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A. अंत में सामान्य गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास बनाना/To create contradiction when a common factor appears later
Step 1
Concept
In lowest form (\gcd(a,b)=1). Later both becoming even contradicts this condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अंत में सामान्य गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास बनाना / To create contradiction when a common factor appears later. In lowest form (\gcd(a,b)=1). Later both becoming even contradicts this condition.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (\gcd(a,b)=1) होता है। बाद में दोनों सम मिलना इसी शर्त से टकराता है।
A. क्योंकि वर्ग संबंध से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है/Because the square relation only gives \(a^2\) even and then (a) even
Step 1
Concept
While taking square root \(\sqrt{2b^2}\) cannot be written as (2b). The correct step is (a=2k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि वर्ग संबंध से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है / Because the square relation only gives \(a^2\) even and then (a) even. While taking square root \(\sqrt{2b^2}\) cannot be written as (2b). The correct step is (a=2k).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल लेते समय \(\sqrt{2b^2}\) को (2b) नहीं लिख सकते। सही कदम (a=2k) है।
A. पहले \(x^2\) का (3) से विभाज्य होना और फिर (x=3k) लिखना चाहिए/First show \(x^2\) is divisible by (3) and then write (x=3k)
Step 1
Concept
\(x^2=3y^2\) does not directly give (x=3y). Prime divisibility gives (x=3k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले \(x^2\) का (3) से विभाज्य होना और फिर (x=3k) लिखना चाहिए / First show \(x^2\) is divisible by (3) and then write (x=3k). \(x^2=3y^2\) does not directly give (x=3y). Prime divisibility gives (x=3k).
Step 3
Exam Tip
\(x^2=3y^2\) से सीधे (x=3y) नहीं मिलता। अभाज्य विभाज्यता से (x=3k) मिलता है।
A. क्योंकि सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं देता/Because only (a) being even does not give contradiction
Step 1
Concept
The contradiction forms when both (a) and (b) are even. Then they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं देता / Because only (a) being even does not give contradiction. The contradiction forms when both (a) and (b) are even. Then they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास तब बनता है जब (a) और (b) दोनों सम हों। दोनों सम होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा/Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q)
Step 1
Concept
Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा / Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q). Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तो सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. क्योंकि दाएँ पक्ष का सम होना \(a^2\) के बारे में बताता है/Because the even right side tells about \(a^2\)
Step 1
Concept
From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is proved even. \(b^2\) even is obtained only after taking (a=2k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि दाएँ पक्ष का सम होना \(a^2\) के बारे में बताता है / Because the even right side tells about \(a^2\). From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is proved even. \(b^2\) even is obtained only after taking (a=2k).
Step 3
Exam Tip
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम सिद्ध होता है। \(b^2\) सम (a=2k) रखने के बाद मिलता है।
A. क्योंकि पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3r) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3r) must be used
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) first gives divisibility of \(p^2\). \(q^2=3r^2\) comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3r) रखना पड़ता है / Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3r) must be used. \(p^2=3q^2\) first gives divisibility of \(p^2\). \(q^2=3r^2\) comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
\(p^2=3q^2\) पहले \(p^2\) की विभाज्यता देता है। \(q^2=3r^2\) बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है।
A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है/Coprime numbers have common factor (1) only
Step 1
Concept
In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है / Coprime numbers have common factor (1) only. In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होगा।
A. क्योंकि फिर (\gcd(p,q)\ge3) होगा/Because then (\gcd(p,q)\ge3)
Step 1
Concept
In lowest form (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि फिर (\gcd(p,q)\ge3) होगा / Because then (\gcd(p,q)\ge3). In lowest form (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है।
A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है/From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained
Step 1
Concept
When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है / From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained. When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलने पर \(\frac{a}{b}\) को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न के विचार के विरुद्ध है।
A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है / From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained. If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य हों तो भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप संभव नहीं है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है/In a perfect square the exponent of (2) is even
Step 1
Concept
In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है / In a perfect square the exponent of (2) is even. In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2b^2\) में (2) की घात विषम बनने से विरोधाभास समझ आता है।
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is a perfect square. But the right side can make the exponent of (3) odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square the exponent of (3) must be even. In \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is a perfect square. But the right side can make the exponent of (3) odd.
Step 3
Exam Tip
\(a^2=3b^2\) में \(a^2\) पूर्ण वर्ग है। पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है।
A. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम/\(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even
Step 1
Concept
After substitution \(b^2=2k^2\) is obtained. Hence \(b^2\) is even and then (b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम / \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even. After substitution \(b^2=2k^2\) is obtained. Hence \(b^2\) is even and then (b) is even.
Step 3
Exam Tip
प्रतिस्थापन के बाद \(b^2=2k^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) सम और फिर (b) सम है।
A. \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) (3) से विभाज्य/\(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) divisible by (3)
Step 1
Concept
Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) (3) से विभाज्य / \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) divisible by (3). Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है।
Only (a) being even does not show a common factor. For contradiction (b) must also be even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (a) सम है / Only (a) is even. Only (a) being even does not show a common factor. For contradiction (b) must also be even.
Step 3
Exam Tip
केवल (a) सम होना सामान्य गुणनखंड नहीं दिखाता। विरोधाभास के लिए (b) भी सम होना चाहिए।
A. केवल (p) (3) से विभाज्य है/Only (p) is divisible by (3)
Step 1
Concept
Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. केवल (p) (3) से विभाज्य है / Only (p) is divisible by (3). Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य चाहिए।
A. भिन्न (2) से घट सकती है इसलिए वह सरलतम नहीं रहती/The fraction can be reduced by (2), so it is not lowest
Step 1
Concept
If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न (2) से घट सकती है इसलिए वह सरलतम नहीं रहती / The fraction can be reduced by (2), so it is not lowest. If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड है। सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता।
A. वह (3) से घटाई जा सकती है इसलिए सरलतम नहीं है/It can be reduced by (3), so it is not lowest
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the lowest-form assumption becomes false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वह (3) से घटाई जा सकती है इसलिए सरलतम नहीं है / It can be reduced by (3), so it is not lowest. Both have common factor (3). Therefore the lowest-form assumption becomes false.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता गलत होती है।
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है / \(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction. Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction
Step 1
Concept
\(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है / \(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction. \(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है। (\gcd(p,q)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास देता है।
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge2) cannot both hold
Step 1
Concept
Being coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge2) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge2) cannot both hold. Being coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों सम होने से वह कम से कम (2) होगा।
A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge3) cannot both hold
Step 1
Concept
Coprime means (\gcd(p,q)=1). Both divisible by (3) means (\gcd(p,q)\ge3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge3) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge3) cannot both hold. Coprime means (\gcd(p,q)=1). Both divisible by (3) means (\gcd(p,q)\ge3).
