Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि \(h^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है/Because \(h^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) यदि \(h^2\) को विभाजित करे तो (h) को भी विभाजित करता है। इसलिए (h=3r) लिखा जाता है। / If prime (3) divides \(h^2\), it also divides (h). Therefore (h=3r) is written.
(c=2u) रखने पर \(4u^2=2d^2\) मिलता है। सरल करने पर \(d^2=2u^2\), इसलिए (d) सम है। / Putting (c=2u) gives \(4u^2=2d^2\). Simplifying gives \(d^2=2u^2\), so (d) is even.
प्रतिस्थापन से \(9r^2=3k^2\) मिलता है। दोनों पक्षों को (3) से भाग देने पर \(k^2=3r^2\) आता है। / Substitution gives \(9r^2=3k^2\). Dividing both sides by (3) gives \(k^2=3r^2\).
A. पहले (c) सम और फिर (c=2u) रखना जरूरी है/First (c) even and then (c=2u) must be used
Explanation
Simple Explanation
\(c^2=2d^2\) पहले \(c^2\) की समता दिखाता है। (d) की समता प्रतिस्थापन के बाद मिलती है। / \(c^2=2d^2\) first shows evenness of \(c^2\). Evenness of (d) comes after substitution.
A. क्योंकि पहले (h) (3) से विभाज्य सिद्ध कर (h=3r) रखना पड़ता है/Because first (h) must be proved divisible by (3) and written as (h=3r)
Explanation
Simple Explanation
पहला निष्कर्ष (h) के लिए होता है। (k) का निष्कर्ष (h=3r) रखने के बाद आता है। / The first conclusion is about (h). The conclusion about (k) comes after taking (h=3r).
दोनों सम हों तो (2) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(c,d)=1) नहीं हो सकता। / If both are even, (2) is a common factor. Therefore (\gcd(c,d)=1) cannot hold.
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (3) होगा। / Both have common factor (3). Therefore the highest common factor is at least (3).
वर्ग संबंध से सीधे (c=2d) नहीं मिलता। सही तर्क \(c^2\) सम से (c) सम तक जाता है। / The square relation does not directly give (c=2d). The correct reasoning goes from \(c^2\) even to (c) even.
C. \(h^2\) (3) से विभाज्य नहीं होना चाहिए पर समीकरण उसे विभाज्य दिखाता है/\(h^2\) should not be divisible by (3), but the equation shows it divisible
Explanation
Simple Explanation
यदि (h) में (3) नहीं है तो \(h^2\) में भी (3) नहीं होगा। समीकरण इसके विपरीत बताता है। / If (h) has no factor (3), then \(h^2\) also has no factor (3). The equation says the opposite.
A. \(\frac{h}{k}\) को (3) से घटाया जा सकता है/\(\frac{h}{k}\) can be reduced by (3)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए मानी गई सरलतम भिन्न असंभव है। / Both have common factor (3). Therefore the assumed lowest fraction is impossible.
A. (\gcd(c,d)=1) होते हुए \(2\mid c\) और \(2\mid d\)/While (\gcd(c,d)=1), \(2\mid c\) and \(2\mid d\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (2) होने से (\gcd(c,d)\ge2) होगा। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / If both have factor (2), then (\gcd(c,d)\ge2). This contradicts lowest form.
C. (\gcd(h,k)=1) होते हुए \(3\mid h\) और \(3\mid k\)/While (\gcd(h,k)=1), \(3\mid h\) and \(3\mid k\)
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) का गुणनखंड है तो (\gcd(h,k)\ge3) होगा। यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है। / If both have factor (3), then (\gcd(h,k)\ge3). This contradicts (\gcd(h,k)=1).
B. \(d\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(c,d)=1) विरोधाभास का आधार है/\(d\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(c,d)=1) is the basis of contradiction
Explanation
Simple Explanation
हर शून्य न होना परिभाषा की शर्त है। सहभाज्य शर्त अंतिम सामान्य गुणनखंड से टकराती है। / Non-zero denominator is a definition condition. The coprime condition conflicts with the final common factor.
C. \(k\neq0\) भिन्न को परिभाषित रखता है और (\gcd(h,k)=1) अंतिम विरोधाभास देता है/\(k\neq0\) keeps the fraction defined and (\gcd(h,k)=1) gives final contradiction
Explanation
Simple Explanation
\(k\neq0\) परिमेय भिन्न के लिए जरूरी है। (\gcd(h,k)=1) दोनों के (3) से विभाज्य होने पर टूटती है। / \(k\neq0\) is necessary for a rational fraction. (\gcd(h,k)=1) breaks when both are divisible by (3).
A. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) सम \(\rightarrow\) (d) सम \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(c^2=2d^2\) \(\rightarrow\) (c) even \(\rightarrow\) (d) even \(\rightarrow\) contradiction
Explanation
Simple Explanation
यही विरोधाभास प्रमाण का मानक क्रम है। हर चरण पिछले चरण पर निर्भर करता है। / This is the standard order of contradiction proof. Each step depends on the previous step.
B. परिमेय मानना \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) (k) (3) से विभाज्य \(\rightarrow\) विरोधाभास/Assume rational \(\rightarrow\) \(h^2=3k^2\) \(\rightarrow\) (h) divisible by (3) \(\rightarrow\) (k) divisible by (3) \(\rightarrow\)
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (3) से विभाज्यता की श्रृंखला जरूरी है। अंत में सहभाज्य शर्त टूटती है। / In the proof of \(\sqrt{3}\), the chain of divisibility by (3) is necessary. Finally the coprime condition breaks.
A. दोनों सम होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are even
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप ही (\gcd(c,d)=1) देता है। इसके बिना दोनों सम होना अंतिम विरोधाभास नहीं बनता। / Lowest form gives (\gcd(c,d)=1). Without it, both even does not become the final contradiction.
B. दोनों (3) से विभाज्य होने पर विरोधाभास/Contradiction when both are divisible by (3)
Explanation
Simple Explanation
सरलतम रूप से (h) और (k) सहभाज्य होते हैं। तभी दोनों (3) से विभाज्य होना विरोधाभास है। / Lowest form makes (h) and (k) coprime. Only then both divisible by (3) is a contradiction.
A. क्योंकि शुरुआत में (c,d) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because (c,d) should initially be coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम होना प्रमाण में निकला हुआ विरोधाभास है। इसे शुरुआत की मान्यता नहीं बनाते। / Both even is the derived contradiction in the proof. It should not be the initial assumption.
C. क्योंकि शुरुआत में (h,k) सहभाज्य सरलतम रूप में होने चाहिए/Because initially (h,k) should be coprime in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना अंत में मिला विरोधाभास है। शुरुआत में (\gcd(h,k)=1) माना जाता है। / Both divisible by (3) is the contradiction obtained at the end. Initially (\gcd(h,k)=1) is assumed.
A. माना गया सरलतम रूप असंभव था/The assumed lowest form was impossible
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न को और घटाया नहीं जा सकता। यदि घटे तो प्रारंभिक मान्यता गलत है। / A lowest fraction cannot be reduced further. If it reduces, the initial assumption is false.
B. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। यह सरलतम रूप की मान्यता को असंभव बनाता है। / Both have common factor (3). This makes the lowest form assumption impossible.
A. परिमेय मानना, वर्ग करना और सामान्य अभाज्य गुणनखंड से सहभाज्य विरोधाभास पाना/Assume rational, square, and get coprime contradiction using a common prime factor
Explanation
Simple Explanation
दोनों प्रमाण विरोधाभास विधि पर चलते हैं। अंतर केवल केंद्रीय अभाज्य (2) और (3) का है। / Both proofs use contradiction. The only difference is the central prime (2) or (3).
A. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों को (2) से भाग देना तभी संभव है जब (2) सामान्य गुणनखंड हो। यह सरलतम रूप से विरोधाभास है। / Dividing both by (2) is possible only when (2) is a common factor. This contradicts lowest form.
C. मानी गई भिन्न सरलतम नहीं थी/The assumed fraction was not in lowest form
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए शुरुआत में माना गया सरलतम रूप असंभव हो जाता है। / Both have common factor (3). Therefore the initially assumed lowest form becomes impossible.
(d) सम सिद्ध करने के लिए (c=2u) रखकर आगे काम करना पड़ता है। परीक्षा में हर की समता सीधे न लिखें। / To prove (d) even, (c=2u) must be substituted first. In exams, do not write denominator even directly.
A. परिभाषात्मक प्रतिस्थापन/Definitional substitution
Explanation
Simple Explanation
किसी संख्या के (3) से विभाज्य होने का अर्थ है कि उसे (3r) लिखा जा सकता है। इससे आगे (k) की विभाज्यता सिद्ध होती है। / A number divisible by (3) can be written as (3r). This later proves divisibility of (k).
दोनों में (2) सामान्य होने पर भिन्न घटकर \(\frac{u}{v}\) बनती है। इसलिए पुराना रूप सरलतम नहीं था। / If both have common factor (2), the fraction reduces to \(\frac{u}{v}\). So the old form was not lowest.
C. वह टूट जाती है क्योंकि (3) सामान्य गुणनखंड है/It breaks because (3) is a common factor
Explanation
Simple Explanation
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहभाज्य होते हैं। दोनों में (3) होना इस शर्त के विरुद्ध है। / In a lowest fraction, numerator and denominator are coprime. Having (3) in both contradicts this condition.
