Choose the correct order in the proof of √3.√3 के प्रमाण में सही क्रम चुनिए।
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Rational assumption → p² = 3q² → p divisible by 3 → q divisible by 3 → contradictionपरिमेय मान्यता → p² = 3q² → p, 3 से विभाज्य → q, 3 से विभाज्य → विरोधाभास
The correct answer is A. Begin by assuming that √3 is rational and express it as p/q in lowest terms, with p and q coprime and q nonzero. Squaring produces p² = 3q², so p² is divisible by 3. Since 3 is prime, divisibility of p² by 3 implies that p itself is divisible by 3; put p = 3k. Substituting and cancelling gives q² = 3k², so q is also divisible by 3. This contradicts the assertion that p and q have no common factor. The proof therefore establishes irrationality. The other options do not derive the required divisibility chain and cannot produce a valid contradiction.सही उत्तर A है। सबसे पहले √3 को परिमेय मानकर उसे p/q के रूप में लिखते हैं, जहाँ p और q सहभाज्य हैं तथा q शून्य नहीं है। वर्ग करने पर p² = 3q² प्राप्त होता है, इसलिए p², 3 से विभाज्य है। चूँकि 3 अभाज्य संख्या है, p² के 3 से विभाज्य होने से p भी 3 से विभाज्य होगा; मान लें p = 3k। इसे समीकरण में रखने और आवश्यक सरलीकरण करने पर q² = 3k² मिलता है, इसलिए q भी 3 से विभाज्य होगा। अब p और q दोनों में 3 का गुणनखंड है, जो उनके सहभाज्य तथा सरलतम रूप में होने की प्रारंभिक शर्त का विरोध करता है। इसीलिए √3 अपरिमेय सिद्ध होती है। अन्य विकल्पों में विभाज्यता की आवश्यक श्रृंखला या वैध विरोधाभास मौजूद नहीं है।
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