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य होने से (\gcd(p,q)=1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा।
A. दोनों में परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है/Both use rational assumption and contradiction from coprime fraction
Step 1
Concept
Both proofs have the same structure. The difference is only the prime factors (2) and (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है / Both use rational assumption and contradiction from coprime fraction. Both proofs have the same structure. The difference is only the prime factors (2) and (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है। फर्क केवल (2) और (3) के अभाज्य गुणनखंड का है।
A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है/\(a^2\) should be odd but \(2b^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is always even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है / \(a^2\) should be odd but \(2b^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is always even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(2b^2\) हमेशा सम है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible
Step 1
Concept
If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है / \(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible. If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
Step 3
Exam Tip
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। पर \(p^2=3q^2\) उसे विभाज्य दिखाता है।
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
This is the standard order of the proof. In the final step both being even contradicts coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Rational assumption \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction. This is the standard order of the proof. In the final step both being even contradicts coprime condition.
Step 3
Exam Tip
यही प्रमाण का मानक क्रम है। अंतिम चरण में दोनों सम होना सहभाज्य शर्त से विरोध करता है।
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) (\righta
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), the full chain of divisibility by (3) is needed. Finally the coprime condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Rational assumption \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) (\righta. For \(\sqrt{3}\), the full chain of divisibility by (3) is needed. Finally the coprime condition breaks.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की पूरी श्रृंखला चाहिए। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. दोनों सम मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). This condition is necessary for the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा / A decisive contradiction will not form when both become even. Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). This condition is necessary for the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। यही शर्त अंतिम विरोधाभास के लिए जरूरी है।
A. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Step 1
Concept
If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\) / While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\). If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) का गुणनखंड होने से (\gcd(a,b)\ge2) हो जाता है। यह (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है।
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Step 1
Concept
If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts the coprime condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\) / While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\). If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts the coprime condition.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है।
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (2) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (2)
Step 1
Concept
In a perfect square prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) can make the exponent odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (2) की घात विषम हो सकती है / The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (2). In a perfect square prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) can make the exponent odd.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) घात को विषम बना सकता है।
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (3)
Step 1
Concept
In a perfect square every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है / The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (3). In a perfect square every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण है।
A. दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है/Decimal approximation is not a proof
Step 1
Concept
A decimal value can only approximate. In exams write the contradiction and coprime fraction argument.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है / Decimal approximation is not a proof. A decimal value can only approximate. In exams write the contradiction and coprime fraction argument.
Step 3
Exam Tip
दशमलव मान केवल अनुमान दे सकता है। परीक्षा में विरोधाभास और सहभाज्य भिन्न का तर्क लिखें।
A. अनुमान से पूर्ण प्रमाण नहीं मिलता/Approximation does not give a complete proof
Step 1
Concept
Irrationality needs exact reasoning. Use divisibility by (3) and contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनुमान से पूर्ण प्रमाण नहीं मिलता / Approximation does not give a complete proof. Irrationality needs exact reasoning. Use divisibility by (3) and contradiction.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता के लिए सटीक तर्क चाहिए। (3) से विभाज्यता और विरोधाभास का प्रयोग करें।
A. \(a^2\) सम से (b) सम सीधे लिखना/Writing (b) even directly from \(a^2\) even
Step 1
Concept
From \(a^2\) even, only (a) even follows first. (b) even comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) सम से (b) सम सीधे लिखना / Writing (b) even directly from \(a^2\) even. From \(a^2\) even, only (a) even follows first. (b) even comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\) सम होने से पहले केवल (a) सम मिलता है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है।
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य से (q) (3) से विभाज्य सीधे लिखना/Writing (q) divisible by (3) directly from \(p^2\) divisible by (3)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3). The conclusion for (q) comes after taking (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p^2\) (3) से विभाज्य से (q) (3) से विभाज्य सीधे लिखना / Writing (q) divisible by (3) directly from \(p^2\) divisible by (3). First (p) is proved divisible by (3). The conclusion for (q) comes after taking (p=3r).
Step 3
Exam Tip
पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (q) का निष्कर्ष (p=3r) रखने के बाद आता है।
A. पहले (a) और फिर (b) दोनों में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Step 1
Concept
\(a^2=2b^2\) gives (a) even and then (b) even. Thus (2) becomes common in both.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (a) और फिर (b) दोनों में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (2) is proved first in (a) and then in (b). \(a^2=2b^2\) gives (a) even and then (b) even. Thus (2) becomes common in both.
Step 3
Exam Tip
\(a^2=2b^2\) से (a) सम और फिर (b) सम मिलता है। इसलिए (2) दोनों में सामान्य हो जाता है।
A. पहले (p) और फिर (q) दोनों में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) gives (p) divisible by (3) and then (q) also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (p) और फिर (q) दोनों में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (3) is proved first in (p) and then in (q). \(p^2=3q^2\) gives (p) divisible by (3) and then (q) also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य और फिर (q) भी (3) से विभाज्य मिलता है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator even
Step 1
Concept
Both becoming even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / \(\sqrt{2}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator even. Both becoming even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator divisible by (3)
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator divisible by (3). If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है।
A. शुरुआत में उन्हें सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/At the beginning they should be taken coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both even is not the assumption but the contradiction. At the start (\gcd(a,b)=1) should be assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शुरुआत में उन्हें सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए / At the beginning they should be taken coprime in lowest form. Both even is not the assumption but the contradiction. At the start (\gcd(a,b)=1) should be assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण का निष्कर्ष नहीं बल्कि विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(a,b)=1) मानना चाहिए।
A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए/At the start (p,q) should be coprime
Step 1
Concept
Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए / At the start (p,q) should be coprime. Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। उसे शुरुआत में नहीं मानते।
A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form
Step 1
Concept
If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें / While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form. If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप नहीं लिखेंगे तो अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा। यही प्रमाण की प्रमुख शर्त है।
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction arises from the rational assumption. Therefore that assumption is rejected.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. The contradiction arises from the rational assumption. Therefore that assumption is rejected.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकलता है। इसलिए वही मान्यता अस्वीकार होती है।
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction is obtained by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. The contradiction is obtained by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है।
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{r}{s}\) में घटाया जा सकता है, इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव था/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{r}{s}\), so the initial lowest form was impossible
Step 1
Concept
Since both have common factor (2), the fraction can be reduced. This contradicts the coprime lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{r}{s}\) में घटाया जा सकता है, इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव था / \(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{r}{s}\), so the initial lowest form was impossible. Since both have common factor (2), the fraction can be reduced. This contradicts the coprime lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) होने से भिन्न घट सकती है। यह सहभाज्य सरलतम रूप से विरोधाभास है।
\(\sqrt{2}\) के विरोधाभास प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) और (\gcd(a,b)=1) मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिलता है। निर्णायक पहला विभाज्यता निष्कर्ष कौन-सा है?
\(a^2\) is even, so (a) is even. In exams, first write the evenness of the numerator.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (a) (2) से विभाज्य है / (a) is divisible by (2). \(a^2\) is even, so (a) is even. In exams, first write the evenness of the numerator.
Step 3
Exam Tip
\(a^2\) सम है इसलिए (a) सम होगा। परीक्षा में पहले अंश की समता लिखें।
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
If prime (3) divides a square, it divides the number too. This is the basis for (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. If prime (3) divides a square, it divides the number too. This is the basis for (p=3r).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। यही (p=3r) का आधार है।
\(m^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. Therefore (m) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (m) (3) से विभाज्य है / (m) is divisible by (3). \(m^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. Therefore (m) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(m^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है। इसलिए (m) भी (3) से विभाज्य होगा।
C. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम/\(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even
Step 1
Concept
Simplifying gives \(b^2=2k^2\). Hence \(b^2\) is even and (b) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम / \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even. Simplifying gives \(b^2=2k^2\). Hence \(b^2\) is even and (b) is even.
