Which statement about exponents of prime factors in perfect squares is useful in the proof of √3?पूर्ण वर्गों के अभाज्य गुणनखंडों की घात का कौन-सा कथन √3 के प्रमाण में उपयोगी है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: In a perfect square, the exponent of 3 must be evenपूर्ण वर्ग में 3 की घात सम होनी चाहिए
A perfect square has an even exponent for every prime in its prime factorisation. This applies to the prime 3 as well. In the usual contradiction proof, suppose √3 = p/q in lowest terms. Squaring gives p² = 3q². Because the right side is divisible by 3, p is divisible by 3; write p = 3k. Substitution gives q² = 3k², so q is also divisible by 3. The resulting common factor contradicts the assumption that p/q was in lowest terms. Equivalently, the square p² must have an even exponent of 3, while the factor 3q² introduces an odd exponent. Therefore option C is the precise useful statement; the remaining options are false.पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य की घात सम होती है, इसलिए यह नियम अभाज्य संख्या 3 पर भी लागू होता है। विरोधाभास द्वारा प्रमाण में √3 = p/q मानते हैं, जहाँ भिन्न सरलतम रूप में है। वर्ग करने पर p² = 3q² मिलता है। इससे p, 3 से विभाज्य है; p = 3k रखने पर q² = 3k² प्राप्त होता है और q भी 3 से विभाज्य हो जाता है। तब p और q का सामान्य गुणनखंड 3 हो जाता है, जो सरलतम रूप की मान्यता के विरुद्ध है। घातों की भाषा में p² में 3 की घात सम होनी चाहिए, जबकि 3q² में एक अतिरिक्त 3 उसे विषम बनाता है। अतः विकल्प C सही है।
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