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A. अंत में सामान्य गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास बनाना/To create contradiction when a common factor appears later
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(a,b)=1) होता है। बाद में दोनों सम मिलना इसी शर्त से टकराता है। / In lowest form (\gcd(a,b)=1). Later both becoming even contradicts this condition.
A. क्योंकि वर्ग संबंध से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है/Because the square relation only gives \(a^2\) even and then (a) even
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल लेते समय \(\sqrt{2b^2}\) को (2b) नहीं लिख सकते। सही कदम (a=2k) है। / While taking square root \(\sqrt{2b^2}\) cannot be written as (2b). The correct step is (a=2k).
A. पहले \(x^2\) का (3) से विभाज्य होना और फिर (x=3k) लिखना चाहिए/First show \(x^2\) is divisible by (3) and then write (x=3k)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=3y^2\) से सीधे (x=3y) नहीं मिलता। अभाज्य विभाज्यता से (x=3k) मिलता है। / \(x^2=3y^2\) does not directly give (x=3y). Prime divisibility gives (x=3k).
A. क्योंकि सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं देता/Because only (a) being even does not give contradiction
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास तब बनता है जब (a) और (b) दोनों सम हों। दोनों सम होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते। / The contradiction forms when both (a) and (b) are even. Then they cannot remain coprime.
A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा/Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तो सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
A. क्योंकि दाएँ पक्ष का सम होना \(a^2\) के बारे में बताता है/Because the even right side tells about \(a^2\)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम सिद्ध होता है। \(b^2\) सम (a=2k) रखने के बाद मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is proved even. \(b^2\) even is obtained only after taking (a=2k).
A. क्योंकि पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3r) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3r) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) पहले \(p^2\) की विभाज्यता देता है। \(q^2=3r^2\) बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है। / \(p^2=3q^2\) first gives divisibility of \(p^2\). \(q^2=3r^2\) comes later by substitution.
A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है/Coprime numbers have common factor (1) only
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होगा। / In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
A. क्योंकि फिर (\gcd(p,q)\ge3) होगा/Because then (\gcd(p,q)\ge3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है। / In lowest form (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है/From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलने पर \(\frac{a}{b}\) को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न के विचार के विरुद्ध है। / When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप संभव नहीं है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है/In a perfect square the exponent of (2) is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2b^2\) में (2) की घात विषम बनने से विरोधाभास समझ आता है। / In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) में \(a^2\) पूर्ण वर्ग है। पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है। / In \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is a perfect square. But the right side can make the exponent of (3) odd.
A. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम/\(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even
Explanation
Simple Explanation
प्रतिस्थापन के बाद \(b^2=2k^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) सम और फिर (b) सम है। / After substitution \(b^2=2k^2\) is obtained. Hence \(b^2\) is even and then (b) is even.
A. \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) (3) से विभाज्य/\(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
केवल (a) सम होना सामान्य गुणनखंड नहीं दिखाता। विरोधाभास के लिए (b) भी सम होना चाहिए। / Only (a) being even does not show a common factor. For contradiction (b) must also be even.
A. केवल (p) (3) से विभाज्य है/Only (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य चाहिए। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
A. भिन्न (2) से घट सकती है इसलिए वह सरलतम नहीं रहती/The fraction can be reduced by (2), so it is not lowest
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड है। सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता। / If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
A. वह (3) से घटाई जा सकती है इसलिए सरलतम नहीं है/It can be reduced by (3), so it is not lowest
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता गलत होती है। / Both have common factor (3). Therefore the lowest-form assumption becomes false.
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है। (\gcd(p,q)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास देता है। / \(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों सम होने से वह कम से कम (2) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से (\gcd(p,q)=1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। / Coprime means (\gcd(p,q)=1). Both divisible by (3) means (\gcd(p,q)\ge3).
A. दोनों में परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है/Both use rational assumption and contradiction from coprime fraction
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है। फर्क केवल (2) और (3) के अभाज्य गुणनखंड का है। / Both proofs have the same structure. The difference is only the prime factors (2) and (3).
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। पर \(p^2=3q^2\) उसे विभाज्य दिखाता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही प्रमाण का मानक क्रम है। अंतिम चरण में दोनों सम होना सहभाज्य शर्त से विरोध करता है। / This is the standard order of the proof. In the final step both being even contradicts coprime condition.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) (\righta
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की पूरी श्रृंखला चाहिए। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है। / For \(\sqrt{3}\), the full chain of divisibility by (3) is needed. Finally the coprime condition breaks.