Step 3
Exam Tip
सरल करने पर \(b^2=2k^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) सम और (b) सम होता है।
A. क्योंकि विरोधाभास के लिए (b) भी सम सिद्ध होना चाहिए/Because (b) must also be proved even for contradiction
Step 1
Concept
Only (a) being even does not break the coprime condition. Both (a) and (b) must be even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि विरोधाभास के लिए (b) भी सम सिद्ध होना चाहिए / Because (b) must also be proved even for contradiction. Only (a) being even does not break the coprime condition. Both (a) and (b) must be even.
Step 3
Exam Tip
केवल (a) सम होने से सहभाज्य शर्त नहीं टूटती। दोनों (a) और (b) सम होने चाहिए।
A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए/Because first (r) and then (s) must both be proved even
Step 1
Concept
The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए / Because first (r) and then (s) must both be proved even. The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास सरलतम भिन्न से तभी बनता है जब अंश और हर दोनों में (2) सामान्य हो। केवल \(r^2\) सम होना मध्य चरण है।
C. (\gcd(a,b)\ge2), जो सरलतम रूप से विरोधाभास है/(\gcd(a,b)\ge2), which contradicts lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (2). Therefore (\gcd(a,b)=1) cannot remain true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\gcd(a,b)\ge2), जो सरलतम रूप से विरोधाभास है / (\gcd(a,b)\ge2), which contradicts lowest form. Both have common factor (2). Therefore (\gcd(a,b)=1) cannot remain true.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(a,b)=1) नहीं रह सकता।
C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold
Step 1
Concept
Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold. Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य है, इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
B. क्योंकि \(a^2=2b^2\) पहले \(a^2\) की समता बताता है/Because \(a^2=2b^2\) first shows evenness of \(a^2\)
Step 1
Concept
This equation first proves (a) even. (b) is proved even only after putting (a=2k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि \(a^2=2b^2\) पहले \(a^2\) की समता बताता है / Because \(a^2=2b^2\) first shows evenness of \(a^2\). This equation first proves (a) even. (b) is proved even only after putting (a=2k).
Step 3
Exam Tip
इस समीकरण से पहले (a) सम सिद्ध होता है। (b) सम (a=2k) रखने के बाद सिद्ध होता है।
A. पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किए बिना हर पर निष्कर्ष लगाना/Concluding about the denominator before proving (p) divisible by (3)
Step 1
Concept
First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then (q) follows after taking (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किए बिना हर पर निष्कर्ष लगाना / Concluding about the denominator before proving (p) divisible by (3). First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then (q) follows after taking (p=3r).
Step 3
Exam Tip
पहले \(p^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। फिर (p=3r) रखकर (q) का निष्कर्ष आता है।
A. \(a^2\) सम है इसलिए (a=2k) लिखें/\(a^2\) is even, so write (a=2k)
Step 1
Concept
The square relation does not directly give (a=2b). The correct step is proving (a) even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) सम है इसलिए (a=2k) लिखें / \(a^2\) is even, so write (a=2k). The square relation does not directly give (a=2b). The correct step is proving (a) even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही कदम (a) को सम सिद्ध करना है।
C. (r) सम सिद्ध करके (r=2t) रखने के बाद/After proving (r) even and taking (r=2t)
Step 1
Concept
First (r) even follows from \(r^2\). Then taking (r=2t) gives \(s^2=2t^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (r) सम सिद्ध करके (r=2t) रखने के बाद / After proving (r) even and taking (r=2t). First (r) even follows from \(r^2\). Then taking (r=2t) gives \(s^2=2t^2\).
Step 3
Exam Tip
पहले \(r^2\) से (r) सम मिलता है। फिर (r=2t) रखने पर \(s^2=2t^2\) मिलता है।
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3r) लिखें/\(p^2\) is divisible by (3), so write (p=3r)
Step 1
Concept
The square relation does not directly give (p=3q). Prime divisibility gives (p=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3r) लिखें / \(p^2\) is divisible by (3), so write (p=3r). The square relation does not directly give (p=3q). Prime divisibility gives (p=3r).
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। अभाज्य विभाज्यता से (p=3r) मिलता है।
A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)
Step 1
Concept
First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\) / \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\). First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
Step 3
Exam Tip
पहले (m) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (m=3k) रखने के बाद ही (n) के लिए निष्कर्ष मिलता है।
B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained
Step 1
Concept
If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है / From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained. If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न की मान्यता के विरुद्ध है।
A. भिन्न को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है/The fraction can be reduced by (2) to form a smaller equal fraction
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradicts this idea.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है / The fraction can be reduced by (2) to form a smaller equal fraction. A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradicts this idea.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी विचार से विरोधाभास है।
A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है/From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है / From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed. If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप असंभव है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Step 1
Concept
Both being even contradicts lowest coprime form. Therefore \(\sqrt{2}\) cannot be rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं / \(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even. Both being even contradicts lowest coprime form. Therefore \(\sqrt{2}\) cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं हो सकती।
A. क्योंकि अनुमान सटीक तर्क नहीं देता/Because approximation does not give exact reasoning
Step 1
Concept
Irrationality is proved by exact contradiction. In exams, write the coprime fraction argument.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि अनुमान सटीक तर्क नहीं देता / Because approximation does not give exact reasoning. Irrationality is proved by exact contradiction. In exams, write the coprime fraction argument.
Step 3
Exam Tip
अपरिमेयता सटीक विरोधाभास से सिद्ध होती है। परीक्षा में सहभाज्य भिन्न वाला तर्क लिखें।
A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता/It does not give a complete proof
Step 1
Concept
Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता / It does not give a complete proof. Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
Step 3
Exam Tip
अनुमान केवल निकट मान देता है। प्रमाण के लिए (3) से विभाज्यता और विरोधाभास जरूरी है।
A. \(a^2\) सम \(\Rightarrow a\) सम, फिर (a=2k) से (b) सम/\(a^2\) even \(\Rightarrow a\) even, then (a=2k) gives (b) even
Step 1
Concept
The order of steps is very important. (b) even comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) सम \(\Rightarrow a\) सम, फिर (a=2k) से (b) सम / \(a^2\) even \(\Rightarrow a\) even, then (a=2k) gives (b) even. The order of steps is very important. (b) even comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में चरणों का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से आता है।
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow p\) (3) से विभाज्य, फिर (p=3r) से (q) (3) से विभाज्य/\(p^2\) divisible by \(3\Rightarrow p\) divisible by (3), then (p=3r) gives (q) divisible by (3)
Step 1
Concept
Divisibility is first proved for (p). The conclusion for (q) comes later by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(p^2\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow p\) (3) से विभाज्य, फिर (p=3r) से (q) (3) से विभाज्य / \(p^2\) divisible by \(3\Rightarrow p\) divisible by (3), then (p=3r) gives (q) divisible by (3). Divisibility is first proved for (p). The conclusion for (q) comes later by substitution.
