What is the final contradiction in the proof that √2 is irrational?√2 के अपरिमेय होने के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास क्या प्राप्त होता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Both p and q become evenp और q दोनों सम हो जाते हैं
The proof uses contradiction. Assume that √2 is rational and write √2 = p/q in lowest terms, where p and q are integers, q is non-zero, and p and q have no common factor. Squaring gives p² = 2q², so p² is even and p must be even. Let p = 2k. Substitution gives 4k² = 2q², or q² = 2k², which shows that q is also even. Thus both p and q are divisible by 2, contradicting the assumption that p/q was in lowest terms. Therefore option A states the final contradiction. The other choices do not follow from the parity argument and do not contradict the original lowest-form assumption.इस प्रमाण में विरोधाभास की विधि अपनाई जाती है। पहले मान लेते हैं कि √2 परिमेय है और √2 = p/q, जहाँ p और q पूर्णांक हैं, q शून्य नहीं है तथा p और q सहभाज्य हैं। वर्ग करने पर p² = 2q² मिलता है, इसलिए p² सम है और p भी सम होना चाहिए। p = 2k रखने पर 4k² = 2q² तथा q² = 2k² प्राप्त होता है। इससे q² और फिर q भी सम सिद्ध होता है। अब p और q दोनों 2 से विभाज्य हैं, जबकि प्रारम्भ में माना गया था कि भिन्न सरलतम रूप में है और दोनों का कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है। यही अंतिम विरोधाभास है, इसलिए विकल्प A सही है। अन्य विकल्प इस तर्क से प्राप्त नहीं होते।
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