If (\sqrt{2}) is rational and (\frac{a}{b}) is in lowest form, by which principle is both (a,b) even impossible?यदि (\sqrt{2}) परिमेय है और (\frac{a}{b}) सरलतम रूप है, तो (a,b) दोनों सम निकलना किस सिद्धांत से असंभव है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Coprime numbers have common factor (1) onlyसहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है
A fraction in lowest form has numerator and denominator with no common factor greater than 1. In other words, if \(a/b\) is in lowest form, then \(\gcd(a,b)=1\). The number 1 is their only positive common factor. This condition is deliberately used in irrationality proofs so that a common factor found later creates a contradiction.
For \(\sqrt{2}\), the assumption \(\sqrt{2}=a/b\) leads to the conclusion that both \(a\) and \(b\) are even. Therefore 2 divides both numbers, so their greatest common divisor is at least 2, not 1. This is impossible for a fraction in lowest form. Thus option A is correct. The contradiction comes from the coprime condition, not from the denominator being zero or from every square root being an integer.सरलतम रूप में लिखी गई भिन्न के अंश और हर का 1 से बड़ा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं होता। अर्थात यदि \(a/b\) सरलतम रूप में है, तो \(\gcd(a,b)=1\) होता है। इसलिए 1 ही उनका एकमात्र धनात्मक सामान्य गुणनखंड है। अपरिमेयता के प्रमाण में यही शर्त बाद में मिले सामान्य गुणनखंड से विरोधाभास उत्पन्न करती है।
\(\sqrt{2}=a/b\) मानने पर प्रमाण से \(a\) और \(b\) दोनों सम निकलते हैं। इसका अर्थ है कि दोनों 2 से विभाजित होते हैं, इसलिए उनका महत्तम समापवर्तक कम-से-कम 2 है, 1 नहीं। यह सरलतम रूप की शर्त के असंभव है। अतः विकल्प A सही है। विरोधाभास सहभाज्य होने की शर्त से आता है, हर के शून्य होने से नहीं।
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