Step 3
Exam Tip
पहले (p) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (q) का निष्कर्ष बाद में प्रतिस्थापन से आता है।
A. पहले (a) में और फिर (b) में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Step 1
Concept
In the proof, (2) becomes a common factor of both. This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (a) में और फिर (b) में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (2) is proved first in (a) and then in (b). In the proof, (2) becomes a common factor of both. This contradicts (\gcd(a,b)=1).
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड बनता है। यही (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है।
B. पहले (p) में और फिर (q) में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Step 1
Concept
In the end, (3) is common in both (p) and (q). This breaks the lowest form condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पहले (p) में और फिर (q) में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है / Factor (3) is proved first in (p) and then in (q). In the end, (3) is common in both (p) and (q). This breaks the lowest form condition.
Step 3
Exam Tip
अंत में (p) और (q) दोनों में (3) सामान्य होता है। इससे सरलतम रूप की शर्त टूटती है।
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Step 1
Concept
A lowest form cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. माना गया सरलतम रूप असंभव था / The assumed lowest form was impossible. A lowest form cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है।
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. माना गया सरलतम रूप असंभव था / The assumed lowest form was impossible. A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है।
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है।
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, get coprime contradiction through a prime factor
Step 1
Concept
Both proofs have the same framework. The only difference is the factor (2) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना, वर्ग करना, अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना / Assume rational, square, get coprime contradiction through a prime factor. Both proofs have the same framework. The only difference is the factor (2) or (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाणों का ढांचा समान है। फर्क केवल (2) और (3) के गुणनखंड का है।
C. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) है/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Step 1
Concept
This is a wrong shortcut while taking square roots. The correct reasoning uses parity.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) है / From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b). This is a wrong shortcut while taking square roots. The correct reasoning uses parity.
Step 3
Exam Tip
यह वर्गमूल निकालने की गलत जल्दबाजी है। सही तर्क समता से चलता है।
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption conflicts with the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. The rational assumption conflicts with the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
B. \(n^2=3u^2\) इसलिए \(3\mid n\)/\(n^2=3u^2\), so \(3\mid n\)
Step 1
Concept
After substitution \(9u^2=3n^2\) is formed. This gives \(n^2=3u^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(n^2=3u^2\) इसलिए \(3\mid n\) / \(n^2=3u^2\), so \(3\mid n\). After substitution \(9u^2=3n^2\) is formed. This gives \(n^2=3u^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
प्रतिस्थापन के बाद \(9u^2=3n^2\) बनता है। इससे \(n^2=3u^2\) और फिर (n) (3) से विभाज्य है।
A. \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) सम \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) सम/\(x^2=2y^2\Rightarrow x\) even \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) even
Step 1
Concept
The evenness of numerator comes first. Then the evenness of denominator is proved by substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) सम \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) सम / \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) even \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) even. The evenness of numerator comes first. Then the evenness of denominator is proved by substitution.
Step 3
Exam Tip
पहले अंश की समता आती है। फिर प्रतिस्थापन से हर की समता सिद्ध होती है।
A. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष निकालना/Taking a wrong linear conclusion from a squared equation
Step 1
Concept
A squared relation does not directly give a linear relation. The correct conclusion is that (x) is even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष निकालना / Taking a wrong linear conclusion from a squared equation. A squared relation does not directly give a linear relation. The correct conclusion is that (x) is even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही निष्कर्ष (x) का सम होना है।
A. क्योंकि सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं/Because the correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q)
Step 1
Concept
Seeing factor (3) in \(p^2\) proves (p) is divisible by (3). It does not force (p=3q).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं / Because the correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q). Seeing factor (3) in \(p^2\) proves (p) is divisible by (3). It does not force (p=3q).
Step 3
Exam Tip
\(p^2\) में (3) का गुणनखंड देखकर (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। इससे (p=3q) जरूरी नहीं है।
A. \(\frac{x}{y}\) सरलतम रूप में थी/\(\frac{x}{y}\) was in lowest form
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. Both even makes this assumption false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{x}{y}\) सरलतम रूप में थी / \(\frac{x}{y}\) was in lowest form. A lowest fraction cannot be reduced further. Both even makes this assumption false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी मान्यता को गलत करता है।
A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the initial lowest form is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). Therefore the initial lowest form is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. This explains the conflict from the extra (2) in \(2y^2\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (2) must be even. In a perfect square, prime exponents are even. This explains the conflict from the extra (2) in \(2y^2\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। यही \(2y^2\) में अतिरिक्त (2) से विरोध को समझाता है।
B. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, all prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (3) must be even. In a perfect square, all prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है।
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, विरोधाभास (\gcd(m,n)=1) से आता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, contradiction comes from (\gcd(m,n)=1)
Step 1
Concept
Non-zero denominator is a condition for fraction. The coprime condition breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, विरोधाभास (\gcd(m,n)=1) से आता है / \(n\neq0\) keeps the fraction defined, contradiction comes from (\gcd(m,n)=1). Non-zero denominator is a condition for fraction. The coprime condition breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना भिन्न की शर्त है। दोनों (3) से विभाज्य होने पर सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The contradiction rejects the rational assumption. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational. The contradiction rejects the rational assumption. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए विपरीत कथन अपरिमेयता सही है।
A. यह सटीक विरोधाभास देता है/It gives an exact contradiction
Step 1
Concept
Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह सटीक विरोधाभास देता है / It gives an exact contradiction. Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
Step 3
Exam Tip
दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है। सहभाज्य भिन्न वाला तर्क अपरिमेयता को निश्चित रूप से सिद्ध करता है।
A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है/Because divisibility reasoning gives a complete proof
Step 1
Concept
Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है / Because divisibility reasoning gives a complete proof. Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
Step 3
Exam Tip
अनुमान केवल निकट मान देता है। (3) से विभाज्यता और सहभाज्य विरोधाभास सही प्रमाण हैं।
A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है/In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction
Step 1
Concept
Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है / In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction. Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। फर्क केवल सामान्य बनने वाला अभाज्य (2) या (3) है।
A. \(\frac{r}{s}\) (2) से घट सकती है/\(\frac{r}{s}\) can be reduced by (2)
Step 1
Concept
Both have common factor (2). Therefore the fraction cannot be in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{r}{s}\) (2) से घट सकती है / \(\frac{r}{s}\) can be reduced by (2). Both have common factor (2). Therefore the fraction cannot be in lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती।
B. \(\frac{m}{n}\) (3) से घट सकती है/\(\frac{m}{n}\) can be reduced by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore it cannot be a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\frac{m}{n}\) (3) से घट सकती है / \(\frac{m}{n}\) can be reduced by (3). Both have common factor (3). Therefore it cannot be a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए यह सरलतम भिन्न नहीं हो सकती।
A. सरलतम सहभाज्य रूप लिखे बिना अंतिम विरोधाभास लिख देना/Writing final contradiction without stating lowest coprime form
Step 1
Concept
Lowest form is the basis of contradiction. If omitted, the proof may look incomplete.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सरलतम सहभाज्य रूप लिखे बिना अंतिम विरोधाभास लिख देना / Writing final contradiction without stating lowest coprime form. Lowest form is the basis of contradiction. If omitted, the proof may look incomplete.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही विरोधाभास का आधार है। इसे छोड़ा तो प्रमाण अधूरा लग सकता है।
B. जब (c) और (d) दोनों सम सिद्ध होते हैं/When both (c) and (d) are proved even
Step 1
Concept
If both are even, (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts (\gcd(c,d)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. जब (c) और (d) दोनों सम सिद्ध होते हैं / When both (c) and (d) are proved even. If both are even, (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts (\gcd(c,d)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने पर (\gcd(c,d)\ge2) होगा। यही (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास देता है।
A. क्योंकि \(h^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(h^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
If prime (3) divides \(h^2\), it also divides (h). Therefore (h=3r) is written.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि \(h^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(h^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. If prime (3) divides \(h^2\), it also divides (h). Therefore (h=3r) is written.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) यदि \(h^2\) को विभाजित करे तो (h) को भी विभाजित करता है। इसलिए (h=3r) लिखा जाता है।
A. पहले (c) सम और फिर (c=2u) रखना जरूरी है/First (c) even and then (c=2u) must be used
Step 1
Concept
\(c^2=2d^2\) first shows evenness of \(c^2\). Evenness of (d) comes after substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पहले (c) सम और फिर (c=2u) रखना जरूरी है / First (c) even and then (c=2u) must be used. \(c^2=2d^2\) first shows evenness of \(c^2\). Evenness of (d) comes after substitution.
