समूहों में हैं, इसलिए संबंधित नहीं होंगे। / They are in different blocks, so they are not related.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों के बीच युग्म नहीं बनता। / No pair is formed between different classes.

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Question 139/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम हों या दोनों सम न हों। यह संबंध कैसा है?

On integers, (aRb) holds when (a) and (b) are both even or both not even. What type of relation is it?

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Correct Answer

A. तुल्यता संबंधEquivalence relation

Step 1

Concept

हर पूर्णांक या तो सम है या सम नहीं है, इसलिए वह अपने समूह में स्वयं से संबंधित है। / Every integer is either even or not even, so it is related to itself in its group.

Step 2

Why this answer is correct

समान समूह में होने का संबंध सममित है। / Being in the same group is symmetric.

Step 3

Exam Tip

यह संबंध पूर्णांकों को सम और विषम दो वर्गों में बाँटता है, इसलिए तुल्यता संबंध है। / The relation divides integers into even and odd classes, so it is an equivalence relation.

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Question 140/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a) और (b) में से एक सम और दूसरा विषम हो। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On integers, (aRb) holds when one of (a) and (b) is even and the other is odd. Why is it not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं हैBecause reflexivity fails

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर पूर्णांक (a) के लिए चाहिए। / Reflexivity requires (aRa) for every integer (a).

Step 2

Why this answer is correct

कोई भी संख्या स्वयं के साथ एक साथ सम और विषम नहीं हो सकती। / A number cannot be one even and one odd with itself.

Step 3

Exam Tip

इसलिए स्वतुल्यता टूटती है और संबंध तुल्यता संबंध नहीं है। / Therefore reflexivity fails, so the relation is not an equivalence relation.

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Question 141/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) holds when (a+b) is even. How many ordered pairs are in the relation?

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Correct Answer

A. (8)

Step 1

Concept

योग सम होने के लिए दोनों संख्याएँ समान सम-विषम प्रकृति की होनी चाहिए। / A sum is even when the two numbers have the same parity.

Step 2

Why this answer is correct

विषम वर्ग ({1,3}) से \(2^2=4\) और सम वर्ग ({2,4}) से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / The odd class ({1,3}) gives \(2^2=4\) pairs, and the even class ({2,4}) gives \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल (4+4=8) युग्म होंगे। / The total is (8) pairs.

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Question 142/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) अपरिमेय हो। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is irrational. Why is it not an equivalence relation?

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Correct Answer

A. क्योंकि स्वतुल्यता नहीं हैBecause reflexivity fails

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (aRa) चाहिए। / Reflexivity requires (aRa).

Step 2

Why this answer is correct

(a-a=0) है, और (0) अपरिमेय नहीं है। / (a-a=0), and (0) is not irrational.

Step 3

Exam Tip

इसलिए स्वतुल्यता नहीं है; तुल्यता संबंध बनने के लिए तीनों गुण जरूरी हैं। / Thus reflexivity fails; all three properties are needed for equivalence.

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Question 143/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b) परिमेय हो। \(\sqrt{3}\) के वर्ग में कौन सा तत्व आएगा?

On real numbers, (aRb) holds when (a-b) is rational. Which element belongs to the class of \(\sqrt{3}\)?

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Correct Answer

A. \(\sqrt{3}+2\)

Step 1

Concept

(\(\sqrt{3}+2\)-\sqrt{3}=2) है। / (\(\sqrt{3}+2\)-\sqrt{3}=2).

Step 2

Why this answer is correct

(2) परिमेय है, इसलिए \(\sqrt{3}+2\) उसी तुल्यता वर्ग में आएगा। / Since (2) is rational, \(\sqrt{3}+2\) belongs to the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

अंतर निकालना इस प्रकार के प्रश्नों की सबसे सरल जांच है। / Subtracting the two numbers is the quickest check.

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Question 144/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में संबंध स्वतुल्य नहीं है?

Which option gives a relation that is not reflexive?

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Correct Answer

A. पूर्णांकों पर (aRb) जब (a+b) विषम होOn integers, (aRb) when (a+b) is odd

Step 1

Concept

स्वतुल्यता के लिए (aRa) हर (a) के लिए जरूरी है। / Reflexivity requires (aRa) for every (a).

Step 2

Why this answer is correct

(a+a=2a) हमेशा सम होता है, विषम नहीं। / (a+a=2a) is always even, not odd.

Step 3

Exam Tip

इसलिए (a+b) विषम वाला संबंध स्वतुल्य नहीं है। / Therefore the odd-sum relation is not reflexive.

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Question 145/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

किस विकल्प में संबंध संक्रमण नहीं है?

Which option gives a relation that is not transitive?

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Correct Answer

A. लोगों में मित्र होने का संबंधRelation of being friends among people

Step 1

Concept

यदि पहला व्यक्ति दूसरे का मित्र है और दूसरा तीसरे का मित्र है, तो पहला तीसरे का मित्र हो यह जरूरी नहीं। / If one person is friends with a second and the second is friends with a third, the first need not be friends with the third.

Step 2

Why this answer is correct

इसलिए मित्रता संबंध संक्रमण नहीं है। / Therefore friendship is not transitive.

Step 3

Exam Tip

तुल्यता संबंध के लिए संक्रमणता की जांच अलग से जरूर करें। / Always test transitivity separately for equivalence.

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Question 146/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। इस संबंध में कुल कितने युग्म होंगे?

On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) holds when \(a\equiv b \pmod{3}\). How many pairs are in this relation?

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Correct Answer

A. (12)

Step 1

Concept

इस संबंध के वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। / The classes are ({1,4},{2,5},{3,6}).

Step 2

Why this answer is correct

हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.

Step 3

Exam Tip

कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / The total is (4+4+4=12) pairs.

