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\(\sqrt{2}\) के विरोधाभास प्रमाण में \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\) और (\gcd(a,b)=1) मानने के बाद \(a^2=2b^2\) मिलता है। निर्णायक पहला विभाज्यता निष्कर्ष कौन-सा है?
\(a^2\) सम है इसलिए (a) सम होगा। परीक्षा में पहले अंश की समता लिखें। / \(a^2\) is even, so (a) is even. In exams, first write the evenness of the numerator.
\(r^2\) सम है इसलिए (r) सम होगा। परीक्षा में वर्ग से संख्या तक का नियम स्पष्ट लिखें। / \(r^2\) is even, so (r) is even. In exams, clearly write the rule from square to number.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/\(p^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग को विभाजित करे तो संख्या को भी विभाजित करता है। यही (p=3r) का आधार है। / If prime (3) divides a square, it divides the number too. This is the basis for (p=3r).
\(m^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है। इसलिए (m) भी (3) से विभाज्य होगा। / \(m^2\) is divisible by (3) and (3) is prime. Therefore (m) is also divisible by (3).
(r=2t) रखने पर \(4t^2=2s^2\) और फिर \(s^2=2t^2\) मिलता है। इससे (s) सम सिद्ध होता है। / Putting (r=2t) gives \(4t^2=2s^2\) and then \(s^2=2t^2\). This proves (s) even.
A. क्योंकि विरोधाभास के लिए (b) भी सम सिद्ध होना चाहिए/Because (b) must also be proved even for contradiction
Explanation
Simple Explanation
केवल (a) सम होने से सहभाज्य शर्त नहीं टूटती। दोनों (a) और (b) सम होने चाहिए। / Only (a) being even does not break the coprime condition. Both (a) and (b) must be even.
A. क्योंकि पहले (r) और फिर (s) दोनों सम सिद्ध होने चाहिए/Because first (r) and then (s) must both be proved even
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास सरलतम भिन्न से तभी बनता है जब अंश और हर दोनों में (2) सामान्य हो। केवल \(r^2\) सम होना मध्य चरण है। / The contradiction with lowest fraction forms only when numerator and denominator both have common factor (2). Only \(r^2\) being even is a middle step.
C. (\gcd(r,s)=1) और (\gcd(r,s)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(r,s)=1) and (\gcd(r,s)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य है, इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Both have common factor (2), so the HCF is at least (2). This contradicts lowest form.
B. क्योंकि \(a^2=2b^2\) पहले \(a^2\) की समता बताता है/Because \(a^2=2b^2\) first shows evenness of \(a^2\)
Explanation
Simple Explanation
इस समीकरण से पहले (a) सम सिद्ध होता है। (b) सम (a=2k) रखने के बाद सिद्ध होता है। / This equation first proves (a) even. (b) is proved even only after putting (a=2k).
A. पहले (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध किए बिना हर पर निष्कर्ष लगाना/Concluding about the denominator before proving (p) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(p^2\) से (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। फिर (p=3r) रखकर (q) का निष्कर्ष आता है। / First (p) is proved divisible by (3) from \(p^2\). Then (q) follows after taking (p=3r).
A. \(a^2\) सम है इसलिए (a=2k) लिखें/\(a^2\) is even, so write (a=2k)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (a=2b) नहीं मिलता। सही कदम (a) को सम सिद्ध करना है। / The square relation does not directly give (a=2b). The correct step is proving (a) even.
C. (r) सम सिद्ध करके (r=2t) रखने के बाद/After proving (r) even and taking (r=2t)
Explanation
Simple Explanation
पहले \(r^2\) से (r) सम मिलता है। फिर (r=2t) रखने पर \(s^2=2t^2\) मिलता है। / First (r) even follows from \(r^2\). Then taking (r=2t) gives \(s^2=2t^2\).
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य है इसलिए (p=3r) लिखें/\(p^2\) is divisible by (3), so write (p=3r)
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे (p=3q) नहीं निकलता। अभाज्य विभाज्यता से (p=3r) मिलता है। / The square relation does not directly give (p=3q). Prime divisibility gives (p=3r).