Step 3
Exam Tip
\(c^2=2d^2\) पहले \(c^2\) की समता दिखाता है। (d) की समता प्रतिस्थापन के बाद मिलती है।
A. क्योंकि पहले (h) (3) से विभाज्य सिद्ध कर (h=3r) रखना पड़ता है/Because first (h) must be proved divisible by (3) and written as (h=3r)
Step 1
Concept
The first conclusion is about (h). The conclusion about (k) comes after taking (h=3r).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि पहले (h) (3) से विभाज्य सिद्ध कर (h=3r) रखना पड़ता है / Because first (h) must be proved divisible by (3) and written as (h=3r). The first conclusion is about (h). The conclusion about (k) comes after taking (h=3r).
Step 3
Exam Tip
पहला निष्कर्ष (h) के लिए होता है। (k) का निष्कर्ष (h=3r) रखने के बाद आता है।
The square relation does not directly give (c=2d). The correct reasoning goes from \(c^2\) even to (c) even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(c^2=2d^2\Rightarrow c=2d\). The square relation does not directly give (c=2d). The correct reasoning goes from \(c^2\) even to (c) even.
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (c=2d) नहीं मिलता। सही तर्क \(c^2\) सम से (c) सम तक जाता है।
A. \(c^2\) विषम होना चाहिए पर \(2d^2\) सम है/\(c^2\) should be odd but \(2d^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2d^2\) is always even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(c^2\) विषम होना चाहिए पर \(2d^2\) सम है / \(c^2\) should be odd but \(2d^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2d^2\) is always even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। पर \(2d^2\) हमेशा सम है।
C. \(h^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(h^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Step 1
Concept
If (h) has no factor (3), then \(h^2\) also has no factor (3). The equation says the opposite.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(h^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है / \(h^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible. If (h) has no factor (3), then \(h^2\) also has no factor (3). The equation says the opposite.
Step 3
Exam Tip
यदि (h) में (3) नहीं है तो \(h^2\) में भी (3) नहीं होगा। समीकरण इसके विपरीत बताता है।
A. \(\frac{c}{d}\) को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है/\(\frac{c}{d}\) can be reduced by (2) to get a smaller equal fraction
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradict this.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{c}{d}\) को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है / \(\frac{c}{d}\) can be reduced by (2) to get a smaller equal fraction. A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradict this.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी से विरोधाभास है।
A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाया जा सकता है/\(\frac{h}{k}\) can be reduced by (3)
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the assumed lowest fraction is impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाया जा सकता है / \(\frac{h}{k}\) can be reduced by (3). Both have common factor (3). Therefore the assumed lowest fraction is impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए मानी गई सरलतम भिन्न असंभव है।
A. (\gcd(c,d)=1) होते हुए \(2\mid c\) और \(2\mid d\)/While (\gcd(c,d)=1), \(2\mid c\) and \(2\mid d\)
Step 1
Concept
If both have factor (2), then (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(c,d)=1) होते हुए \(2\mid c\) और \(2\mid d\) / While (\gcd(c,d)=1), \(2\mid c\) and \(2\mid d\). If both have factor (2), then (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) होने से (\gcd(c,d)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
C. (\gcd(h,k)=1) होते हुए \(3\mid h\) और \(3\mid k\)/While (\gcd(h,k)=1), \(3\mid h\) and \(3\mid k\)
Step 1
Concept
If both have factor (3), then (\gcd(h,k)\ge3). This contradicts (\gcd(h,k)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (\gcd(h,k)=1) होते हुए \(3\mid h\) और \(3\mid k\) / While (\gcd(h,k)=1), \(3\mid h\) and \(3\mid k\). If both have factor (3), then (\gcd(h,k)\ge3). This contradicts (\gcd(h,k)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) का गुणनखंड है तो (\gcd(h,k)\ge3) होगा। यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है।
B. \(d\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(c,d)=1) विरोधाभास का आधार है/\(d\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(c,d)=1) is the basis of contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(d\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(c,d)=1) विरोधाभास का आधार है / \(d\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(c,d)=1) is the basis of contradiction. Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
C. \(k\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(h,k)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(k\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(h,k)=1) gives final contradiction
Step 1
Concept
\(k\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(h,k)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(k\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(h,k)=1) अंतिम विरोधाभास देता है / \(k\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(h,k)=1) gives final contradiction. \(k\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(h,k)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(k\neq0\) परिमेय भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(h,k)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) सम \(\rightarrow\) (d) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) even \(\rightarrow\) (d) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
This is the standard order of contradiction proof. Each step depends on the previous step.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) सम \(\rightarrow\) (d) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) even \(\rightarrow\) (d) even \(\rightarrow\) contradiction. This is the standard order of contradiction proof. Each step depends on the previous step.
