What is the idea of prime factors of a perfect square in the proof of √2?√2 के प्रमाण में पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडों से संबंधित विचार कौन-सा है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: In a perfect square, the exponent of 2 must be evenपूर्ण वर्ग में 2 की घात सम होनी चाहिए
The governing concept is the prime-factorization property of a perfect square: every prime occurs with an even exponent. In the contradiction proof, suppose √2 = x/y, where x and y are coprime integers and y is non-zero. Squaring gives x² = 2y². Therefore x² has an odd contribution from the factor 2 on the right, so 2 divides x; write x = 2k. Substitution gives 4k² = 2y², hence y² = 2k², so 2 also divides y. This contradicts the assumption that x and y have no common factor. Thus option A states the essential idea; the other choices make false universal claims or give the incorrect value of √2.मुख्य अवधारणा यह है कि किसी पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य की घात सम होती है। विरोधाभास के प्रमाण में √2 = x/y माना जाता है, जहाँ x और y सहभाज्य पूर्णांक हैं तथा y शून्य नहीं है। वर्ग करने पर x² = 2y² मिलता है। दाईं ओर 2 का एक अतिरिक्त गुणनखंड है, इसलिए 2, x को विभाजित करता है और x = 2k लिखा जा सकता है। रखने पर 4k² = 2y², अर्थात y² = 2k², इसलिए 2, y को भी विभाजित करता है। इससे x और y दोनों सम हो जाते हैं, जो उनके सहभाज्य होने के विरुद्ध है। इसलिए A सही है; अन्य विकल्प गलत सार्वत्रिक कथन या √2 का गलत मान देते हैं।
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