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Question 147/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) तुल्यता संबंध है और \(x\in[y]\), तो कौन सा निष्कर्ष सही है?

If (R) is an equivalence relation and \(x\in[y]\), which conclusion is correct?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ([x]=[y])

Step 1

Concept

\(x\in[y]\) का अर्थ है कि (x) और (y) संबंधित हैं। / \(x\in[y]\) means (x) is related to (y).

Step 2

Why this answer is correct

संबंधित तत्वों के तुल्यता वर्ग समान होते हैं। / Related elements have the same equivalence class.

Step 3

Exam Tip

इसलिए ([x]=[y]) होगा। / Hence ([x]=[y]).

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Question 148/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \([a]\cup[b]\) कब एक ही तुल्यता वर्ग होगा?

If (R) is an equivalence relation, when will \([a]\cup[b]\) be a single equivalence class?

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Correct Answer

A. जब ([a]=[b])When ([a]=[b])

Step 1

Concept

दो तुल्यता वर्ग या तो समान होते हैं या अलग-अलग। / Two equivalence classes are either equal or disjoint.

Step 2

Why this answer is correct

यदि ([a]=[b]), तो उनका संघ भी वही एक वर्ग होगा। / If ([a]=[b]), their union is the same single class.

Step 3

Exam Tip

अलग वर्गों का संघ सामान्यतः एक तुल्यता वर्ग नहीं होता। / The union of distinct classes is generally not one equivalence class.

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Question 149/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों (2) से बड़े हों या दोनों (2) से बड़े न हों। इस संबंध से कौन सा विभाजन बनेगा?

On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) holds when (a) and (b) are both greater than (2) or both not greater than (2). Which partition is formed by this relation?

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Correct Answer

A. ({1,2},{3,4,5})

Step 1

Concept

(2) से बड़े न होने वाले तत्व (1,2) हैं। / Elements not greater than (2) are (1,2).

Step 2

Why this answer is correct

(2) से बड़े तत्व (3,4,5) हैं। / Elements greater than (2) are (3,4,5).

Step 3

Exam Tip

संबंध इन दो समूहों के आधार पर विभाजन बनाता है। / The relation forms a partition using these two groups.

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Question 150/150 Medium Mathematics Relations and Functions Equivalence relation Class 12 Level 18

समुच्चय \(S=\{1,2,3\}\) के सभी उपसमुच्चयों पर संबंध (A R B) तब है जब (A) और (B) में तत्वों की संख्या समान हो। ({1,2}) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

On the set of all subsets of \(S=\{1,2,3\}\), (A R B) holds when (A) and (B) have the same number of elements. Which is the equivalence class of ({1,2})?

Explanation opens after your attempt

Correct Answer

A. ({{1,2},{1,3},{2,3}})

Step 1

Concept

({1,2}) में (2) तत्व हैं। / The set ({1,2}) has (2) elements.

Step 2

Why this answer is correct

(S) के वे सभी उपसमुच्चय जिनमें (2) तत्व हैं, ({1,2},{1,3},{2,3}) हैं। / The subsets of (S) with (2) elements are ({1,2},{1,3},{2,3}).

Step 3

Exam Tip

तुल्यता वर्ग बनाते समय संबंध की शर्त के अनुसार समान तत्व-संख्या वाले उपसमुच्चय चुनें। / To form the equivalence class, choose subsets with the same number of elements.

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Class 12 Mathematics - Relations and Functions - Equivalence relation Medium Quiz

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर संबंध \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) दिया है। इसे तुल्यता संबंध बनाने के लिए कौन सा युग्म अवश्य जोड़ना होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब परिभाषित है जब (a-b) संख्या (6) से विभाज्य हो। (20) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर संबंध (aRb) तब परिभाषित है जब (a-b) संख्या (4) से विभाज्य हो। (7) का तुल्यता वर्ग कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर संबंध (aRb) तब है जब (a) और (b) का (3) से भाग देने पर समान शेष मिले। निम्न में से कौन सा युग्म (R) में नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तब है जब (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हों। इस संबंध के तुल्यता वर्ग कौन से हैं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{a,b,c,d\}\) पर बने तुल्यता संबंध के वर्ग ({a,c}) और ({b,d}) हैं। इस संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस गुण के कारण किसी भी तुल्यता संबंध में \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) होने पर \((a,c)\in R\) होना चाहिए?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि किसी तुल्यता संबंध (R) में \([x]\cap[y]\neq\varnothing\) है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

वास्तविक संख्याओं पर (aRb) तब है जब (a-b=0)। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तब है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। कुल कितने तुल्यता वर्ग बनेंगे?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस स्थिति में संबंध (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध कहलाता है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर सार्वत्रिक संबंध \(R=A\times A\) के बारे में सही कथन कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर रिक्त संबंध \(\varnothing\) तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a+b) सम हो। यह संबंध कौन सा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

पूर्णांकों पर (aRb) तब है जब (a+b) विषम हो। यह तुल्यता संबंध क्यों नहीं है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समुच्चय \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) पर (|a|=|b|) से बने संबंध में (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

समतल में बिंदुओं पर संबंध (P R Q) तब है जब (P) और (Q) का (x)-निर्देशांक समान हो। यह संबंध कैसा है?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि कोई तुल्यता संबंध किसी समुच्चय को ({1,4},{2,5},{3,6}) में बाँटता है, तो (4) का तुल्यता वर्ग क्या होगा?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

किस विकल्प में दिए गए वर्ग समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) का सही विभाजन बनाते हैं?

Concept

Why this answer is correct

Exam Tip

यदि (R) समुच्चय (A) पर तुल्यता संबंध है और (aRb), तो (a) और (b) के तुल्यता वर्गों के बारे में क्या सही है?

Concept

Why this answer is correct