दाएँ पक्ष में (2) का गुणनखंड है, इसलिए \(c^2\) सम है। वर्ग सम होने पर संख्या सम होती है। / The right side has factor (2), so \(c^2\) is even. If a square is even, the number is even.
A. (h) अनिवार्य रूप से (3) का गुणज है/(h) is necessarily a multiple of (3)
Explanation
Simple Explanation
\(3\mid h^2\) और (3) अभाज्य है, इसलिए \(3\mid h\)। \(9\mid h\) जरूरी नहीं है। / Since \(3\mid h^2\) and (3) is prime, \(3\mid h\). \(9\mid h\) is not necessary.
A. हर बार भिन्न को (2) से घटाया जा सकेगा/The fraction can be reduced by (2) again
Explanation
Simple Explanation
यदि सरलतम भिन्न भी घटे, तो और छोटी भिन्न मिलती रहेगी। यह सरलतम रूप की संभावना को अस्वीकार करता है। / If even a lowest fraction reduces, smaller fractions would keep appearing. This rejects the possibility of a lowest form.
A. यदि (c) विषम हो तो \(c^2\) विषम होगा/If (c) is odd, then \(c^2\) is odd
Explanation
Simple Explanation
विषम का वर्ग विषम होता है। इसलिए \(c^2\) सम होने पर (c) विषम नहीं हो सकता। / The square of an odd number is odd. Therefore if \(c^2\) is even, (c) cannot be odd.
A. अभाज्य गुणनखंड का वर्ग में प्रवेश मूल संख्या से होता है/A prime factor enters a square from the original number
Explanation
Simple Explanation
अभाज्य (3) वर्ग में तभी आएगा जब मूल संख्या में हो। यही प्रमाण का मुख्य नियम है। / Prime (3) appears in a square only if it appears in the original number. This is the key rule of the proof.
दोनों सम होने पर (2) दोनों को विभाजित करता है। इसलिए महत्तम समापवर्तक कम से कम (2) है। / If both are even, (2) divides both. Hence the highest common factor is at least (2).
A. सिर्फ (c) सम सिद्ध करके रुकना/Stopping after proving only (c) even
Explanation
Simple Explanation
(c) सम सही मध्य चरण है, पर अंतिम विरोधाभास के लिए (d) भी सम चाहिए। / (c) even is a correct middle step, but (d) must also be even for final contradiction.
(h) का (3) से विभाज्य होना सही है, लेकिन (k) भी (3) से विभाज्य सिद्ध करना जरूरी है। / It is correct that (h) is divisible by (3), but (k) must also be proved divisible by (3).
A. दोनों सम (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both even (\Rightarrow \gcd(c,d)\ge2\Rightarrow) lowest form impossible
Explanation
Simple Explanation
यही अंतिम विरोधाभास की सही रेखा है। सरलतम रूप में सामान्य गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / This is the correct line of final contradiction. A lowest form should not have a common factor.
A. दोनों (3) से विभाज्य (\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) सरलतम रूप असंभव/Both divisible by (3\Rightarrow \gcd(h,k)\ge3\Rightarrow) lowest form impossible
Explanation
Simple Explanation
दोनों में (3) सामान्य गुणनखंड है। इसलिए (\gcd(h,k)=1) की मान्यता असंभव हो जाती है। / Both have common factor (3). Therefore the assumption (\gcd(h,k)=1) becomes impossible.
यह सही है क्योंकि \(c^2\) सम है। लेकिन इसके बाद (d) सम सिद्ध करना भी जरूरी है। / This is correct because \(c^2\) is even. But after this, (d) even must also be proved.
अभाज्य संख्या वर्ग को विभाजित करे तो मूल संख्या को भी विभाजित करती है। यही सही नियम है। / If a prime divides a square, it also divides the original number. This is the correct rule.
A. यह (\gcd(c,d)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(c,d)=1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों सम मिलना सरलतम रूप से विरोधाभास है। इसके बाद परिमेय मान्यता अस्वीकार करें। / Both becoming even contradicts lowest form. After this, reject the rational assumption.
C. यह (\gcd(h,k)=1) से विरोधाभास है/This contradicts (\gcd(h,k)=1)
Explanation
Simple Explanation
दोनों (3) से विभाज्य होना सहभाज्य शर्त से टकराता है। इसलिए \(\sqrt{3}\) अपरिमेय है। / Both divisible by (3) conflicts with coprime condition. Therefore \(\sqrt{3}\) is irrational.
अनुमानित दशमलव प्रमाण नहीं देता। सही प्रमाण सहभाज्य भिन्न और अभाज्य विभाज्यता से बनता है। / Approximate decimal does not give proof. The correct proof uses lowest fraction and prime divisibility.