A. दोनों सम मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। यही शर्त अंतिम विरोधाभास के लिए जरूरी है। / Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). This condition is necessary for the final contradiction.
A. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) का गुणनखंड होने से (\gcd(a,b)\ge2) हो जाता है। यह (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है। / If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts (\gcd(a,b)=1).
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts the coprime condition.
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (2) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (2)
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) घात को विषम बना सकता है। / In a perfect square prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) can make the exponent odd.
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (3)
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण है। / In a perfect square every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
A. दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है/Decimal approximation is not a proof
Explanation
Simple Explanation
दशमलव मान केवल अनुमान दे सकता है। परीक्षा में विरोधाभास और सहभाज्य भिन्न का तर्क लिखें। / A decimal value can only approximate. In exams write the contradiction and coprime fraction argument.
A. अनुमान से पूर्ण प्रमाण नहीं मिलता/Approximation does not give a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेयता के लिए सटीक तर्क चाहिए। (3) से विभाज्यता और विरोधाभास का प्रयोग करें। / Irrationality needs exact reasoning. Use divisibility by (3) and contradiction.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह (\gcd(p,q)=1) की शर्त को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the condition (\gcd(p,q)=1) impossible.
A. \(a^2\) सम से (b) सम सीधे लिखना/Writing (b) even directly from \(a^2\) even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2\) सम होने से पहले केवल (a) सम मिलता है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है। / From \(a^2\) even, only (a) even follows first. (b) even comes later by substitution.
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य से (q) (3) से विभाज्य सीधे लिखना/Writing (q) divisible by (3) directly from \(p^2\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (q) का निष्कर्ष (p=3r) रखने के बाद आता है। / First (p) is proved divisible by (3). The conclusion for (q) comes after taking (p=3r).
A. पहले (a) और फिर (b) दोनों में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से (a) सम और फिर (b) सम मिलता है। इसलिए (2) दोनों में सामान्य हो जाता है। / \(a^2=2b^2\) gives (a) even and then (b) even. Thus (2) becomes common in both.
A. पहले (p) और फिर (q) दोनों में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य और फिर (q) भी (3) से विभाज्य मिलता है। / \(p^2=3q^2\) gives (p) divisible by (3) and then (q) also divisible by (3).
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / Both becoming even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। / If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
A. शुरुआत में उन्हें सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/At the beginning they should be taken coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण का निष्कर्ष नहीं बल्कि विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(a,b)=1) मानना चाहिए। / Both even is not the assumption but the contradiction. At the start (\gcd(a,b)=1) should be assumed.
A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए/At the start (p,q) should be coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। उसे शुरुआत में नहीं मानते। / Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप नहीं लिखेंगे तो अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा। यही प्रमाण की प्रमुख शर्त है। / If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकलता है। इसलिए वही मान्यता अस्वीकार होती है। / The contradiction arises from the rational assumption. Therefore that assumption is rejected.
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। / The contradiction is obtained by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{r}{s}\) में घटाया जा सकता है, इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव था/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{r}{s}\), so the initial lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) होने से भिन्न घट सकती है। यह सहभाज्य सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Since both have common factor (2), the fraction can be reduced. This contradicts the coprime lowest form.
\(\sqrt{2}\) के विरोधाभास प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) और (\gcd(a,b)=1) मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिलता है। निर्णायक पहला विभाज्यता निष्कर्ष कौन-सा है?
\(a^2\) सम है इसलिए (a) सम होगा। परीक्षा में पहले अंश की समता लिखें। / \(a^2\) is even, so (a) is even. In exams, first write the evenness of the numerator.
\(r^2\) सम है इसलिए (r) सम होगा। परीक्षा में वर्ग से संख्या तक का नियम स्पष्ट लिखें। / \(r^2\) is even, so (r) is even. In exams, clearly write the rule from square to number.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। यही (p=3r) का आधार है। / If prime (3) divides a square, it divides the number too. This is the basis for (p=3r).
\(m^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है। इसलिए (m) भी (3) से विभाज्य होगा। / \(m^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. Therefore (m) is also divisible by (3).
(r=2t) रखने पर \(4t^2=2s^2\) और फिर \(s^2=2t^2\) मिलता है। इससे (s) सम सिद्ध होता है। / Putting (r=2t) gives \(4t^2=2s^2\) and then \(s^2=2t^2\). This proves (s) even.
