Which option correctly states the different roles of (b\neq0) and (\gcd(a,b)=1) in the proof of (\sqrt{2})?कौन-सा विकल्प (\sqrt{2}) के प्रमाण में (b\neq0) और (\gcd(a,b)=1) की अलग-अलग भूमिकाएँ सही बताता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: (b\neq0) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction(b\neq0) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है
When a number is assumed rational, it is represented by a fraction \(a/b\) with \(b\neq0\). This first condition has a basic meaning: the denominator must not be zero, because a fraction with denominator zero is undefined. It says nothing about whether the numerator is even. The separate condition \(\gcd(a,b)=1\) chooses the fraction in lowest terms.
In the proof, \(\sqrt{2}=a/b\) leads to \(a^2=2b^2\). Therefore \(a\) is even; writing \(a=2k\) and substituting back shows that \(b\) is even too. The two numbers then share the factor 2, contradicting \(\gcd(a,b)=1\). Thus option A correctly identifies the denominator condition and the source of the contradiction.जब किसी संख्या को परिमेय माना जाता है, तो उसे \(a/b\) जैसे भिन्न के रूप में लिखा जाता है और \(b\neq0\) रखा जाता है। पहली शर्त का सरल अर्थ है कि हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य हर वाला भिन्न परिभाषित नहीं होता। इससे अंश के सम होने का कोई निष्कर्ष नहीं निकलता। अलग शर्त \(\gcd(a,b)=1\) भिन्न को सरलतम रूप में चुनती है।
प्रमाण में \(\sqrt{2}=a/b\) रखने पर \(a^2=2b^2\) मिलता है। इसलिए \(a\) सम है। \(a=2k\) रखकर वापस समीकरण में रखने पर \(b\) भी सम निकलता है। तब दोनों में 2 सामान्य गुणनखंड होगा, जो \(\gcd(a,b)=1\) का विरोध है। इसलिए विकल्प A सही है।
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