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास प्रमाण का मानक क्रम है। हर चरण पिछले चरण पर निर्भर करता है।
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (k) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) divisible by (3) \(\rightarrow\) (k) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Step 1
Concept
In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain of divisibility by (3) is necessary. Finally the coprime condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (k) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) divisible by (3) \(\rightarrow\) (k) divisible by (3) \(\rightarrow\). In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain of divisibility by (3) is necessary. Finally the coprime condition breaks.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला जरूरी है। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है।
A. दोनों सम होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(c,d)=1). Without it, both even does not become the final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम होने पर विरोधाभास / Contradiction when both are even. Lowest form gives (\gcd(c,d)=1). Without it, both even does not become the final contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(c,d)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना अंतिम विरोधाभास नहीं बनता।
B. दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are divisible by (3)
Step 1
Concept
Lowest form makes (h) and (k) coprime. Only then both divisible by (3) is a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास / Contradiction when both are divisible by (3). Lowest form makes (h) and (k) coprime. Only then both divisible by (3) is a contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप से (h) और (k) सहभाज्य होते हैं। तभी दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास है।
A. क्योंकि शुरुआत में (c,d) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because (c,d) should initially be coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both even is the derived contradiction in the proof. It should not be the initial assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि शुरुआत में (c,d) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए / Because (c,d) should initially be coprime in lowest form. Both even is the derived contradiction in the proof. It should not be the initial assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत की मान्यता नहीं बनाते।
C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because initially (h,k) should be coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए / Because initially (h,k) should be coprime in lowest form. Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(h,k)=1) माना जाता है।
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Step 1
Concept
A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. माना गया सरलतम रूप असंभव था / The assumed lowest form was impossible. A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है।
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है।
A. परिमेय मानना, वर्ग करना और सामान्य अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, and get coprime contradiction using a common prime factor
Step 1
Concept
Both proofs use contradiction. The only difference is the central prime (2) or (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना, वर्ग करना और सामान्य अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना / Assume rational, square, and get coprime contradiction using a common prime factor. Both proofs use contradiction. The only difference is the central prime (2) or (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर चलते हैं। अंतर केवल केंद्रीय अभाज्य (2) और (3) का है।
A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Dividing both by (2) is possible only when (2) is a common factor. This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Dividing both by (2) is possible only when (2) is a common factor. This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों को (2) से भाग देना तभी संभव है जब (2) सामान्य गुणनखंड हो। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
C. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the initially assumed lowest form becomes impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी / The assumed fraction was not in lowest form. Both have common factor (3). Therefore the initially assumed lowest form becomes impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए शुरुआत में माना गया सरलतम रूप असंभव हो जाता है।
To prove (d) even, (c=2u) must be substituted first. In exams, do not write denominator even directly.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (d) भी सम है / (d) is also even. To prove (d) even, (c=2u) must be substituted first. In exams, do not write denominator even directly.
Step 3
Exam Tip
(d) सम सिद्ध करने के लिए (c=2u) रखकर आगे काम करना पड़ता है। परीक्षा में हर की समता सीधे न लिखें।
A. परिभाषात्मक प्रतिस्थापन/Definitional substitution
Step 1
Concept
A number divisible by (3) can be written as (3r). This later proves divisibility of (k).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिभाषात्मक प्रतिस्थापन / Definitional substitution. A number divisible by (3) can be written as (3r). This later proves divisibility of (k).
Step 3
Exam Tip
किसी संख्या के (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि उसे (3r) लिखा जा सकता है। इससे आगे (k) की विभाज्यता सिद्ध होती है।
If both have common factor (2), the fraction reduces to \(\frac{u}{v}\). So the old form was not lowest.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{c}{d}=\frac{u}{v}\). If both have common factor (2), the fraction reduces to \(\frac{u}{v}\). So the old form was not lowest.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) सामान्य होने पर भिन्न घटकर \(\frac{u}{v}\) बनती है। इसलिए पुराना रूप सरलतम नहीं था।
C. वह टूट जाती है क्योंकि (3) सामान्य गुणनखंड है/It breaks because (3) is a common factor
Step 1
Concept
In a lowest fraction, numerator and denominator are coprime. Having (3) in both contradicts this condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. वह टूट जाती है क्योंकि (3) सामान्य गुणनखंड है / It breaks because (3) is a common factor. In a lowest fraction, numerator and denominator are coprime. Having (3) in both contradicts this condition.
Step 3
Exam Tip
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों में (3) होना इस शर्त के विरुद्ध है।
A. (h) अनिवार्य रूप से (3) का गुणज है/(h) is necessarily a multiple of (3)
Step 1
Concept
Since \(3\mid h^2\) and (3) is prime, \(3\mid h\). \(9\mid h\) is not necessary.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (h) अनिवार्य रूप से (3) का गुणज है / (h) is necessarily a multiple of (3). Since \(3\mid h^2\) and (3) is prime, \(3\mid h\). \(9\mid h\) is not necessary.
Step 3
Exam Tip
\(3\mid h^2\) और (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid h\)। \(9\mid h\) जरूरी नहीं है।
A. हर बार भिन्न को (2) से घटाया जा सकेगा/The fraction can be reduced by (2) again
Step 1
Concept
If even a lowest fraction reduces, smaller fractions would keep appearing. This rejects the possibility of a lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. हर बार भिन्न को (2) से घटाया जा सकेगा / The fraction can be reduced by (2) again. If even a lowest fraction reduces, smaller fractions would keep appearing. This rejects the possibility of a lowest form.
Step 3
Exam Tip
यदि सरलतम भिन्न भी घटे, तो और छोटी भिन्न मिलती रहेगी। यह सरलतम रूप की संभावना को अस्वीकार करता है।
A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाकर छोटी समान भिन्न मिलती है/Reducing \(\frac{h}{k}\) by (3) gives a smaller equal fraction
Step 1
Concept
Both have common factor (3). This is impossible in a lowest fraction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाकर छोटी समान भिन्न मिलती है / Reducing \(\frac{h}{k}\) by (3) gives a smaller equal fraction. Both have common factor (3). This is impossible in a lowest fraction.
Step 3
Exam Tip
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। सरलतम भिन्न में ऐसा होना असंभव है।
A. यदि (c) विषम हो तो \(c^2\) विषम होगा/If (c) is odd, then \(c^2\) is odd
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. Therefore if \(c^2\) is even, (c) cannot be odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यदि (c) विषम हो तो \(c^2\) विषम होगा / If (c) is odd, then \(c^2\) is odd. The square of an odd number is odd. Therefore if \(c^2\) is even, (c) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
विषम का वर्ग विषम होता है। इसलिए \(c^2\) सम होने पर (c) विषम नहीं हो सकता।
A. अभाज्य गुणनखंड का वर्ग में प्रवेश मूल संख्या से होता है/A prime factor enters a square from the original number
Step 1
Concept
Prime (3) appears in a square only if it appears in the original number. This is the key rule of the proof.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अभाज्य गुणनखंड का वर्ग में प्रवेश मूल संख्या से होता है / A prime factor enters a square from the original number. Prime (3) appears in a square only if it appears in the original number. This is the key rule of the proof.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य (3) वर्ग में तभी आएगा जब मूल संख्या में हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है।
A. सिर्फ (c) सम सिद्ध करके रुकना/Stopping after proving only (c) even
Step 1
Concept
(c) even is a correct middle step, but (d) must also be even for final contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. सिर्फ (c) सम सिद्ध करके रुकना / Stopping after proving only (c) even. (c) even is a correct middle step, but (d) must also be even for final contradiction.
