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A. अंत में सामान्य गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास बनाना/To create contradiction when a common factor appears later
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(a,b)=1) होता है। बाद में दोनों सम मिलना इसी शर्त से टकराता है। / In lowest form (\gcd(a,b)=1). Later both becoming even contradicts this condition.
A. क्योंकि वर्ग संबंध से केवल \(a^2\) सम और फिर (a) सम मिलता है/Because the square relation only gives \(a^2\) even and then (a) even
Explanation
Simple Explanation
वर्गमूल लेते समय \(\sqrt{2b^2}\) को (2b) नहीं लिख सकते। सही कदम (a=2k) है। / While taking square root \(\sqrt{2b^2}\) cannot be written as (2b). The correct step is (a=2k).
A. पहले \(x^2\) का (3) से विभाज्य होना और फिर (x=3k) लिखना चाहिए/First show \(x^2\) is divisible by (3) and then write (x=3k)
Explanation
Simple Explanation
\(x^2=3y^2\) से सीधे (x=3y) नहीं मिलता। अभाज्य विभाज्यता से (x=3k) मिलता है। / \(x^2=3y^2\) does not directly give (x=3y). Prime divisibility gives (x=3k).
A. क्योंकि सिर्फ (a) सम होना विरोधाभास नहीं देता/Because only (a) being even does not give contradiction
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास तब बनता है जब (a) और (b) दोनों सम हों। दोनों सम होने से वे सहभाज्य नहीं रह सकते। / The contradiction forms when both (a) and (b) are even. Then they cannot remain coprime.
A. क्योंकि तभी (p) और (q) में सामान्य गुणनखंड (3) मिलेगा/Because only then common factor (3) will appear in (p) and (q)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य हो तो सहभाज्य शर्त टूटती है। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction. If (q) is also divisible by (3), the coprime condition breaks.
A. क्योंकि दाएँ पक्ष का सम होना \(a^2\) के बारे में बताता है/Because the even right side tells about \(a^2\)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से पहले \(a^2\) सम सिद्ध होता है। \(b^2\) सम (a=2k) रखने के बाद मिलता है। / From \(a^2=2b^2\), first \(a^2\) is proved even. \(b^2\) even is obtained only after taking (a=2k).
A. क्योंकि पहले (p) को (3) से विभाज्य सिद्ध करके (p=3r) रखना पड़ता है/Because first (p) must be proved divisible by (3) and (p=3r) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) पहले \(p^2\) की विभाज्यता देता है। \(q^2=3r^2\) बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है। / \(p^2=3q^2\) first gives divisibility of \(p^2\). \(q^2=3r^2\) comes later by substitution.
A. सहभाज्य संख्याओं का सामान्य गुणनखंड (1) होता है/Coprime numbers have common factor (1) only
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों सम हों तो सामान्य गुणनखंड (2) होगा। / In lowest form numerator and denominator are coprime. If both are even, common factor (2) exists.
A. क्योंकि फिर (\gcd(p,q)\ge3) होगा/Because then (\gcd(p,q)\ge3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप में (\gcd(p,q)=1) होना चाहिए। दोनों (3) से विभाज्य हों तो यह शर्त टूटती है। / In lowest form (\gcd(p,q)=1) should hold. If both are divisible by (3), this condition breaks.
A. सरलतम \(\frac{a}{b}\) से और छोटी भिन्न मिल जाती है/From lowest \(\frac{a}{b}\) an even smaller fraction is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलने पर \(\frac{a}{b}\) को (2) से घटाया जा सकता है। यह सरलतम भिन्न के विचार के विरुद्ध है। / When both are even, \(\frac{a}{b}\) can be reduced by (2). This opposes the idea of a lowest fraction.
A. सरलतम \(\frac{p}{q}\) से (3) से घटने वाली छोटी भिन्न मिलती है/From lowest \(\frac{p}{q}\) a smaller fraction reducible by (3) is obtained
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो भिन्न घट सकती है। इसलिए माना गया सरलतम रूप संभव नहीं है। / If both are divisible by (3), the fraction can be reduced. Therefore the assumed lowest form is impossible.