A. क्योंकि विरोधाभास के लिए (b) भी सम सिद्ध होना चाहिए/Because (b) must also be proved even for contradiction
Explanation
Simple Explanation
केवल (a) सम होने से सहभाज्य शर्त नहीं टूटती। दोनों (a) और (b) सम होने चाहिए। / Only (a) being even does not break the coprime condition. Both (a) and (b) must be even.
A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए/Because first (r) and then (s) must both be proved even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास सरलतम भिन्न से तभी बनता है जब अंश और हर दोनों में (2) सामान्य हो। केवल \(r^2\) सम होना मध्य चरण है। / The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य है, इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
B. क्योंकि \(a^2=2b^2\) पहले \(a^2\) की समता बताता है/Because \(a^2=2b^2\) first shows evenness of \(a^2\)
Explanation
Simple Explanation
इस समीकरण से पहले (a) सम सिद्ध होता है। (b) सम (a=2k) रखने के बाद सिद्ध होता है। / This equation first proves (a) even. (b) is proved even only after putting (a=2k).
A. पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किए बिना हर पर निष्कर्ष लगाना/Concluding about the denominator before proving (p) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। फिर (p=3r) रखकर (q) का निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then (q) follows after taking (p=3r).
A. \(a^2\) सम है इसलिए (a=2k) लिखें/\(a^2\) is even, so write (a=2k)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही कदम (a) को सम सिद्ध करना है। / The square relation does not directly give (a=2b). The correct step is proving (a) even.
C. (r) सम सिद्ध करके (r=2t) रखने के बाद/After proving (r) even and taking (r=2t)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(r^2\) से (r) सम मिलता है। फिर (r=2t) रखने पर \(s^2=2t^2\) मिलता है। / First (r) even follows from \(r^2\). Then taking (r=2t) gives \(s^2=2t^2\).
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3r) लिखें/\(p^2\) is divisible by (3), so write (p=3r)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। अभाज्य विभाज्यता से (p=3r) मिलता है। / The square relation does not directly give (p=3q). Prime divisibility gives (p=3r).
A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)
Explanation
Simple Explanation
पहले (m) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (m=3k) रखने के बाद ही (n) के लिए निष्कर्ष मिलता है। / First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न की मान्यता के विरुद्ध है। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
A. भिन्न को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है/The fraction can be reduced by (2) to form a smaller equal fraction
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी विचार से विरोधाभास है। / A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradicts this idea.
A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है/From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप असंभव है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं हो सकती। / Both being even contradicts lowest coprime form. Therefore \(\sqrt{2}\) cannot be rational.
A. क्योंकि अनुमान सटीक तर्क नहीं देता/Because approximation does not give exact reasoning
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेयता सटीक विरोधाभास से सिद्ध होती है। परीक्षा में सहभाज्य भिन्न वाला तर्क लिखें। / Irrationality is proved by exact contradiction. In exams, write the coprime fraction argument.
A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता/It does not give a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। प्रमाण के लिए (3) से विभाज्यता और विरोधाभास जरूरी है। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
A. \(a^2\) सम \(\Rightarrow a\) सम, फिर (a=2k) से (b) सम/\(a^2\) even \(\Rightarrow a\) even, then (a=2k) gives (b) even
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में चरणों का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से आता है। / The order of steps is very important. (b) even comes later by substitution.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow p\) (3) से विभाज्य, फिर (p=3r) से (q) (3) से विभाज्य/\(p^2\) divisible by \(3\Rightarrow p\) divisible by (3), then (p=3r) gives (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (p) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (q) का निष्कर्ष बाद में प्रतिस्थापन से आता है। / Divisibility is first proved for (p). The conclusion for (q) comes later by substitution.
A. पहले (a) में और फिर (b) में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड बनता है। यही (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है। / In the proof, (2) becomes a common factor of both. This contradicts (\gcd(a,b)=1).
B. पहले (p) में और फिर (q) में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Explanation
Simple Explanation
अंत में (p) और (q) दोनों में (3) सामान्य होता है। इससे सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / In the end, (3) is common in both (p) and (q). This breaks the lowest form condition.
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है। / A lowest form cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है। / A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, get coprime contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों का ढांचा समान है। फर्क केवल (2) और (3) के गुणनखंड का है। / Both proofs have the same framework. The only difference is the factor (2) or (3).
C. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) है/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Explanation
Simple Explanation
यह वर्गमूल निकालने की गलत जल्दबाजी है। सही तर्क समता से चलता है। / This is a wrong shortcut while taking square roots. The correct reasoning uses parity.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / The rational assumption conflicts with the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
B. \(n^2=3u^2\) इसलिए \(3\mid n\)/\(n^2=3u^2\), so \(3\mid n\)
Explanation
Simple Explanation
प्रतिस्थापन के बाद \(9u^2=3n^2\) बनता है। इससे \(n^2=3u^2\) और फिर (n) (3) से विभाज्य है। / After substitution \(9u^2=3n^2\) is formed. This gives \(n^2=3u^2\), so (n) is divisible by (3).
(x) सम होना मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास (y) के भी सम सिद्ध होने के बाद बनता है। / (x) being even is a middle step. The final contradiction forms after (y) is also proved even.
A. \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) सम \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) सम/\(x^2=2y^2\Rightarrow x\) even \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) even
Explanation
Simple Explanation
पहले अंश की समता आती है। फिर प्रतिस्थापन से हर की समता सिद्ध होती है। / The evenness of numerator comes first. Then the evenness of denominator is proved by substitution.
A. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष निकालना/Taking a wrong linear conclusion from a squared equation
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही निष्कर्ष (x) का सम होना है। / A squared relation does not directly give a linear relation. The correct conclusion is that (x) is even.
A. क्योंकि सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं/Because the correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) में (3) का गुणनखंड देखकर (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। इससे (p=3q) जरूरी नहीं है। / Seeing factor (3) in \(p^2\) proves (p) is divisible by (3). It does not force (p=3q).
A. \(\frac{x}{y}\) सरलतम रूप में थी/\(\frac{x}{y}\) was in lowest form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी मान्यता को गलत करता है। / A lowest fraction cannot be reduced further. Both even makes this assumption false.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। यही \(2y^2\) में अतिरिक्त (2) से विरोध को समझाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. This explains the conflict from the extra (2) in \(2y^2\).
B. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है। / In a perfect square, all prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, विरोधाभास (\gcd(m,n)=1) से आता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, contradiction comes from (\gcd(m,n)=1)
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की शर्त है। दोनों (3) से विभाज्य होने पर सहभाज्य शर्त टूटती है। / Non-zero denominator is a condition for fraction. The coprime condition breaks when both are divisible by (3).
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए विपरीत कथन अपरिमेयता सही है। / The contradiction rejects the rational assumption. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
A. यह सटीक विरोधाभास देता है/It gives an exact contradiction
Explanation
Simple Explanation
दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है। सहभाज्य भिन्न वाला तर्क अपरिमेयता को निश्चित रूप से सिद्ध करता है। / Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है/Because divisibility reasoning gives a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। (3) से विभाज्यता और सहभाज्य विरोधाभास सही प्रमाण हैं। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है/In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। फर्क केवल सामान्य बनने वाला अभाज्य (2) या (3) है। / Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
A. \(\frac{r}{s}\) (2) से घट सकती है/\(\frac{r}{s}\) can be reduced by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / Both have common factor (2). Therefore the fraction cannot be in lowest form.
A. सरलतम सहभाज्य रूप लिखे बिना अंतिम विरोधाभास लिख देना/Writing final contradiction without stating lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही विरोधाभास का आधार है। इसे छोड़ा तो प्रमाण अधूरा लग सकता है। / Lowest form is the basis of contradiction. If omitted, the proof may look incomplete.
A. क्योंकि \(h^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(h^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि \(h^2\) को विभाजित करे तो (h) को भी विभाजित करता है। इसलिए (h=3r) लिखा जाता है। / If prime (3) divides \(h^2\), it also divides (h). Therefore (h=3r) is written.
(c=2u) रखने पर \(4u^2=2d^2\) मिलता है। सरल करने पर \(d^2=2u^2\), इसलिए (d) सम है। / Putting (c=2u) gives \(4u^2=2d^2\). Simplifying gives \(d^2=2u^2\), so (d) is even.
प्रतिस्थापन से \(9r^2=3k^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(k^2=3r^2\) आता है। / Substitution gives \(9r^2=3k^2\). Dividing both sides by (3) gives \(k^2=3r^2\).
A. पहले (c) सम और फिर (c=2u) रखना जरूरी है/First (c) even and then (c=2u) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(c^2=2d^2\) पहले \(c^2\) की समता दिखाता है। (d) की समता प्रतिस्थापन के बाद मिलती है। / \(c^2=2d^2\) first shows evenness of \(c^2\). Evenness of (d) comes after substitution.
