Which statement about exponents of prime factors in perfect squares connects to the proof of √2?पूर्ण वर्गों के अभाज्य गुणनखंडों की घात का कौन-सा कथन √2 के प्रमाण से जुड़ता है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: In a perfect square, the exponent of 2 must be evenपूर्ण वर्ग में 2 की घात सम होनी चाहिए
The relevant prime-factor principle is that every prime occurs to an even exponent in the prime factorisation of a perfect square. For example, if x = 2ᵏ times other prime factors, then x² contains 2²ᵏ, whose exponent is even. In the irrationality proof, assuming √2 = a/b in lowest terms leads to a² = 2b². Since the right side has one extra factor 2 beyond the square b², the parity of the exponent of 2 becomes impossible: the left side is a square and must have an even exponent, whereas the right side has an odd one. Hence option A states the governing fact. The other statements are false or irrelevant.यहाँ प्रयुक्त अभाज्य गुणनखंड का नियम है कि किसी पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडन में प्रत्येक अभाज्य की घात सम होती है। उदाहरण के लिए, यदि किसी संख्या में 2 की घात k है, तो उसके वर्ग में 2 की घात 2k होगी, जो सम है। √2 को a/b मानकर वर्ग करने पर a² = 2b² मिलता है। बायाँ पक्ष पूर्ण वर्ग है, इसलिए उसमें 2 की घात सम होनी चाहिए, लेकिन दाएँ पक्ष में b² के अतिरिक्त एक और 2 है, जिससे घात विषम हो जाती है। यही असंगति अपरिमेयता का प्रमाण देती है। इसलिए विकल्प A सही है; बाकी कथन सामान्य नियम या प्रमाण से मेल नहीं खाते।
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