Step 3
Exam Tip
(c) सम सही मध्य चरण है, पर अंतिम विरोधाभास के लिए (d) भी सम चाहिए।
It is correct that (h) is divisible by (3), but (k) must also be proved divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (h) (3) से विभाज्य है / (h) is divisible by (3). It is correct that (h) is divisible by (3), but (k) must also be proved divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(h) का (3) से विभाज्य होना सही है, लेकिन (k) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है।
A. दोनों सम (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both even (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) lowest form impossible
Step 1
Concept
This is the correct line of final contradiction. A lowest form should not have a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव / Both even (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) lowest form impossible. This is the correct line of final contradiction. A lowest form should not have a common factor.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास की सही रेखा है। सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए।
A. दोनों (3) से विभाज्य (\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both divisible by (3\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) lowest form impossible
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore the assumption (\gcd(h,k)=1) becomes impossible.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों (3) से विभाज्य (\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव / Both divisible by (3\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) lowest form impossible. Both have common factor (3). Therefore the assumption (\gcd(h,k)=1) becomes impossible.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(h,k)=1) की मान्यता असंभव हो जाती है।
If a prime divides a square, it also divides the original number. This is the correct rule.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (3) अभाज्य है / Because (3) is prime. If a prime divides a square, it also divides the original number. This is the correct rule.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य संख्या वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। यही सही नियम है।
A. यह (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(c,d)=1)
Step 1
Concept
Both becoming even contradicts lowest form. After this, reject the rational assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास है / This contradicts (\gcd(c,d)=1). Both becoming even contradicts lowest form. After this, reject the rational assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम मिलना सरलतम रूप से विरोधाभास है। इसके बाद परिमेय मान्यता अस्वीकार करें।
C. यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(h,k)=1)
Step 1
Concept
Both divisible by (3) conflicts with coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है / This contradicts (\gcd(h,k)=1). Both divisible by (3) conflicts with coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से टकराता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है।
Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. अनुमानित दशमलव मान / Approximate decimal value. Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
Step 3
Exam Tip
अनुमानित दशमलव प्रमाण नहीं देता। सही प्रमाण सहभाज्य भिन्न और अभाज्य विभाज्यता से बनता है।
B. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष लेना/Taking a wrong linear conclusion from a squared equation
Step 1
Concept
The squared relation does not directly give (m=3n). The correct conclusion is that (m) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष लेना / Taking a wrong linear conclusion from a squared equation. The squared relation does not directly give (m=3n). The correct conclusion is that (m) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे (m=3n) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष (m) का (3) से विभाज्य होना है।
D. \(q^2=3r^2\) इसलिए (q) (3) से विभाज्य है/\(q^2=3r^2\), so (q) is divisible by (3)
Step 1
Concept
Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(q^2=3r^2\) इसलिए (q) (3) से विभाज्य है / \(q^2=3r^2\), so (q) is divisible by (3). Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य है।
Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(9k^2=3n^2\Rightarrow n^2=3k^2\). Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(m=3k) रखने पर \(9k^2=3n^2\) मिलता है। सरल करने पर \(n^2=3k^2\), इसलिए (n) (3) से विभाज्य है।
B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए/Because (q) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए / Because (q) must also be proved divisible by (3). The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त तब टूटती है जब (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (p) पर्याप्त नहीं है।
B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (n) must also be proved divisible by (3)
Step 1
Concept
Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है / Because (n) must also be proved divisible by (3). Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनता है जब (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (m) पर्याप्त नहीं है।
D. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge3) cannot both hold
Step 1
Concept
Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (\gcd(m,n)=1) और (\gcd(m,n)\ge3) साथ नहीं हो सकते / (\gcd(m,n)=1) and (\gcd(m,n)\ge3) cannot both hold. Both have common factor (3). Therefore they cannot remain coprime.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए वे सहभाज्य नहीं रह सकते।
A. क्योंकि वर्ग संबंध सीधे ऐसा रैखिक संबंध नहीं देता/Because the square relation does not directly give such a linear relation
Step 1
Concept
From \(r^2=2s^2\), only \(r^2\) even and then (r) even follow. The correct step is (r=2t).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि वर्ग संबंध सीधे ऐसा रैखिक संबंध नहीं देता / Because the square relation does not directly give such a linear relation. From \(r^2=2s^2\), only \(r^2\) even and then (r) even follow. The correct step is (r=2t).
Step 3
Exam Tip
\(r^2=2s^2\) से केवल \(r^2\) सम और फिर (r) सम मिलता है। सही कदम (r=2t) है।
A. भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम नहीं थी/The fraction can be reduced by (3), so it was not in lowest form
Step 1
Concept
If both have common factor (3), the fraction reduces. This contradicts the lowest form assumption.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम नहीं थी / The fraction can be reduced by (3), so it was not in lowest form. If both have common factor (3), the fraction reduces. This contradicts the lowest form assumption.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) सामान्य है तो भिन्न घटेगी। यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) explains the contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (2) must be even. In a perfect square, prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) explains the contradiction.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) विरोधाभास को समझाता है।
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (2) in \(2s^2\) causes the conflict.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (2) must be even. In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (2) in \(2s^2\) causes the conflict.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2s^2\) में अतिरिक्त (2) विरोध का कारण बनता है।
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (3) must be even. In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण बनता है।
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Step 1
Concept
In a perfect square, prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए / In a perfect square, the exponent of (3) must be even. In a perfect square, prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है।
A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है/\(a^2\) should be odd, but \(2b^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is clearly even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(a^2\) विषम होना चाहिए पर \(2b^2\) सम है / \(a^2\) should be odd, but \(2b^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2b^2\) is clearly even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। पर \(2b^2\) स्पष्ट रूप से सम है।
A. \(r^2\) विषम होना चाहिए पर \(2s^2\) सम है/\(r^2\) should be odd, but \(2s^2\) is even
Step 1
Concept
The square of an odd number is odd. But \(2s^2\) is always even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(r^2\) विषम होना चाहिए पर \(2s^2\) सम है / \(r^2\) should be odd, but \(2s^2\) is even. The square of an odd number is odd. But \(2s^2\) is always even.
Step 3
Exam Tip
विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। लेकिन \(2s^2\) हमेशा सम होता है।
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Step 1
Concept
If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है / \(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible. If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यदि (p) में (3) नहीं है तो \(p^2\) में भी (3) नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है।
C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Step 1
Concept
If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है / \(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible. If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
यदि (m) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(m^2\) में भी नहीं होगा। पर समीकरण \(m^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है।
D. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Step 1
Concept
If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\) / While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\). If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts lowest form.
Step 3
Exam Tip
दोनों में (2) का गुणनखंड है तो (\gcd(a,b)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है।
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Step 1
Concept
If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts (\gcd(p,q)=1).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\) / While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\). If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts (\gcd(p,q)=1).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह (\gcd(p,q)=1) से विरोधाभास है।
B. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) is the basis of contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is for definition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास का आधार है / \(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) is the basis of contradiction. Non-zero denominator is for definition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
B. \(s\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(r,s)=1) विरोधाभास का आधार है/\(s\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(r,s)=1) is the basis of contradiction
Step 1
Concept
Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(s\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(r,s)=1) विरोधाभास का आधार है / \(s\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(r,s)=1) is the basis of contradiction. Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition conflicts with the final common factor.
Step 3
Exam Tip
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है।
C. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(p,q)=1) gives final contradiction
Step 1
Concept
\(q\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(p,q)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास देता है / \(q\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(p,q)=1) gives final contradiction. \(q\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(p,q)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(q\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(p,q)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है।
C. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(m,n)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(m,n)=1) gives final contradiction
Step 1
Concept
\(n\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(m,n)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(m,n)=1) अंतिम विरोधाभास देता है / \(n\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(m,n)=1) gives final contradiction. \(n\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(m,n)=1) breaks when both are divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
\(n\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(m,n)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है।
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Step 1
Concept
The standard proof starts with rational assumption and derives contradiction that both are even. This is the correct order.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction. The standard proof starts with rational assumption and derives contradiction that both are even. This is the correct order.