A. क्योंकि पहले (h) (3) से विभाज्य सिद्ध कर (h=3r) रखना पड़ता है/Because first (h) must be proved divisible by (3) and written as (h=3r)
Explanation
Simple Explanation
पहला निष्कर्ष (h) के लिए होता है। (k) का निष्कर्ष (h=3r) रखने के बाद आता है। / The first conclusion is about (h). The conclusion about (k) comes after taking (h=3r).
दोनों सम हों तो (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(c,d)=1) नहीं हो सकता। / If both are even, (2) is a common factor. Therefore (\gcd(c,d)=1) cannot hold.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। / Both have common factor (3). Therefore the highest common factor is at least (3).
वर्ग संबंध से सीधे (c=2d) नहीं मिलता। सही तर्क \(c^2\) सम से (c) सम तक जाता है। / The square relation does not directly give (c=2d). The correct reasoning goes from \(c^2\) even to (c) even.
C. \(h^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(h^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (h) में (3) नहीं है तो \(h^2\) में भी (3) नहीं होगा। समीकरण इसके विपरीत बताता है। / If (h) has no factor (3), then \(h^2\) also has no factor (3). The equation says the opposite.
A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाया जा सकता है/\(\frac{h}{k}\) can be reduced by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए मानी गई सरलतम भिन्न असंभव है। / Both have common factor (3). Therefore the assumed lowest fraction is impossible.
A. (\gcd(c,d)=1) होते हुए \(2\mid c\) और \(2\mid d\)/While (\gcd(c,d)=1), \(2\mid c\) and \(2\mid d\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) होने से (\gcd(c,d)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / If both have factor (2), then (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts lowest form.
C. (\gcd(h,k)=1) होते हुए \(3\mid h\) और \(3\mid k\)/While (\gcd(h,k)=1), \(3\mid h\) and \(3\mid k\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) का गुणनखंड है तो (\gcd(h,k)\ge3) होगा। यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है। / If both have factor (3), then (\gcd(h,k)\ge3). This contradicts (\gcd(h,k)=1).
B. \(d\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(c,d)=1) विरोधाभास का आधार है/\(d\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(c,d)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
C. \(k\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(h,k)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(k\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(h,k)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(k\neq0\) परिमेय भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(h,k)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(k\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(h,k)=1) breaks when both are divisible by (3).
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) सम \(\rightarrow\) (d) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) even \(\rightarrow\) (d) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही विरोधाभास प्रमाण का मानक क्रम है। हर चरण पिछले चरण पर निर्भर करता है। / This is the standard order of contradiction proof. Each step depends on the previous step.
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (k) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) divisible by (3) \(\rightarrow\) (k) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला जरूरी है। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain of divisibility by (3) is necessary. Finally the coprime condition breaks.
A. दोनों सम होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(c,d)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना अंतिम विरोधाभास नहीं बनता। / Lowest form gives (\gcd(c,d)=1). Without it, both even does not become the final contradiction.
B. दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (h) और (k) सहभाज्य होते हैं। तभी दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास है। / Lowest form makes (h) and (k) coprime. Only then both divisible by (3) is a contradiction.
A. क्योंकि शुरुआत में (c,d) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because (c,d) should initially be coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत की मान्यता नहीं बनाते। / Both even is the derived contradiction in the proof. It should not be the initial assumption.
C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because initially (h,k) should be coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(h,k)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है। / A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
A. परिमेय मानना, वर्ग करना और सामान्य अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, and get coprime contradiction using a common prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर चलते हैं। अंतर केवल केंद्रीय अभाज्य (2) और (3) का है। / Both proofs use contradiction. The only difference is the central prime (2) or (3).
A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों को (2) से भाग देना तभी संभव है जब (2) सामान्य गुणनखंड हो। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Dividing both by (2) is possible only when (2) is a common factor. This contradicts lowest form.
C. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए शुरुआत में माना गया सरलतम रूप असंभव हो जाता है। / Both have common factor (3). Therefore the initially assumed lowest form becomes impossible.
(d) सम सिद्ध करने के लिए (c=2u) रखकर आगे काम करना पड़ता है। परीक्षा में हर की समता सीधे न लिखें। / To prove (d) even, (c=2u) must be substituted first. In exams, do not write denominator even directly.
