In the proofs of √2 and √3, what should not be treated as the basis of proof?√2 और √3 के प्रमाणों में किस चीज को प्रमाण का आधार नहीं मानना चाहिए?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: Approximate decimal valueअनुमानित दशमलव मान
A mathematical proof requires an exact chain of justified statements, not merely numerical evidence. An approximate decimal value can suggest that √2 or √3 is not an integer, but any finite approximation can be close to a rational number and therefore cannot establish irrationality. The rigorous proofs assume a lowest-term rational fraction and then use equations such as x² = 2y² or h² = 3k² together with prime divisibility to obtain a contradiction. Thus option A is correct: the approximate decimal is useful for intuition, not as the logical basis. Options B, C, and D are essential structural components of the standard proofs.गणितीय प्रमाण केवल संख्यात्मक अनुमान पर नहीं, बल्कि उचित रूप से सिद्ध किए गए सटीक कथनों की श्रृंखला पर आधारित होता है। √2 या √3 का अनुमानित दशमलव मान यह संकेत दे सकता है कि संख्या पूर्णांक नहीं है, लेकिन कोई भी सीमित दशमलव किसी परिमेय संख्या के बहुत निकट हो सकता है। इसलिए उससे अपरिमेयता सिद्ध नहीं होती। कठोर प्रमाण में सरलतम रूप की परिमेय भिन्न मानकर x² = 2y² या h² = 3k² जैसे समीकरण बनाए जाते हैं और अभाज्य विभाज्यता से विरोधाभास निकाला जाता है। अतः A सही है। B, C और D प्रमाण की आवश्यक संरचनाएँ हैं, केवल अनुमान नहीं।
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