A. \(m^2=3n^2\Rightarrow m\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)/\(m^2=3n^2\Rightarrow m\) divisible by \(3\Rightarrow m=3k\Rightarrow n^2=3k^2\)
Explanation
Simple Explanation
पहले (m) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (m=3k) रखने के बाद ही (n) के लिए निष्कर्ष मिलता है। / First (m) is proved divisible by (3). Only after taking (m=3k), the conclusion for (n) is obtained.
B. \(\frac{a}{b}\) से (2) से घटाई जा सकने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From \(\frac{a}{b}\), a smaller fraction reducible by (2) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न की मान्यता के विरुद्ध है। / If both are even, the fraction can be reduced by (2). This opposes the lowest fraction assumption.
A. भिन्न को (2) से घटाकर और छोटी समान भिन्न बन सकती है/The fraction can be reduced by (2) to form a smaller equal fraction
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी विचार से विरोधाभास है। / A lowest fraction cannot be reduced further. Both even contradicts this idea.
A. \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न बन सकती है/From \(\frac{p}{q}\), a smaller fraction reducible by (3) can be formed
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होने पर भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप असंभव है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because numerator and denominator of a lowest fraction both become even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए \(\sqrt{2}\) परिमेय नहीं हो सकती। / Both being even contradicts lowest coprime form. Therefore \(\sqrt{2}\) cannot be rational.
A. क्योंकि अनुमान सटीक तर्क नहीं देता/Because approximation does not give exact reasoning
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेयता सटीक विरोधाभास से सिद्ध होती है। परीक्षा में सहभाज्य भिन्न वाला तर्क लिखें। / Irrationality is proved by exact contradiction. In exams, write the coprime fraction argument.
A. यह पूर्ण प्रमाण नहीं देता/It does not give a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। प्रमाण के लिए (3) से विभाज्यता और विरोधाभास जरूरी है। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and contradiction are needed for proof.
A. \(a^2\) सम \(\Rightarrow a\) सम, फिर (a=2k) से (b) सम/\(a^2\) even \(\Rightarrow a\) even, then (a=2k) gives (b) even
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में चरणों का क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से आता है। / The order of steps is very important. (b) even comes later by substitution.
B. \(p^2\) (3) से विभाज्य \(\Rightarrow p\) (3) से विभाज्य, फिर (p=3r) से (q) (3) से विभाज्य/\(p^2\) divisible by \(3\Rightarrow p\) divisible by (3), then (p=3r) gives (q) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (p) के लिए विभाज्यता सिद्ध होती है। (q) का निष्कर्ष बाद में प्रतिस्थापन से आता है। / Divisibility is first proved for (p). The conclusion for (q) comes later by substitution.
A. पहले (a) में और फिर (b) में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Explanation
Simple Explanation
प्रमाण में दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड बनता है। यही (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है। / In the proof, (2) becomes a common factor of both. This contradicts (\gcd(a,b)=1).
B. पहले (p) में और फिर (q) में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Explanation
Simple Explanation
अंत में (p) और (q) दोनों में (3) सामान्य होता है। इससे सरलतम रूप की शर्त टूटती है। / In the end, (3) is common in both (p) and (q). This breaks the lowest form condition.
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है। / A lowest form cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है। / A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, get coprime contradiction through a prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों का ढांचा समान है। फर्क केवल (2) और (3) के गुणनखंड का है। / Both proofs have the same framework. The only difference is the factor (2) or (3).
C. \(a^2=2b^2\) से सीधे (a=2b) है/From \(a^2=2b^2\), directly (a=2b)
Explanation
Simple Explanation
यह वर्गमूल निकालने की गलत जल्दबाजी है। सही तर्क समता से चलता है। / This is a wrong shortcut while taking square roots. The correct reasoning uses parity.
D. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{3}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
परिमेय मान्यता सहभाज्य शर्त से टकराती है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / The rational assumption conflicts with the coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
B. \(n^2=3u^2\) इसलिए \(3\mid n\)/\(n^2=3u^2\), so \(3\mid n\)
Explanation
Simple Explanation
प्रतिस्थापन के बाद \(9u^2=3n^2\) बनता है। इससे \(n^2=3u^2\) और फिर (n) (3) से विभाज्य है। / After substitution \(9u^2=3n^2\) is formed. This gives \(n^2=3u^2\), so (n) is divisible by (3).
(x) सम होना मध्य चरण है। अंतिम विरोधाभास (y) के भी सम सिद्ध होने के बाद बनता है। / (x) being even is a middle step. The final contradiction forms after (y) is also proved even.