A. पूर्ण वर्ग में (2) की घात सम होती है/In a perfect square the exponent of (2) is even
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(2b^2\) में (2) की घात विषम बनने से विरोधाभास समझ आता है। / In a perfect square every prime exponent is even. In \(2b^2\), the exponent of (2) becoming odd explains the contradiction.
A. पूर्ण वर्ग में (3) की घात सम होनी चाहिए/In a perfect square the exponent of (3) must be even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=3b^2\) में \(a^2\) पूर्ण वर्ग है। पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है। / In \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is a perfect square. But the right side can make the exponent of (3) odd.
A. \(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) सम/\(4k^2=2b^2\Rightarrow b^2=2k^2\Rightarrow b\) even
Explanation
Simple Explanation
प्रतिस्थापन के बाद \(b^2=2k^2\) मिलता है। इससे \(b^2\) सम और फिर (b) सम है। / After substitution \(b^2=2k^2\) is obtained. Hence \(b^2\) is even and then (b) is even.
A. \(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) (3) से विभाज्य/\(9r^2=3q^2\Rightarrow q^2=3r^2\Rightarrow q\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(q^2=3r^2\) मिलता है। इसलिए (q) भी (3) से विभाज्य है। / Dividing both sides by (3) gives \(q^2=3r^2\). Therefore (q) is also divisible by (3).
केवल (a) सम होना सामान्य गुणनखंड नहीं दिखाता। विरोधाभास के लिए (b) भी सम होना चाहिए। / Only (a) being even does not show a common factor. For contradiction (b) must also be even.
A. केवल (p) (3) से विभाज्य है/Only (p) is divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सिर्फ (p) का (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से विरोधाभास नहीं है। (q) भी (3) से विभाज्य चाहिए। / Only (p) being divisible by (3) is not a contradiction to coprime condition. (q) must also be divisible by (3).
A. भिन्न (2) से घट सकती है इसलिए वह सरलतम नहीं रहती/The fraction can be reduced by (2), so it is not lowest
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होने पर (2) सामान्य गुणनखंड है। सरलतम भिन्न में ऐसा नहीं हो सकता। / If both are even, (2) is a common factor. This cannot happen in a lowest fraction.
A. वह (3) से घटाई जा सकती है इसलिए सरलतम नहीं है/It can be reduced by (3), so it is not lowest
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (3) है। इसलिए सरलतम रूप की मान्यता गलत होती है। / Both have common factor (3). Therefore the lowest-form assumption becomes false.
A. \(b\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(a,b)=1) विरोधाभास बनाता है/\(b\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(a,b)=1) creates contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
A. \(q\neq0\) भिन्न के लिए जरूरी है और (\gcd(p,q)=1) अंतिम विरोधाभास का आधार है/\(q\neq0\) is needed for the fraction and (\gcd(p,q)=1) is the basis of final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(q\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है। (\gcd(p,q)=1) दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास देता है। / \(q\neq0\) keeps the fraction defined. (\gcd(p,q)=1) gives contradiction when both are divisible by (3).
A. (\gcd(a,b)=1) और (\gcd(a,b)\ge2) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(a,b)=1) and (\gcd(a,b)\ge2) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से महत्तम समापवर्तक (1) है। दोनों सम होने से वह कम से कम (2) होगा। / Being coprime means the highest common factor is (1). Both even means it is at least (2).
A. (\gcd(p,q)=1) और (\gcd(p,q)\ge3) साथ नहीं हो सकते/(\gcd(p,q)=1) and (\gcd(p,q)\ge3) cannot both hold
Explanation
Simple Explanation
सहभाज्य होने से (\gcd(p,q)=1) है। दोनों (3) से विभाज्य होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। / Coprime means (\gcd(p,q)=1). Both divisible by (3) means (\gcd(p,q)\ge3).
A. दोनों में परिमेय मान्यता और सहभाज्य भिन्न से विरोधाभास है/Both use rational assumption and contradiction from coprime fraction
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाणों की संरचना समान है। फर्क केवल (2) और (3) के अभाज्य गुणनखंड का है। / Both proofs have the same structure. The difference is only the prime factors (2) and (3).