A. परिभाषात्मक प्रतिस्थापन/Definitional substitution
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या के (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि उसे (3r) लिखा जा सकता है। इससे आगे (k) की विभाज्यता सिद्ध होती है। / A number divisible by (3) can be written as (3r). This later proves divisibility of (k).
दोनों में (2) सामान्य होने पर भिन्न घटकर \(\frac{u}{v}\) बनती है। इसलिए पुराना रूप सरलतम नहीं था। / If both have common factor (2), the fraction reduces to \(\frac{u}{v}\). So the old form was not lowest.
C. वह टूट जाती है क्योंकि (3) सामान्य गुणनखंड है/It breaks because (3) is a common factor
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों में (3) होना इस शर्त के विरुद्ध है। / In a lowest fraction, numerator and denominator are coprime. Having (3) in both contradicts this condition.
दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(c^2\) सम है। वर्ग सम होने पर संख्या सम होती है। / The right side has factor (2), so \(c^2\) is even. If a square is even, the number is even.
A. (h) अनिवार्य रूप से (3) का गुणज है/(h) is necessarily a multiple of (3)
Explanation
Simple Explanation
\(3\mid h^2\) और (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid h\)। \(9\mid h\) जरूरी नहीं है। / Since \(3\mid h^2\) and (3) is prime, \(3\mid h\). \(9\mid h\) is not necessary.
A. हर बार भिन्न को (2) से घटाया जा सकेगा/The fraction can be reduced by (2) again
Explanation
Simple Explanation
यदि सरलतम भिन्न भी घटे, तो और छोटी भिन्न मिलती रहेगी। यह सरलतम रूप की संभावना को अस्वीकार करता है। / If even a lowest fraction reduces, smaller fractions would keep appearing. This rejects the possibility of a lowest form.
A. यदि (c) विषम हो तो \(c^2\) विषम होगा/If (c) is odd, then \(c^2\) is odd
Explanation
Simple Explanation
विषम का वर्ग विषम होता है। इसलिए \(c^2\) सम होने पर (c) विषम नहीं हो सकता। / The square of an odd number is odd. Therefore if \(c^2\) is even, (c) cannot be odd.
A. अभाज्य गुणनखंड का वर्ग में प्रवेश मूल संख्या से होता है/A prime factor enters a square from the original number
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग में तभी आएगा जब मूल संख्या में हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है। / Prime (3) appears in a square only if it appears in the original number. This is the key rule of the proof.
दोनों सम होने पर (2) दोनों को विभाजित करता है। इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) है। / If both are even, (2) divides both. Hence the highest common factor is at least (2).
A. सिर्फ (c) सम सिद्ध करके रुकना/Stopping after proving only (c) even
Explanation
Simple Explanation
(c) सम सही मध्य चरण है, पर अंतिम विरोधाभास के लिए (d) भी सम चाहिए। / (c) even is a correct middle step, but (d) must also be even for final contradiction.
(h) का (3) से विभाज्य होना सही है, लेकिन (k) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है। / It is correct that (h) is divisible by (3), but (k) must also be proved divisible by (3).
A. दोनों सम (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both even (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) lowest form impossible
Explanation
Simple Explanation
यही अंतिम विरोधाभास की सही रेखा है। सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / This is the correct line of final contradiction. A lowest form should not have a common factor.
A. दोनों (3) से विभाज्य (\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both divisible by (3\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) lowest form impossible
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(h,k)=1) की मान्यता असंभव हो जाती है। / Both have common factor (3). Therefore the assumption (\gcd(h,k)=1) becomes impossible.
यह सही है क्योंकि \(c^2\) सम है। लेकिन इसके बाद (d) सम सिद्ध करना भी जरूरी है। / This is correct because \(c^2\) is even. But after this, (d) even must also be proved.
अभाज्य संख्या वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। यही सही नियम है। / If a prime divides a square, it also divides the original number. This is the correct rule.
A. यह (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(c,d)=1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलना सरलतम रूप से विरोधाभास है। इसके बाद परिमेय मान्यता अस्वीकार करें। / Both becoming even contradicts lowest form. After this, reject the rational assumption.
C. यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(h,k)=1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से टकराता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Both divisible by (3) conflicts with coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
अनुमानित दशमलव प्रमाण नहीं देता। सही प्रमाण सहभाज्य भिन्न और अभाज्य विभाज्यता से बनता है। / Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
B. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष लेना/Taking a wrong linear conclusion from a squared equation
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (m=3n) नहीं मिलता। सही निष्कर्ष (m) का (3) से विभाज्य होना है। / The squared relation does not directly give (m=3n). The correct conclusion is that (m) is divisible by (3).