Step 3
Exam Tip
मानक प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरू कर दोनों सम होने का विरोधाभास निकाला जाता है। यही सही क्रम है।
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Step 1
Concept
For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally contradiction with coprime condition is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास / Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\). For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally contradiction with coprime condition is obtained.
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है।
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become even. Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता।
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Step 1
Concept
Lowest form gives (\gcd(r,s)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become even. Lowest form gives (\gcd(r,s)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप ही (\gcd(r,s)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता।
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Lowest form makes (p) and (q) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become divisible by (3). Lowest form makes (p) and (q) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप से (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है।
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Step 1
Concept
Lowest form makes (m) and (n) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास / Contradiction when both become divisible by (3). Lowest form makes (m) and (n) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप से (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है।
A. क्योंकि शुरुआत में (a,b) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (a,b) should be taken coprime in lowest form at the start
Step 1
Concept
Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि शुरुआत में (a,b) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए / Because (a,b) should be taken coprime in lowest form at the start. Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है।
A. क्योंकि शुरुआत में (r,s) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (r,s) should be taken coprime in lowest form at the start
Step 1
Concept
Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि शुरुआत में (r,s) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए / Because (r,s) should be taken coprime in lowest form at the start. Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है।
C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (p,q) are coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं / Because initially (p,q) are coprime in lowest form. Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(p,q)=1) माना जाता है।
C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (m,n) are coprime in lowest form
Step 1
Concept
Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं / Because initially (m,n) are coprime in lowest form. Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(m,n)=1) माना जाता है।
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction comes from the rational assumption. Therefore that assumption is proved false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational. The contradiction comes from the rational assumption. Therefore that assumption is proved false.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए वही मान्यता गलत सिद्ध होती है।
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Step 1
Concept
The contradiction arises by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational. The contradiction arises by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से आया। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है।
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Step 1
Concept
If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore the rational assumption is false.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं / \(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3). If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore the rational assumption is false.
Step 3
Exam Tip
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है।
A. \(p^2=3q^2\) से (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Step 1
Concept
A square relation does not directly give a linear relation. The correct logic is \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. \(p^2=3q^2\) से (p=3q) / From \(p^2=3q^2\), (p=3q). A square relation does not directly give a linear relation. The correct logic is \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\).
Step 3
Exam Tip
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही तर्क \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\) है।
(a) being even is an important middle step. The final contradiction comes from both (a) and (b) being even.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (a) सम है / (a) is even. (a) being even is an important middle step. The final contradiction comes from both (a) and (b) being even.
Step 3
Exam Tip
(a) सम होना जरूरी मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास (a) और (b) दोनों सम होने से आता है।
(p) being divisible by (3) is a middle step. The final contradiction is when (q) is also divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. (p) (3) से विभाज्य है / (p) is divisible by (3). (p) being divisible by (3) is a middle step. The final contradiction is when (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
(p) का (3) से विभाज्य होना मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास तब है जब (q) भी (3) से विभाज्य हो।
A. परिमेय मानते समय \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप और (\gcd(a,b)=1) के साथ लिखें/While assuming rationality, write \(\frac{a}{b}\) in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Step 1
Concept
Without lowest form, the final contradiction becomes weak. This is the most important line in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. परिमेय मानते समय \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप और (\gcd(a,b)=1) के साथ लिखें / While assuming rationality, write \(\frac{a}{b}\) in lowest form with (\gcd(a,b)=1). Without lowest form, the final contradiction becomes weak. This is the most important line in exams.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी पंक्ति है।
C. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप और (\gcd(p,q)=1) के साथ लिखें/Write \(\frac{p}{q}\) in lowest form with (\gcd(p,q)=1)
Step 1
Concept
The coprime condition creates the final contradiction. Write it at the beginning in exams.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप और (\gcd(p,q)=1) के साथ लिखें / Write \(\frac{p}{q}\) in lowest form with (\gcd(p,q)=1). The coprime condition creates the final contradiction. Write it at the beginning in exams.
Step 3
Exam Tip
सहभाज्य शर्त ही अंतिम विरोधाभास बनाती है। परीक्षा में इसे शुरुआत में जरूर लिखें।
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
The rational assumption gives a contradiction. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational. The rational assumption gives a contradiction. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
Step 3
Exam Tip
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। इसलिए विपरीत कथन यानी अपरिमेयता सही है।
A. बाद में (s) भी (2) से विभाज्य निकलता है/Later (s) is also found divisible by (2)
Step 1
Concept
After (r=2t), \(s^2=2t^2\) is obtained. Hence (s) is also even and lowest form breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. बाद में (s) भी (2) से विभाज्य निकलता है / Later (s) is also found divisible by (2). After (r=2t), \(s^2=2t^2\) is obtained. Hence (s) is also even and lowest form breaks.
Step 3
Exam Tip
(r=2t) के बाद \(s^2=2t^2\) मिलता है। इससे (s) भी सम होता है और सरलतम रूप टूटता है।
A. क्योंकि (\gcd(u,v)\ge3) हो जाएगा/Because (\gcd(u,v)\ge3) will hold
Step 1
Concept
In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. क्योंकि (\gcd(u,v)\ge3) हो जाएगा / Because (\gcd(u,v)\ge3) will hold. In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
Step 3
Exam Tip
सरलतम रूप में (\gcd(u,v)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है।
First (u) is proved divisible by (3). For the final contradiction, (v) must also be divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is B. (u) (3) से विभाज्य है / (u) is divisible by (3). First (u) is proved divisible by (3). For the final contradiction, (v) must also be divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
पहले (u) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। अंतिम विरोधाभास के लिए (v) भी (3) से विभाज्य चाहिए।
C. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) (3) से विभाज्य/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) divisible by (3)
Step 1
Concept
Divisibility is first proved for (m). The conclusion for (n) comes after substitution.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) (3) से विभाज्य / \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) divisible by (3). Divisibility is first proved for (m). The conclusion for (n) comes after substitution.
Step 3
Exam Tip
पहले (m) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (n) के लिए निष्कर्ष प्रतिस्थापन के बाद आता है।
A. यह केवल भिन्न को परिभाषित रखता है/It only keeps the fraction defined
Step 1
Concept
The final contradiction comes from (\gcd(x,y)=1) and both being even. \(y\neq0\) is only a definition condition.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is A. यह केवल भिन्न को परिभाषित रखता है / It only keeps the fraction defined. The final contradiction comes from (\gcd(x,y)=1) and both being even. \(y\neq0\) is only a definition condition.
Step 3
Exam Tip
अंतिम विरोधाभास (\gcd(x,y)=1) और दोनों सम होने से आता है। \(y\neq0\) केवल परिभाषा की शर्त है।
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Step 1
Concept
The contradiction comes from the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
Step 2
Why this answer is correct
The correct answer is C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{3}\) is irrational. The contradiction comes from the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकती।