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य बनाता है/\(p^2\) should not be divisible by (3) but the equation makes it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (p) में (3) का गुणनखंड नहीं है तो \(p^2\) में भी नहीं होगा। पर \(p^2=3q^2\) उसे विभाज्य दिखाता है। / If (p) has no factor (3), then \(p^2\) also has none. But \(p^2=3q^2\) shows it divisible.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) सम \(\rightarrow\) (b) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(a^2=2b^2\) \(\rightarrow\) (a) even \(\rightarrow\) (b) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही प्रमाण का मानक क्रम है। अंतिम चरण में दोनों सम होना सहभाज्य शर्त से विरोध करता है। / This is the standard order of the proof. In the final step both being even contradicts coprime condition.
A. परिमेय मान्यता \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (q) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Rational assumption \(\rightarrow\) \(p^2=3q^2\) \(\rightarrow\) (p) divisible by (3) \(\rightarrow\) (q) divisible by (3) (\righta
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) में (3) से विभाज्यता की पूरी श्रृंखला चाहिए। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है। / For \(\sqrt{3}\), the full chain of divisibility by (3) is needed. Finally the coprime condition breaks.
A. दोनों सम मिलने पर निर्णायक विरोधाभास नहीं बनेगा/A decisive contradiction will not form when both become even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(a,b)=1) देता है। यही शर्त अंतिम विरोधाभास के लिए जरूरी है। / Lowest form gives (\gcd(a,b)=1). This condition is necessary for the final contradiction.
A. (\gcd(a,b)=1) होते हुए \(2\mid a\) और \(2\mid b\)/While (\gcd(a,b)=1), \(2\mid a\) and \(2\mid b\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) का गुणनखंड होने से (\gcd(a,b)\ge2) हो जाता है। यह (\gcd(a,b)=1) से विरोधाभास है। / If both have factor (2), then (\gcd(a,b)\ge2). This contradicts (\gcd(a,b)=1).
A. (\gcd(p,q)=1) होते हुए \(3\mid p\) और \(3\mid q\)/While (\gcd(p,q)=1), \(3\mid p\) and \(3\mid q\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) का गुणनखंड होने से (\gcd(p,q)\ge3) होगा। यह सहभाज्य शर्त से विरोधाभास है। / If both have factor (3), then (\gcd(p,q)\ge3). This contradicts the coprime condition.
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (2) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (2)
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में अभाज्य घातें सम होती हैं। \(2b^2\) में अतिरिक्त (2) घात को विषम बना सकता है। / In a perfect square prime exponents are even. The extra (2) in \(2b^2\) can make the exponent odd.
A. बाएँ पक्ष पूर्ण वर्ग है पर दाएँ पक्ष में (3) की घात विषम हो सकती है/The left side is a perfect square but the right side can have odd exponent of (3)
Explanation
Simple Explanation
पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात सम होती है। \(3q^2\) में अतिरिक्त (3) विरोध का कारण है। / In a perfect square every prime exponent is even. The extra (3) in \(3q^2\) causes the conflict.
A. दशमलव अनुमान प्रमाण नहीं है/Decimal approximation is not a proof
Explanation
Simple Explanation
दशमलव मान केवल अनुमान दे सकता है। परीक्षा में विरोधाभास और सहभाज्य भिन्न का तर्क लिखें। / A decimal value can only approximate. In exams write the contradiction and coprime fraction argument.
A. अनुमान से पूर्ण प्रमाण नहीं मिलता/Approximation does not give a complete proof
Explanation
Simple Explanation
अपरिमेयता के लिए सटीक तर्क चाहिए। (3) से विभाज्यता और विरोधाभास का प्रयोग करें। / Irrationality needs exact reasoning. Use divisibility by (3) and contradiction.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह (\gcd(p,q)=1) की शर्त को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the condition (\gcd(p,q)=1) impossible.
A. \(a^2\) सम से (b) सम सीधे लिखना/Writing (b) even directly from \(a^2\) even
Explanation
Simple Explanation
\(a^2\) सम होने से पहले केवल (a) सम मिलता है। (b) सम बाद में प्रतिस्थापन से मिलता है। / From \(a^2\) even, only (a) even follows first. (b) even comes later by substitution.