D. \(q^2=3r^2\) इसलिए (q) (3) से विभाज्य है/\(q^2=3r^2\), so (q) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इससे (q) भी (3) से विभाज्य है। / Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
(m=3k) रखने पर \(9k^2=3n^2\) मिलता है। सरल करने पर \(n^2=3k^2\), इसलिए (n) (3) से विभाज्य है। / Putting (m=3k) gives \(9k^2=3n^2\). Simplifying gives \(n^2=3k^2\), so (n) is divisible by (3).
B. क्योंकि (q) भी (3) से विभाज्य सिद्ध होना चाहिए/Because (q) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त तब टूटती है जब (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (p) पर्याप्त नहीं है। / The coprime condition breaks when both (p) and (q) are divisible by (3). (p) alone is not enough.
B. क्योंकि (n) को भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है/Because (n) must also be proved divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त से विरोधाभास तभी बनता है जब (m) और (n) दोनों (3) से विभाज्य हों। अकेला (m) पर्याप्त नहीं है। / Contradiction with the coprime condition forms only when both (m) and (n) are divisible by (3). (m) alone is not enough.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह (\gcd(p,q)=1) की शर्त से विरोधाभास है। / Both have common factor (3). This contradicts the condition (\gcd(p,q)=1).
A. क्योंकि वर्ग संबंध सीधे ऐसा रैखिक संबंध नहीं देता/Because the square relation does not directly give such a linear relation
Explanation
Simple Explanation
\(r^2=2s^2\) से केवल \(r^2\) सम और फिर (r) सम मिलता है। सही कदम (r=2t) है। / From \(r^2=2s^2\), only \(r^2\) even and then (r) even follow. The correct step is (r=2t).
A. भिन्न को (3) से घटाया जा सकता है, इसलिए वह सरलतम नहीं थी/The fraction can be reduced by (3), so it was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य है तो भिन्न घटेगी। यह सरलतम रूप की मान्यता से विरोधाभास है। / If both have common factor (3), the fraction reduces. This contradicts the lowest form assumption.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) विरोधाभास को समझाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) explains the contradiction.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2s^2\) में अतिरिक्त (2) विरोध का कारण बनता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (2) in \(2s^2\) causes the conflict.
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण बनता है। / In a perfect square, every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
C. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
C. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it is divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) नहीं है तो \(p^2\) में भी (3) नहीं होगा। लेकिन समीकरण \(p^2\) को (3) से विभाज्य बताता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has no factor (3). But the equation shows \(p^2\) divisible by (3).
C. \(m^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(m^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (m) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(m^2\) में भी नहीं होगा। पर समीकरण \(m^2\) को (3) से विभाज्य बनाता है। / If (m) has no factor (3), then \(m^2\) also has none. But the equation makes \(m^2\) divisible by (3).
D. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) का गुणनखंड है तो (\gcd(a,b)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts lowest form.
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह (\gcd(p,q)=1) से विरोधाभास है। / If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts (\gcd(p,q)=1).
B. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास का आधार है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is for definition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
B. \(s\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(r,s)=1) विरोधाभास का आधार है/\(s\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(r,s)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की परिभाषा के लिए है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is for defining the fraction. The coprime condition conflicts with the final common factor.
C. \(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(q\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(p,q)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(q\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(p,q)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(q\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(p,q)=1) breaks when both are divisible by (3).
C. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(m,n)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(m,n)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(n\neq0\) परिमेय भिन्न की आवश्यक शर्त है। (\gcd(m,n)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(n\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(m,n)=1) breaks when both are divisible by (3).
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
मानक प्रमाण में परिमेय मान्यता से शुरू कर दोनों सम होने का विरोधाभास निकाला जाता है। यही सही क्रम है। / The standard proof starts with rational assumption and derives contradiction that both are even. This is the correct order.
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला बनती है। अंत में सहभाज्य शर्त से विरोधाभास मिलता है। / For \(\sqrt{3}\), a chain of divisibility by (3) is formed. Finally contradiction with coprime condition is obtained.
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता। / Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
A. दोनों सम मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(r,s)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना निर्णायक विरोधाभास नहीं बनता। / Lowest form gives (\gcd(r,s)=1). Without it, both even is not a decisive contradiction.