A. \(x^2=2y^2\Rightarrow x\) सम \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) सम/\(x^2=2y^2\Rightarrow x\) even \(\Rightarrow x=2k\Rightarrow y\) even
Explanation
Simple Explanation
पहले अंश की समता आती है। फिर प्रतिस्थापन से हर की समता सिद्ध होती है। / The evenness of numerator comes first. Then the evenness of denominator is proved by substitution.
A. वर्ग समीकरण से गलत रैखिक निष्कर्ष निकालना/Taking a wrong linear conclusion from a squared equation
Explanation
Simple Explanation
वर्ग संबंध से सीधे रैखिक संबंध नहीं मिलता। सही निष्कर्ष (x) का सम होना है। / A squared relation does not directly give a linear relation. The correct conclusion is that (x) is even.
A. क्योंकि सही निष्कर्ष \(3\mid p\) है, (p=3q) नहीं/Because the correct conclusion is \(3\mid p\), not (p=3q)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2\) में (3) का गुणनखंड देखकर (p) का (3) से विभाज्य होना सिद्ध होता है। इससे (p=3q) जरूरी नहीं है। / Seeing factor (3) in \(p^2\) proves (p) is divisible by (3). It does not force (p=3q).
A. \(\frac{x}{y}\) सरलतम रूप में थी/\(\frac{x}{y}\) was in lowest form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। दोनों सम मिलना इसी मान्यता को गलत करता है। / A lowest fraction cannot be reduced further. Both even makes this assumption false.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (2) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। यही \(2y^2\) में अतिरिक्त (2) से विरोध को समझाता है। / In a perfect square, prime exponents are even. This explains the conflict from the extra (2) in \(2y^2\).
B. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square, the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में सभी अभाज्य घातें सम होती हैं। \(3n^2\) में अतिरिक्त (3) घात को विषम बनाता है। / In a perfect square, all prime exponents are even. The extra (3) in \(3n^2\) makes the exponent odd.
A. \(n\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है, विरोधाभास (\gcd(m,n)=1) से आता है/\(n\neq0\) keeps the fraction defined, contradiction comes from (\gcd(m,n)=1)
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना भिन्न की शर्त है। दोनों (3) से विभाज्य होने पर सहभाज्य शर्त टूटती है। / Non-zero denominator is a condition for fraction. The coprime condition breaks when both are divisible by (3).
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है/\(\sqrt{2}\) is irrational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता को अस्वीकार करता है। इसलिए विपरीत कथन अपरिमेयता सही है। / The contradiction rejects the rational assumption. Therefore the opposite statement, irrationality, is true.
A. यह सटीक विरोधाभास देता है/It gives an exact contradiction
Explanation
Simple Explanation
दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है। सहभाज्य भिन्न वाला तर्क अपरिमेयता को निश्चित रूप से सिद्ध करता है। / Decimal approximation is not a proof. The coprime fraction argument proves irrationality exactly.
A. क्योंकि विभाज्यता तर्क पूर्ण प्रमाण देता है/Because divisibility reasoning gives a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अनुमान केवल निकट मान देता है। (3) से विभाज्यता और सहभाज्य विरोधाभास सही प्रमाण हैं। / Approximation gives only a nearby value. Divisibility by (3) and coprime contradiction form the correct proof.
A. दोनों में परिमेय मान्यता से सरलतम भिन्न के विरुद्ध सामान्य अभाज्य गुणनखंड मिलता है/In both, rational assumption gives a common prime factor against lowest fraction
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर आधारित हैं। फर्क केवल सामान्य बनने वाला अभाज्य (2) या (3) है। / Both proofs are based on contradiction. The only difference is the common prime (2) or (3).
A. \(\frac{r}{s}\) (2) से घट सकती है/\(\frac{r}{s}\) can be reduced by (2)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए भिन्न सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / Both have common factor (2). Therefore the fraction cannot be in lowest form.
A. सरलतम सहभाज्य रूप लिखे बिना अंतिम विरोधाभास लिख देना/Writing final contradiction without stating lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही विरोधाभास का आधार है। इसे छोड़ा तो प्रमाण अधूरा लग सकता है। / Lowest form is the basis of contradiction. If omitted, the proof may look incomplete.