A. \(p^2\) (3) से विभाज्य से (q) (3) से विभाज्य सीधे लिखना/Writing (q) divisible by (3) directly from \(p^2\) divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
पहले (p) (3) से विभाज्य सिद्ध होता है। (q) का निष्कर्ष (p=3r) रखने के बाद आता है। / First (p) is proved divisible by (3). The conclusion for (q) comes after taking (p=3r).
A. पहले (a) और फिर (b) दोनों में (2) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (2) is proved first in (a) and then in (b)
Explanation
Simple Explanation
\(a^2=2b^2\) से (a) सम और फिर (b) सम मिलता है। इसलिए (2) दोनों में सामान्य हो जाता है। / \(a^2=2b^2\) gives (a) even and then (b) even. Thus (2) becomes common in both.
A. पहले (p) और फिर (q) दोनों में (3) का गुणनखंड सिद्ध होता है/Factor (3) is proved first in (p) and then in (q)
Explanation
Simple Explanation
\(p^2=3q^2\) से (p) (3) से विभाज्य और फिर (q) भी (3) से विभाज्य मिलता है। / \(p^2=3q^2\) gives (p) divisible by (3) and then (q) also divisible by (3).
A. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों सम निकलते हैं/\(\sqrt{2}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator even
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलना सरलतम सहभाज्य रूप से विरोधाभास है। इसलिए परिमेय मान्यता गलत है। / Both becoming even contradicts the lowest coprime form. Therefore the rational assumption is false.
B. \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है क्योंकि सरलतम भिन्न मानने पर अंश और हर दोनों (3) से विभाज्य निकलते हैं/\(\sqrt{3}\) is irrational because assuming a lowest fraction makes both numerator and denominator divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य हों तो वे सहभाज्य नहीं हो सकते। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। / If both are divisible by (3), they cannot be coprime. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
A. शुरुआत में उन्हें सहभाज्य सरलतम रूप में लेना चाहिए/At the beginning they should be taken coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण का निष्कर्ष नहीं बल्कि विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(a,b)=1) मानना चाहिए। / Both even is not the assumption but the contradiction. At the start (\gcd(a,b)=1) should be assumed.
A. शुरुआत में (p,q) सहभाज्य होने चाहिए/At the start (p,q) should be coprime
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना प्रमाण में बाद में विरोधाभास के रूप में निकलता है। उसे शुरुआत में नहीं मानते। / Both being divisible by (3) is derived later as contradiction. It is not assumed at the beginning.
A. परिमेय मानते समय भिन्न को सरलतम सहभाज्य रूप में जरूर लिखें/While assuming rationality write the fraction in lowest coprime form
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप नहीं लिखेंगे तो अंतिम विरोधाभास स्पष्ट नहीं होगा। यही प्रमाण की प्रमुख शर्त है। / If lowest form is not written, the final contradiction will not be clear. This is the main condition of the proof.
A. \(\sqrt{2}\) परिमेय है/\(\sqrt{2}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास परिमेय मान्यता से निकलता है। इसलिए वही मान्यता अस्वीकार होती है। / The contradiction arises from the rational assumption. Therefore that assumption is rejected.
C. \(\sqrt{3}\) परिमेय है/\(\sqrt{3}\) is rational
Explanation
Simple Explanation
विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने से मिलता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) परिमेय नहीं है। / The contradiction is obtained by assuming \(\sqrt{3}\) rational. Therefore \(\sqrt{3}\) is not rational.
A. \(\frac{a}{b}\) को \(\frac{r}{s}\) में घटाया जा सकता है, इसलिए प्रारंभिक सरलतम रूप असंभव था/\(\frac{a}{b}\) can be reduced to \(\frac{r}{s}\), so the initial lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
दोनों में सामान्य गुणनखंड (2) होने से भिन्न घट सकती है। यह सहभाज्य सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Since both have common factor (2), the fraction can be reduced. This contradicts the coprime lowest form.