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (p) और (q) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है। / Lowest form makes (p) and (q) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
B. दोनों (3) से विभाज्य मिलने पर विरोधाभास/Contradiction when both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (m) और (n) सहभाज्य होते हैं। इसी शर्त से दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास बनता है। / Lowest form makes (m) and (n) coprime. This condition makes both divisible by (3) a contradiction.
A. क्योंकि शुरुआत में (a,b) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (a,b) should be taken coprime in lowest form at the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है। / Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
A. क्योंकि शुरुआत में (r,s) को सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/Because (r,s) should be taken coprime in lowest form at the start
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत में मानना गलत है। / Both even is the derived contradiction in the proof. It is wrong to assume it at the start.
C. क्योंकि शुरुआत में (p,q) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (p,q) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(p,q)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(p,q)=1) is assumed.
C. क्योंकि शुरुआत में (m,n) सहभाज्य सरलतम रूप में होते हैं/Because initially (m,n) are coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिलने वाला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(m,n)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction found at the end. Initially (\gcd(m,n)=1) is assumed.
C. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए वही मान्यता गलत सिद्ध होती है। / The contradiction comes from the rational assumption. Therefore that assumption is proved false.
A. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से आया। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय सिद्ध होती है। / The contradiction arises by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is proved irrational.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore the rational assumption is false.
A. \(p^2=3q^2\) से (p=3q)/From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही तर्क \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\) है। / A square relation does not directly give a linear relation. The correct logic is \(3\mid p^2\Rightarrow3\mid p\).
(a) सम होना जरूरी मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास (a) और (b) दोनों सम होने से आता है। / (a) being even is an important middle step. The final contradiction comes from both (a) and (b) being even.
(p) का (3) से विभाज्य होना मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास तब है जब (q) भी (3) से विभाज्य हो। / (p) being divisible by (3) is a middle step. The final contradiction is when (q) is also divisible by (3).
A. परिमेय मानते समय \(\frac{a}{b}\) को सरलतम रूप और (\gcd(a,b)=1) के साथ लिखें/While assuming rationality, write \(\frac{a}{b}\) in lowest form with (\gcd(a,b)=1)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप न लिखने से अंतिम विरोधाभास कमजोर हो जाता है। यही परीक्षा में सबसे जरूरी पंक्ति है। / Without lowest form, the final contradiction becomes weak. This is the most important line in exams.
C. \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप और (\gcd(p,q)=1) के साथ लिखें/Write \(\frac{p}{q}\) in lowest form with (\gcd(p,q)=1)
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य शर्त ही अंतिम विरोधाभास बनाती है। परीक्षा में इसे शुरुआत में जरूर लिखें। / The coprime condition creates the final contradiction. Write it at the beginning in exams.
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिला। इसलिए विपरीत कथन यानी अपरिमेयता सही है। / The rational assumption gives a contradiction. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
A. बाद में (s) भी (2) से विभाज्य निकलता है/Later (s) is also found divisible by (2)
Explanation
Simple Explanation
(r=2t) के बाद \(s^2=2t^2\) मिलता है। इससे (s) भी सम होता है और सरलतम रूप टूटता है। / After (r=2t), \(s^2=2t^2\) is obtained. Hence (s) is also even and lowest form breaks.
दोनों सम हों तो (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(x,y)=1) नहीं रह सकता। / If both are even, (2) is a common factor. Therefore (\gcd(x,y)=1) cannot hold.
A. क्योंकि (\gcd(u,v)\ge3) हो जाएगा/Because (\gcd(u,v)\ge3) will hold
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(u,v)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है। / In lowest form, (\gcd(u,v)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
पहले (u) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। अंतिम विरोधाभास के लिए (v) भी (3) से विभाज्य चाहिए। / First (u) is proved divisible by (3). For the final contradiction, (v) must also be divisible by (3).
C. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) (3) से विभाज्य/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (m) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (n) के लिए निष्कर्ष प्रतिस्थापन के बाद आता है। / Divisibility is first proved for (m). The conclusion for (n) comes after substitution.
A. यह केवल भिन्न को परिभाषित रखता है/It only keeps the fraction defined
Explanation
Simple Explanation
अंतिम विरोधाभास (\gcd(x,y)=1) और दोनों सम होने से आता है। \(y\neq0\) केवल परिभाषा की शर्त है। / The final contradiction comes from (\gcd(x,y)=1) and both being even. \(y\neq0\) is only a definition condition.
C. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकला है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं हो सकती। / The contradiction comes from the rational assumption. Therefore \(\sqrt{3}\) cannot be rational.
