If p is not divisible by 3 in p² = 3q², what contradiction appears?यदि p² = 3q² में p, 3 से विभाज्य नहीं है तो कौन-सा विरोध प्रकट होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: p² should not be divisible by 3 but the equation makes it divisiblep² को 3 से विभाज्य नहीं होना चाहिए, पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है
The correct answer is A. If p is not divisible by 3, then its prime factorisation contains no factor 3. Squaring p does not introduce a new prime factor, so p² is also not divisible by 3. However, the equation p² = 3q² writes the left side as three times an integer square, so the right-hand expression is divisible by 3; consequently p² must be divisible by 3. This is a direct contradiction. In the standard irrationality proof, one first assumes √3 = p/q in lowest terms, with q nonzero and p, q coprime. The contradiction forces both numbers to be divisible by 3, violating the lowest-form assumption. The other options do not follow from the equation.सही उत्तर A है। यदि p, 3 से विभाज्य नहीं है, तो उसके अभाज्य गुणनखंडों में 3 शामिल नहीं होगा। p का वर्ग करने पर कोई नया अभाज्य गुणनखंड नहीं जुड़ता, इसलिए p² भी 3 से विभाज्य नहीं होगा। लेकिन समीकरण p² = 3q² के दाएँ पक्ष में 3 एक गुणक के रूप में उपस्थित है; अतः वह 3 से विभाज्य है और समीकरण के कारण p² भी 3 से विभाज्य होना चाहिए। यही प्रत्यक्ष विरोधाभास है। √3 की अपरिमेयता के मानक प्रमाण में पहले √3 = p/q मानकर भिन्न को सरलतम रूप में लिया जाता है, जहाँ q शून्य नहीं होता और p तथा q सहभाज्य होते हैं। आगे दोनों के 3 से विभाज्य होने से यह प्रारंभिक शर्त टूट जाती है। q = 0, p = q या √3 = 0 जैसे निष्कर्ष समीकरण से आवश्यक रूप से प्राप्त नहीं होते।
Student feedback
Was this question useful?
👍 0 Helpful 👎 0 Not helpful
Yes 0% No 0%
0 responsesStudent Reviews
No published